Построение аналитических интегральных многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

г

На правах рукописи

Садриддинов Махмади Махмудович

2 7 АВГ 2009

ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ

01.01.02-дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Душанбе 2009

003475795

Работа выполнена в Таджикском техническом университете имени академика М.С.Осими

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Курбаншоев Сафарали Завкибекович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Исмати Мухаммаджон

Ведущая организация: Таджикский государственный педагогический университет имени С. Айни

Защита состоится 16.09.2009 г. в _11_ ч. на заседании диссертационного совета ДМ 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан по адресу: 734063, г. Душанбе. ул. Айни 299/4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики Академии наук Республики Таджикистан

Автореферат разослан ¿^ ^ ¿^ 2009 г.

Ученый секретарь

кандидат физико-математических наук, доцент Гулов Хасан Махмадраджабович

диссертационного совета

Халилов Ш.Б.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория интегральных многообразий своими идеями восходит к основополагающим работам А. Пуанкаре, А.М.Ляпунова, Ж.Адамара, О. Перрона, Л. Боля. В работах А. Пуанкаре и A.M. Ляпунова были разработаны качественные методы исследования свойств решений систем дифференциальных уравнений, использование которых не требовало полного интегрирования исследуемых систем. С увеличением порядка рассматриваемых систем уравнений, задачи качественного исследования значительно усложняются. Поэтому уже в работах А. Пуанкаре и А.МЛяпунова стали разрабатываться новые методы, позволяющие понижать порядок исследуемых систем с помощью объединения в одно целое множество различных решений. Совокупность этих методов получила впоследствии название теории интегральных многообразий.

В дальнейшем идеи теории интегральных многообразий в нелинейной механике получили широкое развитие и обобщение, и стали существенно использоваться для исследования сложных явлений, наблюдаемых в самых разнообразных динамических системах, в теории гироскопов, в теоретической физике, в задаче устойчивости движения, при исследовании решений задач автоматического регулирования. Методы интегральных многообразий позволяют свести задачу высокой размерности к задаче более низкой размерности. В этом заключается их основное значение при исследовании многомерных динамических систем.

Существенный вклад в теорию интегральных многообразий внесли H.H. Боголюбов и Ю.А. Митропольский. Она получила свое развитие также в работах бывших советских исследователей К.Г. Валеева, Ю.Л. Далецкого, Ю.И. Неймарка, О.Б. Лыковой, В.А. Плисса, A.M. Самойлен-ко, В.И. Фодчука, а также в работах зарубежных математиков С. Дили-берто, В. Кайнера, Ал. Келли, Я. Курцвейля, А. Халаная, Дж. Хенля, Н.Чейфи и др.

Проблема анализа устойчивости движения различных физических систем, в том числе и асимптотическое поведение,решений, продолжает оставаться одной из наиболее актуальных проблем в прикладной математике и её приложениях.

В диссертации разрабатываются конструктивные способы построения интегральных многообразий с цельно исследования асимптотических поведений решений систем нелинейных дифференциальных и интегральных уравнений на этих многообразиях.

Развиваемые в данной диссертационной работе методы интегральных многообразий в теории дифференциальных и разностных уравнений опираются на идеи, предложенные в работах К.Г.Валеева.

Ч

Объектом исследования диссертационной работы являются нелинейные системы дифференциальных и разностных уравнении с аналитическими правыми частями, а именно;

-нелинейные неавтономные системы дифференциальных уравнений;

-нелинейные неавтономные системы^ дифференциальных уравнений, содержащие малый параметр;

-нелинейные системы разностных уравнений, содержащие малый параметр.

Цель работы. Целью работы является построение для указанных классов уравнений голоморфных интегральных многообразий, их обоснование, а также получение оценок радиуса сходимости полученных интегральных многообразий в виде степенных рядов и исследование асимптотического поведения решений названных систем на них.

Научная новизна: д.

-развита теория интегральных многообразий для систем дифференциальных и разностных уравнений с аналитическими правыми частями;

-обосновано применение интегральных многообразий, полученных в виде сходящихся рядов для описанных выше классов систем;

-исследована сходимость соответствующих разложений в виде степенных рядов и даны оценки их радиусов сходимости;

-дано применение полученных результатов при исследовании асимптотического поведения решений рассматриваемых многомерных систем (принцип сведения), указан способ применения интегрального многообразия в теории устойчивости движения.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты, сформулированные в диссертации, имеют теоретическое и практическое значения и являются новыми. Они представляют собой дальнейшее развитие теории интегральных многообразий. Разработанные теоретические положения и конструктивные построения интегра.:ьных многообразий нелинейных систем дифференциальных и разностных уравнений могут быть квалифицированы как новые достижения в развитии теории интегральных многообразий. Полученные результаты могут быть использованы при построении методов решения прикладных задач, при исследовании вопросов устойчивости различных задачах теории автоматического регулирования, при построении нелинейных проекторов, позволяющих производить расщепление многомерных динамических систем, для построений функций Ляпунова, при исследовании устойчивости колебательных движений механической системы с распределенными параметрами, в теории дифференциальных, разностных и

дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, теории функции комплексного переменного, в функциональном анализе и вычислительной математике.

Апробация рабо1Ы. Основные результаты были доложены на Международной научно^ практической конференции, посвященной 80 -летию со дня рождения одного из основателей Таджикского технического университета А. С. Сулейманова, Душанбе, 1998, Международной научной конференции, посвященной 60-летию Т. Собирова «Дифференциальные уравнения и их приложения», ТГНУ, Душанбе, 2000, Международной научно-практической конференции «16 сессия Шурой Оли Республики Таджикистан (12- созыва) и ее историческая значимость в развитии науки и образования», ТТУ, Душанбе, 2002, на семинаре Института математики АН РТ, на научны»семинарах кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений, кафедры теории функций и математического анализа, кафедры высшей математики Российско-Таджикского (Славянского) Университета, кафедры математического анализа Таджикского государственного педагогического университета имени С.Айни, кафедры высшей математики Таджикского технического университета имени академика М. С. Осими, кафедры высшей математики Института экономики Таджикистана.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в девяти научных статьях и тезисах, список которых приведен в конце автореферата. Постановки задач принадлежат научному руководителю Кур-баншоеву С.З., а формулировки задач и их доказательства принадлежат автору.

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы, содержащего 128 источников. Объём диссертации составляет 95 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена построению и свойствам интегральных многообразий, изучению свойств решений нелинейных систем дифференциальных и разностных уравнений с аналитической правой частью.

Во введении приведен краткий обзор работ, имеющих отношение к теме диссертационной работы. Даётся краткая характеристика выполненной работы.

Первая глава посвящена принципу сведения в теории дифференциальных уравнений.

В §1.1 приведён краткий обзор работ по принципу сведения в теории дифференциальных уравнений. Результаты этого параграфа

ч

носят вспомогательный характер. В нём содержатся основные определения и примеры интегральных многообразий, а также некоторые теоремы, применяемые при доказательствах теорем существования интегральных многообразий. Приводимые сведения в основном известны и необходимы для понимания последующих результатов диссертации.

В §1.2 изучаются некоторые свойства разрешающего оператора системы дифференциальных уравнений

= А{г)х+juF.it, X,У, Ь (г,0,0, ц) = О, А (1)

лу

Л А

где ХеВ), У £ В2; Вь В2-некоторые конечномерные нормирование пространства; X, У - векторы соответственно с проекциями д:,,^,...,^; р. - малый параметр. Предполагается, что

вектор-функции Х,У,р1) {к = 1,2) определены в области

ДМ: '

||х|| = тах\х\ < р\ ||у|| = тахЫ < р, -<*> <t О < Ы < у , (2)

непрерывны по г и голоморфны относительно (Л и проекции векторов X , У и _ их разложения в ряды по степенями Хту , уг,..., Уп начинаются с членов не ниже второго порядка в области (2).

Полагается, что вектор-функции У,//) (к = 1,2) в об-

ласти Д(/?) Удовлетворяют условию Липшица

Ц^ А^.-^зЦ + ЦУ.-^Ц] (А' = 1,2), (3) где А ^о при их.ц+цхзц+икл+ипц^о.

Операторы А- линейные, локально интегрируемые. Пусть матрицы решений Р(г,г), т) линейных систем

— = А(Г)Х, — = В«)У, -оо<г<оо (4)

Л Л

удовлетворяют условиям

r| < ехр{^(/ - г)}, S = const,

\N(t, г| < Сехр{- A(t- г)}, (A-nâ>0, С> 1 />0).

Рассматривается второе уравнение системы (1) в предположении, что функция X (?) известна: dY at

Обозначим через

R{t,x{r), Y0, м) решение дифференциального уравнения (6). Учитывая условие (5), для оператора R имеем интегральное уравнение

1

R{t, X (г), Y0,ju) = N{t, 0)У0 +м pV(f, s)F2 {s, X (s), R(s, X(t), Y0,m\m№ ■ 0)

о

Для оператора R получены оценки: Пусть Х(т) = 0.

1) \\R{tAYQ,4\<C\Y,\e-^ +\m\CM2P;{,

где

сд, А< 1.

Пусть X = Х1{т), Х = Х2{т), (T<t).

!

2) Lit) < Се-^% - У:|| + |//|СД \e^Q{s)ds,

о

где

ДО = 1 R{u X,(t)J,(T) fi) - Rit, X2(r), У2(г)//|. Пусть ||F2(r,Z,0,//|<6)f||x||", (n>0, a = const).

1>№.Х{т\0,мЬЦхГ, '"¿Jffi^ (1 = const).

В §1.3 сформулирован принцип сведения локального характера с помощью построения аналитических интегральных многообразий и дана оценка радиуса голоморфности в виде степенных рядов этих многообразий. При этом доказана следующая

Теорема 1. Если для системы дифференциальных уравнений (1)

выполнены условия (3), (5) и 0 < |//| < jU0, где

н* =(Л-уКСг)-\ 0<у</1, г = тах(Д,/?2), (8)

то в некоторой области Д(уО,) (0 < < /С») существует интегральное многообразие ) , представимое уравнением

У = «/(*,*,У0,//), уо=^(0,х,уо,/г), (9)

где Х(т),У0,//), на котором лежат все решения

системы (1), удовлетворяющие условиям

У = У0 при / = 0. (10)

Функция

может быть найдена из равенства ^(*,Х,//)=Ит^„(г,Х,/г). (11)

Л—

Последовательность равномерно сходится по t,X,jЛ в

области Д(р,). При условии (8) X,//) являются голоморфными

относительно /Л и проекции вектора X в области Д(/Э,). Из данной теоремы получено следующее

Следствие. При оператор у/{{, Х,/л) голоморфно зави-

сит от Ц и проекции вектора X и может быть представлен абсолютно сходящимся рядом по степеням параметра [Л и проекции вектора X в области Л(р1)

и члены этого ряда будут ограничены в этой области. Далее рассматривается система

Щ= А(г)Х + (г,ХД//)+|«Ф(гД#(а,//),Д (12) ш

где

обращается в нуль при У=0 и разложение ее компонент в степенной ряд, по предположению, начинается с членов не ниже второго порядка. Окончательный результат первой главы сформулирован в виде следующей теоремы:

Теорема 2. Если нулевое решение системы уравнений (12) при |//| < /10 устойчиво, асимптотически устойчиво или неустойчиво в облас-

ти Д(/?,), то нулевое решение системы (1) соответственно устойчиво, асимптотически устойчиво или неустойчиво в этой области. При этом предполагается, что правые части системы (12) являются голоморфными относительно (Л и проекции вектора X в области Д(р,).

Во второй главе развита теория интегральных многообразий для систем нелинейных дифференциальных уравнений с аналитической правой частью. Указан способ построения в явном виде интегральных многообразий названных систем с помощью метода последовательных приближений.

В §§2.1 и 2.2 обобщается понятие нелинейного оператора Грина Я(Г,Г,Х,У,//) и исследуются его аналитические свойства. Нелинейный оператор Грина рассматривается как ограниченное решение на всей оси I системы дифференциальных уравнений

= А(г )Я, + (г, Я,, Я2, /и) + Х£(/ - г),

(13)

= 5(г)я2 + /гР2 (и Я,, Я2,//) ■+ YS(t - г),

Эг ЭЯ,

(14)

Эг

где S(t) — S- функция Дирака, Л(?), 5(f)- суммируемые линейные операторы в конечномерные нормирование пространствах В|, В2; Ц - малый

положительный параметр, Я = (Н1, Я2 )Г, Я, = Я, (t, Т, X, У, fj), Н2= H2(t,t,X,Y,/j). Вектор - функции Fk(t,X,Y,ju) (к = 1,2) в области Д(ус) удовлетворяют условиям Липшица

|f, (г. X, У, м) - Fi (t, X, У, м}\ z А - Ц + 02 и

Дополнительно полагается, что Fk (i,0,0,= 0 (к = 1,2). Доказано, что при достаточно малых значениях < //0 < JLl' у системы (1) существует голоморфное интегральное многообразие G, решений, равномерно экспоненциально стремящихся к нулевому решению при t —> , и голоморфное интегральное многообразие G2 решений, которые равномерно экспоненциально стремятся к нулевому решению при t —> . Одновременно указан способ построения этих интегральных многообразий. Полученные результаты сформулированы в виде следующих теорем:

У-У ,

у - у II.

Теорема 3. Пусть для системы нелинейных дифференциальных уравнений (1) выполнены условия (5) и (14). Тогда при |//| < //0,

где

//0 = Ш1П

сд

-> м

, р5 = тах{# + Рг\Рг + /?4} (15)

,||Я|| = тах{|Я|||Я2||},

существует нелинейный оператор Грина

, > (Н.кт,Х,?,р)Л

определяемый ограниченным на всей оси г решением системы нелинейных интегральных уравнений.

+ оо

I

Я2(г,т-,Х,У,//) = 022(мг)У +

г

+ // |лг(г, (я,Я,(5,т, X,У,¿и),Н2г, X,У,/4

—оо

где введены обозначения

<?п(г,т)=-Р(г,т) (*>*), Сп(г,г) = 0 (т < (), = 0 (г>?); а22(г,г)= (г<г).

Оператор Грина Н(^,т,Х,У ,]и) является разрывным при ( = Г и ограниченным при — °о < Г, г < решением системы дифференциальных уравнений (13), удовлетворяющим условию

Я(г + 0,г, Х,У,//)-Я(г-0,г, Х,У,//) =

V /

Теорема 3 является частным случаем теоремы 4.

Теорема 4. Пусть для системы нелинейных дифференциальных

уравнений (1) выполнены условия (5) и (14). Тогда при |//| < (Ле, где

. \Л-€ .1

*** = шт[с/Г'/" ]' (1б)

в области И:

М<р(1+с)Л ЦуЦ^+с)"1, -оо<г<+оо (П)

существует нелинейный оператор Грина, удовлетворяющий при

0 < £ < 1 условию

Щ,а,х,г,„)\\<-И }• <18>

и являющийся голоморфным от // и проекций векторов X ,У в этой области.

Из теоремы 4 следует, что при |//| < /1С существуют голоморфные

интегральные многообразия С2 решений системы (1), представимые в параметрическом виде

= У(0 = Я2(г,т,Х,У,/1), (19)

где X, У - произвольные параметры, Х£В|, УеВ2. При 1>Т формулы (19) определяют голоморфное интегральное многообразие Ор а при

1 <Т голоморфное интегральное многообразие .

Таким образом, у возмущенной системы дифференциальных уравнений (1) при |//| < Це существуют голоморфные интегральные многообразия б,, С2 решений, примыкающих к нулевому решению при Г —> —> соответственно.

В § 2.2 приведены и доказаны некоторые свойства интегральных кривых системы нелинейных дифференциальных уравнений (1), лежащих на голоморфных интегральных многообразиях С1,С2- Полученные результаты сформулированы в виде следующих теорем.

Теорема 5. Пусть для системы дифференциальных уравнений (1)

выполнены все условия теоремы 4. Если |//| < , где

то голоморфные интегральные многообразия , (72 решений можно задать уравнениями

У = У, -ц |Л/(лл)^(л,Я,(л,/,О,У,//),Я2(*,*,(),У,ц\+ о(д2)

—ее

и

Х2=-Х-ц X,0,//),Я2(м,Х,О,//),//>&,

(22)

i

У2= V ¡N{1,X,О,м),Н2{з,Т,Х,О,

—оо

где X) = к^У^/л), У2= g(t,X2,Ju) и функции § (?, Х2, удовлетворяют условиям Липшица, т.е

При < //, размерности голоморфных многообразий С,, С2 не изменяются при изменении параметра ¡Л.

Теорема б. Пусть для системы дифференциальных уравнений (1) выполнены все условия теоремы 5, тогда при |//| < , где определяется по формуле (16), в области £> существуют нелинейные проекторы Рк (г, X, У, //) = 1,2), определяемые по формулам Рх (г, X, У,/л) = Я, (г + О,I, X, У,//), />2(Г, X, У,//) = -Я, (г - 0,X, У,//), (23) голоморфно зависящие от /Л и проекций векторов удовлетворяющие условию

.и }(*-«)■ 04)

Векторные уравнения

Х = Р1{иХ,¥,/и),¥ = -Р2(* ,-Х -У,¡л) (25)

рассматриваются как параметрические уравнения голоморфных интегральных многообразий G,,G, решений с различными асимптотическими поведениями при t —> —? —> соответственно.

В §2.3 обобщены результаты, полученные в гл. 1 о свойстве разрешающего оператора R{t,X{t),ju), указан способ построения в явном виде

уравнений голоморфных интегральных многообразий G,, G2 с помощью метода последовательных приближений. Полученные результаты приведены в § 2.4 и в §2.5, указано о выполнении условий Липшица для них. В §2.6 доказывается сходимость последовательных приближений полученных интегральных многообразий. Полученные результаты сформулированы в виде следующих теорем.

Теорема 7. Пусть для системы дифференциальных уравнений (1)

выполнены условия (5), (14) и (20). Если < ß2 • где

ju2 =1шп{2Яс"1(Д + Д)"1, Ii }, (26)

то последовательность операторов gn(t,X,/i) (л = 0,1,2,...,), определяемые уравнениями (7), (9), (11) и (21), (22) сходится равномерно и абсолютно при ||х||</92 к оператору g(t,X,ju), непрерывному по

(t,X,JLl), где

Рг = min {/9(1 + СУ1, рх} (0 < уо, < р). При этом оператор g(t, X,fl) удовлетворяет условию Липшица

!*(*,X,tj)-g(t,х,м]\ < М{ц\х - х||,

где

M(MHju\C2ßM + ß-ИСДГ.

а уравнение Y = g{t,X,ju) определяет голоморфное интегральное многообразие G2 системы дифференциальных уравнений (1).

Теорема 8. На голоморфном интегральном многообразии G2, т.е. для дифференциального уравнения

dX

— = A{t)x + g(r,0,//) = 0, (27)

dt

для любых двух различных решений X = x{t\ X — X(t) выполняется неравенство

¡Х(0-Х(^|<е-/?№-')-с||х(г)-Х(г| (¿<г). (28)

где

р{ц) = ((Л - Щср0У -\м\2С3Д2= тах {Д,Д2, Д3, Д4}.

В § 2.7 исследовано поведение интегральных кривых системы дифференциальных уравнений (1) в окрестности интегральных многообразий

в,, С2. Окончательный результат этой главы получен в виде следующей теоремы.

Теорема 9. Пусть для системы дифференциальных уравнений (1) выполнены все условия теорем 7 и 8. Если |//| < //0 и |//| < Цъ, где

¡и,=2Л{ф + С)-Р0)~\ (28а)

то произвольное решение Х=Х({), У = системы (1) примыкает к голоморфному интегральному многообразию Сг решений при Т —> и примыкает к голоморфному интегральному многообразию С1 решений при I —> —°°. Тогда, будут справедливы следующие оценки близости для расстояний между точкой (/, Х(?),У(/)) и голоморфными многообразиями С1,С2'-

где

г, = ((л-\л1\с180)2 -\м\2с2р$ >л{с-1У -(з+с)\ гг = -гг

Оценки близости между точкой (Г, и голоморфными интег-

ральными многообразиями С1, С2 нельзя улучшить.

В главе III развита теория интегральных многообразий для систем нелинейных разностных уравнений с аналитической правой частью, описывающих нелинейные колебания разнообразных физических и механических систем. Получены достаточные условия существования голоморфных интегральных многообразий и изучены их аналитические свойства. Исследуется асимптотическое поведение решений систем нелинейных разностных уравнений вида

Х,м =А(п)Хп +/JiF{(nkX ,Yn,/j), Fk(nimM) (к = 12)

Y,M=B{n)Yn+/ihF2inKXn,Yn,M) (/г >0,л =0,1,2,...,) 1

в окрестности голоморфных интегральных многообразий. Полагается, что dimXn -т, dirn^ = s, //>0 - малый параметр, А(п) = E+hA(jih), В(п) = Е + hB(ilh), Е- единичная матрица, Х((£,В[, Yn £ Bj Bj, В2- некоторые конечномерные нормированные пространства с размерностями mas соответственно. Разрешающие операторы Р(и,&)и N(n,k) линейной системы

Хп+1=А{п)Хп, У„+1=В(л)У„, („ = 0,± 1 ± 2,..., ) (30) удовлетворяют условиям

||Р(л,*)|| = 1, \\N(n,к)||< СуОМ (С£1;0<р<1-,п>к). (31)

Уравнение интегрального многообразия G(Fq) представляется уравнениями

¥п=1^г,Хп,¥0,м), Y0=vK0,Xn,Y0,M) (»=ЩД...) (*)

и находится методом последовательных приближений. Доказаны следующие леммы: Лемма 1. Если |//| < /?0, где

А) = (1 -р)А_1(д + С& + 2Jcj32j33) г1 Д(г = 1,2,3,4) (31а)

то функции ц/ ■ (п, хп ,jll) (у = 0,1,2,...,) удовлетворяют условию

Липшица, т.е. существует постоянная Д5 такая, что

\¥j[n,Xn,M)-¥An,Xk,nl<j35\Xn-Xk\\ (j = 0,1,2,...,), (32а)

Лемма 2. При |//|</*0 последовательность функций l//j{n,0,ju) (j = 0,1,2,...,) ограничена по норме.

Лемма 3. Если |/'| < //q , то последовательность функций у/j(n,Xn,/.{) (y=QU-,) сходится равномерно.

Лемма 4. При на интегральном многообразии G(K0) су-

шествует единственное решение Xп,У11 системы (29), соответствующее решению Хп,Уп этой системы на интегральном многообразии Ст(У0).

В §§ 3.5, 3.6 и §3.7 исследуются асимптотические свойства голоморфных интегральных многообразий соответствующих решений. Полученные результаты этой главы сформулированы в виде следующих теорем.

Теорема 10. Если (/¿["^/'о' гДе /'о определяется по формуле (31а), то для голоморфных интегральных многообразий

Уп =Нп,Хп,У0,м), ¥п =у,(п,Хп,У0,м)

системы разностных уравнений (29) равномерно по Хп выполняется условие

Теорема 11. Решение системы разностных уравнений (29) при |//| < ^ где Мй определяется по формуле (31а) с произвольными начальными значениями Х0,У0 устойчиво (асимптотически устойчиво или неустойчиво) тогда и только тогда, когда устойчиво (асимптотически устойчиво или неустойчиво) соответствующее решение X* (п > 0) вспомогательного разностного уравнения

Х1П1 = А(п)Х„ + МЩ (пЛ, Хп, у/{п, Хп,У0, /0, М) > (32)

описывающего систему (29) на голоморфном интегральном многообразии

С(У0).

Теорема 12. Для того чтобы при |//| < Д), где определяется по формуле (31а), решение Хп,?п системы (29) на многообразии С(У0) было соответствующим решению Хп,Уп этой системы на многообразии , необходимо и достаточно, чтобы при п>0 выполнялось неравенство

0<У, <1, (33)

<а

где а- некоторая постоянная.

Теорема 13. Если система разностных уравнений (29) имеет голоморфное интегральное многообразие решений = 0, т.е. выполняется

тождество ^ (/г, X п ,0,//) = 0, то устойчивость нулевого решения системы (29) равносильна устойчивости нулевого решения вспомогательного разностного уравнения

Х„+1 = А(п)Хп (34)

Публикации по теме диссертации

1.Курбаншоев С.З., Садриддинов М.М. Об асимптотическом поведении решений систем разностных уравнений. Материалы международной научно - практической конференции, посвященной 80 - летию со дня рождения одного из основателей Таджикского технического университета А. С. Сулейманова, Душанбе, 1998, -147 с.

2. Курбаншоев С.З., Садриддинов М.М. -Дифференциальное уравнение расщепления. Материалы международной научной конференции, посвященной 60-летию Т. Собирова «Дифференциальные уравнения и их приложения». ТГНУ, Душанбе, 2000, с. 41-42.

3. Курбаншоев С.З., Садриддинов М.М. -Метод возмущения собственных чисел и собственных векторов матрицы в журнале «Паем - Вестник» Институт предпринимательства и сервиса, Душанбе, 2001, с. 57- 61.

4. Курбаншоев С.З., Садриддинов М.М. -Об условиях существования экспоненциальной дихотомии с помощью функции Ляпунова. Материалы международной научно-практической конференции. «16 сессия Шурой Оли Республики Таджикистан (12 созыва) и ее историческая значимость в развитии науки и образования», ТТУ, Душанбе, 2002, с. 180181.

5. Курбаншоев С.З., Садриддинов М.М. -Численное отыскание корней многочленов в полосе. //Журнал «Паем - Вестник», Институт предпринимательства и сервиса, Душанбе, 2002, №1, с. 17.

6. Курбаншоев С.З., Садриддинов М.М. -Принцип сведения для систем разностных уравнений. // Доклады АН Республики Таджикистан Том ХЬУН, №4, 2004, с. 7-15.

7. Садриддинов М. М. - Построение функций Ляпунова с помощью нелинейных проекторов. Сборник Научных трудов Налогово-правового института. „Чаб. Душанбе, 2004, с. 211-213.

8. Садриддинов М.М. Некоторые оценки нелинейных систем дифференциальных уравнении с аналитической правой частью при построении интегральных многообразий. Материалы международной научной конференции «Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатики», посвященной 70-летию академика Академии наук Республики Таджикистан Усманова Зафара Джурае-вича. Душанбе, 2007, с. 113-115.

9. Курбаншоев С.З., Садриддинов М.М. Построение периодических решений в сложных резонансных случаях. //Известия АН РТ. Отд. физ.мат., хим. геол. Наук, 2008, № 2 (131), с. 7-14.

Сдано 27.07.09 г. Подписано в печать 01.08.09 г. Формат 60x84. Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Цена договорная.

Отпечатано в типографии ООО «Ховарон» г. Душанбе, ул. Дж. Расулова 6/1

Предисловие.

Введение

ГЛАВА I. Принцип сведения в теории дифференциальных уравнений.

§1.1.0 принципе сведения в теории дифференциальных уравнений

§1.2. Некоторые свойства разрешающего оператора систем дифференциальных уравнений.

§1.3. Построение специального аналитического интегрального многообразия.

ГЛАВА II. Поведение интегральных кривых систем дифференциальных уравнений в окрестности интегральных многообразий

§2.1. Достаточные условия существования интегральных многообразий.

§2.2 Некоторые свойства интегральных кривых, лежащих на голоморфных интегральных многообразиях G\, С?2.

§2.3. Свойства оператора R(t,X(t),jU)

§2.4. Метод последовательных приближений для построения интегральных многообразий G\, Gi решений

§2.5.Сходимость последовательности оператора gn(t, X, ц) {п = ОД, •••,).

§2.6. Поведение интегральных кривых системы (2.2.1) в окрестности интегральных многообразий G\, Go ^

ГЛАВА III. Асимптотическое поведение решений систем разностных уравнений на интегральных многообразиях

§3.1. Построение вспомогательной системы разностных уравнений.

§3.2. Некоторые свойства разрешающего оператора R(n,Xk,Y0,//).

§3.3. Построение специального интегрального многообразия решений

§3.4. Некоторые свойства операторов ^,//) (i = 0,1,2,.)

§3.5. Асимптотические свойства решений системы (3.3.1), лежащих на интегральных многообразиях

§3.6. Интегральные многообразия соответствующих решений.

§3.7. Построение предельного интегрального многообразия.

В теории дифференциальных уравнений существенную роль играют интегральные многообразия решений, введенные в работах А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, Ю.А. Митропольского, Н.Н. Боголюбова. Интегральные многообразия, объединяющие множество решений в одно целое, используются при решении вопросов устойчивости решений, при расщеплении решений и понижении порядка в задачах анализа.

В диссертационной работе исследуются свойства интегральных многообразий дифференциальных и разностных уравнений; найдены оценки радиуса голоморфности, а также разработаны новые способы построения интегральных многообразий для дифференциальных и разностных уравнений; исследуются поведения интегральных кривых на окрестности интегральных многообразий.

ВВЕДЕНИЕ

Во многих областях естествознания широко используются нелинейные дифференциальные и разностные уравнения. Стремление к более точному математическому описанию физических явлений, как правило, приводит к усложнению уравнений и увеличению их порядка. Лишь немногие из нелинейных уравнений, описывающих реальные физические процессы, допускают точное решение. Так как очень часто требуется знать качественную картину «в целом» без нахождения самих решений, то изучение дифференциальных и разностных уравнений с этой точки зрения требует качественных методов исследования. С увеличением порядка рассматриваемых уравнений и усложнением их вида задача качественного исследования значительно усложняется.

Основы качественной теории дифференциальных уравнений были заложены А. Пуанкаре [84], а также исследованиями А.М.Ляпунова [56] об устойчивости движения. Значительные обобщения теории А. Пуанкаре были получены в работах И. Бендиксона [8], Д. Биркгофа [9], Брауэра, Дюлака, Ягеля. Для системы выше второго порядка расположение интегральных кривых на торе рассматривали Данжуа и Кнезер. Топологические методы Пуанкаре успешно применялись в работах А.А. Андронова и его учеников [3], В.В. Немыцкого и В.В. Степанова [74] и во многих работах зарубежных авторов [106,107]. Использованию результатов качественной теории для решения различных вопросов механики и физики посвящены работы Л.И. Мандельштама [59], Н.Д. Папалекси [76], А.А. Андронова [3] и их учеников. Среди аналитических методов широкое распространение получили методы малого параметра, связанные с именами Эйлера, Лагранжа, Пуассона.

Важным вопросом качественного исследования дифференциальных уравнений является задача об устойчивости решений. Общую задачу об устойчивости движения в ее классической постановке разрешил A.M. Ляпунов [55, 56]. Для решения этой задачи Ляпунов предложил два метода. Первый метод состоит в построении общего решения в виде рядов, сходящихся при t > 0.

По виду решения устанавливается факт его устойчивости или неустойчивости. Второй метод приводит к отысканию функций, обладающих специальными свойствами. Рассматривая эти функции на решениях, можно сделать заключение об устойчивости этих решений. В основе второго метода Ляпунова лежат теоремы Ляпунова об устойчивости движения. Для исследования устойчивости в особых случаях А. М. Ляпунов использовал метод, получивший впоследствии название принципа сведения. В настоящее время этот метод определяется как частный случай более общего метода интегральных многообразий, предложенный Н.Н. Боголюбовым [10] и развитый в работах Ю.А. Митропольского и его учеников [12-15,65-69].

В 1961 году на международном симпозиуме по нелинейным колебаниям, состоявшемся в г. Киеве, был представлен обзорный доклад Н.Н. Боголюбова и Ю.А. Митропольского, посвященный исследованию интегральных многообразий в нелинейной механике. Содержание этого доклада было опубликовано как в СССР [14], так и в США [11]. В нем излагалась общая идея метода интегральных многообразий в нелинейной механике, основные результаты, полученные рядом авторов в направлении развития и обобщения метода, а также были сформулированы возникающие здесь наиболее актуальные проблемы и намечены пути их развития и обобщения метода. Появление указанной работы, а также обзоров по теории интегральных многообразий [11-15], оказало существенное влияние на дальнейшее развитие метода интегральных многообразий в нелинейной механике как в СССР, так и за рубежом [97,114,115,118,119]. По намеченным в [10] наиболее актуальным проблемам появилось большое число работ.

Метод интегральных многообразий был распространен на бесконечные системы уравнений, на различные классы уравнений, содержащих "малый" и "большой" параметры, на уравнения в функциональных пространствах, на системы уравнений с малым параметром при производных, системы с запаздыванием и др.

В настоящее время идеи метода интегральных многообразий в нелинейной механике получили широкое развитие и обобщение и стали существенно использоваться для исследования сложных явлений, наблюдаемых в самых разнообразных динамических системах, описываемых дифференциальными уравнениями, содержащими малый параметр. Метод интегральных многообразий в настоящее время является самостоятельным и эффективным направлением в теории дифференциальных уравнений, позволяющим получать не только качественные, но и количественные результаты при исследовании достаточно сложных динамических систем.

После работ Н.Н. Боголюбова и Ю.А. Митропольского, начиная с 1957 года, теория интегральных многообразий получила свое развитие в работах учеников Ю.А. Митропольского: A.M. Самойленко [90-93], О.Б. Лыковой [53,54], В.И. Фодчука [96], а также других авторов как в СССР, так и за рубежом [106-119]. Кроме указанных работ, исследованию интегральных многообразий посвящены работы Ю.И. Наймарка [70-73], В.А. Плисса [79-82], Ю.Л. Далецкого [28-29], К.Г. Валеева [16-21] и др.

Исследовав вначале проблему о существовании, единственности, зависимости от параметра и гладкости инвариантных поверхностей точечного отображения, Ю.И. Наймарк применил эти результаты для изучения аналогичного круга вопросов для интегральных многообразий дифференциальных уравнений. Им установлены условия существования и грубости тороидальной интегральной поверхности автономной системы дифференциальных уравнений. Результаты Ю.И. Наймарка и его учеников содержатся в работах [70-73]. Ряд результатов по теории инвариантных многообразий получен A.M. Самолейнко. Им предложен новый подход к теории возмущения инвариантных тороидальных многообразий динамических систем, связанный с использованием функции Грина для линеаризованной задачи. Этот подход позволяет с общей точки зрения изложить теорию возмущения как гладких, так и не дифференцируемых инвариантных многообразий динамических систем. Подробное изложение этих результатов содержится в работах [90-93].

Значительные результаты по теории инвариантных поверхностей принадлежат В.А. Плиссу [79-82] и другим авторам (см. [26, 27, 33, 34, 83]), занимавшихся этим вопросом в 50-70 годах прошлого века.

Существенный вклад в теорию интегральных многообразий внес К.Г. Валеев [16-21]. С использованием интегральных многообразий созданы, в частности, конструктивные схемы построения интегральных многообразий для различных классов линейных и нелинейных систем, которые он в дальнейшем использовал для построения функции Ляпунова и нелинейных проекторов. Предложенные К.Г. Валеевым схемы построения интегральных многообразий, существенно использованы в нашей диссертации.

Значительный вклад в развитие идей и методов теории интегральных многообразий и применение их к исследованию проблемы возмущения для широкого класса нелинейных дифференциальных уравнений внесли многие зарубежные ученые: в США - С. Дилиберто [107], В. Кайнер [113], А. Келли

111], Н.Левинсон [114], В. Лонд [115], М. Массерах, Х.Х. Шеффер [61], Р. Стакер [116], Г. Хаффорд [110], Дж. Хойл [109], Н. Чейфи [106] и др.; в Японии- Т. Йоншзава [119], М. Урабе [118]; в Чехословакии -Я. Курцвейл

112], в Румынии - Халанай [108].

Как и в теории дифференциальных уравнений, идеи метода интегральных многообразий широко используются в теории разностных уравнений. Приведём лишь краткий обзор работ по теории интегральных многообразий разностных уравнений, имеющих близкое отношение к диссертации.

В настоящее время разностные уравнения находят применение во многих разделах современной науки, в том числе в биологии, экономике, химии, строительной механике, технике, физике, в теории электрических цепей, в теории вероятностей. Уравнения в конечных разностях являются удобной математической моделью при описании дискретных динамических систем [60,94]. К разностным уравнениям сводится приближенное решение начальных или граничных задач для дифференциальных уравнений [22,48,95]. Интерес к изучению разностных уравнений повысился ещё и в связи с интенсивным развитием ЭВМ и теории импульсных автоматических систем [63,64,97,101]. Широкое использование численных методов решения дифференциальных уравнений, в особенности метода конечных разностей, вызвало необходимость более детального изучения асимптотических свойств решений разностных уравнений. Другой подход к качественной теории разностных уравнений связан с методом точечных отображений [72], при использовании которого основная трудность возникает из-за недостаточной изученности свойств решений разностных уравнений и отсутствия общих методов их решения. Исследованием свойств решений разностных уравнений занимались многие математики. Наиболее общими приемами исследования решений является метод степенных и других рядов и особенно метод контурных интегралов Лапласа Эйлера, Фурье и др.

Характеристика состояния и проблем качественной теории разностных уравнений, а также обширная библиография имеются в работах Н. Е. Норлунда [117], И. М. Рапопорта [87], Д. И. Мартынюка [60], А. А. Миролюбова, М. А. Солдатова [64], А. А. Самарского [94], А. Халаная, Д. Векслера [97] и др. В работе [22] исследуется стремление к конечным пределам решений систем суммарно - разностных уравнений.

Периодические и квазипериодические решения разностных уравнений изучались в работах [1,4,31,48] и др.

Вопросы существования инвариантных торов систем разностных уравнений рассматривались в работах В.Я.Данилова, Ю.И. Неймарка, A.M. Самойленко, Д.И. Мартынюка и др.

Наиболее близкое отношение к диссертации имеют работы К.Г. Валеева, А.Н.Тихонова, А.Д. Горбунова, в которых при исследовании решений обыкновенных дифференциальных уравнений использовалась качественная теория разностных уравнений.

При исследовании устойчивости движения с помощью численных методов также существенен вопрос о понижении порядка системы разностных уравнений.

В связи с этим важными и актуальными вопросами являются вопросы исследования асимптотического поведения решений при разностных уравнениях и понижения порядка систем разностных уравнений. Изучаемые в диссертации системы разностных уравнений можно называть, как и в работах [22,50], системами суммарно-разностных уравнений.

В дальнейшем изложении будем пользоваться понятием интегрального многообразия решений системы разностных уравнений вида

Хп+1 ^F{tn,Xn),tn =t0+nh,n = 0 + 1,., (0.1)

Определение. Множество точек G в пространстве переменных t,X называется интегральным многообразием [18], если из условия J, следует, что все точки, определяемые уравнением (0.1) с начальным условием tk =tl, Хк = X®, также принадлежат множеству G.

Интегральное многообразие решений иногда будем называть семейством решений. А.Пуанкаре и А.М.Ляпунов, исследуя устойчивость движения, пришли к понятию устойчивости решений дифференциальных уравнений. Это понятие О. Перрон перенес на решения разностных 8 уравнений. Развиваемая в диссертационной работе теория интегральных многообразий непосредственно опирается на идеи, развитые в работах К. Г. Валеева [16-21].

Речь идет о разработке конструктивных способов построения интегральных многообразий с целью применения их для построения нелинейных проекторов, предназначенных для расщепления изучаемых многомерных систем нелинейных дифференциальных и разностных уравнений с аналитическими правыми частями.

Диссертационная работа посвящена построению аналитических интегральных многообразий для систем нелинейных дифференциальных и разностных уравнений с аналитическими правыми частями в конечномерном нормированном пространстве.

Целью работы является построение для указанных классов уравнений голоморфных интегральных многообразий, для обоснования методов построения нелинейных проекторов, а также получение оценок радиуса области сходимости полученных разложений интегральных многообразий в виде степенных рядов и нелинейных проекторов.

Перейдем к изложению результатов, полученных в диссертации. Она состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Аксиев А.З., Быков Я.В. О периодических решениях одного класса уравнений в конечных разностях, -В кн.: Исследования, по интегро-дифференциальным уравнениям. Фрунзе, 1980, №13, с. 70-77.

2. Андронов А.А., Витт А.А., Хейкин С.Э. Теория колебаний.- М: Физматгиз, 1958,-915 с.

3. Андронов А.А., Леонтович В.А., Гордон И.И., Майер А.Е. Качественная теория динамических систем. -М.: Наука, 1966, -586 с.

4. Беллман Р. Динамическое программирование. — М.: Изд-во иност. лит., 1960, -400 с.

5. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. -М.: Изд-во иност. лит., 1954, 216 с.

6. Белюстина JI.H. Малые периодические возмущения грубой автономной системы. -Докл. АН СССР, 1963, т. 148, №2, с. 251-254.

7. Бендиксон И. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. -УМН, 1941, с. 191-211.

8. Биркгофф Д. Динамические системы, М:-ЛОГИЗ, 1941.

9. Боголюбов Н.Н. О некоторых статистических методах в математической физике. Львов ; Изд-во АН УССР, 1945, - 139 с.

10. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Methodes analitiqul de la theorie des oscillations nonlineaires, Proceedings of the X-th International Congress of applied mechanics, Strenag, 1960, Amsterdam- New-York, 1962, p. 9-25.

11. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. The method of integral manifolds in nonlinear mechanics. Contribs, Differential Equations, 11, New-York, 1963, p. 123-126.

12. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Метод интегральных многообразий в нелинейной механике. — Тр. Междун. симп. по нелинейным колебаниям. Киев: Изд-во АН УССР, 1963, с 93-154.

13. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Метод интегральных многообразий в нелинейной механике. -Киев: Наукова думка, 1961.

14. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Метод интегральных многообразий в теории дифференциальных уравнений, -Тр. IV Всесоюзн. матем. съезда 2. Л.: Наука, 1964, с. 432-437.

15. Валеев К.Г. Использование нескольких функций Ляпунова,- В кн.; Всесоюзн. конф. по качеств, теории дифференц. уравнений. Тезисы докл. Свердловск, 1971, с. 26-28.

16. Валеев К.Г. Расщепление спектра матриц. -Киев: Высшая школа, 1986, -272 с.

17. Валеев К.Г., Жаутыков О.А. Бесконечные системы дифференциальных уравнений. -Алма-Ата: Наука, 1974, -416с.

18. Валеев К.Г., Одинаев Ф. Об исследовании устойчивости решений дифференциальных уравнений с помощью численных методов.-Изв. АН Тадж. ССР, 1973, т. 48, №2, с. 3-7.

19. Валеев К.Г., Разин Г.А. Асимптотическое сведение квазилинейной системы. -Математ. физика, 1973, вып.12, с. 10-16.

20. Валеев К.Г., Финин Г.С. Построение функций Ляпунова.- Киев; Наукова думка, 1981.

21. Ведь Ю.А., Комаров М. К. О стремлении к конечным пределам решений систем суммарно-разностных уравнений. В кн.: Исследование по интегро-дифференциальным уравнениям, Фрунзе, 1980, №13, с. 299-309.

22. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1967, -375 с.

23. Голец В. Л. К вопросу возмущения устойчивого инвариантного тора динамической системы. -Укр. матем. журн., 1971, т. 23, №1, с. 130-137.

24. Гурса Э. Курс математического анализа. —Т. П. ч. 2. Т.Ш, ч.1-М.; Гостехиздат, 1933.

25. Гуртовник А. С., Неймарк Ю.И., Исследование интегрально тороидального многообразия в критическом случае, -Радиофизика, 1971, т. 14, №7, с.967-972.

26. Гуртовник А. С., Неймарк Ю.И., К вопросу об устойчивости квазипериодических движений. Дифференц. уравнений, 1969, т. 5, №5, с.824-832.

27. Далецкий Ю.Л. Об устойчивости интегральных многообразий нелинейного дифференциального уравнения в банаховом пространстве. -Укр. матем, журн., 1968, т. 20, №3, с. 376-381.

28. Далецкий Ю. Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. -М.: Наука, 1970. -535 с.

29. Данилов В. Я. К вопросу об инвариантных торах систем разностных уравнений. В кн.: Исследования по матем. и механике. - Киев, 1981, с. 25-31. Рукоп. деп. в ВИНИТИ 13 августа 1981, №4034, - 81 с.

30. Данилов В.Я. Исследования квазипериодических решений нелинейных систем разностных уравнений. / Препринт 81.18.- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1981,-32с.

31. Дыхман Е.Н. О принципе сведения. Изв. КазССР, 1950, 97, вып.4, с.372-390.

32. Еругин Н.П. Рецензия на книгу Малкина И.Г. «Теория устойчивости движения». Вест. Ленингр. ун-та, сер. мат. - мех., астр., 1953, №5.

33. Еругин Н.П. Неявные функции.-Л.: 1956.

34. Жуковский В.И. К условной устойчивости в критическом случае двойного нулевого корня уравнения. -Изв. вузов, №4, 1966.

35. Жуковский В.И. Об условной устойчивости на заданном интервале времени. Дифференц. уравнения, 1968, т. 4, №5.

36. Задорожный В.Г. Интегральные многообразия многомерных дифференциальных уравнений. -Тр. матем. фак-та ВГУ. Воронеж, вып.1, 1970, с. 49-59.

37. Зубов В.И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. —JL: Судпромгиз, 1962, 631 с.

38. Каменков Г. В. Избранные труды. М.: Наука, т.1, 1971. -259 с, Т II., 1972,-214 с.

39. Коддингтон Г.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений; М.: Иностр. лит., 1958, - 474 с.

40. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространсютве. М.: Наука, 1967, - 464 с.

41. Крикис Ю.Ю., Рейзинь Л.Э. Гладкость асимптомически инвариантных многообразий в окрестности замкнутой траектории. -ИАН Латв; ССР, сер. физ. и техн. наук, 1964, №4, с. 53-56.

42. Курбаншоев С. 3. Расцепление спектра матрицы, печ. ДАН РТ, т.46, №3 -4, 2003. с. 8-14.

43. Курбаншоев С. 3. Аналитические интегральные многообразия. — Душанбе: Дониш, 1991, 375 с.

44. Курбаншоев С. 3., О некоторых аналитических свойствах нелинейных проекторов систем разностных уравнений, содержащих малый параметр // Докл. АН Тадж. ССР. -1986, -29, №5, с. 255-257.

45. Курбаншоев С. 3. О поведении интегральных кривых на голоморфных Интегральных многообразных // Докл. АН СССР. -1990, -315, №2, с. 287-291.

46. Курбаншоев С. 3. Об аналитических многообразиях решений систем функциональных уравнений II Укр. мат. журн., 1991,-43, №2. с. 151154.

47. Курбаншоев С. 3. Об инвариантных многообразиях систем разностных уравнений // Асимптотические решения нелинейных уравнений с малым параметром. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1991, - с. 79-83.

48. Курбаншоев С. 3. Построение интегральных многообразий для вырожденных и сингулярных возмушенных систем дифференциальных уравнений. // ДАН РТ. 2002, т, 45 №5 -6, с.28 34.

49. Курбаншоев С. 3. Синтез оптимального регулятора для систем разностных уравнений с голоморфной правой частью // Тр. Всесоюзн.конф. по теории и приложениям функц. диф.уравнеий. -Душанбе, 1987, -с. 150-152.

50. Лефщец С.Н. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. -М.: Иностр. лит., 1961, 387 с.

51. Лыкова О.Б. Интегральные многообразия нелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Тр. У. Междун. конф. по нелинейным колебаниям. Т. 1 .Аналитические методы. - Киев: Изд-во АН.УССРД970, с. 375 - 379.

52. Лыкова О.Б. О существовании и поведении интегральных многообразий для систем нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр. — Автореф. дисс. на соиск. ученной степени канд. физ. мат. наук, Киев : Ин-т математики АН УССР, 1957.

53. Лыкова О.Б. Принцип сведения в банаховом пространстве. — Укр. матем. журн., 1971, т.23, №4, с. 464-471.

54. Ляпунов A.M. Исследование одного из особенных случаев задачи устойчивости движения. -М.-Л.: Гостехиздат, 1946.

55. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. -М.-Л.; Гостехиздат, 1950,-471 с.

56. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. -М.: Гостехиздат, 1956г., -492 с.

57. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. -М.: Наука, 1965г.', -432с.

58. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. —М.; Наука, 1970г., -470с.

59. Мартынюк Д.И., Лекции по качественной теории разностных уравнений; Киев: Наук, думка, 1972г., -246с.

60. Массера X., Шеффер Х.Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970г.,-476с.

61. Мельников Г. И. К теории нелинейных колебаний. -Вест. ЛГУ, сер, матем. и мех. и астр., вып. I, 1964, с. 88-98.

62. Мельников Г.И. Об определении переходных процессов в нелинейных автоматических системах. —Автоматика и телемеханика. Т. XXIV, вып.1, 1965г.

63. Миролюбов А.А., Солдатов М.А. Линейные однородные разностные уравнения. -М.: Наука, 1982, -208 с.

64. Митропольский Ю.А. Sur. les multiplicitecs integrales des systemes d"equations differentielles nenlinearies ayant un rettit parameter,-Ann. Mat. pr ba ed appl. Ser. IV, XLIX, Bologna, 119,1960, p. 181-192.

65. Митропольский Ю.А. Метод интегральных многообразий в теории нелинейных дифференциальных уравнений (Доклад на У междн. матем. конф. В.Г. Стокгольма).- Киев: Изд-во АН УССР, 1962.

66. Митропольский Ю.А., Беллан Е.П. О принципе сведения в теории устойчивости линейных дифференциальных уравнений. Укр. матем. журн., 1968 т. 20, №5, г., с.654-660.

67. Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: Наука, 1973, - 512с

68. Митропольский Ю.А., Фодчук В.И. Об устойчивости интегральных многообразий для одного класса сингулярно возмущенных систем с запаздыванием. Укр. матем.журн., 1968, т. 20, №6, с. 1791-1801.

69. Неймарк Ю.И. Интегральные многообразия дифференциальных уравнений. Радиофзика, 1967, т. 10, №3, с. 321-334.

70. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы, М.: Наука, 1978, -336с.

71. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972г., - 472 с.

72. Неймарк Ю.И. О существовании и грубости инвариантных многообразий точечных отображений. -Радиофизика, 10, №3, 1967, с. 321-334.

73. Немецкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.; Гостехиздат, 1949, - 550 с.

74. Осипов Ю.С. О принципе сведения в критических случаях устойчивости движения систем с запаздыванием времени. -ПМ,М, 29, вып-5, 1965.

75. Папалекси Н. Д. Собрание трудов. -М: Изд-во АН СССР, 1948, 428 с.

76. Персидский К.П. Избранные труды. Алма-Ата: Наука, 1967, т. 1, 2, -272с.

77. Персидский К.П. Некоторые критические случаи счетных систем. Алма-ата: -Идз-во АНКаз. ССР, сер. матем. и мех. 1951, вып.5, 62, с. 3-24.

78. Плисс В.А. Об инвариантных поверхностях системы двух дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР, 1960, т. 131, №5, с. 1022-1024.

79. Плисс В.А. О принципе сведения в теории устойчивости движения, -Дкл. АН СССР, 1964. т. 154, вып, 5,

80. Плисс В.А. Принцип сведения в теории устойчивости движения. -Изд-во АН СССР, сер мат., 28, №6, 1964, с. 1297-1324.

81. Плисс В.А. К теории инвариантных поверхностей. дифференц. уравнения, 1966, т. 2, №9, с. 1139-1150.

82. Постников В.И. К теории устойчивости движения в критических случаях. —Автореф. дис. Л.; 1947.

83. Пуанкаре А. Избранные труды. В-З-х томах. —М.: Наука, 1971-1972, — т. 1-2.

84. Привалов В.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.-М.: Наука, 1977,- 444 с.

85. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных диффе-ренциальных уравнений. -М. : Наука, 1974,-318 с.

86. Рапопорт И.М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. Киев: Изд-во АН УССР, 1954, -286 с.

87. Рисс Ф. Секефальвы-Надь Б. Лекция по функциональному анализу-М.; Изд-во иностр. лит., 1954,-500с.

88. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. —М.: Наука, 1978, 551с .

89. Самойленко A.M., Мартынюк Д.И., Перестюк Н.А. Существование инвариантных торов систем разностных уравнений.- Дифференц. уравнения, 1973, т. №10, с. 1904-1910.

90. Самойленко A.M. О проводимости системы обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности гладкого тороидального многообразия. -ИАН СССР, сер. матем., 30, №5,, с 1047-1072.

91. Самойленко A.M. О локальных интегральных многообразиях в окрестности переодических решений систем дифференциальных уравнений. Тр. симп. по матем. физике и нелинейным колебаниям. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1963, т. 1, №1, с. 60-87.

92. Самойленко А. М. К теории возмущения инвариантных многообразий динамических систем, -Тр. V междун. Конф. по нелинейным колебаниям. Аналитические методы. Киев : Ин-т математики А.Н. УССР, 1970, т. 1, с. 495-499.

93. Самарский А. А. Введение в теории разностных схем. -М.: Наука, 1971— 552 с.

94. Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики: М.: Наука, 1972, - 735 с.

95. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем М.: Мир, 1971,-309 с.

96. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Мир, 1970 г.-720 с.

97. Худойбердиев Р. Об одном применении метода интегральных многообразий. -Ташкент : Автореф. дисс. на соиск. ученой степени канд. наук, 1965.ЮО.Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. -М.: Наука, 1973.-414 с.

98. Цыпкин Я. 3. Теория линейных импульсных систем. -М.: Физматгиз, 1963, -968с.

99. Чезари JI. Асимптотические поведения и устойчивость решений дифференциальных уравнений. -М: Мир, 1964. -477 с.ЮЗ.Четаев Н.Г. Устойчивость движения. -M.-JL: Гостехиздат, 1946,-204 с.

100. Шиманов С.Н. Критический случай пары мнимых корней для систем с последствием.-ПММ, т. 25, вып-3, 1961.

101. Шиманов С.Н. Об устойчивости в критическом случае одного нулевого корня для систем с последовательностями. -ПММ, т. 24, вып.1, 1960.

102. Chaffe N. The bifurcation of one orimore closed orbita an eqnglibrum point of an antonomons differential systems., J. Diff., Ega., 1968, 4, p. 661-669.

103. Diliberto S.P. Application of periodic surfaces ta a special class of problema. -J. Diff. Ega., 1969, т. 6, №1, p. 40-41.

104. Halanay A. An invariant surface for some linear singulary perburted systems with time lag., J. Deff., egs. 1966, т. 2, №1, p.33-46.

105. Hale D. Integral marigolds of perturbed differential systems. Bol. Soc.Mat. Maxacana, 5, №1,1966, p. 51-57.

106. Hufford C. Banach spaces and the perturbation of ordinary differential equations. Ann. Math. Studies, 1956, №36, p. 173-195.

107. Kelley A. Analytic two- dimensional sub center manifolds for systems with an integral, pacific. J. Math, 1969, т. 29, №2, p.335-350.

108. Kurzweil J. Invariant manifolds for flows.- Proc. Sump. Diff. Kgs. and Dyn. Syst. Macaques, Puerto Rico, Dez., 27-30, 1965, Acad, Press New-York, 1967, p. 431-468.

109. Kyner W.T. Invariant manifolds.- Kend. Cere. Math. Palermo, 1961, т. 2.; т. 10, p. 98-110.

110. Levinson N. Small periodic perturbations of an antonomons system with a stable orbit-Ann. Math., 1950, т. 52, №3, p. 727-730.

111. Lond.W.S. Thy location of the invariant manifold for a perturbed antonomons system.- J. Math, and phys, 1961, т. 40, №2, p. 87 102.

112. Sacker R.J. A new approach to the perturbation theory of invariant surfaces,-Comm. Pure Appl, Math., 1965, т. 18, №4, p. 717-732.

113. Norlund N.E. Vorlesungen Uber Differenzenrochnung,- Berlin; Springer, 1924,-551s.

114. Urabe M., Geometric study of nonlinear antonomons systems.- Funcialaj Ekvacioj, 1958, т. l,p. 1-83.

115. Yoshizawa T. Stability of sots an perturbed system, funkcialaj Ekxacioj, 1963, т. 5, №1, 1963, p. 31-69.

116. Курбаншоев С.З., Садриддинов М.М. Дифференциальное уравнение расщепления. Материалы международной научной конференции, посвященной 60-летию Т. Собирова. «Дифференциальные уравнения и их приложения». ТГНУ, Душанбе, 2000, с. 41-42.

117. Курбаншоев С.З. Садриддинов М.М Метод возмущения собственных чисел и собственных векторов матрицы. «Паем -Вестник» Инс. пред. и сервиса 2001, с.57- 61.

118. Курбаншоев С.З., Садриддинов М.М. Численное отыскания корней многочленов в полосе. В Журнале Паем Вестник, Институт предпринимательства и сервиса, Душанбе, 2002, №1, с. 17.

119. Курбаншоев С.З., Садриддинов М.М. Принцип сведения для систем разностных уравнений. // Докл. АН Республики Таджикистан 2004, том XLVII, №4, с. 7-15.

120. Садриддинов М. Построение функций Ляпунова с помощью нелинейных проекторов. Сборник научных трудов Налогово-правового института. Душанбе 2004, №6. с. 211-213.

121. Курбаншоев С.З., Садриддинов М.М. Построение периодических решений в сложных резонансных случаях. //Известия АН РТ. Отд. физ.-мат., хим. и геол. наук, 2008, № 2 (131), с.7-14.113.115.