Геометрия действий торов на многообразиях флагов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М В Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 512 745 2

Жгун Владимир Сергеевич Геометрия действий торов на

многообразиях флагов 01 01 06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ооз шоэи**

Москва - 2008

003168904

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М В Ломоносова

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация

кандидат физико-математических наук, доцент Аржанцев Иван Владимирович доктор физико-математических наук, профессор Попов Владимир Леонидович

кандидат физико-математических наук, доцент Панов Тарас Евгеньевич Научно-исследовательский институт системных исследований РАН, г Москва РАН

Защита диссертации состоится 23 мая 2008 г в 16 ч 40 м на заседании диссертационного совета Д 501 001 84 при Московском государственном университете имени М В Ломоносова по адресу Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж) Автореферат разослан 23 апреля 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501 001 84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

А О Иванов

Общая характеристика работы Актуальность темы

Диссертация посвящена изучению действий подторов полупростой группы (? на многообразиях флагов

Введем необходимые обозначения, а также напомним основные определения Пусть (? — связная полупростая алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики, Т — максимальный тор в (?, а В — содержащая его борелевская подгруппа Рассмотрим действие Г на С/В левыми сдвигами Иными словами, элемент тора < € Г переводит смежный класс дВ в 1дВ

Пусть х ~ некоторый вес тора Т, строго доминантный относительно борелевской подгруппы В Хорошо известно, что С?/В вкладывается (?-эквивариантно в проективизацию Р(У(х)) неприводимого модуля У(х) старшего веса х как проективизация орбиты старшего вектора Обозначим через Ьх ограничение на С/В пучка 0(1) на Р(У(х))> снабженного (?-линеаризацией Так реализуются все обильные (З-линеаризованные линейные расслоения на в/В (Это утверждение содержится, например, в работе В Л Попова1)

Также можно рассматривать параболические подгруппы Р С С, содержащие фиксированную борелевскую подгруппу В Известно, что такая подгруппа Р является стабилизатором прямой, натянутой на старший вектор неприводимого представления У(х), для некоторого доминантного веса X Группа, порожденная такими весами х, отождествляется с группой характеров Е(Р) параболической подгруппы Р Аналогичным образом, обозначим через Ьх ограничение на С/Р пучка С(1) на Р(У(х)), снабженного (?-линеаризацией Хорошо известно, что так могут быть реализованы все обильные (З-линеаризованные линейные расслоения на С/Р (см например1)

Зафиксировав обильное (З-линеаризованное линейное расслоение на многообразии X = С/Р, согласно Д Мамфорду2 можно определить открытое по Зарисскому подмножество X" флагового многообразия X = б/Р, для которого существует категорный фактор Х^//Т для действия Т Этот фактор мы назовем фактором Мамфорда

Для удобства читателя напомним определение множеств стабильных и

'В Л Попов, Группы Литра однородных пространств линейных алгебраических групп и одномерные однородные векторные расслоения. Изв АН СССР Сер матем 38 2, (1974), 292-322

2Ж Дьедонне, Дж Керрол, Д Мамфорд, Геометрическая теория инвариантов Москва, Мир, 1965

полустабильных точек

Определение. Пусть X — алгебраическое многообразие с действием ре-дуктивной группы H,L — обратимый обильный //-линеаризованный пучок на X Через Г(Х, L) обозначим пространство глобальных сечений L na X (i) Множеством полустабильных точек называется

X[s = {x€X Эп>0,Э<теГ(Х,£®п)н <т(х) ф 0}

(и) Множеством стабильных точек называется

XI = {х е Xf/ • орбита Их замкнута в Xa¿ и стабилизатор Нх конечен}

Еще раз повторимся, что для множества XSL существует геометрический фактор ХЦН, а для X[s — соответственно категорный фактор XIs//Н

Мы будем изучать ситуацию, когда Н — Т, X ~ G/P, а в качестве пучка L берется пучок i*ö{ 1), где г G/P С P(V(7ra)) — естественное вложение Сделаем краткий обзор результатов, которые были получены ранее другими авторами в связи с изучением торических орбит на многообразиях флагов

Упомянем некоторые работы, в которых изучались замыкания орбит действия максимального тора Т на флаговых многообразиях Дабровски 3 была доказана нормальность замыканий типичных Т-орбит на G/P Нормальность замыканий необщих Г-орбит на G/P была изучена Каррелом и Куртом4. Точнее ими были построены примеры ненормальных замыканий Г-орбит, а также описаны замыкания Т-орбит для простых групп G малого ранга Когомологии замыканий общих Т-орбит изучались Клячко5 Пусть х € G/B — точка общего положения Тогда вложение Тх С G/B индуцирует на когомологиях рассматриваемых многообразий естественный гомоморфизм ограничения H*{G/B, Z) —> Н*(Тх, Z) Этот гомоморфизм был описан в работе 5

Следующая серия работ посвящена изучению множества полустабильных точек, а также факторов Xa¿J/T Сентамараи Каннан6 интересовался вопросом, для каких групп G и их параболических подгрупп Р возможно равенство (G/P)s¿ = (G/P)SL для некоторого обильного пучка L Им было

3R Dabrowski, On normality of the closure of a generic torus orbit mG/P Pacific Journal of Mathematics 172 2, (1996), 321-330

4J В Canell, A Kurth, Normality of torus orbit closures m G/P J Algebra 233, (2000), 122-134

5A А Клячко, Торические многообразия u пространства флагов Тр Мат ин-та РАН 208, (1995), 139-162

6S Senthamarai Kannan, Torus quotients of homogeneous spaces - II Proc Indian Acad Sei (Math Sei) 109 1, (1999), 23-39

показано, что в случае, когда группа G не содержит компонент типа А„, это равенство возможно только в случае, когда Р — борелевская подгрупа в G В случае SLn им были получены необходимые и достаточные условия для выполнения последнего равенства Отметим, что в приложении к работе6 приведены более простые доказательства основных теорем этой работы, принадлежащие Де-Кончини Кольца рациональных когомологий факторов Х™ //Т были посчитаны в работах Голдин и Маре7,8 с помощью методов симплектической геометрии.

Хорошо известно, что имеет место вложение Pic{XfJ/T) * Pict(XIs), где ) обозначает группу Т-линеаризованных расслоений на XSLS

Заметим, что вопрос вычисления Рic(X[sx//T) как подгруппы в Рict(X[s) достаточно сложен Совсем недавно Ш Кумаром9 было выяснено при каких целых к расслоение kLx е Pict(X|_®) принадлежит подгруппе Pic[X'l ЦТ) Стоит отметить, что из наших результатов, опубликованных раньше работы9, следует, что kLx € Pic{X^J/T) для некоторого достаточно большого к

Представляет интерес гипотеза В В Батырева, которая утверждает наличие связи между универсальными торсерами над поверхностями дель-Пеццо и аффинными конусами над многообразиями флагов, вложенными в микровесовые представления

Хорошо известно10, что поверхности дель-Пеццо степени d < б можно сопоставить систему корней ранга 9 — d из следующего списка Ai, D5, Ее, Ej, Es Каждой такой поверхности соответствует простая группа G У группы G, в свою очередь, есть квазимикровесовое представление V(vra) (а именно представление, на ненулевых весах которого группа Вейля действует транзитивно) со старшим весом 7га, соответствующим отметке 1 на концевой вершине диаграммы Дынкина Отметим, что в случае Es рассматриваемое представление V(na) является присоединенным, а в остальных случаях — микровесовым (то есть таким представлением, что на его весах группа Вейля действует транзитивно) В проективизации этого представления существует единственная замкнутая орбита — многообразие флагов G/P Батыревым было замечено, что классы (—1)-кривых в группе Пикара поверхностей дель-Пеццо взаимно однозначно соответствуют весам

7R.F Goldin, The œhomology ring of weight varieties and polygon spaces Advances ш Mathematics 160 2, (2001), 175-204

8R.F Goldin, A L Mare, Cohomology of symplectic reductions of generic coadjomt orbits Proc Amer Math Soc 132 10, (2004), 3069-3074

BS Kumar, Descent of line bundles to GIT quotients of flag varieties by maximal torus arXiv math/0702556

10Ю Манин, Кубические формы, алгебра, геометрия, арифметика. Москва, Наука, 1972

микровесовых представлений, указанных выше Это наблюдение побудило многих авторов к попыткам прояснить данную связь

Укажем, какие результаты были получены другими авторами в этом направлении

Случай поверхности дель-Пеццо степени 5 был разобран А Н Скоробогатовым11 Рассмотрим грассманиан двумерных подпространств в пятимерном векторном пространстве, который иначе может быть представлен как SL^/P для соответствующей параболической подгруппы Р. В цитируемой работе было показано, что фактор Мамфорда T\(SL5/P)ss грассманиана SL$/P по максимальному тору Т С SL5 изоморфен поверхности дель-Пеццо степени 5 Отметим, что последняя поверхность является плоскостью с раздутыми 4 точками в общем положении, и с точностью до бирегулярного автоморфизма существует только одна такая поверхность

Полные координатные кольца поверхностей дель-Пеццо были вычислены В В Батыревым и О Н Поповым12 Также посредством этих вычислений им удалось выяснить связь между поверхностями дель-Пеццо и соответствующими микровесовыми представлениями Геометрическое описание этой связи появилось в работе А Н Скоробогатова и В В Сергановой 13 для поверхностей дель-Пеццо степени больше 1

Цель работы

• исследовать множества Xf^ полустабильных точек для действия максимального тора на многообразии полных флагов G/B в зависимости от G-линеаризованного пучка Lx, дать явное описание интересующих нас множеств,

• вычислить группу Пикара многообразий Xs¿JjT,

• построить вложения универсальных торсеров над поверхностями дель-Пеццо в аффинные конусы над многообразиями флагов, такие что их сечения весовыми гиперлоскостями связаны с (—1)-кривыми на поверхностях дель-Пеццо

UA N Slcorobogatov, On a theorem of Ennqves-Svnnnerton-Dycr Ann Fac Sei Toulouse 2, (1993), 429— 440

l2V V Batyrev, O N Popov, The Cox ring of a del Pezzo surface In Arithmetic of htgher-dtmensiond algebraic varieties (Palo Alto, 2002), Progr Math 226 Birkhäuser, (2004), 85-103

UA N Skorobogatov, V V Serganova, Del Pezzo surfaces and representation theory to appear in J Algebra and Number Theory arXiv math/0611737

Научная новизна

1 Для действия максимального тора Т на многообразии полных флагов <3/В изучен вопрос о вариации фактора Мамфорда в зависимости от Т-линеаризованного пучка Ьх С помощью критерия численной стабильности, принадлежащего Сешадри, получена формула, описывающая множество полустабильных точек относительно расслоения Ьх как пересечение клеток Брюа, сдвинутых на некоторые элементы группы Вейля Последняя формула позволяет построить разбиение внутренности камеры Вейля С, которая является в данном случае конусом обильных линейных расслоений, на классы ИТ-эквивалентности

2 Вычислен ранг группы Пикара фактора Х^//Т — один из наиболее важных инвариантов многообразий Было показано, что Р1с(Х£*/Т) — конечно порожденная свободная абелева группа Тем самым, последняя группа определяется своим рангом

3 Построено локально замкнутое вложение торсера над поверхностью дель-Пеццо относительно тора Т, полученного расширением максимального тора Т с помощью тора, действующего гомотетиями на У(7га), в аффинный конус над соответствующим многообразием флагов С/Р При этом образом морфизма факторизации по действию тора Т пересечения построенного торсера и весовых гиперплоскостей будет объединение (—1)-кривых на поверхности дель-Пеццо Построение в целом следует построению А Н Скоробогатова и В В Сергановой, проделанного для поверхностей дель-Пеццо степени больше 1 Автором были предложены новые доказательства ключевых утверждений, а также построены соответствующие вложения для поверхностей дель-Пеццо степени 1

Основные методы исследования

В работе применяются методы алгебраической геометрии, геометрической теории инвариантов, теории представлений редуктивных алгебраических групп На протяжении всей работы автор использует результаты работы И Н Берштейна, И М Гельфанда, С И Гельфанда14, которые описывают строение многообразий Шуберта при данном проективном вложении В последней части работы автор опирается на результаты работы Б Г Мойшезона15 об экстремальных стягиваниях

14И Н Берштейн, И М Гельфанд, С И Гельфанд, Клетка Шуберта и когомологии пространств С/Я, УМН 37 3 (171) (1973), 3-26

15Б Г Мойшезон, Теорема Кастелъпуоео-Энриквеса о стягивании для произвольной размерности. Изв АН СССР Сер матем 33 5,(1969), 974-1025

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер Полученные в диссертации результаты представляют интерес для алгебраической геометрии, геометрической теории инвариантов (вариации ИТ-факторов), геометрии многообразий флагов, теории представлений

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах

• Семинар "Алгебраические группы и алгебры Ли" под руководством Э Б Винберга и А Л Онищика, МГУ (2005 и 2008),

• Школа по алгебраическим группам, Georg-August-Unlversltaet СоШтщеп, (2005),

• Кафедральный семинар кафедры высшей алгебры МГУ (2008),

• Семинар "Геометрия, топология и математическая физика" под руководством С П Новикова и В М Бухштабера, МГУ (2008),

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в 3 работах, список которых приводится в конце автореферата [1-3]

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из 4 глав (первая из которых является вводной) и библиографии (28 наименований) Общий объем диссертации составляет 131 страницу

Краткое содержание работы

В главе 1, которая является вводной, изложена краткая история вопроса, показана актуальность темы и сформулированы основные результаты Также формулируются известные ранее результаты, используемые в работе Последние приведены без доказательства, однако они снабжены подробными ссылками на первоисточники

В главе 2 нами получена формула, выражающая множество полустабильных точек через пересечение сдвигов на элементы группы Вейля некоторых клеток Шуберта

Теорема 1. Рассмотрим G-эквивариантное замкнутое вложение G/B Р(У(х)) Тогда множество полустабилъных точек относительно действия тора (с линеаризацией, пришедшей со стандартного действия Т на V(x)) может быть найдено по следующей формуле

ХИ = П U ™BwB/B,

weW weW"'

где — множество таких w € W, что {wx, А) < 0 для любого X £ С из камеры Вейля

Из этой теоремы получается теорема о вариации фактора Мамфорда Пусть А — конус, порожденный простыми корнями Определим по элементу х G С0 конус ах = С П р) wA

view

ХЕшЛ

Теорема 2. (Вариация фактора Мамфорда)

Множество конусов ах для х € С0 конечно Рассматриваемые конуса образуют веер с носителем С Относительные внутренности этих конусов отвечают классам GIT-эквивалентности

В этой главе приведены вспомогательные результаты, описывающие множество полустабильных точек в коразмерности 1 В частности, показано, что в случае когда G не имеет простых компонент типа Ап, дополнение к множеству полустабильных точек имеет коразмерность не меньше 2 В случае, когда G = SLn, дано описание дивизоров, не лежащих в множестве полустабильных точек XI* Также получены технические результаты об устройстве линейных оболочек носителей стабильных Т-орбит

Поскольку факторы XSLSJ/T устроены достаточно сложно, представляет интерес вычисление каких-либо их инвариантов Глава 3 посвящена вычислению ранга группы Пикара фактора XfjT В данном случае несложно показать, что Vic{XfJ/T) — конечно порожденная свободная абелева группа Поэтому последняя группа определяется своим рангом _

Подсистемы корней À С А, для которых выполнено равенство Д = (Д) Г) Д (где (Д) обозначает линейную оболочку системы Д), мы будем называть насыщенными Напомним, что имеет место вложение 7г* P1C(^//T)-P1C(G/B)xE(T)

В случае, когда группа не имеет компонент типа Лп имеет место теорема

Теорема 3. Пусть х ~~~ строго доминантный вес, которому отвечает вложение О/В Р(У(х)) Пусть {А®} — всевозможные насыщенные подсистемы корней в Д такие, что

О е юи> ох + £

а,€(Д^)+ПгиД+

Тогда элемент, ц = (цо, е (Р1с(С/5) х 2(Т)) ® (¡3 принадлежит 7г*Р1с(Х£® ЦТ) ® О тогда и только тогда, когда

ш^о + И1 € р)<А™), з

для всех тыо 6 И7^4 Ранг группы Пикара Р\с(Х^//Т) равен размерности линейного пространства, порожденного точками р, удовлетворяющими условиям, описанным выше

Имеет место аналогичная теорема для (7 = 51^+1 В этом случае дополнение к множеству полустабильных точек может иметь компоненты коразмерности 1 Это приводит к тому, что вычисление группы Р1Су(Х|_6') становится нетривиальным Приведем формулировку соответствующего предложения

Предложение 1. Пусть О = БЬ(1 + 1), а и щ — фундаментальные веса, двойственные к корням, отвечающим концевым вершинам схемы Дынкина Лг Тогда

(г) если Запт0 е для всех п, то

Р1сТ(Х%) (Рю(С/В) х 5(Г)) ® О,

(п) если ва11И0 £ ^Х' а ^(^о ^ ^Х' ш0

Р»ст(Х?х) <8> О = (Н(В)/{7Г,» ® о,

(иг) если 5а,гио 6 а в^гио ^ то

В случае (г) предыдущего предложения формула для ранга группы Пи-кара аналогична теореме 3 1.1 и мы опустим ее формулировку В случаях (гг) и (ггг) предыдущего предложения имеет место следующая теорема

Теорема 4. Пусть G — SL(l + 1) Зафиксируем строго доминантный вес х, которому отвечает вложение G/B «—► Р(У(х)) Пусть {Aj} — всевозможные насыщенные подсистемы корней в Д такие, что 0 £ uiqx+ Q+a В случае, когда выполнено одно из условий

(г) saiw0 S а saiw0 ф W^, (и) saiw0 € а saiw0 <£

имеет место формула

Pic {XfJT) ®Q = p(w0 П(А,)) ® Q,

з

где в случае (г) (соот случае (гг)) р определяется как проекция на (Е(В)/{тгг>) <g) Q (соот на (Е(В)/(т)) ® Q)

Глава 4 посвящена изучению связи между универсальными торсерами над поверхностями дель-Пеццо и аффинными конусами над многообразиями флагов, вложенными в микровесовые представления

Основным результатом является следующая теорема, доказанная А Н Скоробогатовым и В В Сергановой13 в случае поверхностей дель-Пеццо степени строго больше 1

Рассмотрим тор ГхКх, первая компонента которого действует на неприводимом представлении У(тга) стандартным образом, а вторая — с помощью гомотетий Обозначим через Т фактор тора Т х К* по ядру неэффективности действия на V(ira) Центр группы G обозначим через Z(G).

Теорема 5. Существует локально замкнутое Т-эквивариантное вложение универсального торсера Т с действием тора Т над поверхностью дель-Пеццо Х& (в случае Ец рассматривается достаточно общая поверхность Ха) в аффинный конус в V(ira) над подмножеством точек (Gf P)s^ многообразия флагов G/P С P(V(7r0)), стабильных относительно действия максимального тора Т и имеющих стабилизатор Z(G) Рассмотрим пересечение Т с Т-инвариантной гиперплоскостью иы = О (где uj — ненулевой вес представления V(na)) Его образом при морфизме факторизации по действию тора Т является (—1)-кривая на поверхности Хд Все (—1)-кривые на Х& получаются таким способом

Кратко наметим план доказательства, который будет реализован ниже Отметим, что общая схема доказательства заимствована из 13, однако шаги будут немного изменены, также будут даны доказательства отличные от 13.

Обозначим через С и Р' группу и ее параболическую подгруппу, которые соответствуют поверхности дель-Пеццо ХА>, из которой получается поверхность Хд раздутием точки Сначала мы докажем, что фактор по Мамфорду многообразия флагов <?/Р по некоторой однопараметрической подгруппе Л к* —► Т изоморфен раздутию Р(У(7Г^)) в многообразии флагов С?/Р\ которое мы обозначим через В1(¥{у(п'р)), С'/Р') Предположим по индукции, что для Т'-торсера Т ' над Хд< построено его вложение в С!¡Р (оно получено вложением универсального торсера Т ' в конус над С?/Р и последующей проекцией на С/Р') Зафиксируем весовой базис в Тогда точке я е Р(^(7Гд)), все координаты которой ненулевые,

можно сопоставить преобразование проективного пространства Р(У'(я^)), умножающее координаты точки из Р(У'(7г^)) на координаты точки д

Пусть ед — точка на поверхности Хй>, а о Хд —► ХА> — раздутие этой точки Рассмотрим точку в торсера Т , лежащую в слое над точкой ед Пусть 5 € С? /Р — достаточно общая точка Растяжением з'й-1 вдоль весовых векторов пространства V (тгр) мы добьемся того, что образ торсера в ' пересекает О'/Р' по одной Т'-орбите Те, лежащей над точкой ед Далее возьмем собственный прообраз Т торсера я в~1Т относительно раздутия ¥(У(тг'р)) вдоль С!/Р', а затем полный прообраз относительно факторизации по А Обозначим полученный торсер через Т Мы покажем, что аффинный конус над Т будет искомым торсером

Для удобства читателя приведем коммутативную диаграмму, иллюстрирующую схему доказательства

ПУЩ)

СГ/Р

Благодарности

Я благодарю своего научного руководителя кандидата физико-математических наук, доцента Ивана Владимировича Аржанцева за постановку задач и постоянное внимание к работе Я также хочу поблагодарить профессора Эрнеста Борисовича Винберга, профессора Василия Алексеевича Псковских, профессора Юрия Геннадьевича Прохорова, доцента Дмитрия Андреевича Тимашева, профессора Алексея Николаевича Скоробогатова и профессора Веру Серганову за полезные обсуждения Благодарю заведующего кафедрой высшей алгебры, доктора физико-математических наук, профессора Виктора Николаевича Латышева и всех сотрудников кафедры за творческую атмосферу, которая способствовала научной работе

Работы автора по теме диссертации

[1] В С Жгун, Вариация фактора Мамфорда действия тора на многобразии полных флагов I // Изв РАН Сер матем 71:6,

(2007), 29-46

[2] В С Жгун, Вариация фактора Мамфорда действия тора на многобразии полных флагов II // Математический сборник 199:3,

(2008), 25-44

[3] В С Жгун, О вложениях универсальных торсеров над поверхностями делъ-Пеццо в конусы над многообразиями флагов // Депонировано ВИНИТИ РАН, 2008, 337-В 2008, 52 с

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова

Подписано в печать ¿/ Ок 01 Формат 60x90 1/16 Уел печ л ¿,7Б Тираж (О С экз Заказ /1?

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-м атем ати чес кого факультета

1.1 История вопроса.

1.2 Основные результаты работы.

1.3 Определения и обозначения.

1.4 Результаты используемые в работе.

1.5 Благодарности.

2 Вариация фактора Мамфорда для действия Т на С/В

2.1 Структура множества полустабильных точек.

2.2 Результаты о множестве полустабильных точек для (7 = вЬ^х

2.3 Изучение носителей полустабильных Г-орбит.

3 Вычисление ранга Ргс(Х33//Т)

3.1 Вычисление ранга в случае группы (7 свободной от компонент типа Ап.

3.2 Вычисление групп ).

3.3 Вычисление ранга Р1с(Х3ь3х//Т).

4 Микровесовые представления и поверхности дель-Пеццо

4.1 Предварительные замечания.

4.2 Утверждения о многообразиях флагов.

4.3 Фактор С?/Р по однопараметрической подгруппе Л.

4.4 Фактор по подгруппе Л грассманиана С?/Р из Р(д) в случае группы типа Е&.

4.5 Вложение торсера над Хд в аффинный конус над С/Р.

4.6 О пересечении грассманиана с проективным подпространством

1.1 История вопроса

Диссертация посвящена изучению действий подторов полупростой группы С на многообразиях флагов.

Введем необходимые обозначения, а также напомним читателю основные определения. Пусть С — связная полупростая алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики, Т — максимальный тор в С, а В — содержащая его борелевская подгруппа. Рассмотрим действие Т на С/В левыми сдвигами. Иными словами, элемент тора I переводит смежный класс дВ в ЬдВ.

Пусть % некоторый вес тора Т, строго доминантный относительно борелевской подгруппы В. Хорошо известно, что С/В вкладывается С-эквивариантно в проективизацию неприводимого модуля У(х)старшего веса х как проективизация орбиты старшего вектора. Обозначим через Ьх ограничение на С/В С-линеаризованного пучка 0{ 1) наР(У(%)). Так реализуются все обильные С-линеаризованные линейные расслоения на С/В (см. [11]).

Также можно рассматривать параболические подгруппы Р С С, содержащие фиксированную борелевскую подгруппу В. Известно, что такая подгруппа Р является стабилизатором прямой, натянутой на старший вектор неприводимого представления У(х), для некоторого доминантного веса х- Группа, порожденная такими весами х-> отождествляется с группой характеров Е(Р) параболической подгруппы Р. Аналогичным образом, обозначим через Ьх ограничение на О/Р С-линеаризованного пучка 0{ 1) на Р(У(х))- Хорошо известно, что так могут быть реализованы все обильные (^-линеаризованные линейные расслоения на С?/Р (см. [11]).

Зафиксировав обильное ^-линеаризованное линейное расслоение на многообразии X = О/Р, согласно [3], молено определить открытое по Зарисскому подмножество Х™ флагового многообразия X = О/Р, для которого существует категорный фактор Х^//Т для действия Т. Этот фактор мы назовем фактором Мамфорда.

Для удобства читателя напомним определение множества (полу)стабильных точек.

Определение 1.1.1. Пусть X — алгебраическое многообразие с действием группы Н, Ь — обратимый обильный линеаризованный пучок на X.(1) Множеством полустабильных точек называетсяХ[в = {х € X : Зп > 0, Зет е Г{Х, Ьш)н : а{х) ф 0}.(п) Множеством стабильных точек называется Х[ = Х^ : орбита Нх замкнута в и стабилизатор Нх конечен}.

Еще раз повторимся, что для множества Хэь существует геометрический фактор XI/Н, а для X£5 — соответственно категорный фактор X™ //Н.

В нашем случае, когда Н = Т, X = С/Р, а в качестве пучка Ь берется %*0{ 1), (где г : С/Р С Р(У(тга))), через (С/Р)^ мы будем обозначать множество точек х Е (С/Р)5, для которых стабилизатор Тх = Z(G).

Сделаем краткий обзор результатов, которые были получены ранее другими авторами в связи с изучением торических орбит на многообразиях флагов.

Перечислим результаты связанные с изучением замыканий орбит действия максимального тора Т на флаговых многообразиях. В работе [18] доказывается нормальность замыканий типичных Т-орбит на С/Р (где Р Э В — параболическая подгруппа). В работе [16] изучается нормальность необщих Т-орбит на С/Р, точнее построены примеры ненормальных замыканий Т-орбит, а также изучены Т-орбиты для простых групп С малого ранга. Когомологии замыканий общих Т-орбит изучались в работе А.А.Клячко [8]. Пусть х Е С/В — точка общего положения. Тогда вложение Тх С С/Р индуцирует на когомологиях рассматриваемых многообразий естественный гомоморфизм ограничения Н*(С/В,Ж) —> Н*(Тх,%). Этот гомоморфизм был описан в вышеназванной работе.

Следующая серия работ посвящена изучению множества полустабильных точек, а также факторов Х^//Т. В [25] выясняется вопрос, для каких групп С? и их параболических подгрупп Р возможно равенство {О/РУ£ — (С/Р)!, для некоторого обильного пучка Ь. Кольца рациональных когомологий факторов Х^//Т были посчитаны в работах [21] и [22] с помощью методов симплектической геометрии.

Последняя часть диссертации посвящена гипотезе Батырева, которая утверждает наличие связи между универсальными торсерами над поверхностями дель-Пеццо и аффинными конусами над грассманианами, вложенными в микровесовые представления. Укажем, какие результаты были получены другими авторами в этом направлении.

Случай поверхности дель-Пеццо степени 5 был разобран Скоробогато-вым в [27]. Расскажем подробнее об этом результате. Рассмотрим грассма-ниан двумерных подпространств в пятимерном векторном пространстве, который иначе может быть представлен как ЭЬ^/Р, для соответствующей параболической подгруппы Р. В цитируемой работе было показано, что фактор Мамфорда Т\(ЗЬв/РУ грассманиана БЬ^/Р по максимальному тору Т С 5изоморфен поверхности дель-Пеццо степени 5. Отметим, что последняя поверхность, является плоскостью с раздутыми 4 точками в общем положении, и с точностью до бирегулярного автоморфизма существует только одна такая поверхность.

Полные координатные кольца над поверхностями' дель-Пеццо были вычислены в работе [15] Батыревым и Поповым. Также посредством этих вычислений им удалось выяснить связь между поверхностями дель-Пеццо и соответствующими микровесовыми представлениями. Геометрическое описание этой связи появилось в работе Скоробогатова и Сергановой [28] для поверхностей дель-Пеццо степени больше 1.

1. И.Н.Берштейн, И.М.Гельфанд, С.И.Гелъфанд, Клетки Шуберта и ко-гомологии пространств <3/Р, УМН 37:3 (171) (1973), 3-26.

2. Э.Б.Винберг, А.Л.Онищик, Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. Москва, УРСС, 1995.

3. Ж.Дьедонне, Дж.Керрол, Д.Мамфорд, Геометрическая теория инвариантов. Москва, Мир, 1965.

4. В.С.Жгун, Вариация фактора Мамфорда действия тора на многобра-зии полных флагов. I Изв. РАН. Сер. матем., 2007, 71:6, 29-46

5. В.С.Жгун, Вариация фактора Мамфорда действия тора на многообразии полных флагов II, Математический сборник, 2008, 199:3, 25-44.

6. В.С.Жгун, О вложениях универсальных торсеров над поверхностями дель-Пеццо в конусы над грассманианами. // Депонировано в ВИНИТИ РАН, 2008, 337-В2008, 52 с.

7. Х.Крафт, Геометрические методы в теории инвариантов, Москва: Мир, 1987.

8. А.А Клячко, Торические многообразия и пространства флагов. Тр. Мат. ин-та РАН, 1995, 208, 139-162.

9. Ю.Манин, Кубические формы: алгебра, геометрия, арифметика Москва, Наука, 1972.

10. В.Г.Мойшезон, Теорема Кастельнуово-Энриквеса о стягивании для произвольной размерности Изв. АН СССР. Сер. матем., 1969, 33:5, 974-1025.

11. В.Л.Попов, Группы Пикара однородных пространств линейных алгебраических групп и одномерные однородные векторные расслоения. Изв. АН СССР. Сер. мат. 38:2 (1974), 292-322.

12. Дж.Хамфри, Линейные алгебраические группы. Москва, Наука, 1980.

13. Р.Хартсхорн, Алгебраическая геометрия. Москва, Мир, 1981.

14. M.Artin, Algebraization of Formal Moduli: II. Existence of Modifications, The Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 91, No. 1 (Jan., 1970), 88-135.

15. V.V.Batyrev and O.N. Popov, The Cox ring of a del Pezzo surface. In: Arithmetic of higher-dimensional algebraic varieties (Palo Alto, 2002), Progr. Math. 226 Birkhâuser, 2004, 85-103.

16. J.B.Carrell and A.Kurth, Normality of torus orbit closures in G/P, J. Algebra 233 (2000), 122-134.

17. J-L. Colliot-Thélène et J-J. Sansuc, La descente sur les variétés rationnelles, II. Duke Math. J. 54 (1987) 375-492.

18. R.Dabrowski, On normality of the closure of a generic torus orbit in GjP. Pacific Journal of Mathematics. 172:2 (1996), 321-330.

19. I.V.Dolgachev, Introduction to Geometric Invariant Theory, Lect. Notes Series, 25, Seoul Nat. Univ., 1994.

20. I.V.Dolgachev, Weighted projective varieties, in "Group Actions and Vector Fields", Lect. Notes in Math., 956, Springer-Verlag,1982, pp. 34-72.

21. R.F.Goldin, The cohomology ring of weight varieties and polygon spaces. Advances in Mathematics. 160:2, (2001), 175-204.

22. R.F.Goldin, A.L.Mare, Cohomology of symplectic reductions of generic coadjoint orbits. Proc. Amer. Math. Soc. 132:10, (2004), 3069-3074.

23. F.Knop, H.Kraft, T. Vust, The Picard group of a G-variety. Algebraische Transformationsgruppen und Invariantentheorie (H. Kraft, P. Slodowy, T. Springer eds.) DMV-Seminar 13, Birkhauser Verlag (Basel-Boston) (1989), 77-88.

24. S.Kumar, Descent of line bundles to GIT quotients of flag varieties by maximal torus, arXiv:math/0702556.

25. S.Senthamarai Kannan, Torus quotients of homogeneous spases II. Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.), 109:1 (1999), 23-39.

26. C.S.Seshadri, Quotient spases modulo reductive algebraic groups. Ann. Math. 95 (1972), 511-556.

27. A.N.Skorobogatov, On a theorem of Enriques-Swinnerton-Dyer. Ann. Fac. Sci. Toulouse 2 (1993) 429-440.