Гиперболические полугруппы операторов. Оценки параметров экспоненциальной дихотомии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Романова, Мария Юрьевна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Воронеж
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2011
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
на правах рукописи
Романова Мария Юрьевна
Гиперболические полугруппы операторов. Оценки параметров экспоненциальной дихотомии
01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
2 С ОКТ 2311
ВОРОНЕЖ-2011
4857833
Работа выполнена в Воронежском государственном университете
Научный руководитель: доктор физико-математических наук,
профессор Баскаков Анатолий Григорьевич
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Перов Анатолий Иванович,
доктор физико-математических наук, профессор Курбатов Виталий Геннадьевич
Ведущая организация: Южный федеральный университет
Защита состоится "15" ноября 2011 года в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете, 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 335.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.
Автореферат разослан октября 2011 г. Ученый секретарь
диссертационного совета Д 212.038.22
доктор физ.-мат. наук, профессор
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Пусть H - комплексное гильбертово пространство, EndH - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в Н. Рассматривается полугруппа Т : R+ = [0; оо) —> EndH класса Со с генератором (инфинитезимальным оператором) А : D(A) СН—*Н. С помощью полугруппы Т описываются решения (как классические, так и слабые) дифференциального уравнения
х = Ах. (1)
Полугруппа операторов Т : Е+ = [0, оо) —» EndH, называется гиперболической (или допускающей экспоненциальную дихотомию), если спектр а(Т{1)) оператора Т(1) обладает свойством
а(Т(1))р)Т = 0, (2)
где Т = {A G С : |А| = 1} - единичная окружность. Таким образом,
a{T(l)) = amt\JaouU (3)
где <тш = {A G ст(Т(1)) : |А| < 1} и aout = {A G а(Т{ 1)) : |А| > 1}.
Если (Tout = 0, то полугруппа Т является экспоненциально устойчивой, т.е. существуют постоянные M > 1 и и) < 0 такие, что
\\T{t)\\<Me"\t>Q. (4)
Для A G EndH в монографии Ю.Л. Далецкого, М.Г. Крейна 1 было установлено, что гиперболичность полугруппы операторов эквивалентна существованию самосопряжённого оператора W G EndH такого, что А равномерно И^-диссипативен, т.е. A*W + WA = F -С 0, где символ F -С 0
1 Донецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн,- М.: Наука, 1970.- 535 С.
означает равномерную отрицательность оператора F € EndH. В этом случае оператор W определяет квадратичную функцию Ляпунова L : Л —» R, L(u) = (u,u)w — (Wu,u) такую, что функция 1>—► L{u(t),u{t)) монотонно убывает для каждого решения и : R —♦ Н дифференциального уравнения х = Ах.
В статьях С. Chicone, Yu. Latushkin 2 3 были сделаны попытки перенести результаты М. Г. Крейпа для генераторов инфинитезимальных полугрупп операторов класса Со- Однако имеющиеся там неточности привели к тому, что соответствующие результаты не были достигнуты.
В диссертации А.А. Воробьёва 4 результаты теоремы Крейпа были распространены на гиперболические группы операторов. Таким образом, является актуальной тема распространения теоремы Крейна на полугруппы операторов (которые состоят из необратимых операторов). В диссертации приведены два класа полугрупп, для которых результаты теоремы Крейна верны, а также доказаны соответствующие теоремы. Таким образом, используя уравнение Ляпунова, получены критерии проверки гиперболичности некоторых классов полугрупп операторов.
Работы С.К. Годунова 5 посвящены разработке эффективно проверяемых критериев экспоненциальной дихотомии и методов оценки параметров экспоненциальной дихотомии для систем с постоянной матрицей. В случае бесконечномерного пространства Н соответствующих результатов получено не было. Актуальность получения оценок тесно связана с приложения-
2Chicone С. Hyperbolicity and dissipativity in Evolution equations / C. Chicone, Yu. Latushkin // Appl. Math- 1995. V168.- P.95-106
3Chicone C. Evolution semigroups in dynamical systems and differential equations / C. Chicone, Yu. Latushkin // Amer. Math. Soc.- 1999,- 361 p.
4Воробьёв А.А. Гиперболические группы операторов и уравнение Ляпунова. Спектральный анализ дискретных систем/ А.А. Воробьёв // ВГУ-2011.
5Годунов С.К. Современные аспекты линейной алгебры / С. К. Годунов. - Новосибирск: Научи, кн., 1997.
ми к уравнениям в частных производных. Возникающие сложности получения таких оценок в случае бесконечномерного пространства связаны с неограниченностью оператора А. В цитируемой монографии5, как правило, получаемые оценки использовали величину ЦАЦ. Для получения оценок в диссертации используются следующие величины
7(Л)=вир||Я(»А,Л)||,
AeR
и(А)= sup ~ [ ||Д(гЛ, A)x\\2dX, M<i 2тт £
v(A') = sup i- / ||Л(гА,А>||^А, |Ы|<1 ¿Я J
К
к(Т) = sup 117(4)11,
0<К1
а также числовая область генератора А гиперболической полугруппы операторов Т.
В связи с использованием числовой области генератора полугруппы операторов возникает актуальный вопрос: всегда ли числовая область генератора сильно непрерывной полугруппы операторов ограничена? В диссертации строится пример полугруппы, для которой числовая область генератора совпадает с комплексной плоскостью С.
Цель работы.
1. Получить необходимые и достаточные условия гиперболичности некоторых классов полугрупп операторов, используя операторное уравнение Ляпунова, построенное по ее генератору.
2. Получить оценки параметров экспоненциальной дихотомии (функции Грина), используя операторное уравнение Ляпунова, построенное по генератору гиперболической полугруппы операторов.
3. Получить оценки параметров экспоненциальной дихотомии (функции Грина), используя числовую область генератора гиперболической группы операторов.
4. Построить полугруппу Т : 1Й+ —> ЕпсГН., числовая область генератора которой покрывает всю комплексную плоскость, или, что эквивалентно, построить полугруппу, которая пе допускает оценку ||Т(^|| < еы(, t>0, ни для какого шбК.
Методика исследований. Основные результаты диссертации получены с использованием методов теории полугрупп операторов, дифференциальных уравнений, методов функционального анализа и гармонического анализа.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
1. Необходимые и достаточные условия гиперболичности некоторых классов полугрупп операторов, используя операторное уравнение Ляпунова, построенное по ее генератору.
2. Оценки параметров экспоненциальной дихотомии (функции Грина), используя операторное уравнение Ляпунова, построенное по генератору гиперболической полугруппы операторов.
3. Оценки параметров экспоненциальной дихотомии (фупкции Грина), используя числовую область генератора гиперболической группы операторов.
4. Построена полугруппа Т : —> ЕпйН, числовая область генератора которой покрывает всю комплексную плоскость, или, что эквивалентно, полугруппа, которая не допускает оценку ||Т(г)|| < > 0, ни для какого о; € К.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в развитии теории операторов и дифференциальных уравнений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференциях: "Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крей-на"(г. Воронеж, 2008 г.), "XX Крымская осенняя математическая школа-С1шиозиум"(г. Севастополь, 2009 г.), "Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна"(г. Воронеж, 2009 г.), "XXI Крымская осенняя математическая школа-симпозиум"(г. Севастополь, 2010 г.), на математическом семинаре математического факультета университета Tuebingen (г. Tuebingen, Германия, 2010 г.), на 14th Internet Seminar: Infinite-dimensional Linear Systems Theory , (r. Blaubeuren, Германия, 2011 г.), "XXII Крымская осенняя математическая школа-симпозиум"(г. Севастополь, 2011 г.) и на ежегодных научных сессиях факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.
Публикации работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[12]. Из совместной публикации [9] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично автору.
Работы [9], [11] соответствуют списку ВАК РФ для кандидатских диссертаций.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных на параграфы, и списка цитируемой литературы, содержащего 73 источника. Общий объем диссертации - 94 страницы.
Содержание работы
Во введении приводятся краткие исторические и библиографические сведения о предмете исследования, обсуждается тема работы, ее цели и задачи.
Дано общее описание основных направлений и методов исследования. Характеризуются полученные в диссертации результаты.
Нумерация приводимых ниже определений и теорем совпадает с нумерацией в диссертации.
Диссертация состоит из четырех глав. В первой главе приводится сводка широко используемых в диссертации понятий и результатов нз теории операторов, теории полугрупп операторов, дифференциальных уравнений.
Во второй главе диссертации получены условия разрешимости уравнения Ляпунова и необходимые и достаточные условия гиперболичности полугруппы корректных операторов и полугруппы сюръективных операторов.
Пусть Н - комплексное гильбертово пространство, EndH - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в Н. Рассматривается гиперболическая полугруппа операторов Т : R+ = [0, оо) —> Еп<Ш(т.е. выполнено условие (2)).
Рассмотрим уравнение Ляпунова
СА(Х) = А*Х + ХА = F е EndH. (5)
Предполагается, что А : D(A) С Н —> Н - генератор гиперболической полугруппы операторов Т : Е+ —> EndH, и далее используются соответствующие обозначения.
Под решением уравнения (5) понимается оператор W 6 EndH, обладающий свойствами: 1) Wx € D(A*); 2) A*Wx + WАх = Fx для любого х € D{A).
Определение 2.4. Оператор В € EndH назовём корректным (или
равномерно инъективным), если выполнено условие а(В) = inf \\Вх\\ > 0.
М=1
Определение 2.5. Полугруппу Г : R+ —> EndH класса Со назовём полугруппой корректных операторов, если оператор Т( 1) является корректным оператором.
Заметим, что из корректности оператора Г(1) следует корректность всех операторов T(t), t > 0.
Определение 2.6. Полугруппу Т : R+ —► EndH назовём полугруппой сюръективных операторов, если оператор Т( 1) сюръективен.
Пусть полугруппа Т : R+ —» EndH гиперболична (выполняется условие (2), и, следовательно, (3) ). Тогда гильбертово пространство H представимо в виде прямой суммы
H = Hint Ф Hout
замкнутых подпространств Hint = ImPinU Hout = ImP0Ut, которые являются образами проекторов Pint,Pmt, где Pout = I - Рш. Проектор Рисса Pint построен по спектральной компоненте aint. Подпространства Hint, Hmt инвариантны относительно операторов Т(т),т > 0. Таким образом, можно рассмотреть две полугруппы операторов (сужения полугруппы Т па Нм и Tiout соответственно)
Tint : К+ EndHint,T0Ut : R+ EndHmt,
Tint(t) = T(t)\H,nt,Tout(t) = T(i)|H0U(,i > 0.
Следовательно, T(t) = Tint(t) ®T0Ut(t),t > 0, относительно разложения H = Hint © Hout-
Поскольку ff(Tini(l)) = dint, <r{T0Ut{l)) = сTout, TO r(Tint( 1)) < 1, Tout(l)-непрерьгвно обратимый оператор, и г(Т0И<(I)"1) < 1 (здесь и далее через г(В) обозначен спектральный радиус оператора В). Из этих оценок следует существование постоянных М\, Mi > 1, 7ь7г > 0, таких, что
\\TM(t)\\ < WTUtr'W^Mze-^^ty 0.
При этом полугруппа Тоцг(г),< > 0, допускает расширение на К до группы операторов, обозначаемой тем же символом Т0„[ (полагается Т0цг(£) =
Две упорядоченные пары (Л/1,71), (Л/2,72) называются параметрами экспоненциальной дихотомии.
Введём в рассмотрение замкнутые подпространства
Ем1,Н = {X £ ЕтиГН. : Р;мХРш = Р^ХРШ = 0} =
= {X е ЕтиГН : Р'п1ХРш + Р;м1ХР1Нй = X}, Епй0Н = {X е ЕпйН : РШХР,'*ои1 = Р„ыХР*п1 = 0} = = {Хе ЕтиГН : Рг,аХР;п1 + Рт1ХР^ = X}.
Теорема 2.5. Для того чтобы полугруппа Т : Е+ —> ЕпШ корректных операторов была гиперболической, необходимо и достаточно, чтобы существовали равномерно отрицательный оператор « отрицательный оператор Р* < 0 из алгебры ЕпдН такие, что уравнения
А*Х + ХА = Е; (6)
АХ + ХЛ* = Е» (7)
имели соответствующие им самосопряжённые решения £Еп(1Н.
Если полугруппа Т корректных операторов гиперболична, то для любых равномерно отрицательных операторов Р £ ЕпйЛ, Е„ £ ЕпйН уравнения (б) и (7) имеют единственные самосопряжённые решения IV £ ЕпАьН, IV, £ Еп(10Н. Оператор IV обратим, а IV* инъективен, и они представимы в виде (8) и (9) соответственно
оо о
\Ух = - У J вА^УРв^хЛ. (8)
О -00
00 О
Wtx = -J GA{t)F.GA{tyxdt + J GA(t)F,GA(t)*xdt,x e H. (9)
0 -oo
Подпространства Hint « Hout являются соответственно W-положительными и W-отрицательными, причём они взаимно IV-ортогональны.
В условиях теоремы GA : М —> EndTl - функция Грина, определяемая следующим образом
i Тш(-т)~1Рш, т < 0.
Теорема 2.6. Для
того чтобы полугруппа Т : —* EndH сюръектив-ных операторов была гиперболической, необходимо и достаточно, чтобы существовали равномерно отрицательный оператор F <С 0 и отрицательный оператор Ft < 0 из алгебры EndH такие, что уравнения (6) и (7) имели соответствующие им самосопряжённые решения IV, IV, £ EndH. Если полугруппа Т сюръективных операторов гиперболична, то для любых равномерно отрицательных операторов F £ End,H, F» € EndH уравнения (6) и (7) имеют единственные самосопряжённые решения IV € End+H, Wt 6 EndoH. Оператор IV инеективен, a W* обратим, и они представший в виде (8) и (9) соответственно. Подпространства Нт и Hout являются соответственно IV-положительными и W-отрицательными, причём они взаимно W-ортогональны.
В третьей главе получены оценки функции Грина, построенной по гиперболической полугруппе и группе операторов, которые играют важную роль в оценках слабых решений дифференциальных уравнений. В диссертации для оценки величины ||Сд(<)||,г Е R, построенной по гиперболической полугруппе операторов Т : R+ —> EndH, используются следующие величины:
7(>l)=sup||i*(¿M)||,
Лек
11
v{A)= sup — f ||H(¿A,A)x||2dA,
M<i 27ГI
I/(Л*)= sup Í- [ ||Л(г'А, A*)x||2dA, llill<i2?r -/
А(Г) = sup ||T(i)||. 0<<<1
Теорема 3.1. Функция Грина Ga '■ R —1' EndH допускает оценки вида
^»^ШР^1'"50' <io)
для любого числа а > 0, удовлетворяющего условию а < ^щ. В частности,
\\GA(t)\\<^Jv(A)v(A*)e-^,t¿V. (11)
В случае когда полугруппа Т является экспопеициалыю устойчивой (т.е. выполнено условие (4)), верна
Теорема 3.3. Пусть Т : R+ —» EndH - экспоненциально устойчивая полугруппа операторов. Тогда она допускает оцент вида
[ ИТ), 0 < t < 1;
^ t (1-07(Л))2 е ' - 1>
для любого числа а > О, удовлетворяющего условию а < 1/7(Л).
Для оценки величины к(Т) можно использовать числовую область оператора А, т.е. подмножество 0 (А) из С вида
6(A) = {(Ах, х):хе D(A), ||х|| < 1}.
Введём в рассмотрение величину 0(A) — sup Re А.
Аб9(Л)
Отметим, что величина Р(А) может принимать бесконечное значение даже для генератора А полугруппы Т класса Со- Однако, если /3(А) < оо, то верна
Теорема 3.4. Если (3{А) < оо и Т : —> ЕпйН - экспоненциально устойчивая полугруппа операторов, то
для любого числа а > 0, удовлетворяющего условию а < 1/7(А).
Отметим, что полученные в теоремах 3.1 - 3.4 оценки не используют условие ограниченности оператора А.
Также, используя числовую область генератора группы операторов, в третьей главе получены оценки параметров экспоненциальной дихотомии од-нопараметрических групп операторов.
В полученных оценках используются величины
и предполагается, что /1т;п > —оо, Итах < оо.
Теорема 3.5. Функция Грина См : К —1• Еп<Ш допускает оценки вида
В четвертой главе строится пример сильно непрерывной полугруппы, числовая область генератора которой покрывает всю комплексную плоскость, или, что эквивалентно, данная полугруппа не допускает оценку геи < £ > 0, ни для какого УбК.
Рассматривается гильбертово пространство I2 = ф С" последовательна
ностей х = (х2,хз,...), где хп € С",я > 2, со скалярным произведением
Лтоп = тт\Яе\ : А 6 б(>1)} < О, Ъ-тах = тах{ЯеХ : А £ 0(Л)} > О,
1тт
тах тт
ОО
(Х>У) = Е (хп,Уп), хп,у„ € С".
Рассматривается последовательность нилыютеитных операторов <3П £ ЕпйСп,п > 2, определяемых с помощью квадратной матрицы
/ 0 1 ... 1 \ о о ... О
^ 0 0 ... О )
Оператор <2П действует на г б С" следующим образом:
п к=2
и индекс нильпотентности каждого из операторов <3,, равен двум. Далее рассматриваются операторы Ап = — + Яп,п > 2.
Требуемым свойством обладает полугруппа операторов Т : М+ —> Епй12, построенная следующим образом: Т({]х = (е(л2х2,е(у1зхз,...),а; € ¿2,жп £ С",п> 2,£ > 0.
В диссертации доказывается, что такая полугруппа Т является полугруппой класса Со, и числовая область её генератора покрывает всю комплексную плоскость С.
Публикации автора по теме диссертации
1. Романова М.Ю. Оценки некоторых возмущённых классов устойчивых матриц / М.Ю. Романова // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. - Воронеж:ВГУ. - 2007 г. - №2,- С.148-149.
2. Романова М.Ю. Оценки некоторых возмущённых классов устойчивых матриц / М.Ю.Романова // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тезисы докладов. - Воронеж:ВГУ. - 2008. - С.119.
3. Романова М.Ю. Об одной новой оценке функции Грина / М.Ю.Романова // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тезисы докладов. - Воронеж:ВГУ. - 2010. - С. 123.
4. Романова М.Ю. Оценки равномерно устойчивой полугруппы операторов / М.Ю.Романова // Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы 'Понтря-гинские чтения ХХГ. - Воронеж:ВГУ. - 2010.
5. Романова М.Ю. Об условиях устойчивости некоторых спектральных характеристик линейных операторов / М.Ю. Романова // Вестник факультета ПММ. - Воронеж:ВГУ. - 2010 г. - №8. - С.264-269.
6. Романова М.Ю. Об оценках функции Грина / М.Ю.Романова // КРОМШ-2010. Тезисы докладов. - 2010.
7. Romanova M.Yu. Lyapunov's equation and Krein's theorem for group of operators / M.Yu. Romanova // International Scientific Journal: Spectral and evolution problems. - 2010. - V.20. - P.22G-227.
8. Романова М.Ю. Оценки функции Грина для гиперболической полугруппы операторов / М.Ю.Романова // Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы 'Понтрягинские чтения XXII'. - Воронсж:ВГУ. - 2011.
9. Романова М.Ю. Гиперболические полугруппы операторов и уравнение Ляпунова./ А.Г. Баскаков, А.А. Воробьев, М.Ю. Романова.// Математические заметки. - 2011 г. - Т.89. - №2,- С. 190-203.
10. Romanova M.Yu. Estimations of Green's function based on semigroup of operator / M.Yu. Romanova // International Scientific Journal: Spectral and evolution problems. - 2011. - V.21. - P.187-189.
11. Романова М.Ю. Оценки функции Грнна, построенной но полугруппе операторов / М.Ю.Романова // Вестник МГОУ. Серия: Физика-математика. - 2011 - №2 - с.6-18.
12. Романова М.Ю. О гиперболических полугруппах операторов и числовой области их генератора: Препринт НИИМ ВГУ № 38: Сентябрь 2011 / М.Ю.Романова // Воронеж: Воронежский государственный университет, 2011. - 25 с.
Работы [9], [И] соответствуют списку ВАК РФ для кандидатских диссертаций.
Подписано в печать 05.10.11. Формат 60*84 '/,6. Усл. псч. л. 0.93. Тираж 100 экз. Заказ 1224.
Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издатсльско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3
Список обозначений
Введение
1 Основные понятия и используемые результаты
§1.1 Некоторые сведения из теории полугрупп операторов
§1.2 Некоторые сведения из теории полугрупп разностных операторов
2 Классы гиперболических полугрупп операторов и уравнение Ляпунова.
§2.1 О разрешимости уравнения Ляпунова.
§2.2 Теорема М.Г. Крейна для генераторов некоторых классов полугрупп операторов. Разрешимость уравнения Ляпунова как необходимое и достаточное условие гиперболичности полугруппы операторов.
3 Оценки параметров экспоненциальной дихотомии од-нопараметрических полугрупп и групп операторов
§3.1 Оценки функции Грина, построенной по гиперболической полугруппе операторов.
§3.2 Оценки функции Грина, построенной по гиперболической группе операторов.
4 О числовой области генератора полугруппы операторов
Список обозначений
N - множество натуральных чисел; Ъ - множество целых чисел; Z + = {пеЪ:п> 0}; К - множество вещественных чисел;
К+ = {Ь е К : £ > 0};
Т = {Л € С : |А| — 1} - единичная окружность; 3 - одно из множеств: М+, М; {(г, б) е з х з ■. з < ¿}; С - множество комплексных чисел; Сп = Сх . х С:
Ч Ч У'
ТС - комплексное гильбертово пространство;
Horn(TCi,Л?) ~ банахово пространство линейных ограниченных операторов (гомоморфизмов), определённых на TL\ со значениями в
ЕпсШ = Ногп(ТС,ТС) - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в ТС:
I - тождественный оператор в любом из рассматриваемых пространств;
А\\ - норма оператора А 6 Нот(Н1, ТС2)', п раз
В — В [А) - область определения оператора А : В (А) С ТС\ —> Кг;
С {А) - график оператора А : В (А) С Н\ —> 7^2;
КегА - ядро оператора, А : В (А) С 7^1 —> Н2; тА - образ оператора Л : С ТС\ 'Н2] р(А) - резольвентное множество оператора А : В (А) С 7^ —> 7^;
11(-,А) : р(А) —ЕпйТС - резольвента оператора А : В (А) С 7~С сг(А) — С \ р{А) - спектр оператора А: г (А) - спектральный радиус оператора А;
Ы : Дз —>■ ЕпсШ. - семейство эволюционных операторов.
Пусть Н - комплексное гильбертово пространство. ЕпАЛ - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в Л. Рассматривается полугруппа Т : —» ЕпсЩ класса Со с генератором (инфинитезимальным оператором) А : I)(А) С Л —■► Л. С помощью полугруппы Т описываются решения (как классические, так и слабые) дифференциального уравнения х = Ах. (1)
Полугруппа операторов Т : М+ —> ЕпсШ называется гиперболической (пли допускающей экспоненциальную дихотомию), если спектр а(Т(1)) оператора Г(1) обладает свойством
7(Г(1))р|Т = 0, (2) где Т={АеС:|А| = 1}- единичная окружность. Таким образом.
7(Г(1)) =<ТМ[](ТоиЬ (3) где аш = {А € а(Т{ 1)) : |Л| < 1} и <т0(|, = {Л е а(Т( 1)) : |Л| > 1}. Если (70„1 = 0, то полугруппа Т является экспоненциально устойчивой. т.е. существуют постоянные М > 1 и со < 0 такие, что
Т(£)|| < > 0. (4)
Для А £ ЕпсШ в монографии [25] было установлено, что гиперболичность полугруппы операторов эквивалентна существованию самосопряжённого оператора IV 6 Епс1Н такого, что А равномерно Ж-диссипативен. т.е. А*~\¥ + IVА = F -С 0, где символ ^ < 0 означает равномерную отрицательность оператора Р £ ЕпсШ. В этом случае оператор \¥ определяет квадратичную функцию Ляпунова Ь : Н —> Ш,Ь(и) = (и,и)\у — (И'и, и) такую, что функция Ь ь-> L(г¿(¿), г¿(¿)) монотонно убывает для каждого решения и : М —> ТС дифференциального уравнения х = Ах.
В статьях [63]. [64] были сделаны попытки перенести результаты М. Г. Крейна для генераторов иифинитезимальных полугрупп операторов класса Со- Однако имеющиеся там неточности привели к тому, что соответствующие результаты не были достигнуты.
В диссертации [19] результаты теоремы Крейна были распространены на гиперболические группы операторов. Таким образом, является актуальной тема распространения теоремы Крейна на полугруппы операторов (которые состоят из необратимых операторов). В диссертации приведены два класа полугрупп, для которых результаты теоремы Крейна верны, а также доказаны соответствующие теоремы. Таким образом, используя уравнение Ляпунова, получены критерии проверки гиперболичности некоторых классов полугрупп операторов.
Разработке эффективно проверяемых критериев экспоненциальной дихотомии и методов оценки параметров экспоненциальной дихотомии для систем с постоянной матрицей были посвящены работы С.К. Годунова [23], А.Я. Булгакова [17]. Ю.М. Неченуренко [36], [37]. В случае бесконечномерного пространства Н соответствующих результатов получено не было. Актуальность получения оценок тесно связана с приложениями к уравнениям в частных производных. Возникающие сложности получения таких оценок в случае бесконечномерного пространства связаны с неограниченностью оператора А. В цитируемой монографии [23]. как правило, получаемые оценки использовали величину ||А||.
Для получения оценок в диссертации используются следующие величины
7(Л) = 8ир||Я(гА,Л)||,
AgR v(A) = sup — / \\R(iX.A)x\\2dX,
HI<i 2тт 7 v{A*) = sup J- [ \\R(iX.A*)x\\2d\, lkl|<i 2тг 7 k(T)= sup ||T(i)||,
0<i<l а также числовая область генератора А гиперболической полугруппы операторов Т.
В связи с использованием числовой области генератора полугруппы операторов возникает актуальный вопрос: всегда ли числовая область генератора сильно непрерывной полугруппы операторов ограничена? В диссертации строится пример полугруппы, для которой числовая область генератора совпадает с комплексной плоскостью С.
Основные результаты диссертации получены с использованием методов теории полугрупп операторов, дифференциальных уравнений. методов функционального анализа и гармонического анализа. В диссертации получены следующие новые результаты:
1. Необходимые и достаточные условия гиперболичности некоторых классов полугрупп операторов, используя операторное уравнение Ляпунова, построенное по ее генератору.
2. Оценки параметров экспоненциальной дихотомии (функции Грина), используя операторное уравнение Ляпунова, построенное по генератору гиперболической полугруппы операторов.
3. Оценки параметров экспоненциальной дихотомии (функции Грина), используя числовую область генератора гиперболической группы операторов.
4. Построена полугруппа Т : М+ —» ЕпсШ. числовая область генератора которой покрывает всю комплексную плоскость, или, что эквивалентно, полугруппа, которая не допускает оценку ||Г(*)|| < г > 0, пи для какого шеК.
Диссертация состоит из четырех глав. В первой главе приводится сводка широко используемых в диссертации понятий п результатов из теории операторов, теории полугрупп операторов, дифференциальных уравнений.
Во второй главе диссертации получены условия разрешимости уравнения Ляпунова и необходимые и достаточные условия гиперболичности полугруппы корректных операторов и полугруппы сюръ-ективных операторов.
Пусть Н - комплексное гильбертово пространство. ЕпсШ - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в Л. Рассматривается гиперболическая полугруппа операторов Т : М+ —> ЕпсШ(т.е. выполнено условие (2)).
Рассмотрим уравнение Ляпунова
СА{Х) = А*Х + ХА = Р е ЕпбН. (5)
Предполагается, что А : £)(Л) С И. —> ТС - генератор гиперболической полугруппы операторов Т : М+ —>ЕпсШ, и далее используются соответствующие обозначения.
Под решением уравнения (5) понимается оператор IV Е ЕпсШ, обладающий свойствами: 1) \¥х Е В{А*)\ 2) А*\Ух + IVАх = Ех для любого х £ О {А).
Определение 2.4. Оператор В € ЕпсШ назовём корректным (или равномерно инъективиым), если выполнено условие а(В) = т! > 0.
ММ
Определение 2.5. Полугруппу Т : —>ЕпсШ класса Со назовём полугруппой корректных операторов, если оператор Т( 1) является корректным оператором.
Заметим, что из корректности оператора Т( 1) следует корректность всех операторов Т(1),Ь > 0.
Определение 2.6. Полугруппу Т : —> ЕпсШ назовём полугруппой сюръективных операторов, если оператор Т( 1) сюръекти-вен.
Пусть полугруппа Т : R+ —> ЕпсШ гиперболична (выполняется условие (2). и. следовательно, (3) ). Тогда гильбертово пространство 7i представимо в виде прямой суммы
К = Ti-lnf ф Tiout замкнутых подпространств Tiint = ImPint. 7iout — ImP0Ut, которые являются образами проекторов Рш,Р0м, ГДС Pout I Pint-Проектор Рисса РшЬ построен по спектральной компоненте aint. Подпространства l~imt. Haut инвариантны относительно операторов Т{т),т > 0. Таким образом, можно рассмотреть две полугруппы операторов (сужения полугруппы Т на 7i-,nt и 7i,out соответственно)
Pint '• -> EndHint,Tout : EndHout,
Tuait) = T(t)\Hi„t,T0Ut(t) = T(t)\Haut,t > 0.
Следовательно, T(t) = Tjnt(t) ÇBTouf(t),t > 0, относительно разложения 7i = Hint Ф Haut.
Поскольку a(Tivt( 1)) = criui, a{Tout{l)) = aout, то r{Tinf{l)) < 1, Tollt(l) - непрерывно обратимый оператор, и r{Tout{ 1)1) < 1 (здесь и далее через г (В) обозначен спектральный радиус: оператора В). Из этих оценок следует существование постоянных Mi, М2 > 1, 7i,72 > 0, таких, что
ТшШ < Мге-^',
WTo^ty'W < M2e~72Î,t >0.
При этом полугруппа Тош>(£), £ > 0, допускает расширение на М до группы операторов, обозначаемой тем же символом (полагается Тои^ь) = < о ).
Две упорядоченные пары (М;^), (М2,72) называются параметрами экспоненциальной дихотомии.
Введём в рассмотрение замкнутые подпространства
ЕпЪН = {X в Еп&Ч : Р^ХРШ = = 0} = {Хе ЕпёН : Р;п,ХР^ + Р*ои1ХРо^ = X], Еп(10Н = {X Е ЕшШ : Ргп,ХР^ = Ро,лХР;и< = 0} = - {х Е : Р„«ХР*а + Рои,ХР;ш, = X}.
Теорема 2.5. Для того чтобы полугруппа Т : М+ —> ЕпвН корректные операторов была гиперболической, необходимо и достаточно, чтобы существовали равномерно отрицательный оператор Е <с 0 и отрицательный оператор Е* < 0 из алгебры En.dK такие, что уравнения
А*Х + ХА = Е: (6)
АХ + ХА' = Е, ' (7) имели соответствующие им самосопряжённые решения IV, Е ЕпдН. Если полугруппа Т корректных операторов гиперболична, то для любых равномерно отрицательных операторов Е Е Еп(1*Л, ^ Е ЕпсГН уравнения (6) и (7) имеют единственные самосопряжённые решения \У Е Епй/Н, ЕЕпс^Н. Оператор IV обратим, а И7* инъективен, и они представимы в виде (8) и (9) соответственно ос
1¥х = Са&)*РС(А)№х(И+ I в^уЕв^хсП. (8)
О —ос ос О
УУ*х = -I вА{№СА{1Ух(Н+ У 6 Я. (9)
О -ос
Подпространства "Нил и ТСои^ являются соответственно положителъными и Ш-отрицательными, причём он,и взаимно IV-ортогональны.
В условиях теоремы С а '■ К —> ЕпйТС - функция Грина, определяемая следующим образом -Т(т)Рш, т > 0: СгА(т) = { К } - ' Тш{-тУ1Р(пИ, т< 0.
Теорема 2.6. Для того чтобы полугруппа Т : М+ —> ЕпсШ. сюръективных о?гераторов была гиперболической, необходимо и достаточно, чтобы существовали равномерно отрицательный оператор Г <С 0 и отрицательный one.pam.op < 0 из алгебры ЕпсШ. такие, что уравнения (6) и (7) имели соответствующие им самосопряжённые решения И7, И7* € ЕпсШ. Если полугруппа Т сюръективных операторов гиперболична, то для любых равномерно отрицательных операторов Е е ЕпЛ*Н, Е* е ЕпсШ, уравнения (6) и (7) имеют единственные самосопряжённые решения \¥ Е ЕпйШ, И7* ^Еп(1{]Н. Оператор У/ инъективен, а И7* обратим, и они представимы в виде (8) и (9) соответственно. Подпространства Hint и TLout являются соответственно W-положительными и W-отрицательными, причём они взаимно W-ортогональны.
В третьей главе получены оценки функции Грина, построенной по гиперболической полугруппе операторов, которые играют важную роль в оценках слабых решений дифференциальных уравнений. В диссертации для оценки величины ЦСл(^)||,t Е R. используются следующие величины:
7(Л) = 8ир||Д(?А,Л)||,
АеМ v(A)= sup -1- [ \\R(i\,A)x\\2d\, |Ы|<1 2тг J т. и(А*) = sup i- f \\R(i\,A*)x\\2d\. ||.т||<1 2тг J R k(T)= sup ||T(Í)||.
0<t<l
Теорема 3.1. Функция Грина Ga R EndTi допускает оценки вида для любого числа а > 0, удовлетворяющего условию а < -^щ- В частности,
GU(¿)|| < |t ф 0. (И)
В случае когда полугруппа Т является экспоненциально устойчивой (т.е. выполнено условие (4)), верна
-Теорема 3.3. Пусть Т : R+ —> EndH - экспоненциально устойчивая полугруппа операторов. Тогда она допускает оценки вида Г(*)И< к(Т),
О < t < 1:
1 у/^АНА-) ы t (1-о7(Л))2 ь > 1, для любого числа а > О, удовлетворяющего условию а < 1 /7(А).
Для оценки величины к(Т) можно использовать числовую область оператора А. т.е. подмножество ©(А) из С вида
Отметим, что величина в (А) может принимать бесконечное значение даже для генератора А полугруппы Т класса Со- Однако, если в (А) < оо, то верна
Теорема 3.4. Если Р{А) < оо и Т : М+ —> Епд!Н - экспоненциально устойчивая полугруппа операторов, то для любого числа а > 0, удовлетворяющего условию а < 1/7(А).
Отметим, что полученные в теоремах 3.1 - 3.4 оценки не используют условие ограниченности оператора А.
Также, используя числовую область генератора группы операторов, в третьей главе получены оценки параметров экспоненциальной дихотомии однопараметрических групп операторов.
В полученных оценках используются величины
А) = {(Аи.ж) : .т е ||ж|| < 1}.
Введём в рассмотрение величину
3(А) = эир ЯеХ. А е©(Л) Н пип тгп{Не\ : Л е ©(А)} < О,
К пах = тах{Ке\ : Л € 0(Л)} > О, и предполагается, что ¡гт-т > —оо, /?„,«.,- < оо, тогда верна Теорема 3.5. Функция Грина йл М. —' ЕгкГК допускает оценку вида
2\Нтт{А)\и{А)е-^. ¿>0; надои <
2ЬП1<и {А)?4А)е^Ы\ Ь < 0.
GaWI < 2и(А)(^/21гтал(ЛМА) + у/2\}гтЫ{А)\у{А)).
В четвертой главе построена полугруппа Т : —> ЕгкЕК, числовая область генератора которой покрывает всю комплексную плоскость, или, что эквивалентно, полугруппа, которая не допускает оценку ||Т(£)|| < > 0, ни для какого
Рассматривается гильбертово пространство I2 ~ ф С" послеп>2 довательностей х ~ (х2, .), где хп 6 С ":п > 2, со скалярным ос произведением (х,у) = хп,у„ в С". п—'2
Рассматривается последовательность нильпотентпых операторов Е Епс1Сп,п > 2, определяемых с помощью квадратной матрицы п 1 \ \ 0
0 1 0 0 0 0 . 0 /
Оператор действует на г £ С" следующим образом: и индекс нильпотентности каждого из операторов равен двум. т.е. = 0.
Далее рассматриваются операторы
Требуемым свойством обладает полугруппа Т : М+ —> ЕпсИ2. построенная следующим образом:
Т(ф = (еМгж2,еМ}ж3} -),х £ 12,х„ £ С",п > 2,7 > 0.
В диссертации доказывается, что такая полугруппа Т является полугруппой класса Со. и числовая область ее генератора покрывает всю комплексную плоскость.
1. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов / А. Г. Баксаков.- Воронеж. ВГУ. 1987.-165 с.
2. Баскаков А.Г. Лекции по алгебре./ А.Г. Баскаков //- Воронеж: Воронежский государственный университет, 2004. 306 с.
3. Баскаков А.Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов / А. Г. Баскаков // Функц. анализ и его прил.- 1996.- Т.ЗО.- №3.- С.1-11.
4. Баскаков А.Г. Линейные дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами и полугруппы разностных операторов / А. Г. Баскаков // Мат. заметки.-1996.- Т.59.- №6.- С.811-820.
5. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных дифференциальных операторов и полугруппы разностных операторов / А. Г. Баскаков // Дифференциальные уравнения,- 1997.- Т.ЗЗ.-№10.- С.1299-1306.
6. Баскаков А.Г. О корректности линейных дифференциальных операторов / А.Г. Баскаков // Матем. сб.- 1999,- Т.190,- №3,-С.3-28.
7. Баскаков А.Г. Об обратимости и фредгольмовости разностных операторов / А.Г. Баскаков // Мат. заметки.- 2000.- Т.67.- №6,-С.816-827.
8. Баскаков А.Г. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами / А.Г. Баскаков. А.И. Пастухов // Сиб. матем. жури.- 2001.- Т. 42,-№6,- С.1231-1243.
9. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / А.Г. Баскаков. К.И. Чер-нышов // Матем. сб.- 2002,- Т.193,- №11,- С.3-42.
10. Баскаков А. Г. Об обратимости и фредгольмовости параболических дифференциальных операторов / А.Г. Баскаков // Докл. РАН.- 2002,- Т.383,- №5.- С.583-585.
11. Баскаков А.Г. Оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений / А.Г. Баскаков // Дифференциальные уравнения,- 2003.- Т.39,- С.413-415.
12. Баскаков А.Г. Теория представлений банаховых алгебр, абеле-вых групп и полугрупп в спектральном анализе линейных операторов /А.Г. Баскаков // Современная математика. Фундаментальные направления.- Москва,- 2004,- Т.9.- С.3-151.
13. Баскаков А.Г. Гармонический анализ каузальных операторов и их спектральные свойства /' А.Г. Баскаков. И.А. Криштал //Изв. РАН. Серия матем,- 2005.- Т. 69,- №3.- С.3-54.
14. Баскаков А.Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А.Г. Баскаков // Изв. РАН. Серия матем,- 2009,- Т.73,- №2.-С.3-68. ■
15. Баскаков А.Г. Разностные операторы в исследовании дифференциальных операторов: оценки решений ' А.Г. Баскаков, Ю.Н. Синтяев // Дифференциальные уравнения.- 2010.- Т. 46.-№2,- С. 1-10.
16. Баскаков А.Г. Гиперболические полугруппы операторов и уравнение Ляпунова./ А.Г. Баскаков, A.A. Воробьев. М.Ю. Романова.// Математические заметки. -2011 г. Т.89. - №2,- С. 190-203
17. Булгаков А.Я. Обоснование гарантированной точности выделения инвариантных подпространств нссамосопряжснных матриц./ А.Я. Булгаков// Численный анализ.Труды института математики СО АН СССР. 1989 г. - Т. 15. - С. 12-93
18. Воробьев A.A. Об оценках норм степеней матрицы / A.A. Воробьев. М.Ю. Романова /7 Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика,- Воронеж:ВГУ,- 2007 г.- №2,- С.83-86
19. Воробьёв A.A. Гиперболические группы операторов и уравнение Ляпунова. Спектральный анализ дискретных систем/ A.A. Воробьёв // ВГУ -2011
20. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. / Ф.Р. Гантмахер //- М.: Гос. изд-во техн. теорст. лит., 1954 . - 491 е.
21. Гельфанд И.М. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. / И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов,- М: Наука. 1958. 356 с
22. Гиль М.И. Метод операторных функций в теории дифференциальных уравнений. /М.И. Гиль.- М.: Наука, 1990. 154 с.
23. Годунов С. К. Современные аспекты линейной алгебры / С. К. Годунов. Новосибирск: Научи, кн., 1997
24. Градштейп И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик.- М.: Физматгиз. 1963.1100 С.
25. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн,- М.: Наука, 1970,- 535 С.
26. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц,- М.: ИЛ, 1962,- Т.1.- 895 с.
27. Иосида К. Функциональный анализ /' К. Иосида.- М.: Мир, 1967,- 624 с.
28. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като.-М.: Мир, 1972,- 740 С.
29. Колмогоров А.Н. Элементы теории функции и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин,- М.: Наука, 1968.543 с.
30. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн,- М.: Мир, 1967.- 464 с.
31. Крейн С.Г. Функциональный анализ / С.Г. Крейн.- М.: Наука, 1972.
32. Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа / С.С. Кутателадзе.- Изд-во ин-та матем. Новосибирск, 2000.- 349 с.
33. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстерник. В.И. Соболев.- М.: Наука, 1965.- 520 с.
34. Массера Х.Л. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства /' Х.Л. Массера, Х.Х. Шеффер.- М.: Мир, 1970.- 456 с.
35. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк,- М.: Наука, 1969.- 527 с.
36. Нечепуренко Ю.М. Об оценке нормы матричной экспоненты / Ю.М. Нечепуренко // Доклады академии паук.- 2001.- Т.377,-№5,- С.597-600.
37. Нечепуренко Ю.М. Новая оценка нормы матрицы Грина / Ю.М. Нечепуренко // Доклады академии наук,- 2001.- Т.378.-№4,- С.450-451.
38. Перов А.И. Частотные признаки существования ограниченных решений / А.И. Перов // Дифференциальные уравнения.- 2007.-Т.43,- №7,- С.896-904.
39. Рид М. Методы современной математической физики / М. Рид, Б. Саймой.- М.:Мир. 1982
40. Робертсон А.П. Топологические векторные пространства / А.П. Робертсон. В.Дж. Робертсон.- М.:Мир. 1967.- 257 с.
41. Романова М.Ю. Оценки некоторых возмущённых классов устойчивых матриц / М.Ю.Романова // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейиа. Тезисы докладов.-Воронеж:ВГУ,- 2008,- С.119
42. Романова М.Ю. Об одной новой оценке функции Грина / М.Ю.Романова ,//' Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тезисы докладов,- Воронеж:ВГУ.- 2010.- С. 123
43. Романова М.Ю. Оценки некоторых возмущённых классов устойчивых матриц / М.Ю. Романова // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика.- Воропеж:ВГУ.- 2007 г.- №2,- С. 148-149
44. Романова М.Ю. Оценки равномерно устойчивой полугруппы операторов / М.Ю.Романова // Современные методы теориикраевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы 'Понтрягинские чтения ХХГ .-Воронеж: В ГУ.- 2010.
45. Романова М.Ю. Оценки функции Грина для гиперболической полугруппы операторов / М.Ю.Романова // Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы : Понтрягинские чтения XXII'.-Воронеж:ВГУ.- 2011.
46. Романова М.Ю. Об условиях устойчивости некоторых спектральных характеристик линейных операторов / Л4.Ю. Романова // Вестник факультета ПММ. Воронеж:ВГУ,- 2010 г.- №8.-С.264-269
47. Романова М.Ю. Об оценках функции Грина / М.Ю.Романова // КРОМШ-2010. Тезисы докладов. 2010.
48. Романова М.Ю. Оценки функции Грина, построенной по полугруппе операторов / М.Ю.Романова // Вестник МГ0У.Серия:Физика-математика. с.6-18
49. Романова М.Ю. О гиперболических полугруппах операторов и числовой области их генератора: Препринт НИИМ ВГУ № 38: Сентябрь 2011 / М.Ю.Романова // Воронеж: Воронежский государственный университет, 2011. 25 с.
50. Романова М.Ю. О числовой области генератора полугруппы ,/ М.Ю.Романова // КРОМШ-2011. Тезисы докладов. 2011.
51. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин.- М.:Мир, 1975449 с.
52. Синтяёв Ю. Н. Оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка / Ю.Н. Синтяев // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика,- Воронеж:ВГУ,- 2007 г.- т.- С.135-138.
53. Хепри. Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. / Д. Хенри.- М.: Мир, 1985,- 376 с.
54. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс,- М.: ИЛ, 1962,- 830 с.
55. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдварде,- М.:Мир, 1969.- 1070 с.
56. Bhatia A. How and why to solve the operator equation AX-XB=Y / R. Bhatia, P. Rosenthal // J. Bull. London Math. Soc.- 1997. -V29.m.- p.i-21.
57. Chicone C. Hyperbolicity and dissipativity in Evolution equations / C. Chicone, Yu. Latushkin // Appl. Math.- 1995. VI68.- P.95-106
58. Chicone C. Evolution semigroups in dynamical systems and differential equations / C. Chicone, Yu. Latushkin // Amer. Math. Soc.- 1999,- 361 p.
59. Engel K.J. One Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations / K.J. Engel, R. Nagel // Semigroup Forum.- 2001,- V.63.-№2,- P.278-280.
60. Gearhart L. Spectral theory for contraction semigroups on Hilbert spaces / L. Gearhart // Trans. Amer. Math. Soc.- 1978.- V.236.-P.385-394.
61. Gohberg I. Classes of linear operators / I. Gohberg, S. Goldberg, M. Kaashoek / / Birhauser, vol. I. Oper. Theory Adv. Appl., 49, Basel, Boston, Berlin, 1990.
62. Goldberg S. Unbounded linear operators. Theory and applications / S. Goldberg //McGraw-Hill, New York-Toionto, 1966.
63. Latushkin Yu. Evolution semigroups and Lyapunov theorems in Banach spaces / Y. Latushkin. S. Montogomery-Smith //' J. Funkt. Anal.- 1995,- V.127.- №1,- P.173-197.
64. Latushkin Yu. Exponential Dichotomy and Mild Solutions of Nonautonomous Equations in Banach Spaccs / Y. Latushkin, T. Randolph, R. Schnaubelt // Journal of Dynamics and Differential Equations.- 1998,- V.10.- №3,- P.489-510.
65. Van Minh N. Exponential stability, exponential expansiveness, and exponential dichotomy of evolution equations on the half-line / N. Van Minh, F. Rabiger, R. Schnaubelt // Integral Equations and Operator Theory.- 1998,- V.32.- №3,- P.332-353.
66. Van Minh N. Characterizations of dichotomies of evolution equations on the half-line / N. Van Minh, N. Th. Huy // J. Math. Anal. Appl.- 2001.- V.261.- M.- P.28-44.
67. Nagel R. Semigroup methods for nonautonomous Cauchy problems / R. Nagel //Lecture Notes in Pure and Appl. Math.-V.168.- Dekker.- New York.- 1995.- P.301-316.
68. Pruss J. On the spectrum of Co semigroups /' J. Pruss /'/ Trans. Amcr. Math. Soc.- 1984,- V.284.- P.847-857.
69. Rau R.T. Hyperbolic evolution semigroups on vector valued function spaces / R.T. Rau // Semigroup Forum.- 1994,- V.48.- №1-P.107-118.
70. Romanova M.Yu. Lyapunov's equation and Krein's theorem for group of operators / M.Yu. Romanova // International Scientific Journal: Spectral and evolution problems .- 2010,- V.20.-P.226-227.
71. Romanova M.Yu. Estimations of Green's function based on semigroup of operator / M.Yu. Romanova // International Scientific Journal: Spectral and evolution problems .- 2011.- V.21.-P. 187-189.
72. Schnaubelt R. Asymptotically autonomous parabolic evolution equations / R. Schnaubelt /,/ Journal of Evolution equations.- 2001.-V.I.- P.19-37.
73. Taylor A.E. Introduction to functional analysis / A.E. Taylor // John Wiley andSons.- New York.- 1958.
