Асимптотическое поведение решений дифференциально- q- разностных уравнений в окрестности критических точек тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава I. Вспомогательные и вводные положения

§ I. Основные понятия и определения, обзор литературы.

§ 2. Расщепляемые дифференциально- cj, -разностные уравнения с сингулярностью

§ 3. Приведение граничной задачи для системы волновых уравнений к дифференциально- с^ разностному уравнению. •.

Глава П. Представление в окрестности критических точек решений линейных дифференциально- с^-разностных уравнений с сингулярностью

§ 4. Теорема о представлении общего решения уравнения

РаХсМ+Ь^ШъСЪ* cflOxCatV <LCt) xto-o,

0<-У9 jib <■'1 в окрестности точки t~o

§ 5. Асимптотика решений уравнения ty<£(ai)+1Htt)±(i\ ctt)x(a£>+

XijjL.y л при t oo

Глава Ш. Исследование асимптотики решений квазилинейных дифференциально- cj,-разностных уравнений с сингулярностью

§ б. Построение общего решения вырожденной начальной задачи для уравнения

§ 7. Асимптотика решений уравнения i/m, оeft), x(at))x(t) - fft,cc(i\cc(ai)\ удовлетворяющих условию lim ocft) -О

Глава 1У. Исследование асимптотики решений линейных дифференциально- с^ -разностных уравнений с сингулярностью

§ 8. Асимптотические оценки решений уравнения сКЬЫЬ) «о, в окрестности точки i**

§ 9. Оценки роста решений систем уравнений и уравнений с несколькими преобразованиями аргумента.

§ 10. Асимптотические оценки решений уравнения c(i)oc(at)+M)oc(t) = о,

§ II. Сводка результатов исследования линейных дифференциально- су -разностных уравнений с сингулярностью

Список основной использованной литературы

Дифференциально-функциональные уравнения (ДФУ) все чаще используются в различных областях естествознания и техники для описания динамики реальных систем с учетом их предыстории» Источником таких уравнений являются также многие математические задачи, непосредственно сводящиеся к исследованию ДФУ, в том числе некоторые классы краевых задач для уравнений с частными производными. Поэтому развитие методов исследования ДФУ, изучение свойств их решений, в частности, поиск эффектов, обусловленных наличием отклонения аргумента, имеют большое теоретическое значение и представляют значительный практический интерес.

Одним из важных направлений теории ДФУ является изучение их с позиции функциональных уравнений. Такой подход оказался весьма плодотворным при исследовании свойств решений в окрестности критических точек. Под критическими понимаются точки, в которых отклонение аргумента обращается в нуль. В окрестности критических точек обычно не применим метод пошагового интегрирования, решения могут иметь различные особенности.

С помощью указанного подхода при условии, что коэффициенты при производных не обращаются в критической точке в нуль (регулярный случай) исследованы асимптотические свойства решений линейных уравнений запаздывающего типа [99, 106, 107] , получено представление общего решения линейных и квазилинейных уравнений нейтрального типа [44-47, 49-60, 62, 69, 70] .

В сингулярном случае, когда хотя бы один из коэффициентов при производных обращается в нуль в критической точке, ДФУ изучены недостаточно. Имеется сравнительно небольшое число работ, посвященных ДФУ с сингулярностью, в том числе [5-9, 13, 14, 19, 27, 31, 71, 78, 85, I0I-I05] . Исследованы главным образом вопросы существования и единственности решений, пред-ставимых в окрестности критических точек степенными и обобщенными степенными рядами. В то же время вопрос построения общего решения или по крайней мере получения асимптотики всех решений в окрестности сингулярных критических точек оставался открытым.

Задача установить асимптотику и получить, когда это возможно, представление решений ДФУ с сингулярностью, исследовать асимптотическое поведение решений при t поставлена

Ю.А.Митропольским и А.Н.Шарковским в обзоре [36, с. 220 ] . К этому кругу вопросов относится данная диссертация.

В диссертационной работе изучаются линейные и квазилинейные ДФУ со степенной сингулярностью. Рассматриваются главным образом уравнения с линейным преобразованием аргумента t cut, относящиеся к так называемым [82] дифференциально- ^-разностным уравнениям (Д- с^ -РУ): t* сс(аЬ)+Ь^вШ(Ь)с(Ь)осШ+ сШхШ =о (ол) f ft,xftWaiO) (0.2)

К таким уравнениям локально (в окрестности критических точек) сводятся ДФУ с преобразованиями аргумента более общего вида.

В диссертации развиваются методы, разработанные для Д- <]г -РУ в регулярном случае [49-56, 106, 107] , применительно к исследованию уравнений с сингулярностью. Исследования опираются на результаты теории функциональных уравнений без свободных переменных оc(fffi) = cf (t,oc(t)) , основные положения которой содержатся в монографиях [48, 108] . К простейшим функциональным уравнениям относятся су -разностные уравнения (f(t) = ^t) .Из работ, посвященных (^-разностным уравнениям, отметим [81-84, 90, 91, II9-I2o] . Диссертация состоит из введения и четырех глав. Первая глава, имеющая вводный характер, состоит из трех параграфов. В § I содержатся основные понятия и определения; указана замена, линеаризирующая нелинейный сдвиг аргумента; дан обзор работ, посвященных исследованию ДФУ в окрестности критических точек. В § 2 приведено определение расщепляемых ДФУ [?б] т.е. уравнений, оператор которых можно представить в виде конечного произведения дифференциальных и функциональных операторов. Уравнение (0.1) при У =yu,, в(Ь)~8 , c(t) = c^o,

1. Ахмеров P.P., Каменский М.И., Потапов А.С., Родкина А.Е., Садовский Б.Н. Теория уравнений нейтрального типа.- В кн.: Итоги науки и техники. Сер. Математ. анализ, т. 19.- М.: ВЙШ-Ш, 1982, с. 55-126.

2. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения.- М.: Мир, 1967.- 548 с.

3. Витт А.А. К теории скрипичной струны.- Журн. техн. физики, 1936, б, вып. 9, с. I459-I479.

4. Гримм Л. Дж., Фитцпатрик В. Дж., Холл Л.М. Теория особых точек для одного класса функционально-дифференциальных уравнений в ковшлексной области.- В кн.: Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Киев: Наук, думка, 1977, с. I02-II3.

5. Грудо Э.И. О решениях уравнения Врио и Буке с отклоняющимся аргументом,- Дифференц. уравнения, 1968, 4, № 3, с. 479-490,

6. Грудо Э.И. К аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.- Дифференц. уравнения, 1969, ^ , № 4, с. 700-711.

7. Грудо Э.И., Ковалевский Н.П. О неявных функциях, определяемых уравнениями с отклоняющимся аргументом.- Весц1 АН БССР, Сер. ф1з.-мат. навук. 1972, № 2, с. 31-40. - 154 -

8. Грудо Э.И., Нгуен Ван Ты О решениях обыкновенных дифферен- щальных уравнений с отклоняющимся аргументом в окрестности регулярной особой точки,- Весц1 АН БССР, Сер. ф1з.-мат. Fja-вук, 1982, № 4, с. 3-10.

9. Дерфель Г.А. Асимптотические свойства решений дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом: Автореф. дисс. ... канд. физ.-мат. наук.-Тбилиси, 1977.- 16 с.

10. Дерфель Г.А. Об асимптотике решений одного класса дифференциально-функциональных уравнений.- В кн.: Асимптотическое поведение решений дифференциально-функциональных уравнений. Киев, 1978, с. 58-65.

11. Дерфель Г.А. О поведении решений функциональных и дифференциально-функциональных уравнений с несколькими преобразованиями аргумента.- Укр. мат. журн,, 1982, 34, № 3, с. 350-356.

12. Донская Н.В. О поведении решений некоторых классов дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук.- Фрунзе, 1972.- 15 с.

13. Донская Н.В., Иманапиев М.И., Норкин С Б . О структуре решений одного класса дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом с особенностью.- Исследование по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии, 1973, 9, с. 227-240.

14. Зверкин A.M. Теоремы существования и единственности для уравнения с отклоняющимся аргументом в критическом случае.-Тр. семинара по теории дифф. уравн. с отклон. аргум., 1962, 1, с. 37-46.

15. Зверкин A.M. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом.- В кн.: 5-я Летняя математическая школа. Киев, 1968, с. 307-399.

16. Зверкин A.M. Некоторые вопросы теории линейных дифференциально-функциональных уравнений.- В кн.: Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Киев: Наук, думка, 1977, с. 127-139.

17. Каменский Г.А. О существовании и единственности решений дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа.-Ученые записки МГУ, математика, 1956, 8, вып. 181, с. 83-89. - 156 -

18. Каменский Г.А. К общей теории уравнений с отклоняющимся аргументом.- Докл. АН СССР, 1958, ^ 20, № 4, с. 697-700.

19. Каменский Г.А. Об уравнениях с отклоняющимся аргументом.- Ученые записки МГУ, математика, 1959, £, вып. 186, с. 205-209.

20. Кшленский Г.А. Существование, единственность и непрерывная зависимость от начальных условий решений системы дифференциальных уравнений с отклоняющтлся аргументом нейтрального типа.- Мат. сб., I96I, 55, (97), вып. 4, с. 363-378.

21. Каменский Г.А. Краевая задача для нелинейного дифференциального уравнения первого порядка с отклонящимся аргументом нейтрального типа.- Тр. семинара по теории диф. уравн. с отклон. аргум., 1965, 3^ с. 39-46.

22. Ковалевский Н.П. О решениях дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.- Весц1 АН БССР, Сер. ф1з.-мат. навук, 1972, № 5, с. II-I6.

23. Колесов Ю.С., Швитра Д.И. Автоколебания в системах с запаздыванием.- Вильнюс; Мокслас, 1979.- 148 с.

24. Майстренко Ю.Л. С -решения линейных дифференциально-функциональных уравнений с дробно-линейным преобразованием аргумента.- В кн.: Качественное исследование дифференциально-функциональных уравнений. Киев: Наук, думка, 1980, с. 90-100. - 157 -

25. Майстренко Ю.Л,, Шарковский А.Н. 1Урбулентность и простые гиперболические системы: Препринт 84.2,- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984.- 23 с.

26. Мартынюк Д.И. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом с помощью рядов.-Укр. мат. журн., 1966, J8, № 5, с. I05-III.

27. Митропольский Ю.А., Мартынюк Д.И. Лекции по теории колебаний систем с запаздыванием. Киев: Ин-т математики АН УССР, Киевский госуниверситет, 1969, 309 с.

28. Митропольский Ю.А., Мартынюк Д.И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием.- Киев: Вища школа, 1979.- 248 с.

29. Митропольский Ю.А., Фодчук В,И. Асимптотические методы нелинейной механики применительно к нелинейным дифференциальным уравнениям с запаздывающим аргументом.- Укр. мат. журн., 1966, J8, № 3, с. 65-84.

30. Митропольский Ю.А., Шарковский А.Н. Развитие теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в Институте математики АН УССР.- В кн.: Дифференщальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Киев: Наук, думка, 1977, с. 215-221. - 158 -

31. Митропольский Ю.А., Шевело В.Н. Влияние запаздывания на осцилляцию и асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений.- В кн.: Математизация знаний и научно-технический прогресс. Киев: Наук, думка, 1975, с. 92-106.

32. Мышкис А.Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.- В кн.: Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Киев: Наук. думка, 1977, с. 221-247.

33. Нагумо И., Шимура М. Автоколебания в длинной линии с туннельным диодом.- Труды ин-та инж. по электротехн. и радио-электр., русский перевод Proceedings IEEE, I96I, ^ , № 8, с. I494-I504.

34. Пелюх Г.П. О голоморфных решениях нелинейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа.- В кн.: Дифференциально-разностные уравнения. Киев, I97I, с. I2I-I24.

35. Пелюх Г.П. О голоморфных решениях систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений.- В кн.: Метод интегральных многообразий в нелинейных дифференциальных уравнениях. Киев, 1973, с. 182-194.

36. Пелюх Г.П. Существование и единственность С -решений нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа.- В кн.: Дифференциально-функциональные и разностные уравнения. Киев, I98I, с. 57-64. - 159 -

37. Пелюх Г.П. Общее решение одного класса линейных дифференциально-функциональных уравнений со многими отклонениями аргумента.- В кн.: Осцилляция и устойчивость решений дифференциально-функциональных уравнений. Киев, 1982, с. 60-74.

38. Пелюх Г.П., Шарковский А.Н. Общее решение одного класса нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа.- В кн.: Методы приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений. Киев, 1973, с. 208-229.

39. Пелюх Г.П., Шарковский А.Н. Введение в теорию функциональных уравнений.- Киев: Наук, думка, 1974.- 120 с.

40. Полищук В.М. Поведение решений линейных дифференциально- функциональных уравнений с неаналитическими коэффициентами в окрестности особой точки.- В кн.: Динамические системы и вопросы устойчивости решений. Киев, 1973, с. 81-94.

41. Полищук В.М. Зависимость решений линейных дифференциально- разностных уравнений от параметров.- В кн.: Метод интеграль-- 160 -ных многообразий в нелинейных дифференциальных уравнениях. Киев, 1973, с. 204-212.

42. Полищук В.М. Исследование решений линейных дифференциально- (|^нкциональных уравнений в окрестности особых точек: Авто-реф. дис. ,,. канд. физ.-мат. наук.- Киев, 1973.- 9 с.

43. Полищук В.М. Представление решений систем линейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа.-Дифференц. уравнения, 1974, ГО, № 8, с. I423-I429.

44. Полищук В.М., Шарковский А.Н. Общее решение линейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа.- В кн.: Дифференциально-разностные уравнения. Киев, I97I, с. 125-139.

45. Полищук В.М., Шарковский А.Н. Представление решений линейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа.- Дифференц. уравнения, 1973, £, № 9, с. 1627-1645.

46. Полищук В.М., Шарковский А.Н. Структура множества решений линейных дифференциально-функциональных уравнений,- В кн.: Конференция по дифференциальным уравнениям и их приложениям. Руссе, Болгария, 1975, с. 102.

47. Романенко Е.Ю. Исследование некоторых вполне интегрируемых дифференциально-функциональных уравнений.- В кн.: Функцио-- 161 -нальные и дифференциально-разностные уравнения. Киев, 1974, с. I10-128.

48. Романенко Е.Ю. Представление решений квазилинейных диффе- ренщально-функциональных уравнений нейтрального типа.-Укр. мат. л^н., 1974, 26, № 6, с. 749-761.

49. Романенко Е.Ю. Исследование некоторых классов функциональных и дифференциально-функциональных уравнений.- Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук.- Киев, 1975.- II с.

50. Романенко Е.Ю. Представление решений квазилинейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа в случаях резонанса.- Укр. мат. журн., 1977, ^ , № 2, с. 280-283.

51. Точков Г. Об одной нелинейной системе дифференциальных уравнений нейтрального типа,- В кн.: Дифференциальные уравнения и применения (П): Тр. П конф., Руссе, Болгария, 29 июня - 4 июля I98I г. Руссе, 1982, с. 739-742.

52. Фещенко Т.О. Об асимптотике решений одного класса дифференциально-функциональных уравнений в окрестности особой точки.- В кн.: Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Киев: Наук, думка, 1979, с. 220-226.

53. ШарковскиЙ А.Н. О проблеме единственности решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.- Мат. физика: Респ. межвед. сб., 1970, вып. 8, Киев: Наук, думка, с. 167-172.

54. ШарковскиЙ А.Н. Гладкие решения функциональных и дифференциально-разностных уравнений.- В кн.: Труды У Междунар. конф. по нелинейным колебаниям, Киев: Ин-т математики АН УССР, 1970, I, с. 598-602.

55. ШарковскиЙ А.Н. Дифференциально-функциональные уравнения с конечной группой преобразований аргумента,- В кн.: Асимптотическое поведение решений дифференциально-функциональных уравнений. Киев, 1978, с. II8-I42.

56. Швитра Д.И. К задаче об автоколебаниях в длинной линии с туннельным диодом,- В кн,: Осцилляция и устойчивость реше-- 164 -НИИ дифференциально-функциональных уравнений. 1982, с. II4-I27.

57. Эльсгольц Л.Э. Уравнения с отклоняющимся аргументом, аналогичные уравнениям Эйлера,- Тр. семинара по теории диф. уравнений с откл. аргум, 1962, J_, с, 120.

58. Эльсгольц Л.Э. Некоторые проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.- Тр. семинара по теории диф. уравнений с откл. аргум., 1967, ^ , с. 239-241.

59. Эльсгольц Л.Э,, Норкин С Б . Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом,- М.: Наука, I97I,- 296 с,

60. Adams C.R, On the linear ordinary q-difference equation.- Ann. Math., 1929, ^ 0, N2, p.195-205.

61. Adams C.R. Linear q-difference equations.- Bull. Amer.biath, Soc, 1931, Л.» 1^ 6, p.361-400.

62. Birkhoff G.D. The generalized Rieman problems for linear differential equations and allied problems for linear difference and q-difference equations.- Proc.Amer.Acad.Arts and Sci., 1913, ^ , October, p.521-568.

63. Birkhoff G.D.,Guenther P.E. ITote on canonical form for the linear q-difference system.- Proc.Hat.Acad.Sci. USA, 1941, 27, 1T4, p.218-222.

64. Braaksma B.L.J., Harris W.A.Jr. Laplace integral and factorial series in singular functional differential systems.-Appl.Anal., 1978, 8, Hi, p.23-45.

65. Brayton R.K. ITonlinear oscillations in a distributed net - work.- Quart.Appl.Math., 1967, 2±, Щ, p.289-301.

66. De Bruijn E.G. The asymptotically periodic behavior of the - 165 solutions of зоше linear functional equations.- Amer.J. Iiath., 1949, 11, Ж2, p.313-330.

67. De Bruijn H.G. On some.linear.functional equation.- Publ, Hath.Debrecen, 1950, ±, 1T3, p. 129-134.

68. De Billion H.G. The, difference-differential equation T (co^ = = e ''^ !r Гх-i), J_,ji. r-.Proc. Koninkl. Hcderl. Akad. Wetensch., ser.A, 1953, 5i, H5, p.449-464.

69. Garmichael R.D. The general theory of linear q-difference equations.- Araer.J.Math., 1912, ^ , p.147-168.

70. Cannichael R.D. The present state of difference calculus and the prospect for the future.- Amer.Math.l/Ianth., 1924, ,31« 1T4, p. 169-183. 71. Carr J., Dyson J. 2!he matrix functional differential equation t^oc) =d^^(:XxV «^yCx") .- Lect.notes.Hath. , 1974« 415» p.323-328.

72. Carr J., Dyson J. The functional differential equations ^Yx)= CL<^('Xoci)+ 6(^ c^c) ,- Proc.Roy.Soc.Edinburgh, 1976,

74. Carr J., Dyson J. The matrix functional differential equa - tion. i^^(OC)= Jku(')^'X.)+S6u(cc) .- Proc.Roy.Soc.Edinburgh, 1976, 2^ A,,HI, p.5-22.

75. Chambers Ll.G, Some functional.differential equations.- Quart.Appl.Math., 1975, ^ , H4, p.445-456.

76. Cooke K.L., Ilrumme D.V/. Differential-difference equations and nonlinear initial-boundary value problems for linear hyperbolic partial differential equations.- J.Math.Anal.Appl,, 1968, 21, H2, p.372-387.

77. Dyson J., Bressan R.V. Functional differential equations and non-linear evolution operators,- Proc, Roy, Soc. Edinburgh,' - 166 -1976, 75 Л, Ю, р.223-234-

78. Grimm L.J. Existence and uniqueness for nonlinear neutral- differential equations.- Bull.Amer.LIath.Soc., 1971, Ц , Ю , p.374-376.

79. Grimm L.J. Existence and continuous dependence for class of nonlinear neutral-differential equations,- Proc.Amer. Math. Soc, 1971, 22, 113, p.467-473.

80. Grimm L.J. Analytic solutions of a neutral-differential system near a singular point.- Proc.Amer.Matli.Soc., 1972, Дб_, TT1, p.187-190.

81. Grimm L.J., Hall L.K. Holomorphic solutions of functional differential systems near singular points.- Proc.ilmer.Math. Soc, 1974, ^f HI, p.167-170.

82. Grimm L.J,, Hall L.M. An alternative theorem for singular differential systems.- J.Diff, Equat,, 1975, 18, 112, p.411-422,

83. Grimm L.J., Hall L.M. Holomorphic solutions of singular functional differential equations.- J.Hath.Anal.Appl.,1975, ^ , ID, p.627-638.

84. Kato T. Asymptotic behaviour of solutions of the functio - nal-differential equation a^ (x) =a^ C:>ix)+6y(x) .- In: Delay and functional differential equations and their applica -tions, N-J-London: Acad.Press, 1972, p.197-217. - 167 -

85. Kato Т., McLeod J.В. The functional-differential equation ^tx)= a^C^x)+ -^^ Cx) .- Bull.Amer.Math.SОС, 1971,71, Жб, p.891-937.

86. Kuczma M. Pvmctional equations in a single variable.-,War- szav/a: PV/N, 1968. -383 p.

87. Lim Eng-Bin Asymptotic behaviour of solutions of the functional differential equation xYi) = (Л'Х.(')^Ь)+5Ь'Х.£),УУО .- J. Math.Anal.Appl., 1976, ^ , 113, p.794-806.

88. Lim Eng-Bin Asymptotic bounds of solutions of the functional differential equation х'(£)=а.х(')£)-1-в'Х.(€)+НЬ) , о-^'У^^^ .-SIAM J.Math.Anal., 1978, ^ , И5, p.915-920.

89. Lopes 0. Stability and forced oscillations.- J.Math.Anal. Appl., 1976, ^ , ПЗ, p.686-698.

90. Mahler K. On a special functional equation.- J.London Math. Soc, 1940, 21* 1158, p. 115-123.

92. Oberg R.J. Local theory of complex functional differential equations.- Trans.Amer.' Math.Soc., 1971, l6l,part2,p.269-281.

93. Ockendon J.R., Tayler A.B. The dynamics of current collection system for an electric locomotive.- Proc.Roy.Soc.London, 1971, A 322, И1551, p.447-468.

94. Pandolfi L, Some observations on the asymptotic behaviour of the solutions of the equation ^Ct) ^ctb)cc(yb)+(bCi)cc(i')^:k>o. J.Math.Anal.Appl., 1979, £7, 1T2, p.483-489.

95. Sternberg S. Local contractions and theorem of Poincare.- Araer.J.Math., 1957, 21» ^4, p.809-824. - 168 -

96. Szekeres G, Regular iteration of real and complex functions.- Acta Math., 1958, JO^, p.203-258.

97. Trjitzinsky Y/,J, Analytical theory of linear q-difference equations.- Acta Math., 1933, 6j, p. 1-38.

98. Trjitzinsky ?/,J. !Баеогу of non-linear q-difference sys - terns.- Ann.Hath.Pura Appl., 1938, Г7, 1T1-2, p.59-106.

99. Vogl P. Uber ein System linearer functional-differential Gleichungen.- Z. angev/. Math.Mech., 1980, Ж1, a.7-17.

100. Yogi P. Das Wachstum spezieller analytischer Losungen der Pimktional-Differentialgleichung и''(х) = (шГ!Хх)+х8ц(сх:.) . Glas.Mat., 1980, J^, HI, s.61-70.