Геометрия многообразий Ниренберга тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Некоторые классические структуры на многообразиях

1.1. Почти комплексные и почти эрмитовы структуры на многообразиях.

1.2. Структура почти произведения на многообразиях.

1.3. Структуры Яно на многообразиях.

Глава 2. Тетра-структуры на многообразиях

2.1. Тетра-структуры и их присоединенная G-структура.

2.2. Первая группа структурных уравнений тетра-структуры.

2.3. Интегрируемость тетра-структуры.

Глава 3. Структуры Ниренберга на многообразиях

3.1. Связь между структурами Ниренберга и тетра-структурами.

3.2. Структурные уравнения iV-структуры.

3.3. Фундаментальное распределение ^-структуры.

3.4. Связь между СЛ-структурами и ^-структурами.

Глава 4. Структуры Ниренберга на пространстве главного расслоения над многообразием Яно

4.1. Главные расслоения

4.2. Тетра-структуры на пространстве главного расслоения над многообразием Яно.

4.3. Структуры Ниренберга на пространстве главного расслоения над многообразием Яно.

Инволютивные распределения (как самостоятельный объект или в составе дифференциально-геометрических структур) традиционно являются предметом изучения в дифференциальной геометрии. Классическим результатом в этом направлении является полученная в начале 50-х годов теорема Фробениуса [16] о том, что распределение на гладком многообразии инволютивно тогда и только тогда, когда оно вполне интегрируемо.

В 1958 г. JI. Ниренберг доказал "комплексную теорему Фробениуса" [43] и показал ее применение к уравнениям с частичными производными.

В 1962 г. М. Брейер и Д. Вилленвебер, используя локальные 1-параметрические группы преобразований, установили существование и единственность интегральных многообразий инволютивного распределения [22].

На этом изучение инволютивных распределений как самостоятельных объектов практически завершилось и внимание геометров переключилось на различные дифференциально-геометрические структуры, включающие в свой состав интересующие нас распределения. Отметим некоторые из таких структур.

В 1963 г. японским математиком К. Яно было введено понятие /структур на многообразии, т.е. оператора /, удовлетворяющего тождеству /3 + / = 0 [53]. После этого начался бурный поток исследований геометрии /-многообразий, а также их обобщений. В частности, были получены условия частичной интегрируемости /-структуры [54], что, как мы покажем, равносильно заданию двух инволютивных распределений на /-многообразии (Dj^ и £ = ф DJгде £ =1ш/, - собственное распределение оператора /, отвечающее собственному значению !)•

Рауль Эсхарте изучал свойства регулярных слоений [27], т.е. инволютивных распределений F на дифференцируемом многообразии М, для которых факторпространство Mf F наделено структурой дифференцируемого многообразия. В частности, он описал свойства пфаффовых форм, определяющих это распределение.

В работе Г. Георгиева [29] рассмотрены так называемые структурные распределения, под которыми понимаются инволютивные распределения Dp) заданные на дифференцируемом многообразии Уп относительно базисных форм а/(/ = 1,., п) уравнениями О* = и* — Aiu>a = 0; а = 1,., р\ г, j = р + 1,., тг, при условии dAla = 0 (modQi). Такие распределения называются абсолютными, если, кроме того, с1Ага = 0. Одним из результатов является нахождение условий, при которых абсолютное структурное распределение Dp на Vn вместе с некоторым абсолютным структурным распределением на грассмановом расслоении над Vn р-мерных векторных подпространств во всех Tx(Vn), х Е Vn определяет в Vn структуру главного расслоенного пространства с ^мерными слоями.

Особо следует отметить так называемые структуры Коши-Римана (CR-структуры), введенные в рассмотрение в конце 60-х годов и являющиеся предметом интенсивного изучения в дифференциальной геометрии до настоящего времени. Напомним [31], что СД-структурой называется такое инволют ивное распределение Н в комплексификации касательного расслоения многообразия, которое имеет тривиальное пересечение с сопряженным распределением. Многообразие с фиксированной на нем CR-структурой называется СД-многообразием.

В работе Г. Дини и К. Парини [24] рассматриваются свойства CR-структур на гладкой гиперповерхности в области U С Сп.

К. Сакамото и Е. Такемура получили инварианты кривизны CR-многообразий [46].

Х.-С. Люк изучал локальную геометрию невырожденных многообразий Коши-Римана [36]. В частности, он разработал аппарат дальнейшего изучения пучка Чженя-Мозера для СД-многообразий, позволяющего объединить так называемые внутренний и внешний аспекты изучения таких многообразий.

Проблемой биголоморфной эквивалентности СД-многообразий в ее дифференциально-геометрическом аспекте занимался Туманов А.Е. [17], [51].

Д. Джерисон и Д.М. Ли показали, что геометрия С ^-многообразий имеет много параллелей с конформной геометрией, и проследили основные аналоги этих геометрий [32]. В частности, они нашли OjR-аналог решения классической проблемы Ямабе в конформной геометрии.

Взаимосвязь С Л-структур и лоренцевой геометрии изучали К.Л. Дугал [25], [26] и J1.K. Кош [34]. Так, исходя из особенностей метрики лоренцевой сигнатуры на 4-х мерном гладком многообразии, Дугал связывает со светоподобным 1-мерным распределением на таком многообразии определенную С^-структуру и в дальнейшем изучает взаимосвязь свойств такой структуры с конформной геометрией многообразия Лоренца и свойств группы аффинных конформных движений такого многообразия [25]. Этот же автор устанавливает связь (XR-многообразий с теорией относительности [26]. В частности, изучает псевдоконформные отображения и распределения на световом конусе.

А. Крюгер обобщает известную теорему Фрелихера о ЛС-структурах на однородных многообразиях на случай СЯ-структур на таких многообразиях [35]. Опираясь на это обобщение, автор дает классификацию почти СЯ-структур на сферах. В этой связи упомянем работу Г. Митрика [41] о Cft-структурах на расслоении единичных сфер в касательном расслоении риманова многообразия.

CR-структуры рассматриваются также в работах Е. Такемуры [49], Ю. Си-Асхи [47], Р. Билса, П.К. Грейнера, Н.К. Стэнтона [21], М.С. Баойенди, С.Р. Бэлла, Л.П. Ротшильд [20], Д. Ченга [23]. Особо выделим статью П. Тами-Димополу [50], в которой устанавливается взаимосвязь между CR-структурами и интегрируемыми /-структурами Яно.

Говоря о структурах, содержащих инволютивные распределения, следует упомянуть работы Е. Маковей начала 80-х годов [37]-[40], в которых на дифференцируемом n-мерном многообразии изучается структура, определяемая парой распределений А1, А2. В случае инволютивности распределений А1, А2, А1 ПА2, автор говорит об интегрируемой Да-структуре и изучает ее с точки зрения общей теории (7-структур.

В 1981 г. И. Вайсман в работе [52] предлагает рассмотреть инволютивное комплексное распределение S комплекеификации касательного расслоения гладкого многообразия М, такое, что что 5 + 5 также инволютивное распределение. Поскольку для такого распределения верна теорема Ниренберга [43], то введенную структуру он называет структурой Ниренберга (TV-структурой). И. Вайсман показывает, что существенная часть теории расслоений может быть преобразована непосредственно к АГ-структуре. Кроме того, он устанавливает связь структур Ниренберга с параллельными полями комплексной плоскости на римановых многообразиях.

Очевидно, частично интегрируемая /-структура Яно является N-структурой. Кроме того, если потребовать, чтобы распределение Н + Н CR-структуры было инволютивным, то мы также получим структуру Ниренберга.

Для исследования iV-структур мы вводим в рассмотрение поле тензора F типа (1,1), такого, что F4 = id (называя его тетра-структурой). Впервые такая структура упоминается в работе Б. Синха и С. Шарма [48]. Они показывают, что наличие этой структуры на гладком многообразии равносильно распадению его касательного пучка в прямую сумму четырех распределений, два из которых вещественны, а два остальных - комплексно сопряженные. Находят несколько условий интегрируемости этих структур. Например, доказано, что интегрируемость структуры F равносильна справедливости тождества Nb>(X, Y) + Nf(F2X, F2Y) = Ny2(FX, FY), где Np< и N&2 - тензоры Нейенхейса операторов F и F2. Доказано, что многообразие, несущее тетра-структуру F, допускает аффинную связность, относительно которой тензор F ковариантно постоянен.

Продолжили изучение тетра-структур Е. Рейес, А. Монтесинос, П. Гади в работе [44], рассматривая метрическую аффинерную структуру {F,g}, F4 = 1, g(FX, Y) + д(Х, FY) = 0. Они находят все линейные связности на многообразии, для которых Vg = 0 и VF = 0. В работе [45] ими же изучаются связности, индуцированные связностью Леви-Чивита такой, что g(FX, FY) = д{Х, У) на векторных подрасслоениях, определяемых ортогональным разложением Т(М) = L\ ф lq ® -^з с помощью проекторов h = i(l + F) О (1 + F2), l2 = i(l - F) о (1 + F2), /3 = i(l - F2).

П. Гади и А. Монтесинос в [28] рассматривают n-мерное риманово многообразие (М,д) и тетра-структуру F, имеющую характеристический полином (х — 1)Г10 4- 1)Г2(ж2 4- l)s, где п + г2 + 25 = п. При этом считается, что g(FX, Y) + д(Х, FY) = 0 и VF = 0. Понимая под F-секционной кривизной в направлении X секционную кривизну площадки X Л FX, они доказывают аналог теоремы Шура, для пространств с постоянной F-секционной кривизной и строят модели таких пространств.

Из приведенного краткого обзора видна актуальность диссертационного исследования.

Цель диссертационной работы состоит в изучении некоторых аспектов геометрии многообразий Ниренберга.

Основными задачами нашего исследования являются следующие:

1. Выяснить взаимосвязь между тетра-структурами и структурами Ниренберга на многообразиях.

2. Получить структурные уравнения многообразий Ниренберга.

3. Выяснить, какие типы структур индуцируются на интегральных многообразиях инволютивного фундаментального распределения многообразия Ниренберга.

4. Изучить взаимосвязь между СЛ-структурами и ^-структурами.

5. Исследовать вопрос о существовании структур Ниренберга на пространстве главного расслоения над многообразием Яно.

Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Выделим некоторые из них:

1. Установлена взаимосвязь между тетра-структурами и N-структурами на многообразиях.

2. Получена первая группа структурных уравнений многообразия Ниренберга.

3. Установлено, что на интегральных многообразиях инволютивного фундаментального распределения метрического многообразия Ниренберга индуцируется эрмитова структура. Получены критерии принадлежности этой структуры тому или иному классу эрмитовых структур.

4. Найдена взаимосвязь между СД-структурами и iV-структурами на многообразии.

5. Получены критерии существования TV-структур на пространстве главного расслоения над многообразием Яно.

Результаты данной работы получены систематическим использованием метода присоединенных G-структур в сочетании с методом инвариантного исчисления Кошуля.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения многообразий Ниренберга и чтения специальных курсов в высших учебных заведениях.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре по дифференциальной геометрии МПГУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.Ф. Кириченко.

Основное содержание диссертации отражено в 4 публикациях [55]

58].

Диссертация состоит из введения, четырех глав, включающих 13 параграфов и списка литературы. Она изложена на 93 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 58 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

1. Банару М.В. Новая характеризация классов Л1.-структур Грея-Хервеллы. // Смоленский пединститут. - Деп. в ВИНИТИ 25.11.1992 №3334-В92-35с.

2. Грицанс А.С. К геометрии киллиншвых /-многообразий. //МПГИ им. В.И. Ленина. М., 1990.-39с. - Деп. в ВИНИТИ 08.06.1990 ДО3274-В90.

3. Евтушик JI. Е., Лумиете Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. //Итоги науки и техн. Проблемы геометрии. ВИНИТИ АН СССР, т.9, М.: 1979, 248 с.

4. Кириченко В.Ф. Дифференциальная геометрия К-пространств / /Итоги науки и техн. Проблемы геометрии. ВИНИТИ АН СССР, т.8. М. - 1977. - с.139-162.

5. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры: Учеб. пособие. Ч. 1. Тверь: Твер. гос. ун-т, 2001. 142с.

6. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры: Учеб. пособие. Ч. 2. Тверь: Твер. гос. ун-т, 2001. 110с.

7. Кириченко В.Ф. Квазиоднородные многообразия и обобщенные почти эрмитовы структуры. //Изв. АН СССР. 1983.-Т.47, т. - с. 1208-1223.

8. Кириченко В.Ф. Локальная структура строго приближенно келеровых /-многообразий. // Дифференциальная геометрия. Саратов. - 1981. - с. 43-48.

9. Кириченко В.Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий. // Итоги науки и техн. Проблемы геометрии. ВИНИТИ АН СССР. т. 18, 1986, с. 25-71.

10. Кириченко В.Ф. Новые результаты теории ^-пространств. // Дисс. . к.ф.-м.н. М.: МГУ, 1975

11. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, т. 1: Пер. с англ. М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит., 1981. - 344с.

12. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии: Пер. с англ. М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит., 1986. - 224с.

13. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, т.2: Пер. с англ. М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит., 1981. - 416с.

14. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы шлономии. М.: Гос. изд-во ин. лит., 1960. - 216с.

15. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973. - 520с.

16. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1970.- 412с.

17. Туманов А.Е. Геометрия СЯ-многообразий. // Итоги науки и техники. ВИНИТИ, Соврем, пробл. мат.: Фундам. направления. 1986.- т.9. - с.225-246.

18. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли: Пер. с англ.- М.:Мйр, 1987.-304С.

19. Яно К., Кон М. CjR-подмногообразия в келеровом и сасакиевом многообразиях: Пер. с англ. М.: Наука, Гл. ред. физ. - мат. лит., 1990. -192с.

20. Baouendy M.S., Bell S.R., Rothchild L.P. Mappings of three dimensionals СЯ-manifolds and their holomorfic extension. // Duke Math. J. - 1988. -56, №. - p.503-530.

21. Cheng J.-H. Chain preserving diffeomorphisme and CR equivalence. // Proc. Amer. Math. Soc. - 1988. - 103, №1. - p.75-80.

22. Dini G., Parrini C. Extending CR-distributions. // Atti Accad. naz. Lincei. Rond. CI. Sci. fis., mat. e natur. 1980. - 68, №1. - p.42-43.

23. Duggal K.L. CR-structures and Lorentzian geometry. // Acta appl. math. -1986. 7, №. - p.211-223.

24. Duggal K.L. Lorentzian geometry of CR submanifolds. // Acta appl. math.- 1989. 17, №. - p.171-193.

25. Echarte Reula F.J. Propiedades de las foliaciones regulars. // Rev. mat. hisp.- amer. 1968. - v.28, №3-4. - p.80-84.

26. Gadea P.M., Montesinos A. Spaces of constant para-holomorfic sectional curvature. // Pacif. J. Math. 1989. - 136, №1. - p.85-101.

27. Gheorgiev Gh. Sur les distribution structurelles d'une C-structure. // Ann. stiint. Univ. Iasi. 1968. - sec.Ia, 14, №1. - p,81-97.

28. Gray A., Hervella L.M. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants. // Ann. Math, pure ed appl. v. 123 - 1980 -p.35-58.

29. Greenfield S. Cauchy-Riemann equations in several variables. // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. 1968. - v.22. - p.275-314.

30. Jerison D., Lee J.M. The Yamabe problem on CR-manifolds. // J. Differ Geom. 1987. - 25, №2. - p. 167-197.

31. Kirichenko V.F. Generalized quasi-Kahlerian manifolds and axioms of CR-submanifolds in generalized Hermitian geometry, 2, Geomctral Dedieata 52, 1994,p.53-85.

32. Koch L.K. Chains on С/2-manifolds and Lorentz geometry. // Trans. Amer. Math. Soc. 1988. - 307, №. - p.827-841.

33. Kruger A. Homogeneous Cauchy-Riemann structures. // Ann. Sc. norm, super. Pisa. CI. sci. 1991. - 18, №2. - p. 193-212.

34. Luk H.-S. Lokal geometry of nondegenerate Cauchy-Riemann manifolds. // Proc. Beijing. Symp. Differ. Geom. and Differ. Equat., Aug.l8-Sept:21, 1980, Vol.3. Beijing; New York. - 1982. - p.1319-1332.

35. Macovei E. Applications of the differential form's method in the geometry of real A^-structures on a manifold. // An. Sti. Univ. Iasi. Mat. 1981. - sec.la, 27, supl. - p.43-50.

36. Macovei E. Д"-structures differentiables sur une variete. // An. Sti. Univ. Iasi. Mat. 1982. - 28, Ш, supl. - p.69-76.

37. Macovei E. Aa-structure differentiables sur une variete. // Lucr. coloc. nat. geom. si topol., Busteni, 27-30 iun., 1981. Bucuresti. - 1983. - p. 194-206.

38. Macovei E. Geometric, differentielle d'une Aa-structure sur une variete differentielle paracompacte. // Mem. sec. sti. Acad. RSR. 1982(1985). -Ser.4,5, №2. - p.113-126.

39. Mitric G. СR-structures on the unit sphere bundle in the tangent bundle of a Riemannian manifold. // Sernin. mec. / Univ. Timisoara. Fac. mat. 1991. - №32. - p.1-8.

40. Newlander A., Nirenberg L. Complex analytic coordinates in almost complex manifolds, j I Ann. of Math. 1957. - V.65. - p.391-404.

41. Nirenberg L. A complex Frobenius theorem, j j Seminar on Analytic Function, Inst, for Advanced Studies, Princeton. I (1957). - p.172-189.

42. Reyes E., Montesinos A., Gadea P.M. Connections making parallel a metric (F4 = 1) structure. // An. Sti. Univ. Iasi. Mat. - 1982. - 28, №2, supl. -p.49-54.

43. Reyes E., Montesinos A., Gadea P.M. Connections partially adapted to a metric (F4 = 1) structure. // Colloq. math. - 1987(1988). - 54, №2. - p.215-229.

44. Sakamoto K., Takemura Y. Curvature invariants of СЯ-manifolds. // Kodai Math. J. 1981. - 4, №: - p.251-265.

45. Se-ashi Y. A characterization of the Hermitian quadrics. // J. Math. Soc. Jap. 1983. - 35, №. - p.409-429.

46. Sinha B.B., Sharma R. A quartic structure F4 = 1. // Math. Stud. -1980(1984). 48, №2-4. - p.153-160.

47. Takemura Y. On the invariant submanifold of a C-R-manifold. // Kodai Math. J. 1982. - 5, №3. - p.416-425.

48. Tamia-Dimopoulou P. A relationship between CR-structures and /-structures, satisfying /3 + / = 0. // Tensor. 1990. - 49, №3. - p.250-252.

49. Yano K. On a structure defined by a tensor field f of type (1,1) satisfying /3 + / = 0; // Tensor. 1963. - V.ll. - p. 99-109.

50. Yano K., Ishihara S. On integrability conditions of a structure f satisfying /з + f = o. //Quart.J.Math. 1964. - V.15. - p. 217-222.

51. Докалюк C.H. Структуры Ниренберга на многообразиях.// X Межд. конф. "Математика. Экономика. Образование." Тезисы докладов. -Ростов-на-Дону, 2002. с. 124-125.

52. Докалюк С.Н. Структуры Ниренберга на пространстве главного расслоения над многообразием Яно.// Межд. школа семинар по геом. и анализу памяти Н.В . Ефимова. Тезисы докладе»

53. Докалюк С.Н. Тетра-структуры на пространстве главного расслоения над многообразием Яно. // Моск. пед. гос. ун-т. М., 2002. - Дев. в ВИНИТИ 27.05.02 №924-В2002 - 13с.

54. Dokaljuk S.N. On geometry of Nirenberg manifolds. //Webs and quasigroups. Tver State Univ. - 2002. - p