Рациональность и бирациональная жёсткость особых многообразий Фано тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М В Ломоносова

Механико-математический факультет

"ВИР

На правах рукописи УДК 512 76

Шрамов Константин Александрович

Рациональность и бирациональная жесткость особых многообразий Фано

Специальность-01 01 Об - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2007

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М В Ломоносова

Научные руководители:

д ф -м н , профессор Василий Алексеевич Исковских, д ф -м н , профессор Юрий Геннадьевич Прохоров

Официальные оппоненты:

д ф -м н Дмитрий Олегович Орлов, к ф -м н , доцент Дмитрий Александрович Степанов

Ведущая организация:

Владимирский государственный университет

Защита диссертации состоится 2 марта 2007 г в 16— на заседании диссертационного совета Д 501 001 84 в Московском государственном университете им M В Ломоносова по адресу 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет (Главное здание, 14 этаж)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета Московского государственного университета имени M В Ломоносова

Автореферат разослан 2 февраля 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501 001 84 в МГУ

д ф -м н , профессор В Н. Чубариков

Общая характеристика работы Актуальность темы

Вопросы рациональности алгебраических многообразий относятся к числу наиболее фундаментальных вопросов алгебраической геометрии Более общо, можно интересоваться бирациональной классификацией многообразий, то есть пытаться расклассифицировать многообразия с точностью до бирациональной эквивалентности и (по возможности) выделить в каждом классе эквивалентности многообразия с достаточно хорошими свойствами Для кривых и поверхностей эти задачи были решены еще классиками Нормализация С любой кривой С неособа и является единственным с точностью до изоморфизма неособым представителем в своём классе бирациональной эквивалентности Любую особую поверхность Б можно заменить на (бирационально эквивалентное ей) разрешение особенностей ¡5, после чего перейти к неособой минимальной поверхности ¿'тощ, последовательно стягивая (—1)-кривые При этом минимальные поверхности поддаются достаточно хорошему описанию либо канонический класс К$тт численно неотрицателен (это свойство уже довольно ограничительно, но в случае поверхностей классификацию можно продолжить и до более подробного описания), либо «Яшп — линейчатая поверхность, либо Зт1П — Р2

В размерности 3 теория становится значительно богаче Первопроходцем в области трехмерной бирациональной геометрии, возможно, следует считать Дж Фано Он исследовал трехмерные многообразия, кривые-сечения которых являются каноническими кривыми, в частности, канонический дивизор на таких многообразиях обилен (сейчас многообразия с обильным антиканоническим дивизором принято называть многообразиями Фано) Им были предсказаны многие глубокие результаты, которые удалось доказать на удовлетворительном уровне строгости лишь через много лет после появления его работ

В размерности 3 становится крайне сложно проверять нераци-

ональность различных многообразий Первые существенные успехи в этом направлении были достигнуты в работах Псковских и Манина1 Клеменса и Гриффитса2 и Артина и Мамфорда3 В [CG] был развит метод промежуточного якобиана, а в [ИМ] — заложены основы того, что впоследствии стало называться методом максимальных особенностей Впоследствии эти методы широко применялись к изучению рациональности трехмерных многообразий, во втором случае это стало возможным во многом благодаря появлению программы минимальных моделей в работах С Мори4 Кроме того, были достигнуты определенные успехи в исследовании бира-циональной геометрии особых и многомерных многообразий Фано Метод максимальных особенностей можно рассматривать как один из способов доказательства нерациональности многообразий Он применим к произвольным расслоениям Мори (в частности, к многообразиям Фано с числом Пикара 1) Суть этого метода состоит в том, что по бирациональному отображению х X —X' между двумя расслоениями Мори строится линейная система 'Н без неподвижных компонент на многообразии X, в некотором смысле контролирующая поведение отображения х> а именно, в случае, когда х не является изоморфизмом, система H должна иметь достаточно "плохие" особенности (точное утверждение известно под названием неравенства Нетера-Фано), и, более того, зная особенности 7i, можно разложить отображение х в композицию элементарных отображений Таким образом, метод максимальных особенностей сводит вопрос о существовании бирациональных отображений из расслоения Мори X на другие расслоения Мори к вопросу о существовании на X линейных систем, имеющих "плохие" особенности Отметим, что в тех случаях, когда этот метод удается применить,

1[ИМ] Псковских В А , Манин Ю И Трехмерные квартики и контрпримеры к проблеме Люрота // Мат Сборник — 1971 — том 86, No 1 — 140-166

2[CG] H Clemens, P Griffiths The intermediate Jacobian of the cubic threefold // Annals of Mathematics 95 (1972), 73-100

3[AM] M Artm, D Mumford Some elementary examples of umrational varieties which are not rational // Proc London Math Soc 25 (1972), 75-95

4 Современное введение в эту теорию можно найти в [Mat] К Matsub Introduction to the Mori program — Universitext, Springer, 2002 — 478 pp

он дает не только нерациональность многообразия X, но, как правило, значительно большее, часто таким образом можно доказать бирациональную жесткость X или получить информацию о группе Bir(X) его бирациональных автоморфизмов

На этом пути были доказаны нерациональность неособой трехмерной квартики (см [ИМ]), а также некоторых других неособых трехмерных многообразий Фано5 Этим методом также доказана бирапиональная сверхжесткость (а следовательно, и нерациональность) гиперповерхностей6 степени N в Р^, а также разнообразных многомерных двойных накрытий и полных пересечений7 В частности, метод максимальных особенностей остается одним из немногих8 способов доказательства нерациональности многообразий высших размерностей (Так, например, теория промежуточного якобиана, возможно, более элегантная и эффективная в случае трехмерных многообразий, на высшие размерности пока не обобщается )

С другой стороны, метод максимальных особенностей применим к вычислению групп бирациональных автоморфизмов (и, опять же, к доказательству нерациональности) некоторых особых трехмерных многообразий Фано В этом направлении многое известно про гиперповерхности во взвешенных проективных пространствах, удовлетворяющие некоторым условиям общности9 С другой стороны, при рассмотрении необщих многообразий часто бывает удобно ограничиться нодальными многообразиями10 Отметим, что по-

5 [И] Псковских В А Бирациональные автоморфизмы трехмерных алгебраических многообразий — Итоги науки и техники современные проблемы математики, т 12, ВИНИТИ, Москва 1979, 159-236, [ЙП] Псковских В А , Пухликов А В Бирациональные автоморфизмы многомерных алгебраических многообразий — Итоги науки и техники современные проблемы математики, т 19, ВИНИТИ, Москва 2001, 5-139

6[dFEM] Т deFemex, L Em, М Mustata Bounds for log canonical thresholds with applications to birational rigidity // Math Ees Letters 10 (2003), 219-236

7[P1] A Pukhhkov Birationally rigid Fano complete intersections // J Reme Angew Math 541 (2001), 55-79

8Cp [Kj J Kollar Singularities of pairs // Algebraic geometry — Santa Cruz 1995, Proc Symp Pure Math AMS 62 (1997), 221-287

9[CPR] Cortt A , Pukhhkov A , Reíd M Fano 3-fold hypersurfaces // LMS Lecture Note Series 281 (2000), 175-258

10Об эффектах, связанных с более сложными особенностями, см , например, [CM] A Cortx,

явление даже обыкновенных двойных особенностей как правило увеличивает группу бирациональных автоморфизмов многообразия Так, например, неособая квартика бирационально сверхжестка (см [ИМ]), в то время как наличие уже одной особенности нарушает сверхжесткость (хотя и не нарушает бирациональной жесткости), добавляя к группе бирациональных автоморфизмов 25 независимых бирациональных инволюций11 Тем не менее, для многообразий малых степеней получено довольно много результатов в этом направлении в [И] и [ИП] доказана бирациональная жесткость и вычислены группы бирациональных автоморфизмов неособых трехмерных многообразий Фано степеней 2, 4 и 6, доказана бирациональная сверхжесткость Q-факториального многообразия Фано степени 2 с любым количеством обыкновенных двойных точек12, в [П] разобран случай квартики с одной обыкновенной двойной точкой, изучено двойное накрытие квадрики с ветвлением в дивизоре степени 4 с одной обыкновенной двойной точкой13, доказана бирациональная жесткость и найдены образующие группы бирациональных автоморфизмов Q-факториальной трехмерной квартики с любым количеством обыкновенных двойных точек14

Результаты диссертации продолжают эти исследования Мы исследуем двойное накрытие неособой квартике с ветвлением в дивизоре степени 4 с произвольным количеством обыкновенных двойных особенностей При условии факториальности доказывается бирациональная жесткость этого многообразия и вычисляется его группа бирациональных автоморфизмов (она является полупрямым произведением подгруппы бирегулярных автоморфизмов и некоторой группы, свободно порожденной бирациональными инволюциями) Также классифицируются возможные конфигурации

M Mella Birational geometry of terminal quartic 3-folds I // Amer J Math , to appear

11 [П] Пухликов А В Бирациональные автоморфизмы трехмерной квартики с простейшей особенностью // Мат Сборник — 1988 — том 135 (177), No 4 — 472-496

12 [CP] I Cheltsov, J Park Sextic double solids // arXiv math AG/0404452 (2004)

13 [Г] Грипенко M M Бирациональные автоморфизмы трехмерной двойной квадрики с простейшей особенностью // Мат Сборник — 1998 — том 189, No 1 — 101-118

14[М] M Mella Birational geometry of quartic 3-folds II the importance of being Q-factorial // Math Ann 330 (2004), 107-126

центров максимальных особенностей на нодальной факториальной квартике, из этой классификации выводится описание структуры соотношении в группе бирациональных автоморфизмов кварти-ки (другими словами, дается полное описание группы в терминах образующих и соотношений) Затем находятся достаточные условия факториалыюсти этих многообразий в терминах количества особых точек. Наконец, рассматривается вопрос о рациональности стандартных расслоений на поверхности Дель Пеццо степени 4 (такие расслоения связаны с нефакториальной квартикой, содержащей пересечение двух квадрик), классифицируются такие расслоения с топологической эйлеровой характеристикой х = —4 и доказывается их рациональность

Цель работы

Цель работы — исследование вопросов рациональности и бирацио-нальной жесткости для многообразий Фано степени 4 с простейшими особенностями (в частности, обобщение на этот случай результатов В А Псковских и А В Пухликова), вычисление их группы бирациональных автоморфизмов, а также выяснение удобных для проверки достаточных условий факториальности этих многообразий

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа изложена на 106 страницах и состоит из шести глав Библиография включает 47 наименований

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем

1 Пусть X' С Р4 — двойное накрытие квадрики <2 в Р4 с

ветвлением в дивизоре, высекаемом на <3 гиперповерхностью

степени 4, это трехмерное многообразие Фано Если X' фак-ториально (то есть любой дивизор на X' локально задается одним уравнением) и имеет обыкновенные двойные особенности, то X' бирационально жестко В этом случае также явно описана группа бирациональных автоморфизмов В1г(Х')

2 Для описанного выше многообразия X' доказано следующее достаточное условие факториальности если количество (обыкновенных двойных) особенностей X' не превосходит 11, то X' факториально, более того, эта оценка точна, то есть существуют нефакториальные многообразия такого типа с 12 обыкновенными двойными особенностями

3 Пусть X С Р4 — факториальная гиперповерхность степени 4 с обыкновенными двойными особенностями, это трехмерное многообразие Фано В этом случае вычислены соотношения в группе Вп-(Х) (образующие этой группы были найдены ранее в работе [М])

4 Для гиперповерхности X С Р4 степени 4 доказаны следующие достаточные условия факториальности если X не содержит двумерных плоскостей и имеет не более 11 обыкновенных двойных особенностей, то X факториальна, если X имеет 12 обыкновенных двойных особенностей, то она факториальна в том и только в том случае, когда она не содержит двумерных плоскостей и двумерных квадрик

5 Построены новые бирациональные автоморфизмы особого

полного пересечения квадрики и кубики в Р5

6. Доказано, что всякое стандартное расслоение У над Р1 с эйле-

ровой характеристикой х^Х) — —4, общий слой которого явля-

ется поверхностью Дель Пеццо степени 4, рационально Этот

результат завершает исследование вопросов рациональности

таких расслоений, начатое 15 лет назад В А Алексеевым

Основные методы исследования

Большая часть используемых в диссертации конструкций основано на программе минимальных моделей (см [Mat]) Для доказательства бирационалыюй жесткости многообразий и вычисления их групп бирациональных автоморфизмов применяется алгоритм разложения бирациональных отображений расслоений Мори, известный под названием программы Рида-Саркисова10 В целом исследование проходит в рамках метода максимальных особенностей16

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер Доказанные в диссертации теоремы представляют интерес для теории многообразий Фа-но, многомерной алгебраической геометрии и теории особенностей

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах и конференциях

1 Семинар "Геометрия алгебраических многообразий" под руководством В А Исковских и Ю Г Прохорова в МГУ (2005 и 2006)

2 Конференция GAEL-XIV (Бедлево, Польша, 2006)

3 Кафедральный семинар кафедры высшей алгебры МГУ (2006)

Публикации автора по теме диссертации

Основное содержание диссертации опубликовано в трех работах, список которых приведен в конце автореферата [1-3]

15 См [Col] Corti A Factorizing birational maps of threefolds after Sarkisov// Journal of Algebraic Geometry — 1995 — No 4 — 223-254

16См [P2] A Pukhhkov Essentials of the method of maximal singularities // L M S Lecture Note Series 281 (2000), 73-100, [Co2] A Corti Singularities of linear systems and 3-fold birational geometry /'/ L M S Lecture Note Series 281 (2000), 259-312

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из шести глав

Первая глава — введение В ней обсуждается история вопроса, дается обзор ранее известных результатов и формулируются основные утверждения, доказанные в диссертации

В главе 2 приведены необходимые определения и известные вспомогательные утверждения В частности, в разделе 2 2 описаны основные классы особенностей, которые участвуют в дальнейших формулировках (терминальные и канонические особенности, обыкновенные двойные точки), в разделе 2 3 дано определение расслоения Мори, в разделе, в разделе 2 4 кратко описан алгоритм разложения бирациональных отображений расслоений Мори в композицию элементарных бирациональных отображений (программа Рида-Саркисова), а также даны определения бирациональ-ной жесткости и сверхжесткости В разделе 2 5 обсуждается метод максимальных особенностей, приводятся формулировки локальных неравенств на кратности линейных систем в неособой точке ("4п2-неравенство", теорема 2 5 2) и обыкновенной двойной точке (теорема 2 5 3) В разделе 2 6 приводятся утверждения, позволяющие исследовать факториальность многообразий, в частности, принадлежащая С Цинку теорема 2 6 1, позволяющая (в нашем случае) проинтерпретировать этот вопрос в терминах конфигурации особых точек многообразия

Утверждения главы 2 не доказываются, но снабжаются ссылками на источники

В главе 3 исследуется нодальное многообразие X', являющееся двойным накрытием неособой трехмерной квадрики с ветвлением в сечении квартикой Отметим, что неособое многообразие этого типа было изучалось В А Псковских ([И]), а многообразие X' с одной обыкновенной двойной особенностью — ММ Гриненко ([Г]) В обоих случаях была доказана бирациональная жесткость многообразия X' и вычислена группа его бирациональных автоморфизмов В теореме 3.1 1 мы обобщаем эти утверждения на слу-

чай многообразия X' с любым числом обыкновенных двойных особенностей, предполагая лишь <0>-факториальность (которая в данном случае эквивалентна факториальности) многообразия X' (отметим, что без этого условия не только невозможно провести предложенное доказательство, но и сами утверждения теоремы перестают выполняться) Многообразие X', как и в случаях, рассмотренных В А Псковских и М М Гриненко, оказывается бирациональ-но жестким, а группа Вггр^') — порожденной своей подгруппой А^(Х') и бирациональными инволюциями, связанными с некоторыми прямыми на X', соотношения между этими инволюциями в порожденной ими подгруппе отсутствуют

Так как теорема 3 11 существенно использует (ф-факториаль-ность многообразия X', а <0?-факториальность является трудно проверяемым глобальным (топологическим) свойством многообразия, представляется естественным вопрос о том, какие условия гарантируют 0>-факториальность многообразия X' Предложение 3 15 даёт ответ на этот вопрос если многообразие X' имеет не более 11 обыкновенных двойных точек, то оно 0>-факториально, с другой стороны, существуют не-<0>-факториальные многообразия этого типа с 12 обыкновенными двойными особенностями (пример 3 6 1) В главе 4 исследуются возможные комбинации центров максимальных особенностей на 0|-факториальной нодалыюй трехмерной квартике X Отметим, что подмногообразия X, которые могут являться центрами максимальных особенностей, были классифицированы М Мелла, что дало ему возможность описать образующие группы В1г(Х) С другой стороны, можно построить (довольно многочисленные) примеры соотношений между этими образующими (примеры 4 1 7 и 4 1 8) Предложение 4 19 классифицирует все возможные конфигурации центров максимальных особенностей на X, что дает возможность найти базисную систему соотношений на образующие группы В1г(Х) (следствие 4 1 10) Основное техническое утверждение в доказательстве — лемма 4 3 7, ограничивающая возможные конфигурации центров максимальных особенностей в терминах, конфигураций исключительных кривых на разрешении

особенностей некоторых гиперплоских сечений X Лемма 4 3 7, в свою очередь, основана на утверждениях, описывающих особенности общих (в пучке) гиперплоских сечений нодальных трехмерных гиперповерхностей (леммы 4 2 3 и 4 2 4)

В главе 5 исследуются достаточные условия Q-факториаль-ности для нодальных трехмерных квартик Теорема 5 13 утверждает, что если нодальная трехмерная квартика X имеет не более И обыкновенных двойных особенностей и не содержит плоскостей, или если X имеет 12 обыкновенных двойных точек и не содержит плоскостей и (двумерных) квадрик, то она Q-факториальна (отметим, что квартика, содержащая плоскость или двумерную квадрику Q-факториальной не является) Это утверждение является обобщением результата17 о Q-факториальности нодальных квартик, имеющих не более 8 особенностей, и частным случаем гипотезы Чилиберто и ди Геннаро18 о Q-факториальности нодальных гиперповерхностей (которое до этого была установлена только для кубических гиперповерхностей)

Пример He-Q-факториальиой нодальной трехмерной квартики, не содержащей плоскостей, дает общая квартика, содержащая двумерную квадрику (заметим, что в качестве вырождения этого примера можно получить уже упоминавшийся пример 3 6 1) В разделе 5 3 обсуждается связь этого многообразия с полным пересечением У квадрики и кубики в Р5 описывается (известное) бираци-ональное отображение между многообразиями этих типов (общая квартика, содержащая квадрику, бирационально эквивалентна по крайней мере двум различным — см замечание 5 3 2 — полным пересечениям квадрики и кубики), строится новый пример бира-циональной инволюции многообразия Y (пример 5 3 4 и утверждение 5 3 5), указывается связь между бирациональными инволюциями на У и на квартике (замечание 5 3 6)

17[Ch] I Cheltsov Non-rational nodal quartic threefolds // Pacific J of Math — 2006 — vol 226, No 1 -65-82

I8[CdG] С Cihberto, V d% Gennaro Factoriality of certain hypersurfaces of P3 with ordinary double points // Encyclopaedia of Mathematical Sciences — 2004 — vol 132 — 1-9

В главе б исследуются стандартные расслоения на поверхности Дель Пеццо степени 4 над Р1 Такие расслоения связаны с квар-тикой, содержащей (неособое) пересечение двух трехмерных квадрик Мы дополняем известную теорему В А Алексеева19, устанавливающую критерий рациональности расслоения этого типа X в терминах топологической эйлеровой характеристики хРО в0 всех случаях, кроме хРО = —4 теорема 6 2 1 утверждает, что все стандартные расслоения X на поверхности Дель Пеццо степени 4 над Р1 с эйлеровой характеристикой хРО = рациональны Она выводится из явного описания всех таких расслоений (лемма 6 3 4), которое, в свою очередь, выводится из доказываемого прямыми вычислениями критерия гладкости общего полного пересечения двух послойных квадрик в скролле (теорема 6 3 2)

Благодарности

Я благодарю моих научных руководителей д ф -м н профессора В А Псковских и д ф -м н профессора Ю Г Прохорова за постоянное внимание к моей работе, И А Чельцова за многочисленные советы на всех этапах подготовки диссертации, а также С С Галкина, М М Гриненко, Н Ф Зака, Ф Л Зака, В В Пржиялковско-го, А Согй, В Ри и Р ЯизБО за полезные обсуждения

19 [А] Алексеев В А Условия рациональности трехмерных многообразий с пучком поверхностей Дель Пеццо степени 4 // Мат Заметки — 1987 — том 41, N0 5 — 724-730

Список литературы

[1] Шрамов К А К вопросу рациональности неособых трехмерных многообразий с пучком поверхностей Дель Пеццо степени 4 // Мат сборник 197 (2006), вып 1, 133-144

[2] Шрамов К А <0>-факториальные трехмерные квартики // Депонировано в ВИНИТИ РАН 14 11 2006, № 1379-В2006, 14 с

[3] Шрамов К А Бирациональные автоморфизмы многообразий Фано степени 4 // Депонировано в ВИНИТИ РАН 14 11 2006, № 1378-В2006, 36 с

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова Подписано в печать ■{(}, С { С У-

Формат 60 x 90 1/16 Уел печ л /,(-'

Тираж 100 экэ Заказ 04

1 Введение

1.1 История вопроса.

1.2 Основные результаты диссертации.

2 Основные понятия

2.1 Обозначения и соглашения.

2.2 Особенности.

2.3 Расслоения Мори.

2.4 Разложение бирациональных отображений.

2.5 Метод максимальных особенностей.

2.6 Q-факториальность

3 Двойное накрытие квадрики

3.1 Формулировка основных результатов

3.2 Исключение центров максимальных особенностей: точки

3.3 Исключение центров максимальных особенностей: кривые

3.4 Соотношения.

3.5 Вспомогательные утверждения о точках на поверхностях

3.6 Q-факториальность

4 Бирациональные автоморфизмы трёхмерных квартик

4.1 Группа Bir(X).

4.2 Вспомогательные утверждения.

4.3 Центры максимальных особенностей.

5 Q-факториальные трёхмерные квартики

5.1 Формулировка основного результата.

5.2 Q-факториальность

5.3 Некоторые конструкции.

6 Расслоения на поверхности Дель Пеццо степени

6.1 Мотивировка.

6.2 Основные результаты

6.3 Определения, обозначения и формулировки.

6.4 Вспомогательные утверждения.

6.5 Доказательство теоремы 6.3.2.

6.5.1 Случай Bs|Di| = 0.

6.5.2 Случай Bs|jDi| = У

6.5.3 Случай Bspi| = У

6.5.4 Случай Bs|A| = У

1.1 История вопроса

Результаты диссертации тесно примыкают к классическим вопросам рациональности алгебраических многообразий и вычисления их групп бирацио-нальных автоморфизмов. Первый вопрос является одним из наиболее естественных и фундаментальных в бирациональной геометрии. Для кривых он был полностью решён ещё в 19 веке: любая кривая (как, впрочем, и любое алгебраическое многообразие) имеет неособую модель, а любое бираци-ональное отображение между (полными) неособыми кривыми продолжается до изоморфизма; в частности, любая неособая рациональная кривая изоморфна проективной прямой Р1. Случай поверхностей уже существенно более разнообразен и содержателен, однако тоже был полностью изучен классиками. От любой неособой поверхности S можно перейти к её минимальной модели Smin, последовательно стягивая (—1)-кривые на S. При этом Smin также является неособой поверхностью и бирационально эквивалентна S. На Smin возможна одна из следующих ситуаций: либо канонический класс Ksmin численно эффективен (то есть имеет неотрицательное пересечение со всеми эффективными кривыми), и тогда поверхность Smin (а следовательно, и S) заведомо нерациональна; либо существует кривая С С Smin, такая что CKSmin < 0. Заметим, что CKSmin ф -1 по определению минимальной поверхности. По формуле присоединения CKsmin ^ —3, и если CKsmln = —3, то можно доказать, что Smin — Р2 (в частности, S в этом случае рациональна). Наконец, если CKsmin = —2, то можно проверить, что Smin обладает структурой расслоения над некоторой кривой В, причём С является слоем этого расслоения. Поверхность Smin в этом случае рациональна тогда и только тогда, когда рациональна кривая В (то есть когда В = Р1), и все такие рациональные поверхности можно представить в виде Fn = Ppi(0 © 0(п)), п ^ 0, п ф 1 (поверхности Fn, включая также не минимальную поверхность Fi, называют рациональными линейчатыми поверхностями; также употребительно название поверхности Хирцебруха). Историю второго вопроса можно начать отсчитывать с 1871 года, когда М. Нётер (см. [44]) впервые доказал теорему о структуре группы Bir(P2) бирациональных автоморфизмов проективной плоскости Р2 над полем комплексных чисел (называемой также группой Кремоны). Оказалось, что Bir(P2) порождена подгруппой Aut(P2) = PGL^C) бирегуляр-ных автоморфизмов плоскости и одной бирациональной инволюцией, так называемым стандартным квадратичным преобразованием т, действие которого в некоторой однородной системе координат можно записать в виде т(хо : xi : х2) = (х\х2 : xQx2 : XQXi).

Идея доказательства состояла в том, чтобы, выбрав бирациональное отображение % : Р2 —Р2, изучить особенности собственного прообраза линейной системы прямых на Р2, то есть (неполной) линейной системы Л = х~1\0{\)\. Если х не является изоморфизмом, то Н имеет степень п = п(х) = п(Н) > 2, а также имеет базисные точки pi,. ,pk (среди которых, возможно, есть бесконечно близкие), кратности Н в которых равны ui,.,uk соответственно; можно считать, что v\ ^ щ ^ • • • ^ Щ- Так, например, для описанного выше отображения т степень равна 2, и соответствующая линейная система имеет базисные точки (1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0) и (0 : 0 : 1), причём все кратности равны 1. Если С\,С2 6 Н — общие кривые, то, так как вне базисного множества С\ и Сг трансверсально пересекаются в одной точке (ибо этим свойством обладают прямые на Р2), индекс пересечения С\ и Сг равен к n2 = CiC2 = l + 5>2. i—\

Так как кривые из системы Н рациональны и неособы вне точек р\,., pk, то к п-1)(п-2) = ^(г/г-1). г=1

Отсюда следует, что i>i + ь>2 Л-vz > п. (1.1.1)

Если точки pi, р2 и рз лежат на Р2 (то есть не являются бесконечно близкими точками), то можно рассмотреть композицию х со стандартным квадратичным преобразованием т, связанным с этими тремя точками (заметим, что все такие преобразования сопряжены друг другу при помощи элементов подгруппы Aut(P2)):

X1 = х°т :F2 — *Р2.

Заметим, что степень п(х') равна количеству точек пересечения вне точек Pi,P2,Pz общей кривой С G Н с коникой Q, проходящей через pi, Р2 и рз, то есть п(х') = 2п{х) - щ - V2 ~ v% < п(х).

Таким образом, степень п(х') меньше степени п(х), и процесс можно продолжить по индукции, разложив % в композицию стандартных квадратичных преобразований.

К сожалению, на этом доказательство нельзя закончить — среди базисных точек системы Н могут быть бесконечно близкие. Эта трудность не была преодолена в работе [44] и была устранена лишь в работах Кастель-нуово и Александера; с другой стороны, приведённый выше набросок доказательства демонстрирует некоторые идеи, применимые также и в более сложных случаях, в частности, в высших размерностях.

В размерности 3 теория становится значительно богаче (отметим, например, что в размерности 3 перестаёт быть верной привычная в размерности 2 теорема Люрота об эквивалентности рациональности и унирациональности — см. [8]). Первопроходцем в области трёхмерной бирациональ-ной геометрии, возможно, следует считать Фано (см., например, [35], [36], [37], [38]). Он исследовал трёхмерные многообразия, кривые-сечения которых являются каноническими кривыми; в частности, антиканонический дивизор на таких многообразиях обилен (сейчас многообразия с обильным антиканоническим дивизором принято называть многообразиями Фано). Им были предсказаны многие глубокие результаты, которые удалось доказать на удовлетворительном уровне строгости лишь через много лет после появления его работ.

В размерности 3 становится крайне сложно проверять нерациональность различных многообразий. Первые существенные успехи в этом направлении были достигнуты в работах Исковских и Манина [8], Клеменса и Гриффитса [27] и Артина и Мамфорда [18]. В [27] был развит метод промежуточного якобиана, а в [8] — заложены основы того, что впоследствии стало называться методом максимальных особенностей. Впоследствии эти методы широко применялись к вопросам рациональности трёхмерных многообразий; во втором случае это стало возможным во многом благодаря появлению программы минимальных моделей1 в работах С. Мори (современное введение в эту теорию можно найти в [42]).

Метод максимальных особенностей можно рассматривать как один из способов доказательства нерациональности многообразий. На этом пути были доказаны нерациональность неособой трёхмерной квартики (см. [8]), а также некоторых других неособых трёхмерных многообразий Фано (см. [7] и [9]). Этим методом также доказана бирациональная сверхжёсткость2 (а следовательно, и нерациональность) гиперповерхностей степени N в ¥n (см., например, [39]), а также разнообразных многомерных двойных накрытий и полных пересечений (см. [45]). В частности, метод максимальных особенностей остаётся одним из немногих (ср. [40]) способов доказательства нерациональности многообразий высших размерностей. (Так, например, теория промежуточного якобиана, возможно, более элегантная и эффективная в случае трёхмерных многообразий, на высшие размерности пока не обобщается.)

С другой стороны, метод максимальных особенностей применим к выдальнейшем мы часто будем пользоваться сокращением ПММ.

Определения см. в главе 2. числению групп бирациональных автоморфизмов (и, опять же, к доказательству бирациональной жёсткости, и, как следствие, нерациональности) некоторых особых трёхмерных многообразий Фано. Достаточно хорошо изучены гиперповерхности во взвешенных проективных пространствах, удовлетворяющие некоторым условиям общности (см. [31]). С другой стороны, при изучении с этой точки зрения необщих многообразий часто ограничиваются нодальными многообразиями (об эффектах, связанных с более сложными особенностями, см., например, [30]). Отметим, что появление даже обыкновенных двойных особенностей как правило увеличивает группу бирациональных автоморфизмов многообразия. Так, например, неособая квартика бирационально сверхжёстка (см. [8]), в то время как наличие уже одной особенности нарушает сверхжёсткость (хотя и не нарушает бирациональной жёсткости), добавляя к группе бирациональных автоморфизмов 25 независимых образующих (см. [13]). Тем не менее, для многообразий малых степеней получено довольно много результатов в этом направлении: в [7] и [9] доказана бирациональная жёсткость и вычислены группы бирациональных автоморфизмов неособых трёхмерных многообразий Фано степеней 2, 4 и 6; в [24] доказана бирациональная сверхжёсткость Q-факториального многообразия Фано степени 2 с любым количеством обыкновенных двойных точек; в [13] разобран случай кварти-ки, а в [2] — случай двойного накрытия квадрики с ветвлением в дивизоре степени 4 с одной обыкновенной двойной точкой; в [43] доказана бирациональная жёсткость и найдены образующие группы бирациональных автоморфизмов Q-факториальной трёхмерной квартики с любым количеством обыкновенных двойных точек3.

Вопросы рациональности трёхмерных расслоений на поверхности Дель

Пеццо степени d над Р^ изучались многими авторами. При d^ 5 все такие

многообразия рациональны. Расслоения с rf = 1, 2 и 3 изучались в [14],

[4], [33], [5], [12], [21], в результате чего было получено практически полное

решение вопроса о рациональности неособых расслоений на поверхности

Дель Пеццо стенени d— I и (при условии обш,ности) степени d = 2,3. Про расслоения на поверхности Дель Пеццо степени 4 известно следу юп],ее утверждение. Теорема (Алексеев, см. [1]). Пусть V — стандартное расслоение на

поверхности Дель Пеццо^ степени 4 над Р^. Если топологическая эй лерова характеристика х(^) Ф 0) ""8, —4, то V не рационально, если

x{V) = О, —8; то V рационально, наконец, если x(V )^ = —4, то многооб разие V рационально тогда и только тогда, когда его промежуточный

якобиан является якобианом кривой. Определение см. в разделе 6.3.Мы докажем следующее уточнение теоремы Алексеева. Теорема 6.2.1. Всякое стандартное расслоение на поверхности Делъ

Пеццо степени 4 над Р-^ с топологической эйлеровой характеристикой

—4 рационально. Это утверждение окажется следствием описания пересечений послой ных квадрик в скроллах с топологической эйлеровой характеристикой —4

(см. лемму 6.3.4 после введения соответствующих обозначений), которая в

свою очередь получается в качестве следствия из критерия гладкости пе ресечения двух послойных квадрик в пятимерном скролле (теорема 6.3.2). 6.3 Определения, обозначения и формулировки

Определение 6.3.1 (см., например, [1]). Неособое трёхмерное многообра зие X называется стандартным расслоением на поверхности Дель Пеццо

над Р \ если X обладает такой структурой расслоения на поверхности Дель

Пеццо над Р \ что все его слои нормальны, и р{Х) — 2. с? = 4, то X вкладывается в некоторый скролл Y = f^\[O{d\)®.. .®0{d^))

в качестве гладкого пересечения двух дивизоров, ограничение каждого из

которых на слой является квадрикой в Р*. Следовательно, можно всегда

считать X вложенным в У в качестве полпого пересечения двух послой ных квадрик. Обратно, если X — такое пересечение, нричём X гладко и

р{Х) = 2, то X является стандартным расслоением на новерхности Дель Пеццо стенени 4. Таким образом, чтобы явно описывать расслоения на

поверхности Дель Пеццо степени 4 над Р \ надо в первую очередь но дан ным линейным системам \Di\ и \D2\ нослойных квадрик на Y научиться

определять, существуют ли в них такие дивизоры, что их пересечение яв ляется гладким многообразием (или, что то же самое, является ли гладким

пересечение двух общих дивизоров из этих линейных систем). Зафиксируем некоторые обозначения, в терминах которых будет дан

ответ на последний вопрос. Пусть

где с?1 ^ . . . ^ с?5 = О (определение и основные свойства У описаны, напри мер, в [47]). Пусть MY — тавтологический обратимый нучок на У, Ly —

слой естественной проекции (/? : У —> Р^ (мы также будем использовать

обозначения М и L вместо Му и Ly в тех случаях, когда ясно, о каком

многообразии идёт речь). Пусть выбраны общие дивизоры Д G \2M+biL\,

i = 1,2, заданные уравнениями f\{x,t) = J2aijXiXj и f2{x,t) = Yll3ijXiXj

соответственно, где Xi — стандартные координаты в слое отображения (р,

а aij = aij{to,ti) (соотв., (3ij{tQ,ti)) — многочлены от координат на базе

степени di + dj + 6i (соотв. di + dj -Ь бг)- Нас интересуют условия на di, bj,

при которых X = DinD2 является гладким многообразием. Пусть У2,...,Уъ отрицательные подскроллы в У (то есть Fj — под многообразие, заданное уравнениями xi = .. . = Xi-i = 0). Очевидно, что

Bs|Di| может быть равно лишь Уз, ^4, Уь или 0 . Будем предполагать, что

h ^ &2 (в частности, Bs|D2| С Bs|Di|). Следующая теорема даёт критерий гладкости X в терминах параметров

di, bj. Отметим, что аналогичные рассмотрения в случае расслоений на поверхности Дель Пеццо степени 3 проводились в [21, Lemma 26] и [20,

Proposition 31, 32]. Теорема 6.3.2. При сделанных предположениях общее многообразие X

является гладким тогда и только тогда, когда выполнен один из следу ющих (взаимоисключающих) наборов условий. 1. Ъх ^ 0. 2. bi < О, 2с?4 + &1 ^ О, и выполнен один из следующих наборов условий

а ) с?! + &1 < 0; б2 = 0. 5 ) rfi + 6i ^ О, &2 ^ 0. e)bi = -di, 62 < О, c?3 + 62 > 0. 2 ) 61 = -d\, 62 = -с?2, с?2 > d^. (?) rfi + bi > О, (/2 + 61 > О, 62 < О, c?3 + &2 ^ 0. 3. 2di + 61 < 0; 2б?з + bi '^ О, и выполнен один из следующих наборов

условий

а) di> с?2; di > О, bi = —{di + di), 62 = 0. 6 ) di> б?2; di = 0, bi = —di, 62 = 0. в ) di > c?2 + di, di > 0, 61 = —di, 62 = —2^4, с?з + 62 ^ 0 или

^2 + &2 = 0. 2 ) C?i + 61 < 0, C?2 + C?4 + 61 ^ 0, &2 = 0. d)di + bi'^0,d2-\-di-\-bi^0,d2-{-bi< 0, dz + di + bi< 0, 62 ^ 0. e ) di > c?2; di > d^ + di, d2 + di> di, 61 = -di, 62 < 0, 2с?4 + б2 ^ 0,

c^ 3 + &2 ^ 0 или (^ 2 + 62 = 0.ii = б?2 + di, ^2 > d^, di > 0, bi = —di, 62 < 0, 2^4 + 62 ^ 0;

(^ 3 + 2^ ^ 0 или ^2 + 2^ = 0. к ) с?з + 6?4 ^ c?i, 61 = —di, 62 < 0; 2с?4 + &2 ^ 0, c?3 4- &2 ^ 0 или

Л1 ) (/2 4- 61 ^ 0; с?з 4- c?4 4- 61 ^ 0; &2 < 0; 2(^ 4 4- &2 ^ 0, с?з 4- &2 ^ 0-

W } Дч ^ ^ До — uQ . ^ L/« flyi — U, 1/1 — По — *fll • ^. 2б?з + b\ < 0; 2с?2 4- 6i ^ 0, и выполнен один из следующих наборов

условий

Замечание 6.3.3. Нетрудно проверить, что для каждого из наборов yCJЮ вий из теоремы 6.3.2 существует многообразие X, удовлетворяющее усло виям этого набора. Доказательству теоремы 6.3.2 посвящен раздел 6.5. Некоторая громозд кость этого результата частично оправдывается тем, что как следствие из

него получается следующее утверждение (см. раздел 6.6).Лемма 6.3.4. Пусть X — стандартное расслоение на поверхности Дель

Пеццо степени 4 над ¥^, и х{^) — ^- Тогда X изоморфно полному пе ресечению двух послойных квадрик в скролле, причём для параметров di,

bj есть лишь следующие возможности. (Xi) di = d2 = dz — d4 = 0; bi = O, b2 = l (случай 1 теоремы 6.3.2). {X2) di = 2, d2 = d^ = di = 1, bi = —2, 62 = —1 (случай 2в теоремы 6.3.2). Наконец, теорема 6.2.1 получается из леммы 6.3.4 после проверки ра циональности многообразий Xi и Х2 (см. раздел 6.6). 6.4 Вспомогательные утверждения

Лемма 6.4.1. Многообразие X гладко тогда и только тогда, когда вы полняются следующие условия:

(*) на Bs|Z)i| \ Bs|D2| пересечение D2 П SingDi — 0,

(**) на BS|JD2| векторы grad3.(/i) и gradj.{f2) не пропорциональны ни в

какой точке. Доказательство. Ясно, что если X гладко, то условия (*) и (**) вы нолнены. Обратно, предположим, что выполнены (*) и (**). В точках

Di П {D2 \ Bs|D2|) многообразие Di неособо по условию (*), а дивизор D2

подвижен, так что по теореме Вертини многообразие X неособо всюду, кро ме, быть может, множества Bs|D2|. В точках Bs|Z)2| многообразие X глад ко тогда и только тогда, когда векторы grad(/i) = (grada.(/i),grad^(/i))

и grad(/2) = (grad^(/2),gradf(/2)) не пропорциональны ни в какой точке. Пусть D'-, г = 1,2, — дивизоры, заданные уравнениями ^ = 0. Тогда \Dl\ = \2М + {bi - 1)L|, и Bs|Д' | D Bs |A | . Поэтому grad,(/i) и grad,(/2)

тождественно равны нулю на Bs|Z)2|, и условие непропорциональности гра диентов переписывается в виде (**). D

В дальнейшем для проверки гладкости X всюду будут проверяться

именно условия (*) и (**). Зафиксируем некоторые необходимые для дальнейшего обозначения. Пусть Mi обозначает 2 х 3-матрицу

/ аиХ4 + 0:153:5 Oi2iXi + 0:252:5 0:342:4 + 0:352:5 \

\ PuXi + (З15Х5 /^ 242:4 + Р25Х5 ^342:4 + ^352:5 у

а М5 — 2 X 4-матрицу

/ 0:25 о;з5 0:45

Пусть m-L 1 ^ г < j ^ 3, / = 4,5 обозначает 2 х 2-минор матрицы Mi,

составленный из её столбцов с номерами i и j . Рассмотрим следуюш,ие условия:

(**)4 многочлены т\^ не имеют обш,их нулей на Y^. *)5 многочлены т | - не имеют обш,их нулей на Y^. (Смысл этих условий в том, что при Bs|D2| = I4 условие (**) равносильно

условию (**)4, а при Bs|£)2i = ^5 ^ условию (**)5-)

Лемма 6.4.2. При сделанных предполоэюениях условие (**)4 выполняет ся в том и только том случае, если Ь\ = —di = — (с?2 + d^), 62 = —с?2 = Доказательство. Очевидно, для выполнения условия (**)4 необходимо,

чтобы последний столбец М^ не был нулевым, то есть необходимо ds +

(^ 4 + ^ 2 ^ 0. Кроме того, если ^25 = О или ai^ = О, то m-j обращаются в

нуль на Y^, то есть условие (**)4 влечёт ^2 + ^ 2 ^ О и rfi + 6i ^ 0. Наконец,

если о;24 = О, то условие (**)4 также не выполнено, то есть (**)4 влечёт

2^ + 4^ + 6 1 ^ 0. Предположим теперь, что имеют место перечисленные неравенства. На

поверхности У4 — ^{di, 0) рассмотрим дивизоры

dj е \2Му, + {di + dj + 61 +

заданные уравнениями т-^ — О, дивизор

заданный уравнением «14X4 + c^i5^5 = О, и дивизор

заданный уравнением (Зих^ + Аб^б = О- Тогда дивизоры Си, А и В по движны, Си с Ci3 и А с В пересекаются трансверсально. Следовательно,

СиПCi3 содержит СиСи = 4(c?i + с?4 + &i + 2^) + 2(^2 + с?з) точек, аАПВ

содержит АВ = 2di + (^ 4 + 1^ + 2^ точек. Если CnCiz — О, то условие (**)4 выполнено; равенство

нри сделанных предположениях эквивалентно тому, что bi = Ь2 — —di =

—d2 = —d^, di = 0. Нусть CuCi3 ф 0. Заметим, что одновременное обра щение в нуль миноров m\2 и т\1 влечёт обращение в нуль минора тщ^ за исключением случая, когда обращается в нуль нервый столбец матрицы

М4. Поэтому если C^Cis ф О, то для выполнения условия (**)4 необходи мо и достаточно СпПС\% d АГ\В. Так как ЛП Л С CyiПCi3, это условие

равносильно тому, что

= 2{di + f/2 + dz) + 3{d4 + 61 + 62) =

При сделанных нредиоложениях это равенство эквивалентно тому, что

bi = —di = — (с?2 + di), &2 = —d2 = — (с?з + di)- Чтобы получить оконча тельный ответ, заметим, что эти условия слабее тех, которые получались

при С12С13 = 0. П

Лемма 6.4.3. При сделанных предположениях условие (**)5 выполняет ся в том и только том случае, если выполнены условия di + bi ^ О,

<^з + &2 ^ О, или если выполнены условия di + bi — О, d2 + Ь2 = О и хотя

бы одно из двух условий di -\- Ь2 = О и d2 + bi < 0. Доказательство. При di + bi <0 первая строка матрицы М^ нулевая, так

что с?1 + fei ^ О необходимо для вынолнения (**)5. Если же di + bi ^ О,

то (**)5 выполнено либо когда не равны нулю тождественно два минора

(5) / (5) (5)ч

mlj (и тогда можно считать, что это миноры т\2 и т\^), то есть при

есть при deg(Q;i5) = di -{- bi = О, deg(;525) = б?2 + 2^ = О и одном из двух

условий: deg(/?i5) = (ii + 62 = О или deg(Q:25) = с?2 + 1^ < 0. D

Следующее утверждение поможет сократить вычисления в разде ле 6.5.4.Лемма 6.4.4. Пусть Bs|Di| = У3; с?2 + '^ з + 1^ ^ О- Тогда для выполнения

условия (*) необходимо 2(c?i + с?2 + ^з + ^4) + 46i + 62 = 0. Если при этом

либо di + di-\-bi ^ О, 62 ^ 0; либо di + bi ^ 0; 2с?4 + &2 ^ 0; ^ о это условие

таксисе достаточно. Доказательство. Если Bs|Di| = Yz, то все компоненты grada.(/i), кроме,

быть может, 1^ = «132:3 + ctu^A + «152:5 и | ^ = «23^3 + ot2iX4 + 0:252:5,

тождественно равны нулю на 1з- Так как с?2 + ^з + l^ ^ 0) '^ го многочлены

и Q;i3 ненулевые. Пусть ^1 и ^2 — дивизоры, заданные уравнениями 0:132:3 + 0142:4 +

= О и 0232:3 + 0242^ 4 + 0252:5 = О соответственно. Так как Sing(Di) =

Л1ПЛ2П13, то условие (*) означает, что D2nAir]A2nYz = 0 . В частности,

необходимо ^i^2-D2|y3 = О, то есть, так как |Л1| = \Муз + {di + б1)Ьуз|,

И2| = |-Л^Уз+(< 2^+&1)Ьуз1' и 1з — ]?(с?з, di, 0), то это условие неренисывается

как 2{di + (/2 + 4 + ^4) + 46i + 62 = 0. Если с?1 + с?4 + &1 ^ о, то ^1 и ^2 не имеют общих компонент, и их

пересечение — эффективная кривая на Уз, так что при

= О следует D2 П Ai П ^ 2 П Уз = 0- Если c^ i + &i ^ О, то Ai

и ^2 не имеют общих компонент, и Y^ (^ Ai, так что при Y^ <f. Bs|£)2| из

= О следует D2 П Ai П ^2 П Уз = 0. D

6.5 Доказательство теоремы 6.3.2

6.5.1 Случай Bs|A| = 0

Этот случай имеет место тогда и только то1^ да, когда Ь\ ^ 0. Условия (*)

и (**) выполнены автоматически (случай 1 теоремы 6.3.2).6.5.2 Случай

Этот случай имеет место тогда и только тогда, когда bi < О, и при этом

2с?4 + 6i ^ 0. По условию все компоненты grad2.(/i), кроме, быть может,

Ш " "15, Й " "25, 1 ^ = «35 и 1 ^ = «45, тождественно равны нулю на

Рассмотрим несколько возможностей. Случай с?1 + &1 < 0. Тогда grad3,(/i) = О тождественно на Уб- Из (**) следует Bs|L)2| = 0 , а

из (*) следует, что D2 П У5 = 0 , то есть 62 = О (случай 2а теоремы 6.3.2). Очевидно, это условие является также и достаточным для вынолнения

условий (*) и (**). Случай с?1 4- &1 = 0. При этом условии deg(ai5) = 0. Если при этом Bs|D2| = 0 (то есть 62 ^ 0),

то (*) и (**) выполнены автоматически (случай 26 теоремы 6.3.2). Если же

Bs|Z)2| = ^ (^ 2 < 0), то необходимо и достаточно проверить условие (**)

на Уб- Так как никакие два из многочленов а^ ,^ (5ы не имеют общих нулей

на I5, то (**) равносильно (**)5- Таким образом, по лемме 6.4.3, условие

(**) выполнено либо при из + &2 ^ О (случай 2в теоремы 6.3.2), либо при

(i2 + &2 = О и одном из двух условий: с?1 + 62 = О или 6^2 + 61 < 0; нетрудно

заметить, что при сделанных предположениях б?i + 62 = О эквивалентно

тому, что 6i = &2, а. с/2 + 1^ < О эквивалентно тому, что bi < 62, то есть

одно из этих двух ус;ювий выполняется автоматически — это случай 2г

теоремы 6.3.2.Случай di + bi > 0. Если при этом (^ 2 + &1 < О, то Di имеет изолированные особенности на

У5, и по (*) необходимо Bs|Z)2| = 0 , то есть 62 ^ 0. Очевидно, условие

2^ ^ О является также достаточным для выполнения (*) и (**) (независимо

от предположения ^2 + 61 < 0). Это случай 26 теоремы 6.3.2. Если же

с?2 + &1 ^ О и 62 < О, то Bs|Z)2| = Y5, и (**) равносильно (**)5, то есть

(так как di + bi ^ 0) по лемме 6.4.3 условие (**) равносильно с?з + 62 ^ О

(случай 2д теоремы 6.3.2). 6.5.3 Случай Bspi 1 = 4^

Этот случай имеет место тогда и только тогда, когда 2с?4 + bi < О, 2d^ +

61 ^ 0. По условию все комноненты grada.(/i), кроме, быть может, ^ =

равны нулю на Y^. Рассмотрим несколько возможностей. Случай di + d4 + bi< 0. Тогда Sing(Z)i) = У4; в частности, Sing(Z)i) содержит прямую /, лежащую

в слое отображения (р. Так как D2 € \2М + b2L\, то lnD2^ 0, а условие

(*) не вынолнено. С л у ч а й di + di + bi^ О, c?i + 6i < О, d2 + d4 + bi< 0. Тогда ai5 = 0124 = Q;25 = 0:34 = 0^ 35 = О, и в случае deg(Q;i4) > О дивизор

Di особ вдоль некоторой прямой в слое (р, так что из условия (*) следует

deg(ai4) = О, то есть di -\- di + bi = 0. Далее, так как Di особ вдоль то из условия (*) также следует 62 = 0. Очевидно, что эти условия явля ются также достаточными для выполнения условий (*) и (**) (случай За

теоремы 6.3.2). С л у ч а й di + bi^ О, d2 + di + bi< 0 . Тогда QI24 = о;25 = <^34 = 0(35 = О, И Sing(Di) = с, где кривая С задана на

У4 уравнением аиХ4 + ai^x^ = 0. Так как С т^ 0, то но условию (*)

необходимо Bs|Z?2| С Y^, то есть 2di + 62 ^ 0. Также но условию (*)

необходимо

то есть di i- bi = О, 2с?4 + 2^ = 0. Так как С ^ У^, то этого достаточно

для вынолнения условия (*). Если с?4 = О, то условие (**) выполнено ав томатически (случай 36 теоремы 6.3.2), а если d^ > О, то Bs|D2| = У5, и

по лемме 6.4.3 условие (**) выполняется либо при ^3 + 6 2 ^ О, либо при

с^2 + 2^ = О (случай Зв теоремы 6.3.2). С л у ч а й di + bi< О, d2 + d4 + bi^ 0 . Тогда «15 = QJ25 = о;з5 — 0. При этом, так как многочлены аи и 0:24 не

имеют общих нулей, то Sing(£)i) = Y5. Из условия (*) следует 62 = 0. Оче видно, это условие также является достаточным для вынолнения условий

(*) и (**) (случай Зг теоремы 6.3.2). Случай di + bi^ О, с/2 + c?4 + &i ^ О, ^2 + &i < О, с^ з + /^4 + 6i < 0. Тогда О!25 = 0^ 34 = 0^ 35 = о, и Di имеет не более чем изолированные особен ности. Если di+bi > О, то Di в числе нрочего имеет особенности на У^, так что из условия (*) следует Ьг ^ 0. Очевидно, это условие является доста точным для выполнения условий (*) и (**) независимо от предположения

di + bi> О (случай Зд теоремы 6.3.2). Если di + bi = О, Ь2 < О и d2 + di + bi > О, то Di имеет особенности на

I4 \ Уб) и по условию (*) необходимо Bs|D2| 7^ Y4, то есть 2б?4 + &2 ^ О, так

что Bs|D2| = Y^- По лемме 6.4.3 условие (**) в этом случае эквивалентно

тому, что либо с?з + &2 ^ О, либо d2 + b2 = 0 (случай Зе теоремы 6.3.2). Если di + bi = О, 62 < О и б?2 + с^4 + 6i = 0, то Di неособ. Если при

этом Bs|Z)2| = V5, то есть 2с?4 + &2 ^ О, то по лемме 6.4.3 условие (**)

эквивалентно тому, что либо 6/3 + 62 ^ О, либо 6^2 + &2 = О (случай Зж

теоремы 6.3.2). Если же Bs|i)2| = Y4, то есть 2с?4 + 2^ < 0; I'o условие (**)

равносильно условию (**)4. По лемме 6.4.2 это эквивалентно тому, что

bi = -di = — (с?2 + di), 62 = -d2 — —{d3 + di) (случай Зз теоремы 6.3.2). Случай di-\-bi^ О, d^-\-di-{-bi ^ О, c?2 + &i < 0. Тогда Q;25 = 0:35 = 0. Если di + bi > О, то Di имеет (изолированные)

особенности на Y^, так что из условия (*) следует 62 ^ 0. Это условие

является достаточным для выполнения условий (*) и (**) независимо от

предположения di + bi> О (случай Зи теоремы 6.3.2). Если di -\- bi = О, 62 < О, то Di неособ. Если Bs|Z)2| = ^5; то есть

2di + 62 ^ О, то по лемме 6.4.3 условие (**) эквивалентно тому, что либо

dz-\-b2 ^ О, либо с?24-Ь2 = О (случай Зк теоремы 6.3.2). Если же Bs|D2| = Yi,

то условие (**) равносильно условию (**)4. По лемме 6.4.2 отсюда следует

, что противоречит предположениям ^2+^1 < О» с?з+с?4+&1 ^ 0.Случай d^ + di + bi^ О, с?2 + 6i > 0. Тогда Di неособ. Если &2 ^ О, то условие (**) выполнено автоматически

(случай Зл теоремы 6.3.2). Если 62 < О, 2^4 + &2 ^ О (то есть B s p 2 | = Y^),

то, так как нри этом Ь2> h, но лемме 6.4.3 условие (**) вынолнено только

нри с?з + &2 ^ О (случай Зм теоремы 6.3.2). Если же 2с?4 + 62 < О (то есть

Bs|D2| = I4), то условие (**) равносильно условию (**)4. По лемме 6.4.2

это эквивалентно тому, что bi = —di — —{d^ + с?4), 62 = —d^ = —{dz + di). При сделанных предположениях отсюда следует 6i = 62, с?1 = с?2 = с?з > О,

d4 = 0 (случай Зн теоремы 6.3.2). 6.5.4 Случай Bs|Di| = 73

Этот случай имеет место тогда и только тогда, когда 2^з + 6i < О, 2с?2 +

6i ^ 0. По условию все комноненты grad^(/i), кроме, быть может, ^ =

а^хз + 0:142:4 + 0(15^5 и ^ = «23^3 + a2iOCi + «25^5) тождественно равны

нулю на Уз Рассмотрим несколько возможностей. Случай d2 + dz + bi < 0. Тогда о;2з = QJ24 = 0:25 = О, и Sing(Di) содержит нрямую в общем слое

отображения (р, следовательно, условие (*) не вынолняется. Случай d2 + d3-\-bi^ О, с/2 + ^4 + &i < О, di + bi< 0. Тогда «15 = о;24 = <^ 25 = О- Если deg(Q;23) > О, то Sing(Di) содержит кри вую в слое отображения (р над нулём многочлена о;23- Таким образом, но

условию (*) необходимо с?2+с?з+^1 = 0. В этом случае Sing(Z)i) С I4. Если deg(Q;i4) 7^ О (в том числе если эта степень меньше О, то есть многочлен

0114 нулевой), то Sing(Di) содержит прямую в слое ^, так что необходимо

di+ di + bi = 0. В этом случае Sing(Di) = Y^, п для вынолнения условий

(*) и (**) необходимо и достаточно 2^ = О (случай 4а теоремы 6.3.2). Случай d2 + di-\-bi ^ О, di-\-bi< 0. Тогда Q;I5 = «25 = О, и У5 С Sing(Di). Следовательно, для выполнения

условия (*) необходимо 62 = 0. По лемме 6.4.4 условие (*) равносильно

условию

TO есть c?2 + с?4 + 6i = dii- dz + bi = 0. Так как 62 = О, то условие (**)

выполнено автоматически (случай 46 теоремы 6.3.2). Случай 6^2 + с^ з + &1 ^ О, d2-\-d^-{-bi < О, di + bi^ 0. Тогда 0124 = о;25 = 0. Если di-\-bi > О, то Sing(Di) OY^^ 0,и необходимо

62 ^ 0. По лемме 6.4.4 условие (*) равносильно условию

противоречие. Поэтому необходимо di-\-bi = 0. Так как нри d2+d^ + bi> О

множество Sing(Z)i) содержит прямую в слое (р, то необходимо также с?2 +

d3 + bi = 0. По лемме 6.4.4 из условия (*) следует

что равносильно 2с?4 + &2 = о, то есть (снова по лемме 6.4.4) при сделанных

предположениях условие (*) равносильно 2с?4 + 2^ = 0. Если при этом с?4 > О, ТО Bs|D2| = Уб; и условие (**) равносильно (**)5, а это условие

(так как с?2 + &i < О, rfi + 6i — 0) по лемме 6.4.3 равносильно тому, что

с^ з + 2^ ^ О или d2 -\- Ь2 = О (случай 4в теоремы 6.3.2). Если же с?2 = О,

то есть Bs|Z)2| = 0 , то имеем Ь2 = О, что, очевидно, влечёт выполнение

условия (**) (случай 4г теоремы 6.3.2). Так как Sing(A) ^ 0 , то Bs|D2| ¥" ^ з, то есть 2с?з + &2 ^ 0. По лемме 6.4.4

из условия (*) следует

О = 2{di + d2 + d3 + di) + 4&i + 62 = 2{di + h)

TO есть б?2 + ^4 + 6i = c?i + 6i = 2с?з + 62 = 0- Если при этом dz > di, то

Bs|£)2| = I4, и по лемме 6.4.2 из условия (**) следует 62 = {dz + с?4))

то есть ^3 = 4^) противоречие. Таким образом, dz = d^, и по лемме 6.4.4

перечисленные условия также достаточны для выполнения условия (*). Условие 2d4 + &2 = О означает, что Bs|Z)2| С Y^. Если Bs|Z)2| = 0, то

из 2^ ^ О следует 62 = с?з = с?4 = 0; условие (**) при этом выполпено

автоматически (случай 4д теоремы 6.3.2). Если же Bs|D2| = У5, то есть

с?4 > О, то условие (**) равносильно условию (**)5. Ввиду того, что с?2 +

6i < О и с/з + &2 < О, по лемме 6.4.3 условие (**)5 равносильно тому, что

с?2 + 62 = О (случай 4е теоремы 6.3.2). 6.6 Приложение к расслоением на новерхности Дель

Пеццо стенени 4

Применяя теорему 6.3.2, получаем Следствие 6.6.1. Пусть при сделанных в разделе 6.3 предполоокени ях многообразие X неособо и топологическая эйлерова характеристика

= —4. Тогда имеет место одна из следующих возможностей. (Xi) di = d2 = dz = di = 0, 6i = 0; 62 = 1 (случай 1 теоремы 6.3.2). (X2) di = 2; c?2 = б?з = c?4 = I, bi = —2, 62 = —1 (случай 2в теоремы 6.3.2). di = 4, с?2 = 3; dz = 2, с?4 = 1, bi - -4, 62 = - 3 (случай Зз теоре мы 6.3.2). Доказательство. Легко убедиться, что х ( ^ ) = 16 X] г^ 206i — 2О62 +16

(это следует, например, из [15, Пример 3.2.11]). Остаётся только решить

уравнение —16 J2 c?i—206i—2062+16 = —4 совместно с наборами уравнений

и неравенств на di, bj из теоремы 6.3.2. П

Таким образом, все интересующие нас многообразия содержатся в трёх

перечисленных семействах, и нам достаточно проверить рациональность

общего члена каждого из этих семейств. Замечание 6.6.2. В случае Хз базисные множества Bs|Z)i| и Bs|D2| со держат Y4. Рассмотрим общий слой Х^ как поверхность над полем C(io)

рациональных функций на прямой. Эта поверхпость содержит прямую,

определённую над С(^о), а значит относительное число Пикара р(Хз/Р^)

не меньше 2. Из следствия 6.6.1 и замечания 6.6.2 моментально получается лем ма 6.3.4. Лемма 6.6.3. Многообразия Xi и Х2 рациональны.Доказательство. Проекция Xi С Р* х Р^ в Р^ даёт бирациональный (так

как в этом случае D2 6 |2М + Ц) морфизм на трёхмерную квадрику

Q CF^, откуда сразу получаем рациональность Xi. Для доказательства рациональности Х2 С Y = F(2,1,1,1,0) рассмот рим проекцию 7Г: У —>• У = F(2,1,1,1) из кривой У5 С Y. При этой проек ции Хг бирационально отображается на дивизор Х'2 € \ЗМу' — 3Ly/|. При

отождествлении Y' с У" = F(1,O,0,0) многообразие Хз С У" становится

дивизором из линейной системы |ЗМу//|. Наконец, стягивание а : У" —^ Р^

отрицательного нодскролла У2 представляет У" в виде раздутия плоско сти Р^ С Р^ и бирационально отображает Хз на кубику в Р^. Теперь для

доказательства рациональности Хг достаточно показать, что эта кубика

особа. Покажем, что особенности возникают уже на Х!^. Для этого найдём все

кривые, стягиваемые отображением тг. Очевидно, что они должны быть

при всех значениях параметра s выполнены равенства Так как ai^ — ненулевая константа, то эти равенства нереписываются

в виде

a22xl + аз /^ 222:2 + Рз;

)XI + ^44^4 + «:

32:3 + ^^ 443^ 4 + А

/^ 252^ 2 +

232:2X3 + а24Х2Х4

>3X2Xz + /^242^22:4

+ 0342:32:4

+ /5342:32:4

В частности, в общем слое ничего не стягивается. С другой стороны, в двух

слоях стягивается но одной прямой: уравнения 6.6.4, 6.6.5 и 6.6.7 (не зави сящие от t) задают (с точностью до пропорциональности) два возможных

значения направляющего вектора v = {vi,V2,vz,V4), для каждого из кото рых линейное по t уравнение 6.6.6 даёт ровно одно значение t, такое что

прямая с направляющим вектором v в соответствующем слое содержит ся в Di П D2. Таким образом, многообразие Х2 имеет две (обыкновенные

двойные) особые точки. П

Замечание 6.6.8. Доказать рациональность многообразия Хз тоже неслож но — Хз содержит поверхность Y4, и проекция из I4 бирационально отоб ражает Хз на рациональное многообразие F(4,3,2). Лемма 6.3.4 и лемма 6.6.3 доказывают теорему 6.2.1.

1. Алексеев В. А. Условия рациональности трехмерных многообразий с пучком поверхностей Дель Пеццо степени 4 // Мат. Заметки. — 1987. - том 41, No. 5. - 724-730.

2. Гриненко М. М. Бирациональные автоморфизмы трёхмерной двойной квадрики с простейшей особенностью // Мат. Сборник — 1998. том 189, No. 1. - 101-118.

3. Гриненко М. М. Бирациональные автоморфизмы трёхмерного двойного конуса // Мат. Сборник 1998 - том 189, No. 7. - 37-52.

4. Гриненко М.М. Бирациональные свойства пучков поверхностей дель Пеццо степени 1 и 2 // Мат. Сборник — 2000 — том 191, No. 5. 17-38.

5. Гриненко М. М. Бирациональные свойства пучков поверхностей дель Пеццо степени 1 и 2. II // Мат. Сборник — 2003 — том 194, No. 5. 31-60.

6. Псковских В. А. Антиканонические модели трёхмерных алгебраических многообразий // в сб. "Итоги науки и техники: современные проблемы математики", т. 12 М.: ВИНИТИ, Москва 1979. - 59158.

7. Псковских В. А. Бирациональные автоморфизмы трёхмерных алгебраических многообразий // в сб. "Итоги науки и техники: современные проблемы математики", т. 12 — М.: ВИНИТИ, 1979. — 159-236.

8. Кац В. Бесконечномерные алгебры Ли. — М.: Мир, 1993 — 425 с.

9. Мании Ю.П. Кубические формы. — М.: Наука, 1972. — 304 с.

10. Пржиялковский В. В., Челъцов П. А., Шрамов К. А. Гиперэллиптические и тригональные трехмерные многообразия Фано // Изв. РАН Сер. матем 2005 - том 69, No. 2. - 145-204.

11. Пухликов А. В. Бирациональные автоморфизмы трехмерной квартики с простейшей особенностью // Мат. Сборник — 1988 — том 135 (177), No. 4.-472-496.

12. Пухликов А. В. Бирациональные автоморфизмы трехмерных алгебраических многообразий с пучком поверхностей дель Пеццо // Изв. РАН Сер. матем. 1998 - том 62, No. 1. - 123-164.

13. Фултон У. Теория пересечений — М.: Мир, 1989. — 583 с.

14. Челъцов И. А. Бирационально жёсткие многообразия Фано // УМН 2005 - том 60, No. 5 (365). - 71-160.

15. Artin М. Some numerical criteria for coritractibility of curves on algebraic surfaces // American Journal of Mathematics — 1962 — Vol. 84, No. 3. 485-496.

16. Artin M., Mumford D. Some elementary examples of unirational varieties which are not rational // Proc. London Math. Soc. — 1972 — No. 25. 75-95.

17. Bese E. On the spannedness and very ampleness of certain line bundles on the blow-ups off I and Fr // Math. Ann. 1983 - No. 262. - 225238.

18. Brown G., Corti A., Zucconi F. Birational geometry of 3-fold Mori fibre spaces // arXiv:math. AG/0307301 (2004).

19. Cheltsov I. Nonrational del Pezzo fibrations // arXiv:math.AG/0407343 (2004).

20. Cheltsov I. Non-rational nodal quartic threefolds // Pacific J. of Math. 2006 - vol. 226, No. 1. - 65-82.

21. Cheltsov I. Points in projective spaces and applications // arXiv:math.AG/0511578 (2006).

22. Cheltsov L, Park J. Sextic double solids // arXiv:math.AG/0404452 (2004).

23. Cheltsov I., Park J. Halphen pencils on weighted Fano threefolds // arXiv:math.AG/0607776 (2006).

24. C. Ciliberto, V. di Gennaro Factoriality of certain hypersurfaces of P3 with ordinary double points // Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer-Verlag, Berlin. 2004 - No. 132. - 1-9.

25. Clemens H., Griffiths P. The intermediate Jacobian of the cubic threefold // Annals of Mathematics 1972 - No. 95. - 73-100.

26. Corti A. Factorizing birational maps of threefolds after Sarkisov// Journal of Algebraic Geometry 1995 - No. 4. - 223-254.

27. Corti A. Singularities of linear systems and 3-fold birational geometry // L.M.S. Lecture Note Series 2000 - No. 281. - 259-312.

28. Corti A., Mella M. Birational geometry of terminal quartic 3-folds I // Arner. J. Math. 2004 - vol. 126, No. 4 - 739-761.

29. Corti A., Pukhlikov A., Reid M. Fano 3-fold hypersurfaces // L.M.S. Lecture Note Series. 2000 - No. 281. - 175-258.

30. Cynk S. Defect of a nodal hypersurface // Manuscripta Math. — 2001 — No. 104. 325-331.

31. Grinenko M. On the birational rigidity of some pencils of del Pezzo surfaces // Jour. Math. Sciences 2000 - No. 102. - 3933-3937.

32. Eisenbud D., Koh J.-H. Remarks on points in a projective space //in "Commutative algebra, Berkeley, С A, MSRI Publications", No. 15 — Springer, NY, 1987 157-172.

33. Fano G. Sulle variety algebriche a tre dimensioni aventi tutti i generi nulli //in "Atti Congr. Int. Bologna IV", 1929 115-121.

34. Fano G. Su alcune varieta algebriche a tre dimensioni a curve sezioni canoniche //in "Scritti Mat. offerti a L.Berzolari 1st. Mat. R. Univ. Pavia", 1936 329-349.

35. Fano G. Sulle varieta algebriche a tre dimensioni a curve sezioni canoniche // in "Mem. Accad. d'ltaliana VIH", 1937 23-64.

36. Kollar J. Nonrational hypersurfaces //Journal of the American Mathematical Society 1995 - No. 8. - 241-249.

37. Kollar J. Singularities of pairs //in "Algebraic geometry — Santa Cruz 1995, Proc. Symp. Pure Math. AMS", No. 62 1997 - 221-287.

38. Matsuki K. Introduction to the Mori program. — Universitext, Springer, 2002 478 pp.

39. Mella M. Birational geometry of quartic 3-folds II: the importance of being Q-factorial // Math. Ann. 2004 - No. 330. - 107-126.

40. Noether M. // Ueber Flachen welche Schaaren rationaler Curven besitzen // Math. Ann. 1871 - No. 3. - 161-227.

41. Pukhlikov A. Birationally rigid Fano complete intersections // J. Reine Angew. Math. 2001 - No. 541. - 55-79.

42. Pukhlikov A. Essentials of the method of maximal singularities // L.M.S. Lecture Note Series 2000 - No. 281. - 73-100.

43. Reid M. Chapters on algebraic surfaces //in "Complex algebraic geometry (J.Kollar, editor), Lecture notes from a summer program held in Park City, Utah, in 1993" 1997 - 5-159.