О построении и свойствах оптимальных интегральных многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

РГО од

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи УДК 517.9

КУРБАНШОЕВ Сафарали Завкибекович

О ПОСТРОЕНИИ И СВОЙСТВАХ ОПТИМАЛЬНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ

01.01.II - системный анализ и автоматическое управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Самкт-Петербург - 1992

Работа выполнена на кафедре высшей математики Киевского института народного хозяйства имени Д.С.Коротченко.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор К.Г.ВАЛЕЕВ.

(Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор А.М.Воробьев,

доктор физико-математических наук, профессор В.Н.Ценников

доктор физико-математических наук С.В.Переверзев

Ведущая организация: Институт кибернетики АН Украины

Защита диссертации состоится Ю 199^г. в 1С

часов, на заседании специализированного совета Д.063.57.33 по защите диссертации на соискание ученой степени доктора физико-ма тематических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004 Санкт-Петербург, В.О., 10-я линия, д.33.

С диссертацией можно ознакомиться в бибилиотеке им.А.М.Горь кого по адресу: Университетская наб., д.7/9.

Автореферат разослан ^У_1993 г.

Ученый секретарь, специализированного совета, кацд.фиэ.-мат.наук, доцент

А.П.ЖАБКО

ОБЩАЯ ХАРЛШРИСТ1Ш. РАБОТА

Актуальность Диссертационная работа посвящена построе-

ния и свойствам голоморфных интегральных многообразий и келинеНши проекторов в применении к решению задач оптимального управления.

Интегральные многообразия, объединяющие множество решений систем дифференциальных или разностных уравнений, используются при исследовании устойчивости движения, при расщеплении решений и понижении порядка названных систем, в задачах анализа и синтеза оптимального управления.

Идеи теории интегральных многообразий восходят к работам А.Пуанкаре, А.М.Ляпунова, Ж.Ддамара, 0.Перрона, Л.Боля. В работах А.Пуанкаре и А.Н.Ляпунова были разработаны качественные методы исследования свойств решений систем дифференциальных уравнений, использование которых нз требовало полного -интегрирования исследуемых систем. С увеличением порядка рассматриваемых систем уравнений задачи качественного исследования значительно усложняются. Поэтому уже в работах А.Пуанкаре и А.М.Ляпунова стали разрабатываться новые методы, позволяющие понижать порядок исследуемых систем с помощью объединения в одно целое множества различных решений. Совокупность этих методоз получила впоследствии название теории интегральных многообразий. Эта теория далее была существенно развита в работах Н.Н.Боголюбова и Ю.А.'«етропольского.

В дальнейшем идеи теории интегральных многообразий в нелинейной механике получили широкое развитие и обобщение и стали существенно использоваться для исследования сложных явлений, наблюдаемых в самых разнообразных динамических системах, в теории героскопов, в теоретической физике, в задаче устойчивости движения, при исследовании решений задач автоматического регулирования. Методы интегральных многообразий позволяют свести задачу высокой размерности к задаче более низкой размерности. В этом заключаются их основное значение при исследовании многомерных динамических систем.

Проблема анализа устойчивости движения различных физических систем, в том числе и систем управления, продолжает привлекать' к зебе внимание специалистов различных профилей и в силу отсутствия •с настоящему времени ее полного решения продолжает оставаться од-юй из наиболее актуальных проблем в прикладной математике, меха-»ике и теории управления.

Решение задачи синтеза оптимального управления привело к необходимости построения и изучения свойстз голоморфных интегральных многообразий. В диссертации показано, что построение оптимальных регуляторов' может быть сведено к отыскании специальных интегральных многообразий решений некоторой вспомогательной динамической системы. Эти интегральные многообразия решений называются оптималь- • ными.

В работе разрабатываются конструктивные способы построения оптимальных интегральных многообразий с цельа применения их з теории автоматического управления, методы их численного построения, используемые для синтеза оптимального управления нелинейных динамических систем. В итоге теория интегральных многообразий получает новое важное применение к решению прикладных задач синтеза оптимальных регуляторов.

Развиваемая в диссертационной работе теория интегральных многообразий и ее применение в задачах устойчиьости движения и синтеза оптимальных управлений непосредственно опирается на идеи, развитые в работах Н.Н.Воголюбоза, К.Г.Валеева, Ю.Л.Далецкого и М.Г.Крей-на, В.И.Зубова, Н.Н.Красовского, В.М.Кунцевича и М.М.Лычака, О.Б-.Лыковой, Ю.А.Ыитропольского, Ю.И.Неймарка, Ю.П.Петрова, В.А.Плис-са, Л.С.Поытрягина, В.Г.Больтянского, Р.В.Гамкрелидзе и Е.З.Мищенко, А.М.Самойленко, Л.Э. Эльсгольца, Д.С.Гноенского и Г.А.Каменского, а также Р.Беллмана, Р.Калмана, А.Халаная, Д^.Хейла и др. •

Объект исследования. Основу диссертации составляет изложение теории обыкновенных дифференциальных, разностных и дифференциально-разностных уравнений. Уравнениями этих типов наиболее часто описывается поведение управляемых систем.

Объектами исследования являются: системы нелинейных дифференциальных и разностных уравнений с аналитическими правыми частями; системы дифференциальных и разностных уравнений в бесконечномерном пространстве; нелинейные сингулярно возмущенные системы дифферерен-циальных уравнений; непрерывные и дискретные системы управлений, управляемые системы с запаздыванием.

Цель работы. Целью работы является построение оптимальных интегральных многообразий решений для указанных классов нелинейных динамических систем, построение нелинейных проекторов решений, позволяющих производить расщепление многомерных динамических систем и их применение к решении задач оптимального управления.

Научная новизна. В диссертации решена научная проблема построения теории интегральных многообразий в применении к решению задач оптимального управления:

- построена теория интегральных многообразий для систем дифференциальных и разностинх уравнений с аналитическими правыми частями;

- получены оценки радиуса сходимости-разложений нелинейных проекторов, определяющих оптимальные интегральные многообразия решений и позволяющих производить расщепление многомерчых динамических систем;

- разработан общий принцип оптимального многообразия, который позволяет осуществить синтез оптимального управления для линейных и нелинейных нестационарных динамических систем;

- найдена необходимые и достаточные условия оптимальности для линейной и нелинейной систем дифференциальных, разностных и дифференциально-разностных уравнений с постоянными и переменными коэффициентами, получены законы оптимального управления для этих уравнений;

- разработаны конструктивные способы построения оптимальных интегральных многообразий и дано их применение при исследовании решений задач автоматического регулирования;

- получены аналитические решения уравнения Беллмана.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты, сформулированные в диссертации, имеют теоретическое и практическое значение и являются новыми. Они представляют собой дальнейшее развитие теории автоматического управления. Разработанные теоретические положения могут быть квалифицированы как новые крупные достижения в развитии теории автоматического управления. Полученные результаты могут быть использованы при построении методов решения прикладных задач: при исследовании вопросов устойчивости в различных задачах теории автоматического регулирования, для построения функций Ляпунова при исследовании колебаний в системах с распределенными параметрами, в теории дифференциальных, разностных и дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, теории функций комплексного переменного, в функциональном анализе и вычислительной математике.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докл«щипались на семинарах отдела дифференциальных уравнений и отдела мл-

тематической физики и теории нелинейных колебаний Ин-та математики АН УССР, Ин-та кибернетики АН УССР (г.Киев); на научных семинарах кафедры высшей математики Киевского ин-та народного хозяйства; .на Всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений (г.Душанбе, 1977); на Всесоюзной конференции по нелинейным проблемам дифференциальных уравнений и математической физики (г.Тернополь, 1989); на Республиканской конференции по применению вычислительной техники и математических методов в научных и экономических исследованиях (г.Шацке, I98B); на Республиканской конференции по теории и приложениям дифференциальных уравнений (г.Душанбе, -1990); на научных семинарах кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений Таджикского госун-та; Ин~те математики АН Тадж.ССР; кафедре математического анализа Душанбинского педагогического ин-та.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [29-32, 170-186]. Результаты автора вошли также в монографию "Аналитические интегральные многообразия'.' - Душанбе: Дониш, 1991. - 340 с.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 375 страницах машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, выводов, приложений и списка литературы, содержащего 186 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена построению и свойствам голоморфных интегральных многообразий решений в применении к решению задач оптимального управления.

В главе I изложена теория интегральных многообразий систем дифференциальных уравнений с аналитическими правыми частями.

Результаты § '1.0 носят вспомогательный характер. В нем содержатся основные определения и примеры интегральных многообразий, а также некоторые теоремы, применяемые при доказательствах теорем существования интегральных многообразий. Приводимые сведения в ос новном известны и необходимы для понимания последующих результато

Рассматривается система дифференциальных уравнений

правке части которой определены и непрерывны на множестве I * U*V,

(Z)

где I - произвольный интервал вещественной оси И , IяЯ , Ы, V -некоторые открытые области вещественных нормированных пространств

р т г>А1

л ,л , соответственно.

Определение 2. Многообразие вида

в расширенном фазовом пространстве (2) будем называть интегральным многообразием системы (I), если для любого решения этой системы Х(Ь = ха,Ьп,х0,у), , определенного на мак-

симальном интервале существования 1т из соотношения

Ц(Ь) = справедливого в момент . вытекает его спра-

ведливость для всех Ь е I п •

В § 1.1 изложены аналитические свойства нелинейного оператора Грина. Доказана теорема 1Л о существовании ограниченных при ¿е(-оо(оо) голоморфных решений систем нелинейных дифференциальных уравнений вида ,

где X - вектор с проекциями .zj, Х2, хт \fJ>0 - малый параметр, элементы тхт матрицы A (t) являются непрерывными и or-раниченными по Ь функциями.

Теорема Î.I. Если для си темы дифференциальных, уравнений (4) выполнены условия

&-{(t,x,tf)i у. = cp(t,x) , tel,, «ii}

(3)

(4)

(5)

I Ffi,Xr{t/> - Fit,X2.^)il é p |X(-X2i; (б)

II G(t,Ol! i ce"A,t"T,f л >0, c*o , (7)

С U I |U I J> < Л

для комплексных переменных X в области 3>

11X11 < f , -<*> <t<o° , 1,0 I <la1

ГА6 ""¡"{(¡„.Шор)4}

существует единственное, ограниченное на всей оси i голоморфное решение X(t,/U) . Это решение находится методом последовательных приближений. Последовательные приближения сходятся равномерно в области S .

Отмечается, что в достаточно малой окрестности нуля области

существуют голоморфные многообразия решений G+ , G~ . Эти многообразия имеют одну общую точку нуль. Голоморфное решениeX(t,f/) уравнения (4), удовлетворяющее условию X (t0,£i) е G + (или X(t0>jU) е С ), экспоненциально приближается к XQCt,(J) s о при + (или при t —--00 ) и удаляется от него при t , неограниченно изменяющемся в противоположном направлении.

В п.1.1.2 изложены аналитические свойства нелинейного оператора Грина. Представляет интерес построение аналитического в области своего существования нелинейного оператора Грина.

Рассматривается система дифференциальных уравнений m-го порядка

m

J$--ACt)X+Zi?kFk<t,X,(l), (9)

где X = (■%/ -^пь) i ¡У - ^fr-'^m ^ ~ малый положительный параметр, элементы nixttt матрицы A(t) являются непрерывными и ограниченными функциями от t .

Полагается, что вектор-функции . Ff.(t, X =

являются голоморфными функциями относительно параметра^ и переменных stf,..., , непрерывными по t в области S)

II х II s max \хк\£С, -«><{ <<*>, (р>0)

fék-m

ее разложение в ряды по степеням xfXm ; ' /u1¿иtTV начинаются с членов не ниже второго порядка и в-области £) удов-Л( гворяют условиям

I Fk(t,0,(U)|| é M (k»i,2.....m).

Теорема 1.2. Если для систем нелинейных дифференциальных уравнений (9) выполнены условия (7), (10), то при выполнении условия

т ? 2 2СЛ I < Л -О (04Э<Л) (И)

к={

для комплексных переменных X в области 8){

1X1 -<*><£<оо, 1(11<{1г> (12)

где

« -1 г .2 2

0 а т1«.{л[2са^с)1 1а |] ,р} , л а тт 4 и. -1

4 ' ■ 1 1и 2с(1*-е)Лрк)

справедливы следующие утверждения:

1. Существует нелинейный оператор Грина , являющийся ограниченным при - < оо решением систем нелинейных интегральных уравнений

• м ~

Это решение находится методом последовательных приближений. Последовательные приближения равномерно сходятся в области <0/.

2. Нелинейный оператор Грина НЦ,'С,Х,^) в области удовлетворяет условиям

ЙНСих,^)! «(1*С)||ХЦ ехр{-0Ц>т|}- » « 8 ехр-С-О/ь -1

и является голоморфным от х^ , в этой об-

ласти.

Доказательство теоремы основано на применении принципа сжимающих отображений. Из теоремы 1.2 следует, что при Ь ФТ нелинейный оператор Грина И (1,Ъ,Х,/и) совпадает с решением в форме Коши с начальным значением при и Х(Тр)=Хг

при , где

и притягивается к нулевому решению по экспоненциальному закону.

Используя аналитические свойства нелинейного оператора Грина Н (tX.,(J), в § 1.2 установлена аналитичность нелинейных проекторов ресений, определяющих интегральные многообразия Сг/ ,С2 системы дифференциальных уравнений (9). Нелинейные проекторы определяются равенствами

JJ(tfX((u) - H(tf0.t,X,(j); f> (t,x,{i) = H(t-o,t,x,f)A 13)

Доказаны некоторые аналитические свойства нелинейных проекторов в области , т.е.

Р\U,X,u)*Pz(t,X,(J)sX ,

где &ij, - символ Кронекера.

Уравнения, определяющие интегральное многообразие Gf , имеют

вид Х= P,(t,x,f),

а уравнения, определяющие интегральное многообразие С2 , имеют вид

Окончательный вывод сформулирован в виде теоремы 1.3. Данный подход в 1.1 и 1.2 иллюстрирован примерами 1Л и 1.2.

§ 1.3 посвящен построению голоморфных интегральных многообразий методом малого параметра на примере системы нелинейных дифференциальных уравнений вида

Ж - АШХ *(iFta,X.y), B(t)y*(iF£(t,X,y)

(14)

где правые части голоморфны по X, У и непрерывны по Ь в области 3)

IIXII = шх. | | У || г тах. \ч,\*Р,-°°<Ь< ,

Доказывается, что для системы (14) существуют голоморфные интегральные многообразия Gí, Сг2

' х-Фа,у,(/), Фи,о,(1)*о, Фа,т=х = а, ууи,о^^о, ш,х,о)-у-о,.

примыкающие к нулевому решению при + , Ь---- , соответственно. Уравнения многообразий (15) ищутся в виде степенных рядов по степеням параметра ^

х»¿/фаУ) ,

Используя мажорантные ряды, найдены области сходимости нелинейных проекторов.

Таким образом доказана следующая Теорема 1.5. Если для вектор-функций Х= У~ У а, Х,{0) , определяющих голоморфные интегральные многообразия Б] , £?2 решений системы (Т4), стремящихся к нулевому решению при ¿ — ± оо , выполнены условия

ПФад^оц«*, « к (к>о),

о в области

1^2 | с /[«(З^К/1)]"', * = (у)

:уществуют нелинейные проекторы решений Р^ (с = 1,2.) >

являющиеся голоморфными вектор-функциг'и от Х^,..., хт; з этой области.

Данный подход иллютрирован примером 1.3. В § 1.4 построены нелинейные проекторы для вырожденных и сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений. Используя оператор Грина и линейные проекторы, показано, что при некоторых условиях можно построить сингулярно-возмущенные нелинейные операторы Грина Н(4;,Т>Х,^0 и нелинейные проекторы и определить условия их существования. Это доказано в теореме 1.8. Данный подход иллюстрирован примером 1.4.

В главе II развита теория интегральных многообразий для систем разностных уравнений с аналитическими правыми частями. В §§ 2.1, 2.2 обобщается понятие нелинейного оператора Грина и исследуются его аналитические свойства. Указан способ построения нелинейных проекторов, определяющих голоморфные интегральные мно-

гообразия решений, примыкающих к нулевому решению при бесконечном возрастании и убывании времени.

• Основной результат в этих параграфах доказан в виде теоремы 2.4, утверждающей, что если для системы нелинейных разностных

уравнений

выполнено условие I ), то существует нелиней-

ный оператор Грина Н(к,к,Х,^1) , удовлетворяющий системе суммарных уравнений

оо

Н(л,к,х,м) = йЫ,к-1)Х *■ ¡и I й(п,5)Р(5,Н(з,к,Х,р))

5 = -<=о

( в-к, г-к = 0, £ {, ¿2,-.. )

и выражения

являются нелинейными проекторами.

Данный подход иллюстрирован примерами 2.1, 2.2. В § 2.3 развита теория интегральных многообразий в бесконечномерном банаховом пространстве на примере стационарной нелинейной системы разностных операторных уравнений, описывающей колебания разнообразных физических и механических систем. Излагается способ выделения асимптотического семейства решений, когда строятся не сами решения, а описывающее их разностное операторное уравнение. Другими словами, речь пойдет о выделении из решений операторного разностного уравнения

ХкЧ*Хь*к(:Ык>Хп-1)' (н~0,±1,+2,.„; (16)

к > 0)

интегрального многообразия решений, свойства которого можно описать с помощью вспомогательного операторного разностного уравнения

Х^-Х^к-С^к.Х^.к)' (17)

где Р(ьк,Х), 0(<1-к, Хп,Ь,) - нелинейные операторы, отображающие некоторое банахово пространство ¿ё в себя.

Теорема 2.11. Если при заданном значении 0<к<кп ( - 1*=сап^ ) существует положительное число

4(А) = 21 (( ^ {ГТкТ » Удовлетворяющее неравенствам

о

<f(4) < 4 , k < £, ,

то существует операторное разностное уравнение (.17), все решения которого удовлетворяют уравнению Мб). При этом оператор G(rtk,X,k) удовлетворяет услозиям

| G(nh.,X,k)-G(nk,y,k) I « К(к.)Цх-У1\, || G(ик,0, к) || 6 М, = const, Х,У £ & .

Развитый метод доказан также леммами 2.1-2.6, теоремами 2.92.17 и иллюстрирован примерами 2.3 и 2.4.

В § 2.4 исследуется устойчивость решений линейных систем дифференциальных и разностных уравнений в конечномерных нормированных ■ пространствах.

Основная часть диссертационной работы изложена в главе III, в которой развиты методы построения интегральных многообразий в применении к решению задач оптимального управления. Доказано, что задача построения оптимального регулятора прежде всего есть задача построения для некоторой динамической системы голоморфного интегрального многообразия решений, стремящихся к нулю при возрастании и убывании времени. Такой подход дал принципиально новые возможности решения задач синтеза оптимальных регуляторов. Идея построения оптимального управления с помощью голоморфных интегральных многообразий названа принципом оптимального многообразия.

В § 3.1 изложен принцип оптимального многообразия для систем дифференциальных уравнений, найдены необходимые условия оптимальности. В примере систем управления dX dt

где X - фазовая переменная, Z - вектор управления, dim. X = dim ~Z= Z , найдено оптимальное управление Z = Z(t,X,fj) (Z(t,0,fJ)=0), которое минимизирует,значение функционала

F(t,X,Z,(i), F(t,0,0,(i) = О, (18)

У» игО.0,а,(1)* о. (-19)

при любых начальных значениях £ = Ьд ,Х=ХВ в предположении, что вектор-функция определенно положительная, дважды диф-

ференцируемая и голоморфная относительно ^а; Хп1; .-с

в некото^юйдобласти.

Используя уравнение Беллмана

I К. ■ 01 £>Х ( ( .

где - минимальное значение функционала -(19) на оптималь-

ных траекториях, определены необходимые условия экстремума

■ ¿у _ _у _ ¿диг(Ь,Х,5.(1)

■ Ж ~ ЗХ

решение системы уравнений

<82 £>Е £>2

в предположении, что она разрешима относительно 2 , Н=Н(1/Х,У,2,^)~ гамильтониан, У - вспомогательный строчный вектор размерности Построены нелинейные проекторы

1 ' \р1га,х.у,/»/ 2 1 \ р2г«,вд(»>

системы дифференциальных уравнений (20).

Голоморфное интегральное многообразие С^ решений системы (20), примыкающих к нулевому решению при — +■ оо , определяется системой 2 пь уравнений вида

или равносильной системой уравнений

?21а,х,у,(и)*о, Р22 а,х,у,(1) - о.

среди которых будут т. независимых. Разрешая эти независимые уравнения относительно У , получим

и оптимальное управление Z приникает зид

Таким образом, из всего многообразия решений системы (20), которое имеет размерности 2 т. , лишь голоморфное интегральное многообразие й^ решений размерности

Х= ХШ , ' У = ,

соответствующих оптимальным решениям, примыкает при Ь ~~ 00 к нулевому решению Х==0, У=0 . Поэтому значения переменных ¿",ХШ,УСЬ) лежат на оптимальном интегральном мно-

гообразии решений системы (20), То есть отыскание оптимального управления 2 = ^ (сводится к нахождению оптимального интегрального многообразия решений У= 4>акоторое обеспечи-, вает асимптотическую устойчивость нулевого решения первого уравнения системы (20).

Аналогично построено оптимальное интегральное многообразие В пп. ЗЛ.5; 3.1.6 указан синтез оптимального регулятора с помощью построения проекторов и инвариантных подпространств для линейных систем управления. Найдено решение матричного алгебраического уравнения Риккати.

В п. 3.1.7 синтез оптимального управления найден методом малого параметра. Это позволило развить новые приближенные аналитические методы синтеза оптимальных регуляторов.

Теорема ЗЛ. Пусть в системе управлений

-^гр = афх * вфг , (23)

проекции векторов Р(1,Х,2((и) являются голоморфными функциями относительно проекций векторов х,е и параметра ¡и в области <0

11X1 з шах | Х.\4р, |г||з"«7Х | ¿р , -°°<t<°o, ¡¿¡¡¿л ; и^т </ ^ ^¿Síг 5

В минимизируемом функционале

со

э - 11 [х*ох * 2*1.2. - 2^а,х,г,с)]сИ (24)

функция и/( 2,(11) определенно положительная, голоморфная относительно проекций векторов X , 2 и параметра м в области .£>. Разложение вектор-функций Р(и в ряд по сте-

пеням л1,хг,..-,сс.г1ь-, >гг,„,у£г ; ^и начинается с членов не ниже зторого порядка.

Если при ^¡ = 0 для система уравнений (23) существует оптимальное управление £ « ЫХ и проекторы Р< , Р2 , то при /У т О для системы (23) при комплексных переменных X, У в области <2>/

11X11 < ^ , \(1\ <£*0 (о<д<р

справедливы следующие утверждения:

1. Существует оптимальное управление ¿ =

^ОрЬ а,Х ,0) - МХ , минимизирующее функционал .7 (24). При этом проекции вектора ^ а,Х,у) голоморфны относительно' проекций вектора X и параметра ¡и в области .

2. Существуют нелинейные проекторы Р^- (¿,Х, У, ¡и ) (/=/,2), проекции которых являются голоморфными функциями от параметра ^и и проекций л;,, Ув области <®/ •

Теорема 3.1 дает достаточные условия существования оптимального управления.

Изложенный выше подход в параграфе иллюстрирован примером 3.1,

3 § 3.2 исследуется поведение интегральных кривых квазилинейной системы дифференциальных уравнений в окрестности оптимальных интегральных многообразий. Указан способ построения оптимальных интегральных многообразий методом последовательных приближений. Приведен аналитический и численный способ синтеза оптимального управления и дано его обоснование. Изложенный в параграфе метод построения оптимальных многообразий сформулирован и доказан в теоремах 3.2-3.10 и иллюстрирован примерами 3.2, 3.3.

В § 3.3 принцип оптимального многообразия развит для систем разностных уравнений. Формулируются условия существования оптимальных интегральных многообразий и находятся их области аналитичности. Составлены функциональные уравнения для синтеза оптимального управления. На примере линейных стационарных систем показано использование теории интегральных многообразий при решении задач оптимального управления. Изложенный выше метод в параграфе сформулирован теоремой 3.12 и иллюстрирован примером 3.4.

• В § 3.4 исследуется асимптотическое поведение решений систем разностных уравнений вида

. (п.к,Х„.,Уп,р) (к>0),

в окрестности оптимальных интегральных многообразий. Полагается, что dim, Кл = № , dimVrL=s , ¿и >0 - малый параметр, Mn)-E*k Л(пк), Bin)— Е* LB(*tk) , Е- единичная матрица ,

Щ , Зг - некоторые конечномерные нормированные пространства размерностей '«-и S , соответственно. Разрешающие операторы ¡?(п,к) и N(n,k) линейной системы

' УпИ=В(*>Уп Ci-0,tt,t2,...)

удовлетворяют условиям

ИЗЧл.ЮМ, II Ы(п,к)Ц * cj>"1 kl (C*l, 0<J)< I. Уравнение интегрального многообразия &(Уп) представляется урав-

нением

которое находится методом последовательных приближений.

Обобщается теория интегральных многообразий, получены достаточные условия существования оптимальных интегральных многообразий и изучаются их аналитические свойства.

Лемма 3.2. Если где

У/ , ¿' = 1,2,3,4, - постоянные Липшица, то функции Ч^-( / = 0,1,2,...) удовлетворяет условию Липшица с общей постоянной Липшица, т.е. существует такая постоянная , что

Лемма 3.3. При I¿и I < (и д последовательность функций У^* ( ^ 1=0,1,2,...) ограничена по норме.

Л е м м а 3.4. Если 1^1 то последовательность функций ^ ( у «0,1,2,...) сходится равномерно.

В пп. 3.4.5 и 3.4.6 исследуется асимптотическое свойство оптимальных многообразий, соответствующих решений.

Теорема 3.16. Решение системы (25) при с

произвольными начальными значениями Хд , Ур устойчиво (асимптотически устойчиво, неустойчиво) тогда и только тогда, когда устойчиво (асимптотически устойчиво, неустойчиво), соответствующее решение ( п > 0 ) вспомогательного разностного уравнения

описывающего систему (25) на оптимальном интегральном многообразии У0).

Полученные результаты в параграфе доказаны леммой 3.5, теоремами ЗЛЗ-ЗЛ9 и иллюстрированы примером 3.5.

Глава 1У посвящена построению оптимальных многообразий для систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

В § 4.1 излагается способ применения асимптотического метода к дифференциальным уравнениям с запаздыванием. В начале дается краткий обзор работ по оптимальным управлениям для систем с запаздыванием. Излагается способ выделения Из решений уравнения с отклоняющимся аргументом интегрального многообразия решений, свойства которых можно описать с помощью дифференциального уравнения без отклонения аргумента. Развит принцип сведения для этих уравнений.

В § 4.2 приведены некоторые результаты для теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом в банаховом пространстве. Обобщается понятие линейного и нелинейного операторов Грина и нелинейных проекторов решений, определяющих интегральные многообразия решений систем дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Заключительный § 4.3 гл.1У посвящен применению теории интегральных многообразий для синтеза оптимальных управлений систем с запаздыванием. Исследуется задача оптимального управления в примере линейной системы уравнений

с квадратичным функционалом , о

^ = г3 (х*(*}сха) * имм -0

С помощью метода множителей Лагранжа получена краевая задача длп уравнений с отклоняющимся аргументом

ихш £ ' М м

1 \Х((~вк)~1 В к [

к"О * к*0 * $ К

= - CX(t) - £ А, У (t + Ok) >

к

определяющая необходимые условия оптимальности управления. Введено понятие центрального интегрального многообразия как множества решений системы прям'IX и сопряженных уравнений, у которых действительные части корней характеристического уравнения не превосходят по модулю заданного значения. Предложены численные методы синтеза оптимального управления, основанные на использовании непрерывной зависимости от параметров характеристических показателей, а также на использовании контурных интегралов.

На защиту выносятся следующие результаты, полученные автором.

1. Построена теория голоморфных интегральных многообразий в конечномерных я бесконечномерных пространствах.

2. Теоремы о существовании и свойствах нелинейных проекторов решений, определяющих интегральные многообразия решений систем нелинейных дифференциальных и разностных уравнений с аналитическими правыми частями.

3. Разработан и применен метод голоморфных интегральных многообразий для реиения задач устойчивости движения и синтеза оптимального управления.

4. Разработаны конструктивные способы построения оптимальных интегральных многообразий и дано их применение при исследовании решений задач оптимального управления.

5. Разработаны методы получения необходимых и достаточных условий оптимальности.

6. Получены аналитические решения уравнения Беллмана.

7. Применена теория интегральных многообразий для синтеза оптимальных управлений систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

8. Найдены и обоснованы новые численные методы оптимизации систем дифференциальных, разностных и дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

I. Курбаншоев G.3. 0 построении оптимальных интегральных многообразий // Изв. АН Тадк. ССР. Отд-е физ.-мат.наук. - 1985, - 95, >1' 4. - С. 3-8.

2. Курбаншоев С.З. О построении нелинейных проекторов систем дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр // Докл. АН Тадж.ССР. - $985. - 28, № 6, - С. 317-322.

3. Курбаншоев С.З. Принцип оптимального многообразия доя систем разностных уравнений // Изв. АН Тада.ССР.-1986. - 99, К' 1. -С. 3-9.

4. Курбаншоев С.З. О некоторых аналитических свойствах нелинейных проекторов систем разностных уравнений, содержащих малый параметр // Докл. АН Тада.ССР. - 1966. - 29, № 5. - С. 255-257.

5. Валеёв К.Г., Курбаншоев С.З. О построении и свойствах оптима-

. льных интегральных многообразий // Изв. АН Тадж.ССР. Отд-е физ.-мат. наук. - 1987. - 106, К» 4. - -С. -17-24.

6. Курбаншоев С.З. Синтез оптимального регулятора для систем разностных уравнений с голоморфной правой частью // Тр.Всееоюзн. конф. по теории и приложениям функц. диф.ур-й. - Душанбе, 1987. - П. - С. 150-152.

7. Курбаншоев С.З. Синтез оптимального управления дяя систем дифференциальных уравнений с голоморфной правой частью // Докл. АН Тадж.ССР..- 1988. - 31, К» 1. - С. 9-11.

8.'Валеев К.Г., Курбаншоев С.З. Построение нелинейных проекторов систем разностных уравнений // Дифференциальные уравнения с частными производными. - Л.: ЛГПИ. - 1988. - С. /138-147,

9. Курбаншоев С.З. О построении оптимальных интегральных многообразий // Тр. Респ. конф. по применению вычислительной техники, и мат.методов в научн. и эконом, исследованиях. - Шацк, 1988. -С. 20-21.

10. Курбаншоев С.З. Существование ограниченных на всей оси голоморфных решений систем нелинейных дифференциальных уравнений // Докл. АН Тадж.ССР. - 1988. - 31, 12. ~ С. 775-778.

11. Курбаншоев С.З. О построении односторонних голоморфных интегральных многообразии систем разностных уравнений // Тр. Всесопз. конф. по нелинейным проблемам диф. ур-й и мат. физики, - Терно-поль, 1989. - 2, -'С. 231-232.

12. Курбаншоев С.З. О построении одностороннего нелинейного оператора Грича -л его асимптотических свойствах // Дифференциальные уравнения с частными производными. - -П. : ЛГПИ. - 1990. - С.120-128. ,

13. Курбаншоев С.З. Синтез оптимальных управлений сист°м дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Тр. Гтп.конф. по прилож. диф. ур-й. - Дуипнбе, Т9Э0. - С. 23--,'-'П.

14. Курбаншоев С.З. О поведении интегральных кривых на голоморфных интегральных многообразиях // Докл. АН СССР. - 1990. -315, № 2. - С. 287-291.

15. Курбаншоев С.З. Об аналитических многообразиях решений систем функциональных уравнений // Укр. мат. яурн., 1991. - 43, ?;• 2. - С. 151-154.

16. Курбаншоев С.З. Аналитические интегральные многообразия. -Душанбе: Дониш, 1991. - 340 с.

17. Курбаншоев С.З. Об инвариантных многообразиях систем разностных уравнений // Асимптотические решения нелинейных уравнений с малым параметром. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1991. -С. 79-83.

Подписано к пэчоти 2КХ1,199/г. Формат 60хС4/16 Бумага офсетная Усл.-печ.лист.'Д Уч.-пзл.ляст 1,2-Тиратюо. Заказ нпб. Бесплатно

Иолпгртф. уч-к Института злептродшюттп АН Укратп» 252ГО7, Кзвв-57, простокт Победи, 56.