Исследование экспоненциальной дихотомии линейных почти периодических систем прямым методом Ляпунова тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

005007581

БЕЛЬГАРТ ЛЮБОВЬ ВАСИЛЬЕВНА

Исследование экспоненциальной дихотомии линейных почти периодических систем прямым методом Ляпунова

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 КНВ 2012

Воронеж - 2011

005007581

Работа выполнена па кафедре прикладной математики и фундаментальной информатики ГОУ ВПО "Омский государственный технический университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Романовский Рэм Константинович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Мухамадиев Эргат Мирозоевич, доктор физико-математических наук, профессор Баскаков Анатолий Григорьевич Ведущая организация: институт математики им. С.Л. Соболева

СО РАН

Защита состоится 17 января 2012 года в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете, 394006, г. Воронеж, Университетская площадь, 1, ауд. 335.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " декабря 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.038.22 доктор физ.-мат. наук, профессор

Е. Гликлих

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. В последние десятилетия в теории устойчивости интенсивно изучается тип поведения динамических систем, получивший название экспоненциальная дихотомия. Получены приложения к теории нелинейных колебаний, проблеме усреднения дифференциальных операторов с быстро осциллирующими коэффициентами, проблеме обратимости дифференциальных операторов.

Одна из проблем теории устойчивости - разработка эффективных методов анализа асимптотического поведения - устойчивости, дихотомии -динамических систем, параметры которых почти периодически зависят от времени. В последние годы в цикле работ группы сотрудников и аспирантов ОмГТУ (см.1 и ссылки к этой работе) получены прямым методом Ляпунова признаки экспоненциальной устойчивости для различных классов почти периодических уравнений с существенно ослабленным, по сравнению с общим случаем, условием на производную функции Ляпунова вдоль траекторий системы. Представляет теоретический и практический интерес получение аналогов этих результатов для исследования более сложного типа поведения решений - экспоненциальной дихотомии (э-дихотомия).

Цель работы - разработка варианта прямого метода Ляпунова с ослабленным условием на производную функции Ляпунова вдоль траекторий системы для исследования э-дихотомии решений трёх классов линейных систем с почти периодическими коэффициентами: обыкновенных дифференциальных, обыкновенных разностных, гиперболических с двумя независимыми неременными.

Методика исследований. Основные результаты диссертации получены с использованием методов теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории почти периодических функций.

1 Добровольский, С.М. Прямой метод Ляпунова для почти периодической разностной системы на компакте / С.М. Добровольский, A.B. Рогозин// Сиб. матем. журн. - 2005. - Т. 46, >1. - С. 98-105.

Научная новизна. В диссертации нолучсны следующие новые результаты.

1. Разработан вариант прямого метода Ляпунова для исследования э-дихотомии решений системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с почти периодическими (п.п.) коэффициентами. Получен критерий э-дихотомии с ослабленным условием на производную функции Ляпунова вдоль траекторий системы.

2. Получен аналог этого результата для системы обыкновенных линейных разностных уравнений с п.п. коэффициентами.

3. Разработан вариант прямого метода Ляпунова для исследования э-дихотомии решений задачи Коши для гиперболической системы с двумя независимыми переменными с гладкими ограниченными коэффициентами. Получен достаточный признак э-дихотомии в Ьг-норме.

4. В случае п.п. по времени коэффициентов получен достаточный признак э-дихотомии с ослабленным по сравнению с общим случаем условием на производную функционала Ляпунова вдоль траекторий системы.

5. Предложен подход к построению класса индефинитных функционалов Ляпунова, отвечающих за свойство э-дихотомии.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты представляют собой дальнейшее развитие прямого метода Ляпунова для п.п. систем. Предложенные подходы к расчету на э-дихотомию могут быть использованы при исследовании асимптотического поведения динамических систем, встречающихся в задачах теории колебаний.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференциях: на международной по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, 2006, 2008), на IX международной Четаев-ской "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (г. Иркутск, 2007), на Российской "Математика в современном мире" (Новосибирск, 2007), на VI и VII международной научно-технической "Динамика

систем, механизмов и машин" (г. Омск, 2007, 2009), на VI международной практической "Повышение конкурентоспособности российской экономики в современных условиях: управленческие, финансовые, коммерческие аспекты" (Омск, 2008), на всероссийской "Математика в приложениях" (Новосибирск, 2009), на Российской молодежной научно-практической "Прикладная математика и фундаментальная информатика" (Омск, 2011).

Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[16]. Из совместных публикаций [1]-[15] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично автору.

Работы [5], [8], [13]—[15] соответствуют списку ВАК РФ для кандидатских диссертаций.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, разделенных на параграфы, заключения и списка литературы из 116 наименований. В каждой главе и во введении использована своя нумерация параграфов, лемм, теорем и формул. Общий объем диссертации - 117 страниц.

Содержание работы

Во введении приводятся краткие исторические и библиографические сведения о предмете исследования, обосновывается актуальность темы диссертации, сформулированы цели. Дано общее описание основных направлений и методов исследования. Изложены полученные в диссертации результаты.

Нумерация теорем, приводимых ниже и в диссертации, совпадают.

1. Первая глава носит вспомогательный характер. В ней приводится сводка широко используемых в диссертации понятий и результатов из теории э-дихотомии, теории п.п. функций. Сформулирована теорема М.Г. Крей-на об операторных неравенствах.

2. Во второй главе диссертации рассматривается линейная система

х = А{£)х, х : К Е = С* (1)

с п.п. матрицей A(t). Доказан прямым методом Ляпунова критерий э-ди-хотомии с ослабленным по сравнению с общим случаем непрерывных коэффициентов условием на производную функции Ляпунова вдоль траекторий системы.

2.1. Говорят, что для системы (1) с непрерывной матрицей A(t) и матрицей Коши [/(£) имеет место свойство э-дихотомии, если фазовое пространство распадается в прямую сумму Е = Е1+Е2 так, что

1°) при некоторых > 0 выполняются оценки

х б Ek => \U{t)x\ ^ це-»^\и{т)х\ (t > т), х е Е2 => \U(t)x\ < це-^т-*Щт)х\ (t < г),

2°) взаимный наклон движущихся подпространств Ek{t) = U{t)Ek отделён от нуля: Sn(Ei{t),E2{t)) > 7 > 0.

Здесь и далее | • | - эрмитова норма в Е, так же обозначается согласованная с ней матричная норма. Числа fi, и, 7 называются параметрами дихотомии.

В частном случае |A(t)| ^ const требование 2° следует из 1°.

Рассмотрим систему (1) с п.п. матрицей A(t). Обозначим J класс матриц F : M. -» Mat(JV, С) со свойствами: F G С1, F* = F, \ det F| > const > 0, F, F, п.п., эрмитова форма v = (F(t)x,x) индефинитна. Производная формы v вдоль траекторий системы (1) даётся формулой

v{x,t) = (G(t)x,x), G = F + FA + A* F. (2)

ТЕОРЕМА 2.1. I. Если для системы (1) с п.п. матрицей A(t) существует матрица F G J такая, что 1") G(tK 0 (îgR),

2°) форма (2) отлична от тождественного нуля па каждом непулевом решении x(t) системы (1): v(x(t),t) ф 0,

то для системы (1) имеет место свойство э-дихотомии.

II. Если для системы (1) с п.п. A(t) имеет место свойство э-дихотомии, то существует матрица F G J со свойствами 1°, 2°.

2.2. В основе доказательства утверждения I теоремы 2.1 лежат свойства оболочки Я п.п. матрицы [A, F, F] и свойства некоторых функций на компакте К = Н[A, F, F] х S, где S - единичная сфера в Е.

Поставим в соответствие каждой паре (t,y), t е К, у = (Л, J7,.F,:t;u) € К, число u(t,y) = (Q(t)x(t,y),x(t,y)}, где Q = Р + FA + А*Т, x(t,y) -решение задачи Коши х = A(t)x, x\t=o = xq.

ТЕОРЕМА 2.3. Пусть выполнены условия п. I теоремы 2.1. Тогда

I) существует отрезок До С К такой, что для любой точки у £ К мноо/сество {i 6 Д0 : ¿j(t, у) ф 0} ф0,

II) для каждой точки у & К существует отрезок Д (у) С До такой, что при некоторых 7,5 = const > 0 выполняются неравенства

< -7 при г е А (у), длина А (у) >

Константы 7, <5 играют определяющую роль при формировании д, V. 2.3. В качестве приложения теоремы 2.1 получен достаточный признак э-дихотомии для векторного уравнения второго порядка

й + p(t)u + q(t)u = 0, и:

Е,

(3)

с п.п. матрицами р, q,q в терминах коэффициентов. Будем говорить, что для уравнения (3) имеет место свойство э-дихотомии, если это свойство

имеет место для эквивалентной системы (1), где ж =

ТЕОРЕМА 2.4. Пусть для уравнения (3) с п.п. матрицами р, q выпол-

и ,А = "О 7

й -q ~р_

няются условия

<Г = <7i Q ^ — fnl (т > 0), h = q+pq + qp* ^ 0 при t £ 1

det ЬфО.

(4)

Тогда для уравнения (3) имеет место свойство э-дихотомии.

'/ О

Приведём пояснения. Обозначим Р = . Очевидно, ^ ё J. Вы-

[0 q-l\

шсления дают для матрицы б и формы Ь на решении х(Ь) равенства

G =

, v{x(t),t) = — ii*q lhq lu. Нетрудно убедиться: из

О О

О q^hq-1

требований (4) следует выполнение требований 1°, 2° теоремы 2.1. Обратим внимание, что матрица G вырождена и заведомо не удовлетворяет требованию G{t) ^ -ml (i £ R) в случае непрерывной матрицы A(t).

3. Третья глава диссертации посвящена переносу результатов главы 2 на разностные системы

xn+i = Апхп, хп : Z -> Е, (5)

с п.п. матрицей Ап : Z -» Mat(iV,C), |deti4n| ^ const > 0. Свойства э-дихотомии системы (5) определяются аналогично п. 2.1, с заменой матрицы Коши U(t) и моментов времени t,r их дискретными аналогами Un,n,m.

3.1. Обозначим J класс матиц Fn : Z -> Mat(iV,C) со свойствами F* = F„, |detFn[ ^ const > 0, Fn п.п., эрмитова форма v = (F„x,x) индефинитна. Разностная производная формы v вдоль траекторий системы (5) имеет вид

v(x, п) = (Gnx, х), Gn = A*nFn+1An - Fn. (6)

ТЕОРЕМА 3.1. I. Если для системы (5) с п.п. матрицей Ап существует матрица Fn € J такая, что 1°) Gn<0(neZ),

2°) форма (6) отлична от тождественного пуля па каждом ненулевом решении хп системы (5): v{x„,n) ф 0, то для системы (5) имеет место свойство э-дихотомии.

II. Если для системы (5) с п.п. Ап имеет место свойство э-дихотомии, то существует матрица Fn G J со свойствами 1°, 2°.

В основе доказательства утверждения I теоремы 3.1 лежит разностный аналог теоремы 2.3. Построим, в условиях п. I теоремы 3.1, компакты Я = Н[Ап, Fn], К = Н х S. Поставим в соответствие каждой парс (тг, у), п € Z, у = (Л„,о) € К, число ш{п,у) = (Qnxn{y),xn{y)), Qn = A*nFn+\An -Fn, где хп(у) - решение задачи Коши xn+i = Апхп, ж|п=0 = яо-

ТЕОРЕМА 3.3. Пусть выполнены условия п. I теоремы 3.1 . Тогда существуют отрезок До С Ъ и функция п(у) : К —> До такие, что

й(п(у), У) < -7, 7 = const > 0.

Константа у играет определяющую роль при формировании параметров дихотомии [л, v.

3.3. ПРИМЕР. Рассмотрим векторное разностное уравнение 2-го порядка

апип+2 + bnun+1 - a„_iu„ = 0, гхп : Z ->• Е, (7)

где матрицы an,bn ri.n., |detan| ^ const > 0, а* = ап. Будем говорить, что для (7) имеет место свойство э-дихотомии, если это свойство имеет место

для эквивалентной системы (5), гдеж„ =

и„ , А» =

_ип+

О

,-1

I

ап-1 —ап Ьп

Справедливо утверждение: пусть, при указанных условиях, верно неравенство КеЬп > 0 (п е 2), тогда уравнение (7) обладает свойством э-дихотомии.

О ап-1 ап-1 О

Вычисления дают для матрицы Сп и формы (6) на решении хп равенства О О

Сп = -2

Приведём пояснения. Положим Fn

. Очевидно, Fn £ J.

, v(xП,п) = —2u*+1Rc6nun+i. Тем самым выполняются

О R.e/>„J

требования п. I теоремы 3.1. Заметим, что матрица Gn не удовлетворяет требованию Gn ^ —ml (п £ Z) в случае ограниченной матрицы Ап.

4. Четвертая глава является продолжением исследований по э-дихотомии для гиперболических систем, выполненных в работе 2 (см. также 3). Рассматривается в фазовом пространстве Н = —> Е), Е = С^ задача

2Воробьёва, Е.В. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболических систем с двумя независимыми переменными / Е.В. Воробьёва, Р.К. Романовский //

Сиб.матем.журн. - 1998. - Т. 39, .V 6. - С. 1290-1292.

3Романовский, Р. К. Метод Римана для гиперболических систем. / Р.К. Романовский,

Е.В. Воробьева, E.H. Стратилатова. - Новосибирск: Наука, 2007. - 170 с.

Коти

Здесь

~ + A(s,t)~ + B(s,t))u = 0, u:R2-*E dt 'ds J (8)

■u|i=o = h{S) e H.

A = diag(oi/i,.. .,anIn), ai>...>an, |afc| > const > 0, Ik ~ единичная матрица порядка ^ N^ = N, (9)

A е С1, В еС, A, A's, A't, В ограничены.

При условиях (9) проходящие через каждую точку х = (s, t) € М2 характеристики 1к(х) = {(ег,т) : о = Sk(r,x),s'kT = ak(sk,T),Sk(t,x) = s} определены глобально и пересекают прямые s = const, t = const один раз. Предполагается sup I ak s (It < oo, где 71- отрезок кривой /¿(ж) от

I J7Jc

точки с ординатой 0 до х. В случае, когда начальная функция h принадлежит плотному в ¿2 линеалу Щ финитных гладких функций К —> CN, задача Коши (8) однозначно разрешима в классе С1, при этом ограничения u(t) решения на прямые t = const - элементы Hq и оператор Коши U(t) : h —> u{t) ограничен. В случае любой h £ Н под решением понимается функция u{t) = U(t)h, где U(t) - продолжение по непрерывности оператора Коши из Но в Я.

Свойство э-дихотомии решений задачи Коши (8) определяется аналогично п. 2.1 с заменой матрицы Коши оператором Коши и пространств Е, Ei, Е4 на Я, Hi, Я2. Получены следующие основные результаты.

1. Доказан достаточный признак э-дихотомии при условиях (9).

2. Предложен подход к построению класса индефинитных функционалов Ляпунова, "ответственных" за свойство э-дихотомии.

3. В случае, когда в (8) А = const, В п.п. по t равномерно по s € R, доказан признак э-дихотомии с ослабленным, по сравнению с общим случаем, условием на производную функционала Ляпунова вдоль траекторий системы (8).

4.1. Зафиксируем матрицу F(s, t) = diag(Fb ...,Fm, -Fm+U-Fn) с диагональными блоками порядков Ni,...,N„ со свойствами

Щ = Fb mi7fc < Fk < ™-ih (m¡ > 0), ^

ПеС1, |F¿S|, \F'kt\ < const и рассмотрим эрмитову форму

/00

/i*F/ids. (11)

00

ЛЕММА 4.3. Производная формы (11) вдоль траекторий системы (8), лежащих в Щ, даётся формулой

v{h, t) = (Gh, h), G = F¡ + (FA)'S -FB- B*F. (12)

ТЕОРЕМА 4.2. Пусть, при указанных выше условиях, существует матрица F указанного вида такая, что

G(s, t) < -pi, (s, t) 6 Ш2, p> 0. (13)

Тогда имеет место э-дихотомия решений задачи Коши (8).

Укажем кратко подход к построению подпространств Hi, Н2, реализующих э-дихотомию. Замена и —» г с использованием введенного ранее в 2 оператора сдвига вдоль характеристик приводит исследование э-дихотомии решений задачи Коши (8) к исследованию э-дихотомии решений задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения в Н

z = A(t)z, z:R-> Н, 2(0) задана, (14)

с ограниченным сильно непрерывным оператором А. Представим элементы Я в виде z = [21 Z2]T, где Zk - векторы размеров JVi + ... + Nm, Nm+1 + ... + Nn, и пусть операторная матрица Г(£,т) = [r¿j]f - реализация разрешающего оператора Г : z(t) —» z(t) задачи Коши (14) в "базисе" (zi, Z2). Показано, что подпространства, реализующие э-дихотомию решений задачи Когии (Ц), задаются в базисе (zi, 22) уравнениями 22 = K+z\,

21 = K-z2, где K+ = lim Г21(0,г)Г^(0,г), = lim Г12(0, т^О, г).

Т-++00 Т-¥-ОС

Выполняя обратную замену z и, получим искомое разложение

Я = Я1+Я2.

4.2. Будем называть функционал (11) со свойством (13) индефинитным функционалом Ляпунова для системы (8). Представим матрицу В в блочном виде В = [Ду]", где Bkj - блок размера Nk х Nj. Пусть

RcBkk > blk (k = 1, m), RcBkk < -blk {k = m + l,n), b> 0. (15)

Обозначим Uk(z,x) (где z E lk(x), см. рис.) решение задачи Коши dk

dt

+ Bkk(z)

u = 0, U\z=x = Ik,

где dk/dt - производная по t вдоль lk, и пусть

Z(z,u;) = [zkjft, zkk = 0, zy =

-f{ Vkdr, (k = m+l,n), WkVkBkj+UjBi$

2^/щш;

где - части 1к{х) соответственно выше и ниже точки х, и = (а>ь... ,ш„), > 0, интегралы сходятся ввиду (15).

ТЕОРЕМА 4.3. Пусть при некотором наборе шк> 0 выполняется неравенство 2{х,ш) > — (0 ^ е < 1). Тогда функционал (11) с матрицей F(a:,u^) = сНа§(ш11?х)... ,ш„Уп) ~ индефинитный функционал Ляпунова для (8); тем самым имеет место свойство э-дихотомии решений этой задачи.

ПРИМЕР. Рассмотрим задачу Коти

у"а - у''3 + 2ру[ + 2ду'3 + гу = О,

0) е И^(Е), у{(в, 0) € Ь2{Щ заданы

р, д, г = согш^ Замена и =

А =

У

(р - ч)у + у[ + у[ В =

приводит (16) к виду (8), (17)

2 1 с = р — д —г.

1 0 р-д -1

, о = 0—1 — с р + д

Будем говорить, что имеет место э-дихотомия решений задачи Коши (16), если этим свойством обладает решение задачи Коши (8) с матрицами (17). Здесь требования (9) выполняются очевидным образом, требование (15) означает: р — д > 0, р + д < 0. Положим и>\ = р — д, и)2 = — {р + д)- Получим

г

иг = ё

и2

_ -ы2(г-т)

VI

Щ ¿т =

-1

1 '1 0 " "о 1"

'-о II N

2 0 -1 1 0

с- 1

4 \/д2-р2

Нетрудно получить: Z ^ Применяя теоремы 4.2, 4.3, получим: для

э-дихотомии решений задачи Коши (16) достаточно выполнение неравенств р — д > 0, р + д < 0, < 1; индефинитный функционал Ляпунова, обеспечивающий выполнение (11), имеет вид ь(1г) = — Ь^йв.

4.3. Обозначим I класс матриц Е со свойствами (10), п.п. вместе с Е'3, Е[ по Ь равномерно по е. Пусть коэффициенты А, В оператора (8) удовлетворяют, дополнительно к (9), требованиям

А = сопя!;, В(з, £) п.п. по Ь равномерно по е.

(18)

В этом классе имеет место следующее усиление теоремы 4.2.

ТЕОРЕМА 4.4. Пусть, при условиях (9), (18), существуют матрица Е и числа р > 0, 6 > 0 такие, что для матрицы эрмитовой формы

(12) верпа оценка: G(s,t) < 0 в R2, G(s,t) < -pl в полосе О < t ^ S. Тогда имеет место э-дихотомия решений задачи Коши (8). ПРИМЕР. Рассмотрим задачу Коши

,y'¿-y':s + 2q(t)y's+r(t)y = 0, y{s, 0) G y't{s, 0) € L2(R) заданы,

7Г

r(t)=r0-q'{t),

(19)

Здесь q(t + 2к) = q(t), q(t) =

eos2í при |í| < 0

2' 7Г

го = const. Замена и =

У

-ЧУ + У'з + у[

при \t\ е [-,тг], приводит задачу Коши (19) к ви-

с матрицами А = 1 0 " и В = -q -1

0 -1 О

Jo + Ч Ч _

. Покажем, что

при условии г0 < — 4 имеет место э-дихотомия решений задачи. Пусть

F =

г0 0 0 1

, тогда G = — q

-2|r0| Ч Ч 2

. Очевидно, Р € J. Вычисления

^ ЛА Л * „ ы -1/4

дают для матрицы & оценку теоремы 4.4 при о = —, р — 2(|г | + 1)'

Заметим, что здесь не выполняется (13) теоремы 4.2: 6 = 0 при t = 2п — 1 2п+1

п е Щ.

2 2

Основные публикации автора по теме диссертации

1. Бельгарт, Л.В. Об экспоненциальной дихотомии линейных систем с почти периодической матрицей / Л.В. Бельгарт, Р.К. Романовский // Тезисы докладов МНК по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль. 10-15 июля, Владимир: Владим. гос. университет, -2006. - С. 37-39.

2. Бельгарт, Л.В. Об экспоненциальной дихотомии линейных систем с почти периодической матрицей / Л.В. Бельгарт, Р.К. Романовский // Труды IX МНК "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" посвященной 105-летию Н.Г. Четаева. 12-16 июля, Иркутск: СО РАН, институт динамики систем и теории управления, 2007. - Т. 2.- С. 187-194.

3. Бельгарт, Л.В. Об экспоненциальной дихотомии линейных разностных систем с почти периодической матрицей / Л.В. Бельгарт, Р.К. Романовский // Тезисы докладов Российской конференции "Математика в современном мире", посвященной 50-летию института математики им. С.Л. Соболева 17-23 сентября, Новосибирск: СО РАН. - 2007. - С. 179-180.

4. Бельгарт, Л. В. Об экспоненциальной дихотомии линейных систем с почти периодической матрицей / Л.В. Бельгарт, Р.К. Романовский // Материалы VI МН-ТК "Динамика систем, механизмов и машин", посвященной 65-летию ОмГТУ. Омск. - 2007. - Книга 3. - С. 74-80.

5.Бельгарт, Л.В. Об экспоненциальной дихотомии линейных разностных систем с почти периодической матрицей / Л.В. Бельгарт, Р.К. Романовский // Матем. заметки. - 2008. - Т. 84, № 4. - С. 638-640.

6. Бельгарт, Л.В. Дихотомия решений задачи Коши для периодической гиперболической системы на плоскости/ Л.В. Бельгарт, Р.К. Романовский // Тезисы докладов МНК по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль. 26 июпя-2 июля, Владимир: Владим. гос. университет, - 2008. - С. 36-38.

7. Бельгарт., Л.В. Прямой метод Ляпунова для линейных разностных систем с почти периодической матрицей / Л.В. Бельгарт, Р.К. Романовский // Материалы VI МН-ПК "Повышение конкурентоспособности российской экономики в современных условиях: управленческие, финансовые, коммерческие аспекты" Омский институт (филиал) РГТЭУ 20 ноября. Омск. -2008. - С. 215-220.

8. Бельгарт, Л.В. Об экспоненциальной дихотомии линейных систем с почти периодической матрицей / Л.В. Бельгарт, Р.К. Романовский // Сиб. мат. жури. - 2009. - Т. 50, № 1. - С. 190-198.

9. Бельгарт, Л.В. Исследование экспоненциальной дихотомии решений задачи Коши для гиперболических систем на плоскости прямым методом Ляпунова / Л.В. Бельгарт, Р.К. Романовский // Деп. в ВИНИТИ 16.04.2009, № 223-В2009, ОмГТУ, 2009, 12 с.

\

10. Бельгарт, Л.В. Исследование дихотомии линейных почти периодических систем прямым методом Ляпунова / Л.В. Бельгарт, Р.К. Романовский // Тезисы докладов всероссийской конференции " Математика в приложениях", приуроченной к 80-легию академика С.К. Годунова, 20 24 июля 2009г., Новосибирск: СО РАН. - 2009. - С. 219-220.

11. Бельгарт, Л.В. Прямой метод Ляпунова для линейных разностных систем с почти периодической матрицей/ Л.В. Бельгарт, Р.К. Романовский // Материалы VII МНН-ТК "Динамика систем, механизмов и машин", 1012 ноября 2009. Книга 3. Омск. - 2009. - С. 115-118.

12. Бельгарт, Л.В. Дихотомия решений задачи Коши для гиперболической системы на плоскости / Л.В. Бельгарт, Р.К. Романовский // Материалы VII МНН-ТК "Динамика систем, механизмов и машин", 10-12 ноября 2009. Книга 3. Омск. - 2009. - С. 118-122.

13. Бельгарт, Л.В. Об экспоненциальной дихотомии решений задачи Коши для гиперболической системы на плоскости / Л.В. Бельгарт, Р.К. Романовский // Дифференц. уравнения. - 2010. - Т. 46, № 8. - С.1125-1134.

14. Бельгарт, Л.В. Об экспоненциальной дихотомии решений систем линейных разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами / Л.В. Бельгарт, Р.К.Романовский // Изв. Вузов. Математика. - 2010. - № 10. - С. 51-59.

15. Бельгарт, Л.В. Дихотомия решений задачи Коши для почти периодической гиперболической системы на плоскости / Л.В. Бельгарт, Р.К. Романовский // Доклады АН ВШ РФ - 2010. - № 2 (15). - С. 14-24.

16. Бельгарт, Л.В. Об одном классе индефинитных функционалов Ляпунова / Л.В. Бельгарт // Омский науч. Вестник. Серия Приборы, машины и технологии. - 2010. - №3 (93). - С. 11-13.

Работы [5], [8], [13]—[15] соответствуют списку ВАК РФ для кандидатских диссертаций.

Подписано в печать 07.12.11. Формат 60x84 '/16. Усл. пен. л. 0,93.

Тираж 100 экз. Заказ 1562.

Огпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета.

394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Введение.

Глава 1. Предварительные сведения.

§ 1.1. Э-дихотомия решений системы х -с непрерывной ограниченной матрицей

§ 1.2. Э-дихотомия решений системы хплХ—Апх с ограниченной матрицей

§ 1.3. Почти периодические функции непрерывного и дискретного аргумента. Критерий компактности С. Бохнера

§ 1.4. Теорема М. Г. Крейна об операторном неравенстве в банаховом пространстве с конусом

Глава 2. Э-дихотомия решений системы х=А(/)х с почти периодической матрицей.

§ 2.1. Формулировка основного результата

§ 2.2. Подготовительные теоремы.

§ 2.3. Доказательство основного результата

§ 2.4. Пример. Э-дихотомия решений векторного почти периодического уравнения второго порядка.

Глава 3. Э-дихотомия решений системы хп^-Лпх с почти периодической матрицей.

§ 3.1. Формулировка основного результата

§ 3.2. Подготовительные теоремы

§ 3.3. Доказательство основного результата

§ 3.4. Пример

Глава 4. Э-дихотомия решений задачи Коши для одномерной линейной гиперболической почти периодической системы в гильбертовом пространстве

§ 4.1. Оператор сдвига вдоль характеристик гиперболической системы

§ 4.2. Две леммы

§ 4.3. Достаточное условие э-дихотомии для системы (4.1) с гладкими ограниченными коэффициентами

§ 4.4. Класс индефинитных функционалов Ляпунова

§ 4.5. Случай почти периодических по времени коэффициентов

0.2)

1.В последние несколько десятилетий в теории устойчивости интенсивно изучается тип поведения динамических систем, получивший название экспоненциальная дихотомия. Говорят, что для системы x = A(t)x, х : R ^ Е - Сх, (0.1) с непрерывной матрицей А(/) и матрицей Коши U{t) имеет место свойство экспоненциальной дихотомии (')-дихотомии), если фаговое пространство распадается в прямую сумму

Е = Е{ + Е2 так, что

1°) при некоторых //, v>0 выполняются оценки х е =>\u(t)x\ < fie v('"r)\U(t)x\ (t > t), x g E2 n> |£/(/)jc| < // e~v{r ~t]\U(t)x\ (t < t),

2°) взаимный наклон (см. ri.l § 1.1) движущихся подпространств

Ek(t) = U(t)Ek отделен от нуля: Sn(E{(t), E2(t))> у > 0. Здесь и далее |-| - эрмитова норма в Л, так же обозначается согласованная с ней матричная норма.

Числа //, V, у называются параметрами дихотомии.

В частном случае \A{i)\< const требование 2° следует из 1°.

Основным приёмом при изучении систем (0.1) со свойством э-дихотомии является матрица Грина, определяемая формулой

0.3) г {иг).

U(t)ï\U\r) (t>r\ -U(t)P2V\r) {t<r\ где Pk - проекторы, реализующие разложение (0.2):

0.4)

Ек=РкЕ (к -1,2). (0.5)

Имеет место при некотором ¡и > 0 оценка

Г(/,г)|<//£Г,/|'"г|. (0.6)

Для систем с ограниченной матрицей свойство э-дихотомии равносильно свойству регулярности, означающему существование ограниченного обратного к оператору = ~А{г) (0.7) в банаховом пространстве Св непрерывных ограниченных функций К —> Е с нормой ||/|| = 5ир|/(. Имеет место формула обращения сс

7 = \Г(1,т)/(т)с1т (/еСд). (0.8)

-X

Имеет место (получен А.Д. Майзелем [70]) критерий э-дихотомии в терминах эрмитовых форм х^)=(^(/)х,х}. (0.9)

ТЕОРЕМА 1.1. Для э-дихотомичности системы (0.1) с непрерывной ограниченной матрицей А(/) необходимо и достаточно существование индефинитной эрмитовой ограниченной гладкой мат-риг^ы с отделённым от нуля (\t\-F такой, что производная ф,/) = (С(/)х,х), <7 = Р + РА + А*Р, (0.10) формы (0.9) вдоль траекторий системы (0.1) равномерно отрицательна: при некотором т > 0

С(/)< -т1 (геК). (0.11)

Здесь и далее /- единичная матрица, (,) - стандартное скалярное произведение вСЛ.

2. Аналогично определяется свойство э-дихотомии для разностных систем х1п]=Лпх„, хп:2->Е, (0.12) с отличным от нуля с!с заменой в (0.3) матрицы Коши и моментов времени г их дискретными аналогами 1/п,п,т (см. § 1.2). В этом случае матрица Грина определяется формулой и„ Р, и,: (п > т), -и„Р2и,„1 {п<т\ где Рк - проекторы (0.5). Имеют место оценка, аналогичная (0.6), и формула обращения Г сс

1 и ~ X Л/./// .1 т \1ц и ¿—I п.ш ./ ш т -г где Св - банахово пространство ограниченных функций Z —> Е с нормой \/п\-5ир|/„|, £ хп - х/и! - Ап хп, и разностный аналог критерия э-дихогомии в терминах эрмитовой формы и(х,п) = (Епх,х). (0.13)

ТЕОРЕМА 1.2. Для э-дихотомичности системы (0.12) с ограниченной матрицей Ап необходимо и достаточно существование индефинитной эрмитовой ограниченной матрицы Еп с отличным с!е1 Е такой, что разностная производная (см. § 1.2)

6{х, п) = (С7„ X,х), о; = А*пЕпЛ ,Ап-Еп, (0.14) формы (0.13) вдоль траекторий системы (0.12) равномерно отриот нуля цательна: при некотором т > 0 —т1 (п е г1).

0.15)

3. Первые результаты по этой проблематике были получены в начале прошлого века в работах Ж.Адамара [109], II.Боля [34], О.Перрона [116], Та Ли [113], где изучались нелинейные возмущения систем (0.1) со свойством регулярности (метод Перрона-Адамара). Эквивалентность свойств регулярности и э-дихотомии для систем с ограниченной матрицей была доказана позднее А.Д. Майзелем [70].

Систематическое изучение систем со свойством э-дихотомии было впервые предпринято в конце 50-х - начале 60-х годов прошлого века в фундаментальных исследованиях X. Масссра и X. Шеффера, изложенных в их книге [71]. При этом в [71] рассматривается существенно более общий случай, когда фазовое пространство Е в (0.1) - произвольное комплексное банаховое пространство и значения коэффициента - линейные ограниченные операторы Е Е.

Круг идей, методов и результатов книги [71] был существенно углублён и расширен в вышедших в 1970 году книгах Ф. Хартмана [101], Ю.Л. Далецкого и М.Г. Крейна [43], М.А. Красносельского, В.Ш. Бурда и Ю.С. Колесова [62].

В [101] построения из [71] перенесены на уравнения высших порядков.

В [43] изучение э-дихотомии для уравнения (0.1) в банаховом пространстве проводится на основе развитого ранее II. Болем |104| и М.Г. Крейном [63] аппарата генеральных показателей. В построениях существенно используется геометрический метод, связанный с применением операторов поворота подпространств [44, 45, 111]. В конечномерном случае приложения этого метода к э-дихотомии были ранее получены В. Коппелем [106-108].

В [62] регулярные системы (0.1) с почти периодической матрицей A(t) и их нелинейные возмущения изучаются методом теории конусов [64J.

4. Укажем основные направления, по которым развивались исследования [43, 62, 71, 101 | в последующем.

4.1. В работах Д.В. Аносова [6-8] э-дихотомия нашла приложения к объяснению механизма возникновения турбулентности. Рассматривается гладкая компактная динамическая система со следующим свойством (даётся нестрогое определение): линеаризация на каждой траектории приводит к системе (0.1) со свойством э-ди-хотомии. Показано, что, несмотря на вытекающую из определения неустойчивость индивидуальных траекторий, система в целом "физически реализуема": является грубой по A.A. Андронову, JI.C. Понтрягину [5]. Сходство поведения системы Аносова с поведением турбулентной струи: сочетание неустойчивости индивидуальных траекторий с устойчивостью системы в целом и свойство перемешивания (доказано в [9]) - привело к гипотезе: при переходе числа Рейнольдса через критическое значение в фазовом пространстве системы Новье-Стокса рождается конечномерное притягивающее множество ("странный аттрактор"), являющееся системой Аносова или системой с близкими свойствами [10, 11, 92, 114]. Эксперименты с вычислением предельных режимов галёркинских приближений системы Новье-Стокса [36, 69,92) согласуются с этой гипотезой.

4.2. В книге H.H. Розснвассера [80] получено приложение э-ди-хотомии к изучению линейных нестационарных систем управления

L х - fit) (/eR), (0.16) где L - оператор (0.7), основанное на предложенном обобщении понятия "установившейся режим": гак называются в книге ограниченные на всей оси решения системы (0.16). В случае экспоненциально устоичивои системы с постоянной матрицей это определение согласуется с принятым. Рассматривается ситуация, когда система (0.16) - вообще говоря, неустойчивый регулярный элемент более широкой системы управления (неустойчивость гасится остальной цепью). В этой ситуации формула обращения (0.8) превращается в правило прохождения установившегося сигнала через объект (0.16) этого класса. В [80] получен ряд приложений аппарата матриц Грина к решению задач управления, новых и для экспоненциально устойчивых систем (в этом случае в (0.4) Г — 0 при /<г).

4.3. Вышедший в 70-е и 80-е годы большой цикл работ В.В. Жи-кова, В.В. Жикова и В.М. Тюрина, Э. Мухамадиева, X. Абдуваито-ва, И.Т. Кигурадзе, В.Г. Курбатова, В.Н. Слесарчука и других авторов посвящен проблеме регулярности - выяснению условий обратимости для различных классов дифференциальных и функцио-нально-диффернциальных операторов [1, 2, 52-54, 57, 67, 75-77, 93-96]. В частности, в работе В.В. Жикова [54] найдены условия обратимости для подкласса операторов (0.7) в банаховом пространстве с неограниченным почти периодическим коэффициентом А(/), доказана эквивалентность свойства регулярности и э-дихогомии в этом классе, получено приложение к обоснованию глобального (на всей оси) принципа усреднения для параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами. В работе Э. Мухамадиева [75] найдены условия обратимости оператора (0.7) с почти периодической матрицей Ав терминах поведения решений присоединённых однородных систем, получено приложение к теории Фавара [55].

4.4. В работах Р.К. Романовского [81-84] (см. также книгу [85]) исследован аналог свойства э-дихотомии для гиперболических систем с двумя независимыми переменными id д ^ Lu = — + A(s,t) — + B(s,t)\u = 0, w:R2->£ = CA, (0.17)

V Э/1 ds )

A = diag(a]I]anln), a, > . > an, ak > const > 0,

-единичная матрица порядка Nk, Y, = N, (0.18)

A eC1, В eC, A, A's, A't, В ограничены, получивший название "экспоненциальная расщепляемость" (э-расщепляемость). В качестве определения принят тип поведения фундаментальной матрицы системы (0.17), наблюдаемый "в эксперименте" в случае постоянных коэффициентов при выполнении некоторого спектрального условия: распад сингулярной и регулярной компонент фундаментальной матрицы в суммы слагаемых, экспоненциально убывающих в соответствующих зонах. Изучение ведётся с помощью составленных из "продуктов распада" матриц двух типов, получивших название матриц Грина 1-го и 2-го рода и представляющих собой в совокупности аналог матрицы Грина системы (0.1) со свойством э-дихотомии. Доказаны грубость свойства э-рас-щепляемости, эквивалентность свойств э-расщепляемости и регулярности, формула обращения для регулярного оператора (0.17), описаны ограниченные в различных областях D a R решения неоднородной систем!,i Lu = / , / еСи(Р). В построениях обе независимые переменные равноправны. Показано, что свойство э-расщепляемости влечёт э-дихотомию в С- норме решений задачи Коши для системы (0.17) с данными на любой гладкой кривой, нигде не касающейся характеристик (вычислено соответствующее разложение единицы). Получены приложения к подклассу задач теории управления, к проблеме глобального усреднения для гиперболических уравнений [86, 87]; усреднение ведётся но обеим независимым переменным.

В работе [88] исследована детальная структура оператора моно-дромии гиперболической системы (0.17) с периодическими по времени коэффициентами. В пространственно-однородном случае вычислена резольвента оператора монодромии, описан его спектр как объединение спектров семейства матриц, получен в этих терминах критерий э-дихотомии в С- норме решений задачи Коши с данными на прямой ¿ = 0.

4.5. В последние 20 лет интенсивно развивается теория э-дихотомии для уравнения (0.1) с неограниченным оператором при этом широко используются методы теории полугрупп. Важные результаты в этом направлении получены в цикле работ Л.Г. Баскакова и его учеников. В работах [12-15], см. также ссылки в обзоре [14], получен ряд новых результатов по проблеме обратимости в различных функциональных пространствах оператора (0.7) с замкнутым Л(/) и связи обратимости с э-дихотомией с использованием свойств введённой в [12] полугруппы разностных операторов и, более общо, полугруппы разностных отношений [14]. В работе [16] из этого цикла принадлежащий М.Г. Крейну [43] критерий э-дихотомии уравнения х—Ах с ограниченным оператором А в гильбертовом пространстве Н в терминах разрешимости уравнения Ляпунова

А*Х + Х А = С«0 распространен на существенно более общую ситуацию, когда А-генератор сильно непрерывной группы операторов Т& / (//) и, более общо, - генератор некоторых классов сильно непрерывных полугрупп операторов. В работах Р. Нагеля и Л. Ранди, Ю.Д. Ла-тушкина и С. Монтгомери | 1 12, 115] распространён метод функций Ляпунова па широкий класс уравнений (0.1) с неограниченным А{V). При этом важную роль играет ассоциированная с уравнением

0.1) полугруппа операторов взвешенного сдвига, введённая ранее в работе Дж. Хоуленда [110] (см. также [13]), использование которой позволяет свести анализ асимптотического поведения - устойчивости, дихотомии - решений неавтономного уравнения (0.1) к такой же задаче для автономного уравнения у —Г у, где Г- генератор полугруппы. Обзор результатов по указанной в этом пункте проблематике содержится в книге К. Чиконе и Ю.Д. Латушкина [ 1 05] и в статье А.Г. Баскакова [14].

4.6. Работы С.К. Годунова и А.Я. Булгакова [35, 39-41], смотри также книгу [42], посвящены разработке эффективно проверяемых критериев э-дихотомии, методов оценки параметров э-дихотомии и алгоритмов их численной реализации для систем (0.1) с постоянной матрицей с фазовым пространством большой размерности, возникающих при конечномерной аппроксимации бесконечномерных систем. В [41] получено приложение к анализу асимптотического поведения решений краевых задач для симметрических гиперболических систем с постоянными коэффициентами. В работе Г.В Де-миденко и Ю.Ю Клевцовой [46] получен критерий э-дихотомии для системы (0.1) с периодическими коэффициентами, основанный на анализе уравнения Ляпунова для матрицы эрмитовой формы (0.10).

5. Одна из проблем теории устойчивости - разработка эффективных методов анализа поведения при большом времени динамических систем, параметры которых почти периодически зависят от времени. Во второй половине прошлого века получен ряд результатов по этой проблематике в рамках метода малого параметра - работы И.З. Шгокало, II.II. Еругина, В.Н. Фомина, II.II. Боголюбова и Ю.А. Митропольского, В.Ш. Бурда, Ю.С. Колесова и других авторов [33, 37, 51, 56, 60-62, 65, 74, 99, 102, 103|. Вместе с тем в ряде случаев возникающие в приложениях задачи расчёта динамических систем на устойчивость и дихотомию не вкладываются в схему этого метода.

Некоторое продвижение произошло в последние 20 лет. В цикле работ [34, 48-50, 58, 59, 78, 79, 89, 90, 97, 98] группы сотрудников и аспирантов ОмГТУ получены прямым методом Ляпунова признаки экспоненциальной устогтивости для различных классов почти периодических уравнений - дифференциальных, разностных, функционально-дифференциальных - с существенно ослабленным по сравнению с общим случаем условием на производную функции Ляпунова вдоль траекторий системы. Б [72, 73, 91] этим методом получены признаки экспоненциальной устойчивости решений задачи Коши и смешанной задачи для гиперболической системы (0.17) с периодическими и почти периодическими по времени коэффициентами с ослабленным по сравнению с рассмотренным ранее в [381 общим случаем условием на производную функционала Ляпунова вдоль траекторий системы.

Представляет теоретический и практический интерес получение аналогов этих результатов для исследования более сложного типа поведения решений - экспоненциальной дихотомии. Диссертационная работа посвящена этой проблематике.

Цель работы: разработка варианта прямого метода Ляпунова с ослабленным условием на производную функции (функционала) Ляпунова вдоль траекторий системы для трёх классов линейных систем с почти периодическими коэффициентами:

- линейных дифференциальных систем;

- линейных разностных систем;

- линейных гиперболических систем с двумя независимыми переменными.

Из сказанного выше вытекает актуальность темы диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы.

Закл ючение

В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Разработан вариант прямого метода Ляпунова для исследования экспоненциальной дихотомии решений системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами. Получен критерий экспоненциальной дихотомии с ослабленным условием на производную функции Ляпунова вдоль траекторий системы.

2. Получен аналог этого результата для системы обыкновенных линейных разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами.

3. Разработан вариант прямого метода Ляпунова для исследования экспоненциальной дихотомии решений задачи Коши для гиперболической системы с двумя независимыми переменными с гладкими ограниченными коэффициентами. Получен достаточный признак экспоненциальной дихотомии в 1/2-норме.

4. В частном случае почти периодических по времени коэффициентов получен достаточный признак экспоненциальной дихотомии с ослабленным условием на производную функционала Ляпунова вдоль траекторий системы.

5. Развит подход к построению класса индефинитных функционалов Ляпунова, отвечающих за свойство экспоненциальной дихотомии.

1. Абдуваитов, X. Об условиях обратимости дифференциального оператора второго порядка / X. Абдуваитов, Э.М. Мухамадиев // Дифференц. уравнения. - 1977. - Т. 1 3, № 1 2. - С. 21 1 5-21 23.

2. Абдуваитов, X. Об ограниченной обратимости одного дифференциального оператора второго порядка / X. Абдуваитов // Успехи матем. наук. 1986. - Т. 41, вып. 2(248). - С. 181-182.

3. Алексенко, Н.В. Устойчивость решений почти периодических систем функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа / Н.В. Алексенко // Изв. вузов. Матем. 2000. -№. 2.- С. 3-6.

4. Алексенко, Н.В. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем с почти периодическими коэффициентами / Н.В. Алексенко, Р. К. Романовский // Дифе-ренц. уравнения. 2001. - Т. 37, № 2. - С. 147-153.

5. Андронов, A.A. Грубые системы / A.A. Андронов, Л.С. Понтря-гин // Докл. АН СССР. 1937. - Т. 14, № 5. С. 247-250.

6. Аносов, Д.В. Грубость геодезических потоков на компактных римановых многообразиях отрицательной кривизны / Д.В. Аносов // Докл. АН СССР. 1962. - Т. 145, № 4. - С. 707-709.

7. Аносов, Д.В. Эргодические свойства геодезических потоков на замкнутых многообразиях отрицательной кривизны / Д.В. Аносов // Докл. АН СССР. 1963. - Т. 151, № 6. - 1250-1252.

8. Аносов, Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны / Д.В. Аносов. М.: Труды МИ АН СССР им. В.А. Стеклова,- 1967. Т. 90. - 210с.

9. Аносов Д.В. Некоторые гладкие динамические системы / Д.В. Аносов, Я.Г. Синай // Успехи матем. наук. 1967. - Т. 22, № 5137.. С. 107-172.

10. Аносов, Д.В. Вступительная статья. В кн.: Гладкие динамические системы / Д.В. Аносов. М.: Мир.- 1977. С. 7-31.

11. Арнольд, В.И. Теория катастроф / В.И. Арнольд. М.: Изд-во МГУ, 1983. 80 с.

12. Баскаков, А.Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов / А.Г. Баскаков // Функц. Анализ и его приложения. 1996. - Т. 30, вып. 3. - С. 1-1 1.

13. Баскаков, А.Г. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами / А.Г. Баскаков, А.П. Пастухов // Сиб. матем. журн. 2001. - Т. 42, № 6. - С. 1231-1243.

14. Баскаков, А.Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А.Г. Баскаков // Изв. РАН. Сер. матем. 2009. - Т. 73, вып. 2. - С.3-68.

15. Баскаков, А.Г. Разностные операторы в исследовании дифференциальных операторов; оценки решений / А.Г. Баскаков, Ю.Н. Синтяев // Дифференц. уравнения. 2010. - Т. 46, № 2. -С. 210-219.

16. Баскаков, А.Г. Гиперболические полугруппы операторов и уравнение Ляпунова / А.Г. Баскаков, A.A. Воробьёв, М.Ю. Романова // Матем. заметки. 201 1. - Т. 89, № 2. - С. 190-203.

17. Бельгарт, Л.В. Об экспоненциальной дихотомии линейных систем с почти периодической матрицей / Л.В. Бельгарт, Р.К. Романовский // Материалы VI МН-ТК «Динамика систем, механизмов и машин», посвященной 65-летию ОмГТУ. Омск. 2007. - Книга 3. - С. 74-80.

18. Бельгарт, Л.В. Об экспоненциальной дихотомии линейных разностных систем с почти периодической матрицей / Л.В. Бельгарт, Р.К. Романовский // Матем. заметки. 2008. - Т. 84, № 4. - С. 638-640.

19. Бельгарт, Л.В. Прямой метод Ляпунова для линейных разностных систем с почти периодической матрицей / Л.В. Бельгарт,

20. P.K. Романовский // Материалы VI МН-ПК «Повышение конкурентоспособности российской экономики в современных условиях: управленческие, финансовые, коммерческие аспекты» Омский институт (филиал) РГТЭУ 20 ноября 2008г. Омск. 2008. -С. 215-220.

21. Бельгарт, Л.В. Об экспоненциальной дихотомии линейных систем с почти периодической матрицей / J1.B. Бельгарт, Р.К. Романовский // Сиб. мат. журн,- 2009.- Т. 50, № 1.- С. 190-198.

22. Бельгарт, Л.В. Исследование экспоненциальной дихотомии решений задачи Коши для гиперболической системы на плоскости прямым методом Ляпунова / Л.В. Бельгарт, Р.К. Романовский // Деп. в ВИНИТИ 16.04.2009, № 223-В2009, ОмГТУ, 2009, 12 с.

23. Бельгарт, Л.В. Прямой метод Ляпунова для линейных разностных систем с почти периодической матрицей / Л.В. Бельгарт, Р.К. Романовский // Материалы VII МНН-ТК «Динамика систем, механизмов и машин», 10-12 ноября 2009. Книга 3. Омск.- 2009. С. 115-118.

24. Бельгарт, Л.В. Дихотомия решений задачи Коши для гиперболической системы на плоскости / Л.В. Бельгарт, Р.К. Романовский // Материалы VII МНН-ТК «Динамика систем, механизмов и машин», 10-12 ноября 2009. Книга 3. Омск. 2009. -С. 118-122.

25. Бельгарт, Л.В. Об экспоненциальной дихотомии решенийзадачи Коши для гиперболической системы на плоскости / J1.B. Бельгарт, Р.К. Романовский // Дифференц. уравнения. 2010. -Т. 46, № 8. С.1125-1134.

26. Бельгарт, Л.В. Об экспоненциальной дихотомии решений систем линейных разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами / JÍ.B. Бельгарт, Р.К.Романовский // Изв. Вузов. Математика. 2010. - № 10. - С. 51-59.

27. Бельгарт, Л.В. Дихотомия решений задачи Коши для почти периодической гиперболической системы на плоскости / JI.B. Бельгарт, Р.К.Романовский // Доклады АН BLII РФ 2010. - № 2 (15). С. 14-24.

28. Бельгарт Л.В. Об одном классе индефинитных функционалов Ляпунова / Л.В. Бельгарт // Омский науч. Вестник. Серия Приборы, машины и технологии. 2010. №3 (93). С. 1 1-13.

29. Боголюбов, H.H. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. М.: Наука, 1974. - 504 с.

30. Боль, П. О некоторых дифференциальных уравнениях общего характера, применяемых в механике / П. Боль. Юрьев. 1900.

31. Булгаков, А.Я. Обоснование гарантированной точности выделения инвариантных подпространств несамосопряженных матриц / А.Я. Булгаков // Тр. ИМ СО АН СССР. 1989. - Т. 15. -С.12-92.

32. Бунимович, Л.А. Стохастичность аттрактора в модели Лоренца. / Л.А. Бунимович, Я.Г. Синай. В кн.: Нелинейные волны. М.: Наука. - 1979. - С. 212-226.

33. Бурд, В.Ш. Бифракция почти периодических колебаний дифференциальных уравнений с последействием нейтрального типа, с быстрым и медленным временем / В.Ш. Бурд // Исслед. по устойчивости и теории колебаний: Сб. науч. тр.-Ярославль,1976. С. 143-153.

34. Воробьёва, Е.В. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболических систем с двумя независимыми переменными / Е.В. Воробьёва, Р.К. Романовский // Сиб. матем. журн. 1998.- Т. 39, № 6. С. 1290-1292.

35. Годунов, С.К. Задача о дихотомии спектра матрицы / С.К. Годунов // Сиб. матем. журн. 1986. - Т. 27, № 5. - С. 24-37.

36. Годунов, С.К. Дихотомия спектра и критерий устойчивости для секториальных операторов / С.К. Годунов // Сиб. матем. журн.- 1995. Т. 36, № 6. - С. 1 328-1335.

37. Годунов, С.К. Метод расчета инвариантных подпространств для симметрических гиперболических уравнений // С.К. Годунов, В.Т. Жуков, О.В. Феодоритова // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. - Т. 46, №6. - С. 1019-1031.

38. Годунов, С.К. Современные аспекты линейной алгебры / С.К. Годунов. Новосибирск: Науч. книга, 1997. - 390 с.

39. Далецкий, Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. М.: Наука, 1970. 534 с.

40. Далецкий, Ю.Л. Деякш властивост1 оператор1в, що залежать в1д параметра / Ю.Л. Далецкий, С.Г. Крейн // ДАН УРСР. -1950. Т. 6. - С. 433-436.

41. Далецкий, Ю.Л. О непрерывном вращении подпространств в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий // Успехи матем. наук. 1957. - Т. 12, вып. 3(75). - С. 147-154.

42. Демиденко, Г.В. Экспоненциальная дихотомия линейных систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами / Г.В. Демиденко, Ю.Ю. Клевцова // Вестник НГУ. Серия: матем., механика, информ.- 2008. Т. 8, № 4. С. 40-48.

43. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. М.: Наука, 1967. - 472 с.

44. Доброволький, С.М. Об устойчивости решений линейных систем с почти периодической матрицей / С.М. Добровольский, A.C. Котюргина, Р.К. Романовский // Матем. заметки. 1992. - Т. 52, вып. 6. - С. 10-14.

45. Добровольский, С.М. Метод функций Ляпунова для почти периодических систем / С.М. Добровольский, Р.К. Романовский // Матем. заметки. 1997. - Т. 62, вып. 1. - С. 151-153.

46. Добровольский, С. М. Прямой метод Ляпунова для почти периодической разностной системы на компакте / С.М. Добровольский, A.B. Рогозин // Сиб. матем. журн. 2005. - Т. 46, № 1. - С. 98-105.

47. Еругин, Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами / Н.П. Еругин. Минск: Изд-во АН БССР, 1963. - 273 с.

48. Жиков, В.В. Принцип усреднения на всей оси для параболических уравнений с переменным главным членом / В.В. Жиков // Докл. АН СССР,- 1973.- Т. 208, № 1.- С. 32- 35.

49. Жиков В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения / В.В. Жиков // Изв. АН СССР. Серия матем. 1976. - Т. 40, вып. 6. - С. 1380- 1408.

50. Жиков, В.В. Об обратимости оператора A(t) в пространствеограниченных функций / В.В. Жиков, В.М. Тюрин // Матем. заметки. 1976. - Т. 19, вып. 1. С. 99-104.

51. Жиков, В.В. Теория Фавара / В.В. Жиков, Б.М. Левитан // Успехи матем. наук. 1977. - Т. 32, № 2(194). - С. 123-171.

52. Игнатьев, A.C. Об устойчивости почти периодических систем относительно части переменных / A.C. Игнатьев // Дифференц. уравнения. 1989. - Т. 25, № 8. - С. 1446-1448.

53. Кигурадзе, И.Т. Об ограниченных и периодических решениях линейных дифференциальных уравнений высших порядков / И.Т. Кигурадзе // Матем. заметки. 1985. Т. 37, вып. 1. - С. 48-62.

54. Кириченова, О.В. Метод функций Ляпунова для систем линейных разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами / О.В. Кириченова, A.C. Котюргина, Р.К. Романовский // Сиб. матем. журн. 1 996. - Т. 37, № 1. - С. 1 70-1 74.

55. Кириченова О.В. Об устойчивости решений нелинейных почти периодических систем разностных уравнений / О.В. Кириченова // Сиб. мат. журн. 1 998. - Т. 39, № 1. - С. 45-48

56. Колесов, Ю.С. Необходимые и достаточные условия экспоненциальной дихотомии решений линейных почти периодических уравнений с последействием / Ю.С. Колесов // Вестн. Яросл. ун-та. 1973. - № 5. - С. 28-62.

57. Колесов, Ю.С. Обзор результатов по теории устойчивости решений дифференциально-разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами / Ю.С. Колесов // Исслед. по устойчивости и теории колебаний: Сб. науч. тр. Ярославль, 1977. - С. 82-141.

58. Красносельский, М.А. Нелинейные почти периодические колебания. / М.А. Красносельский, B.III. Бурд, Ю.С. Колесов. -М.: Наука, 1970. -352 с.

59. Крейн, М.Г. Лекции по теории устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве (отредактированные и дополненные Ю.Л. Далецким) / М.Г. Крейн. Киев: Изд-во ИМ АН УССР, 1964. 186.

60. Крейн, М.Г. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха / М.Г. Крейн, М.А. Рутман // Успехи матем. наук. 1948. - Т. 3, вып.1(23). - С. 3-95.

61. Кубышкин, Е.П. Параметрический резонанс в системах с последействием при почти периодическом возмущении / Е.П. Кубышкин // Исслед. по устойчивости и теории колебаний: Сб. науч. тр. Ярославль, 1978.-С. 110-117.

62. Кулик, В.Л. Квадратичные формы и дихотомия решений системы дифференциальных уравнений / B.JI. Кулик // Укр. ма-тем. журн. 1982. - Т. 34, № 1. - С. 43-49.

63. Курбатов, В.Г. Об ограниченных решениях дифференциально-разностных уравнений / В.Г. Курбатов // Сиб. матем. журнал. -1986. Т. 27,№ 1. С. 86-99.

64. Левитан, Б.М. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения / Б.М. Левитан, В.В. Жиков. М.: Изд-во МГУ, 1978. - 205 с.

65. Лоренц, Э.М. Детерминированное непериодическое движение / Э.М. Лоренц. В кн.: Странные аттракторы. М.: Мир. 1981. -С. 88-116.

66. Майзелъ, А.Д. Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений / А.Д. Майзель // Тр. Ур. Пи. Сер. мат. 1954. №51. С. 20-50.

67. Массера, Х.Л. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Х.Л. Массера, Х.Х. Шеффер. М.: Мир, 1970.-458 с.

68. Мендзив, М.В. Прямой метод Ляпунова для гиперболических систем на плоскости с периодическими rio времени коэффициентами / М.В. Мендзив, Р.К. Романовский // Дифференц. уравнения. 2008. - Т. 44, № 2. - С. 257-262.

69. Мендзив, М. В. Прямой метод Ляпунова для гиперболических систем с почти периодическими по времени коэффициентами / М.В. Мендзив // Омский научный вестник. 2006. - № 3 (36). - С. 75-78.

70. Митрополъский, 10.А. Системы эволюционных уравнений с периодическими и условно периодическими коэффициентами / Ю.А. Митрополъский, A.M. Самойленко, Д.И. Мартынюк. -Киев: Наукова думка, 1984. 213 с.

71. Мухамадиев, Э.М. Об обратимости дифференциальных операторов в пространстве непрерывных и ограниченных на оси функций / Э.М. Мухамадиев // Докл. АН СССР. 1971. - Т. 196, № 1. - С. 47-49.

72. Мухамадиев, Э.М. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функций / Э.М. Мухамадиев // Матем. заметки.- 1972,- Т. 1 1, вып. 3.- С. 269-274.

73. Мухамадиев, Э.М. Исследования по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных уравнений / Э.М. Мухамадиев // Матем. заметки. 1981. - Т. 30, вып. 3. - С. 443-460.

74. Рогозин, A.B. Прямой метод Ляпунова для почти периодических систем в банаховом пространстве / A.B. Рогозин, Р.К. Романовский // Доклады АН ВШ РФ. 2005. - №2(5). - С. 65-72.

75. Рогозин, A.B. Об устойчивости решений линейного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве с почти периодическим оператором / A.B. Рогозин // Доклады АН ВШ РФ. 2006. - №1(6). - С. 24-32.

76. Розенвассер, E.H. Показатели Ляпунова в теории линейных систем управления / E.H. Розенвассер. М.: Наука, 1977. 344с.

77. Романовский, Р.К. Об экспоненциальной дихотомии решений уравнений гиперболического типа / Р.К. Романовский // Успехи матем.наук. 1976. - Т. 31, № 1(187). - С. 259-260.

78. Романовский, Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р.К. Романовский // ДАН СССР. 1982. - Т. 267, № 3. - С. 577-580.

79. Романовский, P.K. О матрицах Римана первого и второго рода / Р.К. Романовский // Матем. сб. 1985. - Т. 127(169), № 4(8). - С.494-501.

80. Романовский, Р.К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными / Р.К. Романовский // Матем. сб. 1987. - Т. 133(175), № 3(7). С. 341-355.

81. Романовский, Р.К. Метод Римана для гиперболических систем. / Р.К. Романовский, Е.В. Воробьева, E.H. Страгилатова. Новосибирск: Наука, 2007. - 170 с.

82. Романовский, Р.К. Прохождение случайных процессов через регулярные распределенные системы. В кн. Стохастические процессы и информационные системы / Р.К. Романовский // Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН СССР. - 1987. - С. 1 18-127.

83. Романовский, Р.К. Усреднение гиперболических уравнений / Р.К. Романовский // Докл. АН СССР. 1989. - Т. 306, № 2. -С. 286-289.

84. Романовский, Р.К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами. В кн. Методы функционального анализа в задачах математической физики / Р.К. Романовский // Киев: Изд-во ИМ АН УССР. - 1987. - С. 47-52.

85. Романовский, Р.К. Прямой метод Ляпунова для уравнений с почти периодическими коэффициентами / Р.К. Романовский, Н.В. Алексенко, С.М. Добровольский, О.В. Кириченова. -Омск: Изд-во ОмГТУ, 2001. 80 с.

86. Романовский, Р.К. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем нейтрального типа с почти периодическими коэффициентами / Р.К. Романовский,

87. Г.А. Троценко // Сиб. матем. журн. 2003 - Т. 44, № 2. - С. 444-453.

88. Романовский, Р.К. Устойчивость решений задачи Коши для гиперболической системы на плоскости с периодическими по времени коэффициентами / Р.К. Романовский, М.В. Мендзив // Сиб. матем. журн. 2007. - Т. 48, № 5. - С. 1134-1 141.

89. Рюэль, Д. О природе турбулентности. В кн.: Странные аттракторы / Д. Рюэль, Ф. Такенс. М.: Мир. - 1981. - С. 1 17-151.

90. Слюсарчук, В.Е. Обратимость функционально дифференциальных операторов / В.Е. Слюсарчук // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1980. - № 9. - С. 29-32.

91. Слюсарчук, В.Е. Обратимость почти периодических с-непрерывных функциональных операторов / В.Е. Слюсарчук // Матем. сб. 1981. - Т. 1 16(158), №4(12) - С. 483-501.

92. Слюсарчук, В.Е. Обратимость неавтономных дифференциально-функциональных операторов / В.Е. Слюсарчук // Матем. сб. 1986. - Т. 130(172), № 1(5). - С. 86-104.

93. Стругова, Т.М. Об устойчивости линейных стахостических разностных систем с почти периодическими коэффициентами / Т.М. Стругова // Матем. заметки. 2005. - Т. 78, № 3. - С. 472-475.

94. Троценко Г.А. Об устойчивости решений почти периодической системы функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа / Г.А. Троценко // Изв. вузов. Матем. 2003.6. С. 77-81.

95. Фомин, В.И. Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределенных системах / В.И. Фомин. -Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1972. 237 с.

96. Халанай, А. Качественная теория импульсных систем / А. Ха-ланай, Д. Векслер . М.: Мир, 1 971. -309 с.

97. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. М.: Мир. 1970. - 720 с.

98. Чаплыгин, В.Ф. Экспоненциальная дихотомия решений линейных периодических уравнений с последействием с медленным временем / В.Ф. Чаплыгин // Исслед. по устойчивости и теории колебаний: Сб. науч. Тр. Ярославль, 1975.

99. Штокало И.З. Критерий устойчивости и неустойчивости решений линейных уравнений с квазипериодическими коэффициентами // И.З. Штокало // Матем. сб. -1946. Т. 19(61), №> 2.- С. 263-268.

100. Bohl, P. Uber Differentialungleichungen / P. Bohl // J. f. Reine und Agew. Math. 1913. - V. 144. - P. 284-318.

101. Chicone, C. Evolution semigroups in dynamical systems and differential equations / C. Chicone, Y. Latuskin. Math. Surv. Monogr. - V. 70. - AMS. - Providence. - 1999. - 361 p.

102. Coppel, W.A. Stability and asymptotic behaviour of differential equations / W.A. Coppel // Boston. DC Heath., 1965. 176 p.

103. Coppel, W.A. Almost periodic properties of ordinary differential equations / W.A. Coppel // Ann. Math. Рига Appl. 1967. - 4(76)- P. 27-50.

104. Coppel, W.A. Dichotomies and reducibility / W.A. Coppel // J. Diff. Equations. 1967. - V. 3. - P. 500-521.

105. Hadamard J. Sur l'iteration et les solutions asymptotiques des equations differentialles / J. Hadamard. Bull. Soc. Math. - 1901.- V. 29. P. 224-228.

106. Howland, J.S. Stationary scattering theory for time-dependent Hamiltonians / James S. Howland // Math. Ann. 1974. - V. 207.- P. 315-335.

107. Kato T. On the perturbation theory of closed linear operators / T. Kato It J. Math. Soc. Japan. 1952. - V. 4, № 3-4. P. 323-337.

108. Latushkin, Y. Evolutionary semigroups und Lyapunov theorems in Banach space / Y. Latushkin, S. Montgomery-Smith // J.Funct. Anal. 1995. - V. 127. - P. 173-197.1 13. Li Ta. Die Stabilitatsfrage bei Differenzengleichungen. / Ta Li. //

109. Perron, O. Die Stabilitatsfrage bei Differenzengleichungen. / O. Perron // Math. Z. 1930.-V. 32, №5.-P. 703-728.