Бирациональная жесткость двух типов трехмерных многообразий фано с особенностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

у

/ * &и>

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А.СТЕКЛОВА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

Гриненко Михаил Михайлович

УДК 513.6

БИРАЦИОНАЛЬНАЯ ЖЕСТКОСТЬ ДВУХ ТИПОВ ТРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ ФАНО С ОСОБЕННОСТЯМИ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель: доктор физико-математических наук В.А.Псковских

Москва - 1998

Оглавление

1 Введение 3

2 Элементы метода максимальных особенностей 13

2.1 Основные понятия........................................13

2.2 Свойства порога присоединения........................15

2.3 Неравенство Нётера-Фано ..............................18

2.4 Подсчёт кратностей пересечения. Квадратичное неравенство ..................................................20

2.5 Заключительные замечания о методе..................24

3 Бирациональная жёсткость двойной квадрики с особой точкой 29

3.1 Основной результат......................................29

3.2 Максимальные особенности ............................31

3.3 Трудный случай..........................................34

3.4 Откручивание автоморфизмов..........................45

3.5 Доказательство следствия 3.1.2........................48

4 Бирациональная жёсткость двойного конуса 51

4.1 Описание двойного конуса..............................51

4.2 Описание бирациональных автоморфизмов ..........55

4.3 Основной результат......................................58

4.4 Максимальные особенности............................59

4.5 Бесконечно близкие особенности ......................64

4.6 Максимальные кривые..................................68

4.7 Доказательство следствия 4.3.2............ 70

Список литературы................. .........................73

Глава 1 Введение

1. Среди множества различных алгебраических, дифференциальных и топологических структур, которые можно рассматривать на алгебраическом многообразии, одно из центральных мест занимает поле рациональных функций. Это объясняется тем, что оно, с одной стороны, является довольно "грубым" объектом, так как инвариантно относительно перехода к открытому (в топологии Зарисского) подмножеству, и, с другой, заключает в себе весьма существенную информацию о самом многообразии. Изоморфизм полей функций двух многообразий индуцирует изоморфизм (в обычном, бирегулярном смысле) некоторых их открытых подмножеств, и наоборот. Такого сорта "не всюду определённые" отображения называются бирациональными изоморфизмами и задают отношение эквивалентности в категории алгебраических многообразий. Раздел алгебраической геометрии, изучающий многообразия с точностью до бирациональной эквивалентности, называется бирациональной геометрией.

Важнейшая из задач бирациональной геометрии - проблема рациональности. В наиболее общей своей постановке - описание многообразий, бирационально эквивалентных проективному пространству соответствующей размерности, - эта проблема исключительно трудна и решена только в размерности 1 и 2. Нетрудно видеть, что пространства глобальных сечений тензорных

степеней пучков дифференциальных форм есть бирациональные инварианты (характеристику основного поля мы считаем равной 0), и их обнуление является необходимым условием рациональности многообразия. Для кривых и поверхностей, как известно, это условие является также и достаточным. Оказывается, в более высоких размерностях это уже не так, и именно с установления этого факта начинается современный период в истории бирацио-нальной геометрии.

В самом начале 70-х годов почти одновременно были предложены три метода доказательства нерациональности некоторых многообразий с нулевыми дифференциально-геометрическими инвариантами. Это метод максимальных особенностей Псковских и Манина ([3]), метод Артина и Мамфорда ([19]) и метод промежуточного якобиана Клеменса и Гриффитса ([21]). Артин и Мам-форд, используя группу Брауэра как дискретный бирациональ-ный инвариант, построили примеры нерациональных расслоений на коники. Методом промежуточного якобиана была доказана нерациональность трёхмерной кубики. Здесь необходимо отметить следующее. Один из ключевых объектов бирациональной геометрии - многообразия, представимые в виде связки коник. Их промежуточные якобианы составляют класс абелевых многообразий специального вида, так называемые многообразия Прима, которые, в свою очередь, исследуются в рамках теории кривых. Это обстоятельство привело к созданию большой математической теории, в развитии которой также принимали и принимают участие многие зарубежные и отечественные математики, такие как А.Бовиль ([20]), Д.Мамфорд ([27]), А.С.Тихомиров ([14],[15]),

A.Н.Тюрин ([16], [17]), В.В.Шокуров ([18]) и другие.

Весьма эффективным также оказался метод, предложенный

B.А.Псковских и Ю.И.Маниным. Идеи метода максимальных особенностей восходят к работе М.Нётера [28], где он, анализируя особенности линейных систем на плоскости, даёт набросок доказательства своей знаменитой теоремы о кремоновой группе (то

есть группе бирациональных автоморфизмов) плоскости над алгебраически замкнутым полем; первое строгое доказательство этой теоремы появилось только в 1901 году и принадлежит одному из классиков итальянской школы алгебраической геометрии Ка-стельнуово. Замечательно, что именно в Италии идеи Нётера получили дальнейшее развитие, и другой итальянский математик, Дж.Фано, чьи работы выходили в течении почти всей первой половины нашего века, попытался применить их к исследованию проблемы рациональности трёхмерных алгебраических многообразий. Он сформулировал целый ряд утверждений о нерациональности трёхмерных многообразий с обильным антиканоническим классом (сегодня их называют многообразиями Фано) ([23],[24],[25],[26]), но во всех этих случаях его рассуждения не выдерживали никакой критики, и до конца 60-х годов о его работах практически не вспоминали.

Ситуация изменилась с появлением работы В.А.Псковских и Ю.И.Манина о трёхмерных квартиках ([3]), где были преодолены проблемы, возникавшие перед Фано, и было дано строгое изложение метода максимальных особенностей в размерности 3. Из доказанного в этой статье совпадения групп бирегулярных и бирациональных автоморфизмов для гладкой квартики в Р4 следовала её нерациональность. В дальнейшем тем же способом были вычислены группы бирациональных автоморфизмов и доказана нерациональность ещё целого ряда трёхмерных ([4],[7],[8],[10]), а в [6] - даже четырёхмерного многообразия. Один из учеников В.А.Исковских, В.Г.Саркисов, используя основные идеи метода максимальных особенностей, доказал в работах [12] и [13] для многообразий, расслоенных на коники, единственность структуры расслоения при достаточно сильных вырождениях, откуда, в частности, также следовала их нерациональность.

Совсем недавно другой ученик В.А.Исковских, А.В.Пухликов, разработал принципиально иную техническую основу метода ([9], [29]). Его подход оказался настолько удачным, что целый класс

многообразий, недоступный для старой техники, а именно, расслоения на поверхности Дель Пеццо, удалось вовлечь в орбиту метода максимальных особенностей ([11]). Более того, все основные положения были сформулированы инвариантно относительно размерности, так что стало возможным получать результаты в любой размерности ([30], [31]).

В настоящий момент метод максимальных особенностей переживает "вторую молодость", что связано как с появлением новых идей внутри самого метода, так и проникновением в него другой весьма интенсивно развивающейся ветви бирациональной геометрии - программы минимальных моделей (например, [5], [22]). Вероятно, уже в ближайшее время в этом направлении появится большое количество работ, и поэтому важная задача сегодня -"нащупать" пределы применимости существующего подхода, понять, насколько расширился диапазон доступных для решения проблем. Эти соображения служили основным мотивом при написании данной диссертации.

2. Основная задача диссертации - совершенствование аппарата метода максимальных особенностей, разработка алгоритма преодоления некоторых стандартных для метода трудных случаев и описание на этой основе бирациональных соответствий двух типов трёхмерных многообразий Фано с особенностями.

Теоретической основой метода максимальных особенностей является концепция максимальной особенности линейной системы, то есть базисного подмножества высокой кратности, удовлетворяющего неравенству Нётера-Фано. Максимальные особенности возникают в собственных прообразах линейных систем при би-рациональном отображении, в котором нарушается монотонность (невозрастание) их порогов канонического присоединения. Поведение порогов канонического присоединения при отображениях фиксируется понятием бирациональной жёсткости.

Почти во всех исследованных на сегодня методом максималь-

ных особенностей многообразиях возникает ситуация, преодоление которой вызывает особые трудности. Это случаи, когда линейная система имеет максимальную особенность над точкой, через которую проходит кривая достаточно малой степени. Новая техническая основа метода, предложенная в [9] и [29], позволяет подойти к данной ситуации с единых позиций и разработать технический приём, преодолевающий эти трудности.

Как основной результат, в диссертации доказана бирациональ-ная жёсткость следующих типов многообразий:

1) двойного накрытия квадрики в Р4 с ветвлением в дивизоре, высекаемом квартикой и имеющем обыкновенную двойную точку;

2) двойного накрытия конуса в Р4 с ветвлением в дивизоре, высекаемом гладкой квартикой.

И в том, и в другом случаях доказывается нерациональность и отсутствие структур расслоения на коники, а также описаны группы бирациональных автоморфизмов. Для многообразия второго типа, имеющего две структуры расслоения на поверхности Дель Пеццо, доказано отсутствие других структур расслоения на рациональные поверхности.

3. Диссертация состоит из введения и трёх глав.

Во второй главе собраны основные понятия и факты, относящиеся к методу максимальных особенностей, а также рассматриваются основные технические приёмы метода.

Класс многообразий, естественный для метода максимальных особенностей, описывается понятием Фано-расслоения:

Определение. Многообразие V называется Фано-расслоением, если существует морфизм тх : V —> S такой, что dim S < dim V и слой Fv морфизма ж над схемной общей точкой rj многообразия S

неприводим и удовлетворяет условию обрыва канонического присоединения, то есть для любого дивизора Вейля И на линейная система + тКр \ пуста для всех достаточно больших т.

Для таких многообразий вводятся ключевые определения порога присоединения линейной системы и бирационалъной жёсткости:

Определение. Пара (V, ~Н), где И - непустая линейная система дивизоров Вейля на многообразии V, называется пробной, если выполняются следующие условия:

а) % не имеет неподвижных компонент;

б) существует число а — а(у,'Н) £ называемое порогом (канонического) присоединения, такое, что для всякого рационального числа (3 > а линейная система

\т(Н + рКу)\

пуста при любом т £ Z+; т(5 6 Ъ.

Определение. Фано-расслоение тт : V —> 5 называется бирацио-нально жёстким, если для всякой пробной пары (IV, %) и бираци-

онального отображения /л : V---> Ш существует бирационалъ-

ный автоморфизм х £ В{г(ГТ]) С Вгг(у) многообразия V такой, что

<х{У,{ц о х)-1П) <<*№%)•, будем говорить, что V сверхжёстко, если всегда

< а(\¥,Ч).

В параграфах 2.2, 2.3 и 2.4 описывается технический аппарат метода максимальных особенностей.

В последнем параграфе главы 2 описана общая схема доказательства бирациональной жёсткости многообразия, а также вводится конструкция, позволяющая в некоторых случаях разобраться с наиболее трудными моментами в применении метода максимальных особенностей.

В главе 3 доказывается бирациональная жёсткость трёхмерной двойной квадрики с особой точкой.

В §3.1 формулируется основной результат главы. Пусть Р -квартика в Р4, гладкая всюду, кроме точки Р, где она имеет обыкновенную двойную особенность. Предположим, что гладкая квадрика С Р4 такова, что дивизор = (¿Г\Р проходит через точку Р, имеет в ней обыкновенную двойную особенность и не имеет других особых точек. Рассмотрим морфизм двойного накрытия 7Г : V —>■ <5, разветвлённый над Рд. Многообразие V называется двойной квадрикой; оно имеет обыкновенную двойную точку над точкой Р и не содержит других особенностей. Предполагается, что У подчинена следующим условиям общности (не принципиального, а технического характера): существует 12 прямых на £,), каждая из которых проходит через точку Р и касается Рд ещё в некоторой точке, отличной от Р; нет прямых на пересекающих Рд только в точке Р; Р и ф не имеют общих прямых, проходящих через Р.

Пусть В С V - кривая, не содержащаяся в дивизоре ветвления и такая, что

7т\в : I 7г(В)

есть изоморфизм на прямую. С каждой такой кривой В связана бирациональная инволюция тд £ В {г (У).

Теорема. Описанная выше сингулярная двойная квадрика У является бирационально жёстким многообразием.

Следствие. 1) V нерационально и не бирационально изоморфно никакому расслоению на коники или на поверхности Дель-Пеццо. 2) Группа Вгг(У) бирационалъных автоморфизмов включается в точную тройку

1 —> *тв —>• Въг(У) —> АиЬ{У) —► 1

где АиЬ{у) - группа бирегулярных автоморфизмов V, *тв - свободное произведение инволюций тв по всем кривым В С V указанного выше вида.

В §3.2 описываются максимальные особенности, которые могут иметь линейные системы на V. Исключение одного трудного частного случая проводится в §3.3 с помощью приёма, рассмотренного в самом конце второй главы.

В §3.4 показывается, как с помощью бирациональных инволюций вида тв понизить порог присоединения соответствующих линейных систем, и завершается доказательство теоремы. Её следствие доказано в §3.5.

Результаты третьей главы опубликованы в [1].

В главе 4 доказывается бирациональная жёсткость трёхмерного двойного конуса.

Пусть <5 С Р4 - квадратичный конус, Яд - гладкий дивизор на нём, высекаемый квартикой и не проходящий через вершину, и 7г : X —> ~ двойное накрытие с ветвлением в Яд. Многообразие X называется двойным конусом.

В §4.1 описаны некоторый свойства двойного конуса и ограничения технического характера на него. X бирационально имеет две естественно определённые структуры расслоения на поверхности Дель Пеццо степени 2; два малых разрешения V и V реализуют их бирегулярно. Вообще же, как это показано в диссертации, на двойном конусе бирациональных структур расслоения на рациональные поверхности "очень много".

В §4.2 описываются бирациональные автоморфизмы X. Во-первых, это две бирациональные инволюции т\ и 72, связанные с двойными точками X. Во-вторых, это инволюции г/, связанные с кривыми /, которые являются сечениями относительно какой-нибудь одной из структур расслоения на поверхности Дель Пеццо.

Основной результат главы сформулирован в §4.3.

Теорема. Двойной конус является бирационально жёстким мно-

гообразием.

Обозначим через В(Х) группу, свободно порождённую всеми би-рациональными автоморфизмами вида г/, т\ и т<2 двойного конуса X. Кроме того, пусть 1х С В1г(Х) - подгруппа, порождённая бирегулярной инволюцией двойного накрытия и бирациональной инволюцией т\. Через Уп обозначим слой над общей (в схемном смысле) точкой прямой расслоения 71у V —> Р1, а через 17^ - то же для ттц \ и —^ Р1. Очевидно, существует естественное вложение 1х в группы бирациональных автоморфизмов Вгг^У^) и В1г(17^).

Следствие. 1) Двойной конус нерационален и не изоморфен би-рационалъно никакому расслоению на коники. 2) Группа В1г(Х) бирациональных автоморфизмов двойного конуса X есть полупрямое произведение группы В(Х) и группы би-регулярных автоморфизмов АиЬ(Х), то есть Вгг(Х) включается в точную тройку

О —В(Х) —> Вгг(Х) —► АЫ(Х) —> О

Более того, в общем случае В1г(Х) есть свободное произведение групп Бгг(Уг??) и Вгг^и^) с общей подгруппой 1х, то есть

В1г(Х) ~ В1г(УГ1) * Вгг^г,)

1х

В параграфах 4.4 и 4.5 исключаются максимальные особенности линейных систем над точками, в 4.6 - с помощью указанных выше бирациональных инволюций понижается порог присоединения; там же завершается доказательство теоремы. Следствие доказано в 4.7.

Результаты главы 4 опубликованы в [2].

4. Основное поле всюду предполагается изоморфным полю комплексных чисел С. Если В - некоторый дивизор, то через

обозначается линейная система (не обязательно полная), общим элементом которой является И. Из контекста всегда будет ясно, о какой линейной системе идёт речь.

Глава 2

Элементы метода максимальных особенностей

2.1 Основные понятия

Все рассматриваемые алгебраические многообразия, если не оговорены дополнительные условия, предполагаются проективными и неособыми в коразмерности 1.

Определение 2.1.1 Пара где % - непустая линейная си-

стема дивизоров Вейля на многообразии V, называется пробной, если выполняются следующие условия:

а) Л не имеет неподвижных компонент;

б) существует число а = а(у,'Н) Е такое, что для всякого рационального числа ¡3 > а линейная система

\т{Н + /ЗКу)\

пуста при любом т Е 1<+, т(3 Е Ъ.

У�