Системы порождающих алгебры инвариантов представлений колчанов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Лопатин Артем Анатольевич

СИСТЕМЫ ПОРОЖДАЮЩИХ АЛГЕБРЫ ИНВАРИАНТОВ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ КОЛЧАНОВ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Омск - 2004

Работа выполнена на кафедре алгебры Омского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Зубков Александр Николаевич

Официальные опоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Бокуть Леонид Аркадьевич

Защита состоится 9 сентября 2004 г. в 15.30 на заседании диссертационного совета К 212.179.01 в Омском государственном университете по адресу: 644077, Омск, пр. Мира, 55-А.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОмГУ

кандидат физико-математических наук, доцент

Князев Олег Викторович

Ведущая организация: Новосибирский государственный

университет

Автореферат разослан 10 им?** 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория инвариантов сформировалась как самостоятельная алгебраическая дисциплина более полутора веков назад под влиянием ряда задач геометрии, алгебры и теории чисел. Ее первоначальльной целью было изучение алгебраических выражений, не меняющихся (или меняющихся определенным образом) при невырожденных линейных заменах переменных. Однако в течение последующего времени и взгляд на основные задачи, и основные методы теории менялись не один раз. Причину этого следует искать в органической связи теории инвариантов с рядом математических дисциплин, все крупные достижения которых давали новые импульсы теории инвариантов. В то же время и сама теория инвариантов стимулировала развитие смежных областей и даже дала начало новым разделам алгебры (коммутативной алгебре и гомологической алгебре). Не слишком упрощая, можно сказать, что с современной точки зрения теория инвариантов — это теория действия алгебраических групп на алгебраических многообразиях. Основы теории инвариантов изложены в книгах ТА Спрингера [9],' Д. Мамфорда и Дж. Фо-гати [34], X. Крафта [4], Э.Б. Винберга и В.Л. Попова [1].

Сформулируем основную проблему теории инвариантов. Все векторные пространства, алгебры, модули будем рассматривать над бесконечным полем К произвольной характеристики р (р = 0,2,3,...). Пусть редуктивная алгебраическая группа G регулярно действует на m-мерном аффинном многообразии М = Кт. Это действие определяет естественное действие G на координатной алгебре K[M]: (д • f)(v) = /(д-1 ■ г), где / е К{М\, geG,veM. Через K[M\G обозначим алгебру инвариантов кольца К[М] относительно действия G. Согласно теореме Гильберта-Нагаты об инвариантах [35],./Г[Л/)С является конечнопорожденной градуированной алгеброй. Однако предложенное Гильбертом доказательство для полей нулевой характеристики, как и доказательство Нагаты для полей положительной характеристики, является неконструктивным. Поэтому основная проблема теории инвариантов — отыскание системы порождающих —

остается открытой. Кроме того, с позиций конструктивной теории инвариантов желательно отыскать не произвольную, а минимальную относительно включения систему порождающих (МСП). Понятно, что расчитывать на удовлетворительное описание системы порождающих в произвольном случае не приходится, поэтому обычно рас-

сматривают более конкретные ситуации.

Представления колчана впервые появились в работе П. Габриэля (27). Важность этого понятия заключается в том, что категория представлений данного колчана эквивалентна категории конечномерных модулей над алгеброй путей, ассоциированной с ним. Поскольку произвольная конечномерная наследственная базисная алгебра над алгебраически замкнутом полем является фактор-алгеброй некоторой алгебры путей подходящего колчана (например, см. главу 3 из [2]), ее конечномерные модули образуют полную подкатегорию категории представлений этого колчана. Произвольное представление колчана является набором из векторных пространств, индексированных вершинами колчана и линейных отображений между ними, ориентированных „вдоль" ребер. Морфизмы представлений — это наборы линейных отображений между одноименно индексированными пространствами, коммутирующие с линейными отображениями самих представлений. Множество представлений колчана фиксированной размерности естественным образом наделяется структурой векторного пространства. Его группа автоморфизмов — это прямое произведение общих линейных групп, действующих на вершинных" пространствах. Понятно, что орбиты этого действия тождественны классам эквивалентных (изоморфных) представлений. Построив ка-тегорный фактор этого действия, т.е. посчитав порождающие алгебры инвариантов, мы сможем разделять, по крайней мере, замкнутые орбиты, соответствующие полупростым представлениям.

Впервые эта задача была решена в важном частном случае колчана с одной вершиной и d петлями. Его пространство представлений размерности п совпадает с пространством d матриц порядка п, на котором СЬ{п) действует диагонально сопряжениями. Соответствующая алгебра инвариантов называется матричной алгеброй инвариантов d матриц п-го порядка и обозначается через Яп4- В случае р = 0 порождающие и определяющие соотношения Яп,а описаны К.С. Сибирским (8), К. Прочези [36] и Ю.П. Размысловым [6]. Проблема нахождения независимого от характеристики подхода к матричной алгебре была поставлена, например, Э. Форманеком в [28]. Значительный прогресс в этой области был достигнут за последние пятнадцать лет: для произвольной характеристики порождающие Кп^ были описаны С. Донкиным [24], а определяющие соотношения — А.Н. Зуб-ковым [11]. Метод этих двух работ базируется на теории модулей с хорошей фильтрацией [23].

Проблема определения МСП алгебры i^d решена К.С. Сибирским [8] для случая р = О, К. Прочези [371 - для р>2и М. Домоко-сом, С.Г. Кузьминым, А.Н. Зубковым [21] — для р = 2. Кроме того, в работе М. Домокоса [20] для поля произвольной характеристики найдены некоторые верхние и нижние границы на максимальную степень элементов из МСП алгебры Rn,d- Для р = 0 С. Абеасис и М. Пит-талуга [14] при помощи компьютера вычислили мощность МСПДз^ при d < 10 и указали алгоритм вычисления этого множества для произвольного числа матриц. В предлагаемой работе найдена МСПЯз^ для произвольного d и произвольной характеристики. Для этих целей был установлен базис ассоциативной относительно свободной алгебры с тождеством над полем произвольной характеристики и, в частности, найдена ее ступень нильпотентности.

Отметим, что проблема определения — ступени ниль-

потентности ассоциативной относительно свободной алгебры c d порождающими и тождеством хп =0 — восходит к теореме Дубнова-Иванова-Нагаты-Хигмана [26, 30]. Эта теорема гласит, чтодляр = 0 или р > п выполнено C{n,d,K) < 2П, т. е. существует верхняя оценка на C(n,d, К), не зависящая от d. Позже для полей нулевой характеристики Ю.П. Размысловым и E.H. Кузьминым [5, 7] были доказаны оценки п(п + 1)/2 < C(n,d,K) < п2 и выдвинута гипотеза, что C(n,d,K) = п(п + 1)/2. Эта гипотеза доказана М.Р. Воган-Ли лишь для случая п < 4 [43], и есть частичный результат И.П. Шестакова и Н. Жукаветц для п = 5 [39]. Для полей положительной характеристики верхнюю оценку на C(n,d,K) предложил А.Я. Белов [16], которую затем усилил А.А Клейн [31]: C(n,d,K) < (1/6)n6dn и C(n,d,K) < l/(m- iy.n"3dm, где m = [n/2).

Согласно лемме Э. Нетер о нормализации содержит однородную систему параметров (ОСП), т.е. такое множество алгебраически независимых однородных элементов, что Rn<d цела над порожденной ими подалгеброй. Как доказал М. Хашимото [29], Rk,d является свободным модулем над подалгеброй, порожденной ОСП. Этим и объясняется важность нахождения ОСП для i?n,d- Работа по изучению ОСП алгебры и ее ряда Гильберта была начата Я. Тераниши. В случае р = 0 он нашел ОСП для Rßt2, /£4,2 [40] и для R24 при d > 2 [41]. На случай р > 0 эти результаты были обобщены в [21]. В данной работе построена ОСП для для поля произвольной характеристики.

Метод работ [24,11] в дальнейшем был успешно применен С. Дон-

киным и А.Н. Зубковым для нахождения порождающих и определяющих соотношений инвариантов представлений произвольных колчанов [25, 13]. В случае р = 0 эти результаты были независимо получены Л. Ли Брюном, К. Прочези [33] и М. Домокосом [19].

Естественным обобщением изложенного выше было бы вычисление полуинвариантов представлений колчанов и переход к другим классическим группам. Первая задача была решена М. Домокосом, А.Н. Зубковым [22] тем же методом, который использовался в работах [24, 25,11,13], и независимо X. Дерксеном, Дж. Вейманом [17,18] — методами теории представлений колчанов. Отметим еще работу А: Скофилда, М. Ван дер Берга [38], решивших эту проблему в случае р = 0. Что касается второй задачи, то первые шаги были сделаны в классической работе К. Прочези [36]. Им были посчитаны матричные инварианты ортогональных и симплектических групп над полем нулевой характеристики. Затем А.Н. Зубковым [12] этот результат был обобщен для почти всех классических групп. Неисследованным остался лишь случай р = 2 для (специальных) ортогональных групп и случай специальной ортогональной группы четной степени во всех характеристиках, кроме нулевой [15]. Основная редукция статьи [12] фактически показывает, что наиболее общая концепция, в рамках которой может быть решена вторая задача, это понятие *-представлений колчана. В явном виде это понятие было сформулировано А.Н. Зубковым в работе [44], где оно названо смешанным представлением. Там же были найдены порождающие инварианты *-представлений колчанов, а также их различных обобщений, включающих ортогональные и симплектические представления симметрических колчанов, недавно введенные X. Дерксеном и Дж. Вейманом [17]. Кроме того, А.Н. Зубковым [45] были найдены определяющие соотношения алгебр инвариантов *-представлений колчанов и намечены приложения к проблеме вычисления определяющих соотношений инвариантов ортогональных и симплектических групп. Диссертантом совместно с А.Н. Зубковым найдена порождающая система алгебры полуинвариантов *-представлений колчанов.

Аналогично заданию алгебры инвариантов K\M\G можно определить алгебру некоммутативных инвариантов Независимо друг от друга Д. Р. Лейн [32] и В.К. Харченко [10] доказали, что для произвольной будет свободной ассоциативной алгеброй над полем К. В отличие от классического случая, алгебра некоммутативных инвариантов не всегда является конеч-

нопорожденной. В случае поля нулевой характеристики критерий конечной порожденное™ К(М)а дает теорема А.Н. Корюкина (31: пусть О — группа линейных преобразований конечномерного пространства М и IV — минимальное подпространство М такое, что К{М)а С К(\\г); тогда К{М)а будет конечнопорожденной алгеброй тогда и только тогда, когда О действует на № как конечная циклическая группа скалярных преобразований В статье Я. Тераниши [42] для конечномерного векторного пространства V были найдены базисы и свободные порождающие алгебр инвариантов

над полем характеристики 0 и доказано, что они не являются конечнопорожденными над К. В диссертации показано, как рассуждения из [42] переносятся на случай поля произвольной характеристики

Цель работы. Над полем произвольной характеристики найти различные системы порождающих матричной алгебры инвариантов третьего порядка, относительно свободной алгебры с тождеством I3 = 0, алгебры полуинвариантов *-представлений колчанов, алгебр инвариантов \

Методика исследования. В качестве методов исследования использовалась теория алгебраических групп, теория модулей с хорошей фильтрацией, метод работы с „формальными" инвариантами и конкомитантами из статей [11, 12, 22, 24, 44, 45], метод композиций для ассоциативных алгебр.

Научная новизна работы. Все результаты диссертации являются новыми. Перечислим основные из них:

1) найден базис относительно свободной алгебры с тождеством I3 =0,

2) найдена минимальная система порождающих матричной алгебры инвариантов третьего порядка;

3) найдена однородная система параметров матричной алгебры инвариантов трех матриц третьего порядка;

4) найдена система порождающих алгебры полуинвариантов *-представлений колчанов;

5) найдены базисы и свободные порождающие алгебр инвариантов К{Зг(У))зцу\ К{ЛТ(У))ЗЦ*\

Все упомянутые результаты относятся к случаю бесконечного поля произвольной характеристики.

Теоретическое и практическое значение. Работа носит теоретический характер. Результаты исследования могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории инвариантов, проводимых в университетах Москвы, Новосибирска, Омска, Лондона, Анн-Арбора (пригород Детройда).

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международных конференциях „Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2002, 2003), Международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского государственного университета и 75-летию кафедры алгебры (Москва, 2004), Международной конференции „Теория представлений и ее приложения" (Швеция, Уппсала, 2004), а также на алгебраическом семинаре ОмГУ.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [46, 47, 48, 49, 50, 51, 52]. Работа [52] выполнена совместно с А.Н. Зубковым при равном участии обеих сторон.

Объем работы. Диссертационная работа изложена на 93 страницах и состоит из введения, четырех глав, разделенных на 23 раздела, и библиографии. Библиография содержит 63 наименования.

Содержание работы

Для формулировки результатов нам понадобятся следующие определения. Напомним, что в качеств остновного поля К берем бесконечное поле характеристикир (р = 0,2,3,...). Все векторные пространства, модули, алгебры рассматриваем над этим полем. Положим N = {0,1,2,...}. Для произвольной Л/^-градуированной алгебры А через Л(Д) обозначим однородную компоненту мультистепени Д = (¿1,... Для .ЛАградуированной алгебры А через А+ обозначим сумму однородных компонент положительной степени. Для краткости мультистепень (3,...,3,2,...,2,1..., 1) будем обозначать через для подходящих

В главе 1 строится базис относительно свободной алгебры с тождеством I3 = 0 над полем произвольной характеристики, которую обозначим через N3^ (теоремы 1.2, 1.3 и утверждение 1.2), и, в частности, устанавливается ее ступень нильпотентности (следствие 1.1).

Запись ад = х, 1...х,1 ...хи обозначает слов®которое получается в результате удаления буквы из слова Для

множества слов М и для слова f через vM обозначим множество {гт| и 6 М}. Если множество М пусто, то полагаем vM = 0. Через xt...xj (i,j 6 Z) обозначим слово x,x,+ix1+2 ■ • .х}, если 1 < г < j, и пустое слово в противном случае. Результат подстановки х, —> и в f обозначим через /|х,—и-

Обозначение 1. Для р = 2,3 и d > 1 рекурсивно определим множество В^ё слов мультистепени \d. Пусть р = 2. Тогда

1)Bi = {xi};

2) для d > 2 положим В[л - ^i{'B1d-i|Ii_I>+i l6j^rr}U {ed,k\ к е 275} U {/d} U {/id,fc| к 6 М} и

, d ф 4 B'j4 U {£2X1X4X3} . d = 4 '

Здесь _

erf,it = Х2 ...Xfc • xi •Xk+i ...xd (d > 2, fc e 2,d);

Id = x2... • XrfXiXd-i (ei > 3); _

= Xfc - xi ...Xk---Xd {d > 3, к 6 3,d). Пусть p = 3. Тогда = {xi};

2) для d > 2 определим BXd = ®i{^i<i-»lZl_Il+lil€T7rr}U

Здесь ed.k = x$...Xk- Xix2 • x*+i ...Xd(d> 3, к 6 3,d). Крюме того, положим Bto = {1}, где 1 обозначает пустое слово.

Обозначение 2. Для р = 3, г, s,Z > 0 определим множество Вз-ч» слов мультистепени Зг19 и множество B3r2»i' слов мультистепени

3r2sl': _

Вртх. = U {Я2г,з,к\к € l,s} (г >0),

Врг+Ц. = U2rxlr+lX2r+2{Bi.\xl^X2T+l%x^x^2r+uie^} и {92r+i,s,fcl *: е 3,s + 1} U {92г+1,а} (г > 0), где

42 r,s,k = "2г-2

(r,S > 1, fc 6 1,5),

92r+l,s,fc = Ц2г'Х2г+Гж2г+3 • ■ ■ Х2т+к'Х2т+\^2т+2-^2т+к+\ • --^r+j+l

(Г > 0, S > 2, fc £ 3,5+ 1),

92r+l,s = и2г-2-Хгг-\Х2гх2г+1х2г-\Х2тХ2г+\-Х2г+2-■■^r+s+l (г > 1, 5 > 0),

U2k — u>i2 ... u>2k-i,2k (к > 1), Щ — это пустое слово, wl} = x'fx^xtxj.

42r,s,k = "2r-2 • ®2г- l^ir " х2т+1 • • • Х2г+к ' x2r- l*2r ' Z2r+fc+1 . . . X2r+S

Положим В3Г2-1« = Дзмч-'1я<->,а.,ег+1,г+»-В качестве примера укажем, что В301. = Bi«, В3гт = {«2г}, В32г+1 = {<?2r+l,o}j В32т+ч = {u2rX2r+lx2r+2^2r+l, <?2r+l,l}.

Теперь мы можем сформулировать основные результаты главы. Теорему 1.2 сформулируем только для случая d> 4.

Теорема 1.2. Пусть р = 2, d > 4.

1. Базисом N3^^) является множество В^л, определенное выше.

2. Базисом iV3i4(213) является множество

&213 ~ {XjXI£2 • • • X« • • • £<¿>£1 • • • X« ...XdXtx\,

x2xjx3 ■ £4 . . . Xd, X3X1X3 • X4 . .. Xd\i e 274}.

Для d> 5 базисом ^V3,d(21d-1) является множество

B211I-1 — {x^xtx2 ...£,... Xd,Xi .. .Xt ... XdXtXi,

X2X1X3 • £4... Xd\г € 2, d}.

3. Для d > 4 балкссш ^V3>d(22ld~2) лелеется множество B2iid-i = {£1X2X3.. .xdjxf^i^s ■ • •Xd}.

4. Для d> 4 базисом N3id(31d_1) является множество B31d-i = {x\x2...xdxi}.

5. Остальные Nd-однородные компоненты N3^ равны нулю.

Теорема 1.3. Пусть р = 3.

1. Приг,з,1 > 0 множествоВ3т-2ч1 является базисом N3^3r2'l').

2. Остальные Nd-однородные компоненты N3td равны нулю.

Следствие 1.1. Пусть d > 1. Тогда

если р = 0 или р > 3, то С(3, d, К) — 6,

еслир = 2, moC(3,d,K) = { J? + 3 ^

если р = 3, то C{3,d, К) - 3d + 1.

Глава 1 состоит из 10 разделов. В разделе 1.1 вводятся обозначения и понятия, необходимые в главе 1. Раздел 1.2 посвящен выведению простейших тождеств алгебры N3^ и определению так называемого канонического вида элементов N3^ В разделе 1.3 исследуются

тождества некоторых однородных компонент алгебры N3^ и определяются гомоморфизмы, которые далее играют важную роль. В разделе 1.5 показано, что в случае р ^2,3 степень нильпотентности .N3,4 постоянна, поэтому базис N34 несложно найти при помощи компьютерной программы, что и было сделано. В разделе 1.6 при помощи метода композиций показывается, что при р = 2,3 для нахождения базиса полилинейной компоненты алгебры N3^ можно ограничиться рассмотрением „малых" d (утверждение 1.3). В разделе 1.7 для р = 2,3 был найден базис полилинейной компоненты N3^ при „малых" d посредством компьютерной программы, а затем этот результат был обобщен на произвольные d (теорема 1.1). Задача построения базисов остальных однородных компонент решена независимо от полилинейного случая при р = 2 в разделе 1.8 и сведена к нему при р = 3 в разделе 1.9. В разделе 1.10 устанавливается свойство коммутативности для некоторых однородных компонент при р = 3, которое необходимо в главе 2 (утверждение 1.4).

В главах 2, 3 будем использовать приведенные ниже определения представлений и *-представлений колчанов.

Колчаном Q = (Qo,Qi) называется ориентированный граф с множеством вершин Qo — {1,...,/} и множеством ребер Qj. Для ребра а через а" обозначим его начало, а через о! — его конец. Рассмотрим набор векторных пространств Е\,... ,£j и обозначим dimEi — ni,...,dimE¡ = щ. Вектор d = (щ,...,n¡) называется вектором размерности. Пусть {1, *} будет группой порядка 2, где символ 1 является единицей группы. Для а € {1,*} и некоторого векторного пространства Е полагаем

Рассмотрим а = (ах,... ,01), где ах... ,а; е {!;*}• Каждому и £ С}о сопоставим Е"и. Пусть ф: (¿о —* С}о будет такой инверсией, что если ф{и) = и, то аи = 1, и если ф(и) ^ и, то а$(и) = *а„. Мы считаем, что с( совместим сф,ъ. именно, для люб оТЬ^^м еемп„ = Иначе говоря, некоторое подмножество вершин разбито на непересекающиеся пары, и вершинам и, V из одной пары соответствуют векторные пространства одинаковой размерности, причем одно из них со звездочкой, а другое — нет; непарным вершинам соответствуют пространства без звездочек.

Обозначим GL(d) = GL{ni) x ... x GL(n¡) и

Для каждой вершины и группа GL{nu) естественным образом действует на векторных пространствах ЕичЕ*. Группа GL{d) действует на М по правилу: для д = (gi,...,g¡) 6 GL(d), (ya)aeQi е м имеем д о (уа)аeQ¡ = (да'Уад~,})аеА. Для всех u € Qo таких, что ф(и) и, заменим подмножители GL(du) у группы GL(d)

на их диагональные подгруппы и получим новую группу G{d, ф). Пространство М вместе с действием на нем группы G(d,ф) называется ¿-мерным пространством *-представлений колчана Q, а элементы М — *-представлениями.

Координатное кольцо аффинного многообразия М является кольцом многочленов

К{М\ = K[xbtJ \beQuie T~F¡¿,j б T^].

Здесь через хь1} обозначена координатная функция на М, отображающая представление Я = (/ia|a G Q\) в (t,j)-btü элемент матрицы hb € Нотк{Еь-,Еь<) — КПь'*Пь" (где изоморфизм определяется выбором базисов пространств Еь«,Еь'). Действие G(d^) на М индуцирует действие G(d, ф) на К[М\ описанным выше способом. Через

К[М}С(^Ф) = {/ 6 К[М\ I g о / = / для всех g 6 G(d, ф)}

обозначим алгебру инвариантов *-представлений колчана Q. Положим 5G(d,0) = G{d^)nSL{n1) х ... х SL[n¡). Через

K[M}SG&V = {fe К[М\ I g о f = f для всех g 6 SG(d, ф)}

обозначим алгебру полуинвариантов *-представлений колчана.

Если au = 1 для всех и е Qo, то алгебра (полу)инвариантов *-представлений колчана Q является алгеброй (полу)инвариантов представлений колчана.

Как уже отмечалось, Rn¡í¡ — матричная алгебра инвариантов — это алгебра инвариантов представлений колчана, состоящего из d петель и одной вершины, которой соответствует векторное пространство размерности п. Другими словами, Rn¡d можно определить следующим образом. Рассмотрим кольцо полиномов Kn,d = \i,j £

1,тг, г 6 1,г] и определим на нем действие а,п(К). Для этого общие матрицы порядка п обозначим через .XV = (ачДг)) (г € 1,с$)

и положим д оху(г) равно (г,^)-ому элементу м а т р 9~ц>ы<г д е д € СЬп(К). Тогда алгебра Яп,<1 состоит из элементов кольца полиномов КП4, которые д е й с т ¿3£й£К)т а в л я е т на месте. Пусть &к(А) будет коэффициентом при Хп~к у характеристического многочлена матрицы А € Мп{К), т. е. с1е1(АЕ-Л) = Ап-СТ1(Л)А"-1 + ...+ (—1)псп(Л). Здесь через обозначена единичная матрица. Известно, что Я„,</ порождается всеми элементами видаоч^Х;, ...Л"^) |24].

Глава 2 посвящена алгебре Яг,л, а именно, нахождению МСП алгебры В.з,<1 при произвольном d (теорема 2.1) и установлению ОСП алгебры #3,3 (теорема 2.2).

Пусть Вд будет базисом /^¿(Д) из утверждения 1.2 и теорем 1.2, 1.3. Для слова и от букв хь...,ха через 1г(и) обозначаем и((/) е Яз.л, где U получается из и заменой х^ на Xг €

Теорема 2.1. Для мультистепени А = (5Ь... где5\ > ... > 8Л,

для остальных мулътистепеней А положим Сд = 0;

если Д~= З2*, к > 0, ог_Д = Зб*+1, Л > 0, то Сд = Ми)| и € Вй}, для остальных мулътистепеней А положим С?д = 0.

где объединение берется по всем наборам ¿х > .,. > <5^1 > 0 и перестановкам а € является минимальной системой порождающих алгебры Яз^.

Теорема 2.2. Множество

где «1, «2, 01, /?2) 7 — ненулевые элементы К и оц + 01 + агДг Ф О,

является однородной системой параметров

Глава 2 состоит из 5 разделов. В разделе 2.1 вводятся необходимые определения и формулируется теорема Прочези-Размыслова. В разделе 2.2 описывается связь между МСП алгебры Яп^ и базисами алгебры Кроме того, для р = 3 в разделе 2.3 пришлось изу-

чить соотношения фактора Яз^ = Из,л/(Я£л)2- В разделах 2.4, 2.5 формулируются и доказываются упомянутые теоремы 2.1, 2.2.

В главе 3 строится система порождающих алгебры полуинвариантов *-представлений колчанов.

В разделе 3.1 вводятся необходимые определения (в том числе и определение *-представлений колчана) и формулируются некоторые вспомогательные результаты.

Раздел 3.2 посвящен определению функции БР от тройки матриц, которая представляет собой смесь детерминанта и двух пфаф-фианов. Дадим это определение. Пусть 4,г > 0. Для (4+2$) х (4+2г) матрицы X — (хч), (¿+2з) х (4+2з) матрицы У = (уч) и (4 + 2г) х (4 + 2г) матрицы Z = (гц) определим ф у н кЕЦда,,^^'^^) о р а я равна

г » г

^ Sgn(CГ)Sgn('Г)ГIX'IW.т(^)П!/<'(f+J)^<'ít+í+^)П'гт(t+it)•■r(f+'•+«:)•

се51+з. тевц-аг »=1 3=1

где а = 1/4Ыг!. Несложно видеть, что это определение корректно над полем произвольной характеристики.

Далее в разделе 3.2 изучаются некоторых комбинаторные свойства функции БР и, в частности, доказывается следующая лемма.

Лемма 3.4. Пусть gбудет (4 + 2з) х (4 + 2«) матрицей и А — (4 +

2г) х (4 + 2г) матрицей. Тогда

а) БР 1,..т(дХ,дГдт,г) = с!с1(з)0Р(,в,г(*,^);

б) бр,,.,г(*Л.У,Ат2А) = (к^лрр^^пг).

В разделе 3.3 осуществляется редукция общей задачи к случаю так называемых зигзаг-колчанов, являющихся частным случаем двудольных колчанов. Доказывается, что полуинварианты *-представлений произвольного колчана накрываются полуинвариантами *-представлений некоторого зигзаг-колчана, и указывается алгоритм его построения (теорема 3.1).

Разделы 3.4, 3.5 посвящены поиску системы порождающих полуинвариантов *-представлений зигзаг-колчана. Существует естественный способ построения некоторых полуинвариантов *-представлений: специальным образом строятся тройки блочных матриц, при этом в качестве блоков используются компоненты пространства *-представ-лений колчана. Частичные линеаризации значений функции БР от построенных троек блочных матриц являются полуинвариантами *-представлений колчана. В разделе 3.4 сформулирована и доказана в разделе 3.5 теорема 3.2, утверждающая, что все полуинварианты *-представлений колчана лежат в линейной оболочке построенных полуинвариантов *-представлений.

Пусть V будет конечномерным векторным пространством и пусть SL(V) диагонально действует на симметрической степени 5Г(К) и на внешней степени В главе 4 результаты из статьи [42] перено-

сятся на случай поля положительной характеристики, а именно находятся базисы и свободные порождающие алгебр некоммутативных инвариантов К(3Г(У))5^У\ К{Лг(V))5над полем К и показывается, что они не являются конечнопорожденными над К (утверждения 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6).

Список литературы

[1] Винберг Э.Б., Попов В.Л. Теория инвариантов // Итоги науки и техн. Соврем, проблемы матем. Фундам. напр. ВИНИТИ. 1989. Т. 55. С. 137-309.

[2] Дрозд Ю.А., Кириченко В.В. Конечномерные алгебры. Киев, 1980.

[3] Корюкин А.Н. О некоммутативных инвариантах редуктивных групп // Алгебра и логика. 1984. Т. 23. N 4. С. 419-429.

[4] Крафт X. Геометрические методы в теории инвариантов. М.: Мир, 1987.

[5] Кузьмин Е.Н. О теореме Нагаты Хигмана // Математические структуры — Вычислительная математика — Математиеское моделирование. Сборник трудов, посвященных шестидесятилетию академика Л.Г. Илиева. София, 1975. С. 101-107.

[6] Розмыслов Ю.П. Тождества со следом в полной матрчной алгебре над полем характеристики 0 // Изв. АН. Сер. Мат. 1974. Т. 38. N 4. С. 723-756.

[7] Розмыслов Ю.П. Тождества алгебр и их представлений. М.: Наука, 1989.

[8] Сибирский К.С. Алгебраические инвариантные системы матриц // Сиб. мат. журн. 1968. Т. 9. N 1. С. 152-164.

[9] Спрингер Т.А. Теория инвариантов. М.: Мир, 1981.

[10] Харченко В. К. Алгебра инвариантов свободных алгебр // Алгебра и логика. 1978. Т. 17. С. 478-487.

[11] Зубков А.Н. Об одном обобщении теоремы Прочези-Размыслова // Алгебра и Логика. 1996. Т. 35. N 4. С. 433-457.

[12] Зубков А.Н. Инварианты присоединенного действия классических групп // Алгебра и Логика. 1999. Т. 38, N 5. С. 549-584.

[13] Зубков А.Н. Теорема Прочези-Размыслова для колчанов // Фундам. и прикл. мат. 2001. Т. 7. N 2. С. 387-421.

[14] Abeasts 5., Pittaluga М. On a minimal set of generators for the invariants of 3 x 3 matrices // Comm. Algebra. 1989. V. 17. P. 487499.

[15] Aslaksen H., Tan E.-C, Zho C.-B. Invariant theory of special orthogonal groups // Preprint N 516. National Univ. of Singapore. 1992.

[16] Belov A.J. Some estimations for mlpotencc of mll-algcbias over a field of an arbitrary characteristic and height theorem // Comm. Algebra. 1992. V. 20. P. 2919-2922.

[17] Derksen #., Weyman J. On the Littlewood-Richardson polynomials: Preprint. 1999.

[18] Derksen #., Weyman J. Semi-invariants of quivers and saturation for Littlewood-Richardson coefficients // J. Amer. Math. Soc. 2000. V. 13. P. 467-479.

[19] Domokos M. Invariants of quivers and wreath products // Comm. Algebra. 1998. V. 26. P. 2807-2819.

[20] Domokos M. Finite generating system of matrix invariants // Math. Pannon. 2002. V. 13. N 2. P. 175-181.

[21] Domokos M, Kuzmin S.G., Zubkov A.N. Rings of matrix invariants in positive characteristic // J. Pure Appl. Algebra. 2002. V. 176. P. 61-80.

[22] DomokosM, Zubkov A.N. Semi-invariants of quivers as determinants // Trans, groups. 2001. V. 6. N 1. P. 9-24.

[23] Donkin S. Rational representations of algebraic groups: tensor products and filtarations // Lecture Notes in Math. Springer, 1985. V. 1140.

[24] Donkin S. Invariants of several matrices // Invent. Math. 1992. V. 110. P. 389-401.

[25] Donkin S. Polynomial invariants of representatins of quivers // Comment. Math. Helvetici. 1994. V. 69. P. 137-141.

[26] Dubnov J., Ivanov V. Sur l'abaissement du degre des polynomes en affineurs // C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N. S.). 1943. V. 41. P. 95-98 (French).

[27] Gabriel P. Unzerlegbare Darstellungen I // Manuscr. Math. 1972. V. 6. P. 71-103.

[28] Formanek E. The polynomial identities and invariants o f n x n matrices // American Math. Soc. Regional Conference series in Mathematics. 1991. V. 78. Providence, RI.

[29] Hashimoto M. Good filtrations of symmetric algebras and strong F-regularity of invariant subrings // Math. Z. 2001. V. 236. P. 605623.

[30] Higman G. On a conjecture of Nagata // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1956. V. 52. P. 1-4.

[31] Klein A. A. Bounds for indices of nilpotency and nility // Arch. Math. (Basel). 2000. V. 76. P. 6-10.

[32] LaneD.R. Free algebras ofrank two and their automorphisms. Ph.D. thesis. Betford College. London, 1976.

[33] Le Bruyn L., Procesi C, Semi-simple representations of quivers // Trans. Amer. Math. Soc. 1990. V. 317. P. 585-598.

[34] Mumford D.t Fogarty J. Geometric invariant theory. 2nd enlarged edition. Ergebnisse 34. Springer, 1982.

[35] Nagata M. Invariants of a group in an affine ring // J. Math. Kyoto Univ. 1964. V. 3. P. 369-377.

[36] Procesi C The invariant theory ofnxn matrices // Adv. Math. 1976. V. 19. P. 306-381.

[37] Procesi C Computing with 2x2 matrices // J. Algebra. 1984. V. 87. P. 342-359.

[38] Schofield A., Van den Bergn M. Semi-invariants of quivers for arbitrary dimension vectors // To appear in Indag. Math.

[39] Shestakov I.P., Zhukavets N. On associative algebras satisfying the identity x5 = 0 // Algebra and Discrete Mathematics. 2004. N 1. P. 112-120.

[40] Teranishi Y. The ring of invariants of matrices // Nagoya Math. J. 1986. V. 104. P. 149-161.

[41] Teranishi Y. The Hilbert series of rings of matrix concomitants // Nagoya Math. J. 1988. V. 111. P. 143-156.

[42] Teranishi Y. Noncommutative classical invaiant theory // Nagoya Math. J. 1988. V. 112. P. 153-169.

[43] Vaughan-Lee M.R. An algorithm for computing graded algebras // J. Symbolic Comput. 1993. V. 16. P. 345-354.

[44] Zubkov A.N. Invariants of mixed representations of quivers I // To appear in Journal of Algebra and its Applications.

[45] Zubkov A.N. Invariants of mixed representations of quivers II // To appear in Journal of Algebra and its Applications.

Работы автора по теме диссертации

[46] Лопатин А.А. Некоммутативные инварианты в случае поля простой характеристики // Вестник ОмГУ. 2002. Т. 23. N 1. 19-21.

[47] Lopatin A.A. The algebra of invariants of 3 x 3 matrices over a field of arbitrary characteristic // Comm. Algebra. 2004. V. 32. N 7. 2863-2883.

[48] Лопатин А.А. Кольцо инвариантов трех матриц третьего порядка над полем простой характеристики // Сиб. мат. журн. 2004. Т. 45. N 3. С. 624-633.

[49] Lopatin A.A. On a relatively free associative algebra with the identity x3 = 0 // International Algebraic Conference dedicated to the 250th anniversary of Moscow State University and the 75th anniversary of the Department of Algebra. Abstracts. Moscow State Univ. 2004. P. 228-229.

[50] Lopatin A.A., Zubkov A.N. Semi-invariants of mixed representations of quivers // International Conference Representational Theory and Its Applications" — a satellite conference to the Fourth European Congress of Mathematic. Abstracts. Uppsala Univ. 2004. P. 38.

[51] Lopatin A.A. Relatively free algebras with the identity x3 = Q Preprint N 04-09. Omsk State Univ. 2004. 43 pp.

[52] Зубков A.IL, Лопатин А.А. Полуинварианты *-предстал ений колчанов: Препринт N 04-08. Омск: Омск. гос. ун-т, 2004. 26 с.

Подписано в печать 20.07.2004 г. Формат бумаги 60x84 1/16. Печ. л. 1,25. Уч.-изд. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ № 390.

Издательско-полиграфический отдел ОмГУ 644077, г. Омск- 77, пр. Мира, 55а, госуниверситет

IM 4 2 9 7

Введение

1. Относительно свободная алгебра с тождеством .х^О

1.1. Определения и обозначения.

1.2. Замечания о работе с тождествами.

1.3. Тождества некоторых однородных компонент.

1.4. Случай рфО, ¿ФЗ.

1.5. Случай р=0 илир>3.

1.6. Метод композиций.

1.7. Полилинейная однородная компонента

1.8. Случай/т=2.

1.9. Случай/7=3.

1.10.Свойство коммутативности однородной компоненты мультисте-пени (3,3,.,3) при р=3.

2. Матричная алгебра инвариантов 3-го порядка

2.1. Порождающие и определяющие соотношения.

2.2. Вспомогательные результаты

2.3. Случай характеристики равной 2.4. Минимальная система порождающих.

2.5. Однородная система параметров для трех матриц.

3. Полуинварианты '-представлений колчанов

3.1. Предварительные сведения

3.1.1. Обозначения и некоторые замечания.

3.1.2. *-представления колчанов

3.1.3. Распределения множеств и подгруппы Юнга.

3.2. Опредление и свойства БР.

3.3. Сведение случая произвольного колчана к зигзаг-колчану.

3.4. Полуинварианты ""-представлений зигзаг-колчанов.

3.5. Доказательство теоремы

4. Некоммутативные инварианты

4.1. Предварительные сведения и определения.

4.2. Алгебра инвариантов симметрической степени

4.3. Алгебра инвариантов внешней степени.

Настоящая диссертация посвящена вопросам, связанным с построением систем порождающих некоторых алгебр инвариантов.

Теория инвариантов сформировалась как самостоятельная алгебраическая дисциплина более полутора веков назад под влиянием ряда задач геометрии, алгебры и теории чисел. Ее первоначальной целью было изучение алгебраических выражений, не меняющихся (или меняющихся определенным образом) при невырожденных линейных заменах переменных. Однако в течение последующего времени и взгляд на основные задачи, и основные методы теории менялись не один раз. Причину этого следует искать в органической связи теории инвариантов с рядом математических дисциплин, все крупные достижения которых давали новые импульсы теории инвариантов. В то же время и сама теория инвариантов стимулировала развитие смежных областей и даже дала начало новым разделам алгебры (коммутативной алгебре и гомологической алгебре). Не слишком упрощая, можно сказать, что с современной точки зрения теория инвариантов — это теория действия алгебраических групп на алгебраических многообразиях. Основы теории инвариантов изложены в книгах Спрингера [15], Мамфорда и Фогати [50], Крафта [8], Винберга и Попова [1].

Сформулируем основную проблему теории инвариантов. Все векторные пространства, алгебры, модули будем рассматривать над бесконечным полем К произвольной характеристики р (р = 0,2,3,.). Пусть редуктивная алгебраическая группа б? регулярно действует на т-мерном аффинном многообразии V = Кт. Это действие определяет естественное действие С? на координатной алгебре К\У\: (д • /)(ь) = /(д'1' где / е КЩ д € С, V е V. Через К\у)° обозначим алгебру инвариантов кольца К\у] относительно действия (7. Согласно теореме Гильберта-Нагаты об инвариантах [51], К[У]° является конечно порожденной градуированной алгеброй. Однако предложенное Гильбертом доказательство для полей нулевой характеристики, как и доказательство Нагаты для полей положительной характеристики, является неконструктивным. Поэтому основная проблема теории инвариантов — отыскание системы порождающих К[У]° — остается открытой. Кроме того, с позиций конструктивной теории инвариантов желательно отыскать не произвольную, а минимальную относительно включения систему порождающих (МСП). Понятно, что рассчитывать на удовлетворительное описание системы порождающих в произвольном случае не приходится, поэтому обычно рассматривают более конкретные ситуации.

Представления колчана впервые появились в работе Габриэля [36]. Важность этого понятия заключается в том, что категория представлений данного колчана эквивалентна категории конечномерных модулей над алгеброй путей, ассоциированной с ним. Поскольку произвольная конечномерная наследственная базисная алгебра над алгебраически замкнутом полем является фактор-алгеброй некоторой алгебры путей подходящего колчана (например, см. главу 3 из [2]), ее конечномерные модули образуют полную подкатегорию категории представлений этого колчана. Произвольное представление колчана является набором из векторных пространств, индексированных вершинами колчана, и линейных отображений между ними, ориентированных „вдоль" ребер. Морфизмы представлений — это наборы линейных отображений между одноименно индексированными пространствами, коммутирующие с линейными отображениями самих представлений. Множество представлений колчана фиксированной размерности естественным образом наделяется структурой векторного пространства. Его группа автоморфизмов — это прямое произведение общих линейных групп, действующих на „вершинных" пространствах. Понятно, что орбиты этого действия тождественны классам эквивалентных (изоморфных) представлений. Построив категорный фактор этого действия, т.е. посчитав порождающие алгебры инвариантов, мы сможем разделять, по крайней мере, замкнутые орбиты, соответствующие полупростым представг лениям.

Впервые эта задача была решена в важном частном случае колчана с одной вершиной и й петлями. Его пространство представлений размерности п совпадает с пространством с? матриц п-ого порядка, на котором £Х(п) действует диагонально сопряжениями. Соответствующая алгебра инвариантов называется матричной алгеброй инвариантов п-го порядка и обозначается через В случае р — 0 порождающие и определяющее соотношения Яп^ описаны Сибирским [14], Прочези [53] и Размысловым [12]. Проблема нахождения независимого от характеристики подхода к матричной алгебре была поставлена, например, Форманеком в [38]. Значительный прогресс в этой области был достигнут за последние пятнадцать лет: для произвольной характеристики порождающие были описаны Донкиным [32], а определяющие соотношения — Зубковым [3]. Метод этих работ базируется на теории модулей с хорошей фильтрацией [30].

Проблема определения МСП алгебры Дг,«* решена Сибирским [14] для случая р = 0, Прочези [54] — для р > 2 и Домокосом, Кузьминым, Зубковым [28] — для р = 2. Кроме того, в работе Домокоса [27] для поля произвольной характеристики найдены некоторые верхние и нижние границы на максимальную степень элементов из МСП алгебры Ип4- Для р — 0 Абеасис и Питталуга [18] при помощи компьютера вычислили мощность МСП Яз^ при <1 < 10 и указали алгоритм вычисления этого множества для произвольного числа матриц. В предлагаемой работе найдена МСП Иг,а для произвольного в, и произвольной характеристики. Для этих целей был установлен базис ассоциативной относительно свободной алгебры с тождеством хг = 0 над полем произвольной характеристики и, в частности, найдена ее ступень нильпотентности.

Отметим, что проблема определения С(п,с1,К) — ступени нильпотентности ассоциативной относительно свободной алгебры с д. порождающими и тождеством хп = 0 — восходит к теореме Дубнова-Иванова-Нагаты-Хигмана [35, 40], утверждающей, что для р — 0 или р > п выполнено С{п,(1,К) < 2п, т. е. существует верхняя оценка на С(п, ¿, К), не зависящая от в,. Позже для полей нулевой характеристики Размысловым и Кузьминым [9, 13] были доказаны оценки п(п + 1)/2 < С(п,с?,/С) < п2 и выдвинута гипотеза, что С(п,<1,К) — п(п+1)/2. Эта гипотеза доказана Воган-Ли лишь для случая п < 4 [60], и есть частичный результат Шестакова и Жукаветц для п = 5 [56]. Для полей положительной характеристики верхнюю оценку на С(п,с1,К) предложил Белов [22], которую затем усилил Клейн [42]: С(п,ё,К) < (1/6)п6сГ и С(п, й, К) < 1/{т - 1)! пл3бГ, где т = [я/2].

Согласно лемме Нетер о нормализации В^^ содержит однородную относительно градуировки натуральными числами систему параметров (ОСП), т.е. такое множество алгебраически независимых однородных элементов, что Яп^ цела над порожденной ими подалгеброй. Как доказал Хашимото [39], Ип,<1 является свободным модулем над подалгеброй, порожденной произвольной ОСП. Этим и объясняется важность нахождения ОСП для Яп4- Работа по изучению ОСП алгебры Кпд и ее ряда Гильберта была начата Тераниши. В случае р = 0 он нашел ОСП для #з,2 > #4,2 [57] и для Е.24 при (I > 2 [58]. На случай р > 0 эти результаты были обобщены в [28]. В данной работе построена ОСП для Яз,з для поля произвольной характеристики.

Метод работ [32, 3] в дальнейшем был успешно применен Донкиным и Зубковым для нахождения порождающих и определяющих соотношений инвариантов представлений произвольных колчанов [34, 5]. В случае р = О эти результаты были независимо получены Ли Брюном, Прочези [44] и Домокосом [26].

Естественным обобщением изложенного выше было бы вычисление полуинвариантов представлений колчанов и переход к другим классическим группам. Первая задача была решена Домокосом, Зубковым [29] тем же методом, который использовался в работах [32, 34,3, 5], и независимо Дерксеном, Вейманом [24, 25] — методами теории представлений колчанов. Отметим еще работу Скофилда, Ван дер Берга [55], решивших эту проблему в случае р — 0. Что касается второй задачи, то первые шаги были сделаны в классической работе Прочези [53]. Им были посчитаны матричные инварианты ортогональных и симплектических групп над полем нулевой характеристики. Затем Зубковым [4] этот результат был обобщен для почти всех классических групп. Неисследованным остался лишь случай р = 2 для (специальных) ортогональных групп и случай специальной ортогональной группы четной степени всех характеристик, кроме нулевой [21]. Основная редукция статьи [4] фактически показывает, что наиболее общая концепция, в рамках которой может быть решена вторая задача, это понятие »-представлений колчана. В явном виде это понятие было сформулировано Зубковым в [62] под именем смешанного представления. Там же были найдены порождающие инварианты *-представлений колчанов, а также их различных обобщений, включающих ортогональные и симплектические представления симметрических колчанов, недавно введенные Дерксеном и Вейманом [24]. Кроме того, Зубковым [63] были найдены определяющие соотношения алгебр инвариантов ^-представлений колчанов и намечены приложения к проблеме вычисления определяющих соотношений инвариантов ортогональных и симплектических групп. Диссертантом совместно с Зубковым была найдена порождающая система алгебры полуинвариантов ♦-представлений колчанов.

Аналогично определению алгебры инвариантов К[У]° можно определить алгебру некоммутативных инвариантов К(у)°. Независимо друг от друга Лейн [43] и Харченко [17] доказали, что для произвольной С < К(у)с будет свободной ассоциативной алгеброй над полем

К. В отличие от классического случая, алгебра некоммутативных инвариантов не всегда является конечно порожденной. В случае поля нулевой характеристики критерий конечной порожденности К(У)° дает теорема Корюкина [7]: пусть С — группа линейных преобразований конечномерного пространства V и IV — минимальное подпространство V такое, что К{У)° С К(\У); тогда К{У)° будет конечно порожденной алгеброй тогда и только тогда, когда С действует на IV как конечная циклическая группа скалярных преобразований. Пусть V будет конечномерным векторным пространством и пусть 5£(У) диагонально действует на симметрической степени 5Г(К) и на внешней степени ЛГ(У"). В статье Тераниши [59] были найдены базисы и свободные порождающие алгебр инвариантов К{Бг(У))3^у\ К{АГ(У))ЗЬ^ над полем характеристики 0 и доказано, что они не являются конечно порожденными над К. В диссертации показано, как рассуждения из [59] переносятся на случай поля произвольной характеристики.

Опишем содержание диссертации по главам.

В главе 1 строится базис относительно свободной алгебры с тождеством аг3 = 0 над полем произвольной характеристики, которую обозначим через (теоремы 1.2,1.3 и утверждение 1.2), и, в частности, устанавливается ее ступень нильпотентности (следствие 1.1). В разделе 1.1 вводятся обозначения и понятия, необходимые в главе 1. Раздел 1.2 посвящен выведению простейших тождеств алгебры Л^ и определению так называемого канонического вида элементов N3^. В разделе 1.3 исследуются тождества некоторых однородных компонент алгебры N3^ и определяются гомоморфизмы, которые далее играют важную роль. В разделе 1.5 показано, что в случае р ^ 2,3 степень нильпотентности N3,4 постоянна, поэтому базис N3^ несложно найти при помощи компьютерной программы, что и было сделано. В разделе 1.6 метод композиций приспосабливается к данной ситуации и показывается, что при р = 2,3 для нахождения базиса полилинейной компоненты алгебры N3^ можно ограничиться рассмотрением „малых" в, (утверждение 1.3). В разделе 1.7 для р = 2,3 был найден базис полилинейной компоненты ТУз^ при „малых" ё посредством компьютерной программы, а затем этот результат был обобщен на произвольные <1 (теорема 1.1). Задача построения базисов остальных однородных компонент решена независимо от полилинейного случая при р= 2 в разделе 1.8 и сведена к нему при р — 3 в разделе 1.9. В разделе 1.10 устанавливается свойство коммутативности для некоторых однородных компонент N3^ при р = 3, которое необходимо в главе 2 (утверждение 1.4).

Глава 2 посвящена алгебре Яз^ — матричной алгебре инвариантов третьего порядка. А именно, находится МСП алгебры Яз4 при произвольном (1 (теорема 2.1) и устанавливается ОСП алгебры Яз$ (теорема 2.2). В разделе 2.1 вводятся необходимые определения и формулируется теорема Прочези-Размыслова. В разделе 2.2 описывается связь между МСП алгебры Яп4 и базисами алгебры Л^. Кроме того, для р = 3 в разделе 2.3 пришлось изучить соотношения фактора по квадрату подалгебры, состоящей из суммы однородных компонент положительной степени. В разделах 2.4, 2.5 формулируются и доказываются упомянутые теоремы 2.1, 2.2»

В главе 3 строится система порождающих алгебры полуинвариантов »-представлений колчанов.

В разделе 3.1 вводятся необходимые определения (в том числе и определение »-представлений колчана) и формулируются некоторые вспомогательные результаты.

Раздел 3.2 посвящен определению функции БР от тройки матриц, которая представляет собой смесь детерминанта и двух пфаффианов, и изучению некоторых ее комбинаторных свойств (лемма 3.4).

В разделе 3.3 осуществляется редукция общей задачи к случаю так называемых зигзаг-колчанов, являющихся частным случаем двудольных колчанов. Доказывается, что полуинварианты Непредставлений произвольного колчана накрываются полуинварианта^ ми »-представлений некоторого зигзаг-колчана, и указывается алгоритм его построения (теорема 3.1).

Разделы 3.4, 3.5 посвящены поиску системы порождающих полуинвариантов *-представлений зигзаг-колчана. Существует естественный способ построения некоторых полуинвариантов »-представлений: специальным образом строятся тройки блочных матриц, при этом в качестве блоков используются компоненты пространства представлений колчана. Частичные линеаризации значений функции БР от построенных троек блочных матриц являются полуинвариантами непредставлений колчана. В разделе 3.4 сформулирована и доказана в разделе 3.5 теорема 3.2, утверждающая, что все полуинварианты непредставлений колчана лежат в линейной оболочке построенных полуинвариантов »-представлений.

В главе 4 результаты из статьи [59] переносятся на случай поля положительной характеристики, а именно, находятся базисы и свободные порождающие алгебр некоммутативных инвариантов К(Аг над полем К и показывается, что они не являются конечно порожденными над К (утверждения 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6).

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в научных исследованиях по теории инвариантов.

Результаты работы докладывались международных конференциях „Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2002, 2003), международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского государственного университета и 75-летию кафедры алгебры (Москва,

2004), международной конференции „Теория представлений и ее приложения" (Швеция, Уппсала, 2004). Основные результаты диссертации опбликованы в работах [10, 45, 11, 46, 47, 48, 6].

В заключение автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Зубкову Александру Николаевичу за ценные советы и постоянное внимание к работе.

1. Винберг Э.Б., Попов В.Л. Теория инвариантов // Итоги науки и техн. Соврем, проблемы матем. Фундам. напр. ВИНИТИ. 1989. Т. 55. С. 137-309.

2. Дрозд Ю.А., Кириченко В.В. Конечномерные алгебры. Киев, 1980.

3. Зубков А.Н. Об одном обобщении теоремы Прочези-Размыслова // Алгебра и Логика. 1996. Т. 35. N 4. С. 433-457.

4. Зубков А.Н. Инварианты присоединенного действия классических групп // Алгебра и Логика. 1999. Т. 38. N 5. С. 549-584.

5. Зубков А.Н. Теорема Прочези-Размыслова для колчанов // Фундам. и прикл. мат. 2001. Т. 7. N 2. С. 387-421.

6. Зубков А.Н., Лопатин A.A. Полуинварианты *-предсталений колчанов: Препринт N 04-08. Омск: Омск. гос. ун-т, 2004. 26 с.

7. Корюкин А.Н. О некоммутативных инвариантах редуктивных групп-// Алгебра и логика. 1984. Т. 23. N 4. С. 419-429.

8. Крафт X. Геометрические методы в теории инвариантов. М.: Мир, 1987.

9. Кузьмин E.H. О теореме Нагаты-Хигмана // Математические структуры — Вычислительная математика — Математиеское моделирование. Сборник трудов, посвященных шестидесятилетию академика Л.Г. Илиева. София, 1975. С. 101-107.

10. Лопатин A.A. Некоммутативные инварианты в случае поля простой характеристики // Вестник ОмГУ. 2002. Т. 23. N 1. 19-21.

11. Domokos M. Invariants of quivers and wreath products // Comm. Algebra. 1998. V. 26. P. 2807-2819.

12. Domokos M. Finite generating system of matrix invariants // Math. Pannon. 2002. V. 13. N 2. P. 175-181.

13. Domokos M., Kuzmin S. G., Zubkov A.N. Rings of matrix invariants in positive characteristic //J. Pure Appl. Algebra. 2002. V. 176. P. 6180.

14. Domokos M., Zubkov A.N. Semi-invariants of quivers as determinants // Trans, groups. 2001. V. 6. N 1. P. 9-24.

15. Donkin S. Rational representations of algebraic groups: tensor products and filtarations // Lecture Notes in Math. Springer, 1985. V. 1140.

16. Donkin S. Skew modules for reductive groups // J. Algebra. 1988. V. 113. P. 465-479.

17. Donkin S. Invariants of several matrices // Invent. Math. 1992. V. 110. P. 389-401.

18. Donkin S. Invariant functions on matrices // Math.Proc.Cambridge Phil.Soc. 1992. V. 113. N 23. P. 23-43.

19. Donkin S. Polynomial invariants of representatins of quivers // Comment. Math. Helvetici. 1994. V. 69. P. 137-141.

20. Dubnov J., Ivanov V. Sur l'abaissement du degre des polynomes en affineurs // C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N. S.). 1943. V. 41. P. 95-98 (French).

21. Gabriel P. Unzerlegbare Darstellungen I // Manuscr. Math. 1972. V. 6. P. 71-103.

22. F.D. Grosshans, Algebraic homogeneous spaces and invariant theory, Lecture Notes in Math. Springer, 1997. V. 1673.

23. Formanek E. The polynomial identities and invariants of n x n matrices // American Math. Soc. Regional Conference series in Mathematics. 1991. V. 78. Providence, RI.

24. Hashimoto M. Good filtrations of symmetric algebras and strong irregularity of invariant subrings // Math. Z. 2001. V. 236. P. 605-623.

25. Higman G. On a conjecture of Nagata // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1956. V. 52. P. 1-4.

26. Hilbert D. Uber die vollen Invariantensysteme // Ges. Abh. II. Springer-Verlag, 1970. P. 287-344.

27. Klein A.A. Bounds for indices of nilpotency and nility // Arch. Math. (Basel). 2000. V. 76. P. 6-10.

28. Lane D.R. Free algebras of rank two and their automorphisms. Ph.D. thesis. Betford College. London, 1976.

29. Le Bruyn L., Procesi C., Semi-simple representations of quivers // Trans. Amer. Math. Soc. 1990. V. 317. P. 585-598.

30. Lopatin A.A. The algebra of invariants of 3 x 3 matrices over a field of arbitrary characteristic // Comm. Algebra. 2004. V. 32. N 7. 28632883.

31. Lopatin A.A. Relatively free algebras with the identity x3=Q Preprint N 04-09. Omsk State Univ. 2004. 43 pp.

32. Mathieu O. Filtrations of G-modules // Ann. Sei. Ecole Norm. Sup. 1990. V. 23. N 4. P. 625-644.

33. Mumford D., Fogarty J. Geometric invariant theory. 2nd enlarged edition. Ergebnisse 34. Springer, 1982.

34. Nagata M. Invariants of a group in an affine ring //J. Math. Kyoto Univ. 1964. V. 3. P. 369-377.

35. Procesi C. Finite-dimensional representations of algebras // Israel J.Math. 1974. V. 19. P. 169-182.

36. Procesi C. The invariant theory of n x n matrices // Adv. Math. 1976. V. 19. P. 306-381.

37. Procesi C. Computing with 2x2 matrices //J. Algebra. 1984. V. 87. P. 342-359.

38. Schofield A., Van den Bergn M. Semi-invariants of quivers for arbitrary dimension vectors //To appear in Indag. Math.

39. Shestakov LP., Zhukavets N. On associative algebras satisfying the identity x5 = 0 // Algebra and Discrete Mathematics. 2004. N 1. P. 112-120.

40. Teranishi Y. The ring of invariants of matrices // Nagoya Math. J. 1986. V. 104. P. 149-161.

41. Teranishi Y. The Hilbert series of rings of matrix concomitants // Nagoya Math. J. 1988. V. 111. P. 143-156.

42. Teranishi Y. Noncommutative classical invaiant theory // Nagoya Math. J. 1988. V. 112. P. 153-169.

43. Vaughan-Lee M.R. An algorithm for computing graded algebras //J. Symbolic Comput. 1993. V. 16. P. 345-354.

44. Zubkov A.N. Endomorphisms of tensor products of exterior powers and Procesi hypothesis // Comm. Algebra 22(1994), N12, 6385-6399.

45. Zubkov A.N. Invariants of mixed representations of quivers I // To appear in Journal of Algebra and its Applications.

46. Zubkov A.N. Invariants of mixed representations of quivers II // To appear in Journal of Algebra and its Applications.