Обобщенные вариации в многозначном анализе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

I. Отображения ограниченной обобщенной вариации.

1. Классическая вариация по Жордану.

1.1. Основные свойства вариации.

1.2. Непрерывность и формулы для скачков.

1.3. Структурная теорема.

1.4. Продолжение отображений.

1.5. Обобщенный принцип выбора Хелли.

1.6. Отображения со значениями в ЛНП.

1.7. Отображения конечной существенной вариации

2. Обобщенная вариация по Риссу-Орличу.

2.1. Отображения ограниченной Ф-вариации.

2.2. Отображения со значениями в ЛНП.

2.3. Пространство ОУф(£л;Х).

2.4. Метрические полугруппы отображений.

3. Обобщенная вариация по Винеру-Янгу-Орличу.

3.1. Основные свойства обобщенной вариации

3.2. Свойства непрерывности отображений.

3.3. Пространство gVф(£'; Л").

3.4. Регуляризация отображений.

II. Существование регулярных селекции.

4. Отображения с компактными значениями.

4.1. Селекции ограниченной вариации.

4.2. Более регулярные селекции.

4.3. Представления многозначных отображений

Диссертация посвящена решению проблем существования селекции многозначных отображений, решений функционалвных включений и описания многозначных операторов суперпозиции в классах отображений ограниченной обобщенной вариации.

Функции ограниченной вариации играют фундаментальную роль в теории функций вещественной переменной и имеют валсные приложения в других разделах математики (лсм. 8 15 17 21 24 27

37], [42], [51], [52], [53], [56], [71], [74], [90 91 93 110 115 138 176]). Понятие вещественной функции ограниченной вариации на вещественной прямой К было введено К. Жорданом [128] в 1881 году в связи с признаком Дирихле сходимости рядов Фурье. Жордан также показал, что функция ограниченной вариации представима в виде разности двух неубывающих ограниченных функций. В 1905 году Дж. Витали [191 дал определение абсолютно непрерывной функции одной переменной, привел пример непрерывной функции ограниченной вариации, не являющейся абсолютно непрерывной, и предложил определение функции ограниченной вариации двух вещественных переменных. В различных контекстах функции ограниченной вариации изучали А.Лебег, Ш.Де Ля Валле-Пуссен, Г. Харди, Л.Тонелли, Л.Чезари, Ф. Рисе, Н.Винер, Л. Янг и другие математики (подробнее см., например, [80, § 3.12]).

К настоящему времени теория однозначных функций (и отображеи \ с» и и ний) ограниченной вариации, в той или иной мере обобщающая идеи Жордана и Витали, развивалась в нескольких направлениях. В зависимости от специфики вариации, области определения V и области значений ТУ функций эти направления можно условно разделить следующим образом: (1) линейные вариации, где Р = К" при п А 2 и 71 = Ш {[2], [11 18], [22], [34], [35], [36], [41], [60], [75], [76], [80], [124], [126], [141], [173 197]; в работе [78] 71 есть метрическое пространство с дополнительными жесткими ограничениями); (й) лршейные вариации, где Т> = Ш и 71 есть метрическое или нормированное пространство ([1], [9], [19], [60], [69], [79 86], [87], [132], [166]); (ш) нелинейные вариации, где V = Ши71 = Ш {[33

38], [96], [102], [114], ¡115], [121], ¡144], ¡155], ¡178], [193], [195]); (iv) линейные вариации, где 2) = Ми7Л = Е " , пл 1 , причем функции трактуются как (некоторые новые) обобщенные функции (¡65], ¡101], ¡103], ¡139]). Настоящая диссертация в целом относится к стыку направлений (ii) и (iii) и лишь слегка (при п = 2) затрагивает направление (i), при этом основное внимание уделяется многозначным отображениям.

Проблема существования селекции состоит в том, чтобы для данного многозначного отображения F, действующего из непустого множества Е в непустое множество X (запись: F : Е А X), найти однозначное отображение f : Е X, удовлетворяющее условию: f(t) G E(t) для всех t Е Е. Здесь многозначным отображением (или мультифункцией) называется правило Е, ставящее в соответствие каждой точке t е Е некоторое непустое подмножество F{t) С X — образ точки t или значение Е в точке t, а отображение / с указанным свойством называется селекцией (селектором, сечением, ветвью) отображения F. В силу аксиомы выбора любое многозначное отображение с непустыми значениями имеет хотя бы одну селекцию. Поэтому задача сводится к отысканию селекции, наследующих некоторые (или все) свойства многозначного отображения. Обычно эти свойства связаны с измеримостью, непрерывностью, дифференциру-емостью и т.п. (¡58], ¡82], [94], ¡125], ¡177]), что мотивируется спецификой проводимого исследования. В настоящей работе такими свойствами являются ограниченность (обобщенных) вариаций многозначного ото-бралсения относительно метрики Хаусдорфа в пространстве образов.

Основополагающие результаты о существовании измеримых селекции содержатся в работах Кастэна ¡92], Кастэна и Валадье ¡94] и Ку-ратовского и Рыль-Нарджевского ¡137]. В последней работе основная теорема гласит, что измеримое многозначное отображение F, действующее из измеримого пространства Е в полное сепарабельное метрическое пространство X и имеющее замкнутые образы, обладает измеримой селекцией. Кастэн ¡92] показал, что так действующее многозначное отображение F измеримо тогда и только тогда, когда для него существует счетное число его измеримых селекции, поточечно плотное в образах F (представление Кастэна). Обзор результатов по измеримым се лекциям и подробная библиография содернуатся в работе Вагнера [192]. Селекции со свойством Бэра получены в работах Чобана [66]-[68 .

Наиболее известные результаты о существовании непрерывных селекции принадлежат Майклу [162]-[165]. Одна из теорем утверждает, что полунепрерывное снизу многозначное отображение на наракомпакт-ном пространстве Е с замкнутыми выпуклыми образами из банахова пространства X имеет непрерывную селекцию. Подробная информация о теории непрерывных селекции, ее развитии и приложениях, отраяЛена в работах Реповша и Семенова [49], [177]. Влияние невыпуклости образов многозначного отображения на существование у него непрерывных селекции изучено Богатыревым [5], Гончаровым и Толстоноговым [16], Моисеевым [39] и Семеновым [55]. Универсальный подход к существованию измеримых и непрерывных селекции найден Магерлом [143]. Селекции отображений с разложимыми значениями изучались Толстоно-говым 59] и Брессаном и Коломбо [89

Существование непрерывных по Липшицу селекции для выпукло-значных отображений устанавливалось в работах Половинкина [48], Шварцмана [70], Обена и Челлины [82] и Доммиша [107], а дифференцируемых селекции — в работах Денчевой [106], Готье и Морчади [112 и Рокафеллара [179]. Основные факты о том, каким образом селекции сохраняют свойства измеримости, непрерывности по Липшицу и т.п., отражены в монографиях Обена [45] и Обена и Франковской [83 .

Непрерывные и липшицевы селекции существуют для многозначных отображений, имеющих, как правило, выпуклые образы (см. также [183], 185]). Если образы не выпуклы, то в общем случае не приходится ожидать от селекции больших свойств, чем измеримость ([137]) или свойство Бэра ([67]). Действительно, в литературе известно множество примеров (Обен и Челлина [82], Хёрмес [122], Купка 136 Майкл [163]), когда непрерывное многозначное отображение на отрезке Е — [а, 6 вещественной прямой Е с компактными образами из круга в или непрерывное по Липшицу отображение из = в компактные подмножества шара из X — не имеет ни одной непрерывной селекции. В настоящей работе будет показано, что для многозначного отображения

F ограниченной вариации из непустого подмножества С М в непустые компактные подмножества метрического пространства X селекции ограниченной вариации, проходящие через заданную точку графика Gi{F) = {{t,x) е Е X X \ X е F{t)} отображения F, существуют всегда.

Пусть 0 А Е С Ш. и (X, d) — метрическое пространство с метрикой d. Отображение f : Е X называется липшицевым (запись: / G Lip(iA;X)), если конечна его (наименьшая) константа Липшица: id{f,E) = sup{ c?(/(/),/(s))/U - s\; t, s е Е, t A s}. ОтобраАкение f : E —> X называется абсолютно непрерывным (запись: / G АС{Е] X)), если существует функция 6 : (О, со) (О, со) такая, что для любого t > О, любого п G N и любого конечного набора точек ^¿^¿}"Ai С Е таких, что «1 < 6i а (22 < а2 а . . . а а„ < 6„, из условия Er=l^ " aa¡) a a(a) вытекает, что J27=i d{f{bi),f{ai)) а е. Более точно такое отображение / будем называть 8 {•)-абсолютно непрерывными, поскольку, вообще говоря, функция 6{-) зависит от /, будем также писать 6{-) = а/(-)

Отображение f : Е X называется отображением ограниченной или конечной) вариации (запись: / G BV(£';X)), если конечна его полная вариация по Жордану: т

У(/, Е) = У,(/, Е) = sup Х: difiU), fiU.,)); здесь и всюду нюке запись supA означает, что супремум берется по всем разбиениям а = {ii]T=Q множества Е, т.е. т £ N, {iQ, ¿i, • • •, ¿m} С Е и t,Ai < ti, г =: 1,. ,m (Шварц [69, Гл.4, §9], Жордан [128]).

Хаусдорфово расстояние D — Dd между двумя непустыми подмножествами А и В метрического пространства X определяется правилом:

D{A, В) = тах{е(Л, В), е{В, А)}, где е(А,В) = supA.AA dist(a:, В) и dist(a:,B) mfyAs d{x,y). Хорошо известно (например, [94, Гл. II]), что D есть метрика, называемая метрикой Хаусдорфа [порожденной d), на множестве с (Л') всех непустых компактных подмножеств X.

В работе [123] Хёрмес показал, что в случае, когда Е — [а, 6 и Л" = любое многозначное отображение F G Lip(£;c(X)) имеет селекцию / Е Ъ1-р{Е;Х), такую, что 1(1{/,Е) А £о{Е,Е), а такл-:е, что непрерывное отобраясение Е : Е ограниченной вариации имеет непрерывную селекцию. Близкие результаты для липшицевых и абсолютно непрерывных отображений с выпуклыми и невыпуклыми компактными значениями получены в работах Гуричана и Костырко [117], Кикучи и Томита [130] и Жу Кийи [174]. Результаты Хёрмеса обобщены Мордуховичем [40, § Д1] для банахова пространства X и отображения Е с компактным графиком и Щлэнзаком [182] на общий случай, когда X есть произвольное метрическое пространство. Опираясь на обобщение принципа выбора (компактности) Хелли для отображений ограниченной вариации, в работе [204] автором доказано, что многозначное отображение Е Е ВУ{Е;с[Х)) имеет селекцию / Е ВУ{Е]Х), такую, что У(1{/,Е) А УоАЕАЕ). Этот результат был распространен на отображения ограниченной обобщенной вариации в смысле Рисса-Орлича и некоторые другие классы отображений в [198], [207], [199], [200], [210] и [206 . На основе уточнения принципа выбора Хелли в статьях [211], [88], [209 и [203] показано, что предположение о том, что X — банахово пространство и график Сг(А) компактен, использованное в цитированных выше работах автора, излишне: достаточно, чтобы X было метрическим пространством (отметим, что Хёрмес и его последователи иcпoльзoвaJm теорему о компактности Арцела-Асколи).

В этой работе приводятся наиболее общие результаты о существовании селекции и мультиселекций ограниченной обобщенной вариации в предположении, что многозначное отображение Е : Е X имеет областью определения произвольное непустое множество £А С М и принимает компактные значения в произвольном метрическом пространстве (ХД). Отсутствие структуры (кроме порядка) у множества Е играет решающую роль для установления селекции с конечной существенной вариацией (см. § 1.7 и теорему 4.4 в §4.1).

Другими аспектами нашей теории являются существование решений ограниченной обобщенной вариации для некоторых классов функциональных включений и вложений, содержащих нелинейный оператор суперпозиции в правой части, и описание операторов суперпозиции, удовлетворяющих условию Липшица. Оператор суперпозиции (Немыцко-го) является «простейшим» нелинейным оператором (в терминологии 30, §17]), возникаюш;им в различных разделах математики ([3], [6], [7 28], [29], [32], [37], [43], [44], 61], [62], [72 , [81 , 105 , 133], [134], [149], 160], [188], [189]). Изучение операторов суперпозиции, действующих в различных классах функций и отображений, представляет в последнее время тему повышенного интереса и важности. В литературе рассматривались в основном операторы суперпозиции на классах липшицевых, гёльдеровых, интегрируемых функций и на пространствах Соболева. Нашей целью является исследование операторов суперпозиции, в том числе и многозначных (ср. [147], [168], [129]), на классах отображений ограниченной (обобщенной) вариации одного и двух вещественных неременных.

Напомним некоторые результаты, известные для классических пространств функций одной переменной. Пусть / = [а,6] СМ — отрезок, — алгебра всех функций / : / R с обычными поточечными операциями и h : I хЖ Ш — данная функция двух переменных. Оператор суперпозиции Немыцкого H—7ih • 1Л, порожденный функцией h, определяется правилом: nf){t) = 'H{f){t) = h{tJit)), / G K a tel; функция h называется генератором оператора 7ï. Пусть 5(7) С есть некоторое банахово функциональное пространство с нормой || • ||. Нас интересуют условия на генератор /г, при которых порожденный им оператор суперпозиции 7i : В{1) —>• В(1) является липшицевым, т. е. существует постоянная /г > О такая, что

- А(/2)11 A ft 11/1 - /2II для всех /ь /2 е В{1).

Оператор 7Y, удовлетворяющий последнему условию с <1, тесно связан с решением функционального уравнения f{t) — h{t,f{t)), tel, или / = 7ïf в операторной форме, относительно функции / G В(1) при помощи классической теоремы Банаха о неподвюкной точке. Так, например, если t е I п h[t, х) = sin х, ж G M, то соответствующий оператор 7i является липшицевым в пространстве непрерывных функций В{1) = С{1) с обычной равномерной нормой, а такл<;е в пространстве В{1) = ЬЛЦ) интегрируемых по Лебегу со степенью р А 1 функций с обычной интегральной нормой. В противоположность этому Матковски [150] доказал, что если В{1) = Lip(/) есть пространство липшицевых функций на 7 с обычной липшицевой нормой, то из предположения о липшип,е-вости оператора суперпозиции Л вытекает, что его генератор h имеет вид х) = /го(А) -|- Ы{0х, t е I, X еЯ, где HQ и Ы — некоторые функции из Lip(7). Этот результат можно интерпретировать двояко: с одной стороны, множество липшицевых операторов суперпозиции на пространстве Lip(7) гораздо беднее, чем, скажем, на пространстве С(7), а с другой стороны, упомянутое выше функциональное уравнение нельзя решить в пространстве Lip(7) прямым применением теоремы Банаха, если генератор Ы зависит нелинейно от второй переменной (в этом случае следует привлечь теорему Шаудера о неподвижной точке, см. § 6.2, или подобное более мощное средство).

Результат Матковского для однозначных липшицевых операторов суперпозиции и соответствующих функциональных уравнений был распространен на некоторые другие классы функций и отображений в работах 81], [135], [148], [151], [152], [153], [154], [158], [161], ¡188], [189] и работах автора [208], [205], [201], [202]. В случае многозначных липшицевых операторов суперпозиции имеются отдельные разрозненные результаты в основном для операторов, принимающих значения в липшицевых отображениях или отображениях ограниченной вариации по Жордану с компактными выпуклыми образами ([159], [160], [170], [184], [187], [196]). В работах автора [210], [211], [201], [206], [202] липшицевы многозначные операторы суперпозиции систематически изучены между классами отои и и и бражений ограниченной обобщенной вариации одной и двух вещественных переменных с ограниченными замкнутыми выпуклыми образами, и хотя, как выясняется, класс таких операторов является «достаточно узким», получающиеся в многозначном случае результаты содержательны и представляют собой первый важный шаг для изучения более обвщх классов (однозначных и многозначных) операторов суперпозиции.

Переходим к изложению основных результатов диссертации.

В главе I (§§ 1-3) развивается теория отобралуений ограниченной обобщенной вариации одной вещественной переменной со значениями в метрическом пространстве в той степени, в которой она требуется для задач многозначного анализа. Главы II и Ш содержат приложения этой теории. В главе II (§§4-5) приводятся теоремы о селекциях ограниченной вариации и о решениях функциональных включений и вложений, а в главе III (§§ 6-8) дается полное описание (многозначных) липшицевых операторов суперпозиции между классами отобраясений ограниченной обобщенной вариации одного и двух вещественных переменных и решается линейное функциональное включение.

В § 1 устанавливаются некоторые новые и напоминаются известные результаты для отображений / G BY(E;X) ограниченной по Жордану вариации, где 0 Е CR я X — метрическое пространство с метрикой d. В теореме 1.6 показано, что отображение / G BY{E;X) непрерывно справа в точке t £ Е \ {snpE} или слева в точке t £ Е \ {inï Е} тогда и только тогда, когда его функция вариации (p{s) = V{f,E П (—(x>,s]), s £ Е, обладает этим же свойством в точке t (так что / непрерывно на Е вне не более чем счетного подмножества Е). Это делается на основе формул для скачков, одна из которых приводится ниже: если t £ Е есть предельная точка множеств Е П (—оо, t] я. Е С\ [t, оо), то

У(/, Е) = Т/(/, E\t)+ lim d{J{t), fis)) +

E9s—*t — 0 + lim d{ fis) Jit))- lim difib)Jia)).

E3s-^t+0 ЕЭа-^t-O

E3b-*t+0

В § 1.3 устанавливается следующая структурная теорема:

Теорема 1.11. Для f : Е X имеем: f G ВХ{Е;Х) тогда и только тогда, когда найдутся неубывающая ограниченная функция (р : Е А R и отображение g G Lip(J;X) со свойством Vig,J П [a,b]) — b — а для всех а, 6 G J, а аь, где J = а(е) есть образ Е при функции (р, такие, что f = g о р на Е (в необходимом условии в качестве (р можно взять функцию вариации для /).

Отметим, что эта теорема верна для / Е Lip{E;X), когда Е ограничено, причем тогда функция вариации (р для / обладает свойствами Л е ир{Е;Я) и А\{(р,Е) = Щ,Е), а также для / G АС(Л;Х), когда Е компактно; в последнем случае для функции вариации ip имеем: л G АС(£Л; Щ и = л/(^)- В конце § 1.3 приводится алгебраический и топологический анализ конструкции отобралсения д (называемого натуральным) из теоремы 1.11.

В § 1.4 приведены результаты о продолжении отображений f : ЕХ на всю прямую Ш с сохранением полной вариации, константы Липшица или абсолютной непрерывности, а в § 1.5 приведено следующее обобщение принципа выбора Хелли:

Теорема 1.16. Если Т С ХЛ есть бесконечное семейство отображений такое, что swpЛЛj:Vf,Е) < оо и при любом t £ Е множество {/(О i / л л} предкомпактно в X, то Т содержит последовательность, которая поточечно на Е в метрике d сходится к некоторому отображению из Ж'\[{Е'',Х).

В примере 1.17 показано, что эта теорема носит точный характер.

В § 1.6 напоминаются некоторые сведения об отображениях со значениями в линейном нормированном пространстве (сокращенно, ЛНП), а в §1.7 рассматриваются отображения класса ъхллелх) конечной существенной вариации Kss(/5 Е) со значениями в метрическом пространстве.

В § 2 изучаются отображения f : Е X ограниченной обобщенной вариации в смысле Рисса-Орлича. Обозначим через Л'л семейство всех непрерывных выпуклых вниз функций Ф : Ш+ [О, оо) —> М+ таких, что Ф{р) — О лишь при у9 — О, а через Л/со — множество тех Ф G ЛЛ, для которых ИшрЛоо Ф{р)1 Р = ею (условие Орлича). Для Ф G Л/' величина т

1/ф(/,Ь) = 8ир2Лф-{П-ПЛ1)

Л 1=1 \ Ч - Сг-1 / называется полной Ф-вариацией / в смысле Рисса-Орлича. Положим ВУф(£:;Х) = {1 : Е Х\ Уф(/,л) < оо}. Множество Шф(Е;Х) наиболее интересно в случае, когда Ф G ЛЛоо, поскольку в противном случае оно совпадает с ВУ(£Л;Х). Основные свойства величины Уф(/, Е) собраны в предложении 2.1 (в частности, эта величина аддитивна по и полунепрерывна снизу по /), а в теореме 2.2 показано, что для / G ВУф{Е;Х) с ограниченным Е справедлива структурная теорема 1.11, если в ней заменить символ BV на ВУф и дополнительно потребовать, чтобы ср G ВУф(А;М); при этом для функции вариации р[^ = Еп (-оо,^), t е Е, отобраАкения / О ВХф{Е;Х) имеем: ф{(р,Е) = Уф(/, Ж). После изучения в § 2.2 отображений / О ВУф(/;Х), где I = [а, 6] и X — ЛНП, в следствии 2.6 доказывается следующее обобщение критериев Рисса [178] и Медведева [38]: если X — метрическое пространство, Ф О А/'ю, f : I X ж (р{0 = V{f,[a,t]), t О /, то / О ВУф(/;Х) 9? О ВУф(/;Е) <а а е АС(/;М) и Jj Ф(\у(1Щ1 конечен, при этом ]/ф(/,/) = la,t])\)dt. Этот результат позволяет выявить важность множеств В\ф(/;Х) каково бы ни было метрическое пространство X:

Теорема 2.8. АС([а, Ь]; X) = УфелАА ВУф([а, 6]; X).

В силу нелинейности функции Ф О Л/'оо пространство ВХф{Е; X) не инвариантно относительно эквивалентных метрик на X. Поэтому в § 2.3 определяется новое пространство отображений ограниченной обобщенной Ф-вариации:

СХф{Е;Х)= 1}ВУф, {Е;Х), л>о где Фх{р) - Ф{р/Х), р О МА. Для / О СУф(А;А:) тогда корректно определена величина (функционал типа Люксембурга-Накано-Орлича)

РфЦ,Е) = РФА/,Е) = тГ)А > О I Уф,и,Е) < 1}, называемая точной Ф-вариацией отображения /. Основные свойства этой величины отражены в лемме 2.11. Для отображений ограниченной обобщенной Ф-вариации / : Е X с ограниченным множеством Е справедлива структурная теорема 1.11, если в ней заменить символ BV на СУф и дополнительно потребовать, чтобы (р О СУф(£';М); тогда для функции вариации (р{^ = у{% Е П (-оо,^), t е Е, отображения / О СУф{Е;Х) находим, что рф{р,Е) =рф(/,Е).

Отметим, что введенные выше функциональные пространства для ограниченного Е и Ф £ Л/оо вложены друг в друга следующим образом: ир{Е;Х) С ВУф(Е;Х) С СХф{Е;Х) С АС{Е;Х) С BY{E;X) С В^{Е;Х) предпоследнее вложение имеет место, когда Е компактно), при этом справедливы следующие аналоги неравенства Иенсена для вариаций:

VI/, Е) < |л|Ф-л(Кф(/, Е)1\Е\), / G ВУф(л; X),

F(/, Е) < а;ф(|л|);лф(/, Е), / G ОХф{Е; X), где \Е\ — supE" - ^ 6 (0,оо) и и}ф[р) = рФ~А{1/р) для р > О (так что в силу условия Орлича а;ф(0) = 11тр+о С0ф{р) = О для Ф Е ЛЛх.)

В теоремах 2.9 и 2.12 изучены влолсения соответственно мнолсеств ВУф(£:; X) и СХф{Е;Х) для различных функций Ф Е Л/'. Для Ф, Ф Е Д/' пишем Ф л ф, если найдутся постоянные С > О и ро > О такие, что Ф(/9) л ф{Ср) для всех рА ро.

Теорема 2.12. Если Е ограничено иЧ! 4Ф,то СУф(Е; X) С GVл(E; X) и существует постоянная к = л;(Ф,Ф, \Е\) > О такая, что рхА{/,Е) А крф(/,Е) для всех / Е СХф(Е;Х). Обратно, если I = [аАЬ], X — ЛНП и СУф(/;Х) С СУф(/;Х), тоЧ> 4Ф

Для ЛНП (X, II • II) и фиксированной точки а Е на линейном пространстве СХф{Е;Х) определим норму ||/||Ф = ||/(Й)|| +РФ(/, Е), где / Е СУф{Е; X) и ФЕЛГ. Будем говорить, что тройка ЛНП (Х,У, Z) образует мультипликативную тройку, если найдется билинейное отображение М : Х'хУ -> Этакое, что ||М(х,у)|| л ||л|Н1?/|| Для всех х £ X иу £ У, где норма II • II вычислена в соответствующем пространстве. Для / : Е X и д : Е положим /){= t £ Е. В теореме 2.13 показано, что если Е ограничено, / Е СУф(Е;Х) я д £ СХф{Е]¥), то £ GYф{E•,Z) и имеет место неравенство ||/л||Ф л у ||/||Ф| 15'| |Ф? где 7 = тах{1, 2б<;ф(|£'|)}; кроме того, если X — банахово пространство, то ОУф{Е; X) — также банахово пространство. Таким образом, если X есть банахова алгебра, то и СУф(£';Х) есть банахова алгебра.

С целью применения к многозначным отобрал<:ениям в §2.4 изучаются метрические полугруппы отображений. Метрической полугруппой называется тройка (Х,б?,+), где (А',+) есть аддитивная коммутативная полугрунна и (X, с?) есть метрическое пространство с метрикой с?, инвариантной относительно сдвигов. В §2.4.1 показано, что если (А',А,-|-) есть (полная) метрическая нолугруппа и а 6 то множество СУф{Е] X) является (полной) метрической полугруппой относительно поточечного сложения и метрики

Аф(/,А) = йА(/(«),А(а)) + Аф,Д/,А), где полуметрика АфАА(/, 5') определяется вырая<:ением в важном частном случае пространства ВУ{Е;Х), соответствующем Ф{р) = Р, метрику с1ф обозначаем через ¿ 1, а АфАА — через АхАА. В § 2.4.2 множество Ъ1р{Е;Х) наделяется структурой метрической полугруппы, а в §2.4.3 устанавливаются отношения влолсения Ыр{Е;Х) С СУф(Е; X) С ВУ{Е;Х) как метрических полугрупп. в § 3 изучаются отображения / : Е X ограниченной обобщенной вариации в смысле Винера-Янга-Орлича, где, как обычно, 0 7А С М и (X, (1) — метрическое пространство. В этом случае важную роль играет множество Ло тех функций Ф Е Лf, для которых НгПр-А+о Ф{р)/Р = О (условие Орлича в нуле). Если Ф Е Л/', то полная Ф-вариация отображения / в смысле Винера-Янга-Ор.тича определяется равенством т

Уф{/,Е) = 8прА:А{с1{Ци)Ли, а ¿=1 а множество всех отображений /, для которых Уф(/, Е) < оо, обозначается через Ыф(Е;Х). Это множество, содержащее ВУ{Е;Х), наиболее интересно в случае, когда Ф Е Л/о, поскольку для Ф Е оно совпадает с ВУ{Е;Х). Свойства величины Уф[/,Е) собраны в предложении 3.4; среди важных свойств сохраняется полунепрерывность снизу по /, но нарушается аддитивность по Е. В отличие, скажем, от Уф(/,/) при Ф Е ллоо вычисление величины Vф(/,/) при Ф Е Ло затруднено; в лемме 3.1 и предложении 3.3 приводятся случаи явного вычислеи гр л /" u ния этой величины. Теорема 3.6 является аналогом структурной теоремы 1.11 для ЪУф(Е;Х); из нее вытекает теорема 3.7 о продолжении отображения / G Ъуф{ЕХ) на все мнол<;ество М.

В отличие от случая пространства ВХ{Е; X) довольно сложно доказывается следующий результат из § 3.2:

Теорема 3.9. Отображение f G ЪУф{Е;Х) непрерывно в точке t £ Е тогда и только тогда, когда функция ip{s) = Уф{/,Е П (—oo,s]), s £ Е, непрерывна в этой точке {тем самым f непрерывно на Е за исключением не более чем счетного множества точек из Е).

По тем же сообралсениям, что и выше, определяется расширение мно-л%:ества ЪУф{Е;Х) следующим образом:

ЕУф{Е;Х)= иЪуф, {Е;Х), л>о и для элемента / G gУф{Е;Х) определяется его точная Ф-вариация: р1{/,Е) = Ы{Х> 0 \ Уф, {ф,Е)А1}.

Основные свойства этой величины выявлены в лемме 3.17, что позволяет обобщить нашу теорему 1.16 (обобщенный принцип выбора Хелли) и теорему 1.3 из работы [167] на пространство gVф(£'; X) (теорема 3.18).

В лемме 3.15 и теореме 3.19 изучены вложения соответственно множеств Ъуф{Е;Х) и АУф{Е;Х) для различных функций Ф е М. Для Ф, Ф G Л/' пишем Ф f Ф, если lim supAAo Ф(у9)/Ф(С» < оо для некоторой постоянной С > 0. В теореме 3.19 показано, что если Ф АФ, то gVф(£'; X) С gVф(£'; X) и найдется постоянная к = к{Ф, Ф) > О такая, что Рф(/,£^) а крф{/,Е) для всех / G gVф(£А;yY), и обратно, если / = [а.Ь], X — ЛНП и gVф(/;X) С gvA(/;yY), то ФАФ. Так лАе, как и выше, в теореме 3.20 показано, что если X есть банахова алгебра, то и gVф(A•, Л') есть банахова алгебра с нормой ||/||ф = ||/(а)|| +Рф{/,Е), где а е Е.

Если (X, d, -Ь) есть метрическая полугруппа, то мнолсество gУф{Б^] X) превращается в метрическую полугруппу, если в нем ввести операцию поточечного сложения и метрику аф{/,д) = d{f{a),g{a)) + АфА(/,А), Где полуметрика Лф А(/,А) определяется как величина Дф £/(/, если в ней вычеркнуть выражения ti —

Параграф 3.4 носит вспомогательный характер. Пусть X — полное метрическое пространство, J = [а, Ь] и Ф G ЛА. Обозначим через gv|(/;X) подмножество в gVф(А;X), состоящее из тех отображений, которые непрерывны слева на полуинтервале {а,Ъ]. Для отображения / € gVф(/; X) определим его левую регуляризацию f* : I X правилом: f*{t) = limsAAo/(5) в X, если а < t л Ь, я /*(а) = lim<a+o/*(A) в X. Основной результат (теорема 3.22) состоит в том, что если / G gVф(/; X), то Г egv;(/;X). в § 4 приводятся основные теоремы о существовании регулярных селекции и решений функциональных включений для многозначных отображений с компактными значениями. Если не оговорено противное, то считаем, что 0 a СМ и {X,d) — метрическое пространство. Главный результат §4.1, базирующийся на теореме 1.16, есть

Теорема 4.2 (о BV селекциях). Если Е G ВХ{Е;с{Х)), U е Е и XQ е X, то существует селекция f G ВУ{Е; X) отображения F такая, что Vd{f,E) л VD(F,E) ud{xoJ{to)) = dist{xo,F{to)).

Пример 4.3 показывает, что неравенство в этой теореме может нарушаться, если образы F{t) отображения F лишь ограничены и замкнуты. В теоремах 4.4 и 4.5 установлено, что результат теоремы 4.2 остается справедливым для отображений F из классов B\4ss (для краткости опущено (£;с(Х))), Lip, ВУПС, АС, ВУф и СУф, где Ф G Л''; в этом случае «сохраняется» величина, характеризующая класс: например, если F G BVess, то Vess,d{f, Е) a Vess,DiF, Е), для FG Lip находим, что W,E) < 1п{Е,Е), а для F G ОУф имеем: РФМЕ) < РФАЕ.Е).

Неулучшаемость теоремы 4.2 представлена также в примере 4.7: существует непрерывное по Гёльдеру с любым показателем 7 G (0,1) многозначное отображение F : [-1,1] —> с(МА) (и, значит, F имеет ограниченную р-вариацию в смысле Винера с р = 1/7), не имеющее непрерывных селекции и селекции ограниченной р-вариации при любом р А 1.

Параграф 4.3 посвящен описанию многозначных отображений ограниченной вариации типа представления Кастэна. Сформулируем один из результатов в этом направлении (теорему 4.11(е)): многозначное отображение F : Е c(yY) на ограниченном множестве Е принадлежит классу СУф(Е;с(Х)), где Ф G Л/', тогда и только тогда, когда суш;еству-ет функция (р G С\ф{Е; Ж) и поточечно предкомпактная последовательность (дп}А=1 С Lip(J;X), где J = (р{Е) и supЛA^A^ id{gn, ^ <1, такие, что F(t) есть замыкание в X множества {5Г„((А(1))}ААА для всех t е Е.

В§4.4и§4.6 устанавливается существование мультиселекций и решений функциональных вложений ограниченной обобщенной вариации.

Теорема 4.18. Пусть F : Ехс{Х) —> с(Х) удовлетворяет условиям: (1) Зре БУ{Е;Я)иИе [0,1) такие, что D{F{t,A),F{s,B)) А \(р{1)-ф)\ + /Ю(Л,В) для всех t,s в Е и А,В е с{Х); (и) ЗК : Е с(Х) такое, что F{t,A) С К{^ для всех А G с(Х). Тогда для любых ^ £ Е и XQ е с{Х) найдется X G БУ(Е;с{Х)) со свойствами: (а) Х{,0 С Е^,Х{^) для всех t G Е; (Ь) Vn{X,E) а V{А,E)/{1 - //); (с) Ю(Хо,Х{^)) а е(Хо,F{to,X{to))). Если же XQ таково, что Хо С F{to,Xo), то неравенство в (с) можно заменить на равенство Х(/о) = Ао

Эта теорема распространяется на другие классы отображений ограниченной обобщенной вариации и содержит в качестве частных случаев теорему 4.12 о существовании мультиселекций (когда F не зависит от второго аргумента) и теорему 4.16 о существовании решений функциональных включений (когда F : Е х X с{Х)).

В § 4.5 доказана теорема 4.15 о существовании (в том числе непрерывных) селекции для многозначного отображения F : I х X а с(а') двух переменных такого, что по первому аргументу (при фиксированном втором) оно принадлежит классу СУф(/;с(У)), Ф G ЛАоо, а по второму аргументу (при фиксированном первом) является полунепрерывным сверху на топологическом пространстве X.

В §5 уточняются селекционные теоремы из §4 в том случае, когда множество прибытия X имеет дополнительные структуры. Так, в теореме 5.1 показано, что если в предположениях теоремы 4.2 о BV селекциях X есть вещественное гильбертово пространство, сс(Л') обозначает семейство всех непустых компактных выпуклых подмножеств X, F е БУ(Е;сс{Х)), to е Е и XQ лежит на границе dF{to) множества

F{to), то селекцию / Е BV(£';X) отобралсения F молаю дополнительно выбрать со свойствами: f{t) £ dF{t) для всех t е Е и /(to) XQ. В теоремах 5.4 и 5.5 построены селекции относительно данного отображения ?/: если / = [а, 6], /о G (A5II ' II) — банахово пространство над Е, К С X — замкнутый выпуклый конус, Ф Е ЛУоо, F Е С'Уф(/; сс(А')) и 7/ Е СУф(/;А'), то F обладает селекцией / Е С'Уф(/;/1Г) такой, что АфАг/, /) А ЛфАп{у. и ||77(fo) - /(¿0)11 - dist(7/(to), iA(io)).

Однозначные липшицевы операторы суперпозиции между ЛНП ограниченной обобщенной вариации охарактеризованы в § 6. Основная цель этого параграфа состоит в том, чтобы улсе в модельной ситуации выявить те трудности, которые встретятся в многозначном случае, и оценить ож:идаемые результаты. Нилсе yтвepлvдeния сразу приводятся для многозначных операторов суперпозиции.

Если (У, II • II) есть ЛНП над М, то обозначим через сЬс(У) семейство всех непустых замкнутых ограниченных выпуклых подмнож:еств Y с метрикой Хаусдорфа D. Для А, В Е сЬс(У) полож:им А + В = : А + В, где А-{-В = {Х + У\ ХЕА, уеВ}иА + В есть замыкание в У мно жества А + В. Тогда тройка (сЬс(У),£), -f) является метрической полугруппой. Если / = [а, 6], (X, II • II) есть ЛНП с индуцированной метрикой d, КС X есть выпуклый конус и Ф, Ф Е Л', то тройки (СУф(/; К), dф, +) и (СУф(/; сЬс(У)), 1)ф, -J-) таклсе являются метрическими полугруппами.

Многозначный оператор Т : К сЬс(У) называется линейным, если он *-аддитивен (т.е. Т{х у) — Тх + Ту для всех х, у £ К) и неотрицательно однороден (т.е. Т{\х) = ХТх для всех х Е А' и Л Е М"а). Обозначим через а(А';сЬс(У)) метрическую полугруппу всех линейных липшицевых многозначных операторов Т : К сЬс(У), наделенную метрикой DL\ если Г, 5 Е L(A'; сЬс(У)), то

DL{T,S) = sup D[TX 4- Sy,Sx + Ту)Л\х - у\.

Для заданного многозначного отображения Н : I х К сЬс(У) оператор 7i : сЬс(У)А, определенный правилом Ti{f){t) = H{tJ{t)), t £ I, f : I К, называется оператором суперпозиции с генератором Н.

Основной результат § 7.2 есть следующая

Теорема 7.3. Пусть Ф Е W, Ф G Л/'оо и Y — банахово пространство. Если

П е Ыр(СУф(/;А');СУф(/;сЬс(Г))), (*) то •) Е Lip(AA; сЬс(У)) для всех t £ I и существуют отображения

HQ Е СУф(/;сЬс(У)) м Я1 : I 1{К;сЪс{У)) со свойством Hi{-)x = t ь-A Hi{t)x] Е СУф(/; сЬс(У)) для всех х Е К, такие, что

H{t,x) = Ho{t) I Hi{t)x, t e L хек. (**)

Более того, если в условиях выше limpoo Ф~ЧР)/а~ЧР)~0? moH{t,x) — H{t,0) для всех t £ I и X £ К {т. е. Н — постоянный операт.ор).

Обратно, если фАф, Яо Е СУф(/; сЬс(У)), Я1 Е СУф(7; L(/i; сЬс(Г))) и генератор Я имеет вид (**), то оператор суперпозиции 7i удовлетворяет условию (==)

Для липшицевых операторов суперпозиции между метрическими полугруппами типа gVф основной результат (теорема 7.6) сходен с приведенной теоремой, но следует H{t,x) в (**) заменить на левую регуляризацию H*{t,x) по первой переменной.

На основе теоремы 7.3 при X = Y и селекционных теорем относительно данного отобраясения из § 5 в теореме 7.5 доказано существование решения / Е СУф(/;/1) функционального включения вида f{t) Е Ho{t) -Ь Hi(t)f{t), t е I, в случае, когда Щ Е СУф(/;сс(Я)), Ях Е СУф(/;1(Я;сс(/0)) и тах{1, 2а;ф(|/|)} • {i{Hi{a))P<I,,DAHI)) < 1

Чтобы показать, что развитые в диссертации методы исследования годятся не только для отображений одной вещественной переменной, в последнем § 8 операторы суперпозиции рассматриваются на (модельном) пространстве отображений двух вещественных переменных, имеющих ограниченную вариацию в смысле Витали-Харди.

Пусть /д = X [а2?М аать основной прямоугольник (область определения отображений), где а = (аАаз), b = (61,62) € «1 < 61, «2 < 62, пусть (X, с?,-Ь) есть метрическая полугруппа и / : —> У — заданное отображение. Смешанная разность / на подпрямоугольнике Ц — [xi,yi] x [х2Ау2] С /ц есть величина:

Сл(/, II) = Cdf Il\%) л d{f{x„X2) + 1{УЪУ2). fix,, У2) + fiyuXA:

Для произвольных разбиений л = (Аг}-Ло отрезка [01,61] и ч] ~ {sj}'^Q отрезка [аг, 62] положим = [¿¿-1, Аг] х [5Л1, <<у], г = 1,., т, л = 1,., п. Тогда вторая вариация по Витали-Харди отображения / определяется правилом: т п л,Г1 ¿=1 j=l а полной вариацией / на называется величина:

1'а) = а2), [аь 61]) + У(/(а1, •), [а2, 62)) + У2(/,

Полагаем ВУ(/Л;Х) -{/:/* X | ту^лдл) < оо}. В теореме 8.1 установлено, что пространство ВУ{1Л; М) является банаховой алгеброй с обычными поточечными операциями и нормой ||/|| = |/(а)| + ГУ|.|(/,/д), причем для /, д £ ВУ{1Л;Ш.) имеет место неравенство ||/ «ЛЦ л 4||/|| • \\д\ .

Если (X, с/, +) есть полная метрическая полугруппа, то для отображения / Е ВУ{1Л;Х) определяем его левую-левую регуляризацию /* правилом: lim 1{У1,У2), если СХ < < 61 и 02 < 2Л2 л 62,

У1 , У2)-- *{х1-0,Х2-0) lim ЛУЪУ2), если ах < a:i < 6Х И Х2 = а2, ПХ1,Х2) = (УЬ2/2)Л(Х1-0,02+0) lim /(уьУг), если a:i = ai и а2 < Л2 л 62,

21 ,У2)—(а1+0,л2-0) lim 1{У1,У2), если xi = ai и Х2 = а2.

У1,У2)-Л(а1+0,02+0)

Следует отметить, что условие (ухЛл/г) —л (Л1 — 0,Л2 — 0) означает, что {УиУ2) Е II, Ух < жх, у2 < Х2 и (?/1,?/2) {х1,Х2) В И аналогично для других трех пределов. Отображение / : 1Л X называется непрерывным слева-слева, если /*(хх,Х2) = /{х1,Х2) для всех хх Е (аьбх и Х2 е («2,62]. Обозначим через ВУ*{1Л;Х) подпространство в ВУ(/д;Х) тех отображений, которые непрерывны слева-слева. Стметим, что (лемма 8.3) если / е ВУ(/„ЛХ), то /* С ВУ*(4ЛХ).

Для метрической полугруппы (X, с?, -Н) структура метрической полугруппы на ВУ(/Л;Х) вводится следующим образом: операция сложения определяется поточечно, а метрика дву определяется для отображений 5 е ВУ(4ЛХ) по правилу: (1ву{1\9) = б?(/{а),л(а)) + ДвуД/,л,/а), где АБУ,С/(/, 9: = Ал, (/(•, «2),л(ч «2)) + Аллл (/(аь •),л(«ь •)) + Л2(7, 9,1'а), через АдЛД/(-, аз ),аг)) обозначена величина Ахлл, вычисленная в метрике (1 для отображений л а /(¿,02) и л 1> д{1,а2) на отрезке [01,61 и аналогичный смысл имеет выражение Алл(.,.), а величина А2(/,л,7л находится по правилу (прямоугольники определены выше): т п

А2(/,5,4') = 8ирХ:Елл2(/,л,4;). л ,7 г=1 здесь супремум берется по всем разбиениям = {лг}г'=:0 и т/ = {5,}"о отрезков [01,61] и [02,62] соответственно, а значение сс?2(/, 5'Дж) на под-прямоугольнике 1У — [2:1,л1] х [х2,У2\ С есть сл2(/,л,4л,\'2)-л(/(льл-2) + /(У1,У2)+5(а:1,У2)+л(У1,:1;2), л(2:1,2-2) -Ь 9{УъУ2) 4- /(жьуз) + ЦуиХ2] Основной результат для операторов суперпозиции есть

Теорема 8.10. Пусть (X, | -1) и {У, \ • \) есть два ЛНП, К С X — выпуклый конус, Н : К сЬс(У) и Н есть оператор суперпозиции: т){х) = ЩхЛх)) для хе II и!'. II К.

Если У — вещественное банахово пространство и

Н е Ыр(ВУ(/л/0;ВУ(/лсЬс(У))), то Н[х,-) Е Ыр(/1; сЬс(У)) для всех х Е 1А и найдутся два отображения Но е ВУ*(4лсЬс(У)) и Нг : 1А Ь{К;сЪс{У)), причем ЯДлгг е ВУ*(/ц;сЬс(У)) для всех и € К, т.акие, что Н*{х,и) •= Но{х) + Н1{х)и, X £ 1А, и Е К, где Н*{х,и) есть левая-левая регуляризация отображения X Н{х,и), и Е К.

Обратно, если Щ Е ВУ{РА;1{К;сЪс{У))), Щ Е ВУ(/л; сЬс(У)) и отображение Я действует по правилу Я(х, и) = Но{х) + Н1{х)и для х Е 1а, иЕК, тоПЕ Ыр(ВУ(4л/0;ВУ(4лсЬс(У))).

В необходимом условии этой теоремы Я* нельзя заменить на Я; соответствующий пример построен в теореме 8.6.

I. Отображения ограниченной обобщенной вариации в этой главе развивается теория отображ;ений ограниченной обобщенной вариации одной вещественной переменной со значениями в метрическом пространстве в той степени, в которой она требуется для задач многозначного анализа, а таклЛе напоминаются некоторые известные результаты.

1. Александров А. Д. Внутреняя геометрия выпуклых поверхностей. M., Л.: Гос. Изд-во Тех.-Теор. Лит., l948.2. антосик П. Исследование непрерывности функции многих переменных. Annales Soc. Math. Polon., Ser. I: Comment. Math., 1G,l966), l0l-l04.

2. Барбашин E.A., Алимов Ю. И. К теории релейных дифференциальных уравнений. Изв. ВУЗов. Матем., № 1 (1962), з-1з.

3. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961.

4. Богатырев A.B. Непрерывные ветви многозначных отображений с невыпуклой правой частью. Матем. сборник, 12G, № 31983), 344-353.

5. Борисович Ю . Г . , Гельmaн Б . Д . , Mb^^C А. Д. , Обухов-ский в. В. Многозначные отображения. В кн: Итоги Науки и Техники, Матем. анализ. M.: ВИНИТИ, Т. 19, 1982, 127-230.

6. Бохнер С. Лекции об интегралах Фурье. M.: Физматгиз, 1962. -360 с.

7. Бузеmaн Г. Геометрия геодезических. M.: Гос. Изд-во Физ.-Мат. Лит., 1962. 503 с.

8. Бурбаки Н. Функции действительного переменного. Элементарная теория. М. : Наука, 1965. 424 с.И. витушкин А. Г. О многомерных вариациях. М.: Гостехиздат, 1955.

9. Водопьянов С. К. 'P-differentiability on Carnot groups in different topologies and related topics. Труды no анализу и геометрии (Ред. С.К.Водопьянов). Новосибирск: Изд-во Ин-та математики им. с. Л. Соболева СО РАН, 2000, 603-670.

10. Водопьянов С. К. О дифференцируемости отображений классов Соболева на группе Карно. Докл. РАН 3S1 iJA(2LOüi) i-S.

11. Гелбаум В., Олмстед ДЖ. Контрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967. 252 с.

12. Данфорд Н., Шварц ДЖ. Линейные операторы. Общая теория, и.: ИЛ, 1962. 896 с.18. джусти Э. Минимальные поверхности и функции ограниченной вариации. М.: Мир, 1989. 240 с.

13. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964. -432 с.

14. Дэй М. М. Нормированные линейные пространства. М.: ИЛ, 1961. 233 с.

15. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. В 2-х томах. М.: Мир, 1965. 616 с, 538 с.

16. Иванов Л. Д. Вариации множеств и функций. М.: Наука, 1975. 352 с.

17. ИосиДА К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624 с.

18. Камке Э. Интеграл Лебега-Стилтьеса. М.: Физматгиз, 1959.328 С.

19. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 3-е изд., 1984. 752 с.26. киндерлерер Д ., стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. М.: Мир, 1983. 256 с,

20. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 6-е изд., 1989. 624 с.

21. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956.29. красносельский М. А., Покровский А. В. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983. 272 с.

22. Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматгиз, 1958. 272 с.

23. КуратовскиЙ К. Топология. I, II. М.: Мир, 1966, 1969. 595 с, 624 с.

24. Левин В. Л. Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций и его применения в математике и экономике. М.: Наука, 1985. 352 с.

25. Леонов А. С. О функциях ограниченной обобщенной вариации. Доклады АН СССР, 249, 4 (1979), 787-789.

26. Леонов А. С. Функции нескольких переменных с ограниченной вариацией в некорректных задачах. Журн. вычисл. мат. и машем, физ., 36, № 9 (1996), 35-49.

27. Леонов А. С. Замечания о полной вариации функций нескольких переменных и многомерном аналоге принципа выбора Хелли. Матем. заметки, 63, 1 (1998), 69-80.

28. Леонов А. С. О многомерных некорректных задачах с разрывными решениями. Сиб. мат. ote., 39, 1 (1998), 74-86.

29. Ли Э. Б., МАРКУС Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 575 с.

30. МЕДВЕДЕВ ЮТ. Обобщение одной теоремы Ф. Рисса. Успехи матем. наук, 8, № 6 (1953), 1 15-1 18.

31. МОИСЕЕВ ЕВ. Метрические пространства с дополнительной структурой и селекции отображений. Изв. ВУЗов. Матем., № 6 (1995), 51-64.

32. МОРДУХОВИЧ Б. Ш. Методы аппроксимации в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1988. 3 60 с.

33. НАДИРАШВИЛИ Н. С. Принцип выбора Хелли для функций двух переменных. Вестник МГУ, Сер. I, Мат., Мех., 3, (1975), 3-10.

34. НАТАНСОН И. П. Теория функции вещественной переменной. М.: Наука, 3-е изд., 1974. 480 с.

35. НЕМЫЦКИЙ В. В. Теоремы существования и единственности для нелинейных интегральных уравнений. Матем. сборник, 41, Лл 3 (1934), 438-452.

36. НЕМЫЦКИЙ В. В. Метод неподвижных точек в анализе. Успехи матем. наук, 1, (1936), 141-174.

37. ОВЕН Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. М.: Мир, 1988. 264 с.

38. ОВЕН Ж.-П., ЭКЛАНД И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988. 512 с.

39. О ЧАН Ю. С. Сборник задач по математическому анализу. М.: Просвещение, 1981. 272 с.

40. Реповш Д., Семенов П. В. Теория Э.Майкла непрерывных селекции. Развитие и приложения. Успехи матем. наук, 54,б (1994), 49-80.

41. Решетняк Ю. Г. Соболевские классы функций со значениями в метрическом пространстве. Сиб. мат. ж., 38, JV^ 3 (1997), 657675.

42. Рисе Ф., СЁКЕФальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. 587 с.

43. Сакс С. Теория интеграла. М.: изд-во ИЛ, 1949. 495 с.

44. Севастьянов Е. А. Кусочно монотонная аппроксимация и Ф-вариации. Analysis Math., 1, лл 2 (1975), 141-164.

45. Семенов П. В. Теоремы о неподвижной точке при контролируемом отказе от выпуклости значений многозначного отображения. Матем. сборник, 189, № 3 (1998), 141-160.

46. Силин Д. Б. О полном изменении оптимального управления в линейных системах. Матем. заметки, 31, № 5 (1982), 761-772.

47. Тим АН Т. А, О продолжении непрерывных по Гель деру функций. Локл. АН СССР, 162, Лл 5 (1965), 1009-1010.58. толстоногов А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. Новосибирск: Наука, 1986.

48. Толстоногов А. А. Непрерывные селекторы многозначных отображений с невыпуклыми, незамкнутыми разложимыми значениями. Матем. сборник, 187, 5 (1996), 121-142.

49. Федерер г. Геометрическая теория меры. М.: Наука, 1987. -760 с.

50. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью. Вестник МГУ,Сер. I, Мат., Мех., 22, № 3 (1967), 16-26.

51. Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление. Труды матем. ин-та АН СССР, 169, (1985),194.252.

52. Филиппов в. В. Пространства решении обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во МГУ, 1993. 336 с.

53. Чистяков В. В. Вариация. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та, 1992. 100 с.

54. Чобан M . M . Многозначные отображения и борелевские множества. Докл. АН СССР, 182, (1968), 514-517.

55. Чобан М. М. Многозначные отображения и борелевские множества. I, II. Труды Моск. Матем. об-ва, 22, (1970), 229-250, 277301.

56. Чобан М. М. Общие теоремы о селекциях и их приложения. Сердика Матем., 4, (1978), 74-90.

57. Шварц Л. Анализ. Т. 1. М.: Мир, 1972. 824 с.

58. Шварцман П. А. Липшицевы сечения многозначных отображений и следы функций из класса Зигмунда на произвольном компакте. Докл. АН СССР, 276, № 3 (1984), 559-562.

59. Шилов Г. Е., Гуревич б. Л. Интеграл, мера и производная {общая теория). М.: Наука, 1967. 220 с.

60. ШРАГИН и. В . Суперпозиционная измеримость. Докл. АН СССР, 197, № 2 (1971), 295-298.

61. ЭДВАРДС Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969. 1072 с.

62. ЭдВАРДС Р. Ряды Фурье в современном изложении. В 2-х томах. М.: Мир, 1985. 262 с, 400 с.75. adams С. R. and clarkson J. А. On the definitions of bounded variation for functions of two variables. Trans. Amer. Math. Soc, 35, Ш 4 (1933), 824-854.

63. ADAMS C. R. and clarkson J. A. Properties of functions f(x,y) of bounded variation. Trans. Amer. Math. Soc, 36, W 4 (1934), 711-730.

64. ADAMS R. A. Sobolev Spaces. Pure and Appl. Math. Series, Vol. 65, Academic Press, New York, 1975. 268 pp.78. ambrosio l, Metric space valued functions of bounded variation. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. (4), 17, XA 3 (1990), 439-478.

65. AMBROSIO L. Geometric measure theory and applications to the calculus of variations. Scuola Normale Superiore, Pisa, 1999. 64 pp.

66. BRUCKNER A. M. Differentiation of Real Functions. OMR Monograph Series, Vol. 5, American Math. Soc, 1994. 195 pp.

67. BRUNE AU M . Variation Totale d'une Fonction. Lecture Notes in Math., Vol. 413, Springer-Verlag, 1974.

68. CASTAING CH. Sur les multi-apphcations measurables. Revue Français Informat. Recherche Opérationnelle, 1, (1967), 91-126.

69. CASTAING C . and MoNTEiRO MARQUES M. D. P. BV periodic solutions of an evolution problem associated with continuous moving convex sets. Set-Valued Analysis,, 3 № 4 (1995), 381-399.

70. CHISTYAKOV V. V. and GALKIN O. E. Mappings of bounded variation with arbitrary function J. Dynam. Control Systems, 4, № 2 (1998), 217-247.

71. CiEMNOCzoLowsKi J., MATUSZEWSKA W., and Orlicz W. Some properties of functions of bounded (A-variation and of bounded ^-variation in the sense of Wiener. Bull Polish Acad. Sei. Math., 35, 3-4 (1987), 185-194.

72. CIEMNOCZOLOWSKI J. and Orlicz W . Inclusion theorems for classes of functions of generahzed bounded variations. Comment. Math. Prace Mat, 24, (1984), 181-194.

73. Ciemnoczolowski J. and Orlicz W . Functions of bounded (A-variation and some related operators. Demonstratio Math., 18, (1985), 23 1-25 1.

74. Ciemnoczolowski J. and Orlicz W . Composing functions of bounded (A-variation. Proc. Amer. Math. Soc, 96, № 3 (1986), 43 1-43 6.

75. D E BLASI F. S. On the differentiabihty of muhifunctions. Pacific J. Math., 66,aa5 1 (1976), 67-8 1.

76. Deimling K . Nonlinear'Functional Analysis. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1985. 450 pp.106. dencheva D . Differentiable selections and Castaing representations of muhifunctions. J. Math. Anal Appl, 223, (1998), 371-396.

77. DoMMISCH G. On the existence of Lipschitz-continuous and differentiable selections for multifunctions. In: "Parametric Optimization andRelated Topics, Math. Res." (J. Guddat et al., Eds.), Vol. 35, pp. 60-73, Akademie-Verlag, 1987.

78. DUDA R. On convex metric spaces. III. Fund. Math., 51, (1962/1963), 23-33.109. eifer Z . Set-valued Jensen functional equation. Rev. Roumaine Math. Pures Appl, 31, № 4 (1986), 297-302.

79. GoFFMAN C, NiSHiURA T., and Waterman D. Homeomorphisms in Analysis. Math. Surveys and Monographs, Vol. 54, American Mathematical Society, 1997. 216 pp.

80. Graf S. A measurable selection theorem for compact-valued maps. Manuscripta Math., 27, (1979), 341-352.

81. HERDA H.-H. Modular spaces of generalized variation. Studia Math., 30, (1968), 21-42.

82. Hermes H. Existence and properties of solutions of i 6 R{t,x). Stud. Appl. Math., 5, (1969), 188-193.

83. Hermes H. On continuous and measurable selections and the existence of solutions of generahzed differential equations. Proc. Amer. Math. Soc, 29, № 3 (1971), 535-542.

84. HILDEBRANDT T. H. Introduction to the Theory of Integration. Academic Press, New York and London, 1963. 385 pp.

85. KACZYNSKI H . and olech C . Existence of solutions of orienter fields with non-convex right-hand side. Ann. Polon. Math., 29, 1 (1974), 61-66.

86. KiKUCHI N. and tomita Y . On the absolute continuity of muhi-functions and orientor fields. Funkcial. Ekvac, 14, }{A- 3 (1971), 161-170.

87. KiRSZBRAUN M. D. Uber die zusammenziehenden und Lipschitzschen Transformationen. Fund. Math., 22, (1934), 77-108.

88. KoMURA Y. Nonlinear semigroups in Hilbert spaces. J. Math. Soc. Japan, 19, (1967), 493-507.133. kuczma M. Functional Equations in a Single Variable. Monografie Mat. Vol. 46, Warszawa, 1968.

89. KucZMA M. An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities. Cauchy's Equation and Jensen's Inequality. Panstwowe Wydawnictwo Naukowe and Uniwersytet Sl§ski, Warszawa-Krakow-Ka-towice, 1985. 523 pp.

90. LOJASIEWICZ S. An Introduction to the Theory of Real Functions. John Wiley k Sons, Chichester, New York, etc., 1988. 230 pp.

91. Luxemburg W.A.J. Banach function spaces. Thesis. Technische Hogeschool te Delft, The Netherlands, 1955.143. magerl G. A unified approach to measurable and continuous selections. Trans. Amer. Math. Soc, 245, (1978), 443-452.

92. Maligrand a L. Orlicz Spaces and Interpolation. Seminars in Math., Vol. 5, Univ. of Campinas, IMECC-UNICAMP, Brasil, 1989. 206 pp.

93. Mali grand a L . and orlicz W . On some properties of functions of generalized variation. Monatsh. Math., 104, (1987), 53-65.

94. MusiELAK J. and ORLICZ W . On generalized variations. I. Studia Math., 18, (1959), 11-41.168. nADLER S. B . Multi-valued contraction mappings. Pacific J. Math., 30, № 2 (1969), 475-488.169. nAKANO H . Modulared semi-ordered spaces. Tokyo, 1955.

95. NiKODEM K. K-convex and K-concave set-valued functions. Zeszyty Nauk. Politech. Lodz. Mat. Vol. 559, Rozprawy Naukowe 114, Lodz, 1989. 75 pp.

96. ORLICZ W . A note on modular spaces. I. Bull. Acad. Polon. Sei. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys., 9, (1961), 157-162.

97. ORLICZ W. Collected Papers. Parts I and II. PWN-Pohsh Scientific Pubhshers, Warszawa, 1988. 1688 pp.

98. PiCONE M. Sulla variazione totale di una funzione métrica. Rend. Sem. Mat. Fis. Milano, 30, (1960), 59-92.

99. QUI Z. Single-valued representation of absolutely continuous set-valued mappings. Kexue Tongbao, 31, № 7 (1986), 443-446.

100. RÂDSTROM H. An embedding theorem for spaces of convex sets. Proc. Amer. Math. Soc., 3, A 1 (1952), 165-169.

101. RAO M. M. Measure Theory and Integration. John Wiley and Sons, New York etc., 1987. 540 pp.

102. REPOVS D . and sEMENOV P. V. Continuous Selections of Multivalued Mappings. Math. Appl. Vol. 455, Kluwer, Dordrecht, The Netherlands, 1998.

103. RIESZ F . Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen. Ann. Math., 69, (1910), 449-497.

104. ROCKAFELLAR R. T. Proto-differentiabihty of set-valued mappings and its application in optimization. Ann. Inst. H. Romearé Anal. Non Linéaire, 6, (1989), 449-482.

105. Rybinski L . Multivalued contraction with parameter. Ann. Polon. Math., 45, (1985), 275-282.

106. SMAJDOR A. Additive selections of superadditive set-valued functions.Aequationes Math., 39, 2/3 (1990), 121-128.

107. SMAJDOR A. and SMAJDOR W . Jensen equation and Nemytskn operator for set-valued functions. Rad. Mat., 5, (1989), 311-320.

108. SMAJDOR A. and smajdor W . Affine selections of convex set-valued functions. Aequationes Math., 51, (1996), 12-20.

109. Smajdor W . Local set-valued solutions of the Jensen and Pexider functional equations. Publ. Math. Debrecen, 43, 3-4 (1993), 255-263.

110. Smajdor W . Note on Jensen and Pexider functional equations. Demonstratio Math., 32, A5 2 (1999), 363-376.

111. SziGETI F. Necessary conditions for certain Sobol'ev spaces. Acta Math. Hungar., 47, 3-4 (1986), 387-390.