Некоторые вопросы конформной геометрии квази-сасакиевых многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Баклашова Наталья Серафимовна

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ КОНФОРМНОЙ ГЕОМЕТРИИ КВАЗИ-САСАКИЕВЫХ МНОГООБРАЗИЙ

Специальность 01 01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ииа1Б15Б8

Москва - 2007

003161568

Работа выполнена на кафедре геометрии математического факультета Московского педагогического государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор КИРИЧЕНКО Вадим Федорович

Официальные оппоненты:

доктор физ -мат наук, профессор ШУРЫГИН Вадим Васильевич

кандидат физ -мат наук, доцент ЛИПАГИНА Лариса Владимировна

Ведущая организация:

ВЛАДИМИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Защита состоится " " МЛ&г&Л' 2007 г в " " часов на заседании диссертационного совета К 212 154 03 при Московском педагогическом государственном университете по адресу 107140, Москва, Краснопрудная ул., д. 14, математический факультет, ауд 301

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу 119992, Москва, ул Малая Пироговская, д 1

Автореферат разослан " /¿? " 2007 года

Ученый секретарь X \

диссертационного совета ОС—Г А КАРАСЕВ

I. Общая характеристика диссертационной работы

Актуальность темы. Теория контактных и почти контактных структур на многообразиях активно развивается геометрами почти полвека, начиная с работ С. Чженя [27], Дж Грея [16,17], В Бутби и X Вана [11] Интерес к контактной геометрии обусловлен богатством ее внутреннего содержания и приложениями в современной математической физике Кроме того, почта контактные структуры являются нечетномерными аналогами почти эрмитовых структур, а эрмитова геометрия традиционно является предметом интенсивного изучения в дифференциальной геометрии. Например, почти контактные структуры естественным образом возникают на гиперповерхностях почти эрмитовых многообразий [10] Обзор картины исследований контактных и почти контактных многообразий с точки зрения дифференциально-геометрических структур представлен в работах [1], [3], [7] и [8]

Контактной структурой, или контактной формой на нечетномерном многообразии Л/п+1 называется 1-форма 1], такая, что в каждой точке многообразия т/ а с1т] л /\drj-t0, т е ранг т] совпадает с размерностью М2"*' В

п раз

1953 году С.Чжень [12] показал, что дифференцируемое нечетномерное многообразие с фиксированной контактной формой ц допускает в-структуру со структурной группой (е}хЫ(п) Дж. Грей [18] назвал такие многообразия почти контактными. Далее Сасаки [24] было показано, что почти контактное многообразие внутренним образом несет структурную тройку тензоров (11, £,Ф), где т] - ковектор, £ - вектор, Ф - тензор типа (1,1) Докзано, что произвольную риманову метрику И на таком многообразии можно достроить до метрики, согласованной с этой тройкой в том смысле, что

(ФХ,ФГ)~{Х,Г)-Ч(Х)Т}(¥), где Хи У- гладкие векторные поля на многообразии Эта метрика дополняет структуру (>/, Ф) до почти контактной метрической структуры [3]

Постоянно растущее в исследованиях число классов почти контактных метрических структур поставило перед геометрами задачу их классификации Эта задача разными путями была решена в совместной статье Д Чи-ньи, X, Марреро [15] и в работе В Ф. Кириченко [3] Было установлено число таких классов (2П=2048) и получен удобный аналитический критерий принадлежности структуры соответствующему классу [3]

Особый интерес в контактной геометрии представляют квази-сасакиевы структуры, которые обобщают классы сасакиевых и косиМплекти-ческих структур Изучение квази-сасакиевых структур началось с фундаментальной основополагающей работы Д. Блэра [9] Далее значительные результаты в этой области получили Ш Канемаки [21], Г Янамото [25], В Ф Кириченко и А Р Рустанов [2] и др.

В последнее время внимание исследователей привлекает изучение конформных отображений и (локального) строения многообразий, допускающих конформные преобразования специальных типов. Отметим, что это направление исследований актуально не только в геометрии, но и в теории функций, теории потенциала, при решении краевых задач для уравнений математической физики Конформные отображения широко применяются в картографии (стереографическая проекция и проекция Меркатора)

Интерес к конформной эрмитовой геометрии усилился после выхода работ И Вайсмана [67], С Иануса и М Васинеску [19], [20] И Вайсман показал, что многообразие Хопфа имеет локально конформно-келерову структуру, но не является келеровым С. Ианус и М Васинеску обнаружили, что конформно плоское локально конформно келерово многообразие с параллельной в римановой связности формой Ли может служить моделью для теории супергравитации Калуцы-Клейна

Из сказанного выше становится ясной причина заинтересованности геометров и областью конформных преобразований почти контактных метрических структур. Много работ по этой тематике вышло у Д Чиньи и X Марреро [13], [14] и др, где рассматривались локально конформно косим-плектические многообразия в различных аспектах Сравнительно недавно внимание геометров привлекла геометрия локально конформно почти косим-плектических структур, в исследованиях которых с различных точек зрения отметим работы 3 Ольжака [23], К Мацумото и др [22], Д В Юна и др [26]

Изучение нормальных почти контактных метрических структур, метрика которых допускает локально конформное преобразование в квази-сасакиеву структуру, было начаю в работах В А Левковца Автор выделил подклассы нормальных почти контактных метрических многообразий, названные ¿-многообразиями и локально конформно квази-сасакиевыми (короче, lcQS-) многообразиями, соответственно [6] В совместной работе с В Ф Кириченко [4] было доказано, что эта классы совпадают, если контактная форма Ли замкнута и коллинеарна контактной форме в римановой связности В А Левковцом получено описание локально симметрических 1с£)8-многообразий [5], и в соавторстве - /с£?5-многообразий постоянной кривизны [4]

Настоящее исследование обобщает и продолжает работу В А Левковца. Здесь изучаются вопросы конформной геометрии почти контактных метрических структур, допускающих в окрестности каждой точки конформное преобразование в квази-сасакиеву структуру Заметим, что исходная структура является априори произвольной почти контактной метрической структурой

Объект исследования: почти контактные метрические структуры, локально конформные квази-сасакиевым структурам Далее будем называть их локально конформно квази-сасакиевыми (короче, LCQS-) структурами

Цель диссертапионной работы: исследование свойств локально конформно квази-сасакиевых структур на многообразиях

Основные задачи: определены в соответствии с целью диссертационного исследования.

1 Получить полную группу структурных уравнений ¿С^-структур и на их основе изучить строение компонент тензоров Римана-Кристоффеля, Риччи и скалярной кривизны.

2 Получить новые тождества в терминах структурных тензоров, которым удовлетворяет тензор Римана-Кристоффеля На их основе выделить и изучить наиболее интересные классы локально конформно квази-сасакиевых структур, охарактеризовав строение выделенных классов в терминах структурных тензоров и контактной формы Ли

3 Получить условия вполне интегрируемости контактного распределения ¿С^-структур

4 Изучить строение контактной формы Ли и ее связь с контактной формой на многообразиях с ЬС()Б структурой

5 Построить и изучить внутренним образом определенную (отличную от римановой) связность на многообразиях с LCQS структурой.

6 Изучить строение некоторых типов распределений ¿С^-структур и получить контактный аналог теоремы Икуты для исследуемых структур

7 Установить, как свойства квази-сасакиевых структур изменяются при нетривиальных конформных преобразованиях Ьструктур

Научная новизна. Основные результаты данной работы являются новыми и решают поставленные основные задачи

1 На пространстве присоединенной (7-структуры получена полная группа структурных уравнений ¿СфЯ-структур и изучено строение компонент тензоров Римана-Кристоффеля, Риччи и скалярной кривизны

2 Рассмотрены классы кривизны СЯг и СЯз локально конформно квази-сасакиевых струк1ур В терминах контактной формы Ли и тензора Риччи найдены условия, при выполнении которых изучаемые структуры будут принадлежать этим классам

3 Получено условие вполне интегрируемости контактного распределения LCQS-cтpyктyp

4 Доказано, что контактная форма Ли локально конформно квази-сасакиевых структур определена внутренним образом Найдено явное выражение контактной формы Ли в терминах структурных тензоров

5 Введено понятие первой канонической связности почти контактных метрических структур Изучен геометрический смысл обращения в нуль элементов спектра тензора кручения этой связности в случае ¿С^З-структур

6 Введено понятие келерова распределения Я ЬСО$-многообразия и найдены условия, при которых интегральные многообразия любогсЗ распределения 5)сЛ ¿Сб^-многообрйазия являются вполне вещественными подмногообразиями Этот результат является контактным аналогом известной теоремы Икуты.

7. Установлено, что квази-сасакиевы структуры не переводятся в ква-зи-сасакиевы структуры нетривиальным локально конформным преобразованием

8. Найдены необходимые и достаточные условия, при выполнении которых почти контактная метрическая структура является нормальной LCQS-структурой

9 Найдены необходимые и достаточные условия, при выполнении которых нормальная .LCßS-структура является регулярной

10 Найдены необходимые и достаточные условия, при выполнении которых нормальная регулярная LCQS-структура является структурой Кенмо-

цу

Методы исследования. Результаты диссертационной работы получены систематическим использованием метода присоединенных G-структур, метода инвариантного исчисления Кошуля и аппарата классического тензорного анализа Заметим, что для LCQS-структур ключевым характеристическим свойством является наличие введенной нами глобально определенной 1-формы - контактной формы Ли

Теоретическое и прикладное значение. Данная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в соответствующих разделах дифференциальной геометрии и в направлении ее естественных контактов с математической физикой, при чтении спецкурсов, для написания дипломных и курсовых работ.

Апробация. Основные результаты настоящего исследования докладывались и обсуждались на научно-иссяедовательском семинаре по дифференциальной геометрии математического факультета МПГУ (руководитель семинара - доктор физико-математических наук, профессор В.Ф. Кириченко), на международной конференции «Колмогоровские чтения - III» (г Ярославль, май 2005г), на международной конференции «Геометрия в Одессе-2006» (г Одесса, май 2006 г)

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 5 публикациях. Их список приведен в конце автореферата

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, включающих 12 параграфов, и списка литературы, включающего 69 наименований работ отечественных и зарубежных авторов. Работа изложена на 112 страницах машинописного текста, объем основного текста - 105 страниц

II. Обзор содержания диссертационной работы

Во введении освещена предыстория вопроса, раскрыта его актуальность, сформулированы цель и задачи исследования Далее приведены основные результаты работы, указаны методы исследования, его теоретическое и прикладное значение и апробация Во введении дано краткое содержание диссертационного исследования

Глава I. Локально конформно квази-сасакиевы структуры.

§1.1. Предварительные сведения. Параграф носит реферативный характер. сформулированы необходимые для последующего изложения определения и факты, приведены соответствующие примеры Здесь же раскрывается суть метода исследования - метода присоединенных G-структур, оговариваются условия и обозначения, используемые в дальнейшем

§1.2. Структурные уравнения LCQS-структур. В этом параграфе даются определения локально конформно квази-сасакиевых структур и контактной формы Ли а этих структур, такой, что dQ = 2aaQ, da = 0. На пространстве присоединенной G-структуры вычислена полная группа структурных уравнений LCQS- структуры

1 .do" = сааъ 2а1аё*]0)с лаь + (<x0<S¿a + Cab)wлсоь;

2 dcüa=-abaA(Db+ 2a[aScb]ú)c a <ob + (cr0Sba - Cj) со л cob;

3 da) - 2C£cob AO}a+<Jaco" aco + <Jacoa л со,

4 daab = ofc лcocb + ~2ВД+ Afcod a®c + Aabcdcod л+

+(Ла<:0 -СГ ~C^)coc ле> + (А"Ьс0-C"bc-Cab<rcy a®

§13. Компоненты ковариантного дифференциала контактной формы Ли Здесь на пространстве присоединенной G-структуры ¿С^-многооб-разия М получены выражения для компонент ковариантного дифференциала контактной формы Ли и другие необходимые в дальнейшем соотношения

§14 Вычисление некоторых, классических тензоров LCQS-много-образий на пространстве присоединенной G-структуры В данном параграфе вычислены выражения для компонент тензора Римана-Кристоффеля, тензора Риччи и скалярной кривизны ЛС^-структуры

Глава II. Свойства локально конформно квази-сасакиевых многообразий.

§2 1 Свойства кривизны LCQS-многорбразий Здесь приводятся тождества кривизны CR\ - CR3 для почти контактных метрических многообразий, которые являются контактными аналогами тождеств кривизны R¡ — R3 А Грея для почти эрмитовых многообразий ,

1 LCQS-многообразия классов CR¡ и CR¡ В этом пункте для LCQS-многообразий найдены эквивалентные тождествам кривизны CR% и CR$ соотношения на пространстве присоединенной G-структуры.

Предложение 2.1.1. /.С^-многообразие М2п+1 является С7?3- и CR2 -многообразием тогда и только тогда, когда компоненты контактной формы Ли в А-репере удовлетворяют уравнениям-

ааЬ=-°а°Ь ифкс

Далее доказана

Теорема 2.1.1.1. Локально конформно квази-сасакиево многообразие М2л+1 принадлежит классам СЩ = СЯ2 тогда и только тогда, когда УХ,Уе Ж(М) его контактная форма Ли а удовлетворяет дифференциальному уравнению Уф1Да)( Ф2Х) - Уфу(а)( ФХ) = -а(Ф2Х)а(Ф2У) + а(ФХ)а(ФУ).

Было замечено, что если оператор Риччи г комплексно линеен на распределении £, то эндоморфизм р = Ф2 о г о Ф2 также комплексно линеен. В результате доказано следующее условие Ф-инвариантности эндоморфизма р £С£?5-структуры

Теорема 2.1.1.2. ЛСб^-многообразие М2"*1 принадлежит классам СЯ3 или СЯ2 тогда и только тогда, когда эндоморфизм р комплексно линеен, т е р°Ф(Х) = Фор(х) \/ХеХ(М)

2 Дополнительное свойство кривизны ЬС()8-многообразий Из строения компоненты Л®40 тензора Римана-Кристоффеля получили, что справедлива

Теорема 2.1.2. ХС05-многообразие М принадлежит классам СЯ3 = СЯг тогда и только тогда, когда тензор кривизны удовлетворяет тождеству

3 ЬСОВ-многообразш постоянной кривизны В данном пункте приведены примеры ХС^-многообразий постоянной кривизны. Доказана

Теорема 2.1.3. ХС^-многообразие М постоянной кривизны к принадлежит классам СЯз = СЯг

4 ЬСО$-многообразия постоянной ФНБ-кривизны Сформулированы определения Ф-голоморфной секционной кривизны и точечного постоянства Ф-голоморфной секционной кривизны почти контактного метрического многообразия, приведены примеры Далее приведено необходимое и достаточное условие, когда почти контактное метрическое многообразие есть многообразие точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны Соответствующее условие на пространстве присоединенной С-структуры было найдено для £С05>-многообразия

§2 2. О характеристическом векторе ЬС()8-многообразий В данном параграфе на £С£35-многообразии вычислены компоненты ковариантного дифференциала вектора £ Изучено их строение для случая, когда £ является вектором Киплинга. Показано, что верна

Теорема 2.2. /.С£Л?-многообразие М с киллинговым характеристическим вектором является квази-сасакиевым многообразием.

§2 3 О вполне интегрируемости фундаментальных распределений LCQS-многообразий Рассмотрен вопрос вполне интегрируемости распределения £ ¿Сб^-многообразия Доказана

Теорема 2.3. Распределение £ С ЭЕ(М) ¿С05-многообразия М вполне интегрируемо тогда и только тогда, когда V , (£)-£(сг) Ф2ЛГ = О В этом случае на интегральных многообразиях максимальной размерности распределения £ индуцируется локально конформно-келерова структура. Эта структура будет келеровой в том и только в том случае, когда М- нормальное многообразие

Глава Ш. Геометрия первой канонической связности локально конформно квази-сасакиевых многообразий.

§3 1. Первая каноническая связность АС-многообразий В этом параграфе введена определенная естественным образом форма в со значениями в алгебре Ли структурной группы Доказано, что она является формой связности почти контактной метрической структуры Эта связность названа первой канонической связностью данной структуры и обозначена V Доказана

Теорема 3.1. В терминах первой канонической связности V на АС-многообразии имеют место соотношения

1)УФ = 0, 2) Vt7 = 0, 3)V£ = 0, 4) Vg = О

§3 2. Тензор кручения первой канонической связности LCQS-многообразий Введено обозначение S - тензор кручения связности V Доказано

Предложение 3.2. Тензор S нулевой тогда и только тогда, когда АС-структура косимплектическая

Затем на основе строения компонент тензора S на пространстве присоединенной ¿/-структуры выделены элементы спектра тензора кручения S, S, S, S и рассмотрен вопрос геометрического смысла обращения в нуль

этих элементов В процессе решения поставленного вопроса получен ряд теорем

Теорема 3.2.1. На ХСб^-многообразии М следующие утверждения равносильны

1) S = 0,

т

2)77°5(Х,£) = 0, ХеХ(М),

3) М— нормальное многообразие

Теорема 3.2.2. На ¿С^-многообразии следующие утверждения равносильны

1) 5 = 0,

' /п '

2) Ув1,(£)-£(сг)Ф2Х = 0,

3) ?7 0 5(Ф2Х,Ф2У) + ?7°5(ФАГ,ФГ) = 0, Х,УеХ(М),

4) Контактное распределение ЬС()$-многообразия инволютивно

Теорема 3.2.3. На ¿С^-многообразии следующие утверждения равносильны

1)1 = 0,

' (2)

2)5(ф2Х,|)-Фо5(ФХ,^) = 0, Хе Х(М),

3) Контактное распределение ХС^-многообразия инволютивно, причем <7 является первым интегралом потока, определенного характеристическим вектором £

Теорема 3.2.4. На 1С05-многообразии М следующие утверждения равносильны

1) 5 = 0,

' (3)

2)т7о£(Х,£) = 0, Х<еЗС(М),

3) 5(Ф2Х,Ф27) - Ф о 5(ФЛГ,Ф2У) + Ф ° 5(Ф2^Г,Ф7) + ¿(ФХ,Ф7) = 0,

4) М- нормальное многообразие

Теорема 3.2.5. Тензор кручения первой канонической связности на ЬС()В-многообразии м обладает следующими дополнительными свойствами симметрии

¿(Ф2Х,Ф2Г)-5(ФЛГ,Ф7) = 0,

¿(Ф2ЛГ,£) + Ф°£(ФХ,£) = 0, Х,¥еХ(М).

Установлена связь между римановой и первой канонической связно-стями ¿С£)5-многообразий

Теорема 3.2.6. На ¿С^-многообразии М2п+1 первая каноническая связность V совпадает с римановой связностью V тогда и только тогда, когда М2п+1 -косимплектическое многообразие.

Глава IV. Геометрия локально конформно квази-сасакиевых многообразий.

§4 1 Контактная форма Ли Данный параграф раскрывает геометрический смысл контактной формы Ли 1С05-многообразия Доказана

Теорема 4.1.1. На всяком ¿СДО-многообразии М внутренним образом определена дифференциальная 1-форма а, такая, что а\ц = с1а, где а - определяющая функция соответствующего локального конформного преобразования, и - некоторая окрестность произвольной точки многообразия

и

Далее доказана теорема, выражающая необходимое и достаточное условие квази-сасакиевости почти контактной метрической структуры

Теорема 4.1.2. ЛС-структура 5 = (77, Ф, д = (,)) на многообразии М квази-сасакиева тогда и только тогда, когда существует самосопряженный эндоморфизм С модуля Э£(М), аннулирующий характеристический вектор £ и перестановочный со структурным эндоморфизмом Ф, такой, что

V* (Ф)у = (сх,у)£-п{У)СХ, Х,ГеЖ(М). При этом с необходимостью

ХеХ(М)

Затем показано, что форма а определена на ХСО^-многообразии внутренним образом Именно, доказана

Теорема 4.1.3. Контактная форма Ли (2п+1)-мерного /,С05-многообразия М во введенных обозначениях вычисляется по формуле

а = —-—ЗС1 о Ф —— «У'О о т 2п-1 2 п

где 3 и 5 — операторы кодифференцирования и эрмитова кодифференцирования, задаваемые соотношениями (<5©)1 ( = ^ и

(¿1*01 - , соответственно (здесь © - произвольная диффе-

рснциальная /--форма на М)

В качестве следствия этой теоремы получены:

Теорема 4.1.4. Контактная форма Ли ¿С25-многообразия не зависит от определяющей функции соответствующего конформного преобразования. В частности, локально-конформное преобразование, переводящее ¿С^-стру-ктуру в ^-структуру, определено однозначно с точностью до гомотетии

Следствие 4.1. Образ 5 05-структуры 5 при ее нетривиальном конформном преобразовании не является (А^-структурой

§4 2 Контактный аналог теоремы Икуты В этом параграфе построен контактный аналог келерова распределения и установлен контактный аналог теоремы Икуты

Определение 4.2.1. Келеровым распределением на £С^5-многообразии назовем распределение Я, внутренним образом определенное системой Пфаффа

Га = 0 • р = О 7 = 0,

где р = а°Ф, у-а°Ф2 •

Доказывается, что келерово распределение инвариантно относительно эндоморфизма Ф

Определение 4.2.2. Распределение D на ЛС-многообразии, обладающее свойством

Ф^сЭ1,

называется антиинвариантным, а его интегральные многообразия — вполне вещественными подмногообразиями

Теорема 4.2. Пусть М - собственное LCßS-многообразие с параллельной формой Ли и С-инвариантным келеровым распределением Ä Тогда интегральные многообразия любого инволютивного распределения 2) с. Л являются вполне вещественными подмногообразиями многообразия М

§4 3 Нормальные LCQS-многообразия Данный параграф посвящен вопросам изучения нормальных ¿С^-многообразий. Показано, что примерами собственных нормальных LCQS-структур являются структуры Кенмо-ify, характеризующиеся тождеством

^Х(Ф)7 = {ФХ,¥)^-11{У)ФХ, X,Ye?Z{M)

Доказаны следующие теоремы

Теорема 4.3.1. Пусть ¿ = (¿¡,7?, Ф,<7 = { , )) - LCQS-структура на (2л+1)-

мерном многообразии М Тогда следующие утверждения эквивалентны

(1) S — нормальная структура,

(2) а о Ф = 0, или, что равносильно, ß = / = 0,

(3) а* ет,

(4) Ä} = (trC)7,

(5) S'll = -Ina,

(6) а = а(%)т]

Теорема 4.3.2. Регулярное LCßS-многообразие нормально тогда и только тогда, когда оно имеет замкнутую контактную форму и локально конформно косимплектично

Теорема 4.3.3. ЛС-многообразие Мявляется нормальным регулярным LCQS-многообразием тогда и только тогда, когда существует нигде не обращающаяся в нуль функция / g С"(М), такая, что (с?/)°Ф = 0,и

Vx(0)Y = f{(<hX,Y)Z-ri(Y)<l>X), X,YeX(M)

Следствие 4.3.1. Не существует нормальных собственных LCQS-структур с параллельной контактной формой

Следствие 4.3.2. Не существует нормальных собственных LCQS-структур с параллельной контактной формой Ли

Следствие 4.3.3. Нормальное регулярное ¿С£№-многообразие является многообразием Кенмоцу тогда и только тогда, когда его контактная форма Ли совпадает с контактной формой

Литература

1 Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях [Текст] / Л Е Евтушик [и др ] // Итоги науки и техники Проблемы геометрии - M ' ВИНИТИ, 1979 - Т 9 - С 5-246

2 Кириченко, В Ф Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий [Текст] / В Ф Кириченко, А Р Рустанов // Матем сборник -2002 -Т. 193 -№ 8 - С 71-100

3 Кириченко, В Ф Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях [Текст] монография - M • Ml 11 У, 2003 - 495 с

4 Кириченко, О геометрии L-многообразий [Текст] / В Ф Кириченко, В А Левковец//Матем заметки. -2006 -Т 79.-Выл 6 - С 854-869

5 Левковец, В А О некоторых свойствах leQS-структур [Текст] / В А Левковец // Труды Матем центра им H И Лобачевского Каз матем общ-во. Актуал. пр-мы матем. и мех. Матер, межд. матем. конф. -Казань Изд-во Казанского матем. общ-ва, 2004. - Т.25 - С.164-165.

6 Левковец, В А Геометрия локально конформно квази-сасакиевых многообразий [Текст]' дисс канд физ -мат. наук* 01 01 04 / Левковец Вадим Александрович - М, 2004 - 77 с. - Библиогр : с 75-77

7 Широков, А П. Структуры на дифференцируемых многообразиях [Текст] / А П Широков // Итоги науки и техники Алгебра Топология Геометрия -М ВИНИТИ, 1969 - Т 6 - С 127-188

8 Широков, А П Структуры на дифференцируемых многообразиях [Текст] / А П Широков // Итоги науки и техники Алгебра Топология Геометрия - M. ВИНИТИ, 1974 -Т И -С 153-208

9 Blair, D Е The theory of Quasi-Sasakian structures [Text] /DE Blair // J Diff Geom - 1967 -V.'l -N4 -P 331-345

10 Blair, D E Riemanman geometry of contact and symplectic manifolds [Text] / D E Blair// Birkhauser, Boston, Basel Progr Math, 2002 - V 203 - 304 p

1 l.Boothby, W On contact manifolds [Text] / W Boothby, H С Wang I I Ann of Math - 1958 - 2nd Ser - Vol 68 -N 3.-P 721-734

12 Chern, S -S Pseudo-groupes continus infinis [Text] / S -S. Chern // Colloqe de Géométrie Différentielle - Strasbourg, 1953. - P. 119-136.

13 Chmea, D Conformai changes of almost contact metric structures [Text] / D Chinea, J С Marrero // Riv mat Univ di Parma - 1992 - V 5 - N 1. -P. 19-31

M.Chinea, D Conformai changes of almost cosymplectic manifolds [Text],/ D Chmea, J С Marrero//Rend diMat - 1992 - Ser VII -V12-P 849-867

15 Chmea, D Classifications of almost contact metiic structures [Text] / D Chmea, J.C. Marrero // Rev. Roumaine Math Pures Appl - 1992 .- V 37. -P 199-212

16 Gray, J W A theory ofpseudo groups with applications to contact structures [Text] Thesis /J.W .Gray//Stanford Umv - 1957 Tech Rep ONR

17 Gray, J W. Contact structures [Text] / J W. Gray // Abst short com Int Congress Math in Edinburgh. - Edinburgh Umv Edinburgh, 1958 -P 113

18 Gray, J.W. Some global properties of contact structures [Text] / J.W. Gray // Ann. Math - 1959. - Vol. 69. - N. 2. - P. 421-450

19 Ianus, S. Kaluza-Klem theory with scalar fields and generalised Hopf manifolds [Text] / S. Ianus, M. Visinescu // Class Quantum Grav. - 1987. - V. 4. -N3.-P. 1317-1325.

20 Ianus, S Kaluza-Klem theories and Riemanman submersions [Text] / S Ianus, M Vismescu // Stud, gravitât theory - Bucharest - 1988 - N 1 - P

21 Kanemaki, S Quasi-Sasakian manifolds [Text] / S Kanemaki // Tohoku Math. J - 1977 - Vol 29 -N 2 - P. 227-233

22.Matsumoto, K A certain locally conformal almost cosymplectic manifolds and its submanifolds [Text] / K. Matsumoto, I Mihai, R Rosea // Tensor (NS) - 1992 -V 51 -P 91-102

23 Olszak, Z. Locally conformal almost cosymplectic manifolds [Text] / Z 01-szak//Colloq.Math. - 1989 -V 57 -N. 1 -P 73-87

24 Sasaki, S On differentiate manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure I [Text] / S Sasaki // Tohoku Math J - 1960 - Vol 12.-N 3 -P 459-476

25.Yanamoto, H Quasi-Sasakian hypersurfaces in almost Hermitian manifolds [Text]/H Yanamoto//Res Repts NagaokaTechn - 1965 - Coll 5 -N 2 -P 93-103

26.Yoon, D W Some inequalities for warped products in locally conformal almost cosymplectic manifolds [Text] / D W. Yoon, K S Cho, S G Han // Note di Maiematica -2004 -V 23 -N 1 -P 51-60

1 Кириченко, В.Ф. Геометрия контактной формы Ли и контактный аналог теоремы Икуты [Текст] / В.Ф. Кириченко, Н.С. Баклашова // Матем. заметки. - 2007. - Т. 82. - Вып. 3. - С. 347-360 (0,88 печ.л., соискателем выполнено 50% работы).

2 Баклашова, Н.С Структурные уравнения LCQS-структур и их приложение [Текст] /НС Баклашова, Мое пед гос ун-т - М, 2005 - 34 с -Библиогр с 33-34.- Деп в ВИНИТИ 01 07.05, №935-В2005 (2,1 печл )

3 Баклашова. Н С Некоторые свойства кривизны LCQS-многообразий [Текст] / НС. Баклашова //Науч труды Mill У. Серия Естеств науки Сб статей - М. ГНО Изд-во «Прометей», 2006 - С. 25-30 (0,35 печ л.)

4 Кириченко, В Ф Об интегрируемости фундаментальных распределений LCQS-структуры [Текст] / В Ф Кириченко, Н С Баклашова // Не-кот вопр матем , информ и методики их препод - М. Ml 11 У, 2006 -С 98-102 (0,3 печ.л., соискателем выполнено 50% работы)

5 Баклашова, Н С Геометрия тензора кручения первой канонической связности LCQS-многообразий [Текст] / НС. Баклашова // Тезисы докладов междунар конф «Геометрия в 0дессе-2006» - Одесса Благодш-ний фонд наукових дослшдень «Наука», 2006. - С. 27-28 (0,125 печ.л )

23-33.

III. Публикации автора по теме диссертации

Подл к печ 04 10 2007 Объем 1 п л Заказ № 96 Тир 100 экз Типография МПГУ

Введение.

Глава I. Локально конформно квази-сасакиевы структуры.

§1.1. Предварительные сведения.

§ 1.2. Структурные уравнения ¿С^-структур.

§1.3. Компоненты ковариантного дифференциала контактной формы Ли.

§1.4. Вычисление некоторых классических тензоров LCQSмногообразий на пространстве присоединенной С-структуры.

Глава II. Свойства локально конформно квази-сасакиевых многообразий.

§2.1. Свойства кривизны ¿С^-многообразий.

1. 1С0£-многообразия классов СЯ2 и СЯз.

2. Дополнительное свойство кривизны ¿С^-многообразий.

3. ¿С^-многообразия постоянной кривизны.

4. ¿С^-многообразия постоянной ФЖ-кривизны.

§2.2. О характеристическом векторе ¿С^-многообразий.

§2.3. О вполне интегрируемости фундаментальных распределений

С^-многообразий.

Глава III. Геометрия первой канонической связности локально конформно квази-сасакиевых многообразий.

§3.1. Первая каноническая связность АС-многообразий.

§3.2. Тензор кручения первой канонической связности ХС^многообразий.

Глава IV. Геометрия локально конформно квази-сасакиевых многообразий.

§4.1. Контактная форма Ли.

§4.2. Контактный аналог теоремы Икуты.

§4.3. Нормальные /.С^-многообразия.

Отправной точкой к активному развитию теории контактных структур и их естественного обобщения - почти контактных структур - послужили появившиеся в 50-х годах прошлого века работы С. Чженя [27], Дж. Грея [40, 41, 42], В. Бутби и X. Вана [26]. С тех пор уже практически полвека эта теория является предметом пристального внимания геометров. Наиболее полная картина диапазона исследований контактных и почти контактных многообразий с точки зрения дифференциально-геометрических структур представлена в работах [2], [12], [20] и [21]. Такая заинтересованность данной темой среди современных исследований в дифференциальной геометрии обусловлена ее богатым внутренним содержанием, а также многочисленными приложениями в современной математической физике, в частности, в классической и квантовой механике. Есть еще одно важное обстоятельство изучения почти контактных метрических структур: они являются нечетномерными аналогами почти эрмитовых структур в эрмитовой геометрии, которая традиционно является предметом интенсивного изучения в дифференциальной геометрии. В связи с этим отметим тот факт, что на гиперповерхностях почти эрмитова многообразия естественным образом строится почти контактная метрическая структура, а на многообразии М х М, где М несет почти контактную метрическую структуру, канонически индуцируется почти эрмитова структура.

Контактной структурой, или контактной формой на нечетномерном многообразии М2п+1 называется 1-форма 77, такая, что в каждой точке многообразия ?] л ¿ц л. д йт] -Ф 0, то есть ранг формы ц совпадает с размерностью 1-„-' п рев

М2а+1. Многообразие, наделенное контактной структурой, называется контактным. Изучение почти контактных структур началось в 1953 году с работы С. Чженя [27]. Он показал, что дифференцируемое нечетномерное многообразие с фиксированной контактной формой т/ допускает С-структуру со структурной группой {е}хЫ{п). Дж. Грей [42] назвал такие многообразия почти контактными. Исследовавший это направление Сасаки в своей статье [59] доказал, что допускающее С-структуру многообразие внутренним образом несет структурную тройку тензоров (>7, Ф), где ц - ковектор, £ - вектор, Ф - тензор типа (1,1). При этом тройка тензоров удовлетворяют тождествам = Ф2 = —/с/ + т; ® из которых выводятся еще два: г) о ф = О, Ф(£) = 0. Более того, произвольная риманова метрика к на таком многообразии достраивается до метрики

ФХ,ФУ) = (Х,У)-т1(Х)т1(У), где Хи У-гладкие векторные поля на многообразии. Построенная таким образом метрика дополняет структуру (ц, Ф) до почти контактной метрической структуры [12].

После того, как в 1980 году вышла работа А. Грея и Л. Хервеллы [39] о классификации почти эрмитовых структур, перед геометрами возникла естественная задача о систематизации классов почти контактных метрических структур. По этой проблеме вышло несколько работ разных авторов, но наиболее интересной оказалась совместная работа Д. Чинеи и X. Марреро [31]. Для классификации указанных структур они изучили представление группы {е}хЫ{п) на некотором специальном пространстве тензоров с определенными свойствами симметрии. Но геометрами с течением времени выделялись новые классы почти контактных метрических структур, поэтому более прозрачным решением проблемы их систематизации стала вышедшая в 2003 году работа В.Ф. Кириченко [12]. В этой работе автор предложил «контактный» аналог классификации Грея-Хервеллы для почти контактных метрических структур и получил удобный аналитический критерий принадлежности структуры соответствующему классу. В.Ф. Кириченко определил число таких классов, которое оказалось практически необозримым (2,1=2048; внутри классов естественным образом можно определять подклассы).

Достаточно полный обзор изучаемых в настоящее время структур в контактной геометрии и полученные результаты в этой области приведены в работе [12]. Среди многочисленных исследований контактных и почти контактных метрических структур следует выделить получившие широкую известность в работах такие их специальные классы, как /¡¿"-контактные, косим-плектические, сасакиевы, квази-сасакиевы, структуры Кенмоцу. Особый интерес здесь представляют квази-сасакиевы структуры, которые являются обобщающими для сасакиевых и косимплектических структур. Разделение на классы этих структур возникло естественным образом - оно основано на ранге контактной формы /7, причем, сасакиевы и косимплектические структуры являются «пограничными» классами: ^77 = 1 (¿/77 = 0) для косимплектических и rgг} = 2п +1 {г] а (¿/77)" ф о| для сасакиевых структур.

Основополагающей в теории квази-сасакиевых структур была статья Д. Блэра [23]. Им было доказано, что не существует квази-сасакиевой структуры четного ранга, а вектор £ является вектором Киллинга. Д. Блэр установил, при каких условиях квази-сасакиево многообразие является произведением сасакиева и келерова многообразий, а также что квази-сасакиево многообразие постоянной кривизны является сасакиевым либо косимплектиче-ским (с точностью до гомотетии) [23]. Ш. Канемаки [47] изучал квази-сасакиевы многообразия, каждое из которых локально является произведением сасакиева и келерова многообразий. Г. Янамото [68] нашел условия, при которых на произвольных гиперповерхностях почти эрмитова многообразия возникают квази-сасакиевы структуры, и изучал свойства последних. С. Голдберг [34] исследовал гиперповерхности келеровых многообразий, имеющие (квази-сасакиеву) косимплектическую структуру. С. Танно [64] изучал (квази) сасакиевы структуры.

Далее квази-сасакиевы структуры изучались В.Ф. Кириченко и А.Р. Рустановым [11]. Для их изучения систематически использовался метод присоединенных С-структур [12]. Среди результатов этой работы выделим следующие: 1) получена полная группа структурных уравнений квази-сасакиевой структуры; 2) на их основе изучено строение классических тензоров - Римана-Кристоффеля, Риччи, скалярной кривизны; 3) найдены четыре ключевых тождества для тензора Римана-Кристоффеля квази-сасакиевых многообразий; 4) с помощью указанных тождеств были выделены три класса рассматриваемых многообразий и изучено их строение; 5) с помощью дополнительных свойств симметрии тензора кривизны был выделен новый класс квази-сасакиевых многообразий - класс СЯ\, приведено исчерпывающее описание локального строения многообразий этого класса.

В дифференциальной геометрии интересными для исследований являются свойства изотропности многообразий. В частности, изучаются свойства почти контактных метрических многообразий, удовлетворяющих аксиоме Ф-голоморфных плоскостей [5]. В связи с этим для указанных многообразий Д. Блэром и С. Сасаки было введено понятие Ф-голоморфной секционной кривизны [24], [61]. Существенный вклад по этой линии исследований внесли работы С. Танно [63] и В.Ф. Кириченко [51], [5] и [6]. На квази-сасакиевых многообразиях значительные результаты по этой проблематике получены в работах А.Р. Рустанова и В.Ф. Кириченко. Именно, для квази-сасакиевых многообразий [18] и квази-сасакиевых многообразий класса СЯ\ [11] были найдены критерии точечного постоянства Ф-голоморфной секционной кривизны и выполнимости аксиомы Ф-голоморфных плоскостей. Более того, получена полная классификация квази-сасакиевых многообразий класса СЯ\ (с точностью до (В -преобразования метрики) точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны, удовлетворяющих аксиоме Ф-голоморфных плоскостей [11].

Необходимо отметить актуальность еще одного направления почти контактной геометрии, которое в последнее время привлекает внимание исследователей: изучение конформных отображений и (локального) строения многообразий, допускающих конформные преобразования специальных типов. Вообще конформные отображения и конформные структуры нашли свое применение не только в геометрии, но и в теории функций, теории потенциала, при решении краевых задач для уравнений математической физики.

Большую практическую роль играют конформные отображения плоских и лежащих на гладких поверхностях двумерных областей. Конформные отображения широко применяются в картографии (стереографическая проекция и проекция Меркатора). Следует заметить, что постановка в общем виде задачи конформного отображения привела в свое время к возникновению и развитию теории поверхностей.

Внимание к конформной геометрии почти эрмитовых структур усилилось после того, как И. Вайсман [67] обнаружил, что структура многообразия Хопфа является локально конформно-келеровой. Напомним, что многообразие Хопфа - это классический пример некелерова локально конформно-келерова многообразия [67]. Укажем здесь еще один существенный результат, определивший дальнейшее изучение конформной эрмитовой геометрии: в конце 80-х годов С. Ианус и М. Васинеску [43], [44] показали, что конформно плоское локально конформно келерово многообразие с параллельной в римановой связности формой Ли может служить моделью для теории супергравитации Калуцы-Клейна. Поэтому основной поток работ ведется в рамках локально конформно-келеровых структур [54], в изучении которых существенный вклад внесли работы И. Вайсмана [65], [66], [67] и мн. др., а также Т. Кашивады [48], [49], С. Голдберга и И. Вайсмана [36], К. Икуты [45], В.Ф. Кириченко [7], [8], М.Х. Шахида [62], и мн. др.

Из сказанного выше становится ясной причина заинтересованности геометров и областью конформных преобразований почти контактных метрических структур. Много работ по этой тематике вышло у Д. Чиньи и X. Марреро [29], [30], в соавторстве их с М. де Леоном [28] и Ж. Роша [32], где рассматривались локально конформно косимплектические многообразия в различных аспектах. Д. Чинья и X. Марреро нашли условия, при которых почти контактное метрическое многообразие является локально конформно (почти) косимплектическим. Авторы доказали, что в таких многообразиях на листах голономного распределения т] = 0 индуцируется локально конформ-но-келерова структура [30]. Проблемы приложения локально конформно косимплектических многообразий к актуальным вопросам теоретической механики рассматриваются в работе [28]. Заметим, что теория конформных преобразований почти контактных метрических структур имеет естественные точки соприкосновения с теорией почти контактных метрических субмерсий, активно изучаемых в последнее время [32], [33]. Сравнительно недавно внимание геометров обратила на себя геометрия локально конформно почти ко-симплектических структур, в исследованиях которых с различных точек зрения отметим работы 3. Ольжака ([57], в соавторстве с Р. Роша [58]), К. Ма-цумото и др. [55], [56], Д.В. Юна и др. [69].

Изучение нормальных почти контактных метрических структур, метрика которых допускает локально конформное преобразование в квази-сасакиеву структуру, было начато в работах В.А. Левковца. Автор использовал метод структурных уравнений и их дифференциальных продолжений, записанных в специализированном репере. Он выделил подклассы нормальных почти контактных метрических многообразий, названные ¿-многообразиями и локально конформно квази-сасакиевыми (короче, IcQS-) многообразиями, соответственно [17]. В совместной работе с В.Ф. Кириченко [13] было доказано, что эти классы совпадают, если контактная форма Ли замкнута и кол-линеарна контактной форме в римановой связности. Найдены ключевые тождества, которым удовлетворяет тензор Римана-Кристоффеля IcQS-многообразий, с их помощью выделено два класса этих многообразий и получено описание каждого из них. Также В.А. Левковцом получено описание локально симметрических /¿^-многообразий [16], и в соавторстве - IcQS-многообразий постоянной кривизны [13].

Настоящее исследование в определенной степени можно назвать обобщающим и продолжающим работу В.А. Левковца, потому что здесь рассматриваются вопросы конформной геометрии почти контактных метрических структур, допускающих в окрестности каждой своей точки конформное преобразование в квази-сасакиеву структуру. Заметим, что исходная структура не обязательно нормальна, т.е. априори является произвольной почти контактной метрической структурой.

Объект исследования - почти контактные метрические структуры, локально конформные квази-сасакиевым структурам. Далее объект исследования будем называть локально конформно квази-сасакиевыми структурами, или, короче, Ь С^-стру ктурами.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании свойств локально конформно квази-сасакиевых структур на многообразиях.

В соответствии с целью диссертационного исследования поставлены следующие основные задачи:

1. Получить полную группу структурных уравнений ¿С^-структур и на их основе изучить строение компонент тензоров Римана-Кристоффеля, Риччи и скалярной кривизны.

2. Получить новые тождества в терминах структурных тензоров, которым удовлетворяет тензор Римана-Кристоффеля. На их основе выделить и изучить наиболее интересные классы локально конформно квази-сасакиевых структур, охарактеризовав строение выделенных классов в терминах структурных тензоров и контактной формы Ли.

3. Получить условия вполне интегрируемости контактного распределения ¿С^-структур.

4. Изучить строение контактной формы Ли и ее связь с контактной формой на многообразиях с ЬС0$ структурой.

5. Построить и изучить внутренним образом определенную (отличную от римановой) связность на многообразиях с структурой.

6. Изучить строение некоторых типов распределений ЬС()8-структур и получить контактный аналог теоремы Икуты для исследуемых структур.

7. Установить, как свойства квази-сасакиевых структур изменяются при нетривиальных конформных преобразованиях ¿С^-структур.

Новизна результатов. Основные результаты данной диссертационной работы являются новыми. Эти результаты решают поставленные в исследовании основные задачи, а именно:

1. На пространстве присоединенной (/-структуры получена полная группа структурных уравнений структур и изучено строение компонент тензоров Римана-Кристоффеля, Риччи и скалярной кривизны.

2. Рассмотрены классы кривизны СЯг и СЯз локально конформно ква-зи-сасакиевых структур. В терминах контактной формы Ли и тензора Риччи найдены условия, при выполнении которых изучаемые структуры будут принадлежать этим классам.

3. Получено условие вполне интегрируемости контактного распределения ¿С^-структур.

4. Доказано, что контактная форма Ли локально конформно квази-сасакиевых структур определена внутренним образом. Найдено явное выражение контактной формы Ли в терминах структурных тензоров.

5. Введено понятие первой канонической связности почти контактных метрических структур. Изучен геометрический смысл обращения в нуль элементов спектра тензора кручения этой связности в случае LCQS-c^pyк^yp.

6. Введено понятие келерова распределения Я ¿С^-многообразия и найдены условия, при которых интегральные многообразия любого распределения 2) с Я ¿С^-многообразия являются вполне вещественными подмногообразиями. Этот результат является контактным аналогом известной теоремы Икуты.

7. Установлено, что квази-сасакиевы структуры не переводятся в ква-зи-сасакиевы структуры нетривиальным локально конформным преобразованием.

8. Найдены необходимые и достаточные условия, при выполнении которых почти контактная метрическая структура является нормальной ЬС()8-структурой.

9. Найдены необходимые и достаточные условия, при выполнении которых нормальная ¿С^-структура является регулярной.

10. Найдены необходимые и достаточные условия, при выполнении которых нормальная регулярная 1.С()3-структура является структурой Кенмо

ДУ

Методы исследования. Результаты диссертационного исследования получены систематическим использованием современной версии метода внешних форм Картана - метода присоединенных (7-структур. Суть метода заключается в изучении дифференциально-геометрических свойств структур на естественным образом присоединенной к многообразию с изучаемой структурой главного расслоения, которое рассматривается как подрасслоение всех комплексных реперов над этим многообразием. Это подрасслоение называется С-структурой. В изучении отдельных вопросов использовался метод инвариантного исчисления Кошуля и аппарат классического тензорного анализа. Заметим, что для ¿С^-структур ключевым характеристическим свойством является наличие введенной нами глобально определенной 1-формы - контактной формы Ли.

Теоретическое и прикладное значение работы. Диссертационная работа носит теоретический характер. Все полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения локально конформно ква-зи-сасакиевых структур, в соответствующих разделах дифференциальной геометрии и в направлении ее естественных контактов с математической физикой. Кроме того, данная работа может быть использована при чтении спецкурсов по близкой тематике, для написания дипломных и курсовых работ.

Апробация работы. Основные результаты настоящего исследования докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре по дифференциальной геометрии математического факультета МПГУ (руководитель семинара - доктор физико-математических наук, профессор В.Ф. Кириченко); на международной конференции «Колмогоровские чтения - III» г.Ярославль, май 2005г.); на международной конференции «Геометрия в 0дессе-2006» (г. Одесса, май 2006 г.).

Публикации по теме работы. Содержание основного текста диссертации и полученных основных результатов отражено в 5 публикациях [70] -[74], две из которых выполнены в соавторстве.

Структура и объем работы. Диссертационное исследование состоит из введения, 4 глав, включающих 12 параграфов, и списка литературы. Работа изложена на 112 страницах машинописного текста, список литературы включает 69 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

1. Бишоп, Р. Геометрия многообразий Текст. / Р. Бишоп, Р. Дж. Крит-тенден. - М.: «Мир», 1967. - 335 с.

2. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях Текст. / Л.Е. Евтушик [и др.] // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. М.: ВИНИТИ, 1979. - Т. 9. - С. 5-246.

3. Картан, Э. Риманова геометрия в ортогональном репере Текст. / Э. Картан. М.: МГУ, 1960. - 94с.

4. Кириченко, В.Ф. Дифференциальная геометрия К-пространсте Текст. / В.Ф. Кириченко // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. М.: ВИНИТИ, 1973. - Т. 8. - С. 139-161.

5. Кириченко, В.Ф. Аксиома Ф-голоморфных плоскостей в контактной метрической геометрии Текст. / В.Ф. Кириченко // Изв. АН СССР. Сер. Мат. 1984. - Т. 48. - № 4. - С. 711-734.

6. Кириченко, В.Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий Текст. / В.Ф. Кириченко // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. М.: ВИНИТИ, 1986. - Т. 18. -С. 25-71.

7. Кириченко, В.Ф. Конформно-плоские локально-конформно келеровы многообразия Текст. / В.Ф. Кириченко // Матем. заметки. 1992. - Т. 51.-Вып. 5.-С. 57-66.

8. Кириченко, В.Ф. Локально конформно-келеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны Текст. / В.Ф. Кириченко // Матем. сборник. -1991. Т. 182, - Вып. 3, - С. 354-363.

9. Кириченко, В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях Текст.: монография. М.: МПГУ, 2003. - 495 с.

10. Кириченко, В.Ф. О геометрии Ь-многообразий Текст. / В.Ф. Кириченко, В.А. Левковец // Матем. заметки. 2006. - Т. 79. - Вып. 6. - С. 854869.

11. Кобаяши, Ш. Основы дифференциальной геометрии Текст.: в 2-х т. / Ш. Кобаяши, К. Номидзу. М.: «Наука», 1981. - Т. 1. - 344 с.

12. Кобаяши, Ш. Основы дифференциальной геометрии. Текст.: в 2-х т. / Ш. Кобаяши, К. Номидзу. М.: «Наука», 1981. - Т. 2. - 414 с.

13. Левковец, В.А. Геометрия локально конформно квази-сасакиевых многообразий Текст.: дисс. канд. физ.-мат. наук: 01.01.04 / Левковец Вадим Александрович. М, 2004. -11 е.- Библиогр.: с. 75-77.

14. Рустанов, А.Р. Аксиома Ф-голоморфных плоскостей для квази-сасакиевых многообразий Текст. / А.Р. Рустанов // Науч. труды МПГУ.- М., 1994. С. 39-45.

15. Уорнер, Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли Текст. / Ф. Уорнер. М.: Мир, 1987. - 304 с.

16. Широков, А.П. Структуры на дифференцируемых многообразиях Текст. / А.П. Широков // Итоги науки и техники. Серия Алгебра. Топология. Геометрия. Фундаментальные направления. Т.6. Алгебра. Топология. Геометрия. М.: ВИНИТИ, 1969. - С. 127-188.

17. Широков, А.П. Структуры на дифференцируемых многообразиях Текст. / А.П. Широков // Итоги науки и техники. Серия Алгебра. Топология. Геометрия. Фундаментальные направления. Т.П. Алгебра. Топология. Геометрия. М.: ВИНИТИ, 1974. - С. 153-208.

18. Bishop, R.L. Manifolds of negative curvature Text. / R.L. Bishop, B. O'Neil // Trans. Amer. Math. Soc. 1969. - Vol. 145. - Nov. -P. 1-49.

19. Blair, D.E. The theory of Quasi-Sasakian structures Text. / D.E. Blair // J. Diff. Geom. 1967. - V. 1. - N. 4. - P. 331-345.

20. Blair D.E. Contact manifolds in Riemannian geometry Text. / D.E. Blair // Lect. Notes in Math. Berlin: Springer-Verlag, 1976. - V. 509 - 146 p.

21. Blair, D.E. Riemannian geometry of contact and symplectic manifolds Text. / D.E. Blair// Birkhäuser, Boston, Basel: Progr. Math, 2002.- V. 203.- 304 p.

22. Boothby, W. On contact manifolds Text. / W. Boothby, H.C. Wang // Ann. of Math. 1958. - 2nd Ser. - Vol. 68. - N. 3. - P. 721-734.

23. Chern, S.-S. Pseudo-groupes continus infinis Text. / S.-S. Chern // Colloqe de Géométrie Différentielle. Strasbourg, 1953. - P. 119-136.

24. Chinea, D. Locally conformai cosymplectic manifolds and time-dependent Hamiltonian systems Text. / D. Chinea, M. de Leon, J.C. Marrero // Comment. Math. Univ. Carolinae. -1991. V. 32. - N. 2. - P. 383-387.

25. Chinea, D. Conformai changes of almost contact metric structures Text. / D. Chinea, J.C. Marrero // Riv. mat. Univ. di Parma. 1992. -V. 5. - N. 1. -P. 19-31.

26. Chinea, D. Conformai changes of almost cosymplectic manifolds Text. / D. Chinea, J.C. Marrero // Rend, di Mat. 1992. - Ser. VII. - V. 12. - P. 849867.

27. Chinea, D. Classifications of almost contact metric structures Text. / D. Chinea, J.C. Marrero // Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 1992. - V. 37. -P. 199-212.

28. Goldberg, S.I. Totally geodesic hypersurfaces ofKaehler manifolds Text. / S.I. Goldberg // Pacific J. Math. 1968. - Vol. 27. - N. 2. - P. 275-281.

29. Goldberg, S.I. Integrability of almost cosymplectic structure Text. / S.I. Goldberg, K. Yano // Pacific J. Math. 1969. - Vol. 31. - N. 2. -P. 373-382.

30. Goldberg, S.I. On compact locally conformai Kaehler manifolds with curvature non-negative sectional curvature Text. / S.I. Goldberg, I. Vaisman // Annales de la faculté des sciences de Toulouse. 1980. - Série 5e. - Tome 2. - № 2. - P. 117-123.

31. Gray, A. Nearly Kàhler manifolds Text. / A. Gray // J. Diff. Geom. 1970. -Vol.4.-N.3.-P. 283-309.

32. Gray, A. Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds Text. / A. Gray // Tôhoku Math. J. 1976. - Vol. 28. - N. 4. - P. 601-612.

33. Gray, A. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants Text. / A. Gray, L.M. Hervella // Ann. Math. Pure end Appl. -1980.-Vol. 123.-N. 4.-P. 35-58.

34. Gray, J.W. A theory of pseudo groups with applications to contact structures Text.: Thesis / J.W. Gray // Stanford Univ. 1957. Tech. Rep. ONR.

35. Gray, J.W. Contact structures Text. / J.W. Gray // Abst. short com. Int. Congress Math, in Edinburgh. Edinburgh: Univ. Edinburgh, 1958. - P. 113.

36. Ishihara, I. Anti-invariant submanifolds of a Sasacian spase form Text. /1. Ishihara // Kodai Math. J. 1976. - Vol. 2.-P 171-186.

37. Kanemaki, S. Quasi-Sasakian manifolds Text. / S. Kanemaki // Tôhoku Math. J. 1977. - Vol. 29. - N. 2. - P. 227-233.

38. Kashiwada, T. Some properties of locally conformai Kähler manifolds Text. / T. Kashiwada // Hokkaido Math. J.- 1979. Vol. 8. - P. 191-198.

39. Kashiwada, T. On V-harmonic forms in compact locally conformai Kähler manifolds with the parallel Lee form Text. / T. Kashiwada // Kodai Math. J. 1980.-Vol.3.-P. 70-82.

40. Kirichenko, V.F. Generalized Quasi-Kaehlerian Manifolds and Axioms of CR-Submanifolds in Generalized Hermitian Geometry, II Text. / V.F Kirichenko // Geometriae Dedicata. Vol. 51. - N. 1. - P. 53-85.

41. Kobayashi, S. Principal fibre bundles with 1-dimensional toroidal group Text. / S. Kobayashi // Tôhoku Math. J. 1956. - V. 8. - N. 2. - P. 29-45.

42. Libermann, P. Sur les structures presque complexes et autres structures infinitisimales regulieres. / P. Libermann // Bull. Soc. Math. Franse. 1955. -V. 83.-P. 195-224.

43. Matsumoto, K. A certain locally conformai almost cosymplectic manifolds and its submanifolds Text. / K. Matsumoto, I. Mihai, R. Rosea // Tensor (N.S.).- 1992.-V. 51.-P. 91-102.

44. Sasaki, S. On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure. I Text. / S. Sasaki // Tôhoku Math. J. 1960. - V. 12. - N. 3. - P. 459-476.

45. Sasaki, S. On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure Text. / S. Sasaki, Y. Hatakeyama //Tôhoku Math. J. -1961. V. 13. - P. 281-294.

46. Sasaki, S. Almost contact manifolds Text.: Lect. Notes I / S. Sasaki // Math. Inst. Tôhoku Univ., 1965. - P. 1-250.

47. Shahid, M.H. CR-submanifolds of a locally conformai Kaehler space form Text. / M.H. Shahid // International J. of Math. & Math. Sei. (U.S.A.). -1994.-Vol. 17.-N. 17-P. 511-514.

48. Tanno, S. Sasakian manifolds with contact 0-holomorphic sectional curvature Text. / S. Tanno // Tôhoku Math. J. 1969. - V. 21. - N. 3. - P. 501507.

49. Tanno, S. Quasi-Sasakian structures of rank 2p+l Text. / S. Tanno // J. Diff. Geom. -1971. V. 5. - N. 3-4. - P. 317-324.

50. Vaisman, I. On locally conformai almost Kühler manifold / I. Vaisman // J. Math. 1976. - V. 24. - N. 3-4. - P. 338-351.

51. Vaisman, I. Some curvature properties of locally Kühler manifolds Text. / I. Vaisman // Trans. Amer. Math. Soc. 1980. -Vol. 259. - N. 2. - P. 439447.

52. Vaisman, I. On locally and globally conformai Kühler manifolds Text. /1. Vaisman // Trans. Amer. Math. Soc. 1980. - Vol. 262. - N. 2. - P. 533-542.

53. Yanamoto, H. Quasi-Sasakian hypersurfaces in almost Hermitian manifolds Text. / H. Yanamoto // Res. Repts. Nagaoka Techn. 1965. - Coll. 5. - N. 2. -P. 93-103.

54. Yoon, D.W. Some inequalities for warpedproducts in locally conformai almost cosymplectic manifolds Text. / D.W. Yoon, K.S. Cho, S.G. Han II Note di Matematica. 2004. - V. 23. - N. 1. - P. 51-60.Публикации автора по теме диссертационной работы

55. Баклашова, Н.С. Структурные уравнения LCQS-структур и их приложение Текст. / Н.С. Баклашова; Мое. пед. гос. ун-т. М., 2005. - 34 с. -Библиогр.: с. 33-34. - Деп. в ВИНИТИ 01.07.05, № 935-В2005.

56. Баклашова, Н.С. Некоторые свойства кривизны LCQS-многообразий Текст. / Н.С. Баклашова // Научные труды МПГУ. Серия: Естественные науки. Сборник статей. М.: ГНО Изд-во «Прометей», 2006. - С. 25-30.

57. Кириченко, В.Ф. Об интегрируемости фундаментальных распределений LCQS-структуры Текст. / В.Ф. Кириченко, Н.С. Баклашова // Некоторые вопросы математики, информатики и методики их преподавания. М.: МПГУ, 2006. - С. 98-102.

58. Кириченко, В.Ф. Геометрия контактной формы Ли и контактный аналог теоремы Икуты Текст. / В.Ф. Кириченко, Н.С. Баклашова // Матем. заметки. 2007. - Т. 82. - Вып. 3. - С. 347-360.