Дифференциальная геометрия многообразия Вайсмана-Грея тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

г Б ОД

МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. ЛЕНИНА

Диссертационный Сонет К 053.01.02

На правах рукописи

ЩППКОВА Пипа Николаевна

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЙ ВАЙСМАИА - ГРЕЯ

Специальность 01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой стспенп кандидата физико-математических наук

Москва 1994

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете им. В. Г]. Ленина.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор КИРИЧЕНКО В. Ф.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ЕВТУШГЕК Л. Е.,

кандидат фнзнко-натематическпх наук, доцент БУРЛАКОВ М. П.

Ведущая организация — Тверской государственный университет.

Защита состоится ......1994 г. в 16 часов в

аудитории 301 на заседании диссертационного Совета К 053.01.02 по присуждению ученой степени .кандидата фши-ко-математнческих шаук в Московском педагогическом государственном университете им. В. И. Ленина по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная, 14, МИГУ им. В. И. Ленина.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ: 119435, Москва, Малая Пироговская, 1, МПГУ им. В. И. Ленина.

о^- HJDJt Т"

Автореферат разослан ......Lα?^t....l994 г.

Ученый секреш^ЛГд^ссертацношюго Совета,

доцент 'КАРАСЕВ Г. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш» Почти эрмитовн многообразия традиционно являются предметом интенсивного изучения в дифференциальной геометрии. Это во-многом обуславливается тем, что почти эрмитовн структуры представляют собой один из наиболее содержательных примеров дифференциально-геометрических структуру исследования которых имеют многочисленные приложения в математике и теоретической физике,

В Т980 г. вышла работа А.Грея и Хервеллы. оказавшая большое влияние на дальнейшее изучение почти эрмитовых многообразий [г] . Авторам удалось получить классификацию почти эрмитовых структур по дифференциально-геометрическим инвариантам первого порядка. Изучив представление унитарной группы ), где т- - комплексная размерность многообразия, на пространстве \У тензоров типа С 3,0)» они установили, что действие и (тД вполне приводимо» причем ЛЛ7 распадается в прямую сушу четырех неприводимых подпространств: "V/ - © ©

Следовательно» данное действие группы и ( гн.) определяет 16 инвариантных подпространств пространства ЛК7 . Каждое из этих подпространств определяет естественным образом подкласс почти эрмитовых структур ( АН - структур ). А.Грей и Хервелла сформулировали условия Принадлежности произвольной почти эрмитовой'структуры конкретному классу АН - структур на языке инвариантного исчисления Кошу ля. При этом в числе 16 определенных ими подклассов оказались наряду с широко известными и изучаемыми многообразиями, многообразия, ранее в научной литературе. не встречавшиеся и, соответственно» не исследовавшиеся» Изучение таких классов почти эрмитовых структур» безусловно» представляет научный интерес, а с учетом богатейших приложений свойств почти эрмитовых многообразий» становится весьма актуальным,

В частности, одним из таких "новых* классов, является класс» обозначенный А.Греем и Хервеллой как ЩфЩ , с лужа-непосредственным обобщением, с одной стороны, класса приближенно келеровых многообразий, существенный вклад в изучение которого внес А.Грей [2,3] , и о другой стороны, класса

Щ , в размерности многообразия большей 4-х совпадающего с классом локально конформно келеровых многообразий, теория которого была существенно продвинута И.Вайсманом £4,5,6] , Поэтому многообразия класса \-Vj_ <з> , являющегося основным объектом рассмотрения настоящей диссертации бшш названы нами многообразиями Вайсмана-Грея ( сокращенно У£- - многообразиями ),

М^тодн исследования.Результаты работы получены систематическим использованием метода внешних форм Картана, т.е. исследование проводилось на пространстве присоединенной 0- -структуры* элементами тотального расслоения которой являются А - реперы, по мере надобности использовался метод инвариантного исчисления Кошуля.

Цели диссертационного исследования»

1. Получить структурные уравнения VI?- - многообразий, изучить строение спектра тензора Римана-Кристоффеля и тензора Риччи

в терминах структурных тензоров на пространстве присоединенной & - структуры.

2. Получить в терминах структурных тензоров тождества, характеризующие У& - многообразия специальных типов:паракелёро-вы, типа , ЯК - многообразия, изучить свойства таких многообразий.

3. Изучить многообразия Вайсмана-Грея, удовлетворяющие аксио- у не голоморфных плоскостей.

4» Обобщить понятие - распределения, введенного Икутой для локально конформно келеровых многообразий на случай -многообразий.Изучить свойства такого распределения. 5. Найти в терминах структурных тензоров критерий, при выполнении которого многообразие Вайсмана-Грея является либо приближенно келеровым, либо локально конформно келеровым многообразием.

Новизна результатов. Основные результаты, полученные в диссертации являются новыми. Выделим важнейшие из них: 1» Получены структурные уравнения многообразия Вайсмана-Грея; вычислены компоненты тензора Римана-Кристоффеля; тензора Риччи; вычислена скалярная кривизна многообразия на пространстве расслоения А - реперов в терминах структурных тензоров. 2. Установлены тождества, характеризующие принадлежность У&-

многообразия специальным клаосам кривизны, т.е.. условие па-ракелеровости, принадлежности классам , ПК , Доказано, что компактное - многообразие является келеровнм. 3. Изучены "^/б- - многообразия постоянной кривизны, в частности показано, что компактное - многообразие постоянной неположительной кривизны локально голоморфно изометрично

4»Рассмотренн условия, при выполнении которых Уб - многообразие удовлетворяет аксиоме голоморфных плоскостей.Полу-чена классификация таких многообразий. 5. Получен критерий, при выполнении которого многообразие. -Вайсмава-Грея является либо; приближенно келеровнм, либо локально конформно келеровнм многообразием.

Теоретическое и практическое значение. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения данного класса многообразий в соответствующих разделах дифференциальной геометрии и математической физики, а. также'при чтении спецкурсов в высших учебных заведениях, где проводятся исследования по .сходной тематике. . ..

Аггообапия работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Межвузовской конференции "Некоммутативные структуры в математической физике" в 1993 г.,г.Тольятти и. на-Международном конгрессе женщин-математиков в 1994 г.,г.Цущино. ..........

Публикации..Основное.содержание диссертации отражено•в пяти публикациях. .Их .список, приведен в конце автореферата.

... Структура.и.объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Она изложена на 1-18 страницах машинописного текста. Список литературы еодер-лйт 72 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.

_______ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ: ДИССЕРТАЦИИ

Во введении- излагается, яредастория вопроса, обосновывается актуальность темы, формулируются цели, и задачи диссертационной работы, излагаются основные результаты, полученные в: работе.

гтоа

В параграфе 1. даются определения почти комплексной и

почти эрмитовой структуры« Описывается способ построения специализированного А - репера, приводятся основные тождества, связывающие структурные и виртуальные тензоры многообразия, с оператором структуры» оговариваются основные обозначения, употребляемые при дальнейшем изложении материала.

Во втором параграфе условия,-согласно Грею-Хервелле определяющие многообразия Вайсмана-Грея,- записываются на пространстве расслоения А - реперов над ним, что позволяет доказать теорему:

Теорема 1.1. Структурные тензоры У6-- многообразия ко-сосимметричны по любой паре верхних и нижних индексов. Виртуальные тензоры многообразия выражаются через компоненты формы Ли формулами: = ^^ , = ^ ^

Выводятся обе группы структурных уравнений УО- - многообразия.

Теорема 1.2. На пространстве присоединенной - структуры структурные уравнения У6- - многообразия имеют вид: ■. первая группа: <

- из! л и>вч- 1 и*ли>'миЪьн \ и> ^ вторая группа:

ЧЬ^Ьвде - (\чы

Вычисляется ко вариантный дифференциал формы Ли - многообразия в римановой связности,

В параграфе 3 вычисляются спектр тензора Римана-Крис-тоффеля, спектр тензора Риччи,.а также скалярная кривизна многообразия в терминах структурных тензоров на пространстве присоединенной & - структуры.

Глава 3. .........

В параграфе 1. изучаются специальные классы - многообразий. В терминах-тензора римановой кривизны записываются условия принадлежности многообразия различным классам кривизны, определенных А.Греем[7]. Затем устанавливаются условия принадлежности VQ- - многообразия этим классам в терминах структурных тензоров.

Теорема 2.1. Чё- - многообразие является многообразием класса (ЙХ - многообразием ) тогда и только тогда, когда на пространстве расслоения А - реперов над М*" компоненты формы Ли, ее ковариантного дифференциала и структурный тензор многообразия удовлетворяют условию:

+ ф.к.с.

Теорема 2.1. * Многообразие Вайсмана-Грея является многообразием класса ( Ж - многообразием ) тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной 6- - структуры его форма Ли в римановой связности удовлетворяет условию:

V ~ V ю сз , = 1 (из с? *) СЗг^ -ш С^ ^ ^ V >сде

Теорема 2.2. Для того, чтобы "УК- - многообразие явля-. лось многообразием класса необходимо и достаточно, чтобы компоненты формы Ли, ее ковариантного дифференциала и структурные тензоры многообразия были связаны соотношениями:

2. йсДсД = -о^Ье^М-^С.е-^'М +Ф.К.О.

Теорема 2.3. ЛГб- - многообразие является многообразием класса ( паракелеровым многообразием ) тогда и только, тогда, когда на.пространстве присоединенной б. - структуры его структурные тензоры, компоненты формы Ли и ее ковариантного дифференциала удовлетворяют уравнениям:

1. - ¿сЦ^с.

2. Ьо^еД «Цо-Ь^Ы

.... 3. -..^.8-8................. +Ф.К.С.

Здесь же- доказывается теорема, являщаяся обобщением результата ИЛЗайсмана для ЛКК многообразий на случай, - многообразий [5] ...

Теорема 2.4» Компактное-паракелерово - многообразие является келаровым. многообразием.

.. В параграфе 2, рассматриваются многообразия Вайсмана-Грея постоянной кривизны. Условия постоянства кривизны записываются на.пространстве расслоения А - реперов, затем устанавливается, что:

Теорема 2,5. Многообразие Вайсмана-Грея постоянной кривизны является многообразием типа *

Теорема 2.6. Компактное \/б-. - многообразие постоянной

и

неположительной кривизны локально голоморфно изоыетрично <Г .

Теорема 2.7» Компактное многообразие Вайсмана-Грея, постоянная кривизна которого удовлетворяет неравенству:

локально голоморфно изомегрично СП"', где (С14- - евклидово комплексное пространство.

Глава 3.

В первом параграфе исследуются Vб- - многообразия, удовлетворяющие аксиоме голоморфных плоскостей-. Доказывается:

Теорема; 3.1». Многообразие Вайомана-Грея, удовлетворяющее аксиоме голоморфных плоскостей является приближенно келеро-вым многообразием.

С учетом результата В.Ф.Кириченко Г81 , получена полная классификация таких многообразий.

Теорема 3.2. Многообразие Вайсмана-Грея, удовлетворяющее аксиоме голоморфных плоскостей локально голоморфно изо-метрично одному из многообразий.? евклидову комплексно-

му, пространству; сер* - комплексному проективному пространству; сс-»*^-. комплексному гиперболическому, пространству; &е -шестимерной сфере; Н4* - двумерному пространству,. снабженных канонической приближенно келеровой структурой»

В параграфе 2. рассматривается условие точечного постоянства Н&- кривизны. - многообразия. Вычисляется значение тензора голоморфной секционной- НЗ - кривизны.

Теорема 3.3» Многообразие Вайсмана-Грея имеет точечно постоянную НБ ~ кривизну тогда и только тогда, когда компоненты тензора А в! в А - репере имеют видц

. В параграфе 3.-изучаются Эйнштейновы многообразия Вай-смана-Грея,. т.е. исследуются свойства У6- - многообразий, точечно постоянной привизны при дополнительных условиях. В частности доказывается:

Теорема 3.4. Эйнштейново - многообразие точечно пос-

тоянной - кривизны является многообразием типа ПК .

Теорема 3„5» Пусть М" компактное "V6- - многообразие Эйнштейна точечно постоянной НЗ - кривизны С , дая которого выражение: „ „. г •., ч / ¿-¿м\

знакопостоянно. Тогда

- 3116Ц4-С"3-1!2)) .

Теорема 3.6. Эйнштейново паракелерово компактное VБ! -многообразие постоянной неположительной кривизны, для которого , является келеровым многообразием, локально голоморфно изометричншг с*1" *

Кроме того, доказывается что тензор Риччи.многообразия; Вайсмана-Грея типа ЙК является 3 -линейным. Гдаи 4«

В главе 4. рассматриваются некоторые глобальные результаты геометрии многообразий Вайсмана-Грея.

В параграфе 1. приводится определение' ® - алгебры," присоединенной к почти эрмитову многообразию, отмечается, что присоединенная О- -алгебра _ многообразия является! К -алгеброй. Вычисляется ковариантный дифференциал оператора структуры М?- многообразия, и доказывается теорема.

Теорема 4.1:. Если М ^ полное многообразие Вайсмана-Грея; для которого:

г,

то М компактно к односвязно»

В параграф© 2» ставится задача обобщить и изучить понятие - распределения, введенного Икутой дая ЛКК многообразий [9] , на случай УС - многообразий. Вводится определение.

Определение: -распределением на многообразии Вайсмана-Грея называется распределение, заданное пфаффовой системой:

\и> = 0 где ^ форма Ли

1(5*0 0 ( X ) = и; (ГХ ).

Рассматривается произвольное-инволютивное распределение ^ , содержащееся в с1 - распределении произвольного Уб - многообразия и доказывается теорема*

Теорема 4.2« Инволютивное распределение , содержа« . щееся в о1 - распределении произвольного. Л/& - многообразия, антиинвариантно тогда и только тогда, когда:

У,. и> (з ^ ~ ио т х^ = А © С X * ^

Вводится новое определение»

Определение. Инволютивное распределение ^ , содержащееся в с^ - распределении, назовем биинволютивннм, если распределение ^ ф Т Сй ) инволютивное -С использованием данного определения-доказывается теорема»

Теорема 4.3." Биинволютивное распределение . ^. , содержащееся в ^ - распределении произвольного - многообразия, антиинвариантно тогда и только тогда, когда:

1.

2.

В частности, если форма Ли из ковариантно постоянна.в римано-вой связности, получаем следующий аналог теоремы Икуты на случай У&- многообразий.

Теорема 4.4. Баинволютивное распределение , содержащееся в сЬ — распределении многообразия Вайсмана-Грея при условии -ковариантного постоянства формы Ли из. в.римановой связности» антиинвариантно тогда и только тогда, когда:

где * - - бинарная операция в присоединенной - алгебре

многообразия £.101 . .........

. - В параграфе 3, устанавливается-критерий, при выполнении которого -УС - многообразие является либо приближенно келеро-внм, либо локально конформно кеяеровнм многообразием. . . Теорема 4.5. Многообразие Вайсмана-Грея (<=Цгл>4 )явдя-ется .либо...приближенно келеровнм, либо локально .'конформно кс-леровым многообразием тогда и только тогда, когда:

Ь = 0

Утверждение теоремы записывается не только в терминах структурных тензоров, но и в инвариантной форме. - .

Теорема 4.6. Для того, чтобы многообразие Вайсмана-Грея

являлось либо приближенно келеровнм многообразием, либо мно® гообразием класса "W^ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество:

\СЬ) (.ху) t vx С^Ж^О + ^СЬ) С*,*} =

-sevens)*

ЛИТЕРАТУРА

1. Gray A.,Hervella L.M. The sixteen classes of almost Iler-mitian manifolds and their linear invariants.// Ann.Math. Pure and ApplT,1980,v.l23,N.4,p.35-58.

2. Gray A. Nearly Kahler manifolds.// J.Diff.Geom.,1970,v.4, p.283-309.

3. Gray A. Some examples of almost liermitian manifolds.// Trans.Amer.Math.Soc.,141(1969),p.465-504.

4. Vaisman I. On locally and globally cohformal Kahler manifolds .// Trans.Amer.Math.Soс.,1980,v.262,N.2,p.533-541.

5. Vaisman I. A theorem of compact locally conformal Kähler manifolds.// Pfoc.Amer.Math.Soc.,1970,v.75,N.2,p.279-283.

6. Vaisman I. A geometric condition for an locally conformal Kähler manifolds to be Kahler.// Georn.dedic.,1981, v.10,N.1-4,p.129-134.

7. Gray A. Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds.// Tohoku.Math.,J.,1976,v.28,p.601-612.

8. Кириченко В.Ф; Дифференциальная геометрия К - пространств.// Итоги науки и техники. Проблемы геометрии, 1977, т.8, С.13&-161.

9. Ikuta К. сА. -submanifolds on a locally conformal Kähler manifolds.// Mat.Soc.Rep.Ochanomizu Univ.,1980,v.31,N.l, p.42-54.

10. Кириченко В.Ф'. Квазиоднородные многообразия и обобщенные АН - структуры. // Известия академии наук, т.47, № б, 1983, с.1028-1223.

Публикации автора по теме диссертации;

1. Щипкова Н.Н..Геометрия, многообразий Грея-Вайсмана // .. Труда-межвузовской конференции "Некоммутативные структуры в математической физике", г.Тольятти» 1993» с.27~

- 32.

2» Кириченко В.Ф. »Щишсозва H.H..О геометрии многообразий Грея-Вайсмана // Успехи мат. наук, 1994, 4, с.155-156.

3. Щипкова Н.Н» . Структурные уравнения и тождества кривизны -W- - многообразий // Деп. ШНИТИ РАН» 1659, -В.94.„

- 28с. .

4. Щипкова H.H. Многообразия Вайсмана-Грея постоянной кривизны // Деп. ВИНИТИ РАН» 1660, ~В.94.» -Юс.. -

5. Щипкова H.H. Аксиомы голоморфных плоскостей многообразий Вайсмана-Грея // Международный конгресс женщшмяате-матиков, Москва» 1994, с.43 ( Тезисы доклада ).