Шейповые инварианты и их категорные характеристики

Авакян, Тигран Арамович

Шейповые инварианты и их категорные характеристики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Авакян, Тигран Арамович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Шейповые инварианты и их категорные характеристики»

Автореферат диссертации на тему "Шейповые инварианты и их категорные характеристики"

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи

904601749

Авакян Тигран Арамович

ШЕЙПОВЫЕ ИНВАРИАНТЫ И ИХ КАТЕГОРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва -2010

004601749

Работа выполнена на кафедре общей топологии и геометрии Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор Виталий Витальевич Федорчук, доктор физико-математических наук, профессор Павел Самвелович Геворкян. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Семенов Павел Владимирович; кандидат физико-математических наук, профессор Елькин Александр Геннадьевич; Ведущая организация: Московский педагогический государственный

университет

Защита диссертации состоится 14 мая 2010 г. в 16 ч. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д. 501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 14 апреля 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

А.О. Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Теория шейпов - сравнительно молодая теория в гомотопической топологии, открытая польским топологом К. Борсуком 1. Она действует там, где обычные гомотопические методы становятся мало пригодными, а именно в тех случаях, когда локальное (топологическое) строение изучаемых объектов плохое. Если же это не так, например, в случае абсолютных окрестностных ретрактов, теория шейпов совпадает с гомотопической теорией и ничего нового не дает.

Однако в настоящее время в самых различных областях математики все чаще и чаще приходится встречаться с объектами, обладающими плохой локальной структурой.

Для произвольных топологических пространств методы спектральной топологии позволили Мардешичу с Сегалом распространить первоначальную теорию шейпов Борсука на класс всех топологических пространств. Здесь, конечно, ключевую роль сыграло понятие ассоциированного спектра, введенное Моритой 2. При таком подходе все основные понятия теории шейпов, естественно, определяются с помощью ассоциированных обратных спектров.

Существенный вклад в развитие теории шейпов внесен результатами Ю.М. Смирнова 3 и его учеников С.А. Богатого 4'5, Ю.Т. Лисицы б, П.С. Геворкяна7 и др.

1 Борсук К., Теория Шейпов. М. Мир, 1976 - 192 с.

2 Monta К., On shapes of topological spaces, Fund. Math., 86 (1975), 251-259.

3 Смирнов Ю.М., Теория шейпов. Итоги науки и техники, (алг., топ., геометр.), М.:

ВИНИТИ, 1981, 19,181-207.

4 Богатый С.А., О теореме Вьеториса для шейпов и одной задаче Ю.М. Смир-нова.

Докл. АН СССР, 1973,211,№4, 764-767.

5 Богатый С.А., Аппроксимационные и фундаментальные ретракты. Мат. сб., 1974,

93, №1,90-102.

Теория шейпов имеет дело с глобальными топологическими свойствами пространств. Она тесно связана с теорией ретрактов, в частности с теорией так называемых ANR -пространств.

Шейповые инварианты определяются как свойства объектов или морфизмов шейповой категории, сохраняющихся при изоморфизмах (эквивалентностях) рассматриваемой категории.

Важным шейповым инвариантом является свойство подвижности топологических пространств. Для метризуемых компактов оно было введено и изучено Борсуком для бикомпактов - Мардешичем и Сегалом 8. На более общие случаи было перенесено С.А. Богатым9, А.П. Шостаком 10.

Класс подвижных пространств существенно шире класса CW -комплексов. Это понятие, в частности, замечательно тем, что многие классические результаты алгебраической топологии, которые верны для CW -комплексов, в теории шейпов обобщаются для подвижных пространств. Так обстоит дело с теоремой Уайтхеда в теории шейпов, которая утверждает, что шейповый морфизм F:X->У подвижных конечномерных метризуемых континуумов будет шейповой эквивалентностью, если все гомоморфизмы F. и-мерных шейповых групп являются изоморфизмами

(Мощинская и, Кисслинг 12). Причем, свойство подвижности в этой формулировке - существенно (Козловский и Сегал 13).

6 Лисица Ю.Т., Классификационная теорема Хаусдорфа и теория шейпов. Сиб. мат. ж., 1977, 18, №1, 143-160.

7 Геворкян П..С., Теория К-шейпов, Известия HAH Армении. Математика, 2001, 36, №2,79-84.

8 Mardesic S., Segal J., Movable compacta and ANR-systems, Bull. Acad. Poloa. Sei., 18:11 (1970), 649-654.

9 Богатый C.A., Об n-подвижности в смысле Борсука. Bull. Acad. Pol. sei. math., Aston., et phys., 1974, №8, 821-825.

10 Шостак А. П., Шейпы в классах компактности: ретракты, экстензоры, подвижность. Уч. зап. Латв. Ун-та, 1975,236, № 1, 108-128.

Другая важная теорема - теорема Гуревича об изоморфизме в теории шейпов - опять же доказана для подвижных метрических континуумов (Куперберг 14). Перечень таких фактов можно продолжить. Все они говорят об особой роли подвижности в теории шейпов.

Важными шейповыми инвариантами являются также сильная подвижность и устойчивость топологических пространств. Все эти шейповые инварианты были определены и изучены в случае метризуемых компактов с помощью окрестностей данного компакта в гилбертовом кубе, а в случае произвольных топологических пространств - с помощью ассоциированных с данным пространством обратных спектров.

После того как Мардешичем 15 была построена абстрактная теория шейпов с помощью кома-категорий, возникла необходимость определения и изучения шейповых инвариантов с помощью семейств всех морфизмов из данного объекта категории К в объекты некоторой плотной подкатегории L.

Первые результаты в этом направлении были получены Мардешичем 15, Дыдаком 16, Козловским и Сегалом 17 и другими авторами. В частности, Мардешичу 15 удалось получить критерий плотности подкатегории L в категории К с помощью кома-категорий. Свойство подвижности в этом контексте были изучены в работах Козловского и Сегала17 и П. С. Геворкяна 18. Равномерной подвижности посвящены работы Мощинской 21, И. Поп |9, П. С. Геворкяна и И. Поп 20.

11 Moszinska M., Concerning the Whitehed theorem for movable compacta. Fund. Math. Vol. 92. № l.pp. 43-55,1976.

12 Keesling J., On movability and local connectivity. Lect. Notes Math. № 375. p. 158-167, 1974.

13 Kozlowski G., Segal J., Local behavior and the Vietoris and Whitehead theorems in shape theory. Fund. Math. - 1978. v. 99. - №3. - p. 213-225.

14 Kuperberg K., An isomorphism theorem of the Hurewicz-type in Borsuk's theory of shape. Fund. Math. Vol. 77, № 1, pp 21-32,1972.

Данная диссертация посвящена изучению свойств подвижности, сильной подвижности и устойчивости топологических пространств с помощью гомотопических классов непрерывных отображений из данного пространства в СЖ комплексы. Полученные результаты в основном имеют категорный характер. Они позволили ввести новые понятия в теории категорий и функторов - такие, как относительная подвижность и сильная подвижность категорий.

Цель работы

Целью работы является изучение некоторых шейповых инвариантов, таких, как подвижность, сильная подвижность и устойчивость, с помощью семейства всех гомотопических классов непрерывных отображений из данного топологического пространства (всех морфизмов из данного объекта некоторой категории) в абсолютные окрестностные ретракты (в объекты плотной подкатегории), в частности, получение критериев указанных инвариантов на языке кома-категорий, а также доказательство необходимых и достаточных условий сильной подвижности и устойчивости паракомпактных пространств.

15 Mardesic S., Segal J., Shape theoiy-The inverse system approach, North-Holland, Amsterdam, 1982.

16 Dydak J., Movability and the shape of decomposition spaces. Bull. Acad. Pol. Sci. math. Astron. et phys., 1975, 23, № 5,561-564.

17 Kozlowski G., Segal J., Movability and shape-connectivity. Fund. Math., 1976, 93, № 2, 145-154.

18 Gevorgyan P. S„ Movable categories, Glassnik Mat., 38 (58) (2003), 177-183.

19 Pop I., A Categorical notion of movability, Anal. Sci. University AL. I. CUZA, v.XLIX, (2003), 327-341.

20 Gevorgyan P. S., I. Pop, Uniformly movable categories and uniform movability of topological spaces, Bull. Polish Acad. Sci. Math., 55 (2007), 229-242.

Научная новизна

В диссертации изучение шейповых инвариантов проводится с помощью семейства всех непрерывных отображений из данного пространства в CW -комплексы, не прибегая при этом к традиционным тейповым конструкциям.

Получен критерий подвижности топологических пространств с помощью кома-категорий и стирающих функторов (теорема 2.1),

Доказано необходимое и достаточное условие сильной подвижности топологических пространств с помощью семейств всех гомотопических классов непрерывных отображений из данных пространств в CW -комплексы (теорема 2.2).

Введено понятие сильно подвижной категории и доказана теорема о сильной подвижности топологического пространства (теорема 2.7).

Получен критерий устойчивости топологического пространства (теорема 2.10).

Получена также категорная характеристика этого понятия (теорема 2.11).

Доказаны необходимые и достаточные условия сильной подвижности и устойчивости паракомпактного пространства (теоремы 2.9 и 2.12).

Получен критерий равномерной подвижности в произвольной категории (теорема 3.1).

Доказана теорема о равномерной подвижности топологического пространства (теорема 3.2).

Основные методы исследования

В работе используются методы гомотопической топологии, теории шейпов и спектральной топологии, а также методы теории категорий и функторов_

21 Moszinska ML, Uniformly movable compact spaces and their algebraic properties. Fund.

Math. 1972, 77, №2, 125-144

Апробация результатов

Результаты диссертации докладывались:

• на научно-исследовательском семинаре по общей топологии кафедры общей топологии и геометрии МГУ в 2008-2009 гг.

• на третьей международной конференции посвященной 85-летию Л. Д. Кудрявцева РУДН (Москва 25-28 марта 2008г.).

• на семинаре кафедры математического анализа Московского городского педагогического университета, 2009 г.

Практическая и теоретическая значимость

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть применены при. чтении специальных курсов по теории шейпов и спектральной топологии по теории категории и ее приложений.

Краткое содержание работы

Изложим подробно результаты диссертации по главам. Первая глава носит вспомогательный характер. В ней собраны необходимые в дальнейшем определения и известные результаты теории шейпов. Приведены конструкции теории шейпов, как с помощью ассоциированных обратных спектров, так и с помощью кома-категорий. Приведены так же определения основных шейповых инвариантов: подвижности, сильной подвижности и устойчивости.

Приведена также следующая теорема П. С. Геворкяна 18 о подвижности топологического пространства X, на которой основываются результаты параграфа 2.1.

Теорема 1.4. Топологическое пространство X подвижно тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:

(*) для произвольного С\У-комплекса 2 и любого гомотопического класса /:Х->(2 существуют такой СIV-комплекс 2'> гомотопические классы /':Х (У и ц: 2' б. удовлетворяющие равенству / = г) ° /', что каковы бы не были СЖ- комплекс 0", гомотопические классы /': X -> 2" ы удовлетворяющие равенству / = 77'о существует такой гомотопический класс Т]": 2' 2* < ч,п0 выполняется Т]' ° т{ -ц. Вторая глава состоит из четырех параграфов.

В первом параграфе понятие подвижности, известное ранее в различных конкретных гомотопических категориях, формулируется в терминах абстрактной категории К относительно произвольного ковариантного функтора Ф: К —» Ь.

Определение 2.1. Скажем, что категория К подвижна относительно категории Ь и ковариантного функтора Ф: К —> Ь, если для произвольного объекта X <= К существуют такой объект М(Х)еК и такой морфизм тх е Могх(М(Х),Х}, что для любого объекта У е К и любого морфизма реМогк{У,Х) существует такой морфизм и е Могь

что Ф(р)°и = Ф(тх).

Всюду ниже ЯСЖ обозначена гомотопическая категория С1¥ - комплексов, которая, согласно фундаментальному результату С. Мардешича |5, является плотной подкатегорией гомотопической категории НТор топологических пространств, т.е. для всякого топологического пространства X существует ассоциированный с ним обратный спектр СЖ - комплексов.

Основной результат составляет теорема 2.1, которая по существу является категорной версией упомянутой теоремы П. С. Геворкяна.

Теорема 2.1. Топологическое пространство X подвижно тогда и только тогда, когда кома-категория Wx подвижна относительно категории HCW и стирающего функтора ii:Wx —> HCW.

Напомним, что кома-категорией Wx называется категория стрелок (морфизмов) из фиксированного объекта X категории К, а действие стирающего функтора из кома-категории Wx в какую-то другую категорию состоит в том, что от стрелки (от морфизма) f:X->Q остается только объект-образ Q. Ясно, что стирающий функтор ковариантен.

Второй параграф начинается с предложения 2.2., которое дает технически удобный критерий сильной подвижности топологического пространства. Напомним, что по категории К всегда можно построить так называемую категорию pro-К, объектами которой являются все обратные спектры Х_ из объектов категории К, а морфизмами f'-X_->Y_ являются классы эквивалентности морфизмов обратных спектров ХиК.

Предложение 2.2. Пусть обратный спектр (Хх,ри.,А) категории pro — HCW ассоциирован с пространством X. Топологическое пространство X сильно подвижно тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:

(5Л/) для любого ЛеЛ, существует Л'еЛ, Л'>Л такое, что для любого X" еЛ, Л">Л, существует такой гомотопический класс гхх : Хх -» Хг., что одновременно выполняются равенства

РхгогХ'Х'=Рхх:

Далее исследуется сильная подвижность топологических пространств с помощью CW -комплексов и гомотопических классов непрерывных отображений из топологического пространства X в CW -комплексы.

Основным результатом второго параграфа является следующая теорема.

Теорема 2.2. Топологическое пространство X сильно подвижно тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:

(**) для произвольного С1¥ -комплекса 2 и любого гомотопического класса /:Х ->() существуют такой СЖ-комплекс , гомотопические классы и 7: б' 2. удовлетворяющие равенству / = г)° /', что

каковы бы не были СIV- комплекс О", гомотопические классы /": X —> и т]''-О?><2, удовлетворяющие равенству / = 7'°/", существует такой гомотопический класс т]' —> 0,", что выполняются равенства

Сравнение этой теоремы и теоремы 1.4. дает структурно удобное сопоставление понятий подвижности и сильной подвижности, см. условия (*) и (**). Оказывается, что различие состоит ровно в том, что необходимым и достаточным является добавление условия коммутативности еще одного «треугольника морфизмов».

Если во втором параграфе сильная подвижность была рассмотрена в конкретной категории НТор, то в третьем параграфе изложение начинается с введения общекатегорного понятия сильной подвижности.

Определение 2.3. Категорию К назовем сшьно подвижной, если она подвижна относительно самой себя и тождественного функтора . Иначе говоря, если для произвольного объекта X еК существует такой объект А/(Х) еК и такой морфизм тх е Могк (М(Х),Х^, что для любого объекта УеК и любого морфизма реМогк(У,X) существует такой морфизм иреМогк[м(Х),У), что р°ир=тх.

Первая часть результатов параграфа связана с изучением свойств этого нового понятия, а далее (теоремы 2.7, 2.8) приводятся их приложения в категории НТор.

Сначала доказывается теорема, которая интерпретирует теорему 2.2., как источник для получения множества различных сильно подвижных категорий.

Теорема 2.3. Пусть Q произвольный CW-комплекс. Тогда кома-

категория We является сильно подвижной категорией.

Устанавливается факт, что если К сильно подвижная категория, она подвижна относительно любой категории L и любого функтора Ф: К L.

Также доказывается, что если категория К подвижна относительно категории L и функтора Ф: К —»L и если Ф: К —> L - функторное доминирование, то К сильно подвижная категория.

Касательно произведений категорий получен следующий результат: Теорема 2.5. Произведение категорий К,, i el сильно

leí

подвижно тогда и только тогда, когда сильно подвижны все сомножители К„ ieJ.

Понятие слабого доминирования вводится обычным образом. Категория К функторно слабо доминируется категорией L, если существуют функторы F:K -+L и G'.L-^K композиция которых допускает естественное преобразование в тождественный функтор. Обозначение: K-&L.

Оказывается, что сильная подвижность есть наследственное свойство относительно слабого доминирования.

Теорема 2.6. Пусть K¿¿L. Если категория L- сильно подвижна, то категория К также сильно подвижна.

Из этой теоремы и из того факта, что функторное доминирование является слабым функторным доминированием, вытекает следующее утверждение.

Следствие 2.1. Если категория К функторно доминируется категорией L: К <L и категория L сильно подвижна, то тогда категория К также сильно подвижна.

Главным результатом третьего параграфа, является следующая теорема.

Теорема 2.7. Топологическое пространство X сильно подвижно тогда и только тогда, когда кома-категория ¡Vх сильно подвижна.

Эта теорема позволяет определить сильную подвижность топологических пространств с помощью гомотопических классов непрерывных отображений из данного пространства в СЖ -комплексы.

Рассмотрим топологическое пространство X. Предположим, что X -несвязная топологическая сумма топологических пространств Хг и Хг:

X = Х^ и Х2. Тогда кома-категория объединения слабо доминируется

декартовым произведением соответствующих кома-категорий сомножителей

ЦТ* _ цгХ,»Хг ^ цгХ,

Это соотношение позволяет, основываясь на теоремах 2.5, 2.6, 2.7, доказать следующую теорему.

Теорема 2.8. Если топологическое пространство X имеет конечное число компонент связности и все они сильно подвижны, то X также сильно подвижно.

Теорема 2.9. Паракомпактное пространство X сильно подвижно тогда и только тогда, когда для произвольного открытого покрытия Ы пространства X, существует открытое покрытие V, вписанное в Итак, что для произвольного открытого покрытия И\ вписанное в Ы, существует отображение Л = Ят удовлетворяющее

условию

Л°у — \\>,

где у: X —> (У)[, и*: X -» |ЛГ(УУ)| - канонические отображения.

В пятом параграфе получен критерий устойчивости топологических пространств с помощью гомотопических классов непрерывных отображений из данного пространства в СТУ -комплексы.

Теорема 2.10. Топологическое пространство X устойчиво тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:

(*) существуют СIV комплекс Р и гомотопический класс /:Х—>Р такие, что для произвольного С Ж комплекса <2 и любого гомотопического класса g:X существует единственный

гомотопический класс и2:Р—*() такой, что и^о / = g.

Получен также следующий критерий устойчивости топологического пространства.

Теорема 2.11. Топологическое пространство X устойчиво тогда и только тогда, когда существует инициальный объект в кома-категории .

Паракомпактность здесь существенно для того, чтобы тела нервов покрытий были СIV - комплексами.

В шестом параграфе второй главы, основываясь на теореме 2.10, получен следующий критерий устойчивости паракомпактных пространств.

Теорема 2.12. Паракомпактное пространство X устойчиво тогда и только тогда, когда существует такое открытое покрытие Ы пространства X, что для произвольного открытого покрытия V, существует единственное, с точностью до гомотопии, отображение

такое, что

Лои= V,

где и:Х->и V:X->|ЛТ(У)| - канонические отображения.

Третья глава состоит из единственного параграфа и посвящена изучению еще одного вида подвижности т.н. равномерной подвижности топологических пространств.

Понятие равномерной подвижности в теории шейпов для бикомпактов было введено Мощиньской 2|. На более общие случаи это понятие было распространено Козловским и Сегалом п, И. Поп 19, П.С. Геворкяном и И, Поп20.

Следующее определение15 описывает равномерную подвижность обратных спектров.

Определение 3.1. Обратный спектр Х = (Хх,ри,,А) категории pro-К называется равномерно подвижным, если для, любого А е Л существует т(Л)>Л и морфизм г(Л):Хт^ ->Х в pro-К, удовлетворяющий условию

Рх*г{Х) = рЛт{х),

где рх'-Х_-+ Хг —морфизм категории pro-К, порожденный морфизмом

Из равномерной подвижности обратного спектра следует его подвижность.

Далее понятие равномерной подвижности распространяется и вводится понятие равномерной подвижности объекта категории.

Определение 3.2. Объект X категории К называется равномерно-подвижным, если существует ассоциированный с ним равномерно-подвижный обратный спектр категории pro — Р.

Как и выше, при определении подвижности, сильной подвижности и устойчивости топологических пространств, при определении равномерной подвижности топологических пространств мы прибегаем к семейству всех непрерывных отображений из данного пространства в CW - комплексы.

Определение 3.3. Топологическое пространство X называется равномерно подвижным, если существует ассоциированный с ним равномерно-подвижный обратный спектр категории pro — HCW.

Любое равномерно подвижное топологическое пространство является подвижным. Для метризуемых компактов верно и обратное, однако для произвольных топологических пространств это не верно '5.

Следующая теорема 3.1 дает критерий равномерной подвижности в произвольной категории.

Теорема 3.1. Пусть К — произвольная категория, а Р — ее плотная подкатегория. Объект X е К равномерно-подвижен тогда, и только тогда, когда, выполняются следующие два условия:

1. для произвольного морфизма /: X <2(2 е Р) существует объект и морфизмы ><2', u^.Q'-^Q удовлетворяющие равенству и ° /' = /, такие, что для произвольных морфизмов /":Х

[О" е Р), у:<2" —> 0, Vо/" = f, существует морфизм >2" такой,

что у°г(у) = м

2. для произвольных морфизмов fя: X —> (У" ((?теР) и \v~.Q "—>6", ус ° /" = f" выполняется, равенство и'ог(и') = г(у).

Последняя теорема является ключевым моментом в доказательства следующей важной теоремы,

Теорема 3.2. Топологическое пространство X равномерно-подвижно тогда и только тогда, когда для произвольного непрерывного отображения /:Х-+(?, где ()-произвольный СIV-комплекс, существуют СIV-комплекс <2' и шейповые морфизмы : X 2' и С\ такие, что

Из этой теоремы непосредственно вытекает следующий хорошо известный результат.

Следствие 3.1. Если $Ь(Х)<йИ(()), где <2 -некоторый С}¥-комплекс, то пространство X - равномерно-подвижно. В частности, любой СШ-комплекс ()-равномерно-подвижен.

Поскольку тейповые морфизмы топологических пространств в С1У -комплексы порождаются непрерывными отображениями, то из теоремы 3.2 непосредственно вытекает следующее следствие.

Следствие 3.2. Топологическое пространство X равномерно-подвижно тогда и только тогда, когда для произвольного непрерывного отображения /:Х—>(), где О,-произвольный С\У-комплекс, существуют -комплекс $ и непрерывные отображения /'~.Х—м и:¡2'—►б, удовлетворяющие условию «»/' = /, и шейповый морфизм С\(У X, такой, что <?(/) = «.

Благодарности

Автор глубоко благодарен своим научным руководителям - доктору физико-математических наук, профессору Виталию Витальевичу Федорчуку и доктору физико-математических наук, профессору Павлу Самвеловичу Геворкяну за постановку задач, обсуждение результатов и постоянное внимание к работе.

Автор благодарит участников научно-исследовательского семинара по общей топологии имени П. С. Александрова и всех сотрудников кафедры за обсуждение результатов диссертации.

Публикации

1. Авакян Т. А., Об одном критерии сильной подвижности. Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2009. Вып. 2, с. 5-15.

2. Авакян Т. А., Об одном критерии устойчивости топологических пространств. Тезисы докладов 3-й международной конференции,

посвященной 85-летию чл.-корр. РАН, проф. Л. Д. Кудрявцева, М. : МФТИ, 2008, с. 359-360.

3. Авакян Т. А., Геворкян П. С., О сильной подвижности топологических пространств. Труды 3-й международной конференции, посвященной 85-летию чл.-корр. РАН, проф. Л. Д. Кудрявцева, М. МФТИ: 2008, с. 47-53.

4. Авакян Т. А., Геворкян П. С., Сильно подвижные категории и сильная подвижность топологических пространств. Известия HAH Армении. Математика, том 45, №. 1,2010, с. 12-24.

Подписано в печать ОБ. 7

Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. ¿25 Тираж -/СО экз. Заказ 2 /

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Авакян, Тигран Арамович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ

§ 1.1. Обратные спектры и про-категории.

§ 1.2. Ассоциированные обратные спектры и теория шейпов.

ГЛАВА 2. ПОДВИЖНОСТЬ И СИЛЬНАЯ ПОДВИЖНОСТЬ.

ИХ КАТЕГОРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

§ 2.1. Подвижные категории и подвижность топологических пространств.

§ 2.2. Критерий сильной подвижности.

§ 2.3. Сильно подвижные категории и сильная подвижность топологических пространств.

§ 2.4. Сильная подвижность паракомпактных пространств

§ 2.5. Критерий устойчивости топологических пространств

§ 2.6. Устойчивость паракомпактных пространств.

ГЛАВА 3. РАВНОМЕРНАЯ ПОДВИЖНОСТЬ. ЕЁ

КАТЕГОРНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

§3.1. Критерий равномерной подвижности топологических пространств.

Введение диссертация по математике, на тему "Шейповые инварианты и их категорные характеристики"

Актуальность темы.

Теория шейпов - сравнительно молодая теория в гомотопической топологии, открытая польским топологом К. Борсуком [9]. Она действует там, где обычные гомотопические методы становятся мало пригодными, а именно в тех случаях;, когда локальное (топологическое) строение изучаемых объектов плохое: Если же это не так, например в случае абсолютных окрестностных ретрактов, теория шейпов совпадает с гомотопической теорией и ничего нового не дает.

Однако в настоящее время в самых различных областях математика все чаще и чаще приходится встречаться с объектами, обладающими плохой локальной структурой.

Теория шейпов имеет дело с глобальными топологическими свойствами пространств. Она тесно связана с теорией ретрактов, в частности с теорией так называемых АЫЯ - пространств.

Важным шейповым инвариантом является свойство подвижности топологических пространств. Для метризуемых компактов оно. было введено и изучено Борсуком [9], для бикомпактов - Мардешичем и Сегалом [61].

Класс подвижных пространств существенно шире класса CW -комплексов. Это понятие, в частности^ замечательно тем, что многие классические результаты алгебраической топологии, которые верны для СЖ-комплексов,.втеории шейпов обобщаются для подвижных:пространств. 4

Так обстоит дело с теоремой Уайтхеда в теории шейпов, которая утверждает, что шейповый морфизм ^: X -» У подвижных конечномерных метризуемых континуумов будет шейповой эквивалентностью, если все гомоморфизмы .Р*: тгп (X) яп (7) п -мерных шейповых групп являются изоморфизмами

Мощинская [68], [69], Кисслинг [52]). Причем, свойство подвижности в этой формулировке - существенно (Козловский и Сегал [54]).

Другая важная теорема — теорема Гуревича об изоморфизме в теории шейпов - опять же доказана для подвижных метрических континуумов (Куперберг [57]). Перечень таких фактов можно продолжить. Все они говорят об особой роли подвижности в теории шейпов.

После того как Мардешичем была построена абстрактная теория шейпов с помощью кома-категорий [62], возникла необходимость определения и изучения шейповых инвариантов с помощью семейств всех морфизмов из данного объекта категории К в объекты некоторой плотной подкатегории Ь.

Первые результаты в этом направлении были получены Мардешичем [62], Дыдаком [39], Сегалом [74], Козловским [55] и другими авторами. В частности, Мардешичу удалось доказать критерий плотности подкатегории Ь в категории К с помощью кома-категорий [62]. Свойство подвижности в этом контексте были изучены в работах Дыдака и Сегала [74] и П. С. Геворкяна [49]. Равномерной подвижности посвящены работы И. Поп [71], I

П. С. Геворкяна и И'.' Поп; [48] и П. С. Геворкяна [50].

I • I

Данная* диссертация посвящена изучению» свойств подвижности, сильной подвижности, устойчивости и равномерной подвижность топологических пространств с помощью гомотопических классов непрерывных отображений из данного пространства в СЖ комплексы. Полученные результаты в основном имеют категорный характер. Они позволили ввести новые понятия в теории категорий и функторов — такие, как относительная подвижность и сильная подвижность категорий.

Цель работы

Целью настоящей работы является изучение некоторых шейповых инвариантов, таких как подвижность, сильная подвижность, устойчивость и равномерная подвижность с помощью семейства всех гомотопических классов непрерывных отображений из данного топологического пространства (всех морфизмов из данного объекта некоторой категории) в абсолютные окрестностные ретракты (в объекты плотной подкатегории), в частности получение критериев указанных инвариантов на языке кома-категорий, а также доказательство необходимых и достаточных условий сильной подвижности и устойчивости паракомпактных пространств.

Научная новизна

В диссертации изучение шейповых инвариантов проводится с помощью семейства всех непрерывных отображений из данного пространства в СШ -комплексы, не прибегая при этом к традиционным шейповым конструкциям.

Получен критерий устойчивости топологического пространства (теорема 2.10).

Получена также категорная характеристика этого понятия (теорема 2.11). Доказаны необходимые и достаточные условия сильной подвижности и устойчивости паракомпактного пространства (теоремы 2.9 и 2.12).

Получен критерий равномерной подвижности объекта в произвольной категории (теорема 3.1).

Доказана теорема о равномерной подвижности топологического пространства (теорема 3.2).

Основные методы исследования

При решении рассмотренных в диссертации задач использовались методы гомотопической топологии, теории шейпов и спектральной топологии, а также методы теории категорий и функторов.

Практическая и теоретическая ценность

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть применени при чтении специальных курсов по теории шейпов и спектральной топологии.

Краткое содержание работы

Изложим подробно результаты диссертации по главам. Первая глава носит вспомогательный характер. В ней собраны необходимые в дальнейшем определения и известные результаты, теории шейпов. Приведены конструкции теории шейпов, как с помощью ассоциированных обратных спектров, так и с помощью кома-категорий. Приведены так же определения основных шейповых инвариантов: подвижности, сильной подвижности и устойчивости.

Теорема 1.4. Топологическое пространство X подвижно тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие: для произвольного СIV -комплекса <2 и любого гомотопического класса /: X —» () существуют такой С\¥ -комплекс <2', гомотопические классы р: X —> @ и "П'.^ —>Q, удовлетворяющие равенству / = г] о р) что каковы бы не были С1¥- комплекс О", гомотопические классы /": X —> ()" и ?]''.()"—>£), удовлетворяющие равенству / = г}'°/", существует такой гомотопический класс г\": Q' —> 0", что выполняется г/' о г}" = г}.

Вторая глава состоит из четырех параграфов.

Определение 2.1. Скажем, что категория К подвижна относительно категории Ь и ковариантного функтора Ф\К->Ь, если для произвольного объекта X е.К существуют такой объект М(Х)еК и такой морфизм тх е Могк что для любого объекта УеК и любого морфизма р е Могк существует такой морфизм ием?гл(ф(м(х)),ф(7)), что Ф(р)°и = Ф(тх).

Всюду ниже НО¥ обозначена гомотопическая категория СЖ - комплексов, которая, согласно фундаментальному результату С. Мардешича 15, является плотной подкатегорией гомотопической категории

НТор топологических пространств, т.е. для всякого топологического пространства X существует ассоциированный с ним обратный спектр CW-- комплексов.

Теорема 2.1. Топологическое пространство X подвилсно тогда и только тогда, когда кома-категория Wx подвижна относительно категории HCW и стирающего функтора Q: Wx —» HCW.

Напомним, что кома-категорией Wx называется категория стрелок (морфизмов) из фиксированного объекта X категории К, а действие стирающего функтора из кома-категории ¡Vх в какую-то другую категорию состоит в том, что от стрелки (от морфизма) f:X->Q остается только объект-образ Q. Ясно, что стирающий' функтор ковариантен.

Второй параграф начинается с предложения 2.2., которое дает технически удобный критерий сильной подвижности топологического пространства. Напомним, что по категории К всегда можно построить так называемую категорию pro-К, объектами которой являются все обратные спектры X из объектов категории К, а морфизмами /являются классы эквивалентности морфизмов обратных спектров Х и Y.

Предложение 2.2. Пусть обратый спектр (ХЯ,/?ЯЯ,,Л) категории pro — HCW ассоциирован с пространством Х-. Топологическое пространство X сильно подвижно тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:

SM) для любого ЛеЛ, существует Я' е Л, А' >Л такое, что для любого Л" е Л, Л">Л, существует такой гомотопический класс гл л": Хх —> Хг, что одновременно выполняются равенства

Я'Л" 1'

Рлг ° г =Рлл" Г °Рх=Рг

Далее исследуется сильная подвижность топологических пространств с помощью С1¥ -комплексов и гомотопических классов непрерывных отображений из топологического пространства X в С¡V -комплексы.

Основным результатом второго параграфа является следующая теорема.

Теорема 2.2. Топологическое пространство X сильно подвижно тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие: для произвольного С\¥ -комплекса () и любого гомотопического класса существуют такой СЖ-комплекс (У, гомотопические классы /': X —> (7 и 77: (2 > удовлетворяющие равенству / = 77 о /', что каковы бы не были СЖ- комплекс , гомотопические классы /": X —»<2" и 77'<2, удовлетворяющие равенству / = 77'о существует такой гомотопический класс Т]": Q, —> О", что выполняются равенства

77' о п" = 77,

77%/' = /".

Определение 2.3. Категорию К назовем сильно подвижной, если она подвижна относительно самой себя и тождественного функтора . Иначе говоря, если для произвольного объекта X е К существует такой объект М(Х)еК и такойморфизм тх еМогк(м(Х),Х^, что для любого объекта

У е. К и любого морфизма р е Могк(У,Х) существует такой морфизм ир еМогк[м{Х),¥), что р°ир=тх.

Теорема 2.3. Пусть О произвольный С\¥-комплекс. Тогда комакатегория Ж2 является сильно подвижной категорией.

Устанавливается факт, что если К сильно подвижная категория, она подвижна относительно любой категории Ь и любого функтора Ф: К —> Ь.

Также доказывается, что если категория К подвижна относительно категории Ь и функтора Ф\К->Ь и если Ф: К —»Ь - функторное доминирование, то К сильно подвижная категория.

Касательно произведений категорий получен следующий результат: Теорема 2.5. Произведение категорий /е/ сильно е/ подвижно тогда и только тогда, когда сильно подвижны все сомноэюители

К19 1€/.

Понятие слабого доминирования вводится обычным образом. Категория К функторно слабо доминируется категорией Ь, если существуют функторы ^:К ->Ь и 0:Ь—>К композиция которых допускает естественное преобразование в тождественный функтор. Обозначение: К <Ь.

Оказывается, что сильная подвижность есть наследственное свойство относительно слабого доминирования.

Теорема 2.6. Пусть К<Ь. Если категория Ь- сильно подвижна, то категория К такэюе сильно подвижна.

Следствие 2.1. Если категория К функторно доминируется категорией Ь: К<Ь и категория Ь сильно подвижна, то тогда категория К также сильно подвижна.

Главным результатом третьего параграфа, является следующая теорема.

Теорема 2.7. Топологическое пространство X сильно подвижно тогда и только тогда, когда кома-категория IVх сильно подвижна.

Рассмотрим топологическое пространство X. Предположим, что X — несвязная топологическая сумма топологических пространств Хх и Х2:

X = Хх и12. Тогда кома-категория объединения слабо доминируется декартовым произведением соответствующих кома-категорий сомножителей

Жх = Ж*1"*2 < ¡Vх1 х ЖХ2. Это соотношение позволяет, основываясь на теоремах 2.5, 2.6, 2.7, доказать следующую теорему.

Теорема 2.8. Если топологическое пространство X имеет конечное число компонент связности и все они сильно подвижны; то X также сильно подвижно.

В четвертом параграфе доказывается теорема о сильной подвижности паракомпактных пространств которое является аналогом теоремы Козловского и Сегала (см. 17 ) о подвижности паракомпактных пространств. Теорема 2.9. Паракомпактное пространство X сильно подвижно тогда и только тогда, когда для произвольного открытого> покрытия Ы пространства X, существует открытое покрытие V, вписанное в Ытак, что для произвольного открытого покрытия УУ, вписанное в Ы,

12 существует отображение Я = : -»удовлетворяющее условию

Лоу— где V: X -»: X —> ^(Н7)] - канонические отображения.

В пятом параграфе получен критерий устойчивости топологических пространств с помощью гомотопических классов непрерывных отображений из данного пространства в СЖ -комплексы.

Теорема 2.10. Топологическое пространство X устойчиво тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие: существуют СIV комплекс Р и гомотопический класс /:Х—>Р такие, что ,для произвольного СЖ комплекса <2 и любого гомотопического класса ё'-Х —> <2 существует единственный гомотопический класс и :Р —>(2 такой, что и 0 / = к ■ О

Получен также следующий критерий устойчивости топологического пространства.

Теорема 2.11. Топологическое пространство X устойчиво тогда и только тогда, когда существует инициальный объект в кома-категории IVх.

Паракомпактность здесь существенно для того, чтобы тела нервов покрытий были СЖ — комплексами.

Aou — v, где и: и v: - канонические отображения.

Третья глава состоит из единственного параграфа и посвящена изучению еще одного вида подвижности так называемой равномерной подвижности топологических пространств.

Понятие равномерной подвижности в теории шейпов для бикомпактов было введено Мощиньской. На более общие случаи это понятие было распространено Козловским и Сегалом, И. Поп, П.С. Геворкяном и И, Поп.

Следующее определение описывает равномерную подвижность обратных спектров.

Определение 3.1. Обратный спектр Х = (Хя,ряя.,А) категории pro - К называется равномерно подвиэюным, если для, любого Л е Л существует т(Л)>Л и морфизм —в pro —К, удовлетворяющий условию

РА°г(Л) = рлМл], где рх:Х->Хх —морфизм категории pro —К, порожденный морфизмом V

Из равномерной подвижности обратного спектра следует его подвижность.

Определение 3.3. Топологическое пространство X называется равномерно подвиэюньгм, если существует ассоциированный с ним равномерно-подвижный обратный спектр категории pro — HCW.

Следующая теорема 3.1 дает критерий равномерной подвижности в произвольной категории.

1. для произвольного морфизма f :Х —> 0(0 е Р) существует объект Q'sP и морфизмы f'.X-^Q', u:Q'->Q удовлетворяющие равенству и о f' = f, такие, что для произвольных морфизмов /": X —> Q" v:Q" —>Q, v°f = f, существует морфизм riyY-Q'-^Q" такой, что vor(v) = и

2. для произвольных морфизмов fm:X—>Qm (Q"'eP) и w: Q'" —> Q", f" = f" выполняется, равенство wor(w) = r (v).

Последняя теорема является ключевым моментом в доказательства следующей важной теоремы,

Теорема 3.2. Топологическое пространство X равномерно-подвиэюно тогда и только тогда, когда для произвольного непрерывного отображения f :Х —>Q, где Q-произвольный CW-комплекс, существуют CW-комплекс Q' и шейповые морфизмы F :Х ->Q' и G:Q' -»X такие, что - (FoG)(/>/.

Из этой теоремы непосредственно вытекает следующий хорошо известный результат.

Следствие 3.1. Если ф{Х)<8к{0), где Q-некоторый СЖ -комплекс, то пространство X — равномерно-подвижно. В частности, любой СЖ — комплекс <2 -равномерно-подвижен.

Поскольку шейповые морфизмы топологических пространств в СЖ -комплексы порождаются непрерывными отображениями, то из теоремы 3.2 непосредственно вытекает следующее следствие.

Следствие 3.2. Топологическое пространство X равномерно-подвижно тогда и только тогда, когда для произвольного непрерывного отображения /: X —» О,, где О, -произвольный СЖ -комплекс, существуют СЖ-комплекс <2' и непрерывные отображения и удовлетворяющие условию и°/'~/, и тейповый морфизм С:(2'->Х, такой, что С(/) — и.

Апробация результатов

Результаты диссертации были доложены и обсуждены на заседаниях следующих научных семинаров:

• Научно-исследовательский семинар по общей топологии им. П. С. Александрова кафедры общей топологии и геометрии механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, под руководством профессора В. В. Федорчука, 2008-2009 г.

• Третья международная конференция, посвященная 85-летию Л. Д. Кудрявцева (Москва 25-28 марта 2008г.).

Публикации

2. Авакян Т. А., Геворкян П. С., О сильной подвижности топологических пространств. Труды 3-й международной конференции, посвященной 85-летию чл.-корр. РАН, проф. Л. Д. Кудрявцева, М.: 2008, с. 47-53.

3. Авакян Т. А., Об одном критерии устойчивости топологических пространств. Тезисы докладов 3-й международной конференции, посвященной 85-летию чл.-корр. РАН, проф. Л. Д. Кудрявцева, М. : МФТИ, 2008, с. 359-360.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Авакян, Тигран Арамович, Москва

2. Авакян Т. А., Об одном критерии устойчивости топологических пространств. Тезисы докладов 3-й международной конференции, посвященной 85-летию чл.-корр. РАН, проф. JI. Д. Кудрявцева, М. : МФТИ, 2008, с. 359-360.

3. Авакян Т. А., Геворкян П. С., О сильной подвижности топологических пространств. Труды 3-й международной конференции, посвященной 85-летию чл.-корр. РАН, проф. JI. Д. Кудрявцева, М.: 2008, с. 47-53.

4. Авакян Т. А., Геворкян П. С., Сильно подвижные категории и сильная подвижность топологических пространств. Известия HAH Армении. Математика, том 45, н. 1, 2010, с. 12-24.

5. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., Наука, 1977-368 с.

6. Александров П. С., Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности, М. «Наука», 1973-576 с.

7. Архангельский А. В., В. И. Пономарев, Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М. Наука, 1974 424с.

8. Борсук К., Теория ретрактов, М., Мир, 1971 292 с.

9. Борсук К., Теория шейпов. М. Мир, 1976 192 с.Ю.Букур И., А. Деляну, Введение в теорию категорий и функторов, М. 1972-259 с.П.Геворкян П. С., Об одном критерии подвижности, Матем. Заметки, 71:2 (2002), 311-315.

10. Годеман Р., Алгебраическая топология и теория пучков, Издательство иностранной литературы, М., 1961. 320 с.

11. Келли Дж. Общая топология. М. Наука, 1981. 432с.И.Котанов С. С., Сильная подвижность относительно некоторого класса пространств и отображений. Сообщ. Ан ГрузССР, 1978, 92, № 2, 277-280.

12. Куратовский К., Топология, т. 2, М., Мир, 1969 624с.

13. Кьет А. Н., Равномерно-фундаментальная классификация полных метрических пространств и равномерно-непрерывных отображений, Bull. Ac. Pol. Sc., 23, (1974),55-73.

14. Лефшец С., Алгебраическая топология, ИЛ, М. 1969-503 с.

15. Понтрягин Л. С., Непрерывные группы. М. Едиториал УРСС, 2004-520с.

16. Смирнов Ю. М., Теория шейпов для G-nap. УМН. т. 40, № 2, с. 151-165, 1985.

17. Спеньер Э., Алгебраическая топология, М. «Мир», 1971-693 с.

18. Стинрод Н., Эйленберг С., Основания алгебраической топологии, М. 1958. -405с.

19. Телеман К., Элементы топологии и дифференцируемые многообразия, М., Мир, 1967-392 с.

20. ФедорчукВ. В., Филиппов В. В. Общая топология. Основные конструкции. М. ФИЗМАТЛИТ 2006. 336с.

21. Ху Сы-Цзян, Теория гомотопий, М. Едиторал УРСС, 2004-472с.

22. Хьюзмоллер Д., Расслоенные пространства, М., Мир, 1970. 443с.

23. Шостак А. П., Шейповая эквивалентность в классах компактности, ДАН, 214 (1974), № 1, 67-70.

24. Шостак А. П., Шейпы в классах компактности: ретракты, экстензоры, подвижность. Уч. зап. Латв. Ун-та, 1975, 236, № 1, 108-128.

25. ЭнгелькингР., Общая топология, М. Мир, 1986-752с.

26. Bacon P., Axoimatic shape theory. Proc. Amer. Math. Soc., 1975,53, № 2, 489496.

27. Baladze V.H., On shape theory for fibrations, Bull. Acad. Sci. of Georgian SSR 129, 2 (1988), 269-272.

28. Ball B. J., Inequivalence of the Borsuk and Fox shape theories for non-compact spaces, Notices of the AMS, 1972, A-726.

29. Borsuk K., A note on the theory of shape of compacta, Fund. Math. 67 (1970)i265.278.

30. Borsuk K., On movable compacta, Fund. Math. 66:1 (1969), 137-146.

31. Deleanu A., Hilton P., Generalized shape theory. Lect. Notes Math., 1977, № 609, 56-65.

32. Demers L., On spaces witch have the shape of CW-complexes. Fund. Math., 1975, 90, № 1, 1-9.

33. Dugundji J., An extension of Tietze's theorem, Pacific J. Math. 1 (1951) 353-367.

34. Dydak J., A generalization of cohomotopy groups. Fund. Math., 1975, 90, № 1, 77-98.

35. Dydak J., Jimenez R., Movability in sense of n-shape. Topology and its Applications, 146-147 (2005) 51-56.

36. Dydak J., Movability and the shape of decomposition spaces. Bull. Acad. Pol. Sci. Math. Astron. etphys., 1975, 23, № 5, 561-564.

37. Dydak J., On the Whitehead theorem in pro-homotopy and on a questions of Mardesic, Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math, astonom. Phys. 23 (1975) 775779.V

38. Dydak J. Segal J. Shape theory. Lect. Notes Math. № 688-1978, p. 149.

39. Edwards D. A., Geoghegan R., Stability theorems in shape and pro-homotopy, Trans. Amer. Math. Soc. 222 (1976) 389-403.

40. Edwards D. A., Geoghegan R., The stability problem in shape and a Whitehead theorem in pro-homotopy, Bull, of the Amer. Math. Soc., № 81, 1975, 438-440.

41. Edwards D. A., Geoghegan R., The stability problem in shape, and Whitehead theorem in pro-homotopy, Trans. Amer. Soc. 214 (1975) 261-277.

42. Fox R. H., On shape, Fund Math. 74 (1972), 47-71.

43. Geoghegan R., Elementary proofs of stability theorems in pro-homotopy and shape. Gen. Top. And Appl., 1978, 8, № 3, 265-281.

44. Geoghegan R., Open problems in infinite-dimensional topology. Preprint, 1979, 42 p.

45. Gevorgyan P. S., I. Pop, Uniformly movable categories and uniform movability of topological spaces, Bull. Polish Acad. Sci. Math., 55 (2007), 229-242.

46. Gevorgyan P. S., Movable categories, Glassnik Mat., 38 (58) (2003), 177-183.

47. Gevorgyan Pi S., On movability of topological spaces, Izvest. Nats. Acad. Nauk Arm., Vol. 35, № 3, 2000.1

48. Holsztynskyi W., An extension and axiomatic characterization of the Borsuk's therory of shape, Fund. Math., 70 (1971), 157-168.

49. Keesling J. On movability and local connectivity. Lect. Notes Math. № 375, 158167, 1974.

50. Kozlowski G., Segal J., Locally well-behaved paracompacta in shape theory. Fund. Math. XCV, 1975, 55-71.

51. Kozlowski G., Segal J., Local behavior and the Vietoris and Whitehead theorems in shape theory. Fund. Math. 1978. v. 99. - №3, 213-225.

52. Kozlowski G., Segal J., Movability and shape-connectivity. Fund. Math., 1976, 93, №2, 145-154.

53. Kozlowski G., Segal J., n-movable compacta and ANR-systems. Fund. Math., 1974, 65, №3,235-243.

54. Kuperberg K. An isomorphism theorem of the Hurewicz-type in Borsuk's theory of shape. Fund. Math. Vol. 77, № 1-1972, 21-32.

55. Mardesic S. A non-movable compactum with movable suspension. Bull. Acad. Polon. Sci. Vol. 19, № 12-1971, 1101-1103.

56. Mardesic S., Pairs of compacta and trivial shape, Trans Amer. Math. Soc., 189 (1974), 329-336.

57. Mardesic S., Retracts in shape theory. Glas. Mat., 1971, 6, № 1, 153-163.

58. Mardesic S., Segal J., Movable compacta and ANR-systems, Bull. Acad. Polon.Sci., 18:11 (1970) , 649-654.

59. Mardesic S., Segal J., Shape theory-The inverse system approach, North-Holland, Amsterdam, 1982.

60. Mardesic S., Segal J., Shapes of compacta and ANR systems, Fund. Math. 72 (1971)41-59.

61. Mardesic S., Shapes for topological spaces. Gen. Topol. And Appl., 1973, 3, № 3, 265-282.

62. Mardesic S., Strong movable compacta and retracts, Proc Intern. Symp. Topol. Applic., Budva, 1972,163-166.

63. Morita K., On shapes of topological spaces, Fund. Math., 86 (1975), 251-259.

64. Morita K., The Whitehead theorem in shape theory. Proc. Japan Acad., 1974, 50, №7, 458-461.

65. Moszinska M., Uniformly movable compact spaces and their algebraic properties.Fund. Math. 1972, 77, № 2, 125-144.

66. Moszinska M. Concerning the Whitehed theorem for movable compacta. Fund. Math. Vol. 92. № 1-1976, 43-55.

67. Olendski J., On movability and other similar shape properties, Fund. Math. Vol. 88. №3-1975, 179-191.

68. Pop I., A Categorical notion of movability, Anal. Sci. University AL. I. CUZA, v.XLIX, (2003), 327-341.

69. Porter T., Stability results for topological spaces, Math. Z., 140 (1974), 1-21.

70. Sanders T. J., Shape groups for Hausdorff spaces, Glasnik. Matem., 8, (1973), 297-304.

71. Segal J., Movable shapes, Lect. Notes Math., № 375, 1974, 236-241.

72. Sher R. B., Realizing cell-like maps in Euclidian space, Gener. Topol. Applic., 2, (1972), 75-89.

73. Stramaccia L., Reflective subcategories and dense subcategories, Rend. Sem. Mat.Univ. Padova, Vol. 67 (1982). 77. Watanabe T., On strong movability, Bull. Acad. Sei. Math. Astronom. Phys, 25 (1977), 813-816.