Геометрический подход к (g, t)-модулям конечного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

На правах рукописи УДК 514.765, 512

Петухов Алексей Владимирович

Геометрический подход

к (д,^-модулям конечного типа

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва 2012

005016788

005016788

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Михалёв Александр Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор кафедры Вычислительной математ

Национального исследовательского универстгп московского энергетического института профессор Туганбаев Аскар Аканович

кандидат физико-математических наук научный сотрудник Научно исследовательског института системных исследований РАН Жгун Владимир Сергеевич

Ведущая организация: Московский педагогический

государственный университет Адрес: Россия, 119991 Москва, ул. Малая Пироговская, д.1, стр. 1.

Защита диссертации состоится 25 мая 2012 г. в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д 501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж) Автореферат разослан 25 апреля 2012 года.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

А. О. Иванов

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Диссертация посвящена исследованию некоторых категорий бесконечномерных модулей конечномерных полупростых алгебр Ли, свойств этих категорий через геометрические инварианты их объектов, а так же их связей с категорией голономных D-модулей.

Пусть g — редуктивная алгебра Ли над полем С, а 6 С g — редуктивная в g подалгебра. Обозначим через U(t) — универсальную обёртывающую алгебру t, через G — присоединённую группу алгебры [g, g], через К связную редуктивную подгруппу группы G с алгеброй Ли £П [g, g], и, наконец, через В — борелевскую подгруппу группы К, т.е. максимальную связную разрешимую подгруппу. Все рассматриваемые многообразия алгебраичны над С. Все рассматриваемые, алгебры Ли конечномерны.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.Мы называем (g^-модулем g-модуль с локально конечномерным действием Ê, т.е. таким, что dim (U(ï)m) < оо для всякого m е M, где U(É)m := {m' е M \ m' — um для каких-то и €U(6) и m G M}.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.Пусть M — локально конечномерный 6-модуль (то есть (£, ?)-модуль). Мы будем говорить, что M конечного типа nadï, если все ê-изотипные компоненты M конечномерны. Мы будем говорить, что (д,£)-модуль имеет конечный тип, если M есть É-модулъ конечного типа.

Есть две известные категории (д,?)-модулей: категория модулей Хариш-Чандры и категория О. В первом случае £ — симметрическая подалгебра алгебры g (то есть { является множеством неподвижных точек некоторой инволюции g), а во втором случае t — Картановская подалгебра f}0 алгебры д. Для обеих типов пар (g, £) конечнопорождённые (g, 6)-модули являются модулями конечного типа и имеют конечную длину. Известно, что категории этих модулей эквивалентны категории превратных пучков на многообразии флагов (смотри \ 2 и 3). В свою очередь эти категории эквивалентны категориям представлений некоторых конечномерных алгебр, допускающих явное описание 4.

И. Пенков, В. Серганова и Г. Цукерман определили и попытались клас-

'Beilmson A., Bernstein Л., Localisation de ¡-modules, C.R.Acad. Sei. Paris 292(1981), 15-18.

2Beilinson A., Localization of representations of reductive tie algebras, Prof.. of the IMC (Warsaw, 1983), PWN, Warsaw, 1984, 699-710.

3Касинара M., Шапира П., Пучки на многообразиях, Москва, Мир, 1997.

4Sörgel W-, Kategorie. О, perverse Garben und Moduln über den Koinvarianten zur Weylgrtippe, J. Amer. Math. Sor.. 3:2(1990), 421-445.

сифицировать простые (g, S)-модул и конечного типа для произвольных ре-дуктивных пар алгебр Ли (g,É) 5, 6 (смотри также 7).

Конечнопорождённому и(д)-модулю — объекту некоммутативной алгебры, можно сопоставить градуированный 5(д)-модуль grM — объект алгебры коммутативной, и, как следствие, алгебраической геометрии. Носитель пучка на д*, соответствующего gr M, называется ассоциированным многообразием д-м,одуля М; обозначается V(M). Оказывается, что (д, £)-модуль M является (д, £)-модулем конечного типа если и только если V(M) имеет единственную замкнутую /("-орбиту.

Отметим, что простые объекты категории. О и все простые модули Хариит-Чандры допускают полное описание в терминах ассоциированных многообразий 8. Благодаря этому получена как полная «геометрическая» классификация модулей Хариш-Чандры, так и явное описание их в терминах превратных пучков.

Пусть M — это (д,£)-модуль конечного типа, а V — простой i-модуль. Мы обозначим через [M : V]j максимум по всем конечномерным i-подмодулям М' С M кратностей Жордана-Гёльдера [M' : V]t. Через [М : ■]{ обозначим соответствующую функцию из множества È-модулей в Z^o- Эта функция по определению есть Î-характер модуля М.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Ограниченным (д, 1)-модулем M называется (д, £)-модуль, ограниченный как i-модуль, т.е. модуль M для которого функция [М : -]5 равномерно ограничена какой-то константой См-

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Модулем простого спектра называется (g,ê)-модуль M, I-спектр которого прост, т.е. Ç-модуль М, для которого функция [М : -]г ограничена 1.

В классификации (g, (^-модулей конечного типа ограниченные модули играют ведущую роль. Отталкиваясь от этого, и от опыта работы с модулями Хариш-Чандры, И. Пенков и В. Серганова определили понятие ограниченного модуля для произвольной пары (g,É). Один из вопросов, возникающих в этом контексте, описать, для данной алгебры g, все редуктивные ограниченные подалгебры I с g, то есть редуктивные подалгебры Ï, допускающие простой ограниченный бесконечномерный (g, £)-модуль. В 9 авто-

5Penkov I., Sergairava V., Zuckerman G., On the existence of (s, t)-modules of finite type, Duke Math. .7. 125(2004), 329-349.

"Ivan Penkov, Gregg Zuckerman, Generalized Harish-Chandra modules with generic minimal (-type. Asian .7. Math. 8(2004), 795-812.

7Milev T., Root Femando-Kac subalgebras of finite type, to appear in J. of Alg., arXiv: 1009.5260.

sBeilinson A., Bernstein .7., Localimtion de 0-modules, C.R.Acad. Sei. Paris 292(1981), 15-18.

"Penkov I., Serganova V., Bounded generalized IIarish-Chandra modules, to appear in Ann. de l'lnst.

ры частично ответили на этот вопрос, доказав неравенство, существенно уменьшающее число интересных подалгебр Они также привели полный список ограниченных редуктивных подалгебр g = stn, которые максимальны как подалгебры.

Напомним, что В — борелевская подгруппа в К.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Многообразие X, снабжённое действием К, называется сферичехким, если существует открытая орбита для действия В на X.

В качестве примеров сферических однородных пространств приведём (алгебраические) симметрические пространства, т.е. однородные пространства G/K, где К — симметрическая подгруппа группы G, и (обобщённые) многообразия флагов G/P, где Р — параболическая подгруппа группы G, т.е. подгруппа, содержащая некоторую борелевскую подгруппу группы G. Описание B-орбит на G/K является отправной точкой «геометрической» классификации модулей Хариш-Чандры.

Теория сферических многообразий является одним из наиболее разработанных разделов теории алгебраических групп преобразований. Сферические однородные пространства интенсивно изучались многими авторами с различных точек зрения начиная с конца 70-х гг. XX века и продолжают активно изучаться в настоящее время. Обзор различных направлений исследования сферических однородных пространств, а также достигнутых по этим направлениям результатов можно найти в монографиях Д. А. Ти-машёва10 и Э. Б. Винберга п. Важную роль в данной диссертации играют результаты Э. Б. Винберга, Б. Н. Кимельфельда12, И. В. Лосева, Ч. Бенсо-на и Г. Ратклифа, В. Г. Каца и Д. И. Панюшева, касающиеся сферических многообразий. Отметим отдельно М. Вриона, Д. Луну, Т. Вюста, Ф. Кно-па, М. Крамера и С. Кюпит-Футу, Р. С. Авдеева, внёсших свой вклад в эту теорию.

Пусть X — квазиаффинное Á'-многообразие. Как показали Э. Б. Вин-берг и Б. Н. Кимельфельд, многообразие X является if-сферическим если и только если алгебра регулярных функций С[Х] на X является ограниченным (£, Е)-модулем. Откуда (д,4)-модуль М является ограниченным

Fourier

,0Timashev D., Homogeneous spar.es and equivariant emheddings, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 138, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2011.

"Э. Б. Винберг, Коммутативные однородные пространства и коизотропные симплектические действия, УМН 56(2001), 1-60.

' 2Вииберг Э. В., Кимельфельд Б. Н., Однородные области на флаговых многообразии; и сферические подгруппы полупростых групп Ли, Функц. анализ и его прил., 12:3(1978), 12-19.

если и только если его ассоциированное многообразие V(M) является К-сферическим.

Цель работы

Целью диссертации является решение следующих задач:

1. Классификация пар допускающих простой бесконечномерный (sín, £)-модуль.

2. Описание аннуляторов ограниченных (sln, 6)-модулей и, в связи с этим, классификация /Г-сферических компактных 8Ьп-однородных пространств (многообразий флагов).

3. Описание категорий ограниченных (£р,г(п±1),01п)-модулей.

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно и заключаются в следующем:

1. Доказано, что пара (s[n, Í) допускает простой бесконечномерный ограниченный (sl„, {)-модуль если и только если К действует сферично на проективизации соответствующего n-го векторного пространства. Так как классификация таких действий известна, в диссертации получена полная классификация пар (s[„,í), допускающих простой бесконечномерный ограниченный модуль.

2. Доказано, что (sln, £)-модуль конечного типа ограничен если и только ассоциированное многообразие его аннулятора ií-коизотропно. Ассоциированное многообразие аннулятора простого sln-модуля К-коизотропно если и только если Á'-сферично соответствующее компактное SLn-однородное пространство (многообразие флагов). Получена классификация /í-сферических многообразий флагов.

3. Доказано, что для п ^ 5 категории (5р,фг±1),0[п)-модулей изоморфны прямой сумме счётного числа категорий, каждая из которых эквива-

^.n(níl)

лентна категории превратных пучков наг " , гладких вдоль орбит действия группы GL„ (каждая такая категория эквивалентна категории представлений некоторого явно заданного колчана с соотношениями).

Основные методы исследования

В диссертации используются методы алгебраической геометрии, теории представлений, теории алгебраических групп и теории инвариантов.

Теоретическая и практическая ценность работы

Полученные в диссертации результаты имеют теоретическое значение. Они могут найти применение в теории представлений, эквивариантной сим-плектической геометрии, теории алгебраических групп преобразований и теории инвариантов.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались:

• На семинаре «Алгебраические группы и теория инвариантов» механико-математического факультета МГУ (руководители - Э. Б. Винберг, Д. А. Тиматпёв и И. В. Аржанцев), 17 февраля 2010 г. и 20 апреля 2011 г.

• На общем семинаре кафедры алгебры МГУ, 31 октября 2011 г.

• На пятом семинаре «Transformation groups and mathematical physics» (организаторы - Joachim Hilgert, Alan Huckleberry, Peter Littelmann, Karl-Hermann Neeb, Ivan Penkov, Christoph Schweigert), г. Гамбург, 28 мая 2010 г.

• На семинаре группы «Arbeitsgruppe Algebra und Zahlentheorie» университета г. Кёльн (руководитель - Р. Littelmann), 1 июня 2010 г.

• На рабочей встрече «Representation theory and quantization», Fields Institute (организаторы - И. Димитров, Hadi Salmasian), г. Торонто, 25-27 февраля 2011 г.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в четырёх работах автора. Список работ приводится в конце автореферата [1-4].

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из 10 параграфов (первые три из них — вводные) и списка литературы. Параграфы разбиты на пункты, пункты — на подпункты. Список литературы включает в себя 65 наименований. Общий объём диссертации составляет 70 страниц.

1. Краткое содержание работы

Первый параграф фиксирует обозначения, используемое далее в работе.

В параграфе два даны основные определения и приведены основные результаты работы, а также обсуждается история вопроса и место полученных результатов в теории представлений.

В третьем параграфе приведён беглый обзор необходимых теоретических концепций. Мы приведём здесь определения и концепции, важные для понимания некоторых параграфов диссертации.

Назовём связную подгруппу К cGL(tV) насыщенной, если она является максимальной связной подгруппой с заданной полупростой частью К'\ связная подгруппа насыщена тогда и только тогда, когда она совпадает с компонентой связности единицы своего нормализатора в GL(V). Мы называем многообразие цепочек подпространств V\ С ... С Vs С V с фиксированным вектором размерностей (щ,...,пв) пространством V-флагов и обозначаем его Fl(ni,..., ns; V).

Пусть V — конечномерный А'-модуль. Положим

Njr(V) := {v € V I 0 € KV}. В этом же параграфе мы выдвигаем следующую гипотезу.

ГИПОТЕЗА 1. Простой (д,Ъ)-модулъ М ограничен тогда и только тогда, когда К-коизотропно многообразие GV(M).

Это утверждение связано с 13 и с последними исследованиями Д. А. Тимашёва и В. С. Жгуна.

Четвёртый параграф посвящена построению списка возможных ассоциированных многообразий (в, 6)-модулей конечного типа. Первым шагом к списку является следующая теорема, сформулированная во втором параграфе.

"Panyushev D., On the conormal bundles of a G-stable subvariety, Man. Math. 99(1999), Question,

ТЕОРЕМА 1. Пусть Z С д* — н импотентная G-орбита, {х — ан-нулятор £ в 0*, N/f(0*) — это К-нульконус в д*. Тогда все неприводимые компоненты Z П tx П N/f (g*) изотропны в Z.

Доказательство этой теоремы опирается на критерий Гильберта-Мамфорда и утверждение о том, что подмногообразие изотропного многообразия — изотропно 14.

По определению — множество неприводимых компонент всевозможных пересечений N/f(tx) с G-орбитами в Nc(g*). Объединение множеств Vß t по всевозможным парам редуктивных алгебр Ли (g,t) и даёт искомый список ассоциированных многообразий модулей конечного типа, что и есть утверждение следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 2. Пусть М — прост,ой (д,£)-модуль конечного типа. Тогда всякая неприводимая компонента многообразия V(M) принадлежит

Ключевую роль в доказательстве играет теорема 1 и тот факт, что ассоциированное многообразие всегда коизотропно (теорема Габбера).

Пятый параграф посвящён следующей теореме.

ТЕОРЕМА 3. Простой бесконечномерный ограниченный (si(V),6)-модулъ существует тогда и только тогда, когда К-сферично многообразие Р(К).

Первым шагом в доказательстве теоремы 3 является цепочка переформулировок свойства «ограниченность (s[(V), £)-модуля», в конце которой стоит if-сферичность некоторого многообразия V-флагов. Вторым шагом к списку служит следующее предложение.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Пусть Fl(nb V) - это К-сферическое многообразие флагов. Тогда многообразие Р(1/) также К-сферично.

Это предложение доказано в параграфе два и является простым следствием результата И. В. Лосева 15.

Из предложения 1, многообразие P(V) также К-сферично. Доказательство того, что если Я'-сферично многообразие P(V), то существует простой ограниченный бесконечномерный 6)-модуль приведено в 9

В пятом параграфе мы докажем гипотезу 1 в некотором частном случае.

ТЕОРЕМА 4. Простой (sl(lV),^-модуль ограничен т,огда и только тогда, когда К-коизотропно ассоциированное многообразие его аннуля-

,4Chriss N., Ginzburg V., Representation theory and complex geometry, Birkhäuser Boston, 1997.

,BLosev I., Algebraic Hamiltonian actions, Math. Z. 263(2009), 685-723.

тора.

В параграфе шесть получен полный список многообразий флагов Fl и насыщенных подгрупп К CGL(V), для которых Fl является if-сферическим многообразием. Отметим, что каждая связная редуктивная подгруппа К CGL(V) включается в единственную с точностью до сопряжения связную насыщенную подгруппу. Основной результат сформулирован в виде достаточно громоздкой таблицы. Основным средством является сравнение кокасательных расслоений многообразий флагов с помощью отображения моментов.

В параграфе семь вводится понятие идеала Джозефа алгебры U(g) как идеала, фактор по которому обладает наименьшей возможной ненулевой размерностью Гельфанда-Кириллова. Проясняется связь этих идеалов с ограниченными весовыми модулями и их поведение под действием функторов трансляции. Следующий результат этого параграфа, принадлежащий А. Джозефу 16, необходим для понимания параграфа 9.

ТЕОРЕМА 5. Пусть 1и12 С U(sp(VF © W*)) - два идеала Джозефа. Тогда категории sp{W © Ш*)-модулей, аннулируемых идеалами 1\ и h эквивалентны.

Так же в параграфе 9 нам потребуется реализация фактора по идеалу Джозефа в дифференциальных операторах, приведённая ниже. Пусть D ■— F[a;i, ...,хп, dXl, ...,<9XJ — алгебра дифференциальных операторов от п переменных. Введём йг-градуировку на D, присвоив вес 1 операторам х\, ...,х„,дХ1,...,дХп. Обозначим через D0 нулевую компоненту этой Z2-градуировки D.

ЛЕММА 1. Существует гомоморфизм ф : U(sp2n) D, ядром, которого является идеал Джозефа, а образом. — алгебра D®.

В параграфе восемь вводится понятие ß-модуля малого роста как модуля, с наименьшей возможной ненулевой размерностью Гельфанда-Кириллова. Доказано, что всякий такой модуль обладает конечной длиной и что всякий простой модуль малого роста аннулируется идеалом Джозефа. Доказано, что для sp-модулей малого роста неразложимый проективный функтор является эквивалентностью категорий. Доказано, что для s [-модул ей малого роста неразложимый проективный функтор есть композиция эквивалентности категорий и функтора, возникающего из действия Sn на (тг — 1)-ом представлении.

'"Joseph A., Orbital varieties of the minimal orbit, Ann. Sei. École Norm. Sup. 31(1998), 17-45.

Параграф девять посвящён более детальному анализу ограниченных модулей четырёх пар (0,6):

a) W -S2V(nw - M"?v+1>) b )W- A 2V(nw - Bdri)

la) (el(W),al(V)) 2a) (ep(W©W),fl[00) lb) (siOnsi(V)) 2b) (ejj(W®W*),fl[(lO)

Для предложенных четырёх пар (д, 4) всякий ограниченный модуль является модулем малого роста. Основным результатом параграфа является следующая теорема.

ТЕОРЕМА 6. Пусть I С и(зр(№ © V/*)) - идеал Джозефа. Тогда категория (зр(И/ф IV*) ,§1(У))-модулей, аннулируемых I, эквивалентна категории превратных пучков на У/, гладких вдоль всех СЬ(У)-орбит.

Утверждение этой теоремы, с учётом результатов параграфов 8 и 9, сводится к утверждению о том, что категория £>-модулей с локально конечномерным действием 0[(У) эквивалентна категории превратных пучков на И7, гладких вдоль всех СЬ( У)-орбит. Доказательство последнего утверждения повторяет схему доказательства основного результата работы17.

Как показали Т. Брейден и М. Гринберг 18, категории превратных пучков на и гладких вдоль всех СЬ(У)-орбит, эквивалентны категории представлений некоммутативной алгебры, заданной через колчан с соотношениями. Простые объекты в этом описании соответствуют точкам колчана.

Как мы надеемся, приведённые в диссертации результат!,I позволят почувствовать как выглядит общая теория ограниченных модулей.

Благодарности

Автор благодарит своего учителя профессора Александра Васильевича Михалёва за постоянное внимание к работе. Я благодарю всех участников семинара Эрнеста Борисовича Винберга за незатухающий интерес ко всему, что связано с группам и алгебрами Ли, а также Ивана Пенкова за стимулирующие дискуссии.

17Bralinson A., Bernstein J., Localisation гle ¡¡-modules, C.R.Acad. Sri. Paris 292(1981), 15-18.

1RBraden Т., Grinberg M., Perverse sheaves on rank stratifications, Duke Math. Л. 96(1999), 317-362.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Petukhov А. V., Bounded reductive subalgebras of s[n, Transf. groups 16: 4 (2011), стр. 1173-1182.

[2] Петухов А. В., Категории ограниченных (sp(S2V + S2V*), 0l(V))- и (sp(A2V + A2V*),Ql{V))-модулей, Фунд. и прикл. Мат. 17:2 (2012), 183199.

[3] Петухов А. В., Сферические действия на многообразиях флагов, депонирование ВИНИТИ ДО489-В2011, депонировано 14.11.11.-

[4]'Петухов А. В., Носители (д,Ъ)-модулей конечного типа, Вестник МГУ 3 (2012), 51-55.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж [0() экз. Заказ №