Элементы дифференциальной геометрии монжевых многообразий в евклидовых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАГСТ ВЕННЫЙ УНИЗИЕШЬТ

На правах рукаткя

Калаячук Роизя Иваловкч

ЗЛЕШГГЫ ДШеРЕНШЛЫЮЯ ГЕОМЕТРИИ ИЗКШЗИХ

МНОГООБРАЗИЯ В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ «

01.01.04 - геоштрия и топология

Автореферат диесзртации на соисканиэ ученой степени кандидата фидиго-иатематичесют наук

Казань - 1991

Работа выполнена на ка^едро математического анализа кемеровского государственного университета

Научный руководитель: кандидат Физико-математических • наук Сдухаев В. а

Оффициалыше ошюнеитн: доктор фкзико-математических

на/]; Евтушик Л. Е. кандидат физико-математических наук Юшш В. Е.

Ведущая органиаацна: ПЬсковскйй "институт стай и

* сшшвов

Защита состоится "23. " января 1992 г. вц_час

на васедашга специализированного Совета по математике к 053.29.05 в Казанском государственном 'университете ишки а И. Ульянова-Ленина по адресу : 420008, г. Казань, ул. Ленина 18, кора. 2. ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета (г. Казань, уд Ленина, 16).

Автореферат разослан "22 » декабря • 1дд1 г.

Ученый секретарь специализированного Сов^а^ доцент

Ь ИШапуков

- 3 -

I Общая характеристика работы.

1 ¡остановка проблемы и её актуальность. Теория кегслокомных гнетем - одна из бурно развивающихся областей современной математики, которая имеет обширное применение в теоретической механике и физике,

В дифференциальной геометрии эта теория начиналась с работ А. Фосса >1 поначалу сводилась к изучению геометрических уравнений Гфаффа в трёхмерном эвклидовом пространстве. Позже бил введен термин "пфаффово многообразие" .который использевачея для обозначения совокупности интегральных кривих пфаффова уравнения, В последние десятилетия полнилось очень мкего работ «о теории пфаффовых многообразна, которое либо изучается абстрактно (тогда это бесконечномерное многообразие ), либо изучается поведение каадой линии, погруженной в евклидово пространство.

Непосредственным обобщением пфаффозня уравнений являются дифференциалы«® уравнения, однородние степени к>1 относительно дифференциалов. Геометрически, о каллой точке оОлзсги задания обобщенного дифференциального уравямш возникает ¡анус И-го порядка. В этом случае пфаффово уравнение иаляется «о просто частным случаем обобщенного дифференциального уравнения, а.случаем его вырождения ( конус."разворачивается" я плоскость),что во многих ситуациях приводит к совершенно различной теории. Термин "моии?во уравнение" или "уравнение Шила" тгрив появился у С. № в 1895, В ч соответствии в этим конус, возникающий в каздой точке, был назван "локальным тонусом Мопга" или просто "локальным конусом". Прямолинейные образуйте. локального конуса являются касательными к интегральным кривым монжеяа уравнения,проходяшм через его вершину. В соответствии о этим моняэво многообразие определялось как совокупность интегральных кривых, каоавдася локального конуса, ортогональных поло нормалей к локальному конусу Шикало есть, вообн}?, говоря ортогональных к некоторому четырехлараштричсоксму векторному полю в Е,. Термин "монжево многообразие", по всей видимости, впервые полнился в роботах М. А. Иишлаешет.

Поело с. Ли теории «оиггогих уравнений развивал Д. М. Синцов, Из

ч

множества ингегральних крик;« он выделил асимптотические линии,

линии кривизны 1-го и 2-го рода и геодезические линии. ДМ.Синцов вывел уравнения геодезических "прямейших" и "кратчайших", о расцеплении свойств которых из принципа наименьшего действия Е Гамильтона н принципа прямейшего пути Г. Герца,по-видимому, знал еий С. Ли.

ЗВолызой вклад в развитие теории ыонкевых многообразий внес ЕЕ Вагшр,результаты которого,по сути дела,получены новым методом ,а ше нио-методом подвижного репера Э. Картана. Геометрия нелинейного обобщенного многообразия изучалась ни в случае п-ыерно-го флнслерова пространства,но особенно интересны результаты в работе по нелинейный неголономиым многообразиям в спсллдоеоц пространстве. Термин "неиелинейное неголоношюе многообразие" аналогичен "ыонхеву многообразии", а "линейное неголономиае »многообразие" - "пфаффову многообразию". Е а. Вагнер ввел понятия нормальней и геодезической кривизны интегральной кривой .омбилической точки и омбилического ионжева многообразия .абсолютного угла, абсолютного дифференциала и понятия внутреннего и внешнего параллельного переноса допустимых линейных элементов.

Исследования шнжэвых многообразий далее в, основном продолжались в геометрических школах Харькова и Томска

В ■ Харькове М. А. Николаенко вывела дифференциальные уравнения характеристических линий из самого уравнения Монжа в трйх-и многомерном евклидовом пространстве. Ею ко была доказана теорема о совпадении геодезических линий с характеристиками на монжевом многообразии в Еэ , то есть теорема о тоы, что если интегральная кривая шнаева • многообразия обладает одновременно двумя из трёх свойств, то есть свойством быть а)- геодезической "прямейшей", б)- геодевической "кратчайшей", »)- характеристической линией, то она обладает и третьим свойство» Д Е Сергиенко обобщила данный результат на случай евклидова пространства произвольной размерности, а так-^же исследовала система из двух уравнений Шнжа в Еч .Все вычисления проводились относительно неподвижного базиса,в котором задавалось исходное уравнение Мзщса,

В Томске методом подвижного репера В.В.Слухаев и В.М. финкель-штейн изучали геометрию не/а.иейных неголономвых многообразий как

геометрию четырёхпарзкетричсского поля иапразлений.

С Солее общий точга; зрения дифференциальная геометрия монжевих многообразий рассматривалась Ы. Л. Ачисяссм и исксторид! ого учениками.

13 связи с этим предстазлястся иатсресш« сочетание результатов, полученных разными способами и вывод новых сзойств нонжевых многообразий на основе синтеза двух методов.

В 1895 году С. Ли привел пример дифференциального уравнения Мэнжа в Е„е системе интегральных кривых. которого какдал хпраэте-ристлка является геодезической ("прянойшеП"). 14 К Нлколаенко заметила, что б этом случае катдая интегральная кривая является одновременно и геодезической "кратчайшей". Однако строен»! такого рода мснжьа многообразия как "пот конических пучков направлении" { по в. R Вагиеру) осталось неизвестным, остался открытым вопрос о существовании других типов ызижсшл шюгообраэий, обладающих такого рода неопределенностью геодезических "кратчайших".

Цель работы состоит в разработке метода исследования уонжйвых многообразий, у которых каздая интегральная кривая является геоде-амческой "кратчайшей" и полном реиенин псевдоклассической задача С. Ли.

Работа выполнялась в соответствии с планом НИР Кемеровского государственного университета в рамсах теш " Исследование краевых задач для эллиптических и параболических уравнений" имеющей государственный регийтрационний номер II 01, S7.002944

Игтслика исследований. Исследования ведутся истодом подвижного репера. При выводе и обосновании результатов диссертации широко использувтся связи подвижного и стационарного реперов.

Научная новизна работы. В диссертации решена додача о которой говорилось визге. Исследовано геометрическое строение юижевых многообразий в Е3 ,у которых каждая интегральная кривая является геодезической "кратчайшей". Доказано, что пример такого рода дифференциальных уравнений - единственный. Данный результат распространен на случай евглидсвих пространств произвольной размерности.- Доказана невырожденность та-сого рода шижевых игагообразий. Выведены необходимые и достаточные условия интегрируемости для некоторых

классов монжевих уравнений (в частности,'уравнения 0. Ля) в с геометрической точки зрения. Рассмотрены вопросы параллельного перенесения на донжевих многообразиях.

Практическая и теоретическая значимость работы. Диссертация носит теоретически! характер. Полученные в ной результаты могут найти применение при разработке конкретних алгоритмов интегрирования дифференциальных уравнений Ыэнжз второго порядка. Они могут Сыть применены такие и в физике при исследовании элестромагкитного излучения источников со Вселенной, а также при изучении монохроматического и когерентного излучения лазеров.

Апробация результатов работы. Результаты работы , по мэре их получения .докладывались на семинаре по геометрии и анализу кафедры математического анализа Кемеровского университета, на городе!»!.! семинаре им. Туганова в Томском университете, в МГУ С семинар под руководством проф. Евтушика JL Е.), в Новосибирске ( ИГУ, семинар под руководством проф. Борисова Ю, Ф.). А также на Всесоюзных сколах "Оптимальное уравнение. Геометрия и анализ." (Кемерово 1986.1988,1990),на Всесоюзной геометрической конференции (Ки-иенёв,1988),на Всесоюзном совещании молодцу, учбши по дифференциальной геометрии (Абрау-Дюрсо, 1990), на V-ой школе молодых математиков Сибири и Дальнего Востока (Новосибирск,1990). Работа обсуждалась на геометрическом семинаре Казанского университета (рук. проф. А. IL Широков) в 1991 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в одиннадцати работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объём диссертации. Диссертация содершт 118 страниц машинописного текста и состоит из введения, двенадцати параграфов и списка литературы, который содержит 65 наименований. При ссылке на формулу (х.у); х означает номер параграфа, у-номер формулы.

II Содержание диссертации.

Во введении дан обгор работ, относящихся к теме диссертации, и кратко изложено содержание.работы.

Двенадцать параграф» текста условно разбивахлея на три группы. в которых изучается дифференциальная геометрия монзкевых многообразий в ( ¿2- $9), Ц (||Ю,11) и Елф2).

B^í дается основные понятия и определения, спясашшс с моня> вшп многообразия!/!». (ЬрФиэм т-мерного векторного расслоикия в касательное расслоение Т(Ш шогоойразия Í1 будет называться мон-левым отображением, если размерность базы расслоения больше размерности многообразия II ,а размерность слои нот eg, В лэ|сальних координатах моняево отображение представляется в виде системы пфаф-;оБ!и уравнения ¿

P¿(x,t)dx'-a, (3)

где í"l ,2,... din I/, a S-i,... .dim Я-и Исключением t* ¡!зспстм..ы (1),получается система вида

(x^dx'Vo, ■ (2) ■

где A «din tí+l..... dim В, где В -баса расслосния. Возиикавд/ю в

в обигм случав тнтесную поверхность будем наливать тнусоы Мзн.та.

В дальнейшем ми ото.Пйстгшги монлгво отображение о его образом и называом монжвым отобратеииом семейство п-мериых плоскостей Í3), а монязвым многообразием семейство коиусог. (.'!), В сгучае н-Кя естественно (¡водиться связность на мноязетсе допустимых ceicropon (в отличи» от В. а Вагнера ш называем допустимыми вт-opu п точке х t Е„ .касательные и-одной из плоскостей (1) монхжп отображения, а векторы направлений по образующей локального тонуса toii/П -интегральными). Если р1'.Тж Е„ -> Р* - оператор проектирования в касательную плоскость Pt моииева отображения (t - фиксировало), тогда d - оператор ковариатюго дифференцирования допустимых секторных полей в Е„ . В этом случае количество возникают гесмотри-ческих образов увеличивается за счёт того, что глддал касательная плоскость к локальному конусу Мэняа имеет единичную нормаль ~{x,t), в|г вводится подвижный репер двумерного мошка гл отображения в Е3 . Полагаем,что с каядой точкой х области еадания шнлюва шого-образия соединено семойство реперов ,ё*,ёа} .зависящих от параметра j таким образом,чтоб« ректор ),0нл бы вектором нормали к двумерной плоскости монжева отображения при соответствующем f . EeKTOü направляется по образующей локального конуса Шита, а • 1!иеюг место деривационные формулы я уравнения струютуры

Гаусса-Кэдацци. Замечается, что и базис форы .помимо ози, нужно включить либо , „гийо ^.ийор |щздоЯ из них имеет свои неудобства Теорема 2.1 и Теорема '¿. 2 исследуют понижение до трех л до двух класса форы и .

• В | 3 исследуются замкнутые дифференциальные Форш. Вследствие аналогичности, геометрической характеристики рассматриваются только формы coIacoj ии^и^лу1 , Первую форы/ можно интегрировать вдоль поверхностей ( при гадании ¡f - f(xi)) или вдоль линий (при свободному ). Соответствующий интеграл определяет нлосадь сферического изображен;«! шюлвства векторов ё3 . Вгорув ферму можно интегрировать по обтеку, задав у -f(xi) . Е этом случае вое форш становятся фэрыаш! только от трек переменны;!, к;.. Отсюда получаем равенство K-div I ,гдэ К - гауссова кривизна векторного поля

,1 - присо&дененньй вектор и доказывается теорема 3.1 о том, что для любого векторного поля п-ё3 поток поля присоединённых векторов Т через гранвду области равен интегралу от гауссовой кривизны поля я по данной области (шш интегральной гауссовой кривизне).

Связности и параллельному керенесенив на юнжевом многообразии посвящен $4. Вводится понятие параллельного перенесения в коэффициентах подвижного репера при помощи связности .определённой а $ 1. В силу кососиькетрячиостн матрицы связности выполняются все обычные свойства параллельного перенесения.

Теорема 4.1 Угол поворота вектора, параллельно переносимого вдоль края мвогообразга равен площади сферического изображения поля норшлей е3к юнхеву многообразию вдоль 21.

Если паралэлыю переносимый вектор единичный , то есть v=cos аё, + sirioi ег ,то уравнение параллельного перенесения сводится к одному

da + cof »о (3)

И в заключение данного параграфа peaieim две задачи I. Найден закон параллельного перенесения .который совпадает с (3) для'допустимых кривых, при условии, что существуют отобравния,для которых параллельное перенесений г® зависит, от пути. , П.Еайден закон параллэльн; го перенесения .ютторый совпадает с

(3) для интегральных крип их, при условии, что существуют мошгози отображения с независящим от пути параллельным перояесепием.Доказывается, что для задачи I закон параллельного перенесении -единственный.

В $5 рассматривается важный частный случай монжезых многообразий, у которых локальные кснуси не произвольного, а второго порядка я более того - круговые. С теорией такого рода монжевых многообразий можно тесно связать теорию пфаффовых многообразий. Так как если локальный конус К - прямой круговой,то ноле плоскостей, ортогональное векторному полю и осей конусов, определяет пфаЭДово многообразие, заданное в той же области, что и ыонхево. Вводя подвижный репер [м^ пфаффова многообразия, мы с псмгцью сферических координат <1 и ^ ,

хг.) - функция угла полураствора конуса,У- свободный пара-кетр,;,'.о:.угл выразить векторы из подвижного репера моюяева многообразия через подвижной репер пфаффова многообразия и сферически? координаты у). Тогда к инвариант моижава многообразия круговых конусов определяются через инвариантк пфаффова многообразия, с!саляриую функцию^ =*<(х-„) и параметру. Вычислены гее коэффициенты связности монжева многообразия круговых конусов.

Теорема 5.1 Если прямолинейные образующие монжева многообразия кругозых конусов образуют линейчатнй комплекс ,то поле осей конусов есть поле нормалей неголоисшюй сфера

Теорема 5,2 Если прямолинейные образующие локальных конусов мокжева многообразия круговых конусов образуют специальный комплекс, то поле осей конусов.есть поле нормалей семейства концентрических сфер.

В|б рассматривается множество интегральных кривых монжева многообразия. О помошыо формул, полученных Д. и. Синцовым и А. Никола-екко, выводятся уравнакш замечательных илассок интегральных кривых уже в коэффициентах подвижного репера, так как в неподвижном базисе работать с этими уравнениями довольно затруднительно. Можно заметить, что из полученных уравнений для геодезических "прямейшие", характеристических линий и геодезических "кратчайших" сразу следует теорема, доказанная ¡¿А. Николаенко,э совпадении геодезических линий с характеристиками на мотевом многообразии.

В $6'тага» выведены формула для вычисления коэффициентов связности в неподвижном базисе.

Теорема 6.1. Невырожденность шнмэва многообразия, задаваемого монкевым уравнением Г( х, с!лЧ) -О .эквивалентна невырожденности линейного оператора с матрицей

( ) х-»—

* ' , с!з , з-длина дуги интегральной гопвой.

В $7 существенно использованы результаты $ 5 и В данном параграфе речь идет о манжевых многообразиях, у которых каждая интегральная кривая обладает свойством быть геодезической "крат-чайпей" данного многообразия. С, Ли привёл пример юнтага. уравнения ((^з^аьСх.у.г:)1^□ «где скт^хН^/«^; П-Мх.у.г)-- произвольная фушздш ).в системе интегральных кривых которого Казедая интегральная является геодезической "кратчайшей"»

Теорема 7.1 Если у невырожденного шнлева многообразия паяяая шиеграшш кривая является геодезической "кратчайшей", то ло-кальнш конусы этого многообразия являются круговыми, а пола оееп конусов есть доле нормалей некоторого семзяетьа произвольных поверхностей.

То ость по теореш 7.1 ассоциированной пфаффово многообразие является голоиамшм. Таким образом, если в теория пфаффовых многообразий совпадение геодезических "прякойгах" с геодезическими "кратчайшими" влзчвт интегрируемость уравнения Пфа№а> тс в теории юн-жевш многообразия совпадение "ярямейшх" и "кратчайших" ведет к интегрируемости ассоциированного ийа${сва многообразия, помимо того, что псе лскальныз конусы являйся круговими. Поэтому данное свойство шкяовше многообразий можно считать характеристическим.

В $8 ошмательно ре се нз задача С. Ли, о которой ¡¡дет речь в /7, то есть задача об исследовании геометрического строения юнкера многообразия у ютсрого каждая интегральная кривая является геодезической "кратчайшей" и гадачз ой единственности примера такого рада многообразия, который ст приведен С. Ли.

Теорема 8.2 Ммаево многообразие круговых конусов, построенное вдоль некоторого семейства поверхностей, задаётся уравнением Шит

пида: ск^-сИт'-агдй h»h(x¡. »-произвольна! функция, a dsl»édx' .

Следствие« данной теоремы является доказательство того факта,что монжово многообразие с неопределёнными геодезическими "кратчайшими" всюду нсвыроздено. Уравнение семейства поверхностей Г(х»-)*-ссиsi и Функций hix¿),d(xi) связывает между собой дифференциальное уравнение вида , ,

dh-±

откуда следует,что функция иолураствора конуса произвольна.

В $9 рассматриваются,так называемые, допустимые нффафова многообразия (по В.Е Вагнеру) или одиопараметричесгое семейство плоскостей в каждой точке области задания монжева многообразия, которые касаются локального конуса Шнма, Таким образом речь ид5т об однопара-метрическом семействе пфаффовых многообразий, которое полностью определяется заданным моняевым многообразием. Такое семейство пфаффовых многообразий изучается в случае монжева многообразия круювьк конусов. Вычислены основные инварианты семейства пфаффовых многообразий. Интегрирование монжена уравнения эквивалентно нахождению семейств поверхностей, которые в каждой точке касаются локального конуса Мэняа, то есть эквивалентно голоюмкоети семейства допустимых пфаффовых многообразий. Получены геометрические признаки интегрируемости иогдава уравнения у которого локальные конусы круговые.

Теорема 9.1 Если семейство допустимых пфаффовых многообразий для монжева многообразия круговых конусов интегрируемо (годононно), то ассоциированное пфаффово многообразие является неголономной сферой.

Теорема 9.1 становится критерием интегрируемости, если на функции полураствора конуса будут наложены некоторые дополнительные условия.

В ^ 10 и основные результаты ¿¡7 и j> 8 распространяется на случай четырёхмерного евклидова пространства В\ .эти результаты имеют и самостоятельное значение. Выделяются мои левы многообразия S¿-конусов, то есть монжэвы многообразия, у которых при' сечении локального конуса гиперплоасостыо, ортогональной оси конуса, получается дзумерная сфера SA. Вычислены все коэффициенты связности в терминах ассоциированного пфаффова многообразия в Е^. Исследова-

ние неопределенности геодезических "кратчайших" в Ец кажется необходимым еще и потому, что случай Е3 вс многих ситуациях является вырождении«, а размерность 4 является интересной ко многих физических приложениях.

В исследуется геометрическое строение монжных многообразий в многомерном евклидовом пространстве Е« , Изучаются многообразия у которых каждая интегральная кривая является геодезической "кратчайшей".

Вводится подвижной репер монжева многообразия в Ел . При помощи

п-меркшг сферических координат (<*,</!...... У »-г) ,где «¿«¿(хО,

определяются ыонжевы многообразия -конусов, то есть многообразия, у которых при сечении локального конуса гиперплоскостью, ортогональной оси конуса, получается (п-2)-мерная сфера Б*.,.. В этом случае подвижной репер монжева шюгообразия и его инварианты однозначно определяются через подвижной репер ассоциированного (п-1)-меркого пфаффова многообразия, его коэффициенты н п-мерные сферические координата в Ео.Найдены условия на коэффициенты связности Г, которым должны удовлетворять моилевы многообразия, чтобы он» были ионжевыми многообразиями Б*.,,-конусов.

Теорема 12.2 Если у монжева многообразия в Е„ каждая интегральная кривая является геодезической "кратчайшей", то локальные конусы является -конусами, а поле осей конусов есть поле нормалей некоторого семейства гиперповерхностей в Еп.

В процзссе доказательства этой теореш выведена система уравнений определяю^ множество геодезических "кратчайших" для мэнжевых иного обрааий в Бп произвольной однородности.

Теорема 12.8 Йзнжвво многообразие, отвечающее условиям теоремы 12.2« задаётся ыонжевыы гоавнением вила (й^-с^-О в Еп .

Теорема 12,4 Моижево многообразие, отвечающее условиям теоремы 12.3, всюду ¡»вырождено в Еп .

В диссертации получены и выносятся ва защиту следующие основ-

III Заключение.

-"13-

лье результаты: ;

1. Предложен новый подход к изучению шнжавнх многообразий посредством ассоциированных пфаффовых многообразий» который может быть перенесен на случай монжэвых многообразий произвольной однородности,

2. Полностью исследовано геометрическое с-троеиие даиягвых многообразий в Еп,у которых не спределэны геодезические кратчайвме. Доказано, что уравнение, приведённое О.Ля я распространенное на случай евклидовых пространств произвольной размерности единственное,которое определяет такого рода моиавво многообразие.

3. Выведено необходимое геометрическое условие для интегрируемости монкевых уравнений, у которых локальный конус - круговой. Данное условие может быть обобщено на случай произвольных могаювых уравнений . степени однородности 2.

В заключение выражай иагрениюю благодарность своему научному руководителю - доценту ТГУ Слухаеву Вадиму Васильевичу ва постановку задач и руководство работой.

Ш теме диссертации опубликованы следующие работы :

1. Каланчук Р. II.,Слухаев ЕЕ Геометрия монлевых отображений в евклидовом пространстве. -Геометр, сб., Томск, 1968, вьп. 28. -с. 62-69

2. Каланчук Р. И. О четырйхпаранегрическом многообразии круговых конусов.- Всесоюзная скола "Оптимальное управление.гесдатрия и анализ". Тезисы докладов: ЛэиеровоД9Бб

3. Каланчук Р. И. К геометрии многообразия АЬнла некоторого частного вида- Всесоюзная школа "Оптимальное управление,геометрия и анализ". Теэисы докладов: Кемерсво.1988

4. Каланчук Р. Л О неопределённости геодезических кратчайших на многообразии Мэнга - Геометр, сб. .Томск, 1989,вып. 30-с1гб--Ш

5. Каланчук Р. И, О строении многообразия Моим при неопределённости его геодезических кратчайших. - ДАН СОСР^М. ,1989,т. 305, ИЙ-С. 1039-1041.

6. Каланчук Р. И. О геометрии многообразия МЬижа в Ец . -Деп. ВИНИТИ 13 ноября 1989, М. .1089,Ш752-В39.-181с.

7. Каланчук Р. И. о задаче С. Ли для монлквых многообразий в Всесоюзное еовесднн.? молодых учёных со дифференциальной гесиэтрии, посвященное 80-летим Н. В. Ефиыоза. Тезисы докладов: РостоЕ-ка-Дзну,

1990.

8. Каланчук Р. И. Нелинейные неголономные многообразия Б*-! -конусов в многомерной евклидовом пространстве Ец .-II! Всесоюзная школа "Оптимальное управление. Геометрия и аналиа." Тезисы докладов: Кемерово, 1990.

9. Каланчук Р. И. О невырожденности многообразия интегральных кривых дифференциального' уравнения с1зл-с1Г1-0 в Е5. -V школа молодых математиков Сибири и Даяьного Востока. Тезиен докладов: Новосибирск, 1980 . -

10. Каланчук Р. И. Геометрия шнлс-вих многообразий. -Всесокеная геометрическая конферевшяЛегисы докладов: Кишинёв, 1083

11. Калавчя? Р. И. Иоалгш многообразия з многомерных евкдвдсвых пространствах Ец . -Лея. 011Ш!ТИ 10 июля 1990,11,1990,Н3843-КЮ.-28 с.

о

<?а

/('е.и ГУ ¿^ А"* тч^-