Об операторных уравнениях с сюръективными квазиобратимыми операторами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Губина Светлана Сергеевна

Об операторных уравнениях с сюръективными квазиобратимыми операторами

01.01.01 вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

21 ""Я 2013

Воронеж - 2013

005539513

005539513

Работа выполнена в Воронежском государственном педагогическом университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент Гельман Борис Данилович. Официальные оппоненты:

Баскаков Анатолий Григорьевич,

доктор физико-математических наук, профессор, Воронежский государственный университет, кафедра математических методов исследования операций, заведующий кафедрой;

Курбатов Виталий Геннадьевич, доктор физико-математических наук, профессор, Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации, кафедра гуманитарных и естественнонаучных дисциплин, профессор. Ведущая организация: Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина.

Защита состоится 10 декабря 2013 года в 14 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394693, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд.

С диссертации можно ознакомится в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

335.

Автореферат разослан " £" ноября 2013 года. Ученый секретарь

диссертационного совета

Гликлих Юрий Евгеньевич

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В современной математике широко используются методы исследования операторных уравнений, основанные на геометрических идеях (метод неподвижных точек, топологические методы и др.).

В последние годы начались исследования операторных уравнений с сюръективными операторами. Такие уравнения, естественно, возникают в различных разделах математики. Первой работой, в которой изучались операторные уравнения вида

А{х) = f[x),

где А — линейный ограниченный непрерывный сюръективный оператор, а / — компактное отображение, была работа Ricceri В. В ней не только доказывалось существование решений, но и изучалась топологическая размерность множества решений этого уравнения. В работах Гельмана Б.Д. были продолжены эти исследования, там была предложена новая схема изучений таких уравнений и ослаблены условия на отображение /. В дальнейшем им изучались операторные уравнения такого вида, в случае, когда А является замкнутым сюръективным оператором.

Настоящая работа продолжает исследования в этом направлении.

Цель работы. Исследовать операторные уравнения А(х) = /(ж) с сюръективными, но не обязательно замкнутыми операторами и рассмотреть приложения этих теорем в анализе и теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основные результаты:

1. Дано определение, приведены примеры и изучены свойства квазиобратимых операторов.

2. Доказаны теоремы существования решений операторных уравнений с квазиобратимыми операторами и получены оценки на топологическую размерность множества решений этих уравнений.

3. Рассмотрены приложения доказанных теорем к проблеме существования локальных решений вырожденных дифференциальных уравнений.

4. Доказан новый вариант бесконечномерной теоремы Борсука-Улама, в которой сюръективный оператор А является квазиобратимым.

5. Рассмотрены некоторые приложения теоремы Борсука-Улама в анализе и теории дифференциальных уравнений.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы функционального анализа и теории дифференциальных уравнений.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты представляют интерес для изучения новых классов операторных и дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Воронежских зимних математических школах (Воронеж, 2011, 2012 и 2013 гг.); на Воронежских весенних математических школах (Воронеж, 2011, 2013 гг.); на международных конференциях "Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения "(Тамбов, 2011, 2013 гг.); па международной молодежной научной школе "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач"(Воронеж, 2012 г.); на международных научно-методических конференциях студентов, ас-

пираптов и преподавателей кафедры алгебры и геометрии ВГПУ (Воронеж, 2012, 2013 гг.). Результаты диссертации докладывались на семинаре проф. Баскакова А.Г. (ВГУ, 2013).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[12]. Из совместных опубликованных работ [7], [10] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Работы [5], [6], [10] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех параграфов, разбитых на 17 пунктов. Объем работы 96 страниц. Библиография содержит 46 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность темы исследования и описывается краткое содержание работы.

В первом параграфе диссертации приводятся основные сведения из теории многозначных отображений и рассматриваются некоторые свойства замкнутых сюръективных операторов.

Пусть Ег, Е2 — банаховы пространства, О(А) — линейное многообразие в Е\, А : 0{А) с Е\ —> Е2 — линейный замкнутый сюръективный оператор.

1.2.2. Определение. Число

||Л-1|| = =ир(»"/{1И1 \ хеР(А),А(х)=у} уеЕ2 |Ы|

будем называть нормой многозначного отображения Л-1.

Также в этом параграфе приводятся основные свойства топологиче-

5

ской степени вполне непрерывных векторных полей и рассматриваются некоторые теоремы о неподвижных точках вполне непрерывных отображений.

В этом параграфе также дается определение и приведены основные свойства топологической размерности dim.

Второй параграф диссертации посвящен изучению квазиобратимых операторов. В нем дается определение, и приводятся примеры таких операторов.

Пусть Еи Е2 — банаховы пространства, А : D(A) С Е\ —> Е2 — линейный сюръективный оператор.

2.1.1. Определение. Будем говорить, что оператор А является квазиобратимым, если у оператора А существует правое обратное непрерывное отображение р, т.е. такое отображение р, что А(р{у)) = у для любого у € Ei. В этом случае отображение р будем называть квазиобратным к оператору А.

Примерами квазиобратимых операторов являются замкнутый линейный сюръективный оператор, конечные композиции замкнутых линейных сюръективных операторов и др.

Третий параграф посвящен изучению разрешимости и топологической размерности множества решений операторных уравнений вида

А(х) = /(:г), (3.1)

где А — квазиобратимый оператор, а / — нелинейное отображение.

Пусть V — ограниченное открытое множество в Е\, f : V —> Е2 — непрерывное отображение. Обозначим N(A,f) — множество решений

уравнения (3.1), т.е.

П(А,Л = {хеУ\А(х) = /(х)}.

3.1.1. Определение. Будем говорить, что отображение / является (А, р)-вполне непрерывным, если композиция р о / является вполне непрерывным отображением.

В этом параграфе приводятся некоторые достаточные условия (А,р)-полной непрерывности отображения /, а также доказывается следующая теорема.

3.1.10. Теорема. Пусть существует такое квазиобратное к А отображение р, что отображение / является (А,р)-вполне непрерывным отображением uq = pof:V—>El не имеет неподвижных точек на дУ. Если топологическая степень 7 (г — д,дУ) ф 0, то Л^Д/) ф 0.

Если же кроме этого сИт(Кег(А)) > 0, то Ы{А, /) П дУ ф & и (Ит№(А,/)) > сИт(Кег(А)).

В работе рассматриваются следующие следствия из теоремы 3.1.10.

Пусть р : Е2 —> Е\ — непрерывное отображение, правое обратное к оператору А. Пусть существует число ш > 0 такое, что для любого у еЕ2 выполняется неравенство

||Кг/)11 < т\\у\\.

Обозначим ]|р|| = т/{т \ уе Е2, \\р(у)\\ < т\\у\\}.

3.1.11. Теорема. Пусть / : Е\ —> Е2 является (А,р)-вполне непрерывным отображением. Если существуют такие числа с > 0 и (1 > О, что:

V Н/МН < с||х|| + (I для любого х е Ег;

7

2)с\\р\\<\,

то N(A,f) ф 0. Если dim(Ker(A)) > 0, то множество N(A,f) — неограниченно и

dim(N(A, /)) > dim(Ker(A)).

Справедливо еще одно следствие из теоремы 3.1.10. Пусть Ei, Е2, ...,En+i — банаховы пространства, Д- : D(Aj) с E¡ —> Ei+i, для i = 1,2,..., n — замкнутые сюръективные линейные операторы, С = Ап о Ап-1 о ... о Пусть xQ е D(C) — некоторая точка, BR[x0] — замкнутый шар радиуса R с центром в х0, отображение / : Br[x0} —> Е2 является вполне непрерывным.

Пусть N(C,f) множество решений уравнения С(х) = f(x). 3.2.1. Теорема. Если существует такое число

что для любой точки х £ Br[xо] справедливо неравенство

1№о) -/(®)|| < р

то N(C,f) ^ 0. Если же кроме этого dim(Ker(C)) > 0, то N(C, /) П дВц[х0] / 0 u dim(N(C, /)) > dim(Ker{C)).

В работе рассматривается устойчивость свойства сюръективности оператора относительно малых компактных возмущений.

Пусть А — квазиобратимый сюръективный оператор, р : Е2 —> — квазиобратное отображение к А.

3.2.3. Теорема. Пусть ||р|| > 0, если В : Ei —> Е2 — вполне непре-

рывный линейный оператор и ||-В|| ■ ||р|| < 1, то оператор L = A + B: D(A) с Ех Е2

является сюръективным и

dim{L~l(0)) > dim{Ker{A)).

В пункте 3.2.2 третьего параграфа рассматривается применение теорем, доказанных в предыдущем разделе, к изучению вырожденных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

Пусть оператор С является композицией замкнутых линейных сюръ-ективных операторов (см. теорему 3.2.1).

Пусть Вл[хо] С — замкнутый шар с центром в точке ,т0 е -О(С), / : [0, Г] х Вл[хо] —> Еп+\ — вполне непрерывное отображение.

Рассмотрим следующую задачу:

Пусть ^(хо, [0,1г}) — множество решений задачи (3.6), (3.7) на промежутке [0, Ы\.

3.2.5. Теорема. При сделанных предположениях существует такое Но > 0, что N^0, [0, /г0]) ф 0.

Если <Ит(Кег(С)) > 0, то <Ит(М(хо, [0, Ло])) = оо.

В пункте 3.2.3 рассматривается вырожденное дифференциальное уравнение, у которого сюръсктивный оператор С стоит после дифференцирования.

ОCx)' = f(t,x)

(3.6)

С(х( 0)) = С(х0).

(3-7)

Пусть оператор С является композицией замкнутых линейных сюръ-ектпвных операторов (см. теорему 3.2.1).

Пусть Вд[х о] С Е1 замкнутый шар с центром в точке хо £ О (С), / : [О, Т] х Вд[хо] —> Еп+1 — вполне непрерывное отображение. Изучается следующая задача:

Для этого случая имеет место теорема, аналогичная теореме 3.2.5.

Четвертый параграф диссертации посвящен изучению нового варианта бесконечномерной теоремы Борсука-Улама, в которой сюръек-тивный оператор А является квазиобратимым.

В пункте 4.1 диссертации дается определение и изучаются уравнения с Л-вполне непрерывными отображениями.

Пусть А : О (А) с Е\ —> Еъ — линейный сюръектнвный оператор и / : X С Е\ —> Е2 — некоторое непрерывное отображение.

4.1.1. Определение. Будем говорить, что отображение / вполне непрерывно по модулю оператора А (или А-вполне непрерывно), если оно непрерывно и для любого ограниченного множества V С Е2 и любого ограниченного множества В С X, множество /(В П Л-1(К)) является компактным. Пустое множество по определению считается компактным.

Пусть А — квазиобратимый оператор. Для Л-виолпе непрерывного отображения имеет место следующая теорема о разрешимости уравнения А(х) = /(х) на шаре.

С(х?) = /(1,х),

(3.9)

ж(0) = х0.

(3.10)

4.1.5. Теорема. Пусть / : Вц\хо] —> Е2 явмется А-вполне непрерывным отображением. Если существует такое число к > 0 и такое непрерывное отображение q : Е2 —■► Е\, что

1) A(q(y)) = у для любого у G Е2;

2) \\xQ-q(y)\\<k\\y0-y\\;

3) Ц2/0 — f(x)\\ < f для любого х е Вц[хо],тогда N(A,f) ^ 0. Пункт 4.2 посвящен доказательству нового варианта теоремы Борсука-

Улама, в случае когда сюръективный оператор А является квазиобратимым.

Пусть Ei, Ei — банаховы пространства, А : D(A) С Е\ —* Е2 — квазиобратимый оператор, отображение / : SV(0) —► Е2 является А-вполне непрерывным и нечетным. 4.2.4. Теорема. Если

dim(Ker(A)) > 1,

то уравнение

А(х) = f(x)

на Sr(0) шкет непустое множество решений и

dim(N(A, /)) > dim(Ker(A)) - 1.

В пункте 4.3 рассматриваются некоторые следствия из теоремы 4.2.4. В нем изучается устойчивость ядра квазиобратимого оператора, доказывается теорема об антиподах в бесконечномерных банаховых пространствах. Также в нем рассматривается следующая задача для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Пусть [0,Т] — произвольный отрезок ЧИСЛОВОЙ прямой Я, Ср'Ц — пространство непрерывных векторнозначных функций, определенных па отрезке [О, Т], со значениями в Я".

Пусть заданы линейные непрерывные функционалы

и : С[о,г] —> Д,г = 1

где 0 < к < 2п.

Рассмотрим отображение Ь : С[о,г] -* Ь{х) = (Ь\(х),..., Ь^х)). Пусть Р2Щ = {/^¿+7 | £ € [О, Т], /3, 7 е Я"} — множество линейных вектор-фуикций на отрезке [0,Т]. Будем предполагать, что отображение Ь удовлетворяет следующему условию:

(I) сужение оператора Ь на подпространство Р2Щ является сюръ-ективным оператором.

Рассмотрим дифференциальное уравнение:

х" = ¡{1,х,х'), (4.6)

где / : Я1 х Яп х Я" —> Яп — непрерывное отображение, удовлетворяющее следующему условию: -х, -у) = -/(Ь,х,у).

Изучается задача существования решений уравнения (4.6), определенных на отрезке [О, Т], удовлетворяющих следующим условиям:

2„(:г(-)) = 0, г = 1,2 ,.,.,/с (4.7)

и

тах ||хт|| = N. (4.8)

где N некоторое фиксированное положительное число.

Пусть ^([(^Т],./^ £) множество решений задачи (4.6, 4.7, 4.8).

12

4.2.9. Теорема. При сделанных предположениях множество £([0исЙт(£[0,Г],АГ,£)) > 2п-к- 1.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Губина С.С. Об одном нрнложсшш теоремы Борсука-Улама / С.С. Губипа // Воронежская зимняя математическая школа: Современные методы теории функций и смежные проблемы. - Воронеж, 2013 - С. 66-67.

[2] Губина С.С. Уравнения с Л-внолис непрерывными отображениями / С.С. Губнна // Материалы международной научно-методической конференции "Некоторые вопросы анализа, алгебра, геометрии и математического образования". - Воронеж: НАУКА-ЮНИПРЕСС. - 2013. -С. 117-121.

[3] Губина С.С. О разрешимости задачи Коши для вырожденных дифференциальных уравнений / С.С. Губнна // Воронежская весенняя математическая школа: Современные методы теории краевых задач. -Воронеж, 2013. - С. 62-63.

[4] Губина С.С. Теорема Борсука-Улама для квазиобратимых операторов / С. С. Губина // Известия Воронежского государственного педагогического университета. Сер.: "Педагогические науки". "Гуманитарные науки". "Естественные науки". - Воронеж, 2013. - С. 223-225.

[5] Губина С.С. Теорема Борсука-Улама для квазиобратимых операторов. Некоторые приложения / С.С. Губина // Вестник Тамбовского университета. Сер.: Естественные и технические науки: науч.-теор. и практ. жури. - Тамбов, 2013. - Т. 18, вып. 5. - С. 2496-2498.

[6] Рыданова С.С. Об одном классе операторных уравнений / С.С. Рыданова // Вестник Тамбовского университета. Сер.: Естественные и

13

технические науки: науч. - теор. и практ. жури. - Тамбов, 2011. - Т. 16, выи. 4. - С. 1173-1174.

[7] Рыданова С.С. Об одном классе операторных уравнений с сюръек-тивными операторами / Б.Д. Гельман, С.С. Рыданова // Современные проблемы математики и ее приложения: материалы международной науч. конф., посвящ. 70-летию члена-корреспондента АН Республики Таджикистан Э.М. Махамадиева. - Душанбе, 2011. - С. 26-27.

[8] Рыданова С.С. Об одном операторном уравнении / С.С. Рыданова // Воронежская весенняя математическая школа: Современные методы теории краевых задач. - Воронеж, 2011. - С. 155-156.

[9] Рыданова С.С. Об операторных уравнениях с сюръективнымн операторами / С.С. Рыданова // Воронежская зимняя математическая школа: Современные методы теории функций и смежные проблемы. -Воронеж, 2011. - С. 289-290.

[10] Рыданова С.С. Об операторных уравнениях с сюръективнымн операторами / Б.Д. Гельман, С.С. Рыданова // Вестник Воронежского государственного университета. Сер.: Физика. Математика. - Воронеж, 2012. - № 1. - С. 93-98.

[11] Рыданова С.С. Теорема Борсука-Улама для квазиобратимых операторов / С.С. Рыданова // Воронежская зимняя математическая школа: Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна — 2012. -Воронеж, 2012. - С. 193-195.

[12] Рыданова С.С. Уравнения с квазиобратимыми операторами / С.С. Рыданова // Теория и численные методы обратных и некорректных задач: материалы международной молодежной научной школы. -

Воронеж, 2012. - С. 52-56.

Работы [5], [6], [10] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Подписано в печать 31.10.13. Формат 60*84 '/V Усл. иеч. л. Тираж 100 экз. Заказ 1087.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-нолшрафического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ГУБИНА СВЕТЛАНА СЕРГЕЕВНА

ОБ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЯХ С СЮРЪЕКТИВНЫМИ КВАЗИОБРАТИМЫМИ

ОПЕРАТОРАМИ

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

СО

со

х _ Диссертация на соискание ученой степени

И/ (V)

Ц) т— кандидата физико-математических наук

СО Я

СМ

СО Сч]

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук.

профессор Гельман Б.Д.

Воронеж - '2013

Содержание

Введение 4

Основные обозначения 22

§1. Вспомогательные сведения 23

1 1 Некоторые свойства многозначных отображений 23 1 2 Некоторые свойства сюръекаивных операторов 2G 1 3 Топологическая степень вполне непрерывных вскюрпых полей 32

1 4 Топологическая размерность dim 34

§2. Квазиобратимые операторы 38

2 1 Определение квазиобратимых операторов Примеры 38

2 2 Квазизамкнутые операторы 41

§3. Уравнения с квазиобратимыми операторами 44

3 1 (Л р)-вполне непрерывные возмущения квазиобратимых сюръ-

ективных операторов Теорема существования 44 3 2 Некоторые следствия из теоремы 3 1 10 53 3 2 1 Устойчивость свойства сюръективности оператора относительно малых компактных возмущений 56 3 2 2 О локальных решениях вырожденных дифференциальных уравнений (случай 1) 58 3 2 3 О локальных решениях вырожденных дифференциальных уравнений (случай 2) 60

§4. Теорема Борсука-Улама для квазиобратимых операто-

ров 64

4.1. Уравнения с Л-вполне непрерывными отображениями ... 64

4.2. Теорема Борсука-Улама ........................................68

4.3. Некоторые приложения теоремы Борсука-Улама ..........77

4.3.1. Об устойчивости ядра квазиобратимого оператора относительно вполне непрерывных возмущений. . . 77

4.3.2. Теорема об антиподах в бесконечномерных банахо-

вых пространствах ......................................78

4.3.3. Об одной задаче для дифференциальных уравнений 79

Список литературы 89

Введение

В современной математике широко используются методы исследования операторных уравнений, основанные на геометрических идеях. Одним из них является метод неподвижных точек. Этот метод имеет давнюю историю, существенное влияние на развитие этого метода оказали работы Д. Биркгофа и О. Келлога, С. Банаха, Р. Каччиополи, Ю. Шаудера, А. Н. Тихонова, Ж. Лере, М. А. Красносельского и других.

Наиболее простым и наиболее важным является принцип существования неподвижной точки, принадлежащий Шаудеру |40|. Этот принцип явился четким оформлением методов доказательства теорем существования, разработанных в статье Биркгофа и Келлога [38].

Принцип Шаудера применяется при доказательстве как локальных, так и нелокальных теорем существования в теории дифференциальных уравнений и других задачах современной математики. Принцип Шаудера был обобщен А.Н. Тихоновым [36] на некоторые классы операторов, действующих в линейных топологических пространствах. Роль топологии в проблеме существования неподвижных точек х = /(х) (и операторных уравнений /(х) — д(х)) отчетливо выявлена еще в классических работах А. Пуанкаре. Л. Кронекера, Л. Брауэра, С. Лефшеца, X. Хопфа. С 30-х годов понятие степени для вполне непрерывных отображений (Ж. Лере, Ю. Шаудер) получило важные приложения в краевых задачах и гидромеханике. Теория топологической степени (вращения) вполне непрерывных векторных полей Лере-Шаудера интенсивно развивалась в Воронеже М.А. Красносельским и его школой (см. [25|).

В последние годы начались исследования операторных уравнений с

сюръективными операторами. Такие уравнения естественно возникают в различных разделах математики. Первой работой, в которой изучались операторные уравнения вида

А(х) = /(*),

где А — линейный непрерывный сюръективный оператор, а / — компактное отображение, была работа [44]. В ней не только доказывалось существование решений, но и изучалась топологическая размерность множества решений этого уравнения. В работе [6] были продолжены эти исследования, там была предложена новая схема изучений таких уравнений и ослаблены условия на отображение /.

В дальнейшем в работах |9], ¡12], ]13|, |14] изучались операторные уравнения такого вида в случае, когда А является замкнутым сюръек-тивным оператором.

Настоящая работа продолжает исследования в этом направлении.

Целью работы является исследование операторных уравнений А(х) = /(х) с сюръективными, но не обязательно замкнутыми операторами.

В качестве основных результатов диссертации можно выделить следующие:

1. Дано определение, приведены примеры и изучены свойства квази-обратимьтх операторов.

2. Доказаны теоремы существования решений операторных уравнений с квазиобратимыми операторами и получены оценки на топологическую размерность множества решений этих уравнений.

3. Рассмотрены приложения доказанных теорем к проблеме существования локальных решений вырожденных дифференциальных урав-

нений.

4. Доказан новый вариант бесконечномерной теоремы Борсука-Улама, в которой сюръективный оператор А является квазиобратимым.

5. Рассмотрены некоторые приложения теоремы Борсука-Улама в анализе и теории дифференциальных уравнений.

В диссертационной работе используются методы функционального анализа и теории дифференциальных уравнений.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты представляют интерес для изучения новых классов операторных и дифференциальных уравнений.

Результаты диссертации опубликованы в работах [15J, [16|. [18], [19], [20], [21], [22], [29], [30], [31], [32], [33]. Из совместных опубликованных работ |15|, [10| в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Работы [16|, [22], [29] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Мипобр-науки РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и четырех параграфов, разбитых на 17 пунктов. Объем работы 96 страниц. Библиография содержит 46 наименований.

Содержание работы.

В первом параграфе приведены вспомогательные сведения из [1], |3|, |5], |8], [14], [25], [37], он содержит необходимые в дальнейшем сведения.

В первом пункте первого параграфа приводятся определения полу-

непрерывного снизу многозначного отооражения, непрерывного сечения многозначного отображения, графика многозначного отображения. Сформулированы основные свойства полунепрерывных снизу многозначных отображений и теорема Майкла о сечении.

Во втором пункте первого параграфа дается определение замкнутого оператора и сформулированы основные свойства.

Пусть Ei, Ei — банаховы пространства, D(A) — линейное многообразие в Ei, А : D(A) С Е\ —> E<¿ — линейный замкнутый сюръективный оператор, Al : D(Ai) с е Еъ где D{A{) = P(D(A)) и A^fx]) = а{х). По определению нормы линейного оператора имеем:

г ,гп/{||х|| \ хе D{A),A{x)=y}^ \\А1 II = sup(-77-J-).

yeE2 ||Z/||

1.2.2. Определение. Число Ц-Д^Ц будем называть нормой многозначного отображения А'1 : E<¿ —г Cv{E\) и обозначать ||Л_1||.

Рассматривается пример вычисления нормы многозначного обратного отображения.

Далее продолжается изучение многозначного отображения А_1.

Пусть Е1.Е2 — банаховы пространства, А : D(A) С Е\ —> E'¿ — замкнутый сюръективный линейный оператор Если Кег(А) не является конечномерным, то у пего может не существовать правого обратного линейного оператора. Имеет место следующее утверждение.

1.2.5. Лемма. Пусть уо — произвольная точка из пространства Е2; xq — произвольная точка из мноэ/сества тогда для любого

числа к, ||Л-1|| < к. существует непрерывное отображение р : Е2 —> Ei такое, что выполнены следуют,ие условия: 1) А(р(у)) = у для любого у 6 £2/

2) ||а;0 - р(у)|| < к\\у{) - у|| для любого у е Е2.

В третьем пункте первого параграфа даются определения вполне непрерывного отображения и топологической степени вполне непрерывных векторных полей. Рассматриваются некоторые теоремы о неподвижных точках вполне непрерывных отображений.

В четвертом пункте первого параграфа, следуя [1|, дано определение и приведены основные свойства топологической размерности с1ггп.

Во втором параграфе дается определение и изучаются свойства квазиобратимых операторов. Основные результаты этого параграфа опубликованы в работе [33].

Пусть Е1.Е2 — банаховы пространства, А : В (А) С Е\ —> Е2 — линейный сюръективный оператор.

2.1.1. Определение. Будем говорить, что оператор А является квазиобратимым, если у оператора А существует правое обратное непрерывное отображение р, т.е. такое отображение р, что А(р(у)) = у для любого у е Е2. В этом случае отображение р будем называть квазиобратным к оператору А.

Очевидно, что в силу леммы 1.2.5 замкнутый оператор является квазиобратимым. В работе рассмотрен другой пример.

Пусть Е\. Е-2,..., Еп+1 — банаховы пространства, Аь : 0{Аг) С Ег —> Е{+1 — замкнутый сюръективный линейный оператор, где г = 1.2, ....п.

Рассмотрим оператор С = Ап о Ап_\ о ... о А\. Областью определения этого оператора является множество

Очевидно, что С также является сюръективным оператором.

Справедлива следующая лемма.

2.1.2. Лемма. Пусть — 'произвольная точка из 'пространства Еп+1, xq — произвольная точка из множества тогда для любого числа к,

\\Л-1\\.\\А^\\....-\\А-1\\<к,

существует непрерывное отображение рс ■ Еп+\ —> Е\ такое, что выполнены следующие условия:

V С(рс{х^п+^)) = для любой точки е Е„+ь-

2) \\хЪ-рс(х{п+1))\\ < /с||х1п+1)-ж("+1)|| для любой точки x{n+l^ е Еп+1. Таким образом. С является квазиобратимым оператором. В этом параграфе также дается определение квазизамкнутого оператора.

2.2.1. Определение. Будем говорить, что оператор А является квазизамкиутым. если существует банахово пространство Е и непрерывный линейный оператор В : Е —> Е\ такие, что:

(1) 1т,{В) = D(A);

(2) композиция А о В : Е —> Е2 является непрерывным линейным оператором.

В работе доказывается критерий квазизамкнутости оператора А и доказывается следующее свойство квазизамкнутых операторов.

2.2.3. Предложение. Если оператор А является квазизамкнутым и сюръективиым, то А — квазиобратимый оператор.

Третий параграф посвящен изучению разрешимости и топологической размерности множества решений операторных уравнений вида

А(х) = f(x), (3.1)

где А — квазиобратимый оператор, а / — нелинейное отображение. Основные результаты этого параграфа опубликованы в работах [15], [16], [20], [29], [30], [31].

В пункте 3.1 дается определение (Д р)-виолне непрерывных возмущений квазиобратимых сюръективных операторов.

Пусть Е\,Е2 — банаховы пространства, А : Е(А) С Е\ —> Е2 — линейный сюръективный оператор, / : !)(/) С Е\ —» Е2 — непрерывное отображение, р : Е2 —> Е\ — квазиобратное отображение к оператору А.

3.1.1. Определение. Будем говорить, что отобрао/сение / является (А, р)-вполне непрерывным, если композиция р о / является вполне непрерывным отображением.

Справедлива следующая теорема, характеризующая (Др)-вполне непрерывные отображения.

Введем норму графика для любого х из множества Е{А):

1М|12 = \\x\li + ||Л(ж)||2,

обозначим Е = (0(А). || • Ц1.2). Пусть у : Е —> Е± — отображение вложения.

3.1.5. Теорема. Пусть А : О(А) с Е\ —> Е2, отображение р — квазиобратное к оператору А. Если отображение р переводит ограниченные мноэ/сества в ограниченные, и выполнено одно из следующих условий:

(1) отображение / вполне непрерывно;

(2) отображение / непрерывно и ограниченные множества переводит в ограниченные, а отобрао/сение ] : Е Е\ — вполне непрерывно.

Тогда отобрао/сепие / является (Л р)-вполне непрерывным

Пусть V — ограниченное открытое множество в Е\ Имеет место следующая основная георема

3.1.10. Теорема. Пусть существует такое ъвазиобрагпное к оператору А отображение р, что отображение [ является (А,р)-вполне непрерывным отображением иц — ро / У Е\ не имеет неподвижных точек: на дУ

Если топологическая степень 7(7 — д дУ) ф 0 то А/"(Л /) Ф 0

Ест же кроме этого сЬт(Кег(А)) > 0 то М(А /) П дУ Ф 0 и &т{М{А /)) > ¿ьт{Кег{А))

Рассматривается следующее следствие из теоремы 3 1 10

Пусть р Е2 —► Е] — непрерывное отображение правое обратное к оператору Л Пусть существует число т > 0 такое что для любого у 6 Е-2 выполняется неравенство

11р(у)11 < гп\\у\|

Обозначим ||р|| = гп/ {т | у е Е2 \\р{у)\\ < гп\\у\\}

3.1.11. Теорема. Пусть f Е\ —> Е2 является (Л р)-вполне непрерывным отображением Если существуют такие числа с > 0 и <1 > 0 что

1) \\1(х)\\ — с\\х\ \ + <1 для любого х € Е\

< 1 то М(А, /) ф 0 Если с1ът(Ке1 (Л)) > 0 то множество А''(Л /) — неограниченно и

с1гт(1\(А. /")) > Жт{Кег(А))

Во втором пункте третьего параграфа доказаны некоторые другие следствия из теоремы 3.1.10.

Пусть Е\, Е-2, ■■■, Еп+1 — банаховы пространства, Аь : D(At) с Ег —> Е1+i, для г = 1,2,.... п — замкнутые сюръективные линейные операторы,

С = Ап о Л„_1 о ... о А\.

Пусть хо Е D{C) — некоторая точка, Вр[.го] — замкнутый шар радиуса R с центром в хо, отображение / : Вд[хо] —> Е2 является вполне непрерывным.

Изучается уравнение:

С(х) = /(*), (3.5)

Ar(C,f) множество решений этого уравнения.

3.2.1. Теорема. Если существует такое число

что для любой тючки х Е Вц{хц\ справедливо неравенство

||С(хо)-/(х)||<р

то А (С, /) ф 0.

Если oice кроме этого dim(Ker(C)) > 0. то N(C, /) С\дВц[хо] ф 0 и dim(N(C, /)) > dim(Ker(C)).

Из теоремы 3.2.1 вытекает следующее утверждение.

3.2.2. Следствие. Пусть С : D(C) С Е\ —> Еп+\ — линейный сюръективный оператор, удовлетворяющий условиям теоремы 3.2.1, и

/ : Е\ —> ¿£„+i вполне непрерывное отображение. Если существуют числа а > 0 и ¡3 > О такие, что:

V 11/(ж)11 — а11х11 + Р для любого х £ Е\;

2)а-\\А;1\\.\\А~1\\.....\\А^\\<1.

Тогда:

1) уравнение С(х) = f(x) имеет решение;

2) если dim{Ker{C)) > О, то clvm(N{C,f)) > dvm{Ker(C));

3) если dim(Ker(C)) > О и

1 — к ■ а'

где

\\А^\\ ■ WA^W ■... • ид;1!! < /с <

а

то существует точка х £ N(C,f) такая, что ||ж|| = R.

В пункте 3.2.1 рассматривается устойчивость свойства сюръективно-сти оператора относительно малых компактных возмущений.

Пусть Е1.Е2 — банаховы пространства, А : D{A) С Е\ —> Е2 — квазиобратимый сюръективный оператор, р : Е2 —> Ei — непрерывное отображение, правое обратное к отображению А.

3.2.3. Теорема. Пусть Ц59Ц > 0; если В : Ei —Е2 — вполне непрерывный линейный оператор и ||£|| • ||р|| < 1, то оператор

L — А + В : D(A) С Ех Е2

является сюръективпым и

dim{L~\0)) > dim{I<er{A)).

Из теоремы 3.2.1 также вытекает следующее следствие. 3.2.4. Следствие. Пусть С : D(C) С Ех Еп+1,

С = Ап о Ап-1 о ... о Ai

линейный сюръективный оператор, удовлетворяющий условиям теоремы 3.2.1, В \ Е\ —> Еп+1 — линейный и вполне непрерывный оператор. Пусть оператор L = С + В. Если

цац •1Иг111-1И2]11---нл;111<1;

то оператор L является сюръективпым и

dim{L~l{0)) > dvm{Ker{C)).

В пункте 3.2.2 рассматривается применение теорем, доказанных в предыдущем разделе, к изучению вырожденных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Пусть

С - Ап О лп_! о ... о А, : D{C) С Ех -> En+i

является композицией замкнутых линейных сюръективных операторов.

Пусть _Вд[:со] С Е\ — замкнутый шар с центром в точке xq Е D(C), / : [0,Т] х Вл[хо] En+i — вполне непрерывное отображение. Рассмотрим следующую задачу:

{Сх)' = f(t, х), (3.6)

С(а;(0)) = С(х0). (3.7)

Решением задачи (3 6), (3 7) на промежутке [0. Н], 0 < Н < Т, называется непрерывная функция ж* : [0, Н] —> -О(С) С Е1] такая, что

для любого £ 6 [0, Н] и С(:г*(0)) = С(хо).

Пусть ЛГ(хо, [0. /г]) — множество решений задачи (3.0), (3.7) на промежутке [0, Н)

3.2.5. Теорема. Дргг сделанных предположениях существует такое Н0 > 0, что Ы{хо, [0, /г0]) ф 0.

Если с1гт(Кег(С)) > 0; то дпп(Ы(хо, [0. /го])) = оо. В пункте 3.2.3 рассматривается вырожденное дифференциальное уравнение, у которого сюръсктивный оператор стоит после дифференцирования. Пусть оператор С такой же, как и в пункте 3 2.1.

Пусть а;о € Е(С) — некоторая точка, Вд[хо] — замкнутый шар радиуса Я с центром в хо, отображение / : [0.Т] х Вц[хо] —> Еп+\ является вполне непрерывным

Изучается следующая задача.

С{х') = №,х), (3.9)

х(0) = х0. (3.10)

Решением задачи (3 9), (3 10) на промежутке [0, И], 0 < Н < Т, называется непрерывно дифференцируемая функция х* : [0, Н] —> И (С) С Е\ такая, что

с(хШ = №х.Ю)

для любого £ € [О, Н] и £+(0) = Хо.

Пусть N(xo, [О, /г]) — множество решений задачи (3.9) и (3 10) на промежутке [0./г].

Имеет место следующая теорема.

3.2.6. Теорема. При сделанных предположениях существует число hо > 0 такое, что задача (3.9), (3.10) имеет решение на промежутке

Если с1гт(Кег(С)) > 0. то топологическая размерность

dim(N(xo, [0, /го])) = оо.

Четвертый параграф диссертации посвящен изучению нового варианта бесконечномерной теоремы Борсука-Улама. В работах [7], [9] теорема была доказана в случае, когда оператор А являлся непрерывным (замкнутым). В данном параграфе рассматривается случай, когда сюръ-ективный оператор А является квазиобратимым. Основные результаты этого параграфа опубликованы в работах [18], [19], [21], [22], [32].

В первом пункте дается определение, и изучаются уравнения с А-вполне непрерывными отображениями.

Пусть Е\,Ео — банаховы пространства, А : D{A) С Е\ —> Е2 — линейный сюръективный оператор и / : X С Е\ —> Е2 — некоторое непрерывное отображение.

4.1.1. Определение. Будем говорить, что отображение / вполне непрерывно по модулю оператора А (или А-вполне непрерывно), если оно непрерывно для любого ограниченного множества V с Е2 и любого ограниченного мноэ/сества В С X, мпоэ/сество f(BnA~l(V)) является компактным. Пустое мпоэ/сество по определению считается

компактным.

Пусть А : D(A) С Е\ —► Е2 — квазиобратимый оператор, q : Е2 —+ Е] является непрерывным правым обратным отображением к оператору А. Рассмотрим отображение а : Е2 х Кег(А) —> Е\ такое, что

<х{у-.и) = Я{у) + и.

Пусть Rn С Кег(А) — произвольное кон�