Непрерывные селекции многозначных отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Однозначные графические аппроксимации.

§1.1. Аппроксимативная связность.

§1.2. Конечномерная теорема об однозначной аппроксимации.

§1.3. Бесконечномерная теорема об однозначной аппроксимации.

Глава 2. Селекции многозначных отображений.

§2.1. Основные свойства п-непрерывных снизу многозначных отображений.

§2.2. Конечномерная теорема селекции.

§2.3. Сечения двумерных расслоений.

Глава 3. Продолжение компактнозначных отображений.

§3.1. Однозначное продолжение С/Уп-значных отображений.

§3.2. Проективно ?7Уп-значные отображения.

§3.3. Продолжение 11Уп-значных отображений.

Одна из наиболее важных и интересных задач топологии состоит в том, чтобы найти условия, при которых отображение р:Е —> В является локально тривиальным расслоением1. Очевидно, необходимым условием является постоянство (с точностью до гомеоморфизма) слоев Ъ € В. Кроме того, мы предположим, что р является расслоением в смысле Серра. Очень интересной и трудной представляется проблема локально тривиального расслоения [ДЩ]: если р: Е —> В — расслоение Серра, все слои которого гомеоморфны некоторому n-мерному многообразию, является ли р локально тривиальным расслоением?

В случае конечномерной базы В проблема решена положительно для п < 3 Дайером и Хамстрем [HD], и для п > 5 Чепмэном и Ферри [CF]. Поэтому проблема интересна прежде всего в случае бесконечномерной базы. Для размерности слоя п > 5 проблема локально тривиального расслоения решается отрицательно согласно результатам Эдвардса и Дранишнико-ва (п > 5) а также Дыдака и Волша (п = 5). А в размерности п = 1 проблема решена положительно в работе [RSS].

Относительно оставшихся размерностей п — 2,3,4 существует гипотеза (см. [В])

Гипотеза Щепина. Расслоение Серра с метрической локально линейно связной базой локально тривиально, если все его слои гомеоморфны некоторому компактному многообразию размерности <4.

Это очень сильная гипотеза, поскольку из нее, например, следует положительное решение СЕ-проблемы для четырехмерных многообразий [ДЩ]: является ли конечномерным образ четырехмерного многообразия при клеточноподобном отображении?

Тесно связана с проблемой локально тривиального расслоения следующая проблема групп гомеоморфизмов [West]: будет ли Ь-многообразием группа гомеоморфизмов n-мерного компактного многообразия? Это одна из немногих основных проблем теории бесконечномерных многообразий, которая была поставлена при возникновении этой теории в конце шестидесятых годов и которая не имеет сколько нибудь заметных продвижений примерно с 1972 года. Проблема редуцирована к следующему вопросу. Будет ли абсолютным ретрактом группа Auth(n) гомеоморфизмов n-мерного диска, тождественных на границе этого диска? Р. Андерсон доказал, что Auth(l) гомеоморфна ¿2, а Мэйсон получил тот же результат для Auth(2). Проблема групп гомеоморфизмов остается открытой для п > 3. И доказательство гипотезы Щепина в размерностях 3 и 4

1Все необходимые определения можно найти в конце этого раздела. повлекло бы положительное решение проблемы групп гомеоморфизмов в этих размерностях.

Прежде чем перейти к обзору результатов настоящей работы, отметим роль теории непрерывных селекций в исследованиях, касающихся проблемы локально тривиального расслоения.

Каким образом задачи о непрерывной селекции возникают при попытке решения проблемы локально тривиального расслоения? Пусть р:Е —>■ В непрерывное отображение метрических компактов, все слои которого гомеоморфны некоторому компакту К. Рассмотрим пространство С(К,Е), наделенное sup-метрикой. Определим многозначное отображение F:B —»• С (К, Е), сопоставив точке Ь £ В множество F(b) всех гомеоморфизмов компакта К на слой р~г(Ъ). Тогда непрерывная однозначная селекция многозначного отображения F очевидным образом задает три-виализацию расслоения р.

Теория непрерывных селекций многозначных отображений интенсивно развивается последние десятилетия и находит различные приложения в общей топологии, геометрической топологии, теории абсолютных ре-трактов и бесконечномерных многообразий, теории неподвижных точек, функциональном и выпуклом анализе, теории игр, математической экономике и других областях современной математики. Фундаментальные и основополагающие результаты этой теории получены в середине 1950-х годов Эрнстом Майклом, а совсем недавно издана первая монография целиком посвященная этой теории [RS].

Существуют четыре основные селекционные теоремы, имеющие уже устоявшиеся в математическом фольклоре наименования: нульмерная, выпуклозначная, компактнозначная, конечномерная теоремы Майкла. Практически все имеющиеся к настоящему времени факты в теории непрерывных селекций многозначных отображений имеют непосредственную связь с одной из перечисленных теорем. Отметим, что нульмерная и компактнозначная селекционные теоремы чаще всего используются в общей топологии. А в геометрической топологии наиболее важна конечномерная селекционная теорема, которая использовалась для решения проблемы локально тривиального расслоения в случае конечномерной базы В (см. [HD], [CF]).

Основной результат настоящей работы позволяет сделать первый шаг для доказательства гипотезы Щепина в размерности 2. А именно, мы доказали возможность локального продолжения сечений отображения р в предположении, что база В является ААГД-пространством.

Теорема 2.3.7. Пусть р:Е —» В расслоение Серра метрических LC0 -пространств все слои которого гомеоморфны некоторому компактному двумерному многообразию М. Если В (Е ANR, то любое сечение s:A—>E расслоенияр, определенное на замкнутом подмножестве Ас В, можно продолжить на некоторую окрестность OA множества А до сечения s: OA —> Е расслоения р.

Отметим, что хотя полученный результат является в чистом виде селекционной теоремой (строится непрерывная однозначная селекция многозначного отображения р~г), он никак не связан с фундаментальными теоремами Майкла, и является новым для теории непрерывных селекций. Его особенность состоит в том, что селекция строится для многозначного отображения бесконечномерного пространства, и при этом используются лишь чисто топологические условия. Обычно в бесконечномерных селекционных теоремах вводят нетопологические условия типа выпуклости [RS, Chapter 7] или контролируемого отказа от выпуклости [Сем]. Используя только топологические условия удается построить непрерывные селекции лишь у многозначных отображений, при которых образы точек гомеоморфны точке или отрезку [Са], либо при которых все образы точек гомеоморфны некоторому конечному одномерному полиэдру [RSS]. Основные сложности с переходом к двумерным образам точек связаны с отсутствием подходящей структуры выпуклости в пространстве гомеоморфизмов двумерного диска на себя.

Особенностью доказательства нашего результата является то, что для построения непрерывной однозначной селекции полунепрерывного снизу многозначного отображения применяется теорема об однозначной графической аппроксимации некоторого полунепрерывного сверху компакт-нозначного отображения. Такой подход впервые использовался в работе [ЩБ] для доказательства конечномерной фильтрационной теоремы селекции. Преимуществом такого подхода является возможность построения непрерывной однозначной селекции полунепрерывного снизу отображения, график которой содержится в произвольно тесной окрестности графика наперед заданного компактнозначного подотображения. Результаты такого сорта могут оказаться важными для приложений, и для вы-пуклозначных отображений соответствующая теорема доказана в работе [ВК].

В основе наших построений лежит понятие фильтрации. Растущая2 последовательность подпространств

IoCliCl2C---ClnCX

2 Мы рассматриваем только возрастающие фильтрации индексированные начинающимся с нуля интервалом натурального ряда. называется фильтрацией пространства X длины п или короче п-фильт-рацией. Последовательность многозначных отображений X —У У}о<А:<п называется фильтрацией многозначного отображения Р:Х —> У, если для любого Р(х) его фильтрацией будет {Рк(х)}о<к<п- Первое существенное использование фильтраций в теории непрерывных селекций многозначных отображений содержится в статье [ЩБ], где в доказательстве конечномерной фильтрационной теоремы селекции использовались фильтрации конечной длины.

В нашей работе вводится новое понятие сингулярной фильтрации.

Определение 0.1. Будем говорить, что задана сингулярная фильтрация X = длины п (где О < п < оо) пространства X, если для каждого целого неотрицательного г < п заданы пространства Х{ и отображения /{: Хг- —» X, а для целых неотрицательных г < п — отображения Х{ —> Х{+1 такие, что = /¿+1 о

Для определения сингулярной фильтрации многозначных отображений нам потребуются некоторые вспомогательные понятия, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем. Графиком многозначного отображения Ф:Х У называется подмножество Гф = {(ж, у) Е X х У | у Е Ф(х)} произведения X х У. Слоем непрерывного однозначного отображения /:У —>• X естественно называть прообраз точки f~1(x). Слоем многозначного отображения Ф: X —>У мы называем образ точки Ф(ж). А подмножество графика {ж} х Ф(ж), гомеоморфное слою Ф(ж), будем обозначать Фг (ж) и назовем графическим слоем многозначного отображения Ф.

Если Ф:Х У и Z два многозначных отображения, послойным преобразованием [ из Ф в Ф называется однозначное, непрерывное, сохраняющее слои отображение £ Гф —>• Гф их графиков. Условие сохранения слоев означает, что при любом х Е X преобразование f индуцирует отображение Фг(ж) —» Фг(ж) графических слоев над точкой х.

Определение 0.2. Скажем, что задана сингулярная фильтрация Р = многозначного отображения Р: X —> У длины п (где 0 < п < оо), если для каждого целого неотрицательного г < п заданы многозначное отображение ^: X -» У^ и послойные преобразования —У а для целых неотрицательных г < п — послойные преобразования

Р^ такие, что = /¿+1 о

Обычная фильтрация многозначных отображений может рассматриваться как сингулярная, если в качестве послойных преобразований рассматривать послойные включения.