Векторные расслоения конечного ранга на полных пересечениях конечной коразмерности в линейном ИНД-грассманиане тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Ермакова Светлана Михайловна

ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ КОНЕЧНОГО РАНГА НА ПОЛНЫХ

ПЕРЕСЕЧЕНИЯХ КОНЕЧНОЙ КОРАЗМЕРНОСТИ В ЛИНЕЙНОМ ИНД-ГРАССМАНИАНЕ

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

1 4 ОКТ 2015

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль — 2015

005563378

Диссертационная работа выполнена на кафедре геометрии и алгебры ФГБОУ ВПО "Ярославский педагогический университет им. К.Д. Ушинского".

Научный Тихомиров Александр Сергеевич

руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Официальные Танкеев Сергей Геннадьевич оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры алгебры и геометрии Института прикладной математики и информатики, био- и нанотехнологий ФГБОУ ВПО "Владимирский государственный университет имени А.Г. и Н.Г. Столетовых" Жеглов Александр Борисович кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальной геометрии и ее приложений ФГБОУ ВО "Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова"

Ведущая ФГБУН "Математический институт имени

организация: В.А. Стеклова Российской академии наук"

Защита диссертации состоится «25» декабря 2015 года в 16:00 на заседании диссертационного совета Д 212.002.03 при ФГБОУ ВПО "Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова" по адресу: 150008, г. Ярославль, ул. Союзная, 144, аудитория 426.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО "Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова" по адресу: 150003, Полушкина роща, д. 1а и на официальном сайте ФГБОУ ВПО "Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова": http://www.rd.uniyar.ac.ru/.

Автореферат разослан «_»_2015 г.

Ученый секретарь Яблокова

диссертационного совета: Светлана Ивановна

Общая характеристика работы

Возникновение задачи. Актуальность и степень разработанности темы исследования

Данная диссертационная работа посвящена классификации конечномерных векторных расслоений на полных пересечениях конечной коразмерности в линейном инд-грассманиане.

Впервые задачу классификации векторных расслоений на фиксированном многообразии поднял А. Гротендик. Он расклассифицировал векторные расслоения над проективной прямой, доказав, что всякое такое расслоение расщепляется в сумму линейных ([ОБЯ], глава I, параграф 2, теорема 2.1.1.).

Теорема (Гротендик). Каждое голоморфное г-расслоение Е над проективной прямой Р1 представимо в виде

Е — СР1 (ах) ф ... ф Ор 1 (аг),

где а± > а2 > ■ ■■ > аг - однозначно определенные целые числа.

Векторные расслоения на Р™ при п > 2 не допускают такой простой классификации, в частности, касательное расслоение к Р™ является неразложимым при п > 2.

В то же время оказалось, что для конечномерных векторных расслоений на Р°° верен аналог теоремы Гротендика. Этим вопросом занимались В. Барт, А. Ван де Вен, А.Н. Тюрин и Э. Сато.

Теорема (Барт - Ван де Вен - Тюрин - Сато). Любое векторное расслоение конечного ранга на бесконечномерном

1 Ф\ О Ф"2

комплексном проективном пространстве Р°° = {Р Р <-4 ...

Фт—1 Фтп

рпг ^ и3оморфно прямой сумме линейных расслоений.

Для расслоений ранга два эта теорема была доказана в 1974 году В. Бартом и А. Ван де Веном [ВУ], а для расслоений произвольного конечного ранга этот результат был доказан в 1976 году А.Н. Тюриным [Т] и в 1977 году Э. Сато [81]. Таким образом, вопрос классификации расслоений конечного ранга на Р°° был закрыт.

В серии недавних работ [ЮР, РТ, РТ2] было показано, что теорема Барта - Ван де Вена - Тюрина - Сато имеет обобщения для бесконечномерных линейных инд-многообразий отличных от Р°°. Напомним определение.

Инд-многообразие X = определяется как прямой предел

цепочки вложений

01 02 Фт—1 Фт

X := {Хг ^ Х2 ^ ... ^ хт м- ...},

где Хт - гладкое алгебраическое многообразие для каждого т > 1.

Инд-многообразие X называется линейным, если для Vm > 1 вложение фт индуцирует эпиморфизм групп Пикара Ф*т ■■ РгсХт+1 ->• РгсХт.

В 2003 году в статье [DP] И. Донин и И.Б.Пенков рассматривают инд-грассманианы, определенные как прямые пределы цепочек

(G(fci,ni) ^ ... G(fcm+i,nm+i)

где последовательности пт, кт, пт — кт возрастают и стремятся к бесконечности, а вложения фт являются стандартными расширениями грассманианов1.

Все инд-грассманианы, определенные таким образом, изоморфны и обозначаются через G(oo). Для инд-грассманиана G(oo) доказывается, что всякое конечномерное расслоение на нем расщепляется в сумму линейных.

В 2009 году в статье [РТ2] A.C. Тихомиров и И.Б. Пенков доказывают расщепление расслоений ранга два для инд-грассманианов, определенных произвольными цепочками вида (1), снимая требование фт быть стандартным расширением (требуется лишь, чтобы всякое фт было вложением степени 1).

В статье [РТ1] произведена классификация линейных инд-грассманианов, определенных как прямые пределы цепочек

,„01 Фт —_ 0т+1, . .

{X! ... ^ Хт+1 ^ }, (1)

где все Хт являются одновременно либо обычными, либо изотропными грассманианами. В частности, показано, что все линейные инд-грассманианы, рассматриваемые в работе [РТ2], изоморфны G(oo) или Р°°.

В 2015 году в статье [РТ] были выведены условия на локально полные линейные инд-многообразия X, достаточные для

1 Напомним, что вложение G(ki, У"1) G(k'j, VП2) называется стандартным

расширением, если имеется разложение У"2 = Vni ®ff"!_ni и образ вложения состоит из подпространств вида Ukl ® Wk2~kl, где Ukl С Vni, a Wk2~kl -фиксированное подпространство в Wn2~ni.

выполнения аналога теоремы Барта - Ван де Вена - Тюрина - Сато. Новыми примерами инд-многообразий, которые удовлетворяют этим условиям, являются линейные сечения линейных инд-грассманианов, как обычных, так и изотропных. Таким образом, аналог теоремы Барта - Ван де Вена - Тюрина - Сато был доказан и для этого класса инд-многообразий.

Постановка задачи

В данной работе мы распространим теорему Барта - Ван де Вена -Тюрина - Сато на случай полного пересечения в линейном инд-грассманиане в := С(оо). Основным полем является поле комплексных чисел С.

Для линейного инд-грассманиана в определим плюккерово вложение в <-4 Р°°, как прямой предел плюккеровых вложений грассманианов С(кт,пт). Инд-гиперповерхностью степени (1 в Р°° назовем прямой предел гиперповерхностей степеней <1.

Рассмотрим линейный инд-грассманиан в, вложенный по Плюккеру в Р°°. Пусть Y1,...,Yl - инд-гиперповерхности степеней ...,(11 в Р°°. Линейное инд-многообразие

Х = вПУ! П...ПУ1

называется полным пересечением в С, если для всякого т > 1 многообразие С(кт,Пт)ГТУ^П.-.Г^! является полным пересечением.

Под векторным расслоением Е ранга г > 0 на X = ПщХт мы понимаем обратный предел Е = цепочки векторных

расслоений {Ет}т> 1 ранга г, где Ет - расслоение ранга г на Хгп с фиксированными изоморфизмами Ет = ф*тЕт+\.

Основным результатом настоящей работы является следующая теорема.

Теорема 1. Любое векторное расслоение Е конечного ранга на полном пересечении X конечной коразмерности в линейном инд-грассманиане в изоморфно прямой сумме линейных расслоений.

Цель работы

Целью работы является исследование инд-многообразий X, являющихся полными пересечениями в линейном инд-грассманиане С, и изучение векторных расслоений конечного ранга на этих инд-многообразиях. Главным результатом является доказательство теоремы 1.

Методология и методы исследования

В диссертации используются разнообразные методы алгебраической геометрии, такие как теория пересечений, теория пучков и их когомологий, язык теории схем и методы теории категорий. Существенным образом используется классификация векторных расслоений конечного ранга на Р°°. Также используются топологические результаты, такие как формула Монка [Мо] для когомологий пространства полных флагов.

Научная новизна. Положения выносимые на защиту

Все основные результаты диссертации являются новыми. Главные из них:

1. Доказана 1-связность инд-многообразия X, а именно, для любых двух точек X существует конечная связная цепочка проективных прямых на X, содержащих эти две точки. При некоторых ограничениях доказана связность и непустота пространства таких цепочек.

2. Доказано, что всякое векторное расслоение Е конечного ранга на X является равномерным, то есть ограничение расслоения Е на все проективные прямые в X имеет Инд-гиперповерхностью одинаковый тип расщепления.

3. Доказано, что любое равномерное векторное расслоение Е конечного ранга на полном пересечении Хсв конечной коразмерности изоморфно прямой сумме линейных расслоений.

Теоретическая и практическая значимость работы

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в дальнейших исследованиях векторных расслоений на проективных многообразиях и инд-многообразиях.

Степень достоверности и апробация результатов

Результаты диссертации докладывались

• в рамках летней школы-конференции по алгебраической геометрии и комплексному анализу для молодых ученых России (Ярославль, ЯГПУ, 20 - 25 мая 2013 г.), тезисы доклада опубликованы [5];

• на конференции "Международные Колмогоровские чтения - XIII" (Ярославль, 19 мая - 22 мая 2015 г.).

Публикация результатов

Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах [1,2,3,4]. Три статьи опубликованы в журналах из списка ВАК РФ. Одна статья опубликована в журнале Complex Manifolds, входящем в базу MathSciNet. Все четыре статьи написаны без соавторов. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из оглавления, 6 глав (введение, основной текст диссертации, заключение) и списка литературы из 24 наименований. Текст диссертации изложен на 54 страницах.

Содержание диссертации

Общая структура диссертации

Диссертация разбита на главы, которые, в свою очередь, подразделяются на параграфы. Нумерация всех результатов (теорем, лемм, следствий, предложений), а также определений и формул - сквозная внутри всего текста диссертации.

Глава 1. Введение

Во введении формулируется главная задача, приводится предыстория ее возникновения, обосновывается актуальность проблемы. Далее следует обзор содержания диссертации.

Глава 2. Формулировка основного результата

В этой главе приводятся основные определения, необходимые для формулировки основного результата диссертации, и дается идея его доказательства.

В параграфе §2.1 мы напоминаем определение линейных инд-многообразий X = (см. стр. 4) и определение линейных

инд-грассманианов. Затем мы вводим понятие полного пересечения конечной коразмерности в линейном инд-грассманиане, даем определение векторного расслоения конечного ранга на инд-многообразии.

Пусть Хт = С{кт,пт), Шпт-к» кт = Пшт_>00(пто — кт) = оо, а отображения фт являются стандартными расширениями. Заметим, что РгсХт = Z, и все морфизмы ф*п - изоморфизмы. Таким образом, мы получаем линейное инд-многообразие, которое называется линейным инд-грассманианом и обозначается С = С(оо).

Для линейного инд-грассманиана в определим плюккерово вложение в > Р°° как прямой предел плюккеровых вложений грассманианов С(кт, пт). Наконец, инд-гиперповерхностью степени (1 в Р°° назовем прямой предел гиперповерхностей степеней (I.

Рассмотрим линейный инд-грассманиан в, вложенный по Плюккеру в Р°°. Пусть VI,...,VI - инд-гиперповерхности степеней в Р°°. Линейное инд-многообразие

Х = СПУ1П... Г^

называется полным пересечением конечной коразмерности в в, если для всякого т > 1 многообразие С(кт,пт) П VI П ... П V} является полным пересечением.

Под векторным расслоением Е ранга г > 0 на X мы понимаем обратный предел Е = Ijmism цепочки векторных расслоений {Em}m>i ранга г, где Егп - расслоение ранга г на Хт с фиксированными изоморфизмами Ет = ф*ТпЕш+\.

В параграфе §2.2 формулируется главная теорема:

Теорема 1. Любое векторное расслоение Е конечного ранга на полном пересечении X конечной коразмерности в линейном инд-грассманиане G изоморфно прямой сумме линейных расслоений.

Приводится краткий план ее доказательства.

Глава 3. Связность и непустота пространства путей на полном пересечении в инд-грасманиане

В этой главе мы рассматриваем пространство путей фиксированной длины, соединяющих две произвольно выбранные точки многообразия X, которое является полным пересечением грассманиана G(n,V2n) с гиперповерхностями степеней di,..., dj.

Пусть X - проективное многообразие с обильным пучком Ох( 1)-Назовем проективным подпространством в X такое многообразие М ~ Рг в X, что Ох(1)|м — CV( 1). В случае, если М одномерно, назовем его проективной прямой в X, или просто прямой в X.

В случае когда X = G(k,n), под пучком Ох( 1) понимается обильный пучок 0G(fc)n) (1), класс изоморфизма которого является образующей группы PicG{k,n).

Путь рп(х,у) длины п на многообразии X, соединяющий точки х,у, - это набор точек х = х0, х\, ...,хп = у в X и набор проективных прямых lo,...,ln-i в X, таких, что £¿,2^+1 G

Многообразие всех путей длины п, соединяющих точки х и у, обозначим Рп(х,у).

Каждый путь из этого пространства состоит из последовательно пересекающихся друг с другом проективных прямых в X, посредством которых от одной точки многообразия X можно дойти до другой. Здесь основным результатом является следующая теорема.

Теорема 2. Пусть X - полное пересечение грассманиана G(n, 2п), вложенного по Плюккеру, с набором гиперповерхностей степеней db...,dj : X = G(n, 2n) nflU1^ Если + 1) < [f], rno

многообразие Pn(u,v) путей длины n, соединяющих любые две точки и, v в X, непусто и связно.

Вспомогательные результаты, необходимые для доказательства теоремы 2, содержатся в параграфах §3.1 - 3.4. В параграфе §3.5 приводится непосредственно доказательство теоремы.

Так же полезным результатом является следствие из этой теоремы для случая полного пересечения в грассманиане С(к,п), которое содержится в параграфе §3.6. Здесь мы полагаем, что к < [§].

Следствие 3. Пусть X - полное пересечение грассманиана С(к,п), вложенного по Плюккеру, с набором гиперповерхностей степеней <¿1,...,^ : X = С(к,п)Г\Г\\=1 У,. Если 2X^ + 1) < § < то многообразие Рь(и,у) путей длины к, соединяющих любые две точки и,у в X, непусто и связно.

Глава 4. Равномерность векторных расслоений на полном пересечении в инд-грассманиане

Для формулировки главного результата главы 4 нам потребуется определение равномерности расслоения Е на линейном инд-многообразии X.

Пусть Е - расслоение ранга г на линейном инд-многообразии X. Тип расщепления расслоения Е на проективной прямой I С X - это набор чисел п > 0 и а; € г = 1,..., в, такой, что

Е|; ^ пОР1 (аг) е г2Ор 1 (а2) ® ... г80Рг (а5),

ах > а2 > ... > а3, ^¿=1 = г-

Расслоение Е называется равномерным, если его ограничение на все проективные прямые имеет одинаковый тип расщепления.

Назовем векторное расслоение Е линейно тривиальным, если ограничение Е на любую проективную прямую из X тривиально.

Основным результатом главы 4 является следующая теорема.

Теорема 7. Всякое конечномерное векторное расслоение Е на полном пересечении X конечной коразмерности в линейном инд-грассманиане С равномерно.

Доказательство этой теоремы опирается на понятия 1- и 2-связности инд-многообразия X, которые приведены в параграфе §4.1.

Линейное инд-многообразие X называется 1-связным, если для любых двух точек ж, у € X существует связная цепочка проективных прямых в X, соединяющая х су.

Линейное инд-многообразие X называется 2-связным, если любые две проективные прямые из X могут быть связаны такой

цепочкой проективных прямых 1\,...,1к, что любая пара 1)

содержится в плоскости Р2, принадлежащей X.

Теорема 6 является простым следствием следующего результата:

Теорема 8. Полное пересечение X конечной коразмерности в линейном инд-грассманиане С 2-связно.

Так же в §4.1 дается план доказательства теоремы 8.

В параграфе §4.2 доказывается, что X 1-связно.

В параграфе §4.3 доказывается, что X 2-связно.

В параграфе §4.4 мы доказываем теорему 3.

Глава 5. Расщепление векторных расслоений конечного ранга на X

В главе 5 мы даем доказательство нескольких вспомогательных теорем и приводим доказательство теоремы 1 в завершении главы. Главным результатом параграфа §5.1 является следующая теорема.

Теорема 13. Пусть X - полное пересечение в линейном инд-грассманиане С, Е - равномерное расслоение на X. Тогда существует цепочка подрасслоений

О = Ро С Ех С ... С Г5 = Е

таких, что каждое фактор-расслоение для 1 < г < в

является подкруткой линейно тривиального расслоения.

В параграфе §5.2 мы доказываем следующую теорему.

Теорема 14. Предположим, что X нормально, и для некоторого п > 0 и для некоторой точки х € X отображение /х,п ^п(х) —» X доминантно и имеет связные слои. Тогда любое линейно тривиальное векторное расслоение па X тривиально.

Эта теорема необходима для того, чтобы показать, что любое конечномерное линейно тривиальное расслоение Е на X является тривиальным.

В параграфе §5.3, используя теорему Кодаиры об обращении в ноль, мы получаем следующий результат.

Теорема 17. Пусть X - полное пересечение в линейном инд-грассманиане в и Е - векторное расслоение на нем. Пусть О = Ео С С ... С Г8 = Е - флаг подрасслоений таких, что расслоение является подкруткой линейно тривиального

расслоения на линейное расслоение для всякого 1 < г < в. Тогда Е = ф1Р,/Е,_1.

В параграфе §5.4, используя равномерность векторного расслоения Е и 1-связность нпд-многообразия X, а так же,

применяя теоремы 13, 14 и 17, мы завершаем доказательство теоремы 1.

Глава 6. Заключение

В главе 6 подводятся итоги данного диссертационного исследования и излагаются перспективы дальнейшей разработки темы.

Заключение

Основным результатом настоящей работы является доказательство расщепимости расслоений конечного ранга на полных пересечениях конечной коразмерности в С(оо). Для доказательства данного результата было введено и исследовано пространство путей на полных пересечениях в грассманианах. Это позволило нам получить критерий тривиальности линейно тривиальных расслоений на таких многообразиях.

Тематика данной работы допускает развитие в двух многообещающих направлениях.

1. Было бы интересно обобщить теорему 2 о непустоте и связности пространства путей в полных пересечениях обычного грассманиана на полные пересечения в изотропных грассманианах. Такой результат позволил бы доказать, что равномерные расслоения на полных пересечениях конечной коразмерности в изотропном инд-грассманиане расщепляются.

2. Также было бы интересно доказать аналог гипотезы Хартсхорна для С(оо): всякое подмногообразие конечной коразмерности в С(оо) является полным пересечением. Это усилило бы основной результат настоящей работы.

Список цитированной литературы

[РТ] Пенков, И.Б., Тихомиров, А.С. О теореме Барта - Ван де Вена -Тюрина - Сато. / И.Б. Пенков, А.С. Тихомиров // Математический сборник. - 2015. - Том 206, Номер 6. - С. 49-84.

[BV] Barth, W., Van de Ven, A. On the geometry in codimension 2 in Grassmann manifolds / W. Barth, A. Van de Ven // SpringerVerlag: Lecture Notes in Mathematics. - 1974. - Vol. 412. - pp. 1-35.

[DP] Donin, J., Penkov, I. Finite rank vector bundles on inductive limits of Grassmannians / J. Donin, I. Penkov // IMRN. - 2003. - No 34.

- pp. 1871-1887.

[Mo] Monk, D. The geometry of flag manifolds / D. Monk // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1959. - Volume s3-9, Issue 2,

- pp. 253-286.

[OSS] Okonek, C., Schneider, M., Spindler, H. Vector bundles on complex projective spaces / C. Okonek, M. Schneider, H. Spindler. - Basel: Birkhaiiser, 1988. - 239 p.

[PT1] Penkov, I., Tikhomirov, A.S. Linear ind-Grassmannians /1. Penkov, A.S. Tikhomirov // Pure and Applied Mathematics Quarterly. -2014. - Vol. 10. No 2. - pp. 289-323.

[PT2] Penkov, I., Tikhomirov, A.S. Rank-2 vector bundles on ind-Grassmannians / I. Penkov, A.S. Tikhomirov // Algebra, Arithmetic, and Geometry. Progress in Mathematics. - 2009. - Vol. 270. - pp. 555-572.

[SI] Sato, E. On the decomposability of infinitely extendable vector bundles on projective spaces and Grassmann varieties/ E. Sato // J. Math. Kyoto Univ. - 1977. - No 17. - pp. 127-150.

[T] Tyurin, A.N. Vector bundles of finite rank over infinite varieties / A.N. Tyurin // Math. USSR. Izvestija. - 1976. - No 10. - pp. 11871204.

Работы автора по теме диссертации

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

[1] Ермакова, С.М. Векторные расслоения конечного ранга на полных пересечениях конечной коразмерности в линейном инд-грассманиане / С.М. Ермакова // Математические заметки. - 2015. - Том 98. Выпуск 5. - С. 790-793.

[2] Ермакова, С.М. О пространстве путей на полных пересечениях в грассманианах / С.М. Ермакова // МАИС. - 2014. - Том 21. Номер 4. - С. 35-46.

[3] Ермакова, С.М. Равномерность векторных расслоений конечного ранга на полных пересечениях конечной коразмерности в линейных инд-грассманианах / С.М. Ермакова // МАИС. - 2015. - Том 22. Номер 2. - С. 209-218.

[4] Ermakova, Svetlana Vector bundles of finite rank on complete intersections of finite codimension in ind-Grassmannians / Svetlana Ermakova // Complex Manifolds. - 2015. - Volume 2, Issue 1, pp. 78-88.

Другие публикации по теме диссертации:

[5] Ермакова, С.М. Сечения инд-грассманианов гиперквадриками / С.М. Ермакова // Тезисы летней школы-конференции по алгебраической геометрии и комплексному анализу для молодых ученых России. - Ярославль, ЯГПУ. - 2013. - С. 4142.

Подписано в печать 30.09.2015. Формат 60x84/16. Тираж 100 экз. Заказ №16/15 Отдел оперативной полиграфии ЯрГУ 150000, г. Ярославль, ул. Советская, 14