Бирациональные свойства кубических гиперповерхностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Глава I. Соотношения в группе бирациональных автоморфизмов кубической поверхности с нучком рациональных кривых.

§ I Формулировка разультатав.

§ Доказательство теоремы.

Глава II. Бирациональные свойства трехмерной кубической гиперповерхности.

§ I Максимальные особенности бирациональных автоморфизмов.

§ Конструкции бирациональных автоморфизмов.

§ Конструкция бирационального изоморфизма с многообразием Фано рода 8, связанная с рациональной кривой степени 4.

Глава III. Конструкции рациональности кубических гиперповерхностей в размерностях больших чем 3.

§". Конструкция,связанная с парой подпространств.

§ Конструкция,связанная с поверхностью Дель Пеццо.

§ Конструкция,связанная с нормповерхностью степени 4.86 | Конструкция, связанная с поверхностью ?10}(9(Ъ)ф(3(4).89 Литература.

I. Изучение бирациональных свойств кубических гиперповерхностей является одной из классических проблем алгебраической геометрии. Это гиперповерхности наименьшей степени, для которых проблема рациональности становится содержательной. Известно, что всякая квадратичная гиперповерхность, имеющая точку над основным полем, рациональна; бирациональный изоморфизм с проективным пространством осуществляется с помощью стереографической проекции из этой точки.

В диссертации изучаются следующие две основные задачи би-рациональной геометрии применительно к кубическим гиперповерхностям:а) проблема рациональности;б) изучение групп бирациональных изоморфизмов в смысле описания образующих и определяющих соотношений.

Отметим, что при определенном подходе эти задачи оказываются тесно связанными в том смысле, что информация о группе бирациональных автоморфизмов, являющейся важнейшим бирациональным инвариантом многообразия, позволяет в некоторых случаях делать вывод о его нерациональности.

Случай кубических кривых хорошо изучен в классической и современной литературе. В геометрической ситуации, т.е. когда основное поле & алгебраически замкнуто, теория неособых кубических кривых включается, и по существу совпадает с грандиозность неособой кубической кривой - элементарный факт этой теории; изучение групп бирациональных автоморфизмов является менееной теорией эллиптических кривыхсм.элементарной, но хорошо изученной задачей. Особые кубические кривые имеют ровно одну особую точку и оказываются рациональными.

Арифметическая теория кубических кривых т.е. когда основное поле не алгебраически замкнуто не менве грандиозна и содержательна, чем геометрическая теория. Она включает в себя тонкие вопросы существования точек, описание групп к/ -рациональных точек, в частности, вычисление их ранга, с прменением мощных средств диофантовой геометрии и гомологической алгебры (см.[8^2. Существует обширная литература и даже отдельные книги по изучению бирациональных свойств кубических поверхностей [V] [10] > [-2?] • Вопрос о рациональности неособойкубической поверхности решается здесь положительно. Это хорошо известный классический факт. Богатая внутренняя геометрия кубической поверхности ( конфигурация 27 прямых и т.п. } отражается на содержательной арифметической теории. Описание множества -рациональных точек и различных структур на них имеется в [Ю] •Однако, над незамкнутым совершенным^) полем кубические поверхности обладают нетривиальными бирациональными свойствами. В этой ситуации бирациональная теория кубических поверхностей была развита в работах Б. Сегре [2 5] » Ю.И. Манина Г 10"] В.А. Псковских [ Свиннертона-Дайера [26] и др. В этих работах дан исчерпывающий ответ на вопрос а) т.е. найдены условия рациональности и нерациональности кубической поверхности, и далеко продвинуто решение про них вопроса б).

Вопрос рациональности оказывается зависящим от числа тех из 27 прямых, лежащих на поверхности, которые определены над основным полемк (ом. [261) •В частности, известно, что V ^ не рациональна, когда.

Р|Ж- в этом случае на V 3 нет прямых, определенных над К/ , и когда Р'С „V $ - в этом случае существует ровно одна прямая, определенная над к С^-].

Для поверхностей в работахЮ.И. Манина описаны образующие и соотношения]/ и тем самым полностью решена задача б ).В случае 1?с ^ 1/з'^Ь'Ж в работе В.А. Псковских описаны образующие и оставлен открытым вопрос о соотношениях между этими образующими.

Первый основной результат настоящей диссертации - описание полной системы определяющих соотношений для указанных в ] образующих3. Проблема нерациональности трехмерной кубической гиперповерхности над алгебраически замкнутым полем стояла около 86-ти лет. Как хорошо известно, она была решена в знаменитой работе Гриффитса и Клеменса [ . Нерациональность трехмерной кубики была апонсирована также ранее в работах итальянского математика Дж. Фано [ 12]. Фано не дал полного доказательства этого результата, однако его подход к этой проблеме, отличный от метода Клеменса и Гриффитса, представляет интерес в связи с задачей б^ также известной классической проблемой.

При подходе Фано кубические гиперповерхности составляют один из классов большой серии многообразий с обильным антиканоническим классом, названных впоследствии многообразиями Фано. В последнее десятилетие многообразия Фано подверглись интенсивному изучению в работах В.А. Исковских [5] [ £>"].- б В.В. Шакурова Г \п, , Ш. Мори [20] и др. в планене только бирегулярной классификации, но и в плане решения сформулированных выше задач а) и б). В частности, в известной работе В.А. Псковских и Ю.И. Манина Г?] было доказано с помощью глубокого развития метода Фано нерациональность гладкой трехмерной квартики путем вычисления ее группы бирациональных автоморфизмов. Подобные задачи были решены также для других классов многообразий Фано (см. [6] ). Эти результаты дают надежду, что с помощью дальнейшего усовершенствования метода Фано - Манина - Псковских окажется возможным вычислить Ъог\/ ^ -группу бирациональных автоморфизмов гладкой трехмерной кубической гиперповерхности и 9. ро£1еЫ ОГ/ установить ее нерациональность на пути, указанным Фано.

Второй основной результат диссертации дает значительное продвижение в решении этого вопроса. А именно, по методу Фано строится большая серия бирациональных автоморфизмов У ^ ('большинство из которых имеет порядок % ) ксггорые предположительно порождают всю. Решение этой задачи сопряжено с большими техническими трудностями, обусловленными как трудностью самой классической проблемы, так и огромным перебором возникающих различных частных случаев. В классической литературе было известно два типа таких преобразований > которые составляют малую часть предложенного списка.

Отметим также, что при изучении бирациональных автоморфизмов кубики оказалось необходимым рассматривать также другие многообразия Фано. Так например, при рассмотрении максимальной базисной кривой степени 5* и рода 1 приходится использовать связанный с этой кривой бирациональный изоморфизм ( открымежду кубикойтый еще Фано ; см. также [б*] 3и многообразием Фано - сечением грассманиана &Г&.6)пятью плоскостями общего положения. Кроме того, оказалось, что существует другой тип бирациональных автоморфизмов между этими многообразиями, связанный с линейно - нормальной рациональной кривой степени 4. Насколько изнесно автору, этот факт в классической литературе не был отмечен.

Что касается арифметической теории кубических трехмерных гиперповерхностей, то подробно этот вопрос по-видимому еще не изучался и вся имеющаяся информация на этот счет содержится в [10].

4. Общая проблема нерациональности неособой кубической гиперповерхности размерности Т) ^ ^ над алгебраически замкнутым полем остается открытой.

В этом направлении известны три классические конструкции рациональности неособых кубических гиперповерхностей размерности ^ содержащих:о1) пару скрещивающихся плоскостей, ]Ь) поверхность Дель Пеццо,норм.-поверхность степени ЦВ диссертации воспроизводятся эти классические конструкции и указаны разложения соответствующих бирациональных изоморфизмов кубик и проективных пространств на моноидальные преобразования. Кроме того, в работе предложена еще одна конструкция рациональности ^-Х - мерной кубики, связанная с поверхностьюB-c.jp. С9(ГЗ)Ф(9б()В.А. Исковских высказал гипотезу, что эффект рациональностиV £ тесно связан со структурой к (\/) группы алгебраических циклов средней размерности; а именно: предположительно, У^ нерациональна, если ранг А [V) равен 1. Как недавно показал Ю.Г. Зархин [з] гк А ( V) может принимать любые значения от i до 2 J и для общей он всегда равен 1. Здесь мы наблюдаем некую аналогию с КЗ поверхностями.

Диссертация состоит из настоящего введения и трех глав.

8. сЦС*5 Р« С с)- о.

В главе Ш изучаются конструкции рациональности гладких кубик размерности , три из которых классические, а одна является, по-видимому, новой.

Остальные три конструкции проводятся для четырехмерныхкубик и используют поверхность Р лежащую на "V" Г)2п-Мобладающую следующим свойством: через общую точку Гпроходит единственная^хорда Р. Ограничение возникающего отображения бирационально изоморфно многообразию хорд Р } на V з - бирациональный изоморфизм. Поверхностей с указанным свойством три типа:а) Поверхности Дель-Пеццо степени £ б) РтсЗ (О(^) - поверхность квадрика, вложенная в и рядомб) Ртеор.^СзЗФШ).

В §2 разобрана конструкция, связанная с поверхностью Дель Пеццо ^ сообщена автору Д.Логачевым ^.

Доказано следующее: линейная система квадрик, проходящих через Р осуществляет бирациональный изоморфизм V ^ с1Р ^ ; при этом Р раздувается, а дивизор Т)б|7Н-стягивается на поверхность & степени Ъ в . б;изоморфна КЬ поверхности пятью раздутыми точками.

Обратное отображение осуществляется системой-12В §3 разбирается конструкция Морина, связанная с нормпо-верхностью. Доказано следующее: линейная система отображает V ^ бирационально на квадрику в 1Р ^ ;при этом г раздувается, а дивизор стягивается на поверхность (з. степени Ю в 1Р ; & изоморфна поверхности КЪ с одной раздутой точкой.

Конструкция §4 весьма близка к предыдущей.Доказанное предложение дословно повторяет соответствующее утверждение,относящееся к конструкции МоринаРезультаты этой главы опубликованы в ПА ; С.А 5*3

1.П. О многообразиях Фано рода 8. Успехи матем. наук, 1953,т.38,вып.1.229 ,с.163-164.

2. Данилов В.И; Декомпозиция некоторых бирациональных мор* физмо#т Изв.АНСССР,сер. мат.,1980,т.44,1;г2,с.465-477.

3. Зархин 10. Г. Алгебраические циклы на четырехмерных кубиках. Препринт, Пущино, ХУПсковских В.А. Рациональные поверхности с пучком рациональных кривых и с положительным квадратом канонического класса. Мат сб. ,1970,т.83, И,с.90-119.

4. Псковских В.А. Антиканонические модели трехмерных алгебраических многообразий.- ВИНИТИ, Современные проблемы математики, т.12, 1978, с.59-157.

5. Псковских В.А. Бирациональные автоморфизмы трехмерных алгебраических многообразий.- ВИНИТИ, Современные проблемы математики т.12, 1978, с.159-236.

6. Трегуб C.JI. О некоторых конструкциях рациональности четырехмерной кубики. Тезисы У Всесоюзного симпозиума по теории колец,алгебр и модулей, Новосибирск,1982,с.130.

7. Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. M.I98X. Шокуров В.В. Существование прямой на многообразиях Шано Изв. АНСССР,сер. мат., 1979,т.43,ÎF-4,с.922-964.

8. Fano 6:. (Vuove ricerche bulle vmeii dígebriche a. lire dimensions ¿ curve- sezione canonicbe. Comm. Ponf. Ac. Sei. iW, 11 , G15-720.

9. Fano G. Su tie sezioni spafiali della viHela 6га.&ъта.ппвда dell a rede spzHo г щиг dimensions. Rend. Pl. AccaJ. Lincei, \сьъо)А{>6 , 329- 356.

10. Mori S. , Mukai S. CLawficáon of feno VíoUs. With ba>2. Manu ser. Matt, i^l p. 4^-162.

11. Mom V. bulla rasionalifa deü'tpemtperftciecubica qe.Mra.Le dello Sp£?iO îxnevro. S д. Rend. Sem. mal Univ. PaJova., IWO^ 11 , M3 p I0E-II2.

12. Sni¿¿Qr. V. BiVerftônai iwi&rynalioh& of 4Ье cubic variéis m iôuh-Jiimens'iônii sp^ce. Rend. ein. YYI#/h. ШетО; {. p. Ш-ъЪЪ.