Слойно проективные решетки тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

1 Общие свойства и примеры слойно проективных решеток

1.1 Основные определения и вспомогательные утверждения.

1.2 Свойства слойно проективных решеток

1.3 Примеры слойно проетивных решеток.

2 Слойно проективные решетки и проективные геометрии

2.1 Слойно проективные решетки размерности 2.

2.2 Слойно проективные решетки большой геометрической размерности

3 Слойно проективные решетки малой геометрической размерности

3.1 Послойный подъем координат

3.2 О слойно проективных решетках высоты 2.

Теория решеток является одним из основных разделов современной алгебры. Теоретико-решеточными понятиями пронизана не только алгебра. Методы теории решеток широко используются в математической логике, функциональном анализе, теоретической физике, теории вероятностей и других науках.

Место теории решеток в общей алгебре во многом определяется тем, что строение алгебраических систем (групп, колец, модулей и т.п.) часто выясняется путем анализа связанных с ними решеток. Так, например, в группах были выделены решетки подгрупп, нормальных подгрупп, решетки смежных классов, решетки централизаторов и другие виды решеток, строение которых существенно влияет на строение самой группы. Этой тематике посвящено огромное число статей. Основные из полученных результатов по групповым решеткам опубликованы в монографиях [9] и [16].

Одной из важнейших проблем теории решеток является проблема представимости данной решетки решеткой подалгебр некоторой алгебры. Классическим результатом в этом направлении является утверждение о том, что неразложимая конечная модулярная решетка с дополнениями является проективной геометрией. Отсюда следует, в частности, что, если размерность п этой решетки не менее 4, то она изоморфна решетке подпространств n-мерного линейного векторного пространства над конечным полем ([6], теорема 4.10). Существенное обобщение этого утверждения содержится в работе [14], где доказано, что любая аргова при-марная решетка геометрической размерности не менее трех изоморфна решетке всех подмодулей конечно порожденного модуля над вполне при-марным однорядовым кольцом. Можно привести и ряд других не менее значимых результатов о представимости решеток решетками подалгебр.

Проблема представимости данной решетки решеткой подгрупп некоторой группы была поставлена М.Судзуки [9] более сорока лет назад. В общем виде эта проблема была решена Б.В.Яковлевым [11]. Но вопрос о представимости конечной модулярной решетки решеткой подгрупп конечной абелевой группы все еще открыт. Единственный известный автору результат здесь получен С.А.Анищенко [1] для решеток размерности два.

Один из подходов к решению этой задачи заключается в следующем.

Нужно выделить некоторые свойства решетки подгрупп конечной абеле-вой группы и доказать, что любые две решетки, удовлетворяющие этим свойствам, изоморфны. Из этого утверждения и будет следовать, что любая решетка, удовлетворяющая указанным свойствам, представима решеткой подгрупп некоторой конечной абелевой группы. Так как конечная абелева группа представима в виде прямого произведения своих си-ловских р-подгрупп, то в силу теоремы 1.4 из [9] ее решетка подгрупп является прямой суммой решеток подгрупп силовских множителей. Поэтому при решении проблемы изоморфизма достаточно ограничиться р-группами.

Отметим, что если С — решетка подгрупп конечной абелевой р-группы, то С обладает следующими свойствами: а) С — конечная модулярная решетка; б) если А — неразложимый элемент из то интервал [О, А] является цепью, т.е. А — цикл; в) С обладает инволютивным антиавтоморфизмом; г) если В — сумма элементов из покрывающих А, то интервал [А, В] (в дальнейшем такой интервал будем называть слоем решетки С) является дезарговой проективной геометрией над полем GF(p).

Ослабляя несколько свойство в), дадим следующее определение:

Определение.

Слойно проективной решеткой назовем конечную модулярную решетку С, обладающую следующими свойствами:

1)каждый элемент из С совпадает с суммой циклов, в него входящих, и произведением коциклов, его содержащих;

2) любой слой решетки С является дезарговой проективной геометрией над полем GF(pk) (числа р и к фиксированы для данной решетки).

Пусть G — конечная абелева р-группа. Тогда G представима в виде прямого произведения циклических групп. Пусть

G= ПЫ ~ i=1 тп • такое представление, и порядок элемента а; равен р 1.

Будем считать,что ml > m2 > • • • > mn

Как известно, набор (mi, Ш2,., тп) является инвариантом группы G. Но этот набор не определяет группу G однозначно. Если же добавить к нему еще число р — простой делитель порядка группы G, то расширенный набор (mi, Ш2,., шп:р) полностью определяет группу G.

Оказывается, каждый элемент слойно проективной решетки С представим в виде суммы независимых циклов. Пусть

L = Ai + А2 + . + Ап — представление единицы решетки С в виде суммы независимых циклов. Если высота /(Аг) элемента Аг- равна mi и mi > т2 > • • • тп, а каждый слой решетки С является проективной геометрией над полем GF(pk), то набор тьт2,. :тП1рк) назовем типом решетки С. Число п назовем размерностью решетки С. Если при этом d — наибольшее число со свойством т\ — т^ =■ . = rrid, то, следуя [14], d назовем геометрической размерностью решетки С. В силу теоремы Оре тип слойно проективной решетки определяется ею однозначно.

Ясно, что для любого набора а = (шьт2,. .,т„,р) существует такая конечная абелева р-группа G, что решетка подгрупп группы G является слойно проективной решеткой типа а. Поэтому проблема представимости произвольной слойно проективной решетки типа а решеткой подгрупп конечной абелевой р-группы равносильна проблеме изоморфности слойно проективных решеток такого типа.

Класс слойно проективных решеток достаточно широк. Кроме решеток подгрупп конечных абе левых групп, он включает в себя прим арные решетки размерности не ниже четырех, правильные С-решетки (определение см. ниже) размерности больше двух, решетки гр- инвариантных подпространств линейного векторного пространства для некоторых операторов ф этого пространства (см. третий параграф первой главы диссертации).

Поэтому проблема изоморфизма слойно проективных решеток одинакового типа, имеющая, безусловно, и самостоятельный интерес, имеет и большое прикладное значение, так как в случае ее положительного решения автоматически решается не только вопрос о представимости данной решетки решеткой подгрупп конечной абелевой р-группы, но и предста-вимостиХрешеткой "Ее централизаторов некоторой группы, а также вопрос о вложимости данной решетки в решетку подпространств векторного пространства.

Целью данной работы является доказательство изоморфности слойно проективных решеток одинакового типа в некоторых случаях.

Объединяя полученные в диссертации результаты, можно сформулировать следующее утверждение

Основная теорема. Пусть £\ и — слойно проективные решетки одинакового типа а = (шьт2,. тг > т2 > . . > тп.

Тогда С] = £2 в каждом из следующих случаев:

1) п = 2; (теорема 2.1)

2) d > 4 (d > 3 в случае арговости решеток С\ и £i) и k — 1; (т.еорема 2.2)

3) Ш2 = 1; ( теорема Ъ.1)

4) С\ и С2 — правильные С -решетки типа а при mi = т2 = 2 > т%; (теорема 3.2)

Для mi = т2 = 2 > тз получено достаточное условие изоморфности Li и 6 общем случае (теорема 3.3J .

Из этой теоремы вытекает следующее следствие.

Следствие. Пусть С — слойно проективная решетка типа а.

Тогда а) если выполняется один из случаев 1) - 4). то С вложима в решетку подпространств (mi -f m2 + . . + тп)-мерного векторного пространства над полем, GF(pk); б) если k = 1 и выполняется один из случаев 1) - 4); т,о С изоморфна решетке подгрупп некоторой конечной абелевой р-группы; в) если, С является правильной С -решеткой и выполняется один из случаев 1), 2) или 4), то С изоморфна решетке централизаторов неко-т.орой конечной р-группы.

Диссертация состоит из трех глав.

Первая глава диссертации содержит три параграфа. В первом параграфе приведены основные понятия и утверждения, используемые в дальнейшем. Во втором — некоторые свойства слойно проективных решеток, а в третьем — примеры слойно проективных решеток.

Вторая глава диссертации содержит два параграфа. В первом параграфе этой главы доказано, что слойно проективные решетки одинакового типа (mi, т,2,рк) изоморфны. Второй параграф второй главы посвящен исследованию слойно проективных решеток большой геометрической размерности. Здесь доказано, что слойно проективные решетки одинакового типа (mi, 7722,., mn,p), имеющие геометрическую размерность d > 4 {d > 3 в случае арговых решеток) изоморфны, и построен пример, показывающий, что при к > 1 существуют неизоморфные слойно проективные решетки одинакового типа (mi, rri2, ■ ■ ■, тп,рк).

В третьей главе диссертации изучаются слойно проективные решетки малой геометрической размерности. Эта глава содержит два параграфа. В первом параграфе рассматривается метод послойного подъема координат. Этим методом доказывается изоморфизм решеток одинакового типа (т, 1,1,., 1 ,рк) и правильных С -решеток одинакового типа (2, 2,1,., 1 ,рк). В работе Дж. Монка [15] построен пример, показывающий, что даже в арговом случае существуют неизоморфные слойно проективные решетки одинакового типа (2, 2,1,рк). При этом к может равняться 1. Во втором параграфе этой главы получены условия, достаточные для изоморфизма слойно проективных решеток типа (2,2,1,.,1 ,рк) и с помощью этих з'словий приводится еще одно доказательство того, что правильные С'-решетки типа (2,2,1,., 1 ,рк) изоморфны.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [17] - [20].

1. Анищенко С.А. О представлении некоторых модулярных структур структурами подгрупп. // Матем.записки Красноярского госпединститута. 1965. Вып.1. С. 1-21.

2. Антонов В. А. Об одном классе модулярных решеток конечной длины.// Алгебра и логика. 1991. Т. 30. № 1. С. 3-14.

3. Антонов В.А. Правильные С-решетки и решетки централизаторов./ / Вестн.Челябинского ун-та. Сер.матем.,мех. 1994. Т.2. № 1. С. 17-28.

4. Антонов В.А. Группы типа Гашюца и близкие к ним группы.// Матем.заметки. 1980. Т. 27. № 6. С. 839-857.

5. Антонов В.А. Группы с ограничениями на централизаторы. Часть 1.// Челябинск: изд.-во ЧГТУ. 1993.

6. Биркгоф Г. Теория решеток.// М.:Наука. 1984.

7. Гаген Т.М. Некоторые вопросы теории конечных групп. //К теории конечных групп. Сборник статей. М.: Мир. 1979. С. 13-97.

8. Кертеси Ф. Введение в конечные геометрии.// М.: Наука. 1980.

9. Судзуки М. Строение группы и строение структуры ее подгрупп.// М.: ИЛ. 1960.

10. Холл М. Комбинаторика.// М.: Мир. 1970.

11. Яковлев Б.В. Об условиях, при которых решетка изоморфна решет,ке подгрупп группы. // Алгебра и логика. 1974. Т. 13. № 6. С. 694-712.

12. Herrmann Ch. S-verklebte Summen von Verbanden. // Math.Z. 1973. V. 130. P. 255-274.

13. Jonsson B. Modular lattices and Desargues; theorem.// Math.Scand. 1953. V. 2. P. 205-314.

14. Jonsson В., Monk G. Representations of primary arguesian lattices.// Pasif. J. Math. 1969. V. 30. № 1. P. 95-139.

15. Monk G.S. Desargues law and the representation of primary lattices.// Pasif. J. Math. 1969. V. 30. № 1. P. 175-186.

16. Schmidt R. Subgroup Lattices of Groups.// Walter de Gruyter, Berlin-New York. 1994.Работы автора по теме диссертации

17. Антонов В.А., Назырова Ю.А. Слойно проективные решетки,

18. Ц Мат. Заметки. 1998. Т. 63. № 2. С. 170-182.

19. Антонов В.А., Назырова Ю.А. Слойно проективные решетки,2.// Южно-Урал.гос.ун-т. Деп. ВИНИТИ.№ 1655-В2001 12.07.01. 5 с.

20. Назырова Ю.А. О слойно проективных решетках малой геометрической размерности.// Изв. вузов. Сер. Математика. 2001. № 9. С. .

21. Назырова Ю.А. О циклах в слойно проективных решетках.// Изв.Челябинского научного центра. 2001. № 1. С.10-15.