Геометрия локально конформно квази-сасакиевых многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукодиси

^ ЛЕВКОВЕЦ ВАДИМ АЛЕКСАНДРОВИЧ

г

ГЕОМЕТРИЯ ЛОКАЛЬНО КОНФОРМНО КВАЗИ-САСАКИЕВЫХ МНОГООБРАЗИЙ

Специальность 01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2004

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете на кафедре геометрии математического факультета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Кириченко Вадим Федорович

Официальные оппоненты:

Шелехов Александр Михайлович, доктор физ.-мат. наук, профессор Коннов Валерий Владимирович, кандидат физ.-мат. наук, доцент

Ведущая организация - Белорусский государственный университет

сертационного совета К 212.154.03 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная ул., д. 14, математический факультет, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, Москва, ул. Малая Пироговская, д.1.

Автореферат разослан "_"_2005 года.

Защита состоится "21" марта 2005 г. в

часов на заседании дис-

Ученый се1фетарь диссертационного совета

КАРАСЕВ Г.А.

Актуальность темы.

С появлением статей Дж. Грея [1, 2], Бузби и Вана [3], посвященных контактным структурам на многообразиях, началось интенсивное исследование контактных и почти контактных структур на многообразиях. На 2п + 1 - мерном многообразии М контактная структура задается 1-формой г), такой, что

то есть щт1 = сНтМ в каждой точке многообразия М. Многообразие М, снабженное контактной структурой, называется контактным многообразием. Понятия почти контактных структур и почти контактных метрических многообразий введены Дж. Греем [2] в 1959 году.

Обзор многочисленных исследований по почти контактным метрическим и контактным структурам приведен в [4] - [7]. Внимательному анализу подвергались специальные классы почти контактных метрических и контактных многообразий. Необходимо отметить, что нормальные почти контактные метрические структуры играют фундаментальную роль в контактной геометрии и являются контактным аналогом эрмитовых структур в эрмитовой геометрии. Достаточно сказать, что частными случаями нормальных структур являются са-сакиевы, то есть нормальные контактные метрические структуры, а также ко-симплектические структуры, изучению которых посвящено огромное количество работ. Нормальными являются также квази-сасакиевы структуры, являющиеся связующим звеном между сасакиевыми и косимплектическими структурами [8]. Отметим также интересную взаимосвязь между контактной геометрией нормальных структур и эрмитовой геометрией. Согласно классической теореме Накаямы [9] почти контактная метрическая структура нормальна тогда и только тогда, когда ее линейное расширение [10] является эрмитовой структу-

Цель диссертационного исследования.

Целью данной работы является изучение интересного подкласса нормальных структур, а именно, подкласса нормальных почти контактных метрических структур, метрика которых допускает локально конформное преобразование в квази-сасакиеву структуру.

Основные задачи диссертационного исследования.

1. Получить структурные уравнения нормальных локально конформно квази-сасакиевых многообразий, изучить строение спектра тензора Римана-Кристоффеля в терминах структурных тензоров на пространстве присоединенной О-структуры.

2. Получить тождества в терминах структурных тензоров, которым удовлетворяет тензор Римана-Кристоффеля нормальных локально конформно квази-сасакиевых многообразий и на их основе выделить и изучить наиболее интересные классы таких многообразий.

3. Получить необходимые и достаточные условия точечного постоянства Ф-голоморфной секционной кривизны нормальных локально конформно квази-сасакиевых многообразий.

4. Выделить и изучить основные свойства нормальных локально конформно квази-сасакиевых структур. Получить полную классификацию нормальных локально конформно квази-сасакиевых многообразий.

Основные результаты диссертационного исследования.

В предлагаемой работе получен ряд результатов, среди которых отметим следующие:

1. Получены структурные уравнения нормальных локально конформно квази-сасакиевых структур; вычислены компоненты тензора Римана-Кристоффеля, тензора Риччи, скалярная кривизна на пространстве присоединенной в -структуры в терминах структурных тензоров.

.^.¿Ч*"1*' 1

.«Ой « ' * 4

2. Найдены ключевые тождества, которым удовлетворяет тензор Римана-Кристоффеля нормальных локально конформно квази-сасакиевых многообразий, с их помощью выделено два класса нормальных локально конформно квази-сасакиевых многообразий, оказавшихся содержательными с геометрической точки зрения.

3. Получено описание нормальных локально конформно квази-сасакиевых многообразий каждого из изученных классов.

4. Получен критерий точечного постоянства Ф -голоморфной секционной кривизны нормальных локально конформно квази-сасакиевых многообразий.

5. Получено описание нормальных локально конформно квази-сасакиевых многообразий с интегрируемой структурой, локально-симметричных нормальных, получена полная классификация нормальных локально конформно квази-сасакиевых многообразий.

Методы диссертационного исследования.

Результаты данной работы получены систематическим использованием метода внешних форм Картана при рассмотрении структурных уравнений, записанных в специализированном репере. Исследование геометрических свойств локально конформно квази-сасакиева многообразия проводится не на самом многообразии, а на пространстве некоторой О-структуры, естественным образом присоединенном к многообразию. Там, где это необходимо, используется метод инвариантного исчисления Кошуля.

Теоретическое и прикладное значение диссертационного исследования.

Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении почти контактных метрических структур на многообразиях, в соответствующих разделах дифференциальной геометрии и математической физики. Кроме этого, они могут найти применение в качестве материала для специальных курсов по близкой тематике, напри-

мер в Московском педагогическом государственном университете, в Казанском государственном университете.

Апробация результатов диссертационного исследования.

Основные результаты докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре кафедры геометрии Московского педагогического государственного университета (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Кириченко В.Ф.), на международной конференции «Геометрия в Одессе - 2004. Дифференциальная геометрия и ее применения» (г. Одесса), на международной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (г. Казань).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12]-[15], их список приведен в конце реферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, состоящих из 15 параграфов, и списка литературы, содержащего 26 наименований работ отечественных и зарубежных авторов. Диссертация изложена на 77 страницах.

Обзор содержания диссертации.

Во введении обосновывается актуальность темы, выделяется цель и задачи исследования, приводятся основные результаты исследования.

Глава 1. Почти контактные метрические структуры.

В параграфе 1 даются определения контактной, почти контактной (короче, АС-) (метрической) структур и многообразий; строится адаптированный структуре репер (А -репер); в построенном А -репере записаны матрицы структурного оператора и метрического тензора:

Го 0 \ 0 (1 0 °1

ф;)= 0 0 0 0 К

0 0 0 К 0 у

В параграфе 2 приводится первая группа структурных уравнений почти контактной метрической структуры:

Ло° = -Дф'.й" а ш° - УЧФ^со" л со4 £ + Ф^со" лсо4 +

+л/чф?0со, л со0 + А со4;

^юа = ю"лшЧ Л(»ЧлАГф°г--Ф^1ш0А(ОА+—Ф" ОХЛйЧ

2 ) 2

¿а. = -ш! лш4 -л- 7=1 -^Ф10]со°лш4 Ф[,/лв)в -

(эти уравнения были получены Кириченко В.Ф. [11]). Здесь же вычислены компоненты тензора Нейенхейса оператора Ф и компоненты фундаментальной 2-формы почти контактной метрической структуры в А- репере.

В параграфе 3 приведены определения сасакиевой, квази-сасакиевой, ко-симплектической, почти косимплектической, транссасакиевой структур, а также первая группа структурных уравнений нормальных почти контактных метрических структур в А -репере:

¿со0 = 2Сьасоа л ш4,

й?юа = соаь люь + ВаьтЛФъ + Ва\<йс лть, = -со' д О} + В* со л со4 + ВаЬЪс а со4,

где 1(фа0.+ф.0а), 2?>-Т=ТФ^.

Глава 2. Ь-и -структуры.

В параграфе 1 дается определение ¿ -структуры.

Определение 1. Нормальную почти контактную метрическую структуру = (у)} на многообразии М назовем ¿ -структурой, если ее фундаментальная форма делит свой внешний дифференциал, то есть существует дифференциальная 1-форма а на М, такая, что й?С2 = алО. Многообразие, наделенное ¿-структурой назовем ¿-многообразием.

Доказывается

Предложение 1. Если нормальное ЛС -многообразие М в некоторой окрестности каждой своей точки допускает 1-форму а, такую, что г/О = алП, то М - ¿-многообразие.

Получена первая группа структурных уравнений ¿ -структуры в терминах структурных тензоров на пространстве присоединенной С-структуры:

1) Ао = 2С'со° лсо4;

2) ¿со" = лю4 + а^'ю* лю, + ((35° + С4°)шлю4;

3) = -Фьа ла>„ + а[а5сь]ос л со4 + (рб> - С»)® л со,.

В параграфе 2 рассматриваются примеры ¿-структур. Показано, что ЛС-структура всякого транссасакиева многообразия с интегрируемой почти комплексной структурой, а также всякая квази-сасакиева структура являются ¿-структурами. Также доказывается

Теорема. Класс нормальных ЛС -структур, локально конформных квази-сасакиевым структурам, совпадает с классом ¿-структур, контактная форма Ли которых является замкнутой и внешнее произведение контактной формы Ли и контактной формы обращается в нуль.

В параграфе 3 определяется понятие локально конформно квази-сасакиевой структуры и получены структурные уравнения локально конформно квази-сасакиевой структуры в терминах структурных тензоров на пространстве присоединенной (? -структуры:

1) ¿ш = 2С*аа л®,;

2) ¿со" = и» л ш" + + С;)са л юА;

3) й?ша = лсо* + (рб* -С"а)со л

4) < = " ^Ч + С®, + С£ше;

5) ¿со* = со; л(йсь+ (а£ - 2С;С?)®с + С> лшЧ С> л со£.

В параграфе 4 вычисляются компоненты тензора Римана-Кристоффеля, тензора Риччи, а также скалярная кривизна локально конформно квази-сасакиева многообразия в терминах структурных тензоров на пространстве присоединенной (7 -структуры.

В параграфе 5 получен критерий точечного постоянства Ф-голоморфной секционной кривизны локально конформно квази-сасакиевых многообразий.

В параграфе 6 вводится в рассмотрение линейный оператор С(Х) = V+ РФ2 (X), X е Х(М). В А -репере вычислены компоненты матрицы оператора С и компоненты тензора УС. Здесь же доказана

Теорема. Тензор Римана-Кристоффеля локально конформно квази-сасакиева многообразия обладает дополнительным свойством симметрии, выраженным тождеством

Я(£,Ф2Х)Ф2У - ЯФХ)ФГ = Уф2л. (С)Ф27 - УфА. (С)ФГ, X, Г е ЦМ).

Глава 3. Некоторые свойства локально конформно квази-сасакиевых многообразий.

В параграфе 1 на основе тождества

выделяются локально конформно квази-сасакиевы многообразия класса СЛ,. Доказаны следующие теоремы:

Теорема. Локально конформно квази-сасакиево многообразие М является многообразием класса С7?, тогда и только тогда, когда выполнено тождество

(С)Ф2Х- ЧФХ(С)ФХ = 0, X е Х(М).

Основная теорема. Связное локально конформно квази-сасакиево многообразие класса СУ?, либо локально конформно косимплектическому многообразию, либо с точностью до В -преобразования метрики, локально эквивалентно произведению сасакиева и келерова многообразий. В параграфе 2 на основе тождества (л(ф2х,ф27)ф2г,ф2я) = (л(ф2х,ф27)ф2,фя),где Х,У,Х,Н еХ(М)

выделяются локально конформно квази-сасакиевы многообразия класса С7?.,. Доказывается следующая

Теорема. Локально конформно квази-сасакиево многообразие класса СЯг является либо гомотетичным многообразию Кенмоцу, либо квази-сасакиевым многообразием.

В параграфе 3 рассматриваются свойства контактной формы локально конформно квази-сасакиева многообразия. Находятся компоненты тензора Уг) на пространстве присоединенной Б -структуры. Доказывается

Теорема. Пусть М - локально конформно квази-сасакиево многообразие, т) - его контактная форма. Тогда

1) М - транссасакиево многообразие тогда и только тогда, когда с1г\ = 0\

2) М - квази-сасакиево многообразие тогда и только тогда, когда 8г) = 0.

Также доказано

Следствие. Компактное локально конформно квази-сасакиево многообразие косимплектично тогда и только тогда, когда оно имеет гармоническую контактную форму.

В параграфе 4 рассматривается вопрос постоянства кривизны локально конформно квази-сасакиевых многообразий. Доказывается, что локально кон-

10

формно квази-сасакиево многообразие постоянной кривизны является многообразием класса С7?,. Далее доказьшается

Теорема. Локально конформно квази-сасакиева структура постоянной кривизны является либо почти контактной структурой, гомотетичной структуре Кенмоцу постоянной кривизны к = -1, полученной из стандартного косимплек-тического многообразия СхН каноническим локальным конциркулярным преобразованием, либо почти контактной структурой, гомотетичной структуре Сасаки постоянной кривизны к = 1, локально эквивалентной канонической са-сакиевой структуре, индуцированной на нечетномерной сфере радиуса 1, вложенной в комплексное евклидово пространство С*1 г К2л+2 в качестве вполне омбилического подмногообразия, либо является плоской косимплектической структурой, локально эквивалентной многообразию С" х М, снабженному канонической плоской косимплектической структурой.

В параграфе 5 рассматривается вопрос интегрируемости локально конформно квази-сасакиевых структур. Доказана

Теорема. Интегрируемая локально конформно квази-сасакиева структура является собственной транссасакиевой.

В параграфе 6 рассматриваются локально-симметрические локально конформно квази-сасакиевы многообразия. Доказана

Теорема. Локально-симметрическое локально конформно квази-сасакиево многообразия является либо локально-симметрическим квази-сасакиевым многообразием, либо многообразием, гомотетичным многообразию Кенмоцу постоянной кривизны к = -1.

Литература:

1. Gray J.W. Some global properties of contact structures. Ann. Math. 1959. 69. №2. P.421-450.

2. Gray J.W. Л theory of pseudogroups with applications to contact structures. Thesis. Stanford Univ. 1957. Technical Report ONR.

3. Boothby W., Wang H.C. On contact manifolds. Ann. Math. 1958. 68. №3. P.721-734.

4. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Москва. МПГУ. 2003.

5. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Итоги Науки и техники. Проблемы геометрии. М. ВИНИТИ. Т.9.1979.

6. Широков А.П. Структуры на дифференцируемых многообразиях. Итоги Науки. Алгебра, топология, геометрия. 1969. М. С.127-187.

7. Широков А.П. Структуры на дифференцируемых многообразиях. Итоги Науки. Алгебра, топология, геометрия. 1974. М. Т.11.

8. Blair D.E. The theory of Quasi-Sasakian structures. J. Diff. Geom. 1 1967 P.331-345.

9. Nakayama S. On a classification of an almost contact metric structures. Tensor. 9(1968). №l.P.l-7.

Ю.Кириченко В.Ф., Родина E.B. О геометрии транссасакиевых и почти транс-сасакиевых многообразий. Фундам. и прикл. матем. 3. 1997. №3. С.837-846.

П.Кириченко В.Ф. Методы обобщенной почти эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий//Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. Т. 18. М.: ВИНИТИ. 1986. С.25-71.

Работы автора по теме диссертации.

12.Левковец В.А., Кириченко В.Ф. О геометрии L -многообразий. //Тезисы докладов международной конференции «Геометрия в 0дессе-2004. Дифференциальная геометрия и ее применения». Одесса. 2004. С.35-37 (0,19 п. л., соискателем выполнено 80% работы)

13.Левковец В. А., Кириченко В.Ф. О геометрии £-многообразий. Актуальные проблемы математики, информатики, физики и математического образования (юбилейный сборник 70 лет кафедре математического анализа Московского Педагогического Государственного Университета) - М: МПГУ. 2004. С.230-236 (0,44 п. л., соискателем выполнено 90% работы)

14.Левковец В.А. О некоторых свойствах IcQS -структур. //Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 25/ Казанское математическое общество. Актуальные проблемы математики и механики/Материалы международной математической конференции. - Казань: Издательство Казанского математического общества. 2004. С.164-165(0,12 п. л.)

15.Левковец В.А. Структурные уравнения IcQS -структур и их приложение. Московский педагогический государственный университет, деп. в ВИНИТИ РАН, 10.11.2004 № 1753-В2004. 19 с. (1,19 п. л.)

и

» >

Подл, к печ. 07.02.2005 Объем 1.0 п.л. Заказ №.32 Тир 100 экз.

Типография МПГУ

•-273J

РНБ Русский фонд

2006-4 13047

Введение.

Глава 1. Почти контактные метрические структуры.

§ 1. Почти контактные метрические структуры.

§2. Структурные уравнения почти контактных метрических структур.

§3. Нормальные структуры.

Глава 2. L- и IcQS -структуры.

§ 1. L -структура и ее структурные уравнения.

§2. Примеры L -структур.

§3. Локально конформно квази-сасакиева структура и ее структурные уравнения.

§4. Вычисление некоторых классических тензоров IcQS -многообразий в

А -репере.

§5. Точечное постоянство Ф-голоморфной секционной кривизны.

§6. Геометрический смысл оператора

Глава 3. Некоторые свойства локально конформно квази-сасакиевых многообразий.

§1. IcQS -многообразия класса CRX.

§2. IcQS -многообразия класса CR2.

§3. Контактная форма IcQS -многообразия.

§4. IcQS -многообразия постоянной кривизны.

§5. Интегрируемость IcQS -структур.

§6. Локально симметрические IcQS -многообразия.

С появлением статей Дж. Грея [1, 2], Бузби и Вана [3], посвященных контактным структурам на многообразиях, началось интенсивное исследование контактных и почти контактных структур на многообразиях. На 2п + \ - мерном многообразии М контактная структура задается 1-формой г), такой, что tj a {jdv^j* = т) л dx\ а . л dx\ ^ 0, п то есть rgr| = dimM в каждой точке многообразия М. Многообразие М, снабженное контактной структурой, называется контактным многообразием. Понятия почти контактных структур и почти контактных метрических многообразий введены Дж. Греем [2] в 1959 году.

Обзор многочисленных исследований по почти контактным метрическим и контактным структурам приведен в [4] - [7]. Внимательному анализу подвергались специальные классы почти контактных метрических и контактных многообразий. Необходимо отметить, что нормальные почти контактные метрические структуры играют фундаментальную роль в контактной геометрии и являются контактным аналогом эрмитовых структур в эрмитовой геометрии. Достаточно сказать, что частными случаями нормальных структур являются са-сакиевы, то есть нормальные контактные метрические структуры, а также ко-симплектические структуры, изучению которых посвящено огромное количество работ. Нормальными являются также квази-сасакиевы структуры, являющиеся связующим звеном между сасакиевыми и косимплектическими структурами [8]. Отметим также интересную взаимосвязь между контактной геометрией нормальных структур и эрмитовой геометрией. Согласно классической теореме Накаямы [9] почти контактная метрическая структура нормальна тогда и только тогда, когда ее линейное расширение [10] является эрмитовой структурой.

Данная работа посвящена изучению интересного подкласса нормальных структур, а именно, подкласса нормальных почти контактных метрических 3 структур, метрика которых допускает локально конформное преобразование в квази-сасакиеву структуру, в дальнейшем называемых локально конформно ква-зи-сасакиевыми структурами.

Выделим цели диссертационного исследования.

1. Получить структурные уравнения локально конформно квази-сасакиевых многообразий, изучить строение спектра тензора Римана-Кристоффеля в терминах структурных тензоров на пространстве присоединенной G -структуры.

2. Получить тождества в терминах структурных тензоров, которым удовлетворяет тензор Римана-Кристоффеля локально конформно квази-сасакиевых многообразий и на их основе выделить и изучить наиболее интересные классы таких многообразий.

3. Получить необходимые и достаточные условия точечного постоянства Ф -голоморфной секционной кривизны локально конформно квази-сасакиевых многообразий.

4. Выделить и изучить основные свойства локально конформно квази-сасакиевых структур. Получить полную классификацию локально конформно квази-сасакиевых многообразий.

Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении почти контактных метрических структур на многообразиях, в соответствующих разделах дифференциальной геометрии и математической физики. Кроме этого, они могут найти применение в качестве материала для специальных курсов по близкой тематике, например в Московском педагогическом государственном университете, в Казанском государственном университете.

Основные результаты докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре кафедры геометрии Московского педагогического государственного университета (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Кириченко В.Ф.), на международной конференции «Геометрия в Одессе - 2004. Дифференциальная геометрия и ее применения» (г. Одесса), на международной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (г. Казань).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [27]-[30].

В предлагаемой работе получен ряд результатов, среди которых отметим следующие:

1. Получены структурные уравнения локально конформно квази-сасакиевых структур; вычислены компоненты тензора Римана-Кристоффеля, тензора Риччи, скалярная кривизна на пространстве присоединенной G -структуры в терминах структурных тензоров.

2. Найдены ключевые тождества, которым удовлетворяет тензор Римана-Кристоффеля локально конформно квази-сасакиевых многообразий, с их помощью выделено два класса локально конформно квази-сасакиевых многообразий, оказавшихся содержательными с геометрической точки зрения.

3. Получено описание локально конформно квази-сасакиевых многообразий каждого из изученных классов.

4. Получен критерий точечного постоянства Ф -голоморфной секционной кривизны локально конформно квази-сасакиевых многообразий.

5. Получено описание локально конформно квази-сасакиевых многообразий с интегрируемой структурой, локально-симметричных, получена полная классификация локально конформно квази-сасакиевых многообразий.

Результаты данной работы получены систематическим использованием метода внешних форм Картана при рассмотрении структурных уравнений, записанных в специализированном репере. Исследование геометрических свойств локально конформно квази-сасакиева многообразия проводится не на самом многообразии, а на пространстве некоторой G -структуры, естественным образом присоединенном к многообразию. Там, где необходимо, используется метод инвариантного исчисления Кошуля.

Приведем краткий обзор содержания диссертации.

1. Gray J.W. Some global properties of conlact structures. Ann. Math. 1959. 69. №2. P.421-450.

2. Gray J.W. A theory of pseudogroups with ^plications to contact structures. Thesis. Stanford Univ. 1957. Technical Report ONR.

3. Boothby W., Wang H.C. On contact manifolds. Ann. Math. 1958. 68. №3. P.721-734.

4. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Москва. Ml 11 У. 2003.

5. Евтушик JI.E., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Итоги Науки и техники. Проблемы геометрии. М. ВИНИТИ. Т.9. 1979.

6. Широков А.П. Структуры на дифференцируемых многообразиях. Итоги Науки. Алгебра, топология, геометрия. 1969. М. С. 127-187.

7. Широков А.П. Структуры на дифференцируемых многообразиях. Итоги Науки. Алгебра, топология, геометрия. 1974. М. T.l 1.

8. Blair D.E. The theory of Quasi-Sasakian structures. J. Diff. Geom. 1. 1967. P.331-345.

9. Sasaki S. On differentiablemanifolds with certain structures which are closely related to almost contact structures. I. //Tohoku Math. J. (2). 1960. V.12. №3. P.459-476.

10. Кириченко В.Ф. Аксиома Ф-голоморфных плоскостей в контактной гео-метрии//Изв. АН СССР. Сер. мат. 1983. 48. 4. С.711-734.

11. Morimoto A. On normal almost contact structure. //J. Math. Soc. Japan. 1963. V.15. №4. P.420-436.

12. Tanno S. Sasakian manifolds with constant Ф -holomorphic sectional curvature.// Tohoku Math. J. 1969. 21. P.501-507.

13. Blair D.E. Contact manifolds in Riemamian geometry. Lecture Notes Math. 509. 1976. P.l-146.

14. Oubina J.A. New classes ofalmost contact metric structures. Publ. Mat. 32. 1985. №.3-4. P.187-193.

15. Gray A., Hervella L. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants. //Ann. Math. Rira ed Appl. 1980. V.123. P.35-58.

16. Бишоп P., Криттенден P. Дж. Геометрия многообразий. M.: «Мир». 1967. 21.1shihara I. Anti-invariant submanifolds of a Sasakian space form// Kodai Math. J.1976. 2. P.171-186.

17. Кириченко В.Ф., Рустанов A.P. Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий. Матем. сб. 193. 2002. №8. С.71-100.

18. Kobayashi S. Principal fibre bundle wih the 1-dimentional toroidal group. Tohoku Math. J. 8. 1956. P.29-45.

19. Чжень Шэн-Шэнь. Комплексные многообразия. М.: ИЛ, 1961.

20. Кириченко В.Ф. О геометрии многообразий Кенмоцу. Докл. РАН. 380. 2001. №5. С.585-587.

21. Kenmotsu К. A class of almost contact Riemannian manifolds. Tohoku Math. J. (24). 1972. P.93-103.Работы автора по теме диссертации.

22. Левковец В.А., Кириченко В.Ф. О геометрии L -многообразий. //Тезисы докладов международной конференции «Геометрия в 0дессе-2004. Дифференциальная геометрия и ее применения». Одесса. 2004. С.35-37.

23. Левковец В.А. Структурные уравнения IcQS -структур и их приложение.// Московский педагогический государственный университет, деп. в ВИНИТИ РАН, 10.11.2004 № 1753-В2004. 19 с.