Новые аспекты геометрии многообразий Вайсмана-Грея тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Многообразия Вайсмана-Грея

§ 1. Почти эрмитовы многообразия и их присоединенная Оструктура.

§ 2. Структуры Вайсмана-Грея.

§ 3. Основные конформные инварианты многообразий

Вайсмана-Грея.

Глава 2. Конформно-инвариантные классы многообразий Вайсмана-Грея

§ 4. Ковариантный дифференциал формы Ли.

§ 5. Многообразия Вайсмана-Грея с /-инвариантным тензором Вейля.

Глава 3. Конформно-плоские и конформно-паракелеровы многообразия Вайсмана-Грея

§ 6. Конформно-плоские и конформно-паракелеровы приближенно келеровы многообразия.

§ 7. Конформно-плоские и конформно-паракелеровы многообразия Вайсмана-Грея.

Глава 4. Многообразия Вайсмана-Грея с точной формой Ли

Изучение конформно-инвариантных свойств римановых многообразий, в том числе и наделенных дополнительной структурой, занимает важное место в современных дифференциально-геометрических исследованиях. В частности, сюда можно отнести изучение конформно-инвариантных свойств почти эрмитовых многообразий, начатое в работе А. Грея и Л. Хервеллы [32].

В [32] авторы провели классификацию почти эрмитовых многообразий {М2га, ./,<?} по их дифференциально-геометрическим инвариантам первого порядка. А именно, в касательном пространстве каждой точки почти эрмитова многообразия было рассмотрено подпространство IV тензоров типа (3,0), обладающих следующими свойствами симметрии:

IV = {а 6 Т3° (Тт(М)) \а(Х, У, Т) = -а(Х, У) = -а{Х, ЗУ, /Я)

Этими свойствами обладает, в частности, ковариантный дифференциал келеровой формы почти эрмитова многообразия. Представление унитарной группы II (п) на таком подпространстве имеет четыре неприводимые компоненты И^з и и пространство IV распадается в ортогональную прямую сумму этих подпространств:

Таким образом, представление унитарной группы имеет 16 инвариантных подпространств (включая {0} и IV). Принадлежность ковариантно-го дифференциала келеровой формы в каждой точке одному из этих подпространств определяет 16 классов почти эрмитовых многообразий, которые обозначаются теми же символами, что и инвариантные подпространства. Критерии принадлежности многообразий названным классам записаны в терминах инвариантного исчисления Кошуля.

Среди 16 классов 8 являются инвариантными относительно конформных преобразований метрики почти эрмитова многообразия: ф И^, 1У2 ф 1¥4, 1¥3 ф Жь Жь \¥1 ф Ф Ж2фЖ3ф

Рассмотрим класс И^фЖ}. Он является обобщением двух классов почти эрмитовых многообразий - ^ и

Класс выделенный в классификации Грея-Хервеллы, совпадает с классом приближенно келеровых многообразий. Эти многообразия были определены в работе Татибаны [36] и названы К-пространствами. Класс приближенно келеровых многообразий не остается инвариантным при конформном преобразовании метрики, но входит в конформно-инвариантный класс локально конформно приближенно келеровых многообразий, который в свою очередь содержится в классе ф Приближенно келеровыми многообразиями являются, например, однородные римановы многообразия 5е = С?2/5С/(3), 50(5, К)/£/(2), 5^(3)/5([/(1) х ¿7(1) х С/(1)) [И]. Класс приближенно келеровых многообразий изучали Татибана [36], А. Грей [29], [30], [31], Ватанабе и Такамацу [35], В.Ф. Кириченко [7], [8], [9] и другие авторы.

При изучении приближенно келеровых многообразий рассматривались их различные свойства. Отметим здесь только следующие результаты, относящиеся к диссертационному исследованию.

Во-первых, в работе [35] получена полная классификация конформно-плоских приближенно келеровых многообразий.

Во-вторых, отметим свойство точечного постоянства голоморфной секционной кривизны. Для класса приближенно келеровых многообразий имеет место комплексный аналог теоремы Шура [23], то есть понятия точечного и глобального постоянства голоморфной секционной кривизны приближенно келеровых многообразий совпадают [8]. Также получена полная классификация собственных (то есть отличных от келеровых) приближенно келеровых многообразий постоянной голоморфной секционной кривизны. Этот результат вместе с классификацией келеровых многообразий постоянной голоморфной секционной кривизны, полученной независимо Холи [28] и Игусой [27], дает полную классификацию приближенно келеровых многообразий постоянной голоморфной секционной кривизны.

В-третьих, рассмотрим понятие точечного постоянства типа приближенно келеровых многообразий, введенное А. Греем [29]. Понятия точечного и глобального постоянства типа для приближенно келеровых многообразий совпадают. Приближенно келерово многообразие имеет нулевой постоянный тип тогда и только тогда, когда оно келерово и ненулевой постоянный тип тогда и только тогда, когда оно некелерово и шестимерно [14].

Класс инвариантый при конформных преобразованиях метрики, включает в себя класс локально конформно-келеровых многообразий. В качестве примеров таких многообразий можно привести многообразие Хопфа 51 х к > 1с канонической эрмитовой структурой и конформные образы комплексного евклидова пространства. Локально конформно-келеровы многообразия подробно изучались в работах А. Грея и Л. Ванхекке [33], И. Вайсмана [37], [38], В.Ф. Кириченко [5], [6], В.Б. Концевой [20] и других авторов.

В отличие от приближенно келеровых многообразий, для локально конформно-келеровых многообразий понятия точечного и глобального постоянства голоморфной секционной кривизны не совпадают [33].

Таким образом, класс ф является конформно-инвариантным обобщением класса приближенно келеровых многообразий и класса локально конформно-келеровых многообразий, обладающих богатым набором дифференциально-геометрических свойств и интенсивно исследуемым.

Более того, он не совпадает с их объединением [32], и, следовательно, представляет самостоятельный интерес для изучения. Так как большой вклад в изучение многообразий класса \¥1 внес А. Грей, а в изучение класса 1¥4 - И. Вайсман, класс ^ ф Ж4 в статье [15] был назван классом многообразий Вайсмана-Грея (или, короче, классом УСг- многообразий).

Основными примерами общих (то есть отличных от приближенно келе-ровых и многообразий класса многообразий Вайсмана-Грея являются многообразия, полученные из собственных (то есть отличных от келеро-вых) приближенно келеровых многообразий конформным преобразованием метрики (почти комплексная структура не изменяется). Такие многообразия входят в класс локально конформно приближенно келеровых многообразий. Неизвестно, есть ли примеры многообразий Вайсмана-Грея, отличных от локально конформно приближенно келеровых многообразий. В отличие от приближенно келеровых многообразий, декартово произведение общих многообразий Вайсмана-Грея не является многообразием Вайсмана-Грея (оно принадлежит классу ф 1¥3 ф и, следовательно, таким способом построить новые примеры многообразий Вайсмана- Грея нельзя. Аналогичным свойством обладает класс Ц^. Декартово произведение многообразий класса является эрмитовым многообразием, не принадлежащим классу [32].

Среди многообразий Вайсмана-Грея только многообразия класса Ж} имеют интегрируемую почти комплексную структуру, так как являются эрмитовыми. Общие многообразия Вайсмана-Грея, также как и приближенно келеровы многообразия, имеют неинтегрируемую почти комплексную структуру, а, значит, следует ожидать у них аналогичных свойств и изучать эти многообразия совместно.

Заметим, что большинство исследований почти эрмитовых многообразий проводится методом инвариантного исчисления Кошуля. Но, на наш взгляд, более удобно исследовать почти эрмитовы многообразия М2п с использованием объектов, определенных на пространстве G-структуры со структурной группой U(n) [17], определенным образом присоединенной к почти эрмитову многообразию. Тотальное пространство расслоения такой G-структуры состоит из так называемых А-реперов.

В работе [10] В.Ф. Кириченко определил понятия структурных и виртуальных тензоров и записал первую группу структурных уравнений почти эрмитова многообразия на пространстве присоединенной G-структуры. В терминах структурных и виртуальных тензоров критерии принадлежности почти эрмитовых многообразий классам из классификации Грея-Хервеллы принимают более простой и наглядный вид.

На пространстве присоединенной G-структуры многообразия Вайсмана-Грея начала изучать H.H. Щипкова [26]. В частности, ею получены обе группы структурных уравнений многообразий Вайсмана-Грея, критерии принадлежности таких многообразий классам Äi, R2, R3, определенным в [30], критерий точечного постоянства голоморфной секционной кривизны и критерий принадлежности многообразия Вайсмана-Грея объединению классов и W4 (теорема о редукции); вычислены компоненты тензоров Римана-Кристоффеля, Риччи и скалярной кривизны в А-репере; проведены исследования компактных многообразий Вайсмана-Грея постоянной неположительной кривизны, продолженные в работе H.A. Ежовой М

Получена классификация многообразий Вайсмана-Грея размерности выше 4, удовлетворяющих аксиоме голоморфных плоскостей. Во-первых, такое многообразие являются приближенно келеровым и, во-вторых, оно локально голоморфно изометричны либо комплексному евклидову пространству, либо комплексному проективному пространству, либо комплексному гиперболическому пространству, либо шестимерной сфере.

Отметим работу [16], в которой изучались многообразия класса W\ ©VK4 (под названием многообразий Грея-Вайсмана), удовлетворяющие тождествам кривизны и дополнительным условиям, таким как квазиоднородность, компактность, ограничение на голоморфную секционную кривизну. В частности, доказано, во-первых, что многообразие Грея-Вайсмана размерности свыше 6 класса R3 квазиоднородно тогда и только тогда, когда оно является приближенно келеровым, либо локально конформно-келеровым многообразием и, во-вторых, что компактное многообразие Грея-Вайсмана класса R\ является келеровым многообразием.

В [4] H.A. Ежова исследовала соотношение между двумя определениями постоянства типа для многообразий, введенных Ванхекке и Боутеном [40] и В.Ф. Кириченко [11], для многообразий Вайсмана-Грея. Эти определения обобщают понятие постоянства типа приближенно келеровых многообразий, введенное А. Греем [29]. В [4] доказано, что псевдоконциркулярное многообразие Вайсмана-Грея постоянного по Ванхекке типа (в смысле [40]) является многообразием постоянного типа (в смысле [11]) и, следовательно, является либо шестимерным многообразием Вайсмана-Грея с неинтегрируемой почти комплексной структурой, либо многообразием класса W4. Кроме того, доказано, что многообразие постоянного по Ванхекке типа принадлежит классам и Яз.

В [4] также исследовались конформные преобразования метрики и были определены четыре конформно-инвариантных класса многообразий Вайсмана-Грея. А именно, если разложить тензор конформной кривизны в сумму отображений, каждое из которых либо комплексно линейно либо антилинейно по каждому аргументу, то в силу свойств симметрии и вещественности тензора конформной кривизны четыре из них полностью определяют тензор конформной кривизны. Они были названы основными конформными инвариантами многообразия Вайсмана-Грея. Обращение в нуль каждого из этих четырех отображений инвариантно при конформных преобразованиях метрики и, следовательно, определяет 4 конформно-инвариантных класса Со, Сь Сч и Сз, пересечение которых совпадает с классом конформно-плоских многообразий Вайсмана-Грея. В [15] приведены критерии принадлежности многообразия Вайсмана-Грея (размерности выше 4) этим классам. Далее, исследованы свойства классов С{ (1=0,1,2,3) при наложении дополнительных условий, таких как компактность, неположительность скалярной кривизны, точечное постоянство голоморфной секционной кривизны, эйнштейновость, «/-инвариантность тензора Риччи и другие. Также, исследовались отношения включения классов С,- (1=0,1,2,3) и Щ 0=1,2,3). В частности, было доказано, что Сз С С2, С Со и Я\ С С\.

Из приведенного обзора видно, что многообразия Вайсмана-Грея и, в частности, их конформно-инвариантные классы, представляют интерес с точки зрения дифференциальной геометрии, но многие проблемы, в том числе, геометрический смысл обращения в нуль основных конформных инвариантов многообразий Вайсмана-Грея исследован недостаточно. Изучению геометрического смысла обращения в нуль основных конформных инвариантов и свойств конформно- инвариантных классов многообразий Вайсмана-Грея посвящена наша работа.

Цель диссертационной работы состоит в изучении конформно-инвариантных классов многообразий Вайсмана-Грея.

Основными задачами нашего исследования являются следующие:

1) Исследовать геометрический смысл обращения в нуль основных конформных инвариантов многообразия Вайсмана-Грея и, в частности, приближенно келеровых многообразий.

2) Разработать методику совместного изучения конформно приближенно келеровых многообразий и соответствующих им при конформных преобразованиях, определяемых формой Ли исходного многообразия, приближенно келеровых многообразий.

3) Рассмотреть использование разработанной методики на примере многообразий Вайсмана-Грея точечно постоянной голоморфной секционной кривизны.

Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Выделим основные из них:

1) Доказано, что в размерности выше 4 класс С\ многообразий Вайсмана-Грея совпадает с классом локально конформно приближенно келеровых многообразий.

2) Доказало, что связное многообразие Вайсмана-Грея размерности выше 4 с 3- инвариантным тензором конформной кривизны (то есть принадлежащее классу Сх) либо глобально конформно эквивалентно собственному приближенно келерову многообразию, либо является локально конформно-келеровым многообразием.

3) Получена классификация конформно-паракелеровых (то есть принадлежащих классу С2) приближенно келеровых многообразий.

4) Получены классификации конформно-плоских и конформно-паракелеровых (то есть принадлежащих классу С\ П С2) многообразий Вайсмана-Грея.

5) Разработана методика совместного изучения конформно приближенно келеровых многообразий и соответствующих им при конформных преобразованиях, определяемых формой Ли исходного многообразия, приближенно келеровых многообразий.

6) Исследованы условия инвариантности точечного постоянства голоморфной секционной кривизны конформно приближенно келерова многообразия при конформных преобразованиях, определяемых их формой Ли.

Результаты работы получены систематическим использованием метода присоединенных ^-структур в сочетании с методом инвариантного исчисления Кошуля.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения геометрии многообразий Вайсмана-Грея и чтения специальных курсов в высших учебных заведениях.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Научно-исследовательском семинаре по дифференциальной геометрии МПГУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.Ф.Кириченко; на Научной сессии МПГУ по итогам научно-исследовательской работы за 1998 год (1999 г., Москва) и за 2000 год (2001 г., Москва); на Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (2000 г., Казань).

Основное содержание диссертации отражено в 6 публикациях [41]—[46]. Диссертация состоит из введения, четырех глав, состоящих из 10 параграфов, и списка литературы. Она изложена на 94 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 46 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

1. Кириченко В.Ф. Новые результаты теории K-пространств / Дисс. . к.ф.-м.н., М.:МГУ, 1975.И. Кириченко В.Ф. Почти эрмитовы многообразия постоянного типа// ДАН СССР, 1981, т.259, Л£б, с. 1293-1297.

2. Кириченко В.Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий.// Итоги науки и техн. Проблемы геометрии ВИНИТИ АН СССР, т.18, 1986, с.25-71.

3. Кириченко В.Ф. Голоморфные подмногообразия обобщенных приближенно келеровых многообразий// Изв. ВУЗов. Матем. 1986. Atl. с. 43-48.

4. Кириченко В.Ф. K-пространства постоянного типа // Сиб. матем. ж. 1976. т.17 Л/12. с. 282-289.

5. Кириченко В.Ф., Ежова H.A. Конформные инварианты многообразий Вайсмана-Грея//УМН, т.51, Л/12, 1996, с.163-164.

6. Кириченко В.Ф., Щипкова H.H. О геометрии многообразий Грея-Вайсмана.//УМН, т.49, Л£2, 1994, с.155-156.

7. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии : Пер. с англ. М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 224с.

8. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, т.1: Пер. с англ.- М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. -344с.

9. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, т.П: Пер. с англ.- М.¡Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. -416с.

10. Концевая В.Б. Дифференциальная геометрия локально конформно-келеровых многообразий. / Дисс. . к.ф.-м.н., М.:МПГУ, 1991.

11. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономий., Платон, 1997.-216с.

12. Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия., Волгоград: "Платон", 1996.-128с.

13. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр V. Риманова геометрия. М.:Изд-во "Факториал", 1998.-496с.

14. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ.-М.:Наука, 1964.- 664с.

15. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли: Пер. с англ.- М.:Мир, 1987 304с.

16. Щипкова Н.Н. Дифференциальная геометрия многообразий Вайсмана-Грея./ Дисс. . к.ф.-м.н., М.:МПГУ, 1994.

17. Igusa J. On the structure of a certain class of Kahler manifolds.- Amer. J. Math., 1954, v.76, p.669-678.

18. Hawley N.S. Constant holomorphic curvature.// Canad. J. Math., 1953, v.5, p.53-56.

19. Gray A. Nearly Kahler manifolds// J.Diff.Geom., 1970, v.4, Л/13 p.283-309.

20. Gray A. Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds// Tohoku Math. J., 1976, v.28, Ml4 p.601-612.

21. Gray A. The structure of nearly Kahler manifolds// Ann. Math., 1976, v.223, №3 p.233-248.

22. Gray A., Hervella L.M. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants.// Ann. Math, pure ed appl., v.123, 1980, p.35-58.

23. Gray A., Vanhecke L. Almost Hermitian manifolds with constant holomor-phic sectional curvature// Cas. pestov. mat., v.104, 1979, p.170-179.

24. Kirichenko V.F. Generalized quasi-Kaehlerian manifolds and axioms of CR-submanifolds in generalized Hermitian geometry, II// Geom. Dedicata. 1994 v.51. p.53-85.

25. Takamatsu K., Watanabe Y. Classification of a conformally flat К-space// Tohoku Math. J., v.24, 1972, p.435-440.

26. Tachibana S. On almost analytic vector in certain almost Hermitian manifolds// Tohoku Math. J., v.ll, 1959, p.351-363.

27. Vaisman I. On locally and globally conformal Kahler manifold // Trans. Amer. Math. Soc., v.262, 1980, p.533-542.

28. Vaisman I. Some curvature properties of locally conformal Kahler manifolds// Trans. Amer. Math. Soc., v.259, №2, 1980, p.439-447.

29. Vaisman I. Locally conformal Kahler manifolds with parallel Lee forms// Rend.di Mat., 1979. v.12. p.268-284.

30. Vanhecke L., Bouten F. Constant type for almost Hermitian manifolds// Bull. Math. Soc. Sci. Math. E.S. Roumanie (N.S.), 1976, v.20(68), M3-4, p. 415-422.Работы автора по теме диссертации

31. Игнаточкина JI.A., Кириченко В.Ф. Конформно-инвариантные свойства приближенно келеровых многообразий.// Матем. заметки, т.66, Л/15, 1999, с.653-663.- 94

32. Игнаточкина JI.А. Многообразия Вайсмана-Грея с замкнутой формой Ли./ Моск. пед. гос. ун-т.- М., 2000.- Деп. в ВИНИТИ 22.06.00 Л/6 =1741В-00.~ Юс.

33. Игнаточкина Л.А. Многообразия Вайсмана-Грея точечно постоянной голоморфной секционной кривизны с точной формой Ли./ Моск. пед. гос. ун-т.- М., 2000 Деп. в ВИНИТИ 22.06.00 Mí1742В-00.- Юс.

34. Игнаточкина Л.А. Многообразия Вайсмана-Грея точечно постоянной голоморфной секционной кривизны с точной формой Ли.// Науч. труды МПГУ. Серия: Бстест. науки, М. Прометей, 2001, с.45-46.

35. Ignatochkina L.A. Some conformai changes of metric for Vaisman-Gray manifolds with exact Lee form.// Webs and quasigroups. Tver State Univ., 2001, p.149-154.