Дифференциальная геометрия локально конформно келеровых многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

гр; 09 Я'«'

МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. ЛЕНИНА

Специализированный сонет К 053.01.02

На правах рукописи

КОНЦЕВАЯ Валерия Борисовна

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЛОКАЛЬНО КОНФОРМНО КЕЛЕРОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ

01.01.0^ — геометрия н топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1991

" - -с ) С-^

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете имени В. И. Ленина.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор КИРИЧЕНКО В. Ф.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А'КИВИС М. А.

кандидат физико-математических наук, старшин научный сотрудник ФЕРАПОНТОВ Е. В.

Ведущая организация — Белорусский государственный университет имени В. И. Ленина.

Защита состоится 9.$/г. в час.

в аудитории 301 на заседании специализированного совета К 053.01.02 ио присуждению ученой степени кандидата наук в Московском педагогическом государственном университете имени В. И. Ленина, по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная, 14, МПГУ им. В. И. Ленина.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ имени В. И. Ленина (119435, Москва, Малая Пироговская, 1, МПГУ имени В. II. Ленина).

Автореферат разослан «............»..............................1991 г.

Уче; щадизированного совета

КАРАСЕВ Г. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

: Актуальность темы. В конце 70х годов Вайсманом1^ было положено начало детальному изучению эрмитовых многообразий, в окрестности кавдой точки которых риманова метрика конформно эквивалентна келеровой. Этот класс многообразий получил название локально конформно колеровнх (л.к.к.) многообразий.

С одной стороны, актуальность изучения геометрии л.к.к. многообразий объясняется тем, что эти многообразия близки к келэровым, богатство геометрических свойств которых и многочисленные приложения в различных областях физики и математики являются хорошо" известными. С другой стороны, недавно было показано2' , что конформно плоское локально KouJopMHO келерово многообразие с параллельной в римановой связности формой Ли монет быть использовано в качестве модели для теории супергравитации Калуцы-Клейна, а значит, такие многообразия представляют интерес и для теоретической физики. В то же время, ввиду значительных технических трудностей изучения л.к.к. многообразий, известно сравнительно немного их геометрических свойств, и большинство задач, успешно решенных для келеровых многообразий и ряда их обобщений, остается неразрешенным в случае локально конформно келеровых многообразий.

Цель диссертационной работы состоит в изучении некоторых аспектов геометрии л.к.к. многообразий. Оснокгали задачами дпнного исследования являются слэдуюдие:

1. Изучить свойства формы Ли л.к.к. мноюобразий специального типа: йК-многообразий, парш^лэровых многообразий и пространств постоянной кривизны; и в терминах этой формы описать геометрические свойства таких многообразий.

2. Продолжить изучение распределений на л.к.к.

1) Vaisman X. On locally oonformal almost Kühler manifolds // Isr. J. Math. - 1976. Y.24, »3-4. - p.338-351.

2) I.anuB S., Vi a ins sou H. Kalvxaa-Kleln theory with skalar fields and generalised Hopf manifolds // Class. Quantum Omv. - 19Я7. - 7.4, MJ. - p.1317-132?.

- г -

многообразии, начатое' Икутой3*, и обобщить полученные им результаты на .случай произвольного л.к.к. многообразия. В частности, найти критерий антиинвариантности инволютишого распределения, содержащегося в келеровом распределении произвольного л.к.к. многообразия.

Э- Изучить л.к.к. многообразия, удовлетворяющие аксиоме голоморфна плоскостей.

4. Найти критерии постоянства голоморфной секционной кривизны л.к.к. многообразий относительно канонических связностей на эрмитовых многообразиях.

Новизна результатов. Все основные результаты диссертационного исследования являются новнмими. Выделим вахнейше из них:

1. Охарактеризованы классы ЕК-л.к.к. многообразий, паракелеровых л.к.к. многообразий и л.к.к. многообразий постоянной кривизны в терминах формы Ли этих многообразий. Показано, что компактноэ паракелерово л.к.к. многообразие является келерошы и что собственное л.к.к. многообразие постоянной кривизны является паракелеровым тогда и только тогда, когда оно плоско,

2. Найдено необходимое и достаточное условие антиинвариантности инволютивного распределения V, содержащегося в келеровом распределении произвольного . л.к.к. многообразия, которое является обобщением результата Икуты3*. Доказаны аналоги теоремы Икуты для паракелэрова л.к.к. многообразия и л.к.к. многообразия постоянной кривизны.

3. Получены обобщения теоремы Яно и Модхи4^. Во-первых, доказано, что л.к.к. многообразие, удовлетворяющее аксиоме голоморфных плоскостей является комплексной пространственной формой. Другой вариант обобщения получен для полуэрмитовой

3) Ilmta К. a-BubmanifoldB In a looally oonformal Kit hier manifold // Nat. So. Hep. Oohanoralzu ttiiv. - 1980. - V.31. H1.-p. 42-54.

4) Vano К,, llogi I. On real representation of Káehlerian manifolds // Ann. Math. - 1955, January. - Y.61, MÍ.- p.170-188

связности: л.к.к. многообразие удовлетворяет аксиома голоморфен ггсевдошгаскосгей тогда и только тогда, когда оно имэат точечно постоянную голоморфную секционную (HS-) лсевдокривизну.

Метода исследования. Л.к.к. многообразие является частным случаем эрмитовых многообразий, а, значит, и почти эрмитовых многообразий. Как известно5* , к почти эрмитову многообразии . внутренним образом присоединено главное расслоение, элементами которого являются так называемые л-репэры. Это расслоение можно рассматривать как G-структуру, т.е. как подрасслоешэ главного расслоения всех комплексных реперов над почти эрмитовым многообразием. Поэтому для изучения дифференциально-геометрических свойств л.к.к. многообразий макет быть применен мощный аппарат структурных уравнений главного расслоения и их дифференциальных продолжений, который до сих пор не применялся для систематического изучения геометрии л.к.к. многообразий.

Главное характеристическое свойство л.к.к. многообразия -наличие глобально определенной замкнутой 1 -формы ш, формы позволяет выразить ' большую .часть ,. тензоров, входягда в структурные ' уравнения, в терминах этой формы и ее коваркантного дифференциала, а, следовательно, различные геометрические свойства л.к.к. многообразия могут быть выражены через условия на его форму Ли.-

; Научное и прикладное значение. Результаты ■ диссертации носят теоретический характер и могут быть примененк в исследованиях, посвященных дифференциально-геокз^раческим структурам на многообразиях. Основной материал диссертации может быть использован таккэ при чтении спецкурсов в тех высших учебных заведениях, в которых проводятся исследования по близкой.тематике.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной школе-семинаре "Ткани и квазигруппы" (1?эо г., Куйб'ышев>; на III школе "Лонтрягинские чтения: Оптимальное

5) Лшшерович А. Теория связностей в целом и группы голономии. - и.: Гос. изд-во ин. лит., i960. 21 бс.

" управление, геометрия я анализ" (1990 г., Кемерово); на Ленинских чтениях в МИРУ им. В.И.Лэшшв (1991 г., Москва); на заседании семинара по дифференциальной геометрии при. Московском институте стали и сплавов; на XXVII научной конференции в Университете Дружбы народов им. П.Думумбы (1991 г., Москва).

Публикации по теме диссертации. Основное ^ содержание диссертации отражено в четырех публикациях 11] - UU которые выполнены без соавторов.

Структура и объем. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав основного текста, включающих. 14 параграфов« я списка цитированной литературы« содержащего 59 работ отечественных и зарубежных авторов. Работа выполнена на 112 листах печатного текста.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДОСЖРШИЙ

Во введении. излагаемся . предыстория вопроса» обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи диссертационной работа. Кратко характеризуются ее . основные результаты. .'

Первая глава "Предварительные сведения" <5§1 -3) содержит определения и факты, являющиеся основой данного исследования и необходимые для дальнейшего излояшшя.

В §1 даны определения комплексное я почти комплексной структур на многообразии. Определено понятие .кошшш'Дикаций модуля ЗЕ(нп) гладких векторных шлей на многообразии ып, в каадой точке многообразия, построен базис комшшксификации касательного пространства, называемый базисом» адаптированным почти комплексной структуре. Здесь яё дано краткое описание строения тензорной алгебра почти комплексного многообразия.

В 52 определяются почти эрмитовы я эрмитовы структуры на многообразии. Строятся репера адаптирсваиша почти врмятовой структуре,"т.е. А-реперн; находятся матрицы оператора почти : комплексной структуры и метрического тензора в ¿-репере; . вычисляются компоненты фундаментальной формы почти врмитовой структуры. Вводятся в рассмотрение виртуальные и структурные

тензоры 1 иг рода и находятся условия эрмитовостя ж келеровости структуры в терминах этих тензоров.

53 посвящен описанию некоторых канонических евязностей на эрмитовом многообразии. Показывается, что риманова связность индуцирует яа почти эрмитовом многообразии некоторую .«яиейпую связность. Исходя из структурных уравнений эрмитова многообразия ы", получанных, в §2, показывается такие, чга римшова связность на ап внутренним образом порождает еаю одну линейную связность, названную полуэрмитовой. Доказывается, что ата связность является почта комплексной и имеет вдовое кручение , причем, в случае квлерова многообразия она совпадает с первой канонической, а также с римановсй связноетями.

Вторая глава "Структурные уравнения локально конформно келеровой структуры" <§§4 - 6) посвящена разработке технической основы аппарата данного исследования.

В §4 приводятся определение и примеры я.к.к. многообразий, описываются их основные характеристячеякже свойства. Показывается, что на л.к.к. многообразии глобально определена замгаутая дифференциальная 1 -форма со, называемая формой Ли, удовлетворяющая условий: <Ш «• оЛЙ., рде Л -фундаментальная форма почти эрютговой структуры.

В §5 дается вывод структурных уравнений ллс.к. структуры. При этом с л.к.К. многообразием естественно связываются некоторые чистые тензоры, компоненты которых в А-репврэ к-огут быть выражены через компоненты формы Ли и ее ковариантного дифференциала.в римановой или шрвся канонической связностях.. Кроме того, эти тензоры удовлетворяют ряду тождеств, иазванны® структура,01 тождествами. Основной резуль тар этого параграфа! состоит в том, что впервые получены структурные уравнении л.к.к. многообразия, которые имеют следующий рид:

• ¿иР = + а1^«0.^; «"а' НН + а[абЪ]шоЛшЪ;

где {с^}, Са^} - соответственна компоненты формы Ля и и еэ ковариантного дифференциала в первой канонической связности v; {to*}, C-Wj} - соответственно компоненты форм смещения и римановой связности; i,...,n; a.b,,-. -- n = 2m;

ша = Gia, где - оператор комплексного сопряжения.

В §6 находятся выракения для компонент некоторых: классических тензоров (тензора римановой кривязш, тензора Риччи, скалярной кривизны) в A-репере в терминах различных тензоров структур!, а где это возможно, в терминах компонент формы Ли и ее ковариантного дифференциала. Вычисляются также компоненты тензоров кривизна первой канонической и полуэрмитовой связдастей. •

Третья глава "Тождества кривизны и основннв классы локально конформно хвлвровнх многообразий" (§§7 - 9) посвящена изучению некоторых классов л.к.к. многообразий, определенных при помощи тождеств, которкм удовлетворяет их тензор кривизны.

В §7 изучаются ж-л.х.к. многообразия, т.е. д.к.к. многообразия тензор кривизны которых инвариантен огноситвльно оператора j почтя комплексной ^структура: H(X,y,z,w> = ïЦJX,Jï,<rz,1m)6,. Исхода из найдекши компонент тензора кривизны в А-регоре, формулируется необходимое и достаточное условие J-инвариаятюсти в терминах тензора A{>cd* С использованием структурных тоадеств вто усяовкз выражается через компоненты формы Ла {ад> и еэ ковариантного дифференциала в первой канонической . связности. {Oy} в виде уравнений . .,■'.'

ааЪ = - KV aas * " ^âV

где â = а + ш. Доказана : ' : '

Теорема э.1. Тензор Риччи нк-л.к.к. многообразия является с-линейным оператором.:

Теорема 3.2. Л-к.к. многообразие является ЕК-иногообразием тогда и только тогда, когда erö форма Ли \удовлетворяет

6) Vanheoke Ь. Almost Hermitian manifolds with J-lnvariant Riemann curvature tensor // Rend. Sem. líath, Univ. e Pollteo. (Torino. - 1975. - V.34 - p.487-489.

уравнению:

W(X,Y) - VW(JX,JY) « - |(U(X)U<Y) - U(JX)W(JY)), VX.Y € « (К*1) -

В качестве следствйя последнего результата приводится утверждение о том, что тензор кривизны обобщенного многообразия Хопфв7* не является лмвариантеым.

§3 посвящен рассмотрению паракелеровых8* л.к.к. многообразий, т.е. многообразий, тензор кривизны которых удовлетворяет тоадёству Келера: R(X,Y,z.w) = R(X,Y,JZ.JW). Найдены условия паракелеровости л.к.к. многообразия в А-репере, выраженные в терминах тензоров Babod, а

также в терминах компонент формы Лй. Доказаны. Теорема 3.3. Скалярная кривизна параквлерова собственного л.к.к. многообразия отрицательна.

Теорема 3.4. Л.к.к» многообразие размерности « > 2 является параколеровнм тогда и только тогда, когда его форма Ли удовлетворяем условию

Ш(Х.-У) « ^|WJ2<X.Y> - 5«(X)(0(Y), VX.Y € ï(Hn).

Таким образом* результаты §7, §8. главы Э позволяют от-Тождеств,' определяющих тензор римвновоА кривизны л.к'.к. многообразия, т.е. объект достаточно высокой дифференциальной окрестности, перейти к условиям на форму ли ш, являющуюся более просгнм объемом»

Греем й Ванхбкка9' бил построен пример л.к.к. многообра- 1 зия постоянной кривизны, и В §9 рассматривается этот тип многообразий. Находятся необходимые условия постоянства кривизны в терминах тензоров A^od, БаЪ0, ВаЪС(1. Как

7) Vaisman I. Generalised Hopf manifolds // Oeötn. dedio. -1932. - Y.13. - p.è3t-255.

8) Rizza G.B. YariaU pârakâhlôpiane // Ann. <11 tfath. pura ed Appl; - 1974. - Y.9S. - p.47-61,

9) Gray A., Yanhecke 1. Almoet Hermitlan manifolds with constant holomorphto sectional ourvature // Cas. pestov. mat. - 1979.- - Y.104, »2. - p.170-179.

следствие, оказывается справедливым результат: всякое эрмитова многообразие постоянной кривизны. является як-многообразием.

Доказано также, что при условии постоянства кривизны о л.к.к. многообразия, его форма Ли удовлетворяет уравнению:

ТО(ХД) = фсо|2 + 0)<Х,¥> - |и<Х)и(У>, УХ,у € *(ИП).

Завершав* главу з следующая

Теорема 3.7. Л.к.к. многообразие постоянной кривизш является паракелеровым тогда и только тогда, когда оно плоско.

Четвертая глава "Об антиинвариантности некоторых

распределений локально конформно келеровых многообразий" (§§ю,11) посвящена изучению . распределений на л.к.к.. многообразии, содержаищхся в келеровом распределении К^. Для произвольного почти эрмитова многообразия. ы" Греем10' было введено понятие нуль-келерова распределения

К: ы" {X С Х(МП)|<7Х(0Г)У = о, ю «(Ы?)}.

Для л.к.к. многообразий Вайсшшом1?* было определено-келерово. распределение Г1 как вподна ортогональное "дополнение нуль-келерова распределения С. Впервые : распределения, содержащаеся в КГ, изучал Икутв3'. Ш было доказано, что " для сн-многообразия всякое инволйтивное раофеделение V из К^ является антиинвариантным, т.е.,Ух е V =» .IX €

Для нахождения критерия антиинвариантности распределения . V - в случае произвольного л.к.к. 'многообразия доказано предложение 4.1» позволяющее вычислять \>,1 по формуле:

(у«Г)(Х,У) = 1(0(Х,У)£ + <Х,У>Ц + 9(Х)У - Ы(Х)ДУ),

10) Gray A. Curvature identities for Hermitian and almost

• Hemitian manifolds // Tohoku Math. J. 1976. V.28 -

p.601-612.. '

11) Vaioman I. Some 'curvature properties of locally oonformal Rihler manifold // Erans. Amer. Math. Soo. - 1980. -V.259, N2. - p.439-447. ' ,

где О фундаментальная форма структуры, 5 - векторное поле Ля; Т) = б(х) = с), С использованием этой формулы доказывается основная в $ю

ТЕОРЕМА 4.1. Июзолютивнов -распределение 33, содержащееся в келеровом распределении к л.к.к.' многообразия, антиипвариантао тогда и только.тогда, когда

ш(Х,ЛУ) = ти(лсд) УХ.У ( V.

В : качестве следствия этой теоремы получен упомянутый вше результат Икуты для обобщенных многообразий Хоп$а.

В 511 найденный критерий применяется для рассмотрения распределений Т> на паракелэровых, гег-л.к.к. многообразиях и на л.к.к. многообразия! постоянной кривизны. Доказаны

Теорема 4.2. Распределение V паракелерова л.к.к. многообразия, содержащееся в келеровом распределении К1, антюшвариантнр тогда и только тогда, когда оно инволютивно.

Теорема 4.3. Кншлюгтюе распределение О як-л.к.к. многообразия, содержащееся в келеровом распределении К1", * антяинввривятно тогда я только тогда» когда для всех X,? из О: * о.

Теорема 4.4. Распределение. V л.к.к. многообразия постоянной кривизны»содержащееся в келэровом распределении внтиин&аряантно тогда к только тогда! когда оно внволютпвно. . ; ; ' _ .

Теоремы 4.2 и .4.4 являются готики аналогами результата , Ккуты. .

В пятой главе "Аксиомы плоскостей в гасмэтрш локально конформно келэровых многообразий* . (}{12 - 14) содержатся результаты, .касающиеся •

постоянства голоморфной . секциойной (НЗ-) кривизны л.к.к. многообразия, и вйполаейая для него аксиома голоморфшх плоскостей.

В §12 рассматриваемся л.к.к. многообразие, . удовлетвортдее аксиоме голоморфных плоскостей: для любой точки р ? ып всякий бивектор хлл: (х * о, х е тр(Мп)) определяет двумерный интегральный элемент некоторого

двумерного голоморфного вполне геодезического подмногообразия» проходящего черва точку р, Яно и Модхи4* доказали,, что для келероЕых многообразий выполнение зтой аксиомы эквивалентно постоянству HS-кривизнн, т.е., с учетом результата Холи12* и Игусц13\ келерово многообразие, удовлетворящее аксиоме голоморфных плоскостей, является комплексной пространственной формой. В настоящей работа получено обобщение этого результата.

ТЕОРША 5.2. Л.к.к. многообразие удовлетворяет аксиоме голоморфных плоскостей тогда и только ; тогда, когда оно локально голошрфю издаетрично одному из. многообразий: либо комплексному евклидову пространству <сп, либо комплексному проективному пространству ср11, либо комплексному гиперболическому пространству ев*1, либо многообразию м2 с естественной келеровой структурой. • _ '

В §13 определяются, аналоги аксиомы гсломорфшх плоскостей, совпадамдив с ней в квлеровом случае.

ОПРЩЕДИШЕ 5.7. Будем говорить, что л.к.к. многообразие мп удовлетворяет аксиоме голоморфных, квазиплоскостей, если Vp е и" всякий бивектор XAJX определяет двумерный интегральный элемент некоторого двумерного голоморфного вполне геодезического • в первой канонической связности подмногообразия, проходящего через точку р.'

ОПРЕДЕЮШ 5.8. Будем говорить, что л.к.к. многообразие ып удовлетворяет аксиош голоморфных псавдоплоскостай, если Vp'(_ ы11 всякий бивектор XAJX .'.'. .определяет двумерный интегральный, элемент некоторого двумерного голоморфного вполне геодезического в прлузрштово^. связности подмногообразия, проходящего через точку р. . ' . . .

Доказано, что при условий-выполнения аксиомы голоморфных квазшиюскостей форма'Ли и равна .'нулю, т.е. л.к.к. многообразие является келвровим. Найдено необходимое - и

12) Hawloy W.ö. Constant holoroorphio - eeotional ourvature // Canad. Math. 0. - 19M. -V.5.'-

13) Igusa J. Oa the struture о f. а o^rtatn claatj of • KaiUei' mani tolna /' Алтзг. J. Mittl!.- - 195ч. ■ V//6. ' р.бйМ'сЗ.

достаточное условие выполнения аксиомы голоморфных псэвдоплоскостей в терминах тензора юз-кривизны А®^ в А-репере.

В §*4 изучаются вопросы постоянства, на-кривизны и ее аналогов в случав первой канонической " и полуэрмитовой связностей. Найден критерий точечного постоянства нз-кривизнн произвольного л.к.к. многообразия, выраженный в терминах компонент тензора А^ в А-репере..

Доказано, что если л.к.к. многообразие, точечно постоянной нв-кривизны удовлетворяет аксиоме голоморфных псевдоплоскостей, то оно является келеровым.

Для введенных в рассмотрение связностей и - первой канонической V и полуэрмитовой. V - определены аналоги ня-кривизны: нз-квазифивязна и ш-псевдокривизна. Найдены критерии их точечного постоянства. Доказана

ТЕОРЕМА 5И0. Л.к.к. многообразие удовлетворяет аксиоме голоморфных псевдоплоскостей тогда и только тогда, когда оно имеет точечно постоянную Нб-псевдокривизау.

Эта теорема представляет собой точный.аналог терекы Яно и Модки для келэровых многообразий в терминах нз-псевдокривизны и аксиомы голоморфных псевдоплоскобтей. Кроме того, рна является ее обобщением, поскольку "в квлеровом случае понятие нз-псендокривизни совпадает с понятием нв-кривизны, а псевдоплоскость с плоскостью. •

Исходя из критерия постоянства ' нэ-квазикривизны, доказано, что л.к.к. многообразие, удовлетворяющее аксиоме голоморфных псевдоплоскостей, имеет точечно постоянную нз-квазикривизну тогда и только тогда, когда оно является комплексной пространственной формой.

Доказана также

Теорема 5.11. Л.к.к. многообразие, имеющее одновременно постоянные НБ-квази- и НЗ-псевдокривизны, является комплексной пространственной пространственной формой.

Б заключении автор . выракает глубокую благодарность научному руководители профессору В.Ф.Кириченко за постановку проблйма и неустанное внимание к работе.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[ 1 j Концевая В.Б. Об антюшвариаятности некоторых распределений локально конформно келеровшс многообразий // Мат. Iii Всес. школы "Понтрягинские чтения : Оптимальное управление, геометрия и анализ.'* - Кемерово. - 1990.-C.35.

[2] Концевая В.Б. Тождества кривизны для локально конформно келеровых многообразий // Ткани и квазигруппы. - Калинин.

- 1990. - С. 137-142.

[3] Концевая В.Б. Об одном классе к-многообразий // Ленинские чтения по итогам науч.-исслед. работы за 1990 г. Тезисы, часть II. -М.: МИГУ им.В.И.Ленина, 1991. - 0.29.

(41 Концевая В.Б. Структурные уравнения локально конформно келеровых многообразий // ШШ им В.И.Ленина. - Ы., 1990.

- 11C. - Деи. в ВИНИТИ 11.09.90. N 4990-В90.

/