Бирациональная геометрия трёхмерных расслоений на поверхности дель Пеццо малых степеней тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А.СТЕКЛОВА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

Гриненко Михаил Михайлович

УДК 513.6

БИРАЦИОНАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ТРЁХМЕРНЫХ РАССЛОЕНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ ДЕЛЬ ПЕЦЦО МАЛЫХ СТЕПЕНЕЙ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Москва - 2004"

Работа выполнена в Математическом институте им. ВАСтеклова РАН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук С.Г.Танкеев

доктор физико-математических наук Ф.Л.Зак доктор физико-математических наук Д.О.Орлов Ведущая организация:

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова, механико-математический факультет

Защита диссертации состоится 7 апреля 2005 г. в(14 00час. на заседании диссертационного совета Д.002.022.03 при Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН по адресу:

Москва 117966, ул. Губкина, 8 Математический институт РАН

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института РАН.

совета Д.002.022.03 при МИ РАН,

доктор физико-математических наук Н.П.Долбилин

5~ О}.

Автореферат разослан "_" февраля 2005 г.

Учёный секретарь диссертационного

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Настоящая диссертация посвящена вопросам бирациональной классификации неособых трёхмерных многообразий, расслоенных над прямой на поверхности дель Пеццо степеней 1 и 2. Сама по себе проблема бирациональной классификации относится к одной из наиболее классических задач алгебраической геометрии, над которой, начиная с середины 19-го века, работали многие математики из разных стран и разных школ. Основной же объект диссертации - расслоения на поверхности дель Пеццо - тесно связан с бирациональными теориями, возникшими в последние 20 лет, такими, как программа минимальных моделей и программа Саркисова.

В настоящее время существуют несколько методов в бирациональной геометрии, ориентированных, как правило, на решение проблемы рациональности. Это, в частности, метод Клеменса-Гриф-фитса, основанный на анализе структуры промежуточного якобиана алгебраического многообразия, и его обобщения, применяемые к вырождениям многообразий. Затем, метод Артина-Мамфорда. где рассматривается такой бирациональный инвариант многообразия, как группа Брауэра. В середине 90-х годов появился метод Коллара, в котором доказательство нерациональности многообразия достигается спуском в конечную характеристику и рассмотрением чисто несепарабельных накрытий. Недавно И.А.Чельцов предложил ещё один прием, когда исходное многообразие деформируется к многообразию бирационально изоморфному расслоению на коники над линейчатой поверхностью.

Все перечисленные методы обладают своими достоинствами и недостатками, но наиболее универсальным и информативным является метод максимальных особенностей. По всей видимости, появление этого метода следует связывать с Максом Нётером1, сформули-

N other M., U]x;r Flachen welche Schaaren rationaler Curven besitzen // Math. Ann. 1871. V. 3. P. 1G1 227

ровавшим и частично доказавшим результат о порождающих группы Кремоны (группы бирациональных автоморфизмов) проективной плоскости. Сам результат выглядит удивительно просто: группа Сгф*) порождена бирегулярными автоморфизмами, то есть элементами Аи^Р8) „ и каким-нибудь квадратичным преобразоанием. Заметим, что для СМ!*), хотя прошло больше 130 лет, ничего похожего пока даже сформулировать не удалось (и, вероятно, не скоро удастся).

Ключевая идея метода максимальных особенностей видна уже на примере теоремы Нётера: необходимо следить за базисными подмножествами "большой"кратности в линейных системах. В этом духе рассуждал и Дж. Фано ^тэ Fano), пытавшийся распространить эти идеи на трёхмерные многообразия. Трёхмерная геометрия, разумеется, много сложнее и богаче, но Фано выяснил, что многообразия, которые он рассматривал (как правило, они принадлежали классу, впоследствии названному В.А.Псковских многообразиями Фано), во многих случаях устроены так, что на подмножества "большой кратности "существуют очень сильные ограничения, и это либо исключало их существование вообще, либо позволяло найти подходящий бирациопальный автоморфизм, как в случае квадратичного преобразования на плоскости, и "открутить"кратности, понизив степень линейной системы. Фано сформулировал целый ряд очень сильных утверждений, но, к сожалению, доказательства его не отличались прозрачностью, во многих случаях до сих пор не ясно, насколько точны его рассуждения. Любопытно, что его тексты практически полностью лишены формул.

Тем не менее, многое из того, что было анонсировано Фано, впоследствии было доказано. И первой в новой истории метода максимальных особенностей была теорема Ю.И.Манина и В.А.Исковских о квартикс2. Им удалось дать строгое доказательство утверждения, сформулированного Фано, о том, что группа бирациональных авто-

2Исковских В.А., Мании Ю.А., Трёхмерные квартики и контрпримеры к проблеме Люрота И Матем. сборник. 1971. Т. 86, №1. С. 140-166

морфизмов неособой трехмерной квартики совпадает с группой би-регулярных автоморфизмов До этого и К) И Манин, и В А Исков-ских много времени уделяли изучению геометрии поверхностей над не замкнутыми полями, в том числе и функциональными пытаясь таким образом подои и к геометрии многомерной В последствии это вылилось в целый ряд исключительно сильных результатов, которые служат одним из опорных моментов настоящей диссертации Несмотря на первые успехи в применении метода максимальных особенностей достигнутые к 80-м юдам в работах В А Псковских и В Г Саркисова (которому удалось применить эту технику к расслоениям на коники) ситуация вскоре ухудшилась Связано это было вероятно с изначальной направленностью схемы метода максималь ных особенностей предложенной Ю И Маниным и В А Псковских на решение слишком конкретных задач (неособые многообразия Фа-но с малой Степенью антиканонического класса) Технически зто выражалось в идее пробною класса и ориентации на использование характерного для метода квадратичного неравенства В это время осу ществляются неудачные попытки исследования многообразий Фано индекса 2 (в работах С И Хашина), не удается усилить результат о расслоениях на коники не получается применить схему к исследованию расслоений на поверхности дель Пеццо, и так далее

Некоторый успех в то время был достигнут в работах А В Пухли-кова успешно применившего метод максимальных особенностей к мноюобразиям с особенностями (квартика с обыкновенной двойной точкой) Тогда же был сделан важный шаг к большим размерностям была доказана теорема совпадении бирациональных и бирегулярных автоморфизмов четырехмерной квинтики

Положение изменилось в 90-х годах благодаря новым работам А В Пухликова Он переработал схему метода отказавшись от тех ники пробного класса блаюдаря тщательному анализу структуры максимальных особенностей и применив язык дискретных норми-рований3 Новые идеи оказались чрезвычайно плодотворными ме-

3Пухликов А В Замечание к теореме В А Псковских и Ю И Манииа о трехмерной квар

тод теперь работал во всех размерностях и обрёл большую гибкость, благодаря чему, например, удалось "зацепить"расслоения на поверхности дель Пеццо. Так, был доказан аналог результата Исковских-Манина во всех размерностях (гиперповерхности степени М в РЛ/), для расслоений на поверхности дель Пеццо малых степеней доказана бирациональная жёсткость при выполнении К2-условия, причём стало возможным комбинировать подходы и исследовать многообразия с несколькими различными структурами расслоения. В новом своём виде метод макимальных особенностей оказался исключительно хорошо приспособленным к другим теориям. Скажем, он стал основным (и, видимо, единственным) практическим средством в программе Саркисова - общем подходе к факторизации отображений между расслоениями Мори, основанном идеях В.А.Иековских, В.Г.Саркисова, М.Рида и доказанной А.Корти

Цель работы - исследование бирационалыюй геометрии неособых трёхмерных расслоений Мори на поверхности дель Пеццо степеней

1 и 2. не подпадающих под К2- -условие (подробнее об этом условии сказано ниже, где формулируются основные результаты). Многообразия указанного типа, удовлетворяющие такому условию (что является общей ситуацией), были одной из тем докторской диссертации А.В.Пухликова. Тем не менее случаи, в которых К2- -условие не выполнено, относятся не только к более трудным, но и к более содержательным. Например, среди них находятся многообразия, содержащие (в бирациональном смысле) различные структуры расслоений на рациональные подмногообразия, в частности, бирацио-нально изоморфные многообразиям Фано основной серии индекса

2 и степеней 1 и 2. Кроме того, хотя метод максимальных особенностей, используемый в диссертации в качестве основного технического средства, принципиально применим к исследованию любых многообразий отрицательной кодаировой размерности, в частности, к описанию трёхмерной группы Кремоны, важной проблемой оста-

тике // Труды МИ РАН 1995. Т. 208. С. 278 289

ются границы практической применимости метода. В диссертации удалось расширить эти границы, впервые успешно применив метод к многообразию Фано индекса 2 (так называемому двойному конусу над поверхностью Веронезе). Таким образом, разработанная в диссертации методика позволяет вплотную подойти к исследованию многообразий Фано индекса 2 и степеней 2 и 3, тем самым осуществив "смычку" различных методов бирациональной геометрии, в данном случае метода промежуточного якобиана (и его обобщения на вырождения многообразий) и метода максимальных особенностей.

Методы исследования. В диссертации используются как общие алгсбро-гсометрическис методы - теория дивизоров и линейных систем дивизоров на многообразиях, теория пересечений, теория крат-ностей, так и специфически бирациональные - метод максимальных особенностей, программа Саркисова, программа минимальных моделей.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Исследована проблема бирациональной жёсткости для неособых расслоений на поверхности дель Пеццо степеней 1 и 2, не удовлетворяющих ^-условию. Как результат, доказан критерий би-рациональной жёсткости для указанного класса многообразий.

Доказан результат о единственности неособой модели для расслоений на поверхности дель Пеццо степеней 1 и 2 в классе всех бирациональных отображений над базой.

Дополнительно для неособых расслоений на поверхности дель Пеццо степени 1 исчерпывающе исследованы все нежёсткие случаи, в частности, найдены все различные структуры Мори. Среди таких случаев оказываются многообразия, бирационально эквивалентные многообразию Фано индекса 2 и степени 1.

Научная значимость работы. Результаты, полученные в диссертации, завершают бирациональную классификацию неособых трёхмерных расслоений на поверхности дель Пеццо степени 1 и реша-

ют проблему бирациональной жёсткости для степеней 1 и 2. Развитие метода максимальных особенностей, достигнутое в диссертации, позволяет применить его к исследованию бирациональной геометрии "трудных"с классической точки зрений многообразий, таких, как многообразия Фано индекса 2.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре по алгебраической геометрии в Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН, на семинаре по бирациональной геометрии на механико-математическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова, на семинарах по алгебраической геометрии в Институте Макса Планка (Бонн, 2000, 2003), Корейском институте высших исследований (Сеул, 2001), Ливерпульском университете (2002). Берлинском университете (2003). а также на различных международных конференциях (по геометрии многомерных алгебраических многообразий, институт Исаака Ньютона, Кембридж, 2003: конференции но случаю 70-летия кафедры алгебры механико-математического факультета МГУ, и других).

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы из 40 наименований. Объём диссертации 130 страниц.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 7 работах, список которых приведён в конце автореферата.

Содержание работы

Напомним, что тройка Ц : X —> 5 называется расслоением Мори, если X проективное многообразие с О-факториальными терминальными особенностями, нормальное многообразие размерности строго меньшей, чем размерность X, И Ц экстремальное стягивание расслоенного типа, то есть относительное число Пикара р(Х/8) = р{Х) — р(5) равно 1 И (—Кх) относительно обилен.

В размерности 3 (на данный момент наивысшая размерность, где доказана программа минимальных моделей) есть три возможных типа расслоений Мори:

1) многообразие Фано (иногда называют Q-Фано), если dim 5 = 0,

то есть S точка:

2) расслоение на поверхности дель Пеццо степени d. если dim S — 1 и слой над общей (схемной) точкой S есть поверхность дель Пеццо степени d;

3) расслоение на коники, если S поверхность.

В дальнейшем, чтобы не загромождать текст, расслоения Мори обозначаются не только ц : X —> S, НО И X/S или даже просто X, если из контекста ясно, о каких базах и структурных морфизмах идёт речь.

Пусть даны два трёхмерных расслоения Мори V/S И U¡Т и би-рациональное отображение X '■ V —+ Тогда программа Саркисо-ва утверждает, что существует конечная цепочка бирациональных отображений

где Xq/Sq — V/S,Xi/Si,...,Xn/Sn = U/T расслоения Мори, такая, что х = ХД' 0 Хлт-1 0 • • ■ 0 Xl ° Xi и каждый Xi принадлежит одному из четырёх элементарных линков (Саркисова). Отметим, что разложение отображения на линки неоднозначно. В частности, композиция элементарных линков может быть элементарным линком.

Теперь дадим важное определение:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.1. Будем говорить, что бирациопальное отображение х '■ У У между расслоениями Мори р : V —» S и р': V' -» S' бирационально над базой, а сами расслоения имеют одну и ту же структуру Мори (посредством отображения х), если

А'о --+ Хх Х2 -

4-

So Si S2

ХЗ —♦

ХЛ-1 хк v

—+ Ajv-l — + л n

• в ситуации dim S — dim 5' > 0 существует бирациопальное отображение ф : S —■* S' такое, что р' о % = ф о р!

• в ситуацииdimS = dimS' = 0 Q-Фамо многообразияУ и V' изоморфны (и тогда х можно рассматривать как бирацио-нальный автоморфизм на V).

Указанное отношение (то есть "быть бирациональным над базой") разбивает всё множество расслоений Мори, бирациональ-но эквивалентных некоторому многообразию X, на классы эквивалентности, и множество этих классов эквивалентности мы будем обозначать MS{X) и называть множеством структур Мори на Х.

Очевидно, множество структур Мори является бирациональным инвариантом. Отметим важный частный случай:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.2. Будем говорить, что многообразие X является бирационально жёстпким, если множество структур Мори MS(X) состоит из одного элемента.

Бирационально жёсткие многообразия образуют обширный важный класс многообразий. Например, бирационально жёсткие многообразия нерациональны. Это немедленно следует из того, что Р3 бирационально изоморфно Р1 X Р2, то есть ,M<S(P3) содержит, как минимум, два элемента (на самом деле, столько, какова мощность основного поля).

Понятие множества структур Мори очень полезно при определении бирационального типа многообразия. Во многих случаях простое сравнение множеств структур Мори сразу даёт ответ (например, у одного это множество содержит расслоение на коники, у другого - нет). Если же к описанию множества структур Мори добавить описание "хорошей"модели в каждом классе бирациональной эквивалентности над базой, то мы получаем полноценное с практической точки зрения описание бирационального типа многообразия,

сведя задачу бирациональной классификации к задаче классификации бирегулярной. Под "хорошей" моделью понимается такой класс многообразий, который удобен для описания и сравнения. Пример такого подхода приведён в диссертации для неособых расслоений на поверхности дель Пеццо степени 1. Нетрудно видеть, что это даёт практическое решение задачи бирациональной классификации.

Кратко опишем основные результаты диссертации. Всюду предполагается, что основное поле алгебраически заскнуто и имеет характеристику ноль. Пусть р : V Р1 неособое расслоение Мори на поверхности дель Пеццо степени (I, ГДС в, равно 1 или 2. Это означает, что V неособо, все слои структурного морфизма р приведены и неприводимы и являются нормальными поверхностями дель Пеццо степени <1. Общий слой, по теореме Бертини, неособ. Обозначим Г) общую схемную точку неособая

поверхность дель Пеццо степени над нолем функций прямой.

Одним из первых в диссертации доказывается следующий результат:

ТЕОРЕМА 0.3. Пусть р '.V —} Я и (/ '.V' Б неособые расслоения на поверхности дель Пеццо степени 1 или 2 над кривой 8,1р '.V —+ V бирациональное отображение тахое, что следующая диаграмма коммутативна:

Предположим также, что ф индуцирует изоморфизм слоев и У^ над общей схемной точкой 7] кривой Тогда ф продолжается до изоморфизма V и V'.

Это не что иное, как утверждение о единственности нсособой модели в классе всех бирациональных отображений над базой. Таким образом, неособые модели для рассматриваемого класса многообразий удобно выбрать в качестве "хороших" (о которых говорилось

чуть выше). Утверждение этой теоремы в виде гипотезы было сформулировано автором в [1] (гипотеза 4.1).

Отметим, что стержнем диссертации является гипотеза, впервые появившаяся в [3] (гипотеза 3.1) для d = 1. Напомним, что эффективный дивизор на многообразии называется подвижным, если соответствующая ему полная линейная система не имеет базисных компонент. По аналогии с конусом эффективных кривых NE(X) в программе минимальных моделей определяется конус подвижных дивизоров NM(X) в пространстве R^W (где р{Х) число Пикара многообразия X) как выпуклая оболочка всех подвижных дивизоров на X, а также замыкание этого конуса в обычной веществен-

ной топологии.

Определение. Расслоение на поверхности дель Пеццо V/Р1 удовлетворяет K-условию, если (—Ку) ^IntNK^V), и удовлетворяет К2-условию, если (—Ку)2 ^ IntNE(V).

В диссертации А.В.Пухликова было показано, что . К2 яв-

ляется достаточным для бирациональной жёсткости нсособых расслоений на поверхности дель Пеццо малых (не выше 3) степеней4. Однако затем стало ясно что оно не является необходимым. В связи с этим возникла следующая гипотеза:

ГИПОТЕЗА 0.4 (Основная гипотеза). Расслоение Мори р : V —» pl

на поверхности дель Пеццо степеней 1, 2 или 3 бирациональ-но жёстко тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет К-условию, или, иными словами, когда линейные системы \п( —Ку)— F\ пусты либо имеют базисную компоненту при всех п > 0 (здесь F обозначает класс слоя).

Во всех известных доказанных жёстких и нежёстких случаях гипотеза (0.4) выполняется. Из сформулированных далее результатов этой диссертации и диссертации А.В.Пухликова следует важный факт:

4Пухликов А.В , Бирациональные автоморфизмы трёхмерных алгебраических многообразий с пучком поверхностей Дель Пеццо // Ичв. РАН. Сер. матем. 1998. Т. 62, -V«L С. 123- 164

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 0.5. Для неособых расслоений (Мори) на поверхности дель Псццо степеней 1 или 2 гипотеза (0-4) верна (для d = 2 по модулю условий общности).

Пусть р : V -> Р1 неособое расслоение на поверхности дель Пец-цо степени 1. Известно, что любая горенштейновая поверхность дель Пеццо степени 1 может быть получена двойным накрытием невырожденного квадратичного конуса с ветвлением в сечении кубикой, не проходящей через вершину конуса. Относительный вариант этой конструкции позволяет построить Именно, многообразие V

получается двойным накрытием многообразия

Q С Proj P1 (Ö © 0(щ) е 0(П2) © ОМ)

для некоторых чисел 0 < Щ < П2 < Щ, причём Q расслоено над

на невырожденные квадратичные конуса, а само накрытие разветвлено над неособым сечением некоторым дивизором R. Обозначая МиЬ соотвественно тавтологический дивизор и слой указанного ^-расслоения над Р1, можно показать, что для некоторого неотрицательного числа € имеем Q ~ 2M — |(rî] + Пч + Щ — s)L и R ~ 3M — 3sL. В диссертации доказывается, что набор (е, Щ, П2, щ) определяет V/P1 с точностью до деформаций. Отметим, что числа в наборе не свободны от соотношений.

Одним из основных результатов диссертации является следующий:

ТЕОРЕМА 0.6. Пусть V/P1 пеособое расслоение (Мори) на поверхности дель Пеццо степени d — 1, не удовлетворяющее К2-условию. Тогда V нерационально и:

1) V/P1 бирационально жёстко, за исключением, случаев структурных констант (0,2,2,2) и (0,0,1,2). Из свойства единственности неособой модели в классе отображений над базой следует, что V/P1 единственное неособое расслоение Мори в своём классе бирациональной эквивалентности;

2) для набора (0,2,2,2) имеем MS(V) = {Vß^Uß1} (то есть имеется ровно две различных структуры Мори), где U/Р1 неособое расслоение на поверхности дель Пеццо степени 1 с тем оке набором структурных констант, причём V U U связаны через флоп с центром в некотором сечении V/P1 и являются единственными неособыми расслоениями Мори в своем классе бирациональной эквивалентност и,

3) для набора (0,0,1,2) имеем

где U некоторое неособое многообразие Фано индекса 2 и степени 1 (так называемый двойной конус над поверхностью Веронезе), V семейство кривых степени 1 и арифметического рода 1 на U, рс

раздутие кривой для некоторой кривой

I £ V, в классе бирациональной эквивалентности V все неособые расслоения Мори представлены U и теми Uc, для которых кривая С неособа и группа бирациональных автоморфизмов U совпадает с группой бирегулярныт автоморфизмов (она конечна и, в общем случае, состоит из двух элементов)

Сформулированный результат дает полное решение проблемы бирациональной классификации неособых расслоений на поверхности дель Пеццо степени 1. Отметим также, что класс бирационально жестких расслоений без .К"2-уа(ОВИЯ есть ( — К\ ) £ Int NM(V) и (—KyY € IntNE(V)) непуст и представлен многообразиями с наборами структурных констант (2,2,6,12), (0,0,2,4), (0,0,3,6) и (0,2,3,4)

Пусть теперь р V —> Р1 неособое расслоение на поверхности дель Пеццо степени 2 Любая горенштейновая поверхность дель Пеццо степени 2 представляется в виде двойного накрытия плоскости с ветвлением в квартике Таким образом. V/P1 обладает морфизмом степени 2 на F2-расслоение

ProjpI (ö©ö(ni)eö(n2)),

разветвленное над неособым дивизором R ~ 4M + 2aL, где М И L обозначают тавтологический дивизор и слой Р^-расслоения Набор (а,П1,П2) определяет V/P1 с точностью до деформаций

Основным результатом диссертации, относящимя к неособым рас слоениям па поверхности дель Пеццо степени 2, является сформулированный выше критерий бирациональной жесткости, доказываемый рассмотрением возможных случаев наборов (а, Tli,^)

ТЕОРЕМА 0 7 Пусть V/P1 неособое расслоение (Мори) на поверхности дель Пеццо степени 2 со структурным набором (0,711,712), не удовлетворяющее К2-условию Пол оЬж=-иПм-\ТЩ г д а О < 6 + 2а < 4 и

а) если b + 2а = 3 то V/P1 бирационально жестко,

б) если Ь + 2а = 2, то возможны только структурные наборы

и в первых трех случаях V¡бирационально жестко при некоторые условиях общности положения, в остальных же нежестко

ь) tfiu6+2ö= 1, то возможны только случаи

1) (0,0,1), 2) (-1,1,2),

и оба случая бирационально нежесткие

Замечание. Условия общности положения, упомянутые в теореме, воспроизведены в соответствующем месте диссертации. Они не являются принципиальными и, как это часто бывает в практике метода максимальных особенностей, носят технический характер.

Кроме основных, в диссертации доказан ряд дополнительных достаточно важных результатов. Например, утверждается, что гипотетический критерий жёсткости (0.4) верен "в одну сторону "для любых расслоений Мори на поверхности дель Пеццо степени 1 (именно, если У/Р жёстко, то выполняется К-условие), показывается, что классическое многообразие Фано индекса 2 и степени 2, кроме уже известных бирациональных моделей в виде расслоений па поверхности дель Пеццо степени 2 и 3, имеет также иные модели в виде многообразий Фано (в категории Мори) и расслоений на поверхности дель Пеццо степени 2 с кратным слоем. Последнее, кстати, приводит к интересным примерам линейных систем на многообразии Фано с бесконечно близкими максимальными особенностями.

Список литературы

[1] Гриненко М.М.; Бирациональиые свойства пучков поверхностей дель Пеццо степеней 1 и 2 // Матем. сборник. 2000. Т. 191. №5. С. 17-38

[2] Гринеико М.М.. Бирациональные свойства пучков поверхностей дель Пеццо степеней 1 и 2. II!! Матем. сборник. 2003. Т. 194, №5. С. 31 60

[3] Гринепко М.М., 0 расслоениях на поверхности дель Пеццо , Матем. заметки. 2001. Т. 69, №4. С. 550 565

|4| Гриненко М.М.. О послойных перестройках расслоений на поверхности дель Пеццо степени 2 // УМН. 2001. Т. 56, Вып. 4. С. 145 146

[5] Гриненко М.М., О двойном конусе над поверхностью Веронезе II Изв. РАН. Сер. матем. 2003. Т. 67, №3. С. 5-22

[6] Гриненко М.М., Структуры Мори на трёхмерноммногообразии

Фано индекса 2 и степени 1 // Труды МИАН. 2004. Т. 246. С. 116-141

[7] Гриненко М.М., Новые структуры Мори на двойном пространстве индекса 2 // УМН. 2004. Т. 59, Вып. 3. С. 163-164

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ

Тираж §5 экз. Заказ №9

Oí O/, 03

2 2'"" 7005

Ш;

1 Введение

2 Общие сведения о расслоениях на поверхности дель Пеццо

2.1 Модели поверхностей дель Пеццо малых степеней и расслоений на них.

2.2 Проблема бирациональной жёсткости.

2.3 Перестройки слоя.

2.4 О методе максимальных особенностей

3 Неособые расслоения на поверхности дель Пеццо степени

3.1 Конструкция.

3.2 Бирационально жёсткие расслоения

3.3 Расслоения с е = 0 и = п2 = п3 = 2.

3.4 Двойной конус над поверхностью Веронезе. I.

3.5 Двойной конус над поверхностью Веронезе. II.

4 Неособые расслоения на поверхности дель Пеццо степени

4.1 Конструкция.

4.2 Бирационально жёсткие расслоения.

4.3 Нежёсткие случаи.

4.4 О двойном пространстве индекса 2.

1. Настоящая диссертация посвящена вопросам бирациональной классификации неособых трёхмерных многообразий, расслоенных над прямой на поверхности дель Пеццо степеней 1 и 2. Сама по себе проблема бирациональной классификации относится к одной из наиболее классических задач алгебраической геометрии, над которой, начиная с середины 19-го века, работали многие математики из разных стран и разных школ. Основной же объект диссертации -расслоения на поверхности дель Пеццо - тесно связан с бирациональными теориями, возникшими в последние 20 лет, такими, как программа минимальных моделей и программа Саркисова.

В настоящее время существуют несколько методов в бирациональной гео- метрии, ориентированных, как правило, на решение проблемы рациональности. Это, в частности, метод Клеменса-Гриффитса [32], основанный на анализе структуры промежуточного якобиана алгебраического многообразия, и его обобщения ([29]), применяемые к вырождениям многообразий ([27], [28]). Затем, метод Артина-Мамфорда [26], где рассматривается такой бирациональный инвариант многообразия, как группа Брауэра. В середине 90-х годов появился метод Коллара, в котором доказательство нерациональности многообразия достигается спуском в конечную характеристику и рассмотрением чисто несе-парабельных накрытий. Совсем недавно И.А.Чельцов [33] предложил ещё один приём, когда исходное многообразие деформируется к многообразию, бирацио-нально изоморфному расслоению на коники над линейчатой поверхностью.

Все перечисленные методы обладают своими достоинствами и недостатками, но наиболее универсальным и информативным является метод максимальных особенностей. По всей видимости, появление этого метода следует связывать с Максом Нётером, сформулировавшим и частично доказавшим результат о порождающих группы Кремоны (группы бирациональных автоморфизмов) проективной плоскости ([43]). Сам результат выглядит удивительно просто: группа Сг(Р2) порождена бирегулярными автоморфизмами, то есть элементами Аи^Р2), и каким-нибудь квадратичным преобразоанием. Заметим, что для Сг(1Р3), хотя прошло больше 130 лет, ничего похожего пока даже сформулировать не удалось (и, вероятно, не скоро удастся).

Нётер рассуждал следующим образом. Если бирациональный автоморфизм X € Сг(Р2) не является бирегулярным, то он линейную систему без базисных точек, например, полную линейную систему прямых С, переведёт в какую-то (неполную) линейную систему V со свойством &щТ> > с= 1. Но, поскольку размерности линейных систем совпадают, V обязательно имеет предписанные базисные точки, в том числе, возможно, и бесконечно близкие. Нётер установил важный факт: сумма трёх наибольших кратностей V в этих точках строго больше степени Т>. Если теперь предположить, что эти кратности соответствуют различным точкам плоскости, то элементарные вычисления показывают, что при помощи квадратичного преобразования с центром в этих точках мы можем понизить степень линейной системы. Последовательно так действуя, мы в конце концов получим композицию квадратичныю преобразований, являющуюся бирегулярным автоморфизмом, то есть переводящую С в себя. Проблемы, возникшие у Нётера с доказательством, связаны были с исключением бесконечно близких точек, но и эти трудности были преодолены к началу 20-го века.

Ключевая идея метода максимальных особенностей, таким образом, уже в двумерном случае, на примере теоремы Нётера, выявлена: необходимо следить за базисными подмножествами "большой"кратности в линейных системах. В этом духе рассуждал и Дж. Фано (Сто Рапо), пытавшийся распространить эти идеи уже на трёхмерные многообразия. Трёхмерная геометрия, разумеется, много сложнее и богаче, но Фано выяснил, что многообразия, которые он рассматривал (как правило, они принадлежали классу, впоследствии названному В.А.Исковских многообразиями Фано), во многих случаях устроены так, что на подмножества "большой кратности "существуют очень сильные ограничения, и это либо исключало их существование вообще, либо позволяло найти подходящий бирациональный автоморфизм, как в случае квадратичного преобразования на плоскости, и "открутить"кратности, понизив степень линейной системы. Опять, как и в двумерном случае, основные трудности были связаны с бесконечно близкими особенностями. Фано сформулировал целый ряд очень сильных утверждений ([34]). К сожалению, доказательства его не отличались прозрачностью, во многих случаях до сих пор не ясно, насколько точны его рассуждения. Любопытно, что его тексты практически полностью лишены формул.

Тем не менее, многое из того, что было анонсировано Фано, впоследствии было доказано. И первой в новой истории метода максимальных особенностей была теорема Ю.И.Манина и В.А.Исковских о квартике ([11]). Им удалось дать строгое доказательство утверждения, сформулированного Фано, о том, что группа бирациональных автоморфизмов неособой трёхмерной кварти-ки совпадает с группой бирегулярных автоморфизмов. До этого и Ю.И.Манин, и В.А.Исковских много времени уделяли изучению геометрии поверхностей над незамкнутыми полями, в том числе и функциональными, пытаясь таким образом подойти к геометрии многомерной. В последствии это вылилось в целый ряд исключительно сильных результатов ([12]), которые служат одним из опорных моментов настоящей диссертации.

Ф Принципиально важным оказалось то, что в статье [11] метод максимальных особенностей впервые обрёл и строгость, и стройность. Довольно быстро появился целый ряд результатов в бирациональной геометрии трёхмерных многообразий ([13]). В конце 70-х В.Г.Саркисов доказывает теорему о, выражаясь современным языком, бирациональной жёсткости "сильно закрученных по ба-зе"трёхмерных расслоений на коники ([22]), опираясь, помимо метода максимальных особенностей, на результаты А.А.Загорского о стандартных расслоениях на коники ([10]) и В.А.Исковских о поверхностях с пучком рациональных кривых (это, и многое другое, можно найти в [12]). Было доказано, что стандартное расслоение на коники, удовлетворяющее условию "четырёх канонических классов"(то есть |С + 4Кз\ ф 0, где С кривая вырождения), не имеет других структур.

Ситуация, однако, вскоре ухудшилась. Связано это было, вероятно, с изначальной направленностью схемы метода максимальных особенностей, предложенной Ю.И.Маниным и В.А.Исковских, на решение слишком конкретных задач (неособые многообразия Фано с малой степенью антиканонического класса).

9 Технически это выражалось в идее пробного класса и ориентации на использование характерного для метода квадратичного неравенства. В это время осуществляются неудачные попытки исследования многообразий Фано индекса 2 (в работах С.И.Хашина, подробнее об этом в конце главы), не удаётся усилить результат о расслоениях на коники, не получается применить схему к исследованию расслоений на поверхности дель Пеццо, и так далее.

Определённый успех в то время был достигнут в работах А.В.Пухликова, успешно применившего метод максимальных особенностей к многообразиям с особенностями (квартика с обыкновенной двойной точкой). Тогда же был сделан важный шаг к большим размерностям: была доказана теорема совпадении би-рациональных и бирегулярных автоморфизмов четырёхмерной квинтики ([15]).

Положение изменилось в 90-х годах благодаря новым работам А.В.Пухликова. Он переработал схему метода, отказавшись от техники пробного класса благодаря тщательному анализу структуры максимальных особенностей и применив язык дискретных нормирований ([16], [45]). Новые идеи оказались чрезвычайно плодотворными: метод теперь работал во всех размерностях и обрёл большую гибкость, благодаря чему, например, удалось "зацепить"расслоения на поверхности дель Пеццо ([46]). Так, был доказан аналог результата Исковских

Манина во всех размерностях (гиперповерхности степени М в Рм; [17], усиление результата в [21]), для расслоений на поверхности дель Пеццо малых степеней доказана бирациональная жёсткость при выполнении К2-условия ([17], [18]), причём стало возможным комбинировать подходы (например, [20]) и исследовать многообразия с несколькими различными структурами расслоения ([2]). В новом своём виде метод макимальных особенностей оказался исключительно хорошо приспособленным к другим теориям. Скажем, он стал основным (и, видимо, единственным) практическим средством в программе Саркисова - общем подходе к факторизации отображений между расслоениями Мори, основанном идеях В.А.Исковских, В.Г.Саркисова, М.Рида и доказанной А.Корти в [31].

Метод максимальных особенностей является главным техническим средством предлагаемой диссертации. Из общих теорий используются основные понятия и результаты программы минимальных моделей и программы Саркисова.

2. Основная задача диссертации - изучение бирациональной геометрии неособых трёхмерных расслоений Мори на поверхности дель Пеццо степеней 1 и 2, не подпадающих под К2-условие (подробнее об этом условии сказано ниже, где формулируются основные результаты). Многообразия указанного типа, удовлетворяющие такому условию (что является общей ситуацией), были одной из тем докторской диссертации А.В.Пухликова ([17]). Тем не менее случаи, в которых К2-условие не выполнено, относятся не только к более трудным, но и к более содержательным. Например, среди них находятся многообразия, содержащие (в бирациональном смысле) различные структуры расслоений на рациональные подмногообразия, в частности, бирационально изоморфные многообразиям Фа-но основной серии индекса 2 и степеней 1 и 2. Кроме того, хотя метод максимальных особенностей, используемый в диссертации в качестве основного/технического средства, принципиально применим к исследованию любых многообразий отрицательной кодаировой размерности, в частности, к описанию трёхмерной группы Кремоны, важной проблемой остаются границы практической применимости метода. В диссертации удалось расширить эти границы, впервые успешно применив метод к многообразию Фано индекса 2 (так называемому двойному конусу над поверхностью Веронезе). Таким образом, разработанная в диссертации методика позволяет вплотную подойти к исследованию многообразий Фано индекса 2 и степеней 2 и 3, тем самым осуществив "смычку"различных методов бирациональной геометрии, в данном случае метода промежуточного якобиана (и его обобщения на вырождения многообразий) и метода максимальных особенностей.

Прежде, чем сформулировать основные результаты диссертации, необходимо напомнить ряд важных понятий и известных фактов. Мы придерживаемся стандартного алгебро-геометрического языка. Основные положения программы минимальных моделей можно найти в [41] и [36].

Напомним, что тройка /л : X —» Б называется расслоением Мори, если X проективное многообразие с О-факториальными терминальными особенностями, S нормальное многообразие размерности строго меньшей, чем размерность X, и р экстремальное стягивание расслоенного типа, то есть относительное число Пикара p(X/S) = р(Х) — p(S) равно 1 и (—Кх) относительно обилен.

В размерности 3 (на данный момент наивысшая размерность, где доказана программа минимальных моделей) есть три возможных типа расслоений Мори:

1) многообразие Фано (иногда называют Q-Фано), если dim S = 0, то есть S

2) расслоение на поверхности дель Пеццо степени d, если dim S = 1 и слой над общей (схемной) точкой S есть поверхность дель Пеццо степени d]

3) расслоение на коники, если S поверхность.

В дальнейшем, чтобы не загромождать текст, расслоения Мори обозначаются не только (1: X —S, но и X/S или даже просто X, если из контекста ясно, о каких базах и структурных морфизмах идёт речь.

Пусть даны два трёхмерных расслоения Мори V/S и U/T и бирациональное отображение % : V —» U. Тогда программа Саркисова утверждает ([31]), что существует конечная цепочка бирациональных отображений где X0/S0,Xl/Si,.}XN/SN расслоения Мори, XQ/S0 = V/S, XN/SN = U/T, такая, что X — Xn ° Xn-i ° • • • ° Хг ° Xi и каждый Xi принадлежит одному из четырёх элементарных линков (Саркисова). Эти линки изображены на рисунке 1.1 (для примера показано разложение отображения Х2 '■ Х\ —-> Х2).

На этом рисунке во всех типах линков ф изоморфизм в коразмерности 1 (последовательность лог-флипов). Для линка типа I: /х обозначает морфизм со связными слоями и 7 экстремальное дивизориальное стягивание. Отметим, что p(S2/S\) = 1. Для типа II: ■уг и 72 экстремальные дивизориальные стягивания и р бирациональное отображение. Линк типа III это обращение типа I. Наконец, в линках типа IV: ¿1 и 82 морфизмы со связными слоями, R нормальное многообразие и p(S\/R) — p(S2/R) — 1. Отметим, что разложение отображения на линки неоднозначно. В частности, композиция элементарных линков может быть элементарным линком.

Теперь дадим важное определение:

Определение 1.0.1. Будем говорить, что бирациональное отображение х '■ V V' между расслоениями Мори р : V —>• S и р' : V' —>■ S' бирационально над базой, а сами расслоения имеют одну и ту же структуру Мори (посредством отображения х), если точка;

---» -ХД Х2 4' 4*

So S1 S2

Ш IV

Рис. 1.1: элементарные линки Саркисова.

• в ситуации dim S = dim S' > 0 существует бирационалъное отображение ф : S —> S' такое, что р' о х = ф ° р,

• в ситуации dim S = dim S' = 0 Q-Фано многообразия V и V' изоморфны (и тогда х можно рассматривать как бирационалъный автоморфизм на

V).

Указанное отношение (то есть "быть бирациональным над базой") разбивает всё множество расслоений Мори, бирационально эквивалентных некоторому многообразию X, на классы эквивалентности, и множество этих классов эквивалентности мы будем обозначать AtS(X) и называть множеством структур Мори на X.

Очевидно, множество структур Мори является бирациональным инвариантом. Отметим важный частный случай:

Определение 1.0.2. Будем говорить, что многообразие X является бирационально жёстким, если множество структур Мори MS(X) состоит из одного элемента.

Бирационально жёсткие многообразия образуют обширный и важный класс многообразий. Например, бирационально жёсткие многообразия нерациональны. Это немедленно следует из того, что Р3 бирационально изоморфно Р1 х Р2, то есть .М^Р3) содержит, как минимум, два элемента (на самом деле, столько, какова мощность основного поля).

Понятие множества структур Мори очень полезно при определении бираци-онального типа многообразия. Во многих случаях простое сравнение множеств структур Мори сразу даёт ответ (например, у одного это множество содержит расслоение на коники, у другого - нет). Если же к описанию множества структур Мори добавить описание "хорошей"модели в каждом классе бираци-ональной эквивалентности над базой, то мы получаем полноценное с практической точки зрения описание бирационального типа многообразия, сведя задачу бирациональной классификации к задаче классификации бирегулярной. Под "хорошей"моделью понимается такой класс многообразий, который удобен для описания и сравнения. Пример такого подхода приведён в диссертации для неособых расслоений на поверхности дель Пеццо степени 1. Нетрудно видеть, что это даёт практическое решение задачи бирациональной классификации.

3. Кратко опишем основные результаты диссертации. Пусть р : V —> Р1 неособое расслоение Мори на поверхности дель Пеццо степени ё,, где в, равно 1 или 2. Это означает, что У неособо, все слои структурного морфизма р приведены и неприводимы и являются нормальными поверхностями дель Пеццо степени (I. Общий слой, по теореме Бертини, неособ. Обозначим 77 общую схемную точку Р1, и пусть Ут, слой над ц. Тогда Уп неособая поверхность дель Пеццо степени (I над полем функций прямой.

Одним из первых в диссертации доказывается следующий результат:

Теорема 1.0.3. Пусть р : V в и р': V' в неособые расслоения на поверхности дель Пеццо степени 1 или 2 над кривой Б, ф : V —-»■ У бирациональное отображение такое, что следующая диаграмма коммутативна:

Предположим также, что 1р индуцирует изоморфизм слоев Уп и У^ над общей схемной точкой г} кривой 5*. Тогда ф продолжается до изоморфизма У и У.

Это не что иное, как утверждение о единственности неособой модели в классе всех бирациональных отображений над базой. Таким образом, неособые модели для рассматриваемого класса многообразий удобно выбрать в качестве "хороших" (о которых говорилось чуть выше). Утверждение этой теоремы в виде гипотезы было сформулировано автором в [3] (гипотеза 4.1).

Отметим, что стержнем диссертации является гипотеза, впервые появившаяся в [5] (гипотеза 3.1) для й = 1. Напомним, что эффективный дивизор на многообразии называется подвижным, если соответствующая ему полная линейная система не имеет базисных компонент. По аналогии с конусом эффективных кривых ИЕ(Х) в программе минимальных моделей определяется конус подвижных дивизоров КМ(Х) в пространстве (где р(Х) число Пикара

V Л г 4-р 4У

5 й1 многообразия X) как выпуклая оболочка всех подвижных дивизоров на X, а также замыкание этого конуса NM(X) в обычной вещественной топологии.

Определение. Будем говорить, что расслоение на поверхности делъ Пеццо V/P1 удовлетворяет К-условию, если (—Ку) Int NM (У), и удовлетворяет К2-условию, если (-Kv)2 £ IntNE(V).

В диссертации А.В.Пухликова [17] было показано, что /£Г2-условие является достаточным для бирациональной жёсткости неособых расслоений на поверхности дель Пеццо малых (не выше 3) степеней. Однако затем стало ясно ([3]), что оно не является необходимым. В связи с этим возникла следующая гипотеза:

Гипотеза 1.0.4 (Основная гипотеза). Расслоение Мори р : V Р1 на поверхности делъ Пеццо степеней 1, 2 или 3 бирационалъно жёстко тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет К-условию, или, другими словами, когда линейные системы \n(—Kv) — F\ пусты либо имеют базисную компоненту при всех п > 0 (здесь F обозначает класс слоя).

Во всех известных доказанных жёстких и нежёстких случаях гипотеза (1.0.4) выполняется. Из сформулированных далее результатов этой диссертации и диссертации [17] следует важный факт:

Предложение 1.0.5. Для неособых расслоений (Мори) на поверхности дель Пеццо степеней 1 или 2 гипотеза (1.0.4) верна (для d = 2 по модулю условий общности, упомянутых в главе 4)

Далее, в настоящем тексте показано, что неособые расслоения на поверхности дель Пеццо определяются, с точностью до деформации, некоторым набором структурных констант (е, пь п2, щ) при d == 1 и (а, ni,ri2) при d = 2. Одним из основных результатов диссертации является следующий:

ТЕОРЕМА 1.0.6. Пусть V/P1 неособое расслоение (Мори) на поверхности дель Пеццо степени d = 1, не удовлетворяющее К2-условию. Тогда V нерационально и:

1) V/P1 бирационалъно жёстко, за исключением случаев структурных констант (0,2,2,2) и (0,0,1,2). Из свойства единственности неособой модели в классе отображений над базой следует, что V/P1 единственное неособое расслоение Мори в своём классе бирациональной эквивалентности;

2) для набора (0,2,2,2) имеем AiS(V) = {V/P1, U/Р1} (то есть имеется ровно две различных структуры Мори), где С//Р1 неособое расслоение на поверхности дель Пеццо степени 1 с тем же набором структурных констант, причём V и U связаны через флоп с центром в некотором сечении V/F1 и являются единственными неособыми расслоениями Мори в своём классе бирациональной эквивалентности;

3) для набора (0,0,1,2) имеем

MS(V) = {U} U {рс : Uc Р1, где С € V} . где U некоторое неособое многообразие Фано индекса 2 и степени 1 (так называемый двойной конус над поверхностью Веронезе), V семейство кривых степени 1 и арифметического рода 1 на U, рс : Uc Р1 раздутие кривой С С U, V — Ui для некоторой кривой I £ V, в классе бирациональной эквивалентности V все неособые расслоения Мори представлены U и теми Uc, для которых кривая С неособа, и группа бирационалъных автоморфизмов U совпадает с группой бирегулярных автоморфизмов (она конечна и, в общем случае, состоит из двух элементов).

Сформулированный результат вместе с результатами [17] даёт полное решение проблемы бирациональной классификации неособых расслоений на поверхности дель Пеццо степени 1. Отметим также, что класс бирационально жёстких расслоений без /Г2-условия (то есть (—Ку) & Int NM(V) и (—Ку)2 € Int NE(V)) непуст и представлен многообразиями с наборами структурных констант (2,2,6,12), (0,0,2,4), (0,0,3,6) и (0,2,3,4).

Другим основным результатом является решение проблемы бирациональной жёсткости для неособых расслоений на поверхности дель Пеццо степени 2: теорема 1.0.7. Пусть V/F1 неособое расслоение (Мори) на поверхности дель Пеццо степени 2 со структурным набором (а, щ, П2), не удовлетворяющее К2-условию. Положим Ь = щ + П2- Тогда 0<6 + 2а<4и а) если 6 + 2а = 3, то V/P1 бирационально жёстко; б) если Ь + 2а = 2, то возможны только структурные наборы

1) (0,0,2),

2) (-2,2,4),

3) (-3,2,6),

4) (1,0,0),

5) (0,1,1),

6) (-1,2,2), и в первых трёх случаях V/f1 бирационально жёстко при некоторых условиях общности положения, в остальных - нежёстко. в) если Ь + 2а = 1, то возможны только случаи

1) (0,0,1), 2) (-1,1,2), и оба случая бирационально нежёсткие.

Замечание. Условия общности положения, упомянутые в теореме, воспроизведены в соответствующем месте диссертации (§4.2). Они не являются принципиальными и, как это часто бывает в практике метода максимальных особенностей, носят технический характер.

Кроме основных, в диссертации доказан ряд дополнительных достаточно важных результатов. Например, утверждается, что гипотетический критерий жёсткости (1.0.4) верен "в одну сторону"для любых расслоений Мори на поверхности дель Пеццо степени 1 (именно, если V/Р1 жёстко, то выполняется К-условие), показывается, что классическое многообразие Фано индекса 2 и степени 2, кроме уже известных бирациональных моделей в виде расслоений на поверхности дель Пеццо степени 2 и 3, имеет также иные модели в виде многообразий Фано (в категории Мори) и расслоений на поверхности дель Пеццо степени 2 с кратным слоем. Последнее, кстати, приводит к интересным примерам линейных систем на многообразии Фано с бесконечно близкими максимальными особенностями.

4. Кроме введения, диссертация содержит три главы. В главе 2 рассматриваются в целом круг проблем, связанный с бирациональной геометрией рассматриваемых многообразий. В §2.1, имеющим вводный характер, даются общие конструкции неособых расслоений на поверхности дель Пеццо степени 1 и 2. В следующем §2.2 исследуется постановка проблемы бирациональной жёсткости для этого типа многообразий, в частности, доказывается теорема 2.2.5, утверждающая, что для расслоений Мори (в том числе, имеющих особенности) на поверхности дель Пеццо степени 1 /¿"-условие является необходимым для бирациональной жёсткости. Далее, §2.3 посвящён вопросам перестройки слоя в расслоениях на поверхности дель Пеццо степеней 1 и 2. Там же доказывается теорема 1.0.3 о единственности неособой модели в классе бирациональных отображений над базой. В заключительном §2.4 приводится основная информация о методе максимальных особенностях и его модификациях, используемых в диссертации.

Глава 3 посвящена расслоениям на поверхности дель Пеццо степени 1. В §3.1 даётся конкретная конструкция неособых расслоений, описываемая набором структурных констант из четырёх чисел. В §3.2 доказывается первая часть теоремы 1.0.6, касающаяся бирационально жёстких расслоений. В следующем

§3.3 рассматриваются расслоения с набором структурных констант (0,2,2,2) (пункт 2 теоремы 1.0.6). Наконец, §§3.4-3.5 целиком посвящены наиболее трудному случаю, связанному с набором (0,0,1,2), когда имеется перестройка на многообразие Фано индекса 2 и степени 1 (последний пункт теоремы 1.0.6): в первом из этих двух параграфов рассматриваются максимальные особенности Ш линейных систем на самом многообразии Фано, а во втором на соответствующих моделях в виде расслоений на поверхности дель Пеццо степени 1. В конце §3.5 содержится также разбор некоторых ошибок С.И.Хашина (об этом чуть ниже).

Заключительная глава 4 посвящена расслоениям на поверхности дель Пеццо степени 2. В §4.1 приводится конструкция неособых расслоений, описываемая набором из трёх структурных констант. Затем, в §4.2, доказывается часть теоремы 1.0.7, относящаяся к бирационально жёстким случаям. Доказательство этой теоремы завершает §4.3, где рассматриваются бирационально нежёсткие расслоения. В последнем параграфе диссертации, §4.4, показывается, что двойное пространство индекса 2, естественно связанное с неособыми расслоениями на поверхности дель Пеццо степени 2 с набором (0,0,1), бирационально перестраивается на многообразия Фано, являющиеся полным пересечением двух кубик в пространстве Р(15,2), и на нестандартные расслоения на поверхности дель Пеццо степени 2 с одним двукратным слоем. Эти перестройки соответствуют бесконечно близким максимальным особенностям линейных систем на ф двойном пространстве индекса 2, и примеры таких линейных систем завершают

параграф.

5. В связи с результатами, полученными в диссертации, возникает один деликатный вопрос. Дело в том, что оба многообразия Фано индекса 2 (степени 1 и степени 2), рассматриваемые в диссертации, а именно, двойной конус над поверхностью Веронезе и двойное пространство индекса 2, ранее уже были темой кандидатской (!) диссертации С.И.Хашина ([25]). Более того, результат, анонсированный им о двойном конусе над поверхностью Веронезе, фактически делает бессмысленной ключевую часть предлагаемой диссертации. В [25] доказывалось, что это многообразие Фано не бирационально никакому другому многообразию Фано основной серии (то есть с единичным числом Пикара), и что оно не имеет бирациональных автоморфизмов, отличных от бирегулярных.

Что касается двойного пространства индекса 2, то его появление в настоящей диссертации в качестве темы целого параграфа, помимо естественных причин, связанных с тем, что это многообразие Фано бирационально изоморфно соответствующим расслоениям на поверхности дель Пеццо степени 2, обусловлено также и тем, что на нём автором были найдены новые, не известные ранее, • структуры Мори. И в частности, эти перестройки связаны с существованием бесконечно близких максимальных особенностей линейных систем. С другой стороны, хотя в диссертации С.И.Хашина нет окончательного утверждения о бирациональной геометрии этого многообразия Фано, им был сформулирован результат в предположении, что линейные системы на двойном пространстве индекса 2 бесконечно близких особенностей иметь не могут. В §4.4 показывается совершенно обратное. Ш Что касается двойного конуса над поверхностью Веронезе, то здесь всё иначе. Дело в том, что основной результат у Хашина не доказан, хотя он и верен, а предложенное им доказательство изобилует неустранимыми ошибками. Разбор некоторых из них дан в конце §3.5, после доказательства основного результата об этом многообразии Фано индекса 2.

Следует, однако, отметить, что вряд ли это можно всерьёз поставить С.И.Ха-шину в вину. Ситуация с методом максимальных особенностей 20 лет назад, после первых значительных успехов ([11], [13], [22]), сложилась крайне тяжёлая, и сложность предлагаемых к решению задач, на сегодняшний взгляд, явно недооценивалась. Отчасти это объясняется, видимо, отсутствием на тот момент достаточно ясных представлений о природе бирациональных соответствий в многомерном случае. В частности, не делалось различий в применении метода максимальных особенностей к многообразиям Фано и, с другой стороны, к расслоенным многообразиям, таким, как расслоения на поверхности дель Пец-цо. Скажем, понятие о сверхмаксимальной особенности, что, с точки зрения программы Саркисова, соответствует случаям отображений, не бирациональ-ф ных над базой, появилось много позже ([18]). Так или иначе, потребовалось значительное время, чтобы преодолеть кризис.

6. Всюду в диссертации предполагается, что основное поле алгебраически замкнуто и имеет характеристику 0 (без потери общности можно считать, что мы работаем над полем комплексных чисел). При употреблении понятий "многообразие Фано", "расслоение на поверхности дель Пеццо", "расслоение на коники "всегда предполагается, если явно не указано противное, что соответствующие объекты являются расслоениями Мори. т

Глава 2

Общие сведения о расслоениях на поверхности дель Пеццо

В этой главе обсуждаются наиболее общие свойства расслоений на поверхности дель Пеццо. В §2.1 напоминаются конструкции поверхностей дель Пеццо степеней 1 и 2 и их связь с общей конструкцией расслоений. В следующих главах это будет использовано для построения конкретных моделей соответствующих расслоений, на основе которых будут производиться вычисления.

В §2.2 рассматривается постановка проблемы бирациональной жёсткости. В частности, показывается, почему мы ограничиваемся расслоениями с базой Р1 и малыми степенями (не выше трёх). Кроме того, для расслоений на поверхности дель Пеццо степени 1 в теореме 2.2.5 доказывается необходимое условие бирациональной жёсткости из гипотетического критерия 1.0.4.

Центральным в главе является §2.3, где при рассмотрении послойных би-рациональных отображений расслоений на поверхности дель Пеццо степеней 1 или 2 доказывается теорема 2.3.1 о единственности неособых моделей в классе бирациональных отображений над базой. Несмотря на относительную несложность доказательства, этот факт сам по себе имеет ключевое значение для всей бирациональной геометрии неособых расслоений на поверхности дель Пеццо.

Наконец, в §2.4 напоминаются некоторые ключевые конструкции метода максимальных особенностей, используемые в доказательствах основных результатов диссертации.

1. Загорский A.A., О трёхмерных конических расслоениях // Матем. заметки. 1977. Т. 21, №6. С. 745-757

2. Псковских В.А., Манин Ю.А. Трёхмерные квартики и контрпримеры к проблеме Люрота // Матем. сборник. 1971. Т. 86, №1. С. 140-166

3. Исковских В.А. Факторизация бирационалъных отображений рациональных поверхностей с точки зрения теории Мори // УМН. 1996. Т. 51, Вып. 4. С. 3-72

4. Исковских В.А., Бирациональные автоморфизмы трёхмерных алгебраических многообразий // Итоги науки и техн. Совр. пробл. матем. Т. 12. М: ВИНИТИ, 1979. С. 159-236

5. Исковских В.А., О проблеме рациональности для трёхмерных алгебраических многообразий, расслоенных на поверхности дель Пеццо // Труды МИАН. 1995. Т. 208. С. 128-138

6. Пухликов A.B., Бирационалъный автоморфизмы четырёхмерной квинти-ки // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 1986. №2. С. 10-15

7. Пухликов A.B. Замечание к теореме В.А.Исковских и Ю.И.Манина о трёхмерной квартике // Труды МИ РАН. 1995. Т. 208. С. 278-289

8. Пухликов A.B. Бирациональные автоморфизмы многомерных алгебрами-ческих многообразий и проблема рациональности 11 Диссертация на соискание уч. степ, доктора фи.-мат. наук. ИСА РАН. Москва, 1997

9. Пухликов A.B. Бирациональные автоморфизмы трёхмерных алгебраических многообразий с пучком поверхностей Дель Пеццо // Изв. РАН. Сер. матем. 1998. Т. 62, №1. С. 123-164

10. Пухликов A.B., Послойные бирациональные соответствия // Матем. заметки. 2000. Т. 68, Вып. 1. С. 120-130

11. Пухликов A.B., Бирационально жесткие расслоения Фано // Изв. РАН. Сер. матем. 2000. Т. 64, №3. С. 131-150

12. Пухликов A.B., Бирационально жесткие гиперповерхности Фано // Изв. РАН. Сер. матем. 2002. Т. 66, №6. С. 159-186

13. Саркисов В.Г., Бирациональные автоморфизмы расслоений на коники // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1980. Т. 44, №4. С 918-944

14. Соболев И.В., Бирациональные автоморфизмы одного класса многообразий, расслоенных на кубические поверхности // Изв. РАН. Сер. матем. 2002. Т. 66, т. С. 203-224

15. Хашин С.И. Бирациональные атоморфизмы двойного конуса Веронезе размерности три II Вестник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 1984. JV®1. С. 13-16

16. Хашин С.И., Бирациональные автоморфизмы трёхмерных алгебраических многообразий // Диссертация на соискание уч. степ. канд. фи.-мат. наук. МГУ. Москва, 1985

17. Artin, M., and Mumford, D., Some elementary examples of unirational varieties which are not rational // Proc. London Math. Soc. 1972. V. 25, №3. P. 75-95

18. Bardelli, F., Polarized mixed Hodge structure: on irrationality of threefolds via degeneration // Annali di Math, pura e appl. 1984. V. 137. P. 287-369

19. Beauville, A., Variétés des Prym et jacobienne intermédiaires // Ann. Sci. École Norm. Sup. 1977. V. 10, №4. P. 287-369

20. Clemens, C.H., Application of the theory of Prym varieties // Proc. Int. Congr. Math., Vancouver, 1974. V. 1. P. 415-421

21. Colliot-Thélène, J.-L., Arithmétique des variétés rationnelles et problèmes birationnels // Proc. Int. Conf. Math. 1986. P. 641-653

22. Corti, A., Factoring birational maps of threefolds after Sarkisov // J. Algebraic Geom. 1995. V. 4, №. 2. P. 223-254

23. Clemens, H., and Griffiths, P., The intermediate Jacobian of the cubic threefold // Ann. of Math. 1972. V. 95, №2. P. 281-356

24. Cheltsov I., Nonrational del Pezzo fibrations // math.AG/0407343

25. Fano G. Nuove ricerche sulle varieta algebriche a tre dimensioni a curve-sezioni canoniche // Comm. Rent. Ac. Sci. 1947. 11. P .635-720

26. Fedorov I.Yu., Purely log terminal blow-ups of index 2 // Preprint MPI 04-22

27. Flips and abundance for algebraic threefolds // Papers from the Second Summer Seminar on Algebraic Geometry held at the University of Utah, Salt Lake City, Utah, August 1991. Asterisque No. 211 (1992)

28. Hidaka, F., Watanabe, K., Normal Gorenstein surfaces with ample anticanonical divisor // Tokyo J. Math. 1981. V. 4, №2. P. 319-330

29. Kawakita, M., Divisorial contractions in dimension 3 which contract divisors to smooth points // Invent. Math. 2001. V. 145. Ж 1. P. 105-119

30. Kawakita, M., Divisorial contractions in dimension 3 which contract divisors to compound Аг points // Compos. Math. 2002. V. 133. №1. P. 95-116

31. Kollar, J., Miyaoka, Y., and Mori, S., Rational connectedness and boundedness ofFano manifolds // J. Differential Geom. 1992. V. 36, №3. P. 765-779

32. Kollar, J., and Mori, S., Birational geometry of algebraic varieties. With the collaboration of C. H. Clemens and A. Corti // Cambridge Tracts in Mathematics, 134. Cambridge University Press. Cambridge, 1998

33. Manin, Ju.I., Rational surfaces over perfect fields // Inst. Hautes Iltudes Sei. Publ. Math. 1966. №30. P. 55-113

34. N other, M., Uber Flächen welche Schaaren rationaler Curven besitzen // Math. Ann. 1871. V. 3. P. 161-227

35. Park, J., Birational maps of del Pezzo fibrations // J. Reine Angew. Math. 2001. V.538. P. 213-221

36. Pukhlikov, A.V., Essentials of the method of maximal singularities // Explicit birational geometry of 3-folds. P. 73-100. London Math. Soc. Lecture Note Ser., V. 281. Cambridge Univ. Press. Cambridge, 2000

37. Pukhlikov A.V., Birational automorphisms of higher-dimensional algebraic varieties // Doc. Math., J. DMV, Extra Vol. ICM Berlin 1998. V. II. P. 97-107

38. Reid, M., Nonnormal del Pezzo surfaces// Publ. Res. Inst. Math. Sei. 1994. V. 30, №5. P. 695-727

39. Reid, M., Minimal Models of Canonical 3-Folds j j Adv. Stud, in Pure Math. 1983. №1. P. 131-180