Геодезические и конциркулярные преобразования локально конформно квази-сасакиевых многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Полькина Елена Александровна

Геодезические и конциркулярные преобразования локально конформно квази-сасакиевых многообразий

Специальность 01 01 04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003066566

Москва-2007

003066566

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете на кафедре геометрии математического факультета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Кириченко Вадим Федорович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Степанов Сергей Евгеньевич кандидат физико-математических наук, доцент Власова Людмила Игоревна

Ведущая организация:

Казанский государственный университет

дании диссертационного совета К 212 154 03 при Московском педагогическом государственном университете по адресу 107140, Москва, ул Краснопрудная, 14, аудитория 301, математический факультет

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу 119992, Москва, ул Малая Пироговская, д 1

Защита состоится " ¿М " октября

пшп — _

¿ии/ 1 а

часов на засе-

Автореферат разослан " " 09

2007 года

Ученый секретарь

диссертационного совета

КАРАСЕВ Г А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Настоящая работа посвящена изучению геодезических и конциркулярных преобразований локально конформно квази-сасакиевых структур на многообразиях.

Теория геодезических отображений занимается специальными проблемами моделирования одних пространств другими Она находит свое применение в прикладных направлениях Например, при решении задач оптимизации движений механических систем и динамических процессов, протекающих в различных условиях Такие движения и процессы зачастую происходят по траекториям, которые можно рассматривать как геодезические линии риманова пространства Поэтому если одно риманово пространство допускает геодезическое отображение на другое, то есть сохраняет геодезические, то такие движения и процессы можно моделировать на другие пространства.

Построение классической теории геодезических отображений рима-новых пространств берет свое начало в трудах таких авторов, как Т Леви-Чивита [7], Т Томас [8], Г Вейль [9] В дальнейшем многие исследователи обращались к этой проблематике, изучая геодезические отображения псев-доримановых многообразий, наделенных дополнительной структурой Так, в середине 20 века У Уэстлейком [10] и К Яно [11] было доказано, что ке-леровы структуры не допускают нетривиальных геодезических отображений, сохраняющих комплексную структуру. Весомый вклад в формирование теории внесли одесские математики -НС Синюков [5] и его последователи Они также исследовали отображения и преобразования римановых, эрмитовых и других структур на многообразиях

Сейчас вопросами геодезических преобразований занимается, в частности, В Ф Кириченко [2] и его ученики Более того, на сегодняшний день ведется активное изучение многообразий с фиксированными на них контактными структурами, поэтому естественно продолжить изучение гео-

дезических преобразований применительно к контактным структурам Так, в работе В Ф. Кириченко и Н.Н Дондуковой [3] вводится понятие контактно-геодезического преобразования почти контактной метрической структуры как геодезического преобразования, сохраняющего почти контактную структуру Там же авторами доказывается, что косимплектиче-ские и сасакиевы структуры, а также структуры Кенмоцу не допускают нетривиальных контактно-геодезических преобразований метрики В продолжение обозначенной тематики нами рассматриваются контактно-геодезические преобразования квази-сасакиевых и локально конформно квази-сасакиевых структур

Еще один интересный класс преобразований римановых пространств образуют конформные преобразования Известно, что конформное преобразование метрики является геодезическим только в тривиальном случае. При этом в классе конформных преобразований метрики псевдориманова многообразия выделяют нетривиальные конформные преобразования, которые сохраняют так называемые геодезические о!фужности или геодезические циклы - кривые, у которых первая кривизна постоянна, а остальные кривизны равны нулю Такие преобразования называются конциркуляр-ными Основоположником данной теории является К Яно [11] Он получил критерий, позволяющий выделить конциркулярные преобразования из класса конформных, а также основные инварианты таких преобразований Изучение конциркулярно-инвариантных свойств структур является отдельной актуальной задачей современной дифференциальной и, в частности, контактной геометрии Их исследованиям посвящены работы А Фиалкова [6], Н.С. Синюкова [5], СГЛейко[4], Л.И Власовой [1] и других авторов Наличие конциркулярных преобразований позволяет ввести в рассмотрение особый класс почти контактных метрических структур, а именно структур, допускающих локально конциркулярное преобразование в квази-сасакиеву структуру. Такие структуры мы назвали локально

конциркулярно квази-сасакиевыми и посвятили изучению их свойств вторую часть нашего исследования

Цель диссертационной работы состоит в изучении геодезических и конциркулярных преобразований локально конформно квази-сасакиевых структур

Основные задачи диссертационного исследования

1. Выяснить, допускают ли квази-сасакиевы и локально конформно квази-сасакиевы структуры нетривиальные контактно-геодезические преобразования метрики.

2 Найти условия, при которых локально конформно квази-сасакиево многообразие является локально конциркулярно квази-сасакиевым

3 Выделить дополнительные свойства симметрии тензора кривизны локально конциркулярно квази-сасакиевых многообразий

4 Найти условия конциркулярной подвижности основных подклассов квази-сасакиевых многообразий

Основные результаты, полученные в процессе диссертационного исследования, являются новыми. Отметим некоторые из них

1 Доказано, что квази-сасакиевы структуры не допускают нетривиальных контактно-геодезических преобразований метрики.

2 Доказано, что регулярные локально конформно квази-сасакиевы структуры, допускающие нетривиальные контактно-геодезические преобразования метрики, нормальны

3 Получен критерий локальной конциркулярности локально конформно квази-сасакиевых многообразий.

4 Доказано, что локально конциркулярно квази-сасакиевы многообразия являются многообразиями классов СБ^ и С11з.

5 Получены критерии конциркулярной подвижности основных подклассов квази-сасакиевых многообразий

Методы исследования Результаты работы получены систематическим использованием аппарата классического тензорного анализа, а также метода присоединенных G-структур в сочетании с методом инвариантного исчисления Кошуля.

Теоретическое и прикладное значение Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения геодезических и конциркулярных преобразований почти контактных метрических структур Кроме того, они могут найти свое применение в качестве материалов для специальных курсов в высших учебных заведениях

Апробация работы. Результаты исследования докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара кафедры геометрии Mill У, на региональной научной конференции "Современные вопросы геометрии и механики деформируемого твердого тела" (Чебоксары, 2006); на международной конференции "Геометрия в 0дессе-2007" (Одесса, 2007)

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 4 публикациях, их список приведен в конце автореферата

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 37 наименований работ отечественных и зарубежных авторов Общий объем рукописи - 80 страниц, объем основного текста - 75 страниц

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность исследуемой темы, сформулированы цель и задачи исследования, показаны научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, охарактеризована структура диссертации

В первой главе "Почти контактные метрические многообразия" вводятся базовые понятия контактной геометрии, необходимые для дальнейшего изложения материала

В пункте 1.1 дается определение почти контактной метрической (далее АС-) структуры, описывается способ построения присоединенной в-структуры, приводится первая группа структурных уравнений почти контактной метрической структуры

В пункте 1.2 даются определения нормальных, квази-сасакиевых (далее ОБ-), саеакиевых и косимплектических структур. Приводится определяющее тождество для (^-структур

V,, (Ф)У = (СХ, - Г((У)СХ. Х,УеХ(м)5

где С(Х)= - самосопряженный эндоморфизм модуля Х(М), который коммутирует со структурным эндоморфизмом Ф и аннулирует харатери-стический вектор

В пункте 1.3 даются определения конформного преобразования АС-структуры, локально конформно квази-сасакиевых (далее 1с<38-) структур, контактной формы Ли 1сС>8-структур, а также формула для ее вычисления Приводятся некоторые известные факты геометрии 1с(28-структур

Во второй главе "Контактно-геодезические преобразования некоторых классов АС-структур" рассматриваются контактно-геодезические преобразования квази-сасакиевых и локально конформно квази-сасакиевых структур

В пункте 2.1 даются определения геодезического преобразования метрики, оператора геодезической деформации, тривиального геодезического преобразования

В пункте 2.2 доказана

Теорема 2.1. Тождества Сйа и СИз для АС-многообразий Эйнштейна имеют проективно-инвариантный смысл

В пункте 2.3 дается определение контактно-геодезического (далее с-геодезического) преобразования АС-структуры, приводятся некоторые свойства этих преобразований.

В пунктах 2.4 и 2.5 рассмотрены с-геодезические преобразования квази-сасакиевых и локально конформно квази-сасакиевых структур Доказаны

Теорема 2.2. Квази-сасакиево многообразие не допускает нетривиальных с-геодезических преобразований метрики

Теорема 2.3. Регулярные ¡сС^-структуры, допускающие нетривиальные контактно-геодезические преобразования метрики, нормальны

Замечание 2.1. Обратное, вообще говоря, неверно. Выше уже упоминалось, что структуры Кенмоцу, будучи нормальными, не допускают нетривиальных контактно-геодезических преобразований метрики

В третьей главе "Локально конциркулярно квази-сасакиевы многообразия" изучается подкласс 1с(}8-структур, а именно подкласс АС-структур, метрика которых допускает локально конциркулярное преобразование в квази-сасакиеву структуру

В пункте 3.1 дается определение конциркулярных преобразований метрики и приводится критерий их существования Наличие таких преобразований позволяет ввести в рассмотрение следующий класс АС-структур

Определение 3.1. АС-многообразие М с АС-структурой в = (т|,£,,Ф,§) называется локально конциркулярно квази-сасакиевым (далее

кС>8-) многообразием, если в некоторой окрестности и каждой точки из М существует конциркулярное преобразование метрики % переводящее структуру Б в квази-сасакиеву структуру Б = (п,|,Ф,§), где

а е С" (и) - определяющая функция конциркулярного преобразования, которая является решением системы дифференциальных уравнений Яно

где {ст,} - компоненты формы 1-формы скх; {ст, 1} - компоненты ее ковари-антного дифференциала, ¡3 = 3(о) е С"(м)

В пункте 3.2 доказываются некоторые факты геометрии 1сС)8-структур, необходимые для получения условий, при которых локально конформно квази-сасакиево многообразие является локально концирку-лярно квази-сасакиевым Именно:

Лемма 3.1 Пусть задано конформное преобразование АС-структурьг (п,|,Ф,§) и пусть О и О - фундаментальные

формы исходной и преобразованной структур соответственно Тогда справедливы следующие соотношения

<1с = —;Д—г(Шоф-5аоф)-— (5'П-6*п)°т, 2(п-1) ' 2пк '

¿а = —г(8'Й - 5'о)° I -— (б'П - 8"о)° т, 2(п — 1) 2п

где ст - определяющая функция конформного преобразования, 5 и б* -операторы кодифференцирования и альтернативного кодифференцирования, которые задаются соотношениями (бО),, ,г| = §1'кУь©,1 , и

(б'о), , _ . соответственно (здесь © - произвольная дифферен-

циальная г-форма на М)

Теорема 3.1. Конформное преобразование АС-сгруктуры является гомотетией тогда и только тогда, когда оно сохраняет тензор 8'С2

Теорема 3.2. Конформное преобразование, переводящее АС-структуру в в АС-структуру § такую, что 5*0 = 0, определено однозначно с точностью до гомотетии.

Определение 3.2. Дифференциальную 1-форму а определенную на АС-многообразии формулой

и~1 п )

назовем модифицированной контактной формой Ли АС-многообразия

Показывается, что в случае 1с(28-многообразий эта форма с точностью до постоянного множителя совпадает с контактной формой Ли 1с<38-многообразий

Теорема 3.3. [LzQS-кpumepuй] Ьс(38-многообразие является 1гС>8-многообразием тогда и только тогда, когда его модифицированная контактная форма Ли а удовлетворяет соотношению

где р - гладкая функция, с необходимостью равная —-—[ 5а + — ||а||21

2п +1\ 2 )

В пункте 3.3 доказана

Теорема 3.4. Локально конциркулярно квази-сасакиево многообразие является многообразием класса СЯ2 и

В пункте 3,4 рассмотрен вопрос, какие из подклассов квази-сасакиевых структур допускают нетривиальные конциркулярные преобразования метрики (то есть определяют пространства Фиалкова), и если допускают, то при каких условиях Доказаны

Теорема 3.5. Косимплектическое многообразие всегда является пространством Фиалкова

Теорема З.б. [Критерий конциркулярной подвижности многообразий Сасаки] Многообразие Сасаки М является пространством Фиалкова, то есть допускает нетривиальное локально конциркулярное преобразование метрики, тогда и только тогда, когда на М выполняются условия

т = -йу,

где у - подходящая гладкая функция на М, {т,} - компоненты 1-формы т, {АГС} - семейство функций на пространстве присоединенной в-структуры, служащих компонентами структурного тензора второго рода

Полученный критерий позволяет выделить достаточно обширный класс многообразий Сасаки, которые не являются пространствами Фиалкова Именно, доказана

Теорема 3.7. Многообразия Сасаки точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны не являются пространствами Фиалкова, то есть не допускают нетривиальных локально конциркулярных преобразований метрики

Теорема 3.8. [Критерий конциркулярной подвижности QS-многообразий] Квази-сасакиево многообразие М является пространством Фиалкова, то есть допускает нетривиальное локально конциркулярное преобразование метрики тогда и только тогда, когда на М выполняются условия

с1у = -(иВ)(т о В)+ -Ь-(В2 )т о т, I п п

т.а£ = 2Т.в'Ж + Т.В;В; +1вхв:5!,

п

где у - подходящая гладкая функция на М, {-с,} - компоненты 1-формы т, В° = ь, {А^} - семейство функций на пространстве присоединен-

ной О-структуры, служащих компонентами структурного тензора второго рода

В пункте 3.5 рассмотрены некоторые свойства локально концирку-лярно квази-сасакиевых многообразий постоянной кривизны Доказаны

Теорема 3.9. Собственные ¡гС^-структуры постоянной кривизны посредством канонического конциркулярного преобразования переходят

— либо в АС-структуру, гомотетичную структуре Сасаки постоянной кривизны к=1, локально эквивалентную канонической сасакиевой структуре индуцированной на нечетномерной сфере радиуса 1, стандартно вложенную в комплексное евклидово пространство Сп+1=112п+2 в качестве вполне омбилического подмногообразия,

- либо в плоскую косимплектическую структуру, локально эквивалентную канонической плоской косимплектической структуре на многообразии С"хЯ

Теорема 3.10. Нормальная собственная 1г(28-структура постоянной кривизны является АС-структурой, гомотетичной структуре Кенмоцу постоянной кривизны к=-1, полученной из стандартной косимплектической структуры многообразия С"х11 каноническим локально конциркулярным-преобразованием

Теорема 3.11. ЬгС)8-структура, полученная из нечетномерной сферы, снабженной канонической сасакиевой структурой, конциркулярным преобразованием метрики будет являться собственной 1г(28-структурой постоянной кривизны, отличной от нормальной

Литература

1 Кириченко, В Ф. Конциркулярная геометрия приближенно келеровых многообразий [Текст] / В Ф Кириченко, JIИ Власова // Матем сборник -2002 -Т 193 -№5 -С 53-76

2 Кириченко, В Ф Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях [Текст] / В Ф Кириченко - М МПГУ, 2003 - 495 с

3 Кириченко, В Ф Контактно-геодезические преобразования почти контактных метрических структур [Текст] / В Ф Кириченко, Н Н Донду-кова//Матем заметки -2006 -Т80 -№2 -С 209-220

4. Лейко, С Г Р-геодезические преобразования и их группы в касательных расслоениях, индуцирванные конциркулярными преобразованиями базисного многообразия [Текст] / С Г Лейко // Известия вузов Математика - 1998 -№ 6 - С 35-45.

5 Синюков, НС. Геодезические отображения римановых пространств [Текст]/НС Синюков -М Наука, 1979 -256с

6 Fialkow, A Conformals geodesies [Текст] / A Fialkow // Trans Amer Math Soc -1939 -V 45 -P 443-473

7 Levi-Civita, T Sulle transformazioni delle equazioni dinamiche [Текст] / T Levi-Civita // Ann di Mat - 1896, ser 2,24, p 255-300

8 Thomas, T On the projrctive and equiprojective Geometries of paths [Текст]/Т Thomas//Proc Nat Acad Sci,USA, 1925, ll,p 198-203

9 Weyl, H Zur mfmitesimalgeometrie Emordnung der projektiven und der Konformen Auffassung [Текст] / H Weyl // Gottinger Nachrichten, 1921, s 99-119

10 Westlake, WJ Hermitian spaces m geodesic correspondence [Текст] / W.J. Westlake // Proc AMS, 5, № 2,1954, p 301-303.

11. Yano, К Concircular geometry [Текст] / К Yano // I-IV - Proc Imp Acad Tokio -1940.-V 16 -P 195-200,354-360,442-448,505-511

Список публикаций автора по теме диссертации

1 Полькина, Е.А. Тождества кривизны для почти контактных метрических многообразий [Текст] / Е.А. Полькина // Известия вузов. Математика. - 2007. - № 7. - С. 76-80 (0,3 печ. л.).

2 Кириченко, В.Ф. Геодезическая жесткость некоторых классов почти контактных метрических многообразий [Текст] / В.Ф. Кириченко, Е.А. Полькина // Известия вузов. Математика. - 2007. -№ 9. - С. 46-80 (0,5 печ. л., соискателем выполнено 50% работы).

3. Полькина, Е.А Конциркулярная геометрия локально конформно ква-зи-сасакиевых многообразий [Текст] / Е А Полькина // Тезисы докладов международной конференции «Геометрия в 0дессе-2007» -Одесса, 2007 - С 88-90 (0,1 печ л )

4 Полькина, Е А О геодезической жесткости квази-сасакиевых многообразий [Текст] / Е А Полькина // Современные вопросы геометрии и механики деформируемого твердого тела Тезисы научной конференции (Чебоксары, 2006) - Чебоксары Чувашгоспедуниверситет имени

И Я Яковлева, 2006 - 49 с (0,1 печ л)

Подл, к печ. 10.09 2007 Объем 1 п.л Заказ № 119 Тир 100 экз

Типография МПГУ

Введение.

Глава 1. Почти контактные метрические многообразия.

1.1 Почти контактные метрические структуры.

1.2 Квази-сасакиевы (С^-) структуры.

1.3 Локально конформно квази-сасакиевы (1с(}8-) структуры.

Глава 2. Контактно-геодезические преобразования некоторых классов АС-структур.

2.1 Геодезические преобразования.

2.2 Об инвариантах геодезических преобразований.

2.3 Контактно-геодезические преобразования.

2.4 Контактно-геодезические преобразования (^-структур.

2.5 Контактно-геодезические преобразования 1с()8-структур.

Глава 3. Локально конциркулярно квази-сасакиевы многообразия.

3.1 Локально конциркулярно квази-сасакиевы (1г()8-) структуры.

3.2 ЬгСЭБ-критерий.

3.3 Тождества кривизны для кС^-многообразий.

3.3 Критерий конциркулярной подвижности (^-многообразий.

3.3.1 Критерий конциркулярной подвижности косимплектических многообразий.

3.3.2 Критерий конциркулярной подвижности многообразий Сасаки.

3.3.3 Критерий конциркулярной подвижности (^-многообразий.

3.4 ЬгС^-многообразия постоянной кривизны.

Актуальность темы. Настоящая работа посвящена изучению геодезических и конциркулярных преобразований локально конформно квази-сасакиевых структур на многообразиях.

Интересно отметить, что понятие преобразования встречается еще в трудах древнегреческого математика Аполлония Пергского. Именно, в работе "Конические сечения" он рассматривал инверсии, причем не только относительно окружности, но также эллипса, параболы и гиперболы. Тем самым истоки теории преобразований имеются в "Конических сечениях" Аполлония [2]. Построение классической теории геодезических отображений, по существу, берет свое начало в середине 19 века в трудах итальянского геометра Э. Бельтрами [24], рассмотревшего отображение поверхности на плоскость при котором геодезические переходят в прямые, то есть в геодезические на плоскости. Базовые теоретические результаты теории геодезических отображений римановых пространств были получены в работах Т. Леви-Чивита [29], который вывел основные уравнения теории геодезических отображений, а также Т. Томаса [31] и Г. Вейля [32], получивших основные инварианты геодезических отображений: проективные параметры Томаса и тензор Вейля проективной кривизны. С тех пор многие исследователи обращались к этой проблематике, изучая геодезические отображения псевдоримановых многообразий, наделенных дополнительной структурой. Теория наполнялась новым содержанием. Так, в середине 20 века Уэстлейком и Яно [33] было доказано, что келеровы структуры не допускают нетривиальных геодезических отображений, сохраняющих комплексную структуру Весомый вклад в формирование теории внесли одесские математики — Н.С. Синюков [22], [23] и его последователи Й. Микеш [20], С.Г. Лейко [19] и другие [17], [б]. Они также исследовали отображения и преобразования римановых, эрмитовых и других структур на многообразиях. Об актуальности таких исследований говорит в своей монографии Н.С. Синюков [22]: "Теория геодезических отображений римановых пространств, а также ее обобщения представляют интерес с прикладной точки зрения. Известно, что на основании принципа наименьшего действия Якоби траектории движения консервативной склерономной го-лономной системы являются геодезическими линиями риманова пространства, основная метрическая форма которого определяется кинетической энергией системы [29]. Далее, в соответствии с первым законом Ньютона траектории свободных частиц, движущихся в гравитационном поле, и линии тока в некогерентной жидкости являются геодезическими линиями риманова пространства, основная метрическая форма которого определяется обобщенными ньютоновскими потенциалами гравитационного поля. Поэтому, два риманова пространства, допускающие геодезическое отображение друг на друга, описывают процессы, протекающие при эквивалентных внешних нагрузках по одним и тем же "траекториям", но при различных энергетических режимах. Следовательно, один из этих процессов можно моделировать другим".

Сейчас вопросами проективных преобразований занимается, в частности, В.Ф. Кириченко [12] и его ученики Х.М. Абоуд [1], A.B. Никифорова [14] и другие. Более того, на сегодняшний день ведется активное изучение многообразий с фиксированными на них контактными структурами. Поэтому естественно продолжить изучение геодезических преобразований применительно к контактным структурам. Так, в работе В.Ф. Кириченко и H.H. Дондуковой [11] вводится понятие контактно-геодезического преобразования почти контактной метрической структуры как геодезического преобразования, сохраняющего почти контактную структуру. Там же авторами доказывается, что косимплектические и сасакиевы структуры, а также структуры Кенмоцу не допускают нетривиальных контактно-геодезических преобразований метрики. В продолжение обозначенной тематики нами рассматриваются контактно-геодезические преобразования квази-сасакиевых и локально конформно квази-сасакиевых структур.

Еще один интересный класс преобразований римановых пространств образуют конформные преобразования. Доказано [22], что конформное преобразование метрики является геодезическим только в тривиальном случае. При этом в классе конформных преобразований метрики псевдори-манова многообразия выделяют нетривиальные конформные преобразования, которые сохраняют так называемые геодезические окружности или геодезические циклы — кривые, у которых первая кривизна постоянна, а остальные кривизны равны нулю. Такие преобразования называются кои-циркуляриыми. Основоположником данной теории является К. Яно [33]. Он получил критерий, позволяющий выделить конциркулярпые преобразования из класса конформных, а также основные инварианты таких преобразований. Изучение конциркулярно-инвариантных свойств структур, является отдельной актуальной задачей современной дифференциальной (см. например, работы А. Фиалкова [26], Н.С. Синюкова [22], С.Г. Лейко [18]) и, в частности, контактной [15] геометрии. Наличие конциркулярпых преобразований позволяет ввести в рассмотрение особый класс почти контактных метрических структур, а именно, допускающих локально конциркулярное преобразование в квази-сасакиеву структуру. Такие структуры мы назвали локально конциркулярно квази-сасакиевыми и посвятили изучению их свойств вторую часть нашего исследования.

Цель диссертационной работы состоит в изучении геодезических и конциркулярных преобразований локально конформно квази-сасакиевых структур на многообразиях.

Основные задачи диссертационного исследования:

1. Выяснить, допускают ли квази-сасакиевы и локально конформно квази-сасакиевы структуры нетривиальные контактно-геодезические преобразования метрики.

2. Найти условия, при которых локально конформно квази-сасакиево многообразие является локально конциркулярно квази-сасакиевым.

3. Выделить дополнительные свойства симметрии тензора кривизны локально конциркулярно квази-сасакиевых многообразий.

4. Найти условия конциркулярной подвижности основных подклассов квази-сасакиевых многообразий.

Основные результаты, полученные в процессе диссертационного исследования, являются новыми. Отметим некоторые из них:

1. Доказано, что квази-сасакиевы структуры не допускают нетривиальных контактно-геодезических преобразований метрики.

2. Доказано, что регулярные локально конформно квази-сасакиевы структуры, допускающие нетривиальные контактно-геодезические преобразования метрики, нормальны.

3. Получен критерий локальной конциркулярности локально конформно квази-сасакиевых многообразий.

4. Доказано, что локально конциркулярно квази-сасакиевы многообразия являются многообразиями классов СЯ2 и СЯ3.

5. Получены критерии конциркуляриой подвижности основных подклассов квази-сасакиевых многообразий.

Методы исследования. Результаты работы получены систематическим использованием аппарата классического тензорного анализа, а также метода присоединенных в-структур в сочетании с методом инвариантного исчисления Кошуля.

Теоретическое и прикладное значение. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения геодезических и конциркулярных преобразований почти контактных метрических структур. Кроме того, они могут найти свое применение в качестве материалов для специальных курсов в высших учебных заведениях.

Апробация работы. Результаты исследования докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара кафедры геометрии МПГУ; на региональной научной конференции "Современные вопросы геометрии и механики деформируемого твердого тела" (Чебоксары, 2006); на международной конференции "Геометрия в 0дессе-2007" (Одесса, 2007).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 4 публикациях [34] — [37].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 37 наименований. Общий объем рукописи — 80 страниц, объем основного текста — 75 страниц.

1. Абоуд, Х.М. Голоморфно-геодезические преобразования почти эрмитовых многообразий Текст]: дис. . канд. физ.-мат. наук / Абоуд Хабееб Муташар. - М., 2002. - 75 с. - Библиогр.: с. 71-75.

2. Атагаррыев, М. Конформные преобразования плоскости в "Конических сечениях" Аполлония Текст] / М. Атагаррыев, Б.А. Розенфельд // Изв. АН ТССР. Сер. физ.-техн., хим. и геол. н. 1990. -N3.-0. 97-99.

3. Баклашова, Н.С. Некоторые свойства кривизны УсС^-многообразий Текст] / Н.С. Баклашова // Научные труды МПГУ. Серия: Естественные науки. М.: "Прометей" МПГУ, 2006. - С. 25-30.

4. Баклашова, Н.С. Структурные уравнения ЬСС^Б-структур и их приложения Текст] / Н.С. Баклашова // Моск.пед.гос.ун-т. М., 2005. - Деп. в ВИНИТИ 01.07.2005. N 935-В2005 - 34 с.

5. Волкова, Е.С. О геометрии нормальных многообразий киллингова типа Текст] / Е.С. Волкова // Моск.пед.гос.ун-т. М., 1996. - Деп. в ВИНИТИ N 2111-В96 - 25 с.

6. Григорьева, Т.И. Почти геодезическое отображение специальных рима-новых пространств Текст] / Т.И. Григорьева // Тезисы докладов международной конференции "Геометрия в 0дессе-2006". Одесса, 2006. -С. 56-58.

7. Кириченко, В.Ф. Аксиома Ф-голоморфпых плоскостей в контактной метрической геометрии Текст] / В.Ф. Кириченко // Изв. АН СССР. 1984. - Т. 48. - N 4. - С. 711-739.

8. Кириченко, В.Ф. Геометрия контактной формы Ли и контактный аналог теоремы Икуты Текст] / В.Ф. Кириченко, Н.С. Баклашова // Ма-тем. заметки. 2007. - Т. 82. - Вын.З. - N 4. - С. 347-360.

9. Кириченко, В.Ф. Конциркулярная геометрия приближенно келеровых многообразий Текст] / В.Ф. Кириченко, Л.И. Власова // Матем. сборник. 2002. - Т. 193. -N5.-C. 53-76.

10. Кириченко, В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях Текст] / В.Ф. Кириченко. М.: МПГУ, 2003. - 495 с.

11. Кириченко, В.Ф. Контактно-геодезические преобразования почти контактных метрических структур Текст] / В.Ф. Кириченко, H.H. Допду-кова // Матем. заметки. 2006. - Т. 80. -N 2. - С. 209-220.

12. Кириченко, В.Ф. Обобщенные классы Грея-Хервеллы и голоморфно-проективные преобразования обобщенных почти эрмитовых структур Текст] / В.Ф. Кириченко // Известия РАН. 2005. - Т. 69. - N 5. -С. 107-132.

13. Кириченко, В.Ф. О геометрии L-многообразий Текст] / В.Ф. Кириченко, В.А. Левковец // Матем. заметки. 2006. - Т. 79.-N6.-C. 854-869.

14. Кириченко, В.Ф. О голоморфно-проективных преобразованиях почти эрмитовых структур Текст] / В.Ф. Кириченко, A.B. Никифорова // Успехи мат. наук. 2001. -T.56.-N 6 (342). - С. 149-150.

15. Кириченко, В.Ф. О геометрии многообразий Кепмоцу Текст] / В.Ф. Кириченко // Доклады академии наук. 2001. - Т. 380. - N Ь.- С. 585-587.

16. Кириченко, В.Ф. Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий Текст] / В.Ф. Кириченко, А.Р. Рустапов // Матем. сборник. 2002. -T.8.-N 193. - С. 1173-1201.

17. Кармазина, A.B. О некоторых вопросах геодезических отображений почти эрмитовых пространств Текст] / A.B. Кармазина, И.Н. Курбатова // Одес. гос. пед. ин-т. Деп. в Укр. НИИНТИ 12.03.1990. N 458-Ук90.

18. Лейко, С.Г. Р-геодезические преобразования и их группы в касактель-ных расслоениях, индуцированные конциркулярными преобразованиями базисного многообразия Текст] / С.Г. Лейко // Известия вузов. Математика. 1998. -N6.-C. 35-45.

19. Лейко, С.Г. Р-геодезические сечения касательного расслоения Текст] / С.Г. Лейко // Известия вузов. Математика. 1994. - N 3. - С. 32-42.

20. Микеш, Й. Геодезические отображения на полусимметрические пространства Текст] / Й. Микеш // Известия вузов. Математика. 1994.- N 2. С. 37-43.

21. Рашевский, П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ Текст] / П.К. Рашевский. М.: Гос. изд. технико-теоретич. лит-ры, 1953. - 635 с.

22. Синюков, Н.С. Геодезические отображения римановых пространств Текст] / Н.С. Синюков. М.: Наука, 1979. - 256 с.

23. Синюков, Н.С. Некоторые актуальные аспекты развития теории геодезических отображений римановых пространств и их обобщений Текст]Н.С. Синюков, E.H. Сишокова, Ю.А. Мовчан // Известия вузов. Математика. 1994. - N 3. - С. 76-80.

24. Beltrami, Е. Risoluzione del problema i riportari i punti di una superficie sopra un piano in modo che le linee geodeche vengano rappresentate da linee rette Текст] / E. Beltrami // Annli di Matematica. 1865. - 1, N7.

25. Blair, D.E. The theory of quasi-Sasakian structures Текст] / D.E. Blair // J. Diff.Geom. 1 (1967), 333-345.

26. Fialkow, A. Conformals geodesies Текст] / A. Fialkow // Trans. Amer. Math. Soc. 1939. - V. 45. - P. 443-473.

27. Ishihara, I. Anti-invariant submanifolds of a Sasakian spase form Текст] / I. Ishihara // Kodai Math. J., 1976. 2. P.171-186.

28. Kenmotsu, K. A class of almost contact Riemannian manifolds Текст] / К. Kenmotsu // Tohoku Math. J. 24, 1972. P.93-103.

29. Levi-Civita, T. Sulle transformazioni delle equazioni dinamiche Текст] / Т. Levi-Civita // Ann. di Mat. 1896, ser. 2, 24, p.255-300.

30. Sasaki, S. On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure II Текст] / S. Sasaki, Y. Hatakeyama // Tohoku Math. J. 13, (1961), 281-294.

31. Thomas, T. On the projretive and equiprojective Geometries of paths Текст] / Т. Thomas // Proc. Nat. Acad. Sei., USA, 1925, 11, p. 198-203.

32. Weyl, H. Zur infmitesimalgeometrie Einordnung der projektiven und der Konformen Auffassung Текст] / H. Weyl // Gottinger Nachrichten, 1921, s. 99-119.

33. Yano, К. Concircular geometry Текст] / К. Yano // I-IV. Proc. Imp. Acad. Tokio. - 1940. - V. 16. - P. 195-200, 354-360, 442-448, 505-511.Публикации автора

34. Полькина, E.A. Тождества кривизны для почти контактных метрических многообразий Текст] / Е.А. Полькина // Известия вузов. Математика. 2007. - N 7. - С. 57-60.

35. Кириченко, В.Ф. Геодезическая жесткость некоторых классов почти контактных метрических многообразий Текст] / В.Ф. Кириченко, Е.А. Полькина // Известия вузов. Математика. 2007. -N 9. - С. 42-49.

36. Полькина, Е.А. Конциркулярная геометрия локально конформно квази-сасакиевых многообразий Текст] / Е.А. Полькина // Тезисы докладов международной конференции "Геометрия в 0дессе-2007". -Одесса, 2007. С. 88-90.