Прямой метод Ляпунова для почти периодических систем функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

ГЛАВА 1. Предварительные сведения

§1.1. Задача Коши для системы функционально - дифференциальных уравнений (ФДУ) нейтрального типа в форме Дж. Хейла. Теорема существования и единственности

§1.2. Почти периодические функции. Критерий предкомпакт-ности Бохнера

§1.3. Теорема М.Г. Крейна об операторном неравенстве в банаховом пространстве с конусом

ГЛАВА 2. Устойчивость решений нелинейных почти периодических систем ФДУ нейтрального типа

§2.1. Постановка задачи. Формулировка основного результата

§2.2. Вспомогательные леммы

§2.3. Обоснование основного результата

ГЛАВА 3. Устойчивость решений линейных почти периодических дифференциально - разностных систем нейтрального типа

§3.1. Признак слабой экспоненциальной устойчивости для линейных дифференциально - разностных систем с почти периодическими коэффициентами

§3.2. Устойчивость линейного почти периодического разностного оператора

§3.3. Распространение результатов

§3.1 на системы с устойчивым разностным оператором

§3.4. Устойчивость системы двух осцилляторов Матье

1. Разработка методов расчета на устойчивость решений различных классов уравнений (дифференциальных, разностных, дифференциально - разностных, функционально - дифференциальных) с почти периодическими коэффициентами — относительно мало исследованная область теории устойчивости. Если в периодическом случае на основе теории Флоке в работах A.M. Ляпунова, А. Пуанкаре, М.Г. Крейна, В.А. Якубовича и В.М. Старжинского, А. Халаная, Дж. Хейла, М.А. Солдатова, М.И. Каменского, О.Р. Германовича и других авторов разработаны эффективные критерии устойчивости и на этой основе решен ряд прикладных задач [1]-[28], то здесь известные до последнего времени результаты относятся главным образом к уравнениям с малым параметром — работы И.З. Штокало, Н.Н. Боголюбова, Ю.А. Митропольского, В.Н. Фомина, В.Ш. Бурда, Ю.С. Колесова и других [29]-[44].

Некоторое продвижение в этой области произошло в последнее десятилетие. В работах Р.К. Романовского, С.М. Добровольского, А.С. Котюргиной, О.В. Кириченовой [45]—[48] предложен вариант прямого метода Ляпунова для систем дифференциальных и разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами, в котором условие на производную функции Ляпунова вдоль траекторий системы существенно ослаблено по сравнению с известными результатами для систем указанных классов общего вида (при этом существенна и почти периодичность по времени функции Ляпунова). Полученные на этом пути достаточные условия асимптотической (в линейном случае — » экспоненциальной) устойчивости применены к анализу устойчивости подклассов неавтономных систем автоматического управления.

В работах Н.В. Алексенко [49], [50] эти результаты распространены на почти периодические системы дифференциально - разностных и, более общо, функционально - дифференциальных уравнений запаздывающего типа. Для частного случая линейных дифференциально - разностных систем [50] получено достаточное условие слабой экспоненциальной устойчивости; термин "слабой" означает, что скорость экспоненциального убывания зависит от начального возмущения. Основная дополнительная трудность, которая здесь преодолевалась, — некомпактность единичной сферы в пространстве начальных данных (в указанных в предыдущем абзаце работах существенно использована конечномерность фазового пространства). В [51] результат работы [50] перенесен на подкласс интегро - дифференциальных уравнений с почти периодическим ядром.

Результаты работ [45]-[50] являются новыми и для частного случая периодических коэффициентов.

2. Основным содержанием диссертационной работы является распространение методов и- результатов работ [49], [50] на функционально - дифференциальные уравнения нейтрального типа (уравнения в форме Дж. Хейла [11], [14]). Преодолеваемые трудности, помимо связанной с некомпактностью единичной сферы, связаны с учетом свойств разностного почти периодического оператора в левой части системы типа Хейла (в случае систем запаздывающего типа он является тождественным); с этим же связана проблема выбора класса функционалов Ляпунова, для которых может быть эффективно вычислена производная вдоль траекторий системы.

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Floquet G. Sur les equations differentielles lineaires a coefficients periodiques // Ann. Sci. de PEcole. Norm. Sup. 1883. V. 12(2). P. 47-89.

2. Ляпунов A. M. Общая задача об устойчивости движения / Собрание сочинений. М.: Изд-во АН СССР, 1956. Т.2. С.7-263.

3. Poincare Н. Sur le probleme des trois corps et les equations de la dynamique // Acta Math. 1890. V. 13. P. 5-270.

4. Крейн M. ГДалецкий Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

5. Якубович В. А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972.

6. Якубович В. А., Старжинский В. М. Параметрический резонанс в линейных системах. М.: Наука, 1987.

7. Дергузов В. И. Математическое исследование периодических цилиндрических волноводов //I. Вестник ЛГУ. 1972. Т. 13. №. С. 32-40. И. Вестник ЛГУ. 1972. Т. 19. №. С. 14-20.

8. Дергузов В. И., Махалов А. С. Задача Коши для некоторого класса операторных дифференциальных уравнений с негладкими периодическими коэффициентами // Проблемы мат. анализа. Ленинград. 1984. Т. 9. С. 98-104.

9. Кучмент П. А. Теория Флоке для дифференциальных уравнений в частных производных // УМН. 1982. Т. 37. №4. С. 3-52.

10. Halanay A. Differential equations: stability, oscillations, time lags. New York London: Acad. Press, 1966.

11. Хейл Дж. Теория функционально дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

12. Солдагпов М. А. О свойствах решений линейных дифференциально разностных уравнений // Сиб. матем. журнал. 1967. Т. 8. т. С. 669-679.

13. Каменский М. И. Вычисление индекса изолированного решения задачи Коши для функционально дифференциального уравнения нейтрального типа // Функциональный анализ и его приложения. Вып.1. Воронеж, 1973. С. 6-13.

14. Ахмеров P.P., Каменский М.И., Потапов А.С., Родкина А.Е., Садовский Б.Н. Теория уравнений нейтрального типа / Математический анализ, Т.19. М.: ВИНИТИ, 1982. С. 55-126.

15. Германович О. П. Линейные периодические уравнения нейтрального типа и их приложения. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1986.

16. Lillo J. С. First order periodic differential difference equations // J. Math. Anal, and Appl. 1979. V. 70. №2. P. 389-398.

17. Барабанов H. E. Критерий асимптотической устойчивости систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1989. Т.25. №12. С. 2059-2066.

18. Башкиров А. И. Признак экспоненциальной устойчивости уравнения с последействием и с периодическими параметрами // Дифференц. уравнения. 1987. Т.23. №11. С. 1994-1997.

19. Валеев К. Г. Развитие теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и отклонениями аргумента / Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Киев: Наукова думка, 1977. С. 72-82.

20. Кулеско Н. А. О полноте системы решений Флоке уравнений нейтрального типа // Матем. заметки. 1968. Т. 3. №4. С. 297-306.

21. Кулеско Н. А., Левин Б. Я. О полноте решений Флоке для дифференциальных уравнений второго порядка с отклоняющимся аргументом j j Сиб. матем. журнал. 1977. Т. 18. №2. С. 321-326.

22. Колесов Ю. С. Математические модели экологии / Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1979. С. 3-40.

23. Колесов А. Ю., Колесов Ю. С. Релаксационные колебания в математических моделях экологии / РАН. Труды Матем. инта им. В.А. Стеклова. CXCIX. М.: Наука, 1993.

24. Kolmanovskii V., Myshkis A. Applied theory of functional differential equations. Kluwer academic publishers. Dordrecht -Boston London, 1992.

25. Кубышкин E. П. Параметрический резонанс в линейных периодических системах с последействием / Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1978. С. 34-68.

26. Липницкий А. В. Оценка характеристических показателей уравнения Хилла с периодическими коэффициентами // Дифферент уравнения. 1996. Т.32. №3. С. 323-327.

27. Романовский Р. К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами / Методы функционального анализа в задачах математической физики. Киев: Изд-во ИМАН УССР, 1987. С. 47-52.

28. Романовская А. М. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболических систем второго порядка с периодическими коэффициентами//Известия вузов. Математика. 1987. №7. С. 44-48.

29. Штпокало И. 3. Критерий устойчивости и неустойчивости решений линейных уравнений с квазипериодическими коэффициентами // Матем. сборник (новая серия). 1946. Т. 19. №2.

30. Боголюбов Н. Н., Митрополъский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

31. Митрополъский Ю. А., Самойленко А. М., Мартынюк Д. И. Системы эволюционных уравнений с периодическими и условно периодическими коэффициентами: Киев: Наукова думка, 1984.

32. Фомин В. И. Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределенных системах. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1972.

33. Бурд В. Ш. Бифуркация почти периодических колебаний дифференциальных уравнений с последействием нейтрального типа с быстрым и медленным временем / Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1976. С. 143-153.

34. Бурд В. Ш. Принцип усреднения на бесконечном промежутке для дифференциальных уравнений с последействием нейтрального типа с быстрым и медленным временем / Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Киев: Наукова думка, 1977. С. 62-72.

35. Бурд В. Ш. Метод усреднения на бесконечном промежутке для дифференциальных уравнений с последействием нейтрального типа / Нелинейные колебания и теории упругости. Ижевск, 1978. №2. С. 57-77.

36. Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970.

37. Колесов Ю. С. Обзор результатов по теории устойчивости решений дифференциально разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами / Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, ,1977. С. 82-141.

38. Бибиков Ю. Н. Квазипериодические возмущения осциллятора с кубической восстанавливающей силой // Дифференц. уравнения.'1996. Т.32. №12. С. 1593-1598.

39. Валеев К. Г., Пе'рвак В. Д. Об одном методе исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений с частными производными и квазипериодическими коэффициентами // ДАН УССР. Сер. А. 1975. Т. 15. С. 391-394.

40. Фодчук В. И., Холматов А. Исследование устойчивости систем дифференциально функциональных уравнений нейтрального типа с периодическими коэффициентами // Матем. физика. Респ. межвед. сборник. 1976. №20. С. 71-76.

41. Еругин Н. П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Минск: Изд-во АН БССР, 1963.

42. Игнатьев А. С. Об устойчивости почти периодических систем относительно части переменных // Дифференц. уравнения. 1989. Т.25. №8. С. 1446-1448.

43. Кубышкин Е. П. Параметрический резонанс в системах с последействием при почти периодическом возмущении / Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1978. С. 110-117.

44. Чаплыгин В. Ф. Экспоненциальная дихотомия решений линейных почти периодических уравнений с последействием с медленным временем / Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1975.

45. Добровольский С. М., Котюргина А. С., Романовский Р. К. Об устойчивости решений линейных систем с почти периодической матрицей // Мат. заметки. 1992. Т.52. №6. С.10-14.

46. Добровольский С. М., Романовский Р. К. Метод функций Ляпунова для почти периодических систем // Мат. заметки. 1997. Т.62. т. С.151-153.

47. Кириченова О.В., Котюргина А.С., Романовский Р.К. Методфункций Ляпунова для систем линейных разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами // Сиб. матем. журнал. 1996. Т.37. т. С.170-174.

48. Кириченова О.В. Об устойчивости решений нелинейных почти периодических систем разностных уравнений // Сиб. матем. журнал. 1998. Т.39. 3V«1. С.45-48.

49. Алексенко Н.В. Устойчивость решений нелинейных почти периодических систем функционально дифференциальных уравнений запаздывающего типа // Изв. вузов. Математика. 2000. №2. С. 3-6.

50. Алексенко Н.В., Романовский Р. К. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально разностных систем с почти периодическими коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2001. Т.37. №2. С.147-153.

51. Троценко Р. А. Об устойчивости решений линейных систем с последействием с почти периодическими коэффициентами // Доклады СО АН ВШ. 2001. №1. С. 37-44.

52. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1978.

53. Демидович Б. 77. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

54. Колмановский В.В., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

55. Рубаник В. П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука, 1969.

56. Троценко Г. А. Об устойчивости решений почти периодической системы нейтрального типа / Материалы заочных всероссийских научно технических конференций. II ВНТК " Современные проблемы математики и естествознания". Май 2002г., Нижний Новгород, с.5

57. Троценко Г. А. Прямой метод Ляпунова для почти периодических систем нейтрального типа / Тезисы докладов 8-й Международной конференции "Устойчивость, управление и динамика твердого тела", 3-7 сентября 2002г., Донецк. С. 22.

58. Троценко Г. А. Прямой метод Ляпунова для почти периодических систем с последействием / Там же, С. 203-204.

59. Троценко Г. А. Устойчивость системы двух осцилляторов Ма-тье при наличии индуктивной связи с запаздыванием / Там же, С. 205-206.

60. Троценко Г. А. Об устойчивости решений почти периодической системы функционально дифференциальных уравнений нейтрального типа // Изв. вузов. Математика. Принята к печати 19.03.2003.

61. Романовский Р. К., Троценко Г. А. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально разностных систем нейтрального типа с почти периодическими коэффициентами // Сиб. матем. журнал. 2003. Т.44. №2. С. 444-453.

62. Троценко Г. А. Об устойчивости решений линейных почти периодических дифференциально разностных систем нейтрального типа // Доклады СО АН ВШ. 2003. №1. С. 43-50.

63. Троценко Г. А. Об устойчивости решений почти периодиче-' ской системы функционально дифференциальных уравненийнейтрального типа / Механика твердого тела. Донецк, 2002. №32. С. 129-133.

64. Андреев А. С. Методы исследования устойчивости неавтономных уравнений. Ульяновск: ФМГУ, 1994. 80с.

65. Андреев А. С., Хусанов Д. X. К методу функционалов Ляпунова в задаче об асимптотической устойчивости и неустойчивости // Дифференц. уравнения. 1998. Т.34. №7. С. 876-885.

66. Павликов С.В., Хусанов Д.Х. Метод функционалов Ляпунова в исследовании устойчивости неавтономных функционально дифференциальных уравнений нейтрального типа j J УлГУ. Ульяновск, 1996. 41с. Деп. в ВИНИТИ 22.03.96., М881-В96.

67. Андреев А.С., Павликов С.В. К методу функционалов Ляпунова в исследовании устойчивости функционально дифференциальных уравнений // Мат. заметки. 2000. Т.68. №3. С. 323-331.

68. Мартынюк А. А., Като Д., Шестаков А. А. Устойчивость движения: метод предельных уравнений. Киев: Наукова думка, 1990. С. 46-56.

69. Кореневский Д. Г. Критерии устойчивости решений систем линейных детерминированных и стохастических разностных уравнений с непрерывным временем и запаздыванием // Ма-тем. заметки. 2001. Т. 70. №2. С. 213-229.