Включения с сюръективными операторами и их приложения

Завьялова, Антонина Владимировна

Включения с сюръективными операторами и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Завьялова, Антонина Владимировна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Включения с сюръективными операторами и их приложения»

Автореферат диссертации на тему "Включения с сюръективными операторами и их приложения"

На правах рукописи

сй*/^

Завьялова Антонина Владимировна

ВКЛЮЧЕНИЯ С СЮРЪЕКТИВНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный

анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

13 ПАР 2014

005545793

Воронеж - 2014

005545793

Работа выполнена в Воронежском государственном педагогическом университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент Гельман Борис Данилович. Официальные оппоненты: Арутюнов Арам Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, Российский университет дружбы народов, кафедра нелинейного анализа и оптимизации, заведующий кафедрой; Семенов Михаил Евгеньевич,

доктор физико-математических наук, профессор, Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил "Военно-воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина", кафедра теоретической гидрометеорологии, профессор. Ведущая организация: Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина.

Защита состоится " 15" апреля 2014 года в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д212.038.22 при ВФГБОУ ВПО "Воронежский государственный университет" по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл. 1, ауд. 335.

С диссертации можно ознакомится в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан февраля 2014 года. Ученый секретарь диссертационного совета Гликлих Юрий Евгеньевич

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В конце XX века многозначный анализ и теория дифференциальных включений начали бурно развиваться в связи с развитием теории оптимального управления, теории игр, негладкого анализа и других разделов современной математики.

Исследование различных классов нелинейных задач, построение и изу^ чение разрешимости адекватных им классов операторных уравнений и включений традиционно включается в нелинейный функциональный анализ. При изучении вопросов, связанных с разрешимостью нелинейных уравнений и включений, важную роль играют качественные методы, в частности, теоремы о неподвижной точке.

Современная теория неподвижных точек вполне непрерывных многозначных отображений была построена на работах С. Какутани, С. Эй-ленберга и Д. Монтгормери, А. Гранаса, JI. Гурневича, А.Д. Мышкиса, Ю.Г. Борисовича, Б.Д. Гельмана, В.В. Обуховского и многих других.

Обобщением понятия неподвижной точки является решение операторного включения вида f(x) G F(x), где / - однозначное отображение, F -многозначное отображение.

В 1997 году появилась работа В. Ricceri, посвященная изучению уравнений вида А{х) = f(x), где А - линейный непрерывный сюръективный оператор, / - компактное однозначное отображение. В этой работе не только была доказана разрешимость таких уравнений, но и изучена топологическая размерность множества решений.

Результаты работы В. Ricceri были обобщены Б.Д. Гельманом. Он изучал уравнения в случае, когда А - замкнутый линейный оператор.

Настоящая работа посвящена изучению операторных включений вида А(х) € F(x), где А - линейный сюръективный оператор, F - многозначное отображение с выпуклыми компактными образами, действующими в банаховых пространствах.

В первой части изучаются операторные включения в случае, когда многозначное отображение F является вполне непрерывным. Полученные результаты применяются к изучению вырожденных дифференциальных включений вида Л(х') € F(t, х), где А - линейный сюръективный оператор, F - многозначное компактное отображение.

Вторая часть работы посвящена вопросам разрешимости операторных включений вида А(х) 6 F(x) в случае, когда многозначное отображение F является уплотняющим относительно оператора А.

Рассмотрению этих вопросов и посвящена данная работа.

Цель работы.

Целью данной работы является изучение разрешимости и свойств множества решений операторных включений, у которых главная часть является линейным сюръективным оператором и приложение полученных результатов к изучению разрешимости новых классов вырожденных дифференциальных включений и управляемых систем.

Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Отметим основные результаты:

1. Доказаны теоремы о разрешимости и размерности множества решений операторных включений, у которых главная часть является замкнутым линейным сюръективным оператором, а многозначное возмущение вполне непрерывно относительно этой главной части.

2. Рассмотрены приложения доказанных теорем к разрешимости вырожденных дифференциальных включений в банаховых пространствах, у которых вырождение задается замкнутым линейным сюръективным оператором.

3. Изучена проблема существования решений управляемых систем, заданных вырожденными дифференциальными уравнениями.

4. Доказаны теоремы о разрешимости и размерности множества решений операторных включений, у которых главная часть является непрерывным линейным сюръективным оператором, а многозначное возмущение является уплотняющим относительно главной части. Рассмотрены приложения полученных теорем для изучения одного класса вырожденных дифференциальных включений.

Методы исследования.

В работе использованы методы функционального анализа, теории многозначных отображений и дифференциальных включений.

Теоретическая и практическая ценность.

Данная работа носит теоретический характер. Представленные в ней результаты могут быть использованы при изучении новых классов операторных и дифференциальных включений, задач управления.

Апробация работы.

XXIII Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач"(Воронеж, 2012г.); на Международной научной конференции «Колмогоровские чтения - VI. Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2013); на научных конференциях в Воронежском государственном педагогическом университете. Результаты диссертации докладывались на семинаре проф. Обуховского В.В. (ВГПУ, 2013).

Публикации по теме диссертации.

Результаты диссертации опубликованы в 8 работах: [1] - [8]. Работы [1|, [2], [3] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. Из совместных опубликованных работ ¡1] -[3] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на пункты и подпункты, и списка литературы, содержащего 41 наименование. Объем работы составляет 84 страницы текста.

Краткое содержание диссертации.

Во введении дается краткий обзор литературы по теме диссертации и излагаются основные результаты.

Первая глава является вспомогательной, она содержит сведения из теории многозначных отображений и дифференциальных включений, необходимые в дальнейшем.

Вторая глава диссертации посвящена вопросам существования и

свойствам множества решений операторных включений вида

А(х) € F(x), (2.1)

где А - замкнутый линейный сюръективный оператор, F - многозначное компактное относительно оператора А возмущение. Рассматриваются приложения полученных теорем для изучения вырожденных дифференциальных включений и одного класса управляемых систем.

Результаты этой главы опубликованы в статьях [1], [4], [5] [6], [7],

В пункте 2.1 изучается разрешимость операторных включений и свойств множества решений включений вида А(х) £ F(x), где А(х) -замкнутый линейный оператор, F(x) - многозначное отображение.

Пусть Ei, Е2 - банаховы пространства, А : D(A) С Е\ Е2 - замкнутый линейный сюръективный оператор.

2.1.1 Определение. Число

IK'H = sup (*W(IM1 1 хеЕиА(х)=у}

УЧИ* |М|

называется нормой многозначного отображения А~1.

Известно, что при сделанных предположениях ||Л_1|| < оо.

Пусть X - подмножество пространства Ех, F : X Kv(E2) - многозначное отображение.

Рассмотрим следующее включение:

А(х) € F(x). (2.1)

Обозначим N(A,F) множество решений включения (2.1).

Пусть х0 6 D{A) С Ei некоторая точка, Вц\х0] замкнутый шар радиуса R с центром в х0, F : BR[x0] ->• Kv(E2) — вполне непрерывное многозначное отображение.

2.1.5 Теорема. Если существует такое число к > ||Л 1)|, что для любой точки х € Br{xq] справедливо неравенство

min Р(я:о) -и|| < т-

u6f|x) К

то множество N(A, F) -ф 0.

2.1.8 Следствие. Пусть вполне непрерывное многозначное отображение F : Е\ —> Kv(E2) удовлетворяет следующему условию: существуют неотрицательные числа cud такие, что для любого х € Ei справедливо неравенство:

max ||u|| < с||а;|| + d.

ueF(x)

Пусть размерность dim(Ker(A)) > 1. Если

С<\\А=Щ'

то множество N(A,F) / 0и неограничено.

В пункте 2.2 доказанные теоремы применяются к исследованию вопросов существования локальных решений задачи Коши для одного класса вырожденных дифференциальных включений.

Пусть А : D(A) С E¡ Е2 - линейный замкнутый сюръективный оператор, х0 <Е D(A), BR[x0] - замкнутый шар радиуса R с центром в точке х0. Пусть многозначное отображение F : [О, Т] х BR[x0] —> Kv(E2) вполне непрерывно.

Рассмотрим следующую задачу:

A(x')eF(t,x), (2.4)

Л(х(0)) = А(х0). (2-5)

2.2.1 Определение. Решением задачи (2.4), (2.5) на промежутке [0, /], где 0 < I <Т, называется абсолютно непрерывная функция х{1) такая, что А(х'(1)) £ Р(4,а:(г)) для п.в. Ь € [О, I), и Л(:с(0)) = Л(х0).

Обозначим ХХ^о, [0, /]) - множество решений задачи (2.4), (2.5) на промежутке [О,/].

2.2.2 Теорема. При сделанных предположениях найдется такое число 1о > 0, что £(*„, [0. /о]) Ф 0В пункте 2.3 теоремы, полученные в пунктах 2.1 и 2.2, применяются

к изучению топологической размерности множества локальных решений вырожденных дифференциальных включений.

2.3.9 Теорема. Пусть подпространство КегА является дополняемым в пространстве Если сИт(КегА) > 1, то существует такое число /о > 0, что

5>о, [0, /о]) ф 0 и сИт(^2(х0, [о, 10})) = оо.

Пункт 2.4 посвящен изучению управляемых систем, заданных вырожденными дифференциальными уравнениями.

В работе изучается сначала абстрактная модель управляемой системы.

Пусть Е\,Е2,Ез - банаховы пространства, А : И(А) С —> £г -замкнутый линейный сюръективный оператор, / : Е| х £3 £2 нелинейное отображение, удовлетворяющее следующим условиям:

(Л) / является вполне непрерывным отображением;

(/2) существуют положительные числа с\ и <1\ такие, что для любой точки (х, и) € Е\ х Ез справедливо неравенство:

1!/(х,«)||<С1(|И| + |Н|)+^;

(/з) при каждом фиксированном х е Е\ отображение

и = }{х, ■) : Е3 -> Е2

является аффинным отображением.

Пусть и : Е\ Кь.(Ез) - полунепрерывное сверху многозначное отображение, удовлетворяющее следующему условию: существуют положительные числа и <¿2 такие, что

тах ||и|| <с2||х||+<*2 (2.11)

иеи(х)

для любого х € Е\.

Изучается следующая задача:

А(х) = Пх,и), (2.12)

и € и(х). (2.13)

Задачу (2.12)-(2.13) будем называть задачей управления с обратной связью, а множество II(х) - множеством допустимых управлений для точки хеЕх.

Решением управляемой системы (2.12)-(2.13) будем называть пару (х,, и.) такую, что

А{х<) = (2.14)

и. е и(х,). (2.15)

Точку х» £ Е\ назовем траекторией управляемой системы, а и, € Ез - соответствующим управлением.

2.4.1 Теорема. Пусть отображение / удовлетворяет условиям (/1) — (/з), многозначное отображение Ь' - полунепрерывно сверху и удовле-

творяет условию (2.11). Тогда если

с\{1 +с2) <

ЦЛ-ЧГ

то множество решений управляемой системы (2.14) - (2.15) непусто.

Пусть Е\,Ез,Ез - банаховы пространства, А : Б(А) С Е\ -¥ Е2 -замкнутый линейный сюръективный оператор, д : [0,Т] х Ег х Е3 Е2 - нелинейное отображение, удовлетворяющее следующим условиям:

(91) 9 является вполне непрерывным;

(32) существуют непрерывные функции а и /?, определенные на промежутке [0,Т] такие, что для любой точки {Ь,х,и) € [0,Т] х Е1 х Е3 справедливо неравенство

(Зз) при любых фиксированных * е [О, Г] и х € Е\ отображение д аффинно по и.

Пусть многозначное отображение и : Сдо.г), е,) ~> ед) - по-

лунепрерывно сверху и существуют числа сг и ¿2 такие, что справедливо неравенство:

(2.17)

тах||ы|| <с2||г||-Ы2

и€1/

ДЛЯ любого г е С([01Г1, £,)■

Пусть агц 6 О (А) - некоторая точка. Рассматривается следующая задача:

(2.18)

(АС)'(«)=А(<, 1(4), «(*)),

(2.19)

где

(2.20)

для любого £ € [О, Т],

Л(х0) = Ах0-

(2.21)

2.4.2 Теорема. Пусть отображение д удовлетворяет условиям (31) — (Зз), многозначное отображение II - полунепрерывно сверху и удовлетворяет оценке (2.18). Тогда если

то задача (2.19)-(2.21) имеет решение.

Третья глава диссертации посвящена изучению многозначных уплотняющих возмущений линейных непрерывных сюръективных операторов. В ней доказываются теоремы о существовании решений включений вида А(х) е .Г(х), где А - непрерывный линейный сюръективный оператор, а Р - уплотняющее многозначное возмущение А. Полученные теоремы применяются для доказательства существования локальных решений одного класса вырожденных включений в банаховом пространстве. Результаты этой главы опубликованы в [2], [3], [8].

В пункте 3.1 приведены некоторые свойства многозначных уплотняющих отображений. Даны определение ^-уплотняющего многозначного отображения и теорема о неподвижной точки для ■¡/'-уплотняющего многозначного отображения.

В пункте 3.2 этой главы даны определения (Л, т/))-уплотняющего многозначного отображения и Л-подчиненного оператора.

Пусть Е, Ео - банаховы пространства, А: Е Е0- ограниченный линейный оператор. Пусть в Ео задана монотонная, несингулярная, алгебраически полуаддитивная, вещественная, правильная мера некомпакт-

ности ip.

Рассматривается отображение трА : Р(Е) —>• R U оо, определенное следующим образом:

фА(П) = ф(А(П)).

Это отображение фл называется мерой некомпатпости индуцированной оператором А.

Пусть D(F) ограниченное подмножество в Е, А : Е Е0 - линейный непрерывный сюръективный оператор, F : D(F) KV(E0) - полунепрерывное сверху многозначное отображение.

3.2.1 Определение. Отображение F называется (А, ^-уплотняющим, если для любого множества Q С D(F) из неравенства

MF(Q)) > MQ)

вытекает равенство = 0.

3.2.3 Определение. Будем говорить, что оператор В подчинен оператору А, если для любого х € Е справедливо равенство

11/1(1)11 > пади.

В работе рассматриваются примеры (А, VO-уплотняющих многозначных отображений.

Пусть оператор В : Е —> Ei подчинен оператору А, множество X - ограниченное подмножество в Е. Пусть G : X х Е\ —► KV(E0) -многозначное полунепрерывное сверху отображение, удовлетворяющее следующим условиям:

1) существует такое число к £ (0,1), что для любой точки х € X и

любых yi, г/2 € Ei справедливо неравенство

h(G{x,yi),G{x>V2))<k\\yi-y2\\-,

2) для любого у 6 Е\ многозначное отображение G(-, у) : X —> KV{E<¡) является вполне непрерывным.

Рассмотрим отображение F : X KV(E0), F(x) = G(x, B(x)). Пусть в пространстве Ео задана мера некомпактности Хаусдорфа

3.2.7 Предложение. При сделанных предположениях многозначное отображение F является (А, х)-уплотняющим отображением.

В пункте 3.3 изучается разрешимость включений с (Л, -¡/^-уплотняющими многозначными отображениями.

Пусть А : Е —t Ео - ограниченный линейный сюръективный оператор. Пусть в Ео задана монотонная, несингулярная, алгебраически полуаддитивная, вещественная, правильная мера некомпактности ф. Пусть xq 6 Е - некоторая точка, Br[xq]- замкнутый шар радиуса R с центром в х0, F : Вц[х0] ->• Kv(Eq) - многозначное полунепрерывное сверху (А, ф)-угшотняющее отображение.

Рассмотрим включение

А(х) € F(x), (3.5)

N(A, F) - множество решений этого включения.

3.3.1 Теорема. Если существует такое число к > ||Л-1||, что для любой точки х € Br[xq] справедливо неравенство

min |И(хо) - «Il < ~Ti

ueF{x) к

то N(A, F) ф 0.

В пункте 3.4 теорема 3.3.1 применяется для доказательства теоремы о существовании локальных решений у одного нового класса вырожденных включений в банаховом пространстве.

Публикации автора по теме диссертации.

[1] Завьялова A.B. Об одном классе вырожденных дифференциальных включений/Б.Д. Гельман, A.B. Завьялова// Вестник ВГУ, Серия: Физика. Математика. - 2013. - № 1 - С.136-145.

[2] Завьялова A.B. Об уплотняющих многозначных возмущениях линейных сюръективных операторов /В.Д. Гельман, A.B. Завьялова// Вестник ВГУ, Серия: Физика. Математика. - 2013. - № 2 - С.148-161.

[3] Завьялова A.B. Об одном классе вырожденных дифференциальных включений/В.Д. Гельман, A.B. Завьялова// Вестник Тамбовского Университета, Серия: Естественные и технические науки. - 2013. - Т. 18, Вып. 5 - С.2481-2483.

[4] Завьялова A.B. Об одной теореме о неподвижной точке для многозначных отображений с некомпактными образами/А.В. Завьялова// Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы ВЗМШ. - Воронеж: Изд. ВГУ. - 2011. - С.139-140.

[5] Завьялова A.B. О локальных решениях одного класса вырожденных дифференциальных включений/А.В. Завьялова// Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2012: материалы международной конференции/ под ред. В.А. Костина. - Воронеж: Изд. ВГУ. - 2012. - С.67-68.

[6] Завьялова A.B. О задаче Коши для одного класса вырожденных дифференциальных включений/А.В. Завьялова// Современные методы

теории краевых задач: материалы ВВМШ "Понтрягинские чтения-ХХШ" - Воронеж: Изд. ВГУ. - 2012. - С.68-69.

[7] Завьялова A.B. Вырожденные дифференциальные включения с сюръективными операторами/А.В. Завьялова// Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПМТУММ-2012): материалы V Международной конференции Воронеж, 11-16 сентября 2012г. -Воронеж: Изд. ВГУ. - 2012. - С. 130-132.

[8] Завьялова A.B. Об уравнениях с (А, с) - уплотняющими отображениями / A.B. Завьялова // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы ВЗМШ 2013. - Воронеж: Изд. ВГУ. - 2013. -С.92-93.

Работы [1|, |2], [3] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Подписано в печать 12.02.2014. Формат 60х84'/,6. Печать трафаретная. Гарнитура «Тайме». Усл. печ. л. 1. Уч.-изд. л. 0,93. Заказ 41. Тираж 100 экз.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Воронежский государственный педагогический университет» Отпечатано в типографии университета. 394043, г. Воронеж, ул. Ленина, 86.

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Завьялова, Антонина Владимировна, Воронеж

04201456933

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЗАВЬЯЛОВА АНТОНИНА ВЛАДИМИРОВНА

ВКЛЮЧЕНИЯ С СЮРЪЕКТИВНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

доцент Гельман Б.Д.

Воронеж - 2013

Содержание

Основные обозначения 4

Введение 6

1 Основные понятия теории многозначных отображений 25

1.1 Основные обозначения и определения........................25

1.2 Метрика Хаусдорфа. Липшицевы отображения..............27

1.3 Непрерывные сечения и аппроксимации......................28

1.4 Теоремы о неподвижных точках многозначных отображений 29

1.5 Измеримые многозначные функции. Многозначный оператор суперпозиции................................................30

1.6 Дифференциальные включения................................33

2 Вполне непрерывные многозначные возмущения линейных сюръективных операторов 35

2.1 Включения с сюръективными операторами..................35

2.2 Существование локальных решений задачи Коши для одного класса вырожденных дифференциальных включений 43

2.3 Топологическая размерность множества решений задачи Коши для вырожденных дифференциальных включений . 46

2.3.1 Топологическая размерность dim......................46

2.3.2 Топологическая размерность множества решений операторных включений....................................48

2.3.3 Топологическая размерность множества XX^ojO' (I) 50

2.4 Об одном классе управляемых систем, заданных вырожденными дифференциальными уравнениями................54

2.4.1 Об одной абстрактной управляемой системе .... 54

2.4.2 Об управляемой системе, заданной вырожденным дифференциальным уравнением........... 57

3 Уплотняющие многозначные возмущения линейных сюръ-ективных операторов 60

3.1 Некоторые свойства многозначных уплотняющих отображений .............................. 60

3.2 Мера некомпактности индуцированная непрерывным линейным оператором и многозначные уплотняющие возмущения .............................. 61

3.3 Включения с (Л, ^-уплотняющими отображениями .... 67

3.4 Об одном классе вырожденных дифференциальных включений .............................. 70

Список литературы 79

Основные обозначения

Будем использовать следующие обозначения: Е, Ео, Е\, Е2, - банаховы пространства; Мп - множество вещественных чисел;

С[а,ь] - пространство непрерывных вектор-функций, определенных на отрезке [а, Ъ} со значениями в банаховом пространстве Е. Пусть У подмножество банахова пространства Е, тогда: Р(У) - множество всех непустых подмножеств в У; С(У) - множество всех непустых замкнутых подмножеств в У; К (У) - множество всех непустых компактных подмножеств в У\ Ку(У) - множество непустых выпуклых компактных подмножеств пространства У;

Су(У) - множество непустых выпуклых замкнутых подмножеств пространства У.

Если хо ЕЕ- некоторая точка, то Вц[хо\ ~ замкнутый шар радиуса Я с центром в хо, а 11в[хо] - открытый шар радиуса Я с центром в яо-Многозначные отображения в диссертации обозначаются заглавными буквами Р, (2, Р, <5, Ф, Ф, а прописными буквами /, д, V, ял, ф, <р однозначные отображения. Будем обозначать:

-Р+^У) - малый прообраз множества У;

^х(Р) = {(%, г) | ^ € Е(х), х € X} С X х У - график многозначного отображения Р : X —> Р(У).

ПхЕ - множество неподвижных точек многозначного отображения Р1; Если Г2 - подмножество нормированного пространства Е} то : со(£1) - выпуклая оболочка множества О;

Q - замыкание множества Q;

co(Q) - замыкание выпуклой оболочки множества Q. Заглавными буквами А, В в работе обычно обозначаются линейные операторы.

Также будем обозначать:

D{A) - область определения линейного оператора А;

Ker(A) = {х G D(A) | А(х) = 0} - ядро оператора А.

Если X - метрическое пространство, множества А, В С X, то:

р*(А, В) = sup р(а, В) - полуотклонение множества А от множества В\

а€А

h{A, В) = тах{р*(А, В)\ р*(В, А)} - метрика Хаусдорфа. Будем также использовать следующие обозначения: dim(A) - топологическая размерность множества А; ф(£1) - монотонная, несингулярная, алгебраически полуаддитивная, вещественная, правильная мера некомпактности; х(О) - мера некомпактности Хаусдорфа; a(fi) - мера некомпактности Куратовского.

Введение

Исследование различных классов нелинейных задач, построение и изучение разрешимости адекватных им классов операторных уравнений и включений традиционно включается в нелинейный функциональный анализ. При изучении вопросов, связанных с разрешимостью нелинейных уравнений и включений, важную роль играют качественные методы, в частности, теоремы о неподвижной точке.

Современная теория неподвижных точек вполне непрерывных многозначных отображений была построена на работах С. Какутани [38], С. Эйленберга и Д. Монтгормери [32], А. Гранаса [36], Л. Гурневича [37], А.Д. Мышкиса, Ю.Г. Борисовича, Б.Д. Гельмана, В.В. Обуховского [5] и многих других.

Обобщением понятия неподвижной точки является решение операторного включения вида /(х) £ Р(х), где /(х) - однозначное отображение, Р(х) - многозначное отображение.

В 1997 году появилась работа В. Шссеп [41], посвященная изучению уравнений вида А(х) = /(х), где А - линейный непрерывный сюръектив-ный оператор, / - компактное однозначное отображение. В этой работе не только была доказана разрешимость таких уравнений, но и изучена топологическая размерность множества решений.

Результаты работы В. Шссеп были обобщены Б.Д. Гельманом в работе [10]. В дальнейшем Б.Д. Гельман изучал уравнения и включения

в случае, когда А является замкнутым линейным оператором. В своих работах Б.Д. Гельман рассматривал липшицевы и вполне непрерывные возмущения замкнутых линейных операторов и приложения полученных теорем к проблеме разрешимости операторных уравнений и включений (см., например [13], [15], [17], [14] и др.)

Настоящая работа посвящена изучению операторных включений вида А(х) е где А - линейный сюръективный оператор, Р - многозначное отображение с выпуклыми компактными образами, действующими в банаховых пространствах.

В первой части изучаются операторные включения в случае, когда многозначное отображение Р является вполне непрерывным. Полученные результаты применяются к изучению вырожденных дифференциальных включений вида А(х') 6 х), где А - линейный сюръективный оператор, .Р - многозначное компактное отображение. В настоящее время существует много статей и монографий, посвященных вырожденным дифференциальным уравнениям. Появились работы, изучающие задачу Коши для вырожденных дифференциальных включений (см., например [31], [40], [17] и др.) Изучение данного класса дифференциальных включений требует совершенно новый подход к изучению разрешимости и свойств множества решений операторных включений вида А(х) Е Р(х), где А - замкнутый линейный оператор, .Р - многозначное отображение, отличных от тех, которые рассматривались в работах Б.Д. Гельмана (см., например, [17]).

Вторая часть работы посвящена вопросам разрешимости операторных включений вида А(х) Е Р{х) в случае, когда многозначное отображение Р является уплотняющим относительно оператора А,

Теория уплотняющих отображений (как однозначных [2], так и мно-

гозначных [39]) находит многочисленные приложения в различных задачах современной математики. Уплотняющие отображения - это такие отображения, свойства которых можно охарактеризовать как промежуточные между свойствами сжимающих и вполне непрерывных отображений.

Рассмотрению этих вопросов и посвящена данная работа.

Цель работы.

Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Отметим основные результаты:

ние является уплотняющим относительно главной части. Рассмотрены приложения полученных теорем для изучения одного класса вырожденных дифференциальных включений.

Методы исследования.

Теоретическая и практическая ценность.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались на международных научных конференциях "Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (Воронеж, ПМТУММ-2012)"; "Воронежская зимняя школа С.Г. Крейна - 2012"; на Воронежских зимних математических школах (ВЗМШ-2011, ВЗМШ-2013)"; на XXIII Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач11 (Воронеж, 2012г.); на Международной научной конференции «Колмогоровские чтения - VI. Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2013); на научных конференциях в Воронежском государственном педагогическом университете. Результаты диссертации докладывались на семинаре проф. Обуховского В.В. (ВГПУ, 2013).

Публикации по теме диссертации.

Результаты диссертации опубликованы в 8 работах [19], [20], [21], [24] - [28]. Работы [19], [20], [21] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Ми-

нобрнауки РФ. Из совместных опубликованных работ [19], [20], [21] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Структура и объем диссертации.

Краткое содержание диссертации.

Во введении дается краткий обзор литературы по теме диссертации и излагаются основные результаты.

Первая глава является вспомогательной, она содержит сведения из теории многозначных отображений, необходимые в дальнейшем.

В пункте 1.1 приводятся определения полунепрерывности сверху и снизу многозначных отображений и рассматриваются некоторые их свойства. Приводится так же определение непрерывного многозначного отображения.

В пункте 1.2 даются определения полуотклонения множеств, метрики Хаусдорфа и сжимающего отображения.

В пункте 1.3. приводятся определение непрерывного сечения многозначного отображения и приводится теорема Майкла о непрерывном сечении.

В пункте 1.4. дается определение вполне непрерывного многозначного отображения и коротко сформулированы основные теоремы о неподвижной точке: теорема Какутани и некоторые следствия из нее.

В пункте 1.5 излагаются необходимые сведения из теории многозначных измеримых отображений. В нем даются определения измеримого и сильно измеримого сечения многозначного отображения, представления Кастена, многозначного оператора суперпозиции, интегрального много-

значного оператора и др. Приводятся теоремы об измеримости многозначного отображения, о суперпозиционной селектируемости многозначного отображения, о замкнутости интегрального многозначного оператора. В этом же пункте дается формулировка теоремы Скорца-Драгони.

1.5.10 Теорема (Скорца-Драгони). Пусть Ео, Е - сепарабелъные банаховы пространства и многозначное отображение Е : / х Ео —> К(Е) удовлетворяет условиям Каратеодори. Тогда для любого 5 > О существует замкнутое подмножество С I, такое, что < 5,

и сужение Е на 1$ х Ео непрерывно.

В пункте 1.6 этой главы рассматривается задача Коши для дифференциального включения.

Рассмотрим задачу Коши:

где Е : I х Дд[0] —> КУ(Е) - вполне непрерывное многозначное отображение, / = [¿о,71 - некоторый интервал вещественной прямой, снабженный мерой Лебега.

1.6.1 Определение. Решением задачи Коши (1.1)-(1.2) на некотором промежутке [¿о? т], ¿о < т <Т называется абсолютно непрерывная функция х : [¿о,т] —> Вц[0], удовлетворяющая начальному условию (1.2) и включению (1.1) почти в каждой точке промежутка [¿о, т].

Приводятся теоремы о существовании локального решения задачи Коши.

1.6.2 Теорема. Функция х : [¿о, т] —> Е, является решением задачи (1.1)-(1.2) тогда и только тогда, когда она является неподвижной

х'(г) е Е(ь,х(г)) х (¿о) = яо>

(1.1) (1.2)

точкой многозначного оператора

^ = + Р*1-

1.6.3 Теорема. Пусть Р : [¿о,Т] х Вц[хо] -> К^Е) - вполне непрерывное многозначное отображение, тогда существует число 0 < 1о < Т — ¿о такое, что задача (1.1)-(1.2) имеет решение на промежутке [¿о, ¿о + ¿о]-

Вторая глава диссертации посвящена вопросам существования и свойствам множества решений операторных включений вида

А{х) <Е Е(х), (2.1)

где А - замкнутый линейный сюръективный оператор, Р - многозначное компактное относительно оператора А возмущение. Рассматриваются приложения полученных теорем для изучения вырожденных дифференциальных включений и одного класса управляемых систем.

Результаты этой главы опубликованы в статьях [19], [24], [25], [26], [27].

В пункте 2.1 изучается разрешимость операторных включений и свойств множества решений включений вида А{х) € где А(х) -

замкнутый линейный оператор, Е(х) - многозначное отображение.

Пусть Е\,Е2 - банаховы пространства, А : Ю(А) С Е\ —> Е2 - замкнутый линейный сюръективный оператор, В (А) - область определения оператора А. Тогда определено многозначное отображение

А'1 : Е2 Су(Ег), 12

где Cv(E{) - множество непустых замкнутых выпуклых подмножеств пространства Е\.

2.1.1 Определение. Число

II А-1\\_ tinf{\\x\\ I X Е Ei,A(x) К1 — SUP I ¡TTTi '

У£Е2 IMI

называется нормой многозначного отображения А-1.

Известно, что при сделанных предположениях НА"1]! < оо. Пусть X - подмножество пространства Е\, F : X —>• Kv(E2) - многозначное отображение.

Рассмотрим следующее включение:

А{х) G F{x). (2.1)

Обозначим N(A,F) множество решений включения (2.1).

Пусть xq € D{A) С Е\ некоторая точка, Br[xо] замкнутый шар радиуса R с центром bio, Е : Вц[х о] —> Kv(E2) — вполне непрерывное многозначное отображение.

2.1.5 Теорема. Если существует такое число к > ||Л-1||, что для любой точки х G Вд[хо] справедливо неравенство

min ||Л(х0) -и\\ < т,

u£F(x) к

то множество N(A, F) ф 0.

2.1.6 Следствие. Пусть вполне непрерывное многозначное отображение F : Е\ —» Kv(E2) удовлетворяет следующему условию: существуют неотрицательные числа cud такие, что для любого х £ Е\ справедливо неравенство:

min |М| <c||x|| + d.

ueF{x)

Если с < ||л11|р то множество N(A,F) ф 0.

2.1.8 Следствие. Пусть вполне непрерывное многозначное отображение F : Е\ —>■ Kv{E<i) удовлетворяет следующему условию: существуют неотрицательные числа cud такие, что для любого х G Е\ справедливо неравенство:

max ||и|| < с||х|| + d.

u£F(x)

Пусть размерность dim(Ker(A)) > 1. Если

с< Р_11Г

то множество N(A, F) ф 0 и неограничено.

2.1.9 Следствие. Пусть отображения А и F удовлетворяют условиям следствия 2.1.6, тогда многозначное отображение Ф = А + F является сюръективным, т. е для любой точки у Е Е2 множество

Ф_1Ы = {xZEl\ Ф(ж) Э у} Ф 0.

Пусть Е\, Е2 - банаховы пространства, А : D(A) С Ei —> Е2 - линейный замкнутый сюръективный оператор с областью определения D{A).

Пусть xq 6 D(A), Br[x0] - замкнутый шар радиуса R с центром в точке хо. Пусть многозначное отображение F : [0, Т]хВц[х о] —> Kv(E2) вполне непрерывно по совокупности переменных. Рассмотрим следующую задачу:

A(x')eF(t,x), (2.4)

А(х(0)) = А(х0). (2.5)

2.2.1 Определение. Решением задачи (2.4), (2.5) на промежутке [0,1], где 0 < I < Т, называется абсолютно непрерывная функция x(t) такая, что A(x'(t)) 6 F(t,x(t)) для почти всех t £ [0,/], и Л(ж(0)) = А(х0).

Обозначим ХХ^сь [0, /]) - множество решений задачи (2.4), (2.5) на промежутке [0,/]. Имеет место следующая теорема.

2.2.2 Теорема. При сделанных предположениях найдется такое число /о > 0; что ^(яо? [0, ¿о]) Ф 0В пункте 2.3 теоремы, полученные в пунктах 2.1 и 2.2, применяются

Пусть банахово пространство Е представляется в виде прямого �