Тензорные инварианты многообразий Вайсмана-Грея тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

од 1 з опт

п ЛИТ

11 и«--'*'

На правах рукописи

ЕЖОВА Наталь» Александровна

ТЕНЗОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ ВАЙСМАНА- ГРЕЯ

Специальность 03.0!.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1993

Работа выполнена в Московском педагошческом государственном университете имени В.И. Ленина на кафедре геометрии.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор КИРИЧЕНКО В.ф.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор СОЛОВЬЕВ Ю.П.,

кандидат физико-математических наук, доцент РЫЛОВ A.A.

Ведущая организация - Тверской государственный университет.

Защита состоится л 1995 г в..?^Г..часоБ в

аудитории 301 на заседании диссертационного Совета К 053.01.02 в Московском педагогическом государственном университете имени В.И. Ленина по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная, д. 14, МПГУ им. В.И. Ленина.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МШУ. 119435. Москва, уя. М. Пироговская, д. 1, МПГУ им. В.И. Ленина.

Автореферат разослан «.......»^тЬ^1^, 1995 года.

ОВДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В 1980 году была опубликована статья А.Грея и Л.Хервеллы [Ю] , в которой авторы провели классификацию почти эрмитовых структур по их дифференциальным инвариантам первого порядка. Среди этих классов содержится класс

£> 1лТг! являмциЗся непоередственннм обобщением класса \л/1 приближенно келеровых многообразий и класса , в размер-

ности свыше четырех совпадающего с классом локально конформно - келеровых многообразий. Многообразия класса ^ подробно изучались А.Греем [7], Г8], [э] , а многообразия класса рассматривал в своих работах И.Вайсман [11] , [12], [13] . Поэтому многообразия класса У^©"^ получили название многообразий Вайсмана - Грея, или - многообразий.

В.Ф.Кириченко [1],[2] получил перзую группу структурных уравнений произвольного почти эрмитова многообразия на пространстве присоединенной <$~ - структуры з терминах структурных и виртуальных тензоров. В частности, для многообразий Вайсмана - Грея структурные тензоры кососиккетричны по всей индексам, а виртуальные тензоры имеют строение: п <и , и с ез г> е е

& с ~ ' с , Оси - ¿-Сй-Оё! )

%!

где {¿а I ^ 3 - компоненты формы 1и и) в кобазисе {^Ь И.

Подробное изучение Мб - многообразий на пространстве присоединенной & ~ структуры было продолжено и Н.Н.Щилко-вой [б]. В частности, ей была получена вторая группа структурных уравнений У£ - многообразия, вычислены спектры тензоров Римана - Кристоффеля и Риччи, найдено условие постоянства голоморфной секционной кривизны Уб - !<шогообразия.

Интересными аспекта^ш изучения геометрии ~Ч& - многообразий является их постоянство типа и конформно - инвариантные свойства,-

Понятие постоянства типа впервые было введено в начале 70-х годов А.Греем [7],[8] для приближенно келеровых многообразий со знакоопределеншй метрикой. Впоследствии различные авторы предлагали варианты распространения этого попятия на более общие виды почти эрмитовых многообразий. Например, Вая-хекке сформулировал критерий, позволявший определить постоянство типа произвольного почти эрмитова многообразия с помощью

тензора римановой кривизны многообразия, но это приводило к необходимости перехода к дифференциально - геометрическим объектам более высокого порядка[14] .

В.Ф.Кириченко [3] предложил более удобный способ определения постоянства типа произвольного почти эрмитова многообразия с помощью присоединенной 0- - алгебры. Он доказал [3], что если присоединенная О, - алгебра имеет постоянный тип, то и само многообразие имеет постоянный тип.

Основной характеристикой конформных свойств риманова многообразия М ^ является тензор Вейля конформной кривизны многообразия. Обращение тензора Вейля в нуль является необходимым и достаточным условием того, чтобы многообразие Мп»й> 3, было локально конформно - плоским [5]. Такие многообразия интересны тем, что является непосредственный обобщением пространственных форм, т.е. пространств постоянной кривизны. Изучении« конформно - плоских локально конформно - келеровых многообразий занимался В.Ф.Кириченко [4].

Методы исследования. Результаты работы получены систематическим использованием метода внешних форм Картана в сочетании с методом инвариантного исчисления Кошуля. т.е.' исследование проводилось на пространстве присоединенной &■ - структуры, элементами тотального расслоения которой являются специализированные реперы, называемые А - реперами.

Цели диссертационного исследования.

1. Опираясь на строение и свойства спектра тензора Вейля конформной кривизны - многообразия, выделить основные инварианты У& - многообразия и с их помощью выделить конформно-инвариантные классы У& - многообразий.

2. На пространстве присоединенной &■ - структуры получить аналитические критерии, позволяющие определить принадлежность VI» - многообразия каждому из выделенных конформно - инвариантных классов.

3. Изучить геометрические свойства - многообразий, принадлежащих конформно - инвариантным классам и обладающих такими дополнительными свойствами, как компактность и паракелеро-вость.

4. Получить на пространстве присоединенной - структуры условие постоянства типа по Ванхекке для У&- - многообразия.

5. Изучить конформно - инвариантные свойства - многооб-

разий, имеющих постоянный по Ванхекке тип. 6» Изучить конформно - инвариантные свойства _ многооб-

разий, ииевдих постоянную голоморфную секционную кривизну. 7,- Выяснить условия, при которых конформно - плоское многообразие постоянной голоморфной секционной кривизны является пространственной формой, и'ег пространством постоянной кривизны.

Новизна результатов. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Выделим вакнейшие из них:

1. Ввделены четыре основных конформных инварианта ~Ч& - многообразий, под которгаи понимаются элементы спектра тензора Вейля конфоршгой кривизны многообразия. С их помощью выделены конформно - инвариантные классы "Уб- - многообразий?-

2. На пространстве присоединенной - структуры получены аналитические критерии принаддеаности - многообразия каздс^у кз выделенных конфораяо - инвариантных классов.

3. Изучен ряд геометрических свойств У& - многообразий, прк-кадленгздх. конформно - инвариантным классам п обладагяшх такими. дополнительными свойствами, как компактность и паракедеро-вость.

4. На пространстве присоединенной (3- - структуры получено условие постоянства типа по Ванхекке для У6 - многообразия. Изучены некоторые геометрические свойства псевдоконциркуляр-ннх У& - многообразий постоянного по Ванхекке типа.

5. Изучены некоторые геометрические свойства - многообразий. принадлежащих конформно - инвариантным классам и имеющих постоянный по Ванхекке тип.

6. Изучены некоторые геометрические свойства - многообразий. принадлежащих конформно - инвариантным классам и имеющих постоянную голоморфную секционную кривизну.

7. Получен критерий, при выполнении которого конформно - плоское У& - многообразие постоянной голоморфной секционной кривизны является пространственной формой.3

Теоретическое и практическое? значение. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения данного класса многообразий в соответствующих разделах дифференциальной геометрии и матема-

тической физики» а также при чтении специальных курсов в высших учебных заведениях, где ведутся научные исследования по близким направлениям.

Атюбапия работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на заседаниях Семинара кафедры геометрии 8.11117 имени В.И.Ленина и на Ш Международной конференции женщин-математиков в Воронеже в иае 1995 года.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в трех публикациях. Их список приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Она излажена на 103 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 57 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИЙ.

Во введении излагается предыстория вопроса, обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи диссертационной работы, излагаются основные результаты, полученные в ней.

Глава 1. Предварительные сведения.

Эта глава полностью носит реферативный характер. В параграфе 1 даны определения почти комплексной и почти эрмитовой структур, описан способ построения А - репера, введены понятия структурных и виртуальных тензоров многообразия. Приведена первая группа структурных уравнений почти эрмитова многообразия на пространстве присоединенной & - структуры, оговорены условия и обозначения, используемые при изложении материала.

В параграфе 2 речь идет о классификации Грея - Хервеллы почти эрмитовых структур, приведены примеры тождеств, характеризующих некоторые классы почти эрмитовых многообразий. Здесь же приведена вторая группа структурных уравнений - мно-

гообразий в А - репере.

В параграфе 3 содержатся сведения, касающиеся некоторых классических тензоров - многообразия ( тензоров Ри-

мана - Кр-кстоффеля к Риччн и др. ) , а также формулы, необходимые для дальнейших вычислений.

Глава 2. Геометрия конформно - инвариантных классов многообразий Вайсмана - Грея.

В параграфе 1 приведено определение тензора Вейля конформной кривизны риманова многообразия и ковариантного тензора Вейля, указаны их свойства. Показано, что спектр тензора Вейля для VG - многообразия полностью характеризуется четырьмя

элементами своего спектра, а именно, тензорами V/ ,

[О] [8]

^ и ^ , получившими название основных конформных инвариантов YQ - многообразия. Их обращение в нуль позволило выделить четыре конформно - инвариантных класса У& - многообразий, обозначенных С0 , С^ , С2 и С3 соответственно.

В параграфе 2 на пространстве расслоения А - реперов получены аналитические критерии принадлежности произвольного

- многообразия каждому из выделенных конформно - инвариантных классов.

Теорема 2.1. - многообразие принадлежит классу С0 тогда и только тогда, когда

Теорема 2.2. - многообразие принадлежит классу С^ тогда и только тогда, когда

Лево = ЫсЫ*

Теорема 2.3. - многообразие принадлежит классу С2 тогда и только тогда, когда

,, п Га.

где

о 4 ¡1 , V а _ ——-г

ре _ + к-I ¡-е -4.) (Д ¿>с-

Теорема 2.4. - многообразие принадлежит классу С3 тогда и только тогда, когда его тензор голоморфной секционной кривизны имеет строение:

4 <г А-

Здесь же показано, что Сд С .

В параграфе 3 рассмотрены - многообразия, принадле-

жащие конформно - инвариантным классам и обладающие такими дополнительными свойствами, как компактность и паракелеровость. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.5. Паракелерово V*? _ многообразие принадлежит классам С^^ и С-|.

Теорема 2,6. Паракелерово - многообразие принад-

лежит классу С2 тогда и только тогда, когда оно Риччи-плоско.

Теорема 2.7, Компактное

- многообразие неположительной скалярной кривизны является многообразием класса С2 тогда и только тогда, когда оно является скаяярно - плоским келеровым многообразием.

Теорема 2,8. Компактное - многообразие неположи-

.тельной скалярной кривизны является многообразием класса Сд в том и только в том случае, когда оно локально голоморфно-изометрично пространству С снабженному канонической келе-ровой структурой.

Глава 3. У6- - многообразия постоянного типа.

В этой главе рассмотрены - многообразия, имеющие постоянный по Ванхекке ( V - постоянный ) тип,

В параграфе 1 вводится понятие постоянства типа по Ванхекке дая почти эрмитова многообразия. Показывается, что на пространстве присоединенной (9- - структуры условие V -постоянства типа - многообразия имеет вид:

Далее, рассматривается еще один подход к определению постоянства типа почти эрмитова многообразия, предложенный в [3] В.Ф.Кириченко, а именно, с помощью присоединенной £ - алгебры. Для псевдоконвдркулярных Уь - многообразий установлена связь между постоянством типа по Ванхекке и постоянством типа, определенным с помощью присоединенной - алгебры.

Теорема 3.1, Поевдоконциркулярное

46

- многообразие, имеющее постоянный по Ванхекке тип, является многообразием постоянного типа.

На основании этой теоремы и результатов, полученных в [3] В.Ф.Кириченко, доказана теорема:

Теорема 3.2. Если - псевдоконцнркулярное У£ - мно-

гообразие V - постоянного типа, то присоединенная О- -алгебра Уз- либо трехмерна, и тогда многообразие М2"1 шестимерно. либо Уз- - абелева, тогда М2™ принадлежит классу W¿< , в размерности 2м> 4 совпадаицему с классом локально конформно - келеровых многообразий.

Исследование условия "V - постоянства типа - мно-

гообразия на пространстве присоединенной (3- - структуры приводит к следующему утверждении:

Теорема 3.4. У£ - многообразие постоянного по Ванхекхе типа является многообразием класса £д, .

В параграфе 2 рассматриваются конформно - инвариантные свойства У& - многообразий, имеющих постоянный по Ван-хекке тип. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 3.5. Уб - многообразие постоянного по Ван-хекке типа является многообразием классов Сд и С^ .

Теорема 3.6. У& - многообразие постоянного по Ван-хекке типа является многообразие!.! класса тогда и только тогда, когда оно является многообразием Эйнштейна. В этом случае он| является многообразием глобально постоянного типа С = ~7 , где £ - константа Эйнштейна, И- = - 2 ги. > 4 - размерность многообразия.

Глава 4. Конформно - инвариантные свойства - мно-

гообразий постоянной

- кривизны.

В этой главе рассмотрены конформно - инвариантные свойства многообразий Вайсмана - Грея, имеющих постоянную голоморфную секционную кривизну (Н2 - кривизну).

Теорема 4.1. У£ - многообразие класса Сд является многообразием точечно - постоянной Н2 - кривизны тогда и только тогда, когда выполняется одно из двух эквивалентных условий:

1. ~пГ (-ТУСТ2-->

, (Ч Ц й Г Е>__\ г-А.

2. = Ь ё - л С о*с) ■

Теорема 4.2.

- многообразие точечно постоянной Н8 - кривизны, принадлежащее классу Сд , является многообразием Эйнштейна тогда и только тогда, когда оно имеет 7 -

- то -

инвариантный тензор Риччи.

Следствие 4.2. V«? - многообразие класса С^д = С1 П Сд

точечно постоянной - кривизны является многообразием

Эйнштейна тогда и только тогда, когда оно имеет 3 - инвариантный тензор Римана - Крнстоффеля.

Глава 5. Конформно - плоские "У'б - многообразия.

В этой главе рассматриваются конформно - плоские Y6 многообразия, т.е. многообразия, у которых тензор Вейля конформной кривизны многообразия тождественно равен нулю. Предполагая в качестве дополнительного условия постоянство голоморфной секционной кривизны такого многообразия, получен критерий, при выполнении которого конформно - плоское - многообра-

зие является пространственной формой, т.е. пространством постоянной кривизны.

Теорема 5.1. Конформно - плоское многообразие Вайсмана -Грея точечно постоянной голоморфной секционной кривизны является пространственной формой тогда и только тогда, когда его тензор Риччи X - инвариантен.

Следствие 5.1. Конформно - плоское многообразие Вайсмана-Грея точечно постоянной Н5 - кривизны является пространственной формой тогда и только тогда, когда оно является -многообразием.

Теорема 5.2. Обобщенная комплексная пространственная форма Вайсмана - Грея, т.е.' - многообразие постоянного по Ванхекке типа точечно постоянной Нб - кривизны, является пространственной формой тогда и только тогда, когда она является конформно - плоским - многообразием с 7 - инвариантным тензором Риччи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кириченко В.Ф. К - пространства постоянного типа / Сибир. матем. журнал. 1976, т. 1?. £ 2, с. 282 - 289.

2. Кириченко В.Ф. Дифференциальная геометрия К - пространств/ Итоги науки и техники. Проблемы геометрии, 1977, т. 8,

с. 139 - 161.

3. Кириченко В.Ф. Почти эрмитовы многообразия постоянного типа / ДАН СССР, 1981, т. 259, Я 6, с. 1293 - 1297.

4. Кириченко В.Ф. Конформно - плоские локально конформно -келеровы многообразия / Матем. заметки, 1992. т. 51, вып. 5, с. 57 - 66.

5. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ / Ы., Науна, 1964, 664 с.

6. Щипкова Н.Н. Дифференциальная геометрия многообразий Вайсмана - Грея / Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук, М., МШУ, 1994.

7* Сгхлм Л. аЛггио^Ь

йг/ ¿к-гее. гггг^с^ еЛолл р^^и^]

ТокоЬи /и&и. X, 19ЬЗ, V-Н, * р.

8. (зЪШг Л, №ЫХАЛу /¿а к ¿(^г- ¡ТЬСЫЫ ¡-1>£с6л> /

7. 0?//.' О-г^и., то, V. 1/г р. иъ-101

9. Сьа-у А. ТЬе -уЬ^и^гс-^гл. г/

/ JUa.fi, - Л/ьп- у //^ ■

р.

ю. Л-, Т/и. х/}<хЛшг.

Ымш^ г>/ аЛгги^: п-ьсиг.< -

Лтиг. МаЛк. Рилг сиьс! Лррв, , 4980

V, т,- "Ч, р. Ж - $8.

11. \/сйлтъ<х-п Т.

оЛггиМ: ¡¿¿¡кЛел »ьш-ы^Ш ! 1 7. Ми-ёЬ 4№, у. И, р. '

12. Уои 'УгиМуп Т. Л с-/

¿.се-сьМи ¡¿.¿п&л. пг&гШ / Pt.cc

Агуьи. */ -¡92$, у. р.

J-vlrti / Тъсми . Jhru* . НеШ,. w, , JWO^.äFQ, p. ysß-i/yz

14. I/cuiktukt Jltn&st H&LM^-tiiLn,

пиы^-H^toU witk .7- Lh-uct^ioubt tUe-

Публикацдк автора по теме диссертации:

1. Ежова H.A. Геометрия многообразий Вайсмана - Грея V -постоянного типа / Ш Международная конференция женщин -математиков, Воронеж, 1995, с. 79 / тезисы доклада /.

2. Ежова H.A. О геометрии конформно - инвариантных классов многообразий Вайсмана - Грея / Деп. ВИНйШ РАН. й 2082 -В 95, - 29 с. , 1995, № 9. б/о23.

3. Ежова H.A. Конформно — плоские многообразия Вайсмана -Грея / Деп. ШШТИ РАН, Je 2083 - В 95, - 19 е.. 1095, * 9, б/о21.

trULSUUCUI ЫЛ X ггсЫ-и~>и

■itsyi^n. JUctih. ilm'ir. £ JH^Ute^ ,

TcUn», /W, к 34f A ¿/¿Г- m.

■ )