К-тривиальные расслоения на унилинейчатых многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение.

§1. История поставленных задач.

§2. Основные результаты.

§3. Предварительные понятия.

§4. Используемые методы.

§5. Краткое описание диссертации.

Глава I. Свойства подвижных лог пар.

§1. Основные результаты главы I.

§2. Глобальные методы: лог пары на расслоениях Мори.

§3. Локальные методы: гладкая точка как центр канонических особенностей.

Глава II. Лог пары на поверхностях.

§1. Основные результаты главы II.

§2. Поверхности дель Пеццо.

§3. Двумерные расслоения на коники.

Глава III. Лог пары на бирационально жёстких трёхмерных многообразиях.

§1. Основные результаты главы III.

§2. Двойное накрытие Р3.

§3. Трёхмерная квартика.

§4. Двойное накрытие квадрики.

§5. Трёхмерные расслоения на коники.

Глава IV. Продолжения поверхностей.

§1. Основные результаты главы IV.

§2. Теорема о Q-горенштейновости.

§3. Доказательство Теоремы 1.1 главы IV.

Глава V. О рациональности некоторых трёхмерных многообразий.

§1. Основные результаты главы V.

§2. Начало доказательства Теоремы 1.1 главы V.

§3. Окончание доказательства Теоремы 1.1 главы V.

§4. Одно добавление.

§5. Применения Теорем 1.1 и 4.1 главы V.

§6. Многообразие Энриквеса

Глава VI. Ограниченность трёхмерных многообразий Фано целого индекса.

§1. Основные результаты главы VI.

§2. Многообразия Фано с непустым базисным множеством.

§3. Гиперэллиптические и тригональные многообразия Фано.

§4. Многообразия Фано, заметаемые "прямыми".

§5. Двойная проекция из общей точки.

Глава VII. Поверхности дель Пеццо с нерациональными особенностями.

§1. Основные результаты главы VII.

§2. Линейчатые поверхности.

§3. Численные поверхности дель Пеццо.

§4. Численные поверхности дель Пеццо с нерациональными особенностями.

§5. Одна конструкция.

§6. Классификация.

Добавление к главе III.

О гиперповерхностях степени М в Рм.

§1. История поставленных задач.

Основные результаты диссертации восходят к пяти классическим работам: [No], [Fal-З] и [Du]. В конце 19-го и начале 20-го века между этими работами было гораздо меньше общего, чем сегодня. Объясняется это в первую очередь революционным прорывом в бирациональной геометрии в конце 80-х годов, сделанным благодаря работам Ю.Каваматы, Ш.Мори и В.В.Шокурова. Новая концепция, названная Программой Минимальных Моделей (ПММ), позволила доказать множество нерешённых проблем и передоказать многие классические результаты. Но что не менее важно, огромное количество ранее казавшихся несвязанными друг с другом направлений оказались близкими с новой точки зрения.

В работах М.Нётера [No] и Дж.Фано [Fal] исследовались структуры групп бира-циональных автоморфизмов Р2 и гладкой квартики в Р4 соответственно. Несмотря на то, что временной интервал между двумя работами - почти полвека, их методы очень близки. Обе работы содержали ошибки, а работа [Fal] практически была предана забвению до 70-х годов нашего столетия.

В 1971 году вышла работа В.А.Псковских и Ю.И.Манина [ИсМа], которая исправила ошибки работы [Fal]. С этого момента начался новый период развития бирациональной геометрии. В работе [ИсМа] не только был усилен старый, давно забытый метод работ [No] и [Fal], но также был изобретён принципиально новый метод - метод "пробного класса".

Естественно, новые методы работы [ИсМа] были применены к широкому классу многообразий (см. [ИсЗ]). В основном это были гладкие многообразия с обильным антиканоническим дивизором. Основным стимулом для этого служил тот факт, что все такие многообразия очень напоминают рациональные, но некоторые из них, тем не менее, не рациональны. И первым таким примером среди трёхмерных многообразий была гладкая квартика в Р4. Последнее известно как отрицательное решение Проблемы Люрота (см. [ИсМа]).

В 80-е годы в область действия методов работы [КаМа] попали расслоения на коники. В.Г.Саркисовым в работах [Са1-2] было получено классическое условие на бирациональную жёсткость расслоений на коники. И с помощью них был получен контрпример к Гипотезе Бовиля. А в работах [Ис4-5] был сформулирован и тщательно исследован Критерий Рациональности, который на сегодняшний день почти доказан.

Здесь стоит отметить, что геометрия расслоений на коники интенсивно изучалась с начала 70-х годов методом промежуточного якобиана. Как одно из применений, была доказана нерациональность гладкой трёхмерной кубики. Однако эти методы пока не перенесены в более высокую размерность. Прекрасный обзор о расслоениях на коники, промежуточном якобиане, многообразии Прима и вопросах рациональности содержится в работе [Тю].

С момента проникновения ПММ в бирациональную геометрию на работы о структуре групп бирациональных автоморфизмов стали смотреть несколько иначе. Во-первых, сам термин "бирационально жёсткое многообразие" несколько преобразился и теперь его принято рассматривать в смысле работы [Пу2]. Во-вторых, исследования расслоений на коники в работах [Са1-2] привели к созданию так называемой Программы Саркисова - алгоритму разложения бирациональных отображений на элементарные "линки". И в-третьих, оказалось, что вместе с ПММ методы работы [ИсМа] способны решать следующую задачу.

Задача Фано-Исковских. Найти все экстремальные1 расслоения Фано бирационально изоморфные данному многообразию.

Совсем недавно, в середине 90-х годов, В.А.Пухликову в работе [Пу2] удалось найти локальный аналог метода "пробного класса". Мы будем называть, его неравенством Псковских-Пухликова по аналогии с глобальным неравенством Нётера-Фано (см. параграф 1 главы I). Первыми применениями неравенства Исковских-Пухликова стали доказательство результата аналогичного [ИсМа] для общих гиперповерхностей степени М в Рм в работе [ПуЗ] и решение в работе [Пу4] классической проблемы о бирациональной жёсткости расслоений на поверхности дель Пеццо. В работах [Гр1-2] это неравенство было применено для особых многообразий.

Теперь вернёмся более чем на полвека в прошлое. Вслед за вопросами рациональности отдельных трёхмерных многообразий Дж.Фано стал исследовать общие свойства этих многообразий. В последствии их стали называть многообразиями Фано. В современных терминах в работах [Та2-3] были "классифицированы" трёхмерные многообразия Фано целого индекса. Однако, как в работе [Га1], так и в работах рРа2-3] был допущен ряд ошибок. Финально, исправление "неточностей" работы [Га2] привело к классификации В.А.Псковских, Ш.Мори и Ш.Мукаем всех гладких трёхмерных многообразий Фано (см. [Ис2]). Идеи статьи [ГаЗ] попытались восстановить в [СоМи], но полностью сделать это не удалось, и большинство недоказанных утверждений были сформулированы в виде гипотез.

В 50-е годы в книге [Ко] были разобраны несколько статей Дж.Фано. В том числе и статьи [Ра1-3]. Однако из-за недостатка техники почти никаких исправлений не было сделано. Там же утверждалась без доказательства верность следующей гипотезы.

Гипотеза Фано. Многообразия, чьё гит1ерплоское сечение есть поверхность Энриквеса, рациональны кроме конусов.

Заметим, что многообразия в Гипотезе Фано - это в точности многообразия, которые Дж.Фано исследовал в работе [ЕаЗ].

Несколько лет назад в работах [Ве] и [Ба] были независимо классифицированы все многообразия из работы раЗ], которые имеют циклические фактор-особенности. Результаты обеих работ удивительно точно предсказывались Дж.Фано ещё 60 лет назад.

Вновь вернёмся в первую половину нашего столетия. В классической работе [Би]

1 Под экстремальностью подразумевается терминальность и <0)-факториальность особенностей и равенство Ъ относительной группы Пикара. были исследованы поверхности, которые сейчас принято называть поверхностями дель Пеццо с Дю Валевскими (или каноническими) особенностями. В работе [В1ВгБг] эти поверхности были исследованы с дополнительным условием, что группа Пикара равна Ъ. Последнее условие в свете ПММ вполне естественно.

В многочисленных работах В.А.Алексеева и В.В.Никулина систематически исследовались поверхности дель Пеццо с лог терминальными особенностями. В частности, в работе [АлНи] были классифицированы все такие поверхности в предположении, что индекс горенштейновости равен 2. Несколько лет назад, используя технику Я.Коллара, в работе [КеМс] были классифицированы "почти все" поверхности дель Пеццо с лог терминальными особенностями и группой Пикара Z.

В 90-х годах бирациональная геометрия многомерных многообразий, ПММ, расслоения Фано и поверхности дель Пеццо стали связаны между собой настолько тесно, что описать это подробно даже в целой книге просто невозможно. В параграфе 4 мы покажем как используемые нами методы "двойственно" связывают исследуемые нами бирационально жёсткие многообразия Фано, рациональные многообразия Фано и особые поверхности дель Пеццо.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теперь мы опишем возможные применения полученных результатов и перспективу дальнейших исследований, продолжающих исследования изложенные в диссертации.

Методы и конструкции, разработанные в главах I-III могут быть применены к широкому классу бирационально жёстких многообразий.

Отметим связь Прямой и Обратной Задачи со следующим классическим вопросом.

Вопрос 1. Существует ли гладкая деформация нерационального многообразия в рациональное 1

Ответ на Вопрос 1 отрицательный для кривых и поверхностей. Ожидается, что в размерности 3 ответ также отрицательный, а в высших размерностях положительный.

Хотя следующий вопрос явно не связан с Вопросом 1, тем не менее во многом они очень похожи.

Вопрос 2. Как ведёт себя при гладких деформациях множество центров канонических особенностей лог пар в одном гомологическом классе ?

Можно показать, что существует гладкая деформация Хь (Ъ € В) гладкой четырёхмерной квинтики Хь0, такая что

CS(Xb,BXb) = $ для всех лог пар в гомологическом классе —Кхь, но для некоторй лог пары (Xb,BXbo) с BXbQ ~Q ~KXbQ.

На всех многообразиях, разобранных в главе III, подобное поведение множества центров канонических особенностей невозможно. Последнее легко следует, из результатов главы III.

Используя Обратную Задачу можно попробовать исследовать Вопрос 1 так же как мы доказывали Теорему 1.1 в главе V. То есть, найти "специальную" лог пару на "специальном" слое гладкого семейства и применить к ней ЛПММ. Минус последнего метода состоит в недоказанности ЛПММ в размерностях больше 3.

Метод, разработанный в главе VI (метод "двойной проекции" из общей точки), может быть применён к эффективной ограниченности многообразий Фано больших размерностей. Плюс этого метода состоит в том, что ни ПММ ни ЛПММ нам нужна не была. Из всей ПММ мы пользовались только теоремой В.В. Шокурова о свободе от базисных точек, которая доказана во всех размерностях. Минус же состоит в том, что там где у нас появлялись поверхности типа КЗ теперь появятся многообразия Калаби-Яо, а их геометрия почти не изучена.

111

Скажем о возможных обобщениях результатов главы VII. Мы убеждены, что подобным способом могут быть классифицированы все поверхности дель Пеццо с рациональными, но не лог каноническими особенностями. Огромное число примеров подтверждает это. Более того, можно показать, что это верно даже без предположений на особенности поверхности дель Пеццо, если потребовать, чтобы квадрат канонического дивизора был больше или равен 9.

Заметим, что из конструкций главы VII легко строятся примеры не Q-горенште-йновых численных поверхностей дель Пеццо, деформирующихся в горенштейновые, а Теорема 2.4 главы VII имеет применение при исследовании действий групп на поверхностях.

1. Ал. Алексеев В.,. General elephants ofQ-Fano 3-folds, Comp. Math. 91 (1994), 91-116.

2. АлНи. Алексеев В., Никулин В.В., Классификация поверхностей дель Пеццо с лог терминальными особенностями индекса 2, инволюции на поверхностях КЗ и группы отражений в пространствах Лобачевского, Докл. АН СССР, Сер. Мат. 2 2 (1988).

3. ГР1. Гриненко М.М., Бирационалъные автоморфизмы трёхмерной двойной квадрики с простейшей особенностью, Мат. Сборник 189 1 (1998), 101-118.

4. Гр2. Гриненко М.М., Бирационалъные автоморфизмы трёхмерного двойного конуса, Мат.

5. Сборник 189 7 (1998), 37-52.

6. До. Долгачёв И.В., Рациональные поверхности с пучком эллиптических кривых, Изв. Ак.

7. Наук СССР, Сер. Мат. 30 (1966), 1073-110.

8. Ис1. Исковских B.A., Рациональные поверхности с пучком рациональных кривых, Мат. Сборник 74 (1967), 608-638.

9. Ис2. Исковских В.А., Антиканонические модели трёхмерных алгебраических многообразий,

10. Современные Проблемы Математики 12 (1978), ВИНИТИ, 59-157.

11. ИсЗ. Исковских В.А., Бирационалъные автоморфизмы трёхмерных алгебраических многообразий, Современные Проблемы Математики 12 (1978), ВИНИТИ, 159-236.

12. Ис4. Исковских В.A., On the rationality problem for conic bundles, Duke Math. Journal 54 (1987),271.294.

13. Ис5. Исковских В.А., К проблеме рациональности расслоений на коники, Мат. Сборник 1821 (1991), 114-121.

14. Исб. Исковских В.А., Факторизация бирационалъных отображений рациональных поверхностей с точки зрения теории Мори, Успехи Мат. Наук 51 4 (1996), 3-72.

15. ИсМа. Исковских В.А., Манин Ю.И., Трёхмерные квартики и контрпримеры к проблеме Лю-рота, Мат. Сборник 86 (1971), 140-166.

16. Mal. Манин Ю.И., Rational surfaces over perfect fields, Publ. Math. IHES 30 (1966), 55-114.

17. Ma2. Манин Ю.И., Рациональные поверхности над совершенными полями II, Мат. Сборник72 (1967), 161-192.

18. Ни. Никулин В.В., О Куммеровых поверхностях, Изв. Акад. Наук СССР, Сер. Мат. 391975), 278-293.

19. Пр. Прохоров Ю.Г., Заметки о трёхмерных многообразиях с гиперплоскими сечениямиповерхностями Энриквеса, Мат. Сборник 186 9 (1995), 113-124.

20. Пу1. Пухликов A.B., Замечание о теореме В.А. Исковских и Ю.И. Манина о трёхмернойквартике, Труды Мат. Института им. В.А. Стеклова 208 (1995), Наука, 278-289.

21. Пу2. Пухликов A.B., Essentials of the method of maximal singularities, препринт (1996).

22. ПуЗ. Пухликов A.B., Birational automorphisms of Fano hyper surf aces, препринт (1997).

23. Пу4. Пухликов A.B., Бирационалъные автоморфизмы трёхмерных алгебраических многообразий с пучком поверхностей Дель Пеццо, Изв. РАН, Сер. матем. 62 1 (1998), 123164.

24. Cal. Саркисов В.Г., Бирациональные автоморфизмы расслоений на коники, Изв. Ак. Наук

25. СССР, Сер. Мат. 44 (1980), 918-945.

26. Са2. Саркисов В.Г., О структуре расслоений на коники, Изв. Ак. Наук СССР, Сер. Мат. 461982), 371-408.

27. Тю. Тюрин А.Н., Средний якобиан трёхмерных многообразий, Современные Проблемы Математики 12 (1978), ВИНИТИ, 5-57.

28. Че1. Чельцов И.А., Особенности трёхмерных многообразий, обладающих обильным эффективным дивизором гладкой поверхностью кодаировой размерности нуль, Мат. Заметки 59 (1996), 618-626.

29. Че2. Чельцов И.А., Трёхмерные многообразия, обладающие дивизором с численно тривиальным каноническим классом, Успехи Мат. Наук 51 (1996), 177-178.

30. ЧеЗ. Чельцов И.А., Поверхности Дель Пеццо с нерациональными особенностями, Мат. Заметки 62 (1997), 451-467.

31. Че4. Чельцов И.A., On the rationality of non-Gorenstein Q-Fano 3-folds with an integer Fanoindex, Cont. Math. 207 (1997), 79-88.

32. Че5. Чельцов И.А., Ограниченность трёхмерных многообразий Фано целого индекса, Мат.1. Заметки (1998).

33. Чеб. Чельцов И.А., Лог модели бирационально жёстких многообразий, препринт (1998).

34. Че7. Чельцов И.А., Лог пары на гиперповерхностях степени N в препринт (1998).

35. Шо1. Шокуров В.В., Теорема Нётера-Энриквеса о канонических кривых, Мат. Сборник 86 (1971), 367-408.

36. Шо2. Шокуров B.B., 3-fold log models, Journal Math. Sciences 81 (1996), 2667-2699.

37. Эн. Эндрюшка С.Ю., Нерациональность общего многообразия Энриквеса, Мат. Сборник 511 (1985), 267-273.

38. Аг. Artin M., On isolated rational singularities of surfaces, Amer. Journal Math. 88 (1966),129.136.

39. Ba. Bayle L., Classification des variété complexes projectives de dimension trois dont une sectionhyperplane generale est une surface d'Enriques, Journal Reine Angew. Math. 449 (1994), 9-63.

40. Bel. Beauville A., Varieties de Prym et Jacobiennes intermédiaires, Ann. Scient. Ecol. Norm.

41. Super. 10 (1977), 309-399.

42. Be2. Beauville A., Surfaces Algebriques Complexes 54 (1978), Asterique.

43. BiBrDr. Bindschadler D., Brenton L., Drucker D., Rational mapings of del Pezzo surfaces and singular compactifications of two-dimensional affine variwties, Tohoku Math. Journal 36 (1984), 519609.

44. BoVe. Botta L.P., Verra A., The non rationality of the generic Enriques ' threefold, Сотр. Math. 482 (1983), 167-184.

45. Br. Brenton L., Some algebraicity criteria for singular surfaces, Invent. Math. 41 (1977), 129-147.

46. CaFl. Сатрапа F., Flenner H., Projective threefolds containing a smooth rational surface with ample normal bundle, J. Reine Angew. Math, 440 (1993), 77-98.

47. CoMu. Conte A., Murre J.P., Algebraic varieties of dimension three whose hyperplane sections are Enriques surfaces, Ann. Souola Norm. Sup. de Pisa 12 (1985), 43-80.

48. Co. Corti A., Factorizing birational maps of threefolds after Sarkisov, Journal Algebraic Geometry4 (1995), 223-254.

49. СоДо. Cossec F.R., Долгачёв И.В., Enriques surface I 76 (1989), Birkhäuser.

50. Du. Du Val P, On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction,

51. Proc. Cambridge Phil. Soc. 30 (1934), 453-491.

52. Fal. Fano G., Osservazioni sopra alcune varieta non razionali aventi tutti i generi nulli, Atti Acc.

53. Torino 50 (1915), 1067-1072.

54. Fa2. Fano G., Sulle varieta algebriche a tre dimensioni a curve-sezioni canoniche, Mem. Acc. It.8 (1937), 813-818.

55. Fa3. Fano G., Sulle varrieta algebriche a tre dimensionile le cui sezioni iperpiane sono superficidi genere zero e bigenere uno, Mem. Soc. It. d. Scienze (detta dei XL) 24 (1938), 44-66.

56. Hal. Hartshorne, R., Algebraic Geometry (1977), Springer Verlag.

57. Ha2. Hartshorne R., Stable reflexive sheaves, Math. Annalen 254 (1980), 121-176.

58. Kal. KawamataY., Crêpant blowing-up of 3-dimensional canonical singularities and its applicationto degenerations of surfaces, Ann. of Math. 127 (1988), 93-163.

59. Ka2. Kawamata Y., On Fujita's freeness conjecture for 3-folds and 4-folds, препринт (1996).

60. KaMaMa. KawamataY., Matsuda K., Matsuki K., Introduction to the minimal model problem, Advanced Studies in Pure Mathematics 10 (1987), Kinokuniya Company Ltd., 383-360.

61. KeMaMc. Keel S., Matsuki K., McKernan JLog abundance theorem for threefolds, Duke Math. Journal75 (1994), 99-119.

62. KeMc. Keel S., McKernan J., Rational curves on quasi-projective varieties, препринт (1995). Kol] Kollar J. et al, Flips and abundance for algebraic threefolds 211 (1992), Asterique.

63. Ko2. Kollar J., Rational curves on algebraic varieties (1996), Springer-Verlag.

64. KoMiMol. Kollar J., Miyaoka Y., Mori S., Rational connectedness and boundedness of Fano manifolds, Journal Differential Geometry 36 (1992), 765-779.

65. KoMiMo2. Kollar J., Miyaoka Y., Mori S., Rationally connected varieties, Journal Algebraic Geometry1 (1992), 429-448.

66. Mo. Mori S., Flip theorem and the existence of minimal models for 3-folds, Journal of AMS 11988), 117-253.

67. Na. Namikawa Y., Smoothing Fano 3-folds, препринт.

68. No. Noether M., Ueber Flächen, welche Schaaren rationaler Curven besitzen, Math. Annalen 31871), 161-227.

69. Re. Reid M., Projective morphism according to Kawamata, препринт (1983).

70. Ro. Roth L., Algebraic threefolds with special regard to problems of rationality (1955), Springer1. Verlag.

71. SD. Saint-Donat В., Projective models of K-3 surfaces, Amer. Journal Math. 96 (1974), 602-639.

72. Sak. Sakai, F., Weil divisors on normal surfaces, Duke Math. Journal 51 (1984), 877-887.

73. San. Sano Т., On classifications of поп-Gor enstein Q-Fano 3-folds of Fano index 1, Journal Math.

74. Soc. Japan 47 (1995), 369-380.

75. Sh. Shin K.-H., 3-dimensional Fano varieties with canonical singularities, Tokyo Journal Math.12 (1989), 375-385.