Гиперболические группы операторов и уравнение Ляпунова. Спектральный анализ дискретных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Воробьев, Антон Алексеевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Воронеж
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2011
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
(/ ' на правах рукописи
/ /7
Воробьев Антон Алексеевич
Гиперболические группы операторов и уравнение Ляпунова. Спектральный анализ дискретных систем
01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
12 май 2011
ВОРОНЕЖ - 2011
4845955
Работа выполнена в Воронежском государственном университете
Научный руководитель: доктор физико-математических наук,
профессор Баскаков Анатолий Григорьевич
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Каменский Михаил Игоревич,
доктор физико-математических наук, профессор Тюрин Василий Михайлович
Ведущая организация: Белгородский государственный университет
Защита состоится "24" мая 2011 года в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете, 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 335.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.
Автореферат разослан "21"апреля 2011 г. Ученый секретарь
диссертационного совета Д 212.038.22
доктор физ.-мат. наук, профессор
Общая характеристика работы
Актуальность темы. В основе качественной теории дифференциальных уравнений лежат вопросы устойчивости и оценок решений, при этом важную роль играет построение функции Ляпунова для уравнениях = Ах, где А : D(A) € И —» TL - генератор сильно непрерывной полугруппы операторов Т : К+ = [0, оо] —» EndH из банаховой алгебры EndH линейных ограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве Н. При этом важную роль играют гиперболические полугруппы операторов для которых выполнено условие
а(Т(1))р|Т = 0,
где <т(Т(1)) спектр оператора Т( 1) и Т = {z 6 С : |л| = 1} - единичная окружность. Если сг(Т(1)) С {А € С : |А| < 1}, то такая полугруппа будет называться устойчивой.
Красивое истолкование второго метода Ляпунова с использованием нового скалярного произведения в % было дано в монографии Ю.Л. Да-лецкий, М.Г. Крейн 1 для случая, когда А £ EndH и T(t) = exp(tA), i £ М, - группа операторов. Там же было установлено, что гиперболичность этой группы операторов эквивалентна существованию самосопряжённого оператора IV Е EndH такого, что А равномерно Ж-дисспативен, т.е. A*W + IVA = F 0, где символ F <С 0 означает равномерную отрицательность оператора F £ ЕпсШ. В этом случае оператор W определяет квадратичную функцию Ляпунова L : Н —> К, L(u) = (и, u)w = (Wu, и) такую, что функция t н-» L(u(t),u(t)) монотонно убывает для каждого решения и:М.->Н дифференциального уравнения х = Ах.
1Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн.- М.: Наука, 1970.- 535 С.
В статьях С. Chicone, Yu. Latushkin 2 3 были сделаны попытки перенести результаты М. Г. Крейна для генераторов ипфипитезимальных полугрупп операторов класса Со. Однако имеющиеся там неточности привели к тому, что соответствующие результаты не были достигнуты.
В диссертации результаты М.Г. Крейпа распространяются для генераторов сильно непрерывных групп операторов. Приведен пример полугруппы операторов, для которых теорема М.Г. Крейна оказывается неверной.
В последнее время была установлена глубокая связь между теорией линейных дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэфициептами и теорией разностных операторов в пространствах последовательностей векторов. Переход от рассмотрения дифференциального уравнения к разностному позволяет получить эффективные оценки ограниченных решений, которые могут быть использованы в вопросах робастпости систем управления, а так же в активно развивающейся в настоящее время теории марковских процессов.
Вопрос оценки ограниченных решений разностных уравнений сводится к оценке норм степеней ограниченного оператора через максимальное значение нормы резольвенты на единичной окружности. При этом возникает необходимость использовать техники гомоморфных функций. Точность полученных оценок играет важную роль в вопросах разрешимости нелинейных разностных уравнений.
Диссертация посвящена распространению метода Ляпунова на дифференциальные уравнения с постоянными неограниченными операторными
2Chicone С. Hyperbolicity and dissipativity in Evolution equations / C. Chicone, Yu. Latushkin // Appl. Math.- 1995. V168.- P.95-106
3Chicone C. Evolution semigroups in dynamical systems and differential equations / C. Chicone, Yu. Latushkin // Amei. Math. Soc.- 1999.- 361 p.
коэффициентами сильно непрерывных групп операторов, а так же оценкам рсшспиИ разностных уравнений. Таким образом, исследуемая тема является актуальной.
Цель работы.
1. Получить необходимые и достаточные условия гиперболичности групп операторов, используя операторное уравнение Ляпунова, построенное по ее генератору.
2. Получить необходимые и достаточные условия гиперболичности группы Хоулэпда.
3. Получить условия разрешимости нелинейных разностных уравнений.
4. Получить оценки ограниченных решений линейных разностных уравнений.
5. Получить оценки норм степеней матрицы с известным спектром.
Методика исследований. Основные результаты диссертации получены с использованием методов теории полугрупп операторов, дифференциальных уравнений, методов функциональною анализа, голоморфных функций, теории функций вещественного анализа.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
1. Необходимые и достаточные условия гиперболичности групп операторов, используя операторное уравнение Ляпунова, построенное по ее генератору.
2. Необходимые и достаточные условия гиперболичности группы Хоул-энда.
3. Условия разрешимости нелинейных разностных уравнений.
4. Оценки ограниченных решений линейных разностных уравнений.
5. Оценки норм степеней матрицы с известным спектром.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в развитии теории операторов и дифференциальных уравнений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференциях "Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна"(г. Воронеж, 2008 г.), на "20 Крымская осенняя математическая школа-симпозиум "(г. Севастополь, 2009 г.), "Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейпа"(г. Воронеж, 2009 г.), "21 Крымская осенняя математическая школа-симпозиум "(г. Севастополь, 2010 г.) и па ежегодных научных сессиях факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.
Публикации работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[6]. Из совместных публикаций [1], [6] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору.
Работы [5], [б] соответствуют списку ВАК РФ для кандидатских диссертаций.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных на параграфы, и списка цитируемой литературы, содержащего 80 источников. Общий объем диссертации - 81 страница.
Содержание работы
Во введении приводятся краткие исторические и библиографические сведения о предмете исследования, обсуждается тема работы, се цели и задачи. Дано общее описание основных направлений и методов исследования. Характеризуются полученные в диссертации результаты.
Нумерация приводимых ниже определений и теорем совпадает с нумерацией в диссертации.
Диссертация состоит из четырех глав. В первой главе приводится сводка широко используемых в диссертации понятий и результатов из теории операторов, теории полугрупп операторов, дифференциальных уравнений.
Во второй главе диссертации получены условия разрешимости уравнения Ляпунова и необходимые и достаточные условия гиперболичности группы операторов.
Пусть % - комплексное гильбертово пространство, ЕпсШ - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в ~Н. Сильно непрерывная полугруппа операторов Т : К.+ = [0, оо] —» ЕпсШ, т.е. полугруппа класса Со, называется гиперболической (или допускающей экспоненциальную дихотомию), если ст(Т(1))р|Т = 0 , где <т(Т(1)) - спектр оператора Т(1) и Т = {А е С : |А| = 1} - единичная окружность. Важность этого понятия связана с тем, что решения дифференциального уравнения
х = Ах
с инфинитезимальным генератором А гиперболической полугруппы Т допускают экспоненциальную дихотомию.
Рассмотрим уравнения Ляпунова
СА(Х) = А*Х + ХА = Р £ Еп<Ш. (1)
Предполагается, что А : D(A) С И —> Tí - генератор гиперболической полугруппы операторов Т : R+ —»ЕпсШ и далее используются соответствующие обозначения.
Под peuienuexi уравнения (1) понимается оператор W G ЕпсШ, обладающий свойствами: 1) Wх G D(A*); 2) A*Wx + WAx = Fx для любого х G D{A).
Теорема 2.6. Для того, чтобы сильно непрерывная группа операторов Т : М -^EndH была гиперболической необходимо и достаточно, чтобы существовали равномерно отрицательно определённые onepamopbiF <С О, Ft -С 0 из алгебры EndH такие, что уравнение (1) и уравнение
АХ + ХЛ* = F, (2)
имели соответствующие им самосопряжённые решения W, Wt G EndH.
Эти операторы обратимы и представимы формулами 00 00 Wx = -J T(typ;ntFPintT(t)xdt + J (T(—t)P0Ut)*FPmtfT(—t)xdt, x G H, о 0
oo oo
W.x = - J T(t)PintF,T(tyP*ntxdt + jT{-t)PoutF,T{-tyP*mitxdt,x£H.
о 0
Подпространства Нш и Timtt являются соответственно W - положительными uW - отрицательными, причём они взаимно W-ортогональны.
В условиях теоремы P¡„¡ € EndH - проектор Рисса, построенный по спектральному множеству aint = {Л G сг(Т'(1)) : |А| < 1}, и Pont = I - Pint -дополнительный проектор. Символ Т{т)РтЛ для т < О обозначает оператор из ЕпсШ, однозначно определяемый из равенств (Т(т)Ротй)Т(—т) = Т(—т){Т{т)Рт1{) = Pmt■ Таким образом, оператор T(T)Pmt является пулевым на подпространстве H(nt = ImPint (1тРш -- образ проектора Pmt),
и сужение (Т(т)Рои{)\Нои1 оператора Т(т)Р0,и на подпространство Hout = ImPout совпадает с обратным к оператору Т(—т)\Н0<й. При этом в случае, если Т - группа операторов, то Т(т)Р0,и, т < 0, - произведение операторов Т(т) и Pout.
Если полугруппа операторов Т : R+ End H не является группой (состоит из необратимых операторов), то утверждение теоремы 2.6 (в части необходимости условии) перестает быть верным. В диссертации приводится соответствующий пример.
В §2.3 получена теорема М.Г.Крейна для гиперболической группы Хоул-энда.
Во третьей главе получены условия существования решений разностных уравнений, а также оценки ограниченных решений.
В §3.1 получены условия разрешимости некоторого класса нелинейных разностных уравнений. Символом 1р = 1Р(1,,Н), где р € [1,оо] обозначим банахово пространство двусторонних последовательностей векторов из И, суммируемых со степенью р для р Е [1, оо) и ограниченных для р = оо, с нормой
Ыр = (Е 1Ж11Р)1/Р, 1 < Р < +оо, \\х\\х = sup ||z(n)||.
nez kiZ
Рассмотрим нелинейные разностные уравнения вида
х(к) = Ах(к - 1) + f(k — 1,х(к - 1)), (3)
где х - последовательность из £р, р G [1, оо], / : Z х H H - некоторая функция, a A G EndH - линейный оператор, для которого верно следующее условие
о (А) П Т = 0, (4)
где Т = {Л € С : |А| = 1}. Для последующих оценок нам потребуются
з(Л) = maxiííA, А),
ш
где R(-, А) : р(А) —> EndTí - резольвента оператора А.
При доказательстве следующего результата использовался метод из статьи Перова А.И.4.
Теорема 3.1. Пусть выполнены условие Липшица для функции / по второму аргументу и условие q = < 1. Тогда разностное уравнение (3) имеет единственно ограниченное решение Хц : Ъ -Л И, и для этого решения справедлива оценка
1ко||ЭО<(8(Г^у)2 +1)11/011».
В §3.2 получены оценки ограниченных решений линейных разностных уравнений. Пусть X - комплексное банахово пространство и EndX - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих вХ. Рассмотрим линейные разностные уравнения вида
х(п) — Ах(п — 1) = у{п), п е Z, (5)
где х - некоторая неизвестная последовательность из íp, р G [1, оо], у -заданная последовательность из £р, а А € EndX - линейный оператор, для которого верно условие (4).
Для последующих оценок нам потребуется величина
7(Л)=8ир||Д(7,Л)1|. (6)
теТ
4Перов A.II. Частотные признаки существования ограниченных решений / А.И. Перов // Дифференциальные уравнения,- 2007.- Т.43.- Л"«7,- С.896-904.
Справедлива
Теорема 3.2. Пусть для оператора А выполнено условие (4). Тогда для любой последовательности у G ip разиостиое уравнение (5) имеет единственное решение х G (р. определяюи^ееся формулой
X = (zr7)(n) = J2 G(n - k)f(k), ne Z,xeîp = ep(z, H),
k€ Z
где функция G : Ъ —> EndX (назовем ее функцией Грина), определяется равенствами
\ АпРш, п > О, G(n) = < ~
[ -AH;;tpmt, п < о.
И это решение допускает оценку вида
SmtlMlp, = %
5оИ«||у||р, (Tint = 0,omt ф 0, (Sint + 50„t)||t/||p, (Tint ф 0, (Tout ф 0,
где p € [1; oo], a Sj„t и Sont определяются равенствами
IMIp<
Jint —
Q ___
bout —
В условиях теоремы Pint € EncLY - проектор Рисса, построенный по спектральному множеству (Tint = {А € с (А) : |А| < 1}, и Pout — I — P^t -дополнительный проектор.
Следствие 3.1. Пусть выполнены все условия теоремы. Тогда решение
х £ 1р допускает оценку вида
(472(Л)-27(Л))|Ы|Р, <7^0,^ = 0, \х\\р < | (472(Л) + 27(Л))||2/|и ош = Ъ,<То*ФЬ 872(Л)||у||г)) оыф%,отЛф%,
[
где р £ [1; оо].
Отмстим, что оценка величины (6) для для случая, когда Л - оператор в конечномерном пространстве X, получена в монографии Годунова С. К.5. В бесконечномерном пространстве оценка легко может быть подсчитана для некоторых классов операторов.
В четвертой главе получены оценки норм степеней матрицы с известным спектром, а также оценки норм степеней матрицы простой структуры.
В §4.1 получены оценки норм степеней матрицы с известным спектром. Рассмотрим Ма£гт(С) - линейное нормированное пространство квадратных матриц с комплексными коэффициентами, и пусть норма выбрана так, что выполняется неравенство: ||ЛВ|| < ЦЛЦЦВЦ для всех А, В £ МсЛгт{С). Ставится задача об оценки нормы степеней матрицы ||Л"||, п > 1.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 4.1. Пусть А £ Ma.tr т(С) - произвольная матрица т-го порядка с известным спектром. Тогда справедливы следующие оценки:
где г(А) - спектральный радиус матрицы А.
5Годунов С. К. Современные аспекты линейной гип'ебры / С. К. Годунов. - Новосибирск: Научн. кн.,
' т-1
£ Ск{2\\А\\)кг(А)"-к, п > т,
НЛ1 < „*г?
2 Ск{2\\А\\)кг(А)п~к + (2||Л||)", п < т.
/¡=0
1997
Следует отметить, что для любого ограниченного оператора А : X —» X, действующего в банаховом пространстве X, для любого £ > 0 существует такое Л/ > 1, что имеют место оценки вида
\\А"\\<М(г(А) + е)п,п^1.
Данная теорема уточняет эти оценки. Для этого используется метод Гельфанда-Шилова.
Следствие 4.1. Пусть выполнены условия теоремы 4-1 и т{А) > 1. Тогда для случая п > т справедлива оценка
тп~ 1
||Л1<г(Л)"5>*(2Й|)*,
А.-0
где г (А) - спектральный радиус матрицы А.
В §4.2 получены оценки для случая, когда матрица А - матрица простой структуры.
Публикации автора по теме диссертации
1. Воробьев A.A. Об оценках норм степеней матрицы / A.A. Воробьев, М.Ю. Романова // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика-Воронеж: В ГУ.- 2007 г.- №2.- C.83-8G.
2. Воробьев A.A. Об условиях разрешимости некоторого класса нелинейных разностных уравнений/ A.A. Воробьев // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика,- Вороиеж:ВГУ,- 2008 г.- №2,- С.126-128.
3. Воробьев A.A. Об оценках норм степеней матрицы / A.A. Воробьев // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тезисы докладов,- Воронеж:ВГУ.- 2008,- С.35-36.
4. Воробьев A.A. Оценки линейных разностных уравнений / A.A. Воробьев // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тезисы докладов.- Воронеж:ВГУ,- 2009,- С.47.
5. Воробьев A.A. Оценки ограниченных решений разностных уравнений / A.A. Воробьев // Вестиик ВГУ. Серия: Физика. Математика.-Воропеж:ВГУ.- 2010 г.- №2,- С.43-46.
6. Воробьев A.A. Гиперболические полугруппы операторов и уравнение Ляпунова./ А.Г. Баскаков, A.A. Воробьев, М.Ю. Романова.// Математические заметки. -2011 г. - Т.89. - №2,- С.190-203.
Работы [5], [6] соответствуют списку ВАК РФ для кандидатских диссертаций.
Подписано в печать 19.04.11. Формат 60*84 '/,6. Усл. псч. л. 0,9. Тираж 80 экз. Заказ 520.
Отпечатано с готового оригинал-макета в типо1рафии Издатсльско-иолиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3
Список обозначений
Введение
1 Основные понятия и используемые результаты
§1.1 Некоторые сведения из теории операторов
§1.2 Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов
2 Гиперболические группы операторов и уравнение Ляпунова
§2.1 О разрешимости уравнения Ляпунова.
§2.2 Теорема М.Г. Крейна для генераторов групп операторов
§2.3 Теорема М.Г.Крейна для гиперболической группы
Хоулэнда.
3 Условия существования решений разностных уравнения и их оценок
§3.1 Об условиях разрешимости некоторого класса нелинейных разностных уравнений.
§3.2 Оценки ограниченных решений линейных разностных уравнений.
4 Оценки норм степеней матрицы
§4.1 Общие оценки.
§4.2 Оценки'матрицы простой структуры.
Список обозначений
N - множество натуральных чисел;
Ъ - множество целых чисел;
К - множество вещественных чисел;
С - множество комплексных чисел;
Н - комплексное гильбертово пространство;
ЕпсШ - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в
X - комплексное банахово пространство;
ЕпйХ - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в Х\
С(Т) - график оператора Т;
КегТ - ядро оператора Т;
1тпТ - образ оператора Т;
И = £>(Т) - область определения оператора Т;
Т|| - норма оператора Т; р(Т) - резольвентное множетсво оператора Т;
Я(Х, Т) - резольвента ператора Т;
7{А) — С \ р{А) - спектр оператора А; г(А) - спектральный радиус оператора Л;
LP = H) - гильбертово пространство (классов эквивалентности) измеримых по Бохнеру и суммируемых со степенью р функций;
ZP = р е [1,оо] - пространство двусторонних последовательностей векторов из Н, суммируемых со степенью р для р Е [1, оо) и ограниченных для р = оо; Ы - семейство эволюционных операторов; Си - оператор вида Си '• D{Cu) С Т = .F(R, X)) —> Т А и ~ оператор вида Аи = I - Ти{ 1);
Со = Co(Z, X) - банаховое пространство Со = Co(Z, X) = {ж Е 4о: Hm ||я(п)||=0};
Т = {АеС:|А| = 1}- единичная окружность; J - одно из множеств: R+ или R;
Aj - множество следующего вида Aj = {(t, s) € 1 х I : s < i}; I - тождественный оператор;
Hom(T-Li,7i2) - банахово пространство линейных ограниченных операторов (гомоморфизмов), определённых на Tii со значениями
В основе качественной теории дифференциальных уравнений лежат вопросы устойчивости и оценок решений, при этом важную роль играет построение функции Ляпунова для уравнениям = Ах, где А : И (А) Е И —У % - генератор сильно непрерывной полугруппы операторов Т : = [0, оо] —> ЕпсШ. из банаховой алгебры ЕпсШ. линейных ограниченных операторов,, действующих в гильбертовом пространстве При этом важную роль играют гиперболические полугруппы операторов для которых выполнено условие
С7(Т(1))Г)Т = 0, где <7(Т(1)) - спектр оператора Т( 1) и Т = {г е С : \г\ = 1} - единичная окружность. Если сг(Т(1)) С {Л €Е С : |Л| < 1}, то такая полугруппа будет называться устойчивой.
Красивое истолкование второго метода Ляпунова с использованием нового скалярного произведения в И было дано в монографии [27] для случая, когда А € ЕпсШ и Т(£) = ехр{1А), £ 6 К, - группа операторов. Там же было установлено, что гиперболичность этой группы операторов эквивалентна существованию самосопряжённого оператора ТУ Е ЕпсШ такого, что А равномерно И^-дисспативен, т.е. А*У/ + 1¥А = ^<0, где символ ^ 0 означает равномерную отрицательность оператора ^Р £ Епс17-£. В этом случае оператор ]¥ определяет квадратичную функцию Ляпунова Ь : % —>• М, Ь{и) = (и, = (\¥и, и) такую, что функция £ Ь(и(£),и(Ь)) монотонно убывает для каждого решения и % дифференциального уравнения х = Ах.
В статье [60] и монографии [61] были сделаны попытки перенести результаты М. Г. Крейна для генераторов инфинитезимальных полугрупп операторов класса Со. Однако имеющиеся там неточности привели к тому, что соответствующие результаты не были достигнуты.
В диссертации результаты М.Г. Крейна распространяются для генераторов сильно непрерывных групп операторов. Приведен пример полугруппы операторов, для которых теорема М.Г. Крейна оказывается неверной.
В последнее время была установлена глубокая связь между теорией линейных дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэфициентами и теорией разностных операторов в пространствах последовательностей векторов. Переход от рассмотрению дифференциального уравнения к разностному позволяет получить эффективные оценки ограниченных решений, которые могут быть использованы в вопросах робастности систем управления, а так же в активно развивающейся в настоящее время теории марковских процессов.
Вопрос оценки ограниченных решений разностных уравнений сводится к оценке норм степеней ограниченного оператора через максимальное значение нормы резольвенты на единичной окружности. При этом возникает необходимость использовать техники гомоморфных функций. Точность полученных оценок играет важную роль в вопросах разрешимости нелинейных разностных уравнений.
Диссертация посвящена распространению метода Ляпунова на дифференциальные уравнения с постоянными неограниченными операторными коэффициентами сильно непрерывных групп операторов, а так же оценкам решений разностных уравнений. Таким образом, исследуемая тема является актуальной.
Основные результаты диссертации получены с использованием методов теории полугрупп операторов, дифференциальных уравнений, методов функционального анализа, голоморфных функций, теории функций вещественного анализа.
В диссертации получены следующие новые результаты:
1. Необходимые и достаточные условия гиперболичности групп операторов, используя операторное уравнение Ляпунова, построенное по ее генератору.
2. Необходимые и достаточные условия гиперболичности группы Хоулэнда.
3. Условия разрешимости нелинейных разностных уравнений.
4. Оценки ограниченных решений линейных разностных уравнений.
5. Оценки норм степеней матрицы с известным спектром через спектральный радиус.
Диссертация состоит из четырех глав. В первой главе приводится сводка широко используемых в диссертации понятий и результатов из теории операторов, теории полугрупп операторов, дифференциальных уравнений.
Во второй главе диссертации получены условия разрешимости уравнения Ляпунова и необходимые и достаточные условия гиперболичности группы операторов.
Пусть И - комплексное гильбертово пространство, ЕпсЩ -банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в И. Сильно непрерывная полугруппа операторов Т : = [О, оо] —ЕпсШ, т.е. полугруппа класса Со, называется гиперболической (или допускающей экспоненциальную дихотомию),если <7(Т(1)) р) Т = 0 , где а(Г(1)) - спектр оператора Т( 1) и Т = {А £ С : |А| = 1} - единичная окружность. Важность этого понятия связана с тем, что решения дифференциального уравнения х = Ах с инфинитезимальным генератором А гиперболической полугруппы Т допускают экспоненциальную дихотомию.
Рассмотрим уравнения Ляпунова
СА{Х) = А*Х + ХА = Ге ЕпсСН, (1) рассматриваемому в банаховой алгебре ЕпсГН. Предполагается, что А : Б (А) С Н —> Н - генератор гиперболической полугруппы операторов Т : R+ —>-End% и далее используются соответствующие обозначения.
Под решением уравнения (1) понимается оператор W G ЕпсШ, обладающий свойствами: 1) Wx € D(A*)\ 2) A*Wx + WAx = Fx для любого x £ D(A).
Теорема 2.6. Для того, чтобы сильно непрерывная группа операторов Т : R —>EndH была гиперболической необходимо и достаточно, чтобы существовали равномерно отрицательно определённые операторы F <С О, F* <С 0 из алгебры EndH такие, что уравнение (1) и уравнение
АХ + ХА* = F* (2) имели соответствующие им самосопряжённые решения W, W* 6 EndH. Эти операторы обратимы и представимы формулами оо
Wx = -J T{tyP*ntFPintT(t)xdt+ о оо J(Tt-QPoutYFPartTl-QxdttX е Ч. о оо
W*x = - J T{t)pintF*T{typ;ntxdt+ 0 оо + j T^P^Ti-tyP^xdt.x 6 К, о
Подпространства и Hout являются соответственно Неположительными и W-отрицательными, причём они взаимно W-ортогональны.
В условиях теоремы Pint € ЕпсШ - проектор Рисса, построенный по спектральному множеству <jint = {Л € <т(Т(1)) : |А| < 1}, и Pout = I — Pint ~ дополнительный проектор. Символ T(r)P0Ui для т < 0 обозначает оператор из ЕпсШ, однозначно определяемый из равенств (Т{т)Рои1)Т(-т) = T(-r)(T(r)P0Ui) = Pout-Таким образом, оператор T(r)Paui является нулевым на подпространстве Hint = ImPint (ImPint ~ образ проектора Pint) и сужение {T(r)Pout)\Hoat оператора Т(т)РтЬ на подпространство H0ut — ImPout совпадает с обратным к оператору Т{—т)\Hout. При этом в случае, если Т - группа операторов, то T(r)Pout,t < 0, -произведение операторов Т(т) и Pout
Если полугруппа операторов Т : —> ЕпсШ не является группой (состоит из необратимых операторов), то утверждение теоремы 2.6 (в части необходимости условий) перестаёт быть верным.
Пример 1.1 Пусть % - бесконечномерное гильбертово пространство, А - генератор полугруппы Т : —EndЦ компактных операторов и полугруппа Т является гиперболической (например, выполнены условия (2.5)). Такая полугруппа непрерывна в равномерной операторной топологии при t > 0 [62]. Поэтому участвующие в формулах (2.14), (2.15) операторные функции непрерывны в равномерной операторной топологии при t > 0, и множество их значений являются компактными операторами. Следовательно, операторы W и W* являются компактными и, значит, необратимыми. Более конкретным примером может являться любой отрицательно определённый оператор А = А* : D(A) С К —> "Н с компактной резольвентой.
В §2.3 получена теорема М.Г.Крейна для гиперболической группы Хоулэнда.
Во третьей главе получены условия существования решений нелинейных разностных уравнений, а также оценки ограниченных решений.
В §3.1 получены условия разрешимости некоторого класса нелинейных разностных уравнений. Символом £р = £p(7j,'H), где р £ [1,оо] обозначим банахово пространство двусторонних последовательностей векторов из И, суммируемых со степенью р для р 6 [1, со) и ограниченных для р = оо, с нормой
INk = (Е ll®WIIP)1/P. 1 < Р < +оо, IklU = sup ||z(n)||.
Рассмотрим нелинейные разностные уравнения вида x{k)=Ax{k-l) + f{k-l,x{k-l)), ' (3) где х - последовательность из £р, р £ [1, оо], f : ZxtL И - некоторая функция, а Л € EndiH - линейный оператор, для которого верно следующее условие т(А) П Т = 0, (4) где Т = {Л е С : |Л| = 1}. Для последующих оценок нам потребуются s(A) = maxR(\, А), 4 7 АбТ где R(-,A) : р(А) —> EndH - резольвента оператора А.
При доказательстве следующего результата использовался метод из статьи [41].
Теорема 3.1. Пусть выполнено условие Липшица для функции f по второму аргументу и условие q = s (Л) < 1. Тогда разностное уравнение (3) имеет единственно ограниченное решение xq : Ъ —> и для этого решения справедлива оценка
IMIoo <(8(г^4у)2 + 1)11/о11оо.
В §3.2 получены оценки ограниченных решений линейных разностных уравнений. Пусть X - комплексное банахово пространство и EndX - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X.
Рассмотрим линейные разностные уравнения вида
• х(п) - Ах(п - 1) = у{п),п е Z, (5) где х - некоторая неизвестная последовательность из^р, р G [1, сю], у - заданная последовательность из £р, a A G EndX - линейный оператор, для которого верно условие (4).
Для последующих оценок нам потребуется величина
7(Л)=вир||Л(7>Л)||. (6)
7бТ
Справедлива
Теорема 3.2. Пусть для оператора А выполнено условие (4). Тогда для любой последовательности у Е £р разностное уравнение (5) имеет единственное решение х Е £р, определяющееся формулой х = (.D~lf)(n) = k)f{k),n eZ,xe£p = '£P(Z,Я), fcez где Функция С : Z —У ЕпАХ (назовем ее функцией Грина), определяется равенствами
G{n) =.
AnPint, п> о, -А^РШ, п< О.
Я это решение допускает оценку вида
Sint\\y\\p, Vint Ф 0, (Уmit = 0, 'S'outllî/llp, <7i„t = 0, Œaat ф 0, k (Sini + S^WvWp, (Tint Ф 0, (Tout Ф 0, где p G [1; oo], a «Sini и Sont определяются равенствами klip < <
Sint —
7 (A)
- - a - y/^^hw
Saut — t^V'1 + îfe
1 + дау -1) - (V1 + ifo - Ч'тИ)
В условиях теоремы Pint G EndX - проектор Рисса, построенный по спектральному множеству сг^ = {Л б с (А) • 1^1 ^ и Pout = I — Pint - дополнительный проектор.
Следствие 3.1. Пусть выполнены все условия теоремы. Тогда решение х £ £р допускает оценку вида
472(А) - 2*у(А))\\у\\р, aint ф 0, a^t = 0, (4 -у2(А) + 27(i4))|M|pj о-йй - 0, с out ф 0, 872(Л)||2/||р, (?int Ф 0? & out Ф 0j где р G [1; оо].
Отметим, что оценка величины (6) для для случая, когда А -оператор в конечномерном пространстве X, получена в монограх\\р < < фии [25]. В бесконечномерном пространстве оценка легко может быть подсчитана для некоторых классов операторов.
В четвертой главе получены оценки норм степеней матрицы с известным спектром, а также оценки норм степеней матрицы простой структуры.
В §4.1 получены оценки норм степеней матрицы с известным спектром. Рассмотрим МаЬгт{С) - линейное нормированное пространство квадратных матриц с комплексными коэффициентами и пусть норма выбрана так, что выполняется неравенство: ||АВ|| < ||Л||||5|| для всех А, В Е Ма1гт{С). Ставится задача об оценки нормы степеней матрицы ||у4.п||, п > 1.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 4.1. Пусть А е МаЬгт{С) - произвольная матрица т-го порядка с известным спектром. Тогда верна следующая оценка:
1т-1
Е Ск{2\\А\\)кг{А)п~к, п>т, п-1
Е Ск(2\\А\\)кг(А)п~к + (2ЦЛЦГ, п<т. к= О где г [А) - спектральный радиус матрицы А.
Следует отметить, что для любого ограниченного оператора А : X —X , действующего в банаховом пространстве X, для любого £ > 0 существует такое М > 1, что имеют место оценки вида
• \\Ап\\ < М(г(А) + е)п, п 1.
Данная теорема уточняет эти оценки. Для этого используется метод из [23]. Л
Следствие 4.1. Пусть выполнены условия теоремы 4.1 и г (А) > 1. Тогда для случая п> т справедлива оценка т— 1
А"\\<г(АГ^2СпШ\\)к, к=О где г (А) - спектральный радиус матрицы А.
В §4.2 получены оценки для случая, когда матрица А - матрица простой структуры.
Теорема 4.2. Пусть А - матрица простой структуры тп-го порядка с комплексными элементами и Ai,., Хт - собственные значения матрицы А. Тогда верна следующая оценка:
ЛП|| < гп(А) ■ т • 2го"1 1,6= min - А,-|. где &{А) - спектр матрицы А.
1. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов / А. Г. Баксаков.- Воронеж. ВГУ, 1987.-165 с.
2. Баскаков А.Г. Лекции по алгебре./ А.Г. Баскаков //- Воронеж: Воронежский государственный университет, 2004. 306 с.
3. Баскаков А.Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов / А. Г. Баскаков // Функц. анализ и его прил.- 1996.- Т.ЗО.- №3.-С.1-11.
4. Баскаков А Т. Линейные дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами и полугруппы разностных операторов / А. Г. Баскаков // Мат. заметки.-1996.- Т.59.- №6.- С.811-820.
5. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных дифференциальных операторов и полугруппы разностных операторов / А. Г. Баскаков // Дифференциальные уравнения.- 1997.- Т.ЗЗ.-№10.- С.1299-1306.
6. Баскаков А.Г. О корректности линейных дифференциальных операторов / А.Г. Баскаков // Матем. сб.- 1999.- Т.190.- №3.-С.3-28.
7. Баскаков А.Г. Об обратимости и фредгольмовости разностных операторов / А.Г. Баскаков // Мат. заметки.- 2000.- Т.67.- №6.-С.816-827.
8. Баскаков А.Г. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами / А.Г. Баскаков, А.И. Пастухов // Сиб. матем. журн.- 2001.- Т.42.-№6.- С.1231-1243.
9. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / А.Г. Баскаков, К.И. Чер-нышов // Матем. сб.- 2002,- Т.193.- №11.- С.3-42.
10. Баскаков А.Г. Об обратимости и фредгольмовости параболических дифференциальных операторов / А.Г. Баскаков // Докл. РАН.- 2002.- Т.383.- №5.- С.583-585.
11. Баскаков А.Г. Оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений / А.Г. Баскаков // Дифференциальные уравнения,- 2003.- Т.39.- С.413-415.
12. Баскаков А.Г. Теория представлений банаховых алгебр, абе-левых групп и полугрупп в спектральном анализе линейных операторов /А.Г. Баскаков // Современная математика. Фундаментальные направления.- Москва.- 2004.- Т.9.- С.3-151.
13. Баскаков А.Г. Гармонический анализ каузальных операторов и их спектральные свойства / А.Г. Баскаков, И.А. Криштал //Изв. РАН. Серия матем.- 2005.- Т. 69,- №3.-С.3-54.
14. Баскаков А.Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А.Г. Баскаков // Изв. РАН. Серия матем.- 2009.- Т.73.- №2.-С.3-68.
15. Баскаков А.Г. Разностные операторы в исследовании дифференциальных операторов; оценки решений / А.Г. Баскаков, Ю.Н. Синтяев // Дифференциальные уравнения.- 2010.- Т.46.-№2.- С.1-10.
16. Баскаков А.Г. Гиперболические полугруппы операторов и уравнение Ляпунова./ А.Г. Баскаков, A.A. Воробьев, М.Ю. Романова./ / Математические заметки. -2011 г. Т.89. - №2.- С.190-203
17. Воробьев A.A. Об оценках норм степеней матрицы / A.A. Воробьев, М.Ю. Романова // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика.- Воронеж:ВГУ.- 2007 г.- №2.- С.83-86
18. Воробьев A.A. Об условиях разрешимости некоторого класса нелинейных разностных уравнений/ A.A. Воробьев // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика.- Воронеж:ВГУ.- 2008 г.- №2.-С.126-128
19. Воробьев A.A. Об оценках норм степеней матрицы / A.A. Воробьев // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тезисы докладов.- Воронеж:ВГУ- 2008.- С.35-36
20. Воробьев A.A. Оценки линейных разностных уравнений / A.A. Воробьев // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тезисы докладов.- Воронеж:ВГУ.- 2009,- С.47
21. Воробьев A.A. Оценки ограниченных решений разностных уравнений / A.A. Воробьев // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика,- Воронеж:ВГУ.- 2010 г.- №2.- С.50-54
22. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. / Ф.Р. Гантмахер //- М.: Гос. изд-во техн. теорет. лит., 1954 . - 491 е.
23. Гельфанд И.М. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. / И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов.- М: Наука, 1958. 356 с
24. Гиль М.И. Метод операторных функций в теории дифференциальных уравнений. /М.И. Гиль.- М.: Наука, 1990. 154 с.
25. Годунов С. К. Современные аспекты линейной алгебры / С. К. Годунов. Новосибирск: Научн. кн., 1997
26. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик.- М.: Физматгиз, 19631100 С.
27. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн.- М.: Наука, 1970.- 535 С.
28. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Дан-форд, Дж.Т. Шварц.- М.: ИЛ, 1962.- Т.1.- 895 с. '
29. Жиков В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения / В.В. Жиков // Изв. АН СССР. Серия матем.- 1976.- Т.40.- №6.- С. 1380-1408.
30. Иосида К. Функциональный анализ / К. Иосида.- М.: Мир, 1967.- 624 с.
31. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като.-М.: Мир, 1972,- 740 С.
32. Колмогоров А.Н. Элементы теории функции и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин.- М.: Наука, 1968.543 с.
33. Красносельский М. А. Нелинейные почти периодические колебания / М.А. Красносельский, В.Ш. Бурд, Ю.С. Колесов.- М.: Наука, 1970.- 351 с.
34. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн.- М.: Мир, 1967.- 464 с.
35. Крейн С.Г. Функциональный анализ / С.Г. Крейн.- М.: Наука, 1972.
36. Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа / С.С. Кутателадзе.- Изд-во ин-та матем. Новосибирск, 2000.- 349 с.
37. Латушкин Ю.Д. Операторы взвешенного сдвига и линейные расширения динамических систем / Ю.Д. Латушкин, A.M. Степин // УМН.- 1991.- Т.46.- №2.- С.85-143.
38. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев.- М.: Наука, 1965.- 520 с.
39. Массера Х.Л. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Х.Л. Массера, Х.Х. Шеффер.-М.: Мир, 1970.- 456 с.
40. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк,- М.: Наука, 1969.- 527 с.
41. Перов А.И. Частотные признаки существования ограниченных решений / А.И. Перов // Дифференциальные уравнения-2007.- Т.43.- №7,- С.896-904.
42. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений / 3. Пресдорф.- М.:Мир, 1979.
43. Рид М. Методы современной математической физики / М. Рид, Б. Саймон.- М.:Мир, 1982
44. Робертсон А.П. Топологические векторные пространства / А.П. Робертсон, В.Дж. Робертсон.- М.:Мир, 1967.- 257 с.
45. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин.- М.:Мир, 1975.449 с.
46. Синтяев Ю. Н. Оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка / Ю.Н. Синтяев // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика.- Воронеж:ВГУ.-2007 г.- №1.- С.135-138.
47. Соболев С.Л. Об одной теореме функционального анализа / С.Л. Соболев // Матем. сб.- 1999,- Т.4(46).- №3.- С.471-497.
48. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С.Л. Соболев,- М.: Наука, 1988.336 С.
49. Тюрин В.М. Об обратимости оператора ^ — в некоторых функциональных пространствах / В.М. Тюрин // Мат. заметки,- 1979.- Т.25.- №4.- С.585-590.
50. Тюрин В.М. Об обратимости линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах / В.М. Тюрин // Сиб. матем. журн.- 1991.- Т.32.- №3.- С.160-165.
51. Чернышов М.К. Об обратимости линейных дифференциальных операторов первого порядка. / М.К. Чернышов // Мат. заметки.- 1998.- Т.64. №5,- С.796-800.
52. Хенри. Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. / Д. Хенри.- М.: Мир, 1985.- 376 с.
53. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс.- М.: ИЛ, 1962.- 830 с.
54. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдварде.- М.:Мир, 1969.- 1070 с.
55. Aldroubi A. Slanted matrices, Banach frames, and sampling / A. Aldroubi, A.G. Baskakov I. Krishtal // J. Funkt. Anal.- 2008.
56. Baskakov A. Spectral analysis of operators with the two-point Bohr spectrum / A. Baskakov, I. Krishtal // J. Math. Anal. Appl.-2005.- V38.- P.420-439.r
57. Baskakov A. On solution of differential inclusions in homogeneous spaces of functions / A. Baskakov, V. Obuhovskii, P. Zecca // J. Math. Anal. Appl.- 2006. -V324.- P.1310-1323.
58. Ben-Artzi A., Dichotomy of systems and invertibility of linear ordinary differential operators / A. Ben-Artzi I. Gohberg //J. Operator Theory: Advances and Applications. 56.- 1992. P.90-119.
59. Chicone C. Hyperbolicity and dissipativity in Evolution equations / C. Chicone, Yu. Latushkin // Appl. Math.- 1995. V168.- P.95-106
60. Chicone C. Evolution semigroups in dynamical systems and differential equations / C. Chicone, Yu. Latushkin // Amer. Math. Soc.- 1999.- 361 p.
61. Engel K.J. One Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations / K.J. Engel, R. Nagel // Semigroup Forum.- 2001.-V.63.- №2,- P.278-280.
62. Gearhart L. Spectral theory for contraction semigroups on Hilbert spaces / L. Gearhart // Trans. Amer. Math. Soc.- 1978.- V.236.-P.385-394.
63. Gohberg I. Classes of linear operators / I. Gohberg, S. Goldberg, M. Kaashoek // Birhäuser, vol. I, Oper. Theory Adv. Appl., 49, Basel, Boston, Berlin, 1990.
64. Goldberg S. Unbounded linear operators. Theory and applications / S. Goldberg //McGraw-Hill, New York-Toronto, 1966.
65. Howland J.S. Stationary scattering theory for time-dependent Hamiltonians / J.S. Howland // Mathematische Annalen.- 1974.-V.207.- №4.- P.315-335.
66. Latushkin Yu. Evolution semigroups and Lyapunov theorems in Banach spaces / Y. Latushkin, S. Montogomery-Smith //J. Funkt. Anal.- 1995.- V.127.- №1.- P.173-197.
67. Latushkin Yu. Exponential Dichotomy and Mild Solutions of Nonautonomous Equations in Banach Spaces / Y. Latushkin, T. Randolph, R. Schnaubelt // Journal of Dynamics and Differential Equations.- 1998.- V.10.- №3.- P.489-510.
68. Latushkin Yu. Fredholm properties of evolution semigroups / Yu. Latushkin, Yu. Tomilov // Illinois J. Math.- 2004,- V.48.- №3.-P.999-1020.
69. Latushkin Yu. Fredholm differential operators with unbounded coefficients / Yu. Latushkin, Yu. Tomilov // J, Differential Equations.- 2005.- V.208.- №2.- P.388-429.
70. Megan M. Discrete admissibility and exponential dichotomy for evolution families / M. Megan, A. L. Sasu, B. Sasu // Discrete Contin. Dyn. Syst.- 2003.- V.9.- №2.- P.383-397.
71. Van Minh N. Exponential stability, exponential expansiveness, and exponential dichotomy of evolution equations on the half-line / N. Van Minh, F. Rabiger, R. Schnaubelt // Integral Equations and Operator Theory.- 1998.- V.32.- №3.- P.332-353.
72. Van Minh N. Characterizations of dichotomies of evolution equations on the half-line / N. Van Minh, N. Th. Huy // J. Math. Anal. Appl.- 2001.- V.261.- №1.- P.28-44.
73. Nagel R. Semigroup methods for nonautonomous Cauchy problems / R. Nagel //Lecture Notes in Pure and Appl. Math.-V.168.- Dekker.- New York.- 1995.- P.301-316.
74. Perron O. Über eine Matrixtransformation / O. Perron // Mathematische Zeitschrift.- 1930.- V.32.- №1,- P.465-473.
75. Pruss J. On the spectrum of Co semigroups / J. Pruss // Trans. Amer. Math. Soc.- 1984.- V.284.- P.847-857.
76. Räbiger F. The spectral mapping theorem for evolution semigroups on spaces of vector-valued functions / F. Räbiger, R. Schnaubelt // Semigroup Forum.- 1996.- V.52.- №1.- P.225-239.
77. Rau R.T. Hyperbolic evolution semigroups on vector valued function spaces / R.T. Rau // Semigroup Forum- 1994.- V.48.-№1,- P. 107-118.
78. Schnaubelt R. Asymptotically autonomous parabolic evolution equations / R. Schnaubelt // Journal of Evolution equations.-2001,- V.l.- P. 19-37.
79. Taylor A.E. Introduction to functional analysis / A.E. Taylor // John Wiley andSons.- New York.- 1958.
