Шейповые инварианты и их категорные характеристики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ



Авакян Тигран Арамович

ШЕЙПОВЫЕ ИНВАРИАНТЫ И ИХ КАТЕГОРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

01. 01. 04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи

Москва-2009

003489475

Работа выполнена на кафедре общей топологии и геометрии Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Математический институт

имени В. А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 25 декабря 2009 г. в 16 ч. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д. 501.001.84 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 25 ноября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совет

профессор Виталий Витальевич Федорчук, доктор физико-математических наук, профессор Павел Самвелович Геворкян.

профессор Семенов Павел Владимирович; кандидат физико-математических наук, профессор Елькин Александр Геннадьевич;

Д.501.001.84 при МГУ

доктор физико-математических наук,

профессор

А.О. Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Теория шейпов - сравнительно молодая теория в гомотопической топологии, открытая польским топологом К. Борсуком Она действует там, где обычные гомотопические методы становятся мало пригодными, а именно в тех случаях, когда локальное (топологическое) строение изучаемых объектов плохое. Если же это не так, например в случае абсолютных окрестностных ретрактов, теория шейпов совпадает с гомотопической теорией и ничего нового не дает.

Однако в настоящее время в самых различных областях математики все чаще и чаще приходится встречаться с объектами, обладающими плохой локальной структурой.

Для произвольных топологических пространств методы спектральной топологии позволили Мардешичу с Сегалом распространить первоначальную теорию шейпов Борсука на класс всех топологических пространств. Здесь, конечно, ключевую роль сыграло понятие ассоциированного спектра, введенное Моритой 2. При таком подходе все основные понятия теории шейпов, естественно, определяются с помощью ассоциированных обратных спектров.

Теория шейпов была развита в работах Ю.М. Смирнова 3 и его учеников С.А. Богатого 4'5, Ю.Т. Лисицы 6, П.С. Геворкяна7 и др.

1 Борсук К., Теория Шейпов. М. Мир, 1976 - 192 с.

2 Morita К., On shapes of topological spaces, Fund. Math., 86 (1975), 251-259.

3 Смирнов Ю.М., Теория шейпов. Итоги науки и техники, (алг., топ., геометр.), М.: ВИНИТИ, 1981, 19, 181-207.

4 Богатый С. А., О теореме Вьеториса для шейпов и одной задаче Ю.М. Смирнова. Докл. АН СССР, 1973,211,№4, 764-767.

5 Богатый С.А., Аппроксимационные и фундаментальные ретракты. Мат. сб., 1974, 93, №1,90-102.

Теория шейпов имеет дело с глобальными топологическими свойствами пространств. Она тесно связана с теорией ретрактов, в частности с теорией так называемых ANR -пространств.

Шейповые инварианты определяются как свойства объектов или морфизмов шейповой категории, сохраняющихся при изоморфизмах (эквивалентностях) рассматриваемой категории.

Важным шейповым инвариантом является свойство подвижности топологических пространств. Для метризуемых компактов оно было введено и изучено Борсуком для бикомпактов - Мардешичем и Сегалом 8. На более общие случаи было перенесено С.А. Богатым 9, А.П. Шостаком 10.

Класс подвижных пространств существенно шире класса CW - комплексов. Это понятие, в частности, замечательно тем, что многие классические результаты алгебраической топологии, которые верны для CW -комплексов, в теории шейпов обобщаются для подвижных пространств. Так обстоит дело с теоремой Уайтхеда в теории шейпов, которая утверждает, что шейповый морфизм F : X -» Y подвижных конечномерных метризуемых континуумов будет шейповой эквивалентностью, если все гомоморфизмы F, : тгп (X) —» пп (F) п -мерных шейповых групп являются изоморфизмами (Мощинская п, Кисс-линг12). Причем, свойство подвижности в этой формулировке - существенно (Козловский и Сегал 13).

6 Лисица Ю.Т., Классификационная теорема Хаусдорфа и теория шейпов. Сиб. мат. ж., 1977,18, №1,143-160.

7 Геворкян П..С., Теория К-шейпов, Известия HAH Армении. Математика, 2001, 36, №2, 79-84.

8 Mardesic S., Segal J., Movable compacta and ANR-systems, Bull. Acad. Polon. Sei., 18:11 (1970), 649-654.

9 Богатый C.A., Об n-подвижности в смысле Борсука. Bull. Acad. Pol. sei. math., Aston., et phys., 1974, №8, 821-825.

10 Шостак А. П., Шейпы в классах компактности: ретракты, экстензоры, подвижность. Уч. зап. Латв. Ун-та, 1975, 236, № 1,108-128.

Другая важная теорема - теорема Гуревича об изоморфизме в теории шейпов - опять же доказана для подвижных метрических континуумов (Куперберг 14). Перечень таких фактов можно продолжить. Все они говорят об особой роли подвижности в теории шейпов.

Важными шейповыми инвариантами являются также сильная подвижность и устойчивость топологических пространств. Все эти шейповые инварианты были определены и изучены в случае метри-зуемых компактов с помощью окрестностей данного компакта в гил-бертовом кубе, а в случае произвольных топологических пространств - с помощью ассоциированных с данным пространством обратных спектров.

После того как Мардешичем 15 была построена абстрактная теория шейпов с помощью кома-категорий, возникла необходимость определения и изучения шейповых инвариантов с помощью семейств всех морфизмов из данного объекта категории К в объекты некоторой плотной подкатегории L.

Первые результаты в этом направлении были получены Мардешичем 15, Дыдаком 16, Козловским и Сегалом 17 и другими авторами. В частности, Мардешичу 15 удалось доказать критерий плотности подкатегории L в категории К с помощью кома-категорий. Свойство подвижности в этом контексте были изучены в работах Козловского и Сегапа 17 и П. С. Геворкяна 18. Равномерной подвижности посвящены работы И. Поп 19, П. С. Геворкяна и И. Поп20.

11 Moszinska M., Concerning the Whitehed theorem for movable compacta. Fund. Math. Vol. 92. № 1. pp. 43-55, 1976.

12 Keesling J., On movability and local connectivity. Lect. Notes Math. № 375. p. 158-167,1974.

13 Kozlowski G., Segal J., Local behavior and the Vietoris and Whitehead theorems in shape theory. Fund. Math. - 1978. v. 99. - №3. - p. 213-225.

14 Kuperberg K., An isomorphism theorem of the Hurewicz-type in Borsuk's theory of shape. Fund. Math. Vol. 77, № 1, pp 21-32,1972.

Данная диссертация посвящена изучению свойств подвижности, сильной подвижности и устойчивости топологических пространств с помощью гомотопических классов непрерывных отображений из данного пространства в СИ7 комплексы. Полученные результаты в основном имеют категорный характер. Они позволили ввести новые понятия в теории категорий и функторов - такие, как относительная подвижность и сильная подвижность категорий.

Цель работы

Целью работы является изучение некоторых шейповых инвариантов, таких, как подвижность, сильная подвижность и устойчивость, с помощью семейства всех гомотопических классов непрерывных отображений из данного топологического пространства (всех морфизмов из данного объекта некоторой категории) в абсолютные окрестностные ретракты (в объекты плотной подкатегории), в частности, получение критериев указанных инвариантов на языке кома-категорий, а также доказательство необходимых и достаточных условий сильной подвижности и устойчивости паракомпактных пространств.

15 Mardesic S., Segal J., Shape theory-The inverse system approach, North-Holland, Amsterdam, 1982.

16 Dydak J., Movability and the shape of decomposition spaces. Bull. Acad. Pol. Sei. math. Astron. et phys., 1975,23, № 5, 561-564.

17 Kozlowski G., Segal J., Movability and shape-connectivity. Fund. Math., 1976, 93, №2,145-154.

18 Gevorgyan P. S., Movable categories, Glassnik Mat., 38 (58) (2003), 177-183.

19 Pop I., A Categorical notion of movability, Anal. Sei. University AL. I. CUZA, v.XLIX, (2003), 327-341.

20 Gevorgyan P. S., I. Pop, Uniformly movable categories and uniform movability of topological spaces, Bull. Polish Acad. Sei. Math., 55 (2007), 229-242.

Научная новизна

В диссертации изучение тейповых инвариантов проводится с помощью семейства всех непрерывных отображений из данного пространства в С\У -комплексы, не прибегнув при этом к традиционным шейповым конструкциям.

Получен критерий подвижности топологических пространств с помощью кома-категорий и стирающих функторов (теорема 2.1),

Доказано необходимое и достаточное условие сильной подвижности топологических пространств с помощью семейств всех гомотопических классов непрерывных отображений из данных пространств в СIV -комплексы (теорема 2.2).

Введено понятие сильно подвижной категории и доказана теорема о сильной подвижности топологического пространства (теорема 2.7).

Доказан критерий устойчивости топологического пространства (теорема 3.1).

Получена также категорная характеристика этого понятия (теорема 3.2).

Доказаны необходимые и достаточные условия сильной подвижности и устойчивости паракомпактного пространства (теоремы 2.9 и 3.3).

Основные методы исследования

В работе используются методы гомотопической топологии, теории шейпов и спектральной топологии, а также методы теории категорий и функторов.

Апробация результатов

Результаты диссертации докладывались:

• на научно-исследовательском семинаре по общей топологии кафедры общей топологии и геометрии МГУ в 2008-2009 гг.

• на третьей международной конференции посвященной 85-летию Л. Д. Кудрявцева (Москва 25-28 марта 2008г.).

• на семинаре кафедры математического анализа Московского городского педагогического университета, 2009 г.

Практическая и теоретическая ценность

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть применены при чтении специальных курсов по теории шейпов и спектральной топологии.

Краткое содержание работы

Изложим подробно результаты диссертации по главам. Первая глава носит вспомогательный характер. В ней собраны необходимые в дальнейшем определения и известные результаты теории шейпов. В частности даны определения обратных спектров, про-категорий и ассоциированных обратных спектров. Приведены построения теории шейпов, как с помощью ассоциированных обратных спектров, так и с помощью кома-категорий. Приведены так же определения основных шейповых инвариантов: подвижности, сильной подвижности и устойчивости.

Во введении приведена также следующая теорема П. С. Геворкяна о подвижности топологического пространства X, на которой основываются результаты параграфа 2.1.

Теорема 1.4. Топологическое пространство X подвижно тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:

(*) для произвольного СIV -комплекса Q и любого гомотопического класса /: X () существуют такой СIV -комплекс ()', гомотопические классы /': X —> и г\: ()' —> (), удовлетворяющие равенству / = 77°/', что каковы бы не были ОТ- комплекс ()", гомотопические классы /"\Х—>(У и 77': £)" —> (), удовлетворяющие равенству / = ?]' ° /", существует такой гомотопический класс Г)": (У —> , что выполняется равенство Т]' °т]п — Т] . Вторая глава состоит из четырех параграфов. В первом параграфе вводится понятие подвижности категории К относительно произвольного ковариантного функтора Ф: К —> Ь.

Определение 2.1. Скажем, что категория К подвижна относительно категории Ь и ковариантного функтора Ф: К —> Ь, если для произвольного объекта X е К существуют такой объект е. К и такой морфизм тх б Могк (М что для лю-

бого объекта У & К и любого морфизма р е Могк существу-

ф(р)°и = ф(тх).

Это понятие позволяет сформулировать и доказывать теорему о подвижности топологических пространств с помощью кома-категорий и стирающих функторов.

Теорема 2.1. Топологическое пространство X подвижно тогда и только тогда, когда кома-категория IVх подвижна относительно категории НСУУ и стирающего функтора

Понятие стирающего функтора определяется следующим образом.

ет такой морфизм

что

О.: Шх -» НСЖ.

Определение 2.2. Ковариантный функтор Q: Wx -> HCW, который каждому объекту f :Х —»Q сопоставляет объект

Q <= HCW, а каждому морфизму rj\{f: X ->Q) -> (/': Z Q'), [г]0 f — _/"') - морфизм rj 'Q—^Q', назовем стирающим функтором.

Во втором параграфе в виде предложения 2.2 дается эквивалентное определение понятия сильной подвижности топоплогическо-го пространства.

Предложения 2.2. Пусть обратый спектр (Xкатегории pro — HCW ассоциирован с пространством X. Топологическое пространство X сильно подвижно тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:

(5*Л/). для любого ЛеЛ, существует Л'еЛ, л' > Л так, что для любого Л" е Л, Я," > Л, существует гомотопический класс rxx : Xх —> Хх., что одновременно выполняются равенства

Далее исследуется сильная подвижность топологических пространств с помощью CW -комплексов и гомотопических классов непрерывных отображений из топологического пространства X в CW -комплексы.

Основным результатом второго параграфа является следующая теорема.

Теорема 2.2. Топологическое пространство X сильно подвижно тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:

(*) для произвольного С1¥ -комплекса () и любого гомотопического класса /: X —> <2 существуют такой СIV -комплекс (У, гомотопические классы /': X —> (У и ц : @ —> <2, удовлетворяющие равенству / = 7]° /', что каковы бы не были СIV -комплекс (У', гомотопические классы /":Х—> ()" и :()" —> (), удовлетворяющие равенству / = Т]' ° , существует такой гомотопический класс ?]": (У —> (У1, что выполняются равенства

Г}'от}я = г}, Vе*/' = !'.

Третий параграф начинается с определения сильной подвижности категорий.

Определение 2.3. Категорию К назовем сильно подвижной, если она подвижна относительно самой себя и тождественного функтора \к. Иначе говоря, если для произвольного объекта X еК

существует такой объект М (Х^ е К и такой морфизм

тх е Могк (М{Х},Х}, что для любого объекта У е К и любого

морфизма р е Могк (У, X) существует такой морфизм

иреМогк(М(Х),Уучто р°ир=тх.

Далее доказывается теорема которая дает множество нетривиальных и интересных примеров сильно подвижных категорий.

Теорема 2.3. Пусть (2 произвольный С1¥ -комплекс. Тогда

кома-категория является сильно подвижной категорией.

Устанавливается факт, что если К сильно подвижная категория, тогда она подвижна относительно любой категории Ь и любого функтора Ф:К Ь .

Также доказывается, что если категория К подвижна относительно категории Ь и функтора Ф : К —> Ь и если Ф: К —» Ь -функторное доминирование, то К сильно подвижная категория.

Касательно произведений категорий получен следующий результат:

Теорема 2.5 .Произведение категорий К¡, г е I силь-

I е/

но подвижно тогда и только тогда, когда сильно подвижны все сомножители К{, г € I.

Далее вводиться понятие слабого функторного доминирования.

Определение 2.6. Скажем, что категория К функторно слабо доминируется категорией Ь, если существуют такие функторы Р \ К —> Ь и С'.Ь-^К, что С ° .Р . В этом случае пишем К <Ь.

Теорема 2.6. Пусть К < Ь. Если категория Ь сильно подвижна, то категория К также сильно подвижна.

Из этой теоремы и из того факта, что функторное доминирование влечет за собой слабое функторное доминирование вытекает следующее утверждение.

Следствие 2.1. Если категория К функторно доминируется категорией Ь: К <Ь, и категория Ь - сильно подвижна, то тогда категория К также сильно подвижна.

Главным результатом третьего параграфа, является следующая теорема.

Теорема 2.7. Топологическое пространство X сильно подвижно тогда и только тогда, когда кома-категория И/Х сильно подвижна.

Эта теорема позволяет определить сильную подвижность топологических пространств с помощью гомотопических классов непрерывных отображений из данного пространства в С]¥ -комплексы.

Рассмотрим топологическое пространство X. Предположим, что X - несвязная топологическая сумма топологических пространств Хх и Х2: X = Х{ и Х2. Тогда

Жх = < Ж*1 х ТУХ2.

Это соотношение позволяет, основываясь на теоремах 2.5, 2.6, 2.7, доказать следующую теорему.

Теорема 2.8. Если топологическое пространство X имеет конечное число компонент связности и все они сильно подвижны, то X также сильно подвижно.

В четвертом параграфе доказывается теорема о сильной подвижности паракомпактных пространств.

Эта теорема является аналогом теоремы Козловского и Сегала (см.17) о подвижности паракомпактных пространств.

Теорема 2.9. Паракомпактное пространство X сильно подвижно тогда и только тогда, когда для произвольного открытого покрытия Ы пространства X существует открытое покрытие V, вписанное в Ы так, что для произвольного открытого покрытия И?, вписанного в Ы, существует отображение

так, что

где V: X —> |Л£(У)|, а и»: X -> - канонические отображе-

ния.

Третья глава посвящена устойчивости топологических пространств.

В первом параграфе получен критерий устойчивости топологических пространств с помощью гомотопических классов непрерывных отображений из данного пространства в С И^ -комплексы.

Теорема 3.1. Топологическое пространство X устойчиво тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:

(*) существуют СIV комплекс Р и гомотопический класс / : X —> Р такие, что для произвольного С\¥ комплекса () и любого гомотопического класса g:X существует единственный гомотопический класс так, что и£ ° f — g.

Получен также следующий критерий устойчивости топологического пространства.

Теорема 3.2. Топологическое пространство X устойчиво тогда и только тогда, когда существует инициальный объект в кома-категории IVх.

Доказательство теоремы 3.2 показывает, что утвержение этой теоремы имеет категорный характер.

Во втором параграфе третьей главы, основываясь на теореме 3.1, доказывается критерий устойчивости паракомпактных пространств.

Теорема 3.3. Паракомпактное пространство X устойчиво тогда и только тогда, когда существует открытое покрытие Ы пространства X, так, что для произвольного открытого покрытия V, существует единственный, с точностью до гомотопии, отображение

такое, что где и:

- канонические отображения.

Благодарности

Автор глубоко благодарен своим научным руководителям -доктору физико-математических наук, профессору Виталию Витальевичу Федорчуку и доктору физико-математических наук, профессору Павелу Самвеловичу Геворкяну за постановку задач, обсуждение результатов и постоянное внимание к работе.

Автор благодарит участников научно-исследовательского семинара по общей топологии имени П. С. Александрова и всех сотрудников кафедры за обсуждение результатов диссертации.

Публикации

1. Авакян Т. А., Об одном критерии сильной подвижности. Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2009. Вып. 2, с. 5-15.

2. Авакян Т. А., Об одном критерии устойчивости топологических пространств. Тезисы докладов 3-й международной конференции, посвященной 85-летию чл.-корр. РАН, проф. Л. Д. Кудрявцева, М.: МФТИ, 2008, с. 359-360.

3. Авакян Т. А., Геворкян П. С., О сильной подвижности топологических пространств. Труды 3-й международной конференции, посвященной 85-летию чл.-корр. РАН, проф. JI. Д. Кудрявцева, М.: 2008, с. 47-53.

4. Авакян Т. А., Геворкян П. С., Сильно подвижные категории и сильная подвижность топологических пространств. Известия HAH Армении. Математика, том 45, н. 1, 2010, с. 12-24.

1 I

Подписано в печать 8 ОЛ 03 Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. /¿7 Тираж {00 экз. Заказ

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова