Расслоения на трехмерных многообразиях Фано, инстантоны и бирациональные преобразования тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

/у •:

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 512.723

Кузнецов Александр Геннадьевич

Расслоения на трехмерных многообразиях Фано, инстантоны и бирациональные преобразования 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация

на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители —

Чл.-корр. РАН, профессор А. И. Кострикин,

кандидат физико-математических наук А. И. Бонд ал

(А. Г. Кузнецов)

Москва 1998

Оглавление

Введение 3

Глава I. Многообразия модулей представлений колчанов 10

1.1. Представления колчана и стабильность....................10

1.2. Гомологические свойства категории Иер ..............12

1.3. Семейства представлений и многообразия модулей 15

1.4. Параболические пары....................................................23

1.5. Функтор стирания вершины........................................27

1.6. Деформации многообразия модулей..........................35

1.7. Внутренняя стенка..........................................................42

1.8. Многообразия модулей двухвершинного колчана . 53

1.9. Прямые на многообразии ..................................63

Глава II. Связки квадрик и инстантоны заряда 3 69

Н.1. Связки квадрик................................................................69

П.2. Инстантоны заряда 3......................................................80

П.З. Плоскости и прямые подскока инстантона 8а..........87

Глава III. Многообразия У22 91

111.1. Описание многообразий У22..........................................91

111.2. Исключительный набор................................................102

III.3. Прямые на многообразии Ша................... 105

Список литературы 108

Введение

Настоящая работа делится на две части. В первой части изучаются многообразия модулей представлений колчанов. Затем полученные результаты применяются к исследованию трехмерных многообразий Vyi-

Грубо говоря, колчан Q — это некоторый конечный ориентированный граф (то есть граф с заданием направления на ребрах). Вершины графа называются вершинами колчана, а ребра графа — стрелками колчана. Колчан называется упорядоченным, если он не содержит ориентированных циклов. Пусть к — алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики. Всякому упорядоченному колчану можно сопоставить конечномерную алгебру kQ — алгебру путей колчана Q. Базис алгебры kQ образуют последовательности стрелок колчана Q, в которых начало следующей стрелки совпадает с концом предыдущей. Представление колчана Q — это то же самое что правый модуль над алгеброй kQ. Обозначим через RepQ категорию представлений колчана Q. Категория Rep Q — абелева.

Для построения многообразий модулей представлений колчанов необходимо ввести понятие (полу)стабильности представления. Это было сделано А. Кингом в 1993 году в работе [13]. Рассмотрим Q-значную линейную функцию х £ jKo(Q)* Q на группе Гротендика A'o(Q) категории Rep Q.

определение. Представление F колчана Q называется х-стабилъ-ным (соответственно х~полУстабилъным), если выполнены следующие условия:

(1) (X,dimF) = 0;

(2) для любого собственного подпредставления 0 ф F' С F имеем

(x, F') > 0 (соответственно {x,F') > 0).

Здесь dimF Е -Ko(Q) обозначает класс представления F в группе Гро-тендика, а (•,•} обозначает спаривание ifo(Q)* ® -^o(Q) -> Q- Кинг показал (см. Теоремы 1, 2), что для любых а Е ifo(Q) и X £ ^o(Q)* Q, таких что а) = 0 существует грубое многообразие модулей «Mq(o:, х) %-полустабильных представлений F колчана Q с dim F = а.

Первая глава настоящей работы посвящена изучению связей между различными многообразиями модулей упорядоченного колчана без соотношений. В разделах 1.1-1.4 вводятся основные определения теории представлений колчанов. Кроме того, описываются простейшие свойства категории представлений колчанов и доказываются хорошо известные (или очевидные) утверждения о многообразиях модулей представлений колчанов. В разделе 1.5 изучается связь между многообразиями модулей представлений колчана Q и многообразиями модулей представлений его подколчана Q^. Мы вводим функтор стирания вершины Фх '■ Rep Q —> Rep и сопряженные к нему функторы продолжения в вершину : RepQx —> RepQ. В некоторых случаях эти функ-

торы индуцируют изоморфизмы многообразий модулей. В Теоремах 3, 4 и 5 описаны такие ситуации.

В разделах 1.6—1.7 мы изучаем вопрос о поведении многообразия модулей М.ц(а,х) ПРИ изменении линейной функции Мы показываем, что пространство Та всех линейных функций х-, таких, что (х, а) = 0, содержит конечное число гиперплоскостей, разбивающих пространство Та в объединение конечного числа камер, разделяемых стенками. При изменении % внутри камеры многообразие М.ц(а,х) не изменяется. Стенка между камерами называется внутренней, если по обе стороны от нее многобразие х) не пусто. Стенка называется внешней, если мно-

гобразие Л4ц(а,х) не пусто только с одной стороны от нее. Мы доказываем, что при при переходе х через внутренню стенку происходит бирациональная перестройка многообразия %), а при выходе х на

внешнюю стенку многообразие M.q((x,x) стягивается. В Теоремах 6 и 7 явно описываются стягивание и бирациональная перестройка в некоторых дополнительных предположениях.

В разделе 1.8 полученные результаты применяются для описания многообразия Л4Qd((2, k),(—к, 2)) модулей (2, к)-мерных (—к, 2)-полустабиль-ных представлений двухвершинного упорядоченного колчана Qd (колчан

Qd состоит из двух вершин и d стрелок из первой вершины во вторую). Многообразия M.Qd((2, (—&,2)) можно рассматривать как обобщения грассмановых многообразий, так как A4Qd((l, к), (—к, 1)) = Gr(d — к, d) (см. Предложение 1.8.2). Для описания многообразия M.Qd({2, к), (—к, 2)) мы рассматриваем семейство многообразий M.t = 2,где

Qd — трехвершинный колчан, полученный добавлением к колчану Q^ дополнительной вершины и стрелки из нее в первую вершину колчана Qd; a xt — (t — —i/2,2) (i 6 Q) — семейство рациональнозначных линейных функций на группе A'o(Qd)- Из Теоремы 3 следует, что

Mo = MQd((l, к), (-к, 1)) ^ Gr(d -k,d), Мы = MQd((2, А;), (-*, 2)).

Таким образом, мы получаем последовательность многообразий Л4t = 0,1,..., 2к — 1,2к, связывающую многообразие Gr(<i — k,d) с многообразием Л4с^((2, к), (—к, 2)). Теперь применяя результаты разделов 1.6—1.7, мы получаем диаграмму

Mi л<, ... М«

Pi,О

Plk-l,2k

в которой отображение является РМ-2-расслоением, отображение Р2к-\,2к является Р^расслоением, a gi, 52, • • • 5 Я[к/2] — последовательность антифлипов.

В разделе 1.9 мы применяем результаты раздела 1.8 для описания схемы прямых на многообразии Л4ца((2, к), (—к, 2)). Мы доказываем, что схема прямых на многообразии M-qd((2, к), (—к, 2)) изоморфна относительному грассманиану 0 = GrGr(d_[А/2]-1 хGr(d-[fe/2],d)(25 ^ U*)/0) двумерных подпространств в слоях расслоения (Q ЕЗ U*)/0 на произведении грас-сманианов Gr{d— [к/2] — 1 ,d) х Gr(d — [fc/2],cf) (см. Предложение 1.9.4). Затем мы описываем подсхему пар различных пересекающихся прямых в 0 х 0 — А© (см. Предложение 1.9.7).

Вторая глава диссертации посвящена связкам квадрик и математическим инстантонным расслоениям заряда 3 на проективном пространстве Р3. Напомним, что связкой квадрик в проективном пространстве Pd_1 называется трехмерное подпространство в векторном пространстве H0(Pd-1,O(2)) = S2(kd). Связка

квадрик называется регулярной, если

она не содержит квадрик коранга 2. Давно известно (см. например [2, 20, 25, 26]), что по всякой регулярной связке квадрик можно построить плоскую кривую СЛР2с невырожденной тета-характеристикой 9, причем связка квадрик восстанавливается по паре (С, 9). Кроме того, связка

квадрик индуцирует вложение С -А Р^-1* и изоморфизм 5сг_1(к3) —> 52(кс?).

В разделе II. 1 мы несколько развиваем теорию связок квадрик. Мы показываем, что связка индуцирует отображение С А Сг(с? — 2, еГ) (см. Предложение II. 1.4), изоморфизм 5сг~2(к3) —> Л2(к</) и точную последовательность

0 5^3(к3) Л2(к°г) (8) к3 Епс1(кй) 0.

Затем мы доказываем некоторое техническое утверждение о связках квадрик в проективном пространстве Р3 (Предложение II.1.10).

В разделе II.2 мы устанавливаем связь между связками квадрик в проективном пространстве Р3* и математическими инстантонными расслоениями заряда 3 на проективном пространстве Р3. Математическим ин-стантонным расслоением на проективном пространстве Р3 (или просто инстантоном) называется стабильное 2-мерное векторное расслоение Е с с\(Е) — 0 и Н*(Р3, Е ® 0(—2)) = 0. Целое положительное число с2(£') называется зарядом инстантона Е. Мы рассматриваем некоторую исключительную пару (£, Оз(2)) векторных расслоений на Р3 и сопоставляем всякой связке квадрик А гомоморфизм 8 к3 ® (2з(2). Далее мы доказываем, что если связка квадрик А является регулярной и невырожденной, то гомоморфизм ца сюръективен (Предложение II.2.3) и его ядро 8а является инстантоном заряда 3 (Теорема 11). Построенные таким образом инстантоны обладают свойством гомологической ортогональности по отношению к исключительному расслоению (2з(1) = Трз:

Н*(Р3,£а (8) £з(1)) = 0.

Затем мы показываем (Предложение П.2.9), что всякий инстантон Е заряда 3, гомологически ортогональный расслоению (2з(1), имеет резольвенту

23(2) 0,

причем ¡1е = /ла для некоторой регулярной невырожденной связки квадрик А. Таким образом, устанавливается изоморфизм пространства ре-

гулярных невырожденных связок квадрик в проективном пространстве Р3* и инстантонов заряда 3 на Р3, гомологически ортогональных расслоению (2з(1) (Теорема 12). Поскольку инстантоны, гомологически ортогональные расслоению <2з(1), образуют открытое по Зарисскому подмножество в многообразии модулей всех инстантонов, то тем самым получено описание общего инстантона заряда 3.

В разделе II.3 мы показываем, что кривая (3(С) С Р3* является схемой плоскостей подскока инстантона 8а (Предложение II.3.2), а кривая 7(С) С Стг(2,4) является схемой прямых 2-подскока инстантона 8а (Предложение II.3.4). Далее мы показываем, что прообраз подсхемы инцидентности X С Сг(2,4) х Р3* относительно морфизма 7 х (3 : С х С —> Сг(2,4) х Р3* является схемой нулей единственного нетривиального сечения линейного расслоения (в И в) ^ Осхс(^) на произведении С х С (Предложение II.3.6). Это дает еще один способ восстановить связку квадрик А по инстантону £д.

Третья глава диссертации посвящена трехмерным многообразиям V22. Напомним, что в классификации [11] трехмерных многообразий Фано многообразиями У22 называются трехмерные многообразия Фано с числом Пикара 1 индекса 1 (это означает, что канонический класс является отрицательной образующей группы Пикара) с числами Бетти

(*) Ь0 = Ь2 = ЬА = 66 = 1, Ьг = 63 = 65 = 0.

Многообразия У22 образуют шестимерное семейство.

Рассмотрим многообразие Ш = Л^д4((2,3), (—3,2)), и пусть (/С^Л^) — универсальное семейство представлений колчана <34 на многообразии Ш. Согласно результатам раздела 1.8 мы имеем следующую диаграмму

Ррз(£) Р9я(УС1)

Р3 ш

Здесь 8 — это исключительное расслоение из раздела II.2, a qi — некоторый антифлип. Такое описание многообразия Ш представляет самостоятельный интерес. Например, с его помощью легко вычислить кольцо Чжоу многообразия Ш (см. [9]).

В работе [21] Ш. Мукаи анонсировал теорему, согласно которой всякое многообразие У44 является схемой нулей некоторого глобального сечения расслоения к3 <8) К\ на многообразии Ш. Можно показать (см. Лемму III.1.1), что

Н°(ЯЛ, к3 0 /Сз) = к3 ® 52 (к4)

о

то есть глобальные сечения расслоения к' суть связки квадрик в проективном пространстве. Пусть А — регулярная невырожденная связка квадрик в проективном пространстве Р3*. Обозначим через ШХд С Ш

о

схему нулей соответствующего глобального сечения расслоения к ® К\ на многообразии Мы доказываем, что возникает следующая диаграмма

Р3 Ша

где q — флоп в линейчатой поверхности, являющейся Р^расслоением над кривой С (Теорема 13). Отсюда легко выводится часть теоремы Мукая (см. Теорему 14). В разделах III.2 и III.3 мы рассматриваем применения полученного описания многообразий У^.

В разделе III.2 мы показываем, что набор расслоений (О, /С*, А2^) является полным и сильным исключительным набором на многообразии Ша (Теорема 15). Впервые исключительный набор на многообразиях У22 был построен в работе [14] (на общем многообразии У22 и без доказательства полноты). На других трехмерных многообразиях Фано с числами Бетти (*), то есть на проективном пространстве, трехмерной квадрике и многообразии Т/5, исключительные наборы были построены А. Бейлин-соном, М. Капрановым и Д. Орловым в работах [4], [12] и [24].

Наконец, в разделе Ш.З мы показываем, что схема прямых на многообразии ША изоморфна кривой С (Предложение III.3.1), а подсхема пар различных пересекающихся прямых в С х С равна дивизору Тд (Предложение III.3.2). Тем самым дается способ восстановить свяку квадрик А по многообразию Ша (см. Замечание III.3.4).

Основные результаты работы были опубликованы в [14, 15, 16, 17, 18, 19], а также докладывались на семинаре кафедры Высшей Алгебры механико-математического факультета МГУ, на семинаре по Алгебре,

Геометрии и Физике в математическом институте Макса Планка (Мах-Planck-Institut für Mathematik, Bonn) и на семинаре в институте высших научных исследований (Institut des Hautes Etudes Scientifiques (IHES), Paris). Автор выражает благодарность A. Бондалу за постановку задачи и внимание к работе, а также Д. Орлову и А. Тюрину за многочисленные обсуждения и полезные советы.

ГЛАВА I

Многообразия модулей представлений колчанов

1.1. Представления колчана и стабильность

определение 1.1.1. Колчан — это категория с конечным числом объектов и морфизмов. Объекты категории называются вершинами колчана С^, а морфизмы — стрелками. Представление колчана — это функтор F : Q —Уес! в категорию векторных пространств. Морфизм представлений — естественное преобразование функторов.

Пусть к — алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики. Всякому колчану можно сопоставить к-линейную категорию С$(к) следующим образом:

ОЬ(<Э(к)) = ОЦС», Нотд(к)(Х,У) =кНотд(Х,Г),

где к5 обозначает векторное пространство с базисом, состоящим из элементов множества 5.

Категория канонически вложена в категорию С$(к). Кроме того, всякий функтор ^ : —>• Vect канонически продолжается до функтора ^(к) : С^(к) —> УеЫ;. Поэтому при изучении представлений колчана мы будем пользоваться категорией С^(к) вместо категории С^. Более того, для краткости мы будем вместо С£(к) писать С^.

Обозначим категорию представлений колчана через 1г1ер(^. Категория ЫерС^ — абелева. Обозначим через ¿Со (Я) ГРУППУ Гротендика категории 11ер(3. Легко убедиться, что Ко (Я) — свободная абелева группа. Точнее говоря Ко (Я) — Нот(ОЬ(С£), Ъ), причем класс [.Р] представления ^ в группе Гротендика определяется следующим образом:

Будем называть класс [F] представления F, рассматриваемый как целочисленная функция на множестве вершин колчана Q, размерностью представления F и обозначать dimF. Обозначим через 8х : Ob(Q) —У Z дельта-функцию вершины X Е

Ясно, что 5х (X е ob(q)) — система образующих группы Ко(0,).

Элементы двойственной абелевой группы Ко(С2)* будем называть характерами колчана Пусть х £ Ко(0,)* — характер колчана Q.

определение 1.1.2. Наклоном представления Р относительно характера х (или просто ^-наклоном) называется целое число

где (•, •) : Ко(0,У <Э К о (О,) ^ обозначает естественное спаривание.

определение 1.1.3. Представление Р колчана Q называется х-ста~ билъным (соответственно х~полУста^илъным) ■> если выполнены следующие условия:

(1) х-наклон представления Р равен нулю: (лх(Р) = 0;

(2) ^-наклон любого собственного подпредставления 0 ф Р' С Р положителен: ЦХ(Р') > 0 (соответственно неотрицателен: ¡лх{Р') > 0).

Категория х-полустабильных представлений колчана является арти-новой. Поэтому любое ^-полустабильное представление Р имеет конечный ряд Жордана-Гёльдера, присоединенные факторы которого являются ^-стабильными представлениями.

Определение 1.1.4. Два х-полустабильных представления ^и^1' колчана называются 5-эквивалентными (в категории х-п°лустабильных представлений колчана С^), если присоединенные факторы ряда Жордана-Гёльдера представления Р после некоторой перестановки оказываются изоморфными присоединенным факторам ряда Жордана-Гёльдера представления Р'.

лемма 1.1.5. Пусть Р,С —Х'стабильные представления колчана Тогда имеем (ИтНошд(^, С) < 1. Более того, всякий нетривиальный морфизм Р А С представлений является изоморфизмом.

Ob(Q):

Уфх-

Y = Х.

fix(F) := {х, dim F),

Доказательство. Пусть ср : F —>• G — нетривиальный морфизм. Его ядро Кег ip является иодпредставлением в F, а образ Im^ является иод-представлением в G. Кроме того, dim F = dim Кег <р + dimlm^, следовательно имеем ¿¿х(Кег<^) + /1х(1ш(р) = fix(F) = 0. Поскольку представления F и G являются х-стабильными, то /¿х(Кег</?) > 0 и /2х(1т<^) > 0, значит fixÇKercp) = fix(lm(p) = 0, причем в силу стабильности представлений F и G подпредставления Кег (р С F и Ira (р С G не могут быть собственными. В силу нетривиальности морфизма (р имеем Кег</? ф F и Im (р ф 0, следовательно Кег р> = 0 и Im ср = G, то есть морфизм

— изоморфизм. Допустим теперь, что существует два нетривиальных морфизма (р,ф : F —)■ G. Очевидно, что семейство морфизмов (<р + Хф) : F —»• G (A G к) содержит вырожденные морфизмы, но всякий вырожденный морфизм по доказанному тривиален, следовательно ip = Хф для некоторого A G к, значит dimHomq(F, G) < 1. □

Определение 1.1.6. Колчан Q с частичным порядком < на множестве вершин называется "упорядоченным", если HoniQ(X,Y) ф 0 только при X <Y.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.7. Пусть Q —упорядоченн