Некоторые вопросы устойчивости разностных систем и функционально-дифференциальных систем нейтрального типа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Б ОД

Чог ,. ^с^/ило","^!©, и>г ^ Л1. Лй-^и.^ российская авдеш наук

УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ *

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

Шиманов Сергей Сергеевич

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ УСТОЙЧЯВОСИ РАЗНОСГШХ СИСТЕМ И ФУЕШЮНШВ0-Д1ФФЕРЕШЩ1БНЬХ СИСТЕМ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА

Специальность 01.02.01 - Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертапци на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЕКАТЕРИНБУРГ

1994

Работа выполнена в отделе дифференциальных уравнений Института математики л механики Уральского отделения РАН.

Научный руководитель - академик РАН

К. С,Осипов

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор В.Е.Третьяков кандидат физико-математических наук, ст.н.с. Ю.И.Бердышев

Ведущая организация - Вычислительный центр ран

Защита состоится " Ш " 199^ года в

/¿/ часов на заседании специализированного совета ^Д 001,.

ОЦ, ()■} по защите диссертаций на соискание ученой степени ■ доктора наук Института математики и механики УрО РАН (620066, г. Екатеринбург, ул.(^Ковалевской, 16)";

С дассертащеё можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН:

Автореферат разослан " 14 " октября 1994 года.

Учений секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук

общая характеристика работы

Актуальность темыГ Диссертационная работа посвящена исследованию задач устойчивости разностных систем и построению алгоритмов получения критериев устойчивости и неустойчивости дифференциально-разностных систем нейтрального типа;1 Такие задачи возникают при решении различных прикладных задач и в первую очередь теории автоматического регулирования, механики, машиностроения. Sa последние годы область приложений теории дифференциально-разностных систем расширилась, захватив не только многие разделы физики и техники, но и некоторые области экономических и биологических наук? Разностные системы находят приложение в импульсных системах регулирования?

В развитие общей теории устойчивости движения внесли существенный вклад такие ученые как A.M.1 Ляпунов, Н.Г.- Четаев, H.H. Красовский, и. Г. Малкин и многие другие. Обширная библиография по разностным системам и их устойчивости- дана в книгах

I о

A. Халаная и Д. Векслера , Д;Ит Маришиа , В.!,Г. Кунцевича

3

и ЮЖ Чехового . В теорию устойчивости дифференциальных систем с запаздыванием во времена большой вклад внесли А.Д. Мышкис, - . Л.Э. Эльсгольц, H.H. Красовский, Ю7АГ Митропольский, С.Нг Шиманов*

B.C. Осипов и другие математика л механики? lio задачам устойчивости систем с запаздыванием библиография представлена в книгах Н.Нт Красовского 4, Дк. Хейла 5, а также в книгах

Халанай А.', Векслер Д." Качественная теория импульсных систем? Ы.: Мир, 1971

Мартышж Д.И. Декпда по качественной теории разностных уравне-шйт - Киев, 1972.

7 8

1.Э. Зльсгольца , Р. Беллмана-и К. Кука , В. Б. Колыановскоп

и В.Р. Носова 9. Подход H.H. Красовского 4 к описанию дафферен-

.-цзаяьнкх уравнений с последействием в банаховом пространстве

позволил построить теории устойчивости указанны! уравнений

4),_5), IU)- и дальнейшей результата этой теории были перенесе на уравнения нейтрального типа ^» дл£ этих уравнения полу е» аналога второго метода Ляпунова, в том числе теоремы об уст чивости по первому при ближе нип.

Исследование критических случаев устойчивости функционал дифференшальных уравнении опирается на метод расщепления сист линейного приближения, яредогазенши s ёко позволило распр ранить теорию критических случасб Ляпунова на системы с запазд нием Критические случаи устойчивости дон функшонгльно-

дифферендаальных уравнений нейтрального типа исследованы менее

5), 12)

• «

В диссертационной работе делается упор на построение функвдй Ляпунова для разностных систем, а также на алгоритмы исследования устойчивости в критических случаях для iymnzcoHaj дифференциальных систем нейтрального типа.'

3

Кунцевич В.М., Чеховой Ю.Н. Нелинейные системы управления о частотно - и дшротно - импульсной модуляцией. - Киев: Техника 1970.

^ Нрасовский H.H.- Некоторые задачи теории устойчивости дшжен М. Физматгиз, 1959

с

Хейл. Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений.-М.: Мир, 1984.

Пинни- Э. Обыкновенные дафференшально-разностше уравнения.

Сказанное ныше дает основание заключить, что тематика диссертационной работы является актуальной как с теоретической, гак и с прикладной точки зрения.

Цель работы состоит в исследовании задач устойчивости разностных систем с помощшгыетода функций Ляпунова, а также в получении алгоритмов исследования устойчивости уравнений нейтрального зила в критических случаях.

Метода исследования. При выполнении работы использовались основные понятия и результаты второго метода Ляпунова, метод представления уравнений с отклоняющимся аргументом в функциональном пространстве, метод представления уравнений с отклоняющимся аргументом в каноническом виде.

Научная новизна. Полученные в диссертации результаты являются новыми. Среди них отметим следующие:

- с помощью построенной функции Ляпунова для линейной стационарной разностной системы 2-го порядка получена полная классификация возможных качественных случаев

- предложен алгоритм построения функции Ляпунова для линейной стационарной разностной системы общего вида

7

Зльсгольц Л. Э. Качественные метода в математическом анализе, Гостехиздат, 1955.

® Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения,- М.: Мир, 1967.

9

Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические реяимы регулируемых систем с последействием. - М. :Наука, 1981

Шиманов С.Н. К теории линейных днфференщальшх уравнений с последействием. Диф. уравнения, т.1, Ж, 1965, с. 112 - 1X6.

- получен алгоритм исследования на асимптотическую устойчивост* и неустойчивость функщонально-дифференщальных уравнений нейтрального типа в критическом случае пары чисто мнимых корней,

- исследован особый случая в критическом случае одного нулевогс корня для одного уравнения нейтрального типа.

Теоретическая и практическая ценность. В работе исследи круг вопросов, относящихся к теории устойчивости разностных си< тем и устойчивости функвдонально-дафференщальных уравнений не] рального типа в критических случаях.

Работа является составной частью исследований, проводам в отделе дафференвдальшх уравнений Института математики и мех шки УрО РАЕ

. Результаты работы могут быть попользованы в теоретически исследованиях по устойчивости разностных систем и фунащональн дифференпдальных уравнений нейтрального типа в Институте матем тики и механики УрО РАН, Институте проблем механики РаН, 0.-петербургском я Уральском государственных университетах

. Апробация работы. Результаты, составляющие содержание диссертации, докладывались на всесоюзной Четаевсвой конрере цшг, на научных семинарах Уральского государственного универся та и. Института математики и механики УрО РАН.'

Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в работах, список которых приводится в конце автореферат

Шиманов С.Н. Критический случай пары чисто мнимых корней до

систем с последействием. Сиб. мат. журнал, т;2, Ш, 1961. 12

Мисник А. О. Устойчивость в критическом случае одного нуле] корня для систем дифферентально-разностных уравнений нейтралы типа. В сб. научных работ Ун-та друзбы народов им. П. Лумумбы 1968.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 8 параграфов, списка литературы. Объём диссертации составляет 134 страницу машинописного текста. Библиография состоит из 5Б наименований.

содержание работы

Во введении дается обзор литературы по теме диссертации, обосновывается актуальность теш, излагается содержание работы.

Первая глава (§§1-5) посвящена вопросам устойчивости разностных систем.

13)

В § I для линейной разностной системы 2-го порядка

х = о-х + п+1 п дп

У =СХ +с1и (1-7)

п

строится функщя Ляпунова V" — А/^ +У , где Первая разность функции

У

в силу системы (1.7) будет

Доказывается следугщая теорема.

Формулы и утверздения далее нумеруются з соответствии с текстом диссертации.

Теорема 1.1 Пусть (&({- { . При выполнении нераве

Ш- (а+с1)<(ас1~ £с + {) ад

нулевое решение системы (1.7) асимптотически устойчиво (в цело При выполнении условий: ^

(ас1-£с)г<*, (а+с1)г>(ас1-ёс + 0 ал

или условий 2 2 <2

(а+(к)<(а<1-£с + 1-) (ы

или условий. 2

нулевое решение системы (1.7) неустойчиво.

Условия (1.16) определяют всю область асимптотической устойчивости системы (1.7) в пространстве параметров я она сов: дает с областью, определяемой с помощью критерия Гурвица. Далее рассмотрен случая, когда

Показывается,

что в этом случае система (1.7) имеет первый интеграл.

У^Сх, р = сопъ± (1.21;

При этом, если выполняется второе неравенство (1.16), то мксжес точек плоскости (Х} , удовлетворяющих (1.21), будет эллипса, Возможны два варианта дшяения точки по эллипсу: I) в виде

N

- точечного дакла (когда угол поворота радиуса-вектора точки к , ) рационально соизмерим с 2/Г) -

имеем периодическое двияение; 2) с постепенным заполнением точек всего эллипса (когда упомянутый угол не соизмерим с 2*п ) имеем почти-периодическое даияение. Если не второе неравенство (1.16) выполняется с противоположным знаком, го множество точен удовлетворяющих (1.21), представляет собою гиперболу. Наконец,

если выполняется равенство 4) , то упомя-

нутое множество распадается на пару прямых.

Теорема 1.1 и последующие результаты позволяет получить полную классификацию возможных качественных случаев, определяемых системой (1.7).

Далее в §1 попутно получено аналитическое выражение для суммы матричного ряда 00 г п п 1КГ п $

2 [% Л с &]

к-о

В заключение §1 полученные результаты применены к частнвму случаю - разностному уравнению 2-го порядка.

В §2 получены оценки функции V* из §1 и разности ¿(У через коэффициенты й С , с1 , Получены оценки сверху и снизу решения системы (1.7), времени перехода точки (хп, ^) с

окружности радиуса /? с центром в точке (О, О) в окрестность радиуса £ > 0 .

В частности, имеет место оценка

т(хг+ ^НУСХ^Н М (хг+ ¿¿г) (2.2)

Где ^

ШцГ г

а также оценки

2 2 2 г М А г г

(х. * %) л.++У.) ( '

где

4 г^ю '

3)

3 §3 изучается вопрос об асимптотической устойчивости стадаонарнойссистемы:

(3.1)

где & , 4> , С , с£- постоянные, удовлетворяпцие (1.16), а Р , V р > ^ ~ функции целого аргумента, удовлетворяпцие условии: П ___1 2

( £ - любое сколь угодно малое число).

Теорема 3.1. При выполнении условий (1.16), (3.3) тривиальное решение систем»! (3.1) асимптотически устойчиво.

Доказательство теоремы 3.1 проводится и помощью функции Ляпунова Л/ из §1 и оцен ок §2.

Во второй части §3 получены критерии асимптотической устойчивости и неустойчивости дли систем разностных уравнений 2 - го.порядка с йериодаческпки коэффициентами. Критерии явно выразены через коэффициенты матрицы системы и через период системы.

й §4 изучается устойчивость разностшх уравнений и разностных систем третьего порядка. Рассмотрена задача построения функщ Ляпунова для разностной системы ^ - го порядка

х(п+{)- а, х(п)+ % усп)+с; ?сл) а3хсп)+ съ ш*)

где О.. ,С. - постоянные. На основе полученной функции

и Ъ

Ляпунова в виде квадратичной формы для системы (4.II) установлен условия асимптотической устойчивости. Также получены условия асимптотической устойчивости возмущенной системы 3-го порядка вида:

х(пн)= а^Сп)+с^Сп) + с1и Сл) сссп) + спусп) + и13 Сп) ?гл) <)-агхсп)+^ угл) * Сг хсп)+42/ (п) х(п) + (4.12)

+ с/зг Сп) усп) + с133 СП)^(ПГ)

где ¿уСп) определены и ограничены для всех 17 - 0} 1, Z)...

В последнем параграфе первой главы, §5, обсуждается вопрос построения функщи Ляпунова для разностной линейной стационарной системы общего вида. Построение осуществляется в два этапа. На первом этапе на ЗШ общая система приводится с помощью стандартных программ к системе, матрица которой имеет блочную треугольную форму с блоках,я по диагонали из матриц 2X2 и IX1. В случае, когда преобразованная матрица не переходит в кзазидаагональную, указаны преобразования системы к квазиди/тональному виду. Второй этап состоит в применении функции Ляпунова, построенной з этой главе.

Вторая глава С §§ 6 — 8) посвящена получению алгоритмов исследования на устойчивость периодических функвдонально-дифференци. альных систем нейтрального типа в критических случаях. В предполо лении, что система первого приближения стационарна, рассмотрены кригичекяе случаи пары чисто мнимых корней и одного нулевого корн

В §6 изучается задача устойчивости в критическом случае

пары чисто мнимых корней для системы следующего вида: О

-г

о

-г

-Са) - П-мерная вектор-фушщш, ^(в), - матрицу с ограни-

ченной вариацией элементов, определенные на отрезке о]

Интегралы в (6.1) понимаются в смысле Стильтьеса. £*(^х(£)) Сга,Х(бУ) -/2-мерные непрерывные функции с периодом Т , П функционалы, определяемые на кусочно-непрерывных функлцях Х(б) -2*40-¿О . ограниченных по норме ИхЩШ ;# и Т - положи' тельные постоянные. Функционалы характеризуют нелинейность систем (6.1). Они удовлетворяет условиям Липшица и условиям 0) = О

6) — 0 • Система (6.1) представляет собою нелинейную автоном ную (дериодаческую) систему функпцонально-дафференпиальных уравьв ний нейтрального типа; Движение X— О системы (6.1) называем не возмущенным.

: Система уравнений 0

(6.4)

-Т -т

является системой первого приближения.

Рассмотрим характеристическое уравнение

-О (6.5)

Иолагаем, что уравнение (6:5) имеет пару чисто мнимых корне . Л(= со I , остальные корни будем предполагать имеющими

отрицательные вещественные части. Дополнительно предполагается, что выполнены условия

^ [¿^т(в)^Ькх(-сг>к)+ $В(9)х(в)с1б (6'7)

где ряд 6 ~г абсолютно сходится, /¿О } ^"последовательность

^ К

положительных чисел 0<сд ^ ъ для Есех К , 8($)-/7*/2-матрица

интегрируемых по Лебегу функций на [-t, О J , X(&)E.C[-t} о] , - интегрируемая по Лебегу функция на О J . Предполагается также, что ХСв)) алеет непрерывные производные по всем аргументам, и (rCt, Х(9У) зависит только от . величины X(В) для 9<С 0 при всех ~Ь ^ 0 .

Система (6.1) имеет единственное решение, проходящее через точку (0, <р) , (f>£ С[-fj о] , непрерывное в точке (0,<р~) . Согласно если в качестве элемента решения принять вектор-отрезок X^(Q)—X(i + &)t О . то системе (6.1) з функциональней

пространстве непрерывных функций Судет соответствовать система "обыкновенных" дифференциальных уравнении с операторной правой частью:

£ х/9) =А x±(6)+R(i9 х/в\ в) С 6.12)

где 0 о

, у^(9)Х(6) + (¿?(б)Х(в), 9=О J (6.8)

-г -г

Яс-ь,щв)=[о^Fcxrn, в-'о] (¿.is) id

Далее, согласно в результате расщепления пространства непрерывных функвдй в дифференциальном уравнении (6.12) выделяются сопряженные переменные "У и У, отвечающие критическим корням. В новых переменных система (6.12) принимает вид

+ У а, У, У, г/«)

df=-«£?+yet,f, г, v»)

ат

(6.21)

Для системы (6.21) строятся аналоги преобразований Ляпуно! в которых учитывается бесконечная размерность задачи. При пострс нии этих преобразований возникают трудности, связанные с нестацв парностью нелинейвостей.

В результате получены формулировки критериев асимптотической устойчивости и неустойчивости' нулевого решения исходного функвдонально-дифференшального уравнения.

Полученный алгоритм исследования на устойчивость иллюстрируется на примере уравнения

сха- ?■)]=а ад у- ¿ха-ъ у + (6>43) тха ~г)+ет±&-г) + х(1-г)

где а , £ , С - постоянные, а , , €Ог) - периоднче

кие с периодом Т функции.

В §7 рассматривается критический случай одного нулевого корня (особый случай) для следуицего уравнения нейтрального типе

где О. , £ , С - постоянные, 0 - запаздывание,У^СХ,^) нелинейные члены, представленные разложением функпди окрестности точки XО » начинапдаися с членов второго пор; ка.

Как и в §6 уравнению (7.1) в функциональном пространстве О] соответствует "обыкновенное" дифференциальное операто] ное уравнение. В результате "расщепления" пространства непрерывных функций выделяется критическая переменная, соответствующая нулевому корню. После преобразования типа Ляпунова система прив(

д.™,"™: §=Хсу,г„Щ

т 1 -г (7-15'

При этом если 0) — О , то случай называется особым.

Теорема 7.1. Если дифференциальные уравнения возмущенного дЕЯлензя (7.1) могут быть приведены при помощи соогветствухвдиа: преооразований к виду (7.15), где 0, 9)= О ,

то невозмущенное движение устойчиво. При этом всякое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенному, стремится с неограниченным возрастанием времени к одному из установившихся движений семейства:

^ СО) - о (7.17)

Теорема 7.2. Если система (7.15) допускает функциональный первый интеграл Еида

У + С7.19)

где С - произвольная постоянная, у, С) - функгяонал,

аналитический относительно у и С (разлагагщийся в ряд по целым положительным степеням у и С , начиная со второй, в окрестности точки С — у=0 ), Р - дифференцируема по 1?(6) . Тогда система (7.15) допускает семейство стагионарных решений, т.е. имеет место особый случай.

Теорема 7.3. Если имеет место осооый случай, то система (7.15) допускает функциональный первый интеграл вида (7.19).

Далее изучается поведение решений на интегральной поверхности, отвечапцей первому интегралу;

Теорема 7.4. В функциональном пространстве {^ ¡?(в)} существует интегральная поверхность X. :

(где /"* типа (7.19)), на которой Есе решения системы (7.15) асимптотически {экспоненциально) убывает, если только начальные условия (Сф) достаточно :.шн по пиуме и принадлежат поверхности X • ^(0) - ) ?0(в))

В §8 рассматривается уравнение

^[х(+)-аха-{)+£(+, хс£-/))]= £хф + схЦ-1)+ (8.1) ; -+ х&), ХС^-Я)

где а , £ , С - постоянные &а,х) , Х^) непрерывные функции, периодические но ^ с периодом СО ."

Предполагается, что среди корней характеристического ура нения первого приближения (8.1), имеется конечное число нулевы и чисто мнимых корней.

Метод расщепления пространства непрерывных функций испол зуется для построения интегрального многообразия, соответствую го критическим корням и размерность которого равна числу крити ких корней. На этом многообразии движение системы описывает си ма периодических обыкновенных дифференциальных уравнений, иссл ваше которых решает задачу устойчивости для исходной системы. Заметим, что аналогичный результат был получен в . В Диссерт дается отличное и более простое изложение результатов.

ЗйКЛЖЕШЕ

В диссертационной работе получены следупцие основные результаты.

1. С помощью построенной функции Ляпунова для линейной стационарной разностной системы 2 - го порядка получена полная классификация возможных качественных случаев.

2. Долучены критерии асимптотической устойчивости линей нестационарной системы 2-го порядка.

3. Предложен алгоритм построения функции Ляпунова для линейной стационарной разностной системы общего вида.

4. Получен алгоритм исследования на асимптотическую устойчивость и неустойчивость функционально-дифференциальных

уравнений нейтрального типа в критическом случае пары чисто мнимых корней.

п 5. Исследован особый случай в критическом случае одного нулевого корня для одного уравнения нейтрального типа.

6. Построено интегральное многообразие, соответствулцее критическим корням одного дифференциального уравнения с отнлоня-пцимся аргументом нейтрального типа.

основные результаты лиссерташ опубликованы в работах'?

1. Шиманов С.С. Устойчивость разностных систем второго порядка. // Устойчивость и неликегия колебания. Свердловск, УРГУ, Т982, с. 69 - 88.

2. Шиманов С.С. Функция Ляпунова для разностных систем второго порядка. //ШЖ. I9S2. Т. 46, .'£6. с. IC40 - IC42.

3. Шиманов С.С. Устойчивость разностной системы третьего порядка. // Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск, 19837 с. 88 - 91.

4. Шиманов С.С. Критерий устойчивости линейных разностных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами. // Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск, 1984,хУРГУ,

с. 107 - IC9.

5. Шиманов С.С. Устойчивость в критическом случае функционально-дифференшальвых уравнений нейтрального.типа.// Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск, 1986, УРГУ, с. 91 - 106.

6. Шиманов С.С. Устойчивость в критических случаях функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа. // Некоторые метода позиционного и программного управления. Свердловск, УЕЦ АН СССР, с. 138 - 146.

7. Шаманов С.С. Устойчивость разностных систем третьего порядка. // Устойчивость и нелинейные колебания. Свердаовску 1988, УРГУ, с. 91 - 98. ~

8. Шиманов С.С. Устойчивость в критическом случае для нейтральных систем. // Задачи оптимизации и устойчивости в упрг ляемых системах. Свердловск, УВД АН СССР, 1990, с. ИЗ - 121.

9. Шиманов С.С. 0 построении функции Ляпунова для разнос ных систем. // Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск, 1991, УР1У, с. 99 - 103.

10. Шиманов С.С. О построении функции Ляпунова для одной разностной системы четвертого порядка. // Ин-т математики и механики УрО РАН. - Екатеринбург, 1992. - 6с. Деп. в ШНИТИ

11. Шиманов С.С. О периодических и почти периодических движениях в разностной системе. // Ин-т математики и механики УрО Piffl. - Екатеринбург, 1992. - 8с. Деп. в ВИВШИ

Подписано в печать 10.10. 94. формат 60x84 1/16

Плоская печать Усл. п. л. 1,39

Уч.-изд. л. 1,28 Тираж 100 Заказ 138