Контактная геометрия гиперповерхностей квазикелеровых многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И.ЛЕНИНА

Диссертационный Совет К 053.01.02

На правах рукописи

РГ5 ОД

? и А ПО Г •

Т СТЕПАНОВА Лидия Васильевна

КОНТАКТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ КВАЗИКЕЛЕРОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ

Специальность 01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1995

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете им. В.И. Ленина.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В.Ф. КИРИЧЕНКО

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук В.В. ТРОФИМОВ

кандидат физико-математических наук М.Б. БАНАРУ

Ведущая организация: Тверской государственный университет.

Защита состоится .....г. в часов в

аудитории 301 на заседании Диссертационного Совета К 053.01.02 по присужденшо ученой степени кандидата физико-математических наук в Московском педагогическом государственном университете им. В.И. Ленина по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная ул., д. 14, МПГУ им. В.И. Ленина.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ: 119435, Москва, Малая Пироговская ул., д. 1, МПГУ им. В.И. Ленина.

Автореферат разослан ................1995

года.

Ученый секретарь Диссертационного Совета, доцент Г.А. КАРАСЕВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. Начало развития теории почти контактных структур относится к концу 50-тых годов нашего столетия. В 1959 году появление работы Дж.Грея УЗ дало толчок для интенсивного исследования контактных и почти контактных структур на многообразии. Еще ранее Чжень [2] обнаружил, что контактное многообразие допускает &-структуру со структурной группой Л(п)х В 1960 году Сасаки [33 заметил, что многообразие допускающее

& -структуру со структурной группой 1/0Ох{е} внутренним образом несет тройку [ ф , £ , ^ } тензоров, обладающих свойствами

Кроме того, исходя из произвольной римановой метрики на многообразии , он построил риманову метрику

</, у ^ — +А{Ф%Фгу)^А

дополняющую структуру {ф » ^ , 7 ^ до почти контактной метрической структуры.

Важнейшим примером почти контактных метрических структур, э значительной мере определяющим их роль в дифференциальной геометрии, слуяит структура, индуцируемая на ориентируемой гиперповерхности А/ многообразия /И , снабженного почти эрмитовой структурой { и . 4', *?/.

В частности, на любой ориентируемой гиперповерхности а/ овеществления комплексного пространства , снабженного ка-

нонической плоской почти эрмитовой структурой £ ^ , • индуцируется почти контактная метрическая структура. Наиболее интересными свойствами эта структура обладает, если в качестве гиперповерхности Л^ из С ^ рассматривать гиперсферу .

Хорошо известно, что на такой гиперсфере индуцируется сасакиева структура постоянной ф -голоморфной секционной кривизны 3). Это, по-видимому, исторически первый конкретный пример почти контактной метрической структуры [з].

Изучением почти контактных метрических гиперповерхностей почти эрмитовых многообразий занимались известные геометры: Голдберг С., Блэр, Танно, Сасаки и другие.

Голдберг.С. в ^рассматривал вполне геодезические гиперповерхности келерова многообразия. Им найдено необходимое и достаточное условие того, чтобы ориентируемая гиперповерхность келерова пространства была бы косимплектической. Им яе доказа-

но , что косишлекгическая гиперповерхность пространства (£. ""с плоской келеровой метрикой локально плоская, а также , что ориентируемая гиперповерхность .келерова многообразия, являющаяся вполне геодезической, - косимялектическое многообразие.

Изучением почти контактных структур, индуцированных на гиперповерхностях комплексных и почти комплексных пространств, занимались Яно, Исихара, Таширо и др. Таширо в И5Д доказал, что многообразие Грея и Сасаки могут быть реализованы в виде определенных вполне геодезических юш вполне омбилических гиперповерхностей в эрмитовом и келеровом многообразиях соответственно.

Данная работа посвящена изучению почти контактных метрических структур, индуцированных на гиперповерхностях квазикелерова многообразия. Такой выбор предмета исследования объясняется тем, что , с одной стороны, класс квазикелеровых многообразий является одним из наиболее важных обобщений класса келеровых многообразий, и его изучению посвящено значительное число публикаций ( А. Грей, Хервелла, Ванхеке Сб.7,8}), и,с другой стороны, о специфике геометрии гиперповерхностей квазикелеровых многообразий в настоящее время известно очень мало.

Методы исследования. Результаты работы получены систематическим использованием метода внешних форм Картана в сочетании с методом инвариантного исчисления Кошуля, структурные уравнения записываются в специализированном репере, т.е. на пространствах присоединенных -структур.

Цели диссертационного исследования;

1. Вывод структурных уравнений гиперповерхностей почти эрмитова многообразия, на котором индуцируется почти контактная метрическая структура, на пространстве присоединенной 6т -структуры.

2. Выяснение условий, при которых на гиперповерхностях тех или иных классов почти эрмитовых многообразий эрмитова, квазикелерова , приближенно келерова индуцируется квазисасакиева структура и нахождение явного вида второй квадратичной формы погружения гиперповерхности.

3. Выяснение условий, при которых на гиперповерхностях квазикелерова и приближенно келерова многообразиях индуцируется слабо косимплектическая структура.

4. Изучение специфики геометрии квазисасакиевых гиперповерхностей комплексных пространственных форм.

Новизна результатов. Основные результаты полученные в диссертации. являются новыми. Выделим важнейшие из них:

1. Получены структурные уравнения гиперповерхностей почти эрмитовых многообразий, на которых индуцируется почти контактная метрическая структура, на пространстве присоединенной 6г -структуры.

2. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых на гиперповерхности квазикелерова многообразия индуцируется слабо косимплектическая структура и квазисасакиева структура.

3. Получена вторая группа структурных уравнений квазисасакневой структуры, индуцированной на гиперповерхности приближенно келеро-ва многообразия.

4. Изучены гиперповерхности класса "R-¿ приближенно келерова многообразия, на которых индуцируется квазисасакиева структура.

5. Изучены гиперповерхности комплексных пространственных форм, на которых индуцируется квазисасакиева структура; получена полная классификация -квазиомбилических гиперповерхностей комплексных пространственных форм.

Теоретическое и практическое значение. Работа носит теоретический характер. Полученные в лей результата могут быть использованы при дальнейшем изучении почти контактных метрических структур, индуцированных на гиперповерхностях почти эрмитовых многообразий, а также при чтении спецкурсов в высших учебных заведениях, где проводятся исследования по сходной тематике.

Апробация работы.Основные результаты докладывались и обсуждались на заседаниях Семинара кафедры геометрии МИГУ, геометрических семинарах в Смоленском пединституте и Тверском государственном университете.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в четырех публикациях. Их список приведен в конце реферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Она изложена на 105 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 45 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении излагается предыстория вопроса, обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи диссертационной работы, излагаются основные результаты, полученныеjb ней.

Глава 1. Почти эрмитовы и почти контактные структуры.

Параграфы 1 и 2 носят реферативный характер, В параграфе 1 приведены определения почти эрмитовой структуры и почти эрмитова многообразия, первая группа структурных уравнений почти эрмитовой структуры на пространстве присоединенной & -структуры:

dutofa юе + 6°i cj^cJe* в'^UPSAсо&; dU>b + bat?¡Осло** bate.

(эти уравнения получены В.Ф.Кириченко в (]5] ).

Здесь же кратко рассказывается о структурных и виртуальных тензорах Кириченко, рассматриваются характеристики некоторых классов почти эрмитовых многообразий в терминах тензоров Кириченко. Напоминаются определение и классификация комплексных пространственных форм.

В параграфе 2 приводится определение почти контактной метрической структуры, записана первая группа структурных уравнений почти контактной метрической структуры на пространстве присоединенной Oi -структуры:

ф^ ^ (Л J ч- I фД^

+ Ф U ~ 1 и>( -

do?'* col Л СО6 - i U>C.\ фД^ A U?с. +■

+ + (-Л -^tii) >

- г, pfo ^ - (f ft, - i и>'ли>'

(эти уравнения были получены В.Ф.Кириченко в работе С10!)-

Здесь,,.-же рассмотрены основные классы почти контактных метрических структур, а также тождества их характеризующие. Записаны структурные уравнения для некоторых специальных классов почти контактных метрических структур: слабо косимплектических. квазисасакиевых, сасакиевых, косимплектических. Напоминаются определение и классификация сасакиевых пространственных форм.

В параграфе 3 доказывается, что на любой ориентируемой гиперповерхности почти эрмитова многообразия внутренним образом индуцируется почти контактная метрическая структура, находится первая группа структурных уравнений почти контактной метрической структуры, индуцированной на ориентируемой гиперповерхности почти эрмитова многообразия, на пространстве присоединенной структуры:

из* а ¡/ + Ь^Ли)^ ь*\-п&?)и>*ль> +

+ ИХ £ 8 £ +л <0}

ЫаЯ - ^ Ъфь-^ Ъ^-КГиь) (Л ^ ¡О.

Глава 2. Некоторые типы почти контактных метрических структур, индуцированных на гиперповерхностях почти эрмитовых многообразий.

В параграфе 1 получены необходише и достаточные условия для того, чтобы на ориентируемой гиперповерхности эрмитова многообразия индуцировалась квазисасакиева структура. Доказаны:

Теорема 2.2. Пусть на гиперповерхности ( ло-

кально конформно келерова многообразия индуцируется квазисасакиева структура. Тогда вектор нормали гиперповерхности колли-неарен вектору Ли.

Теорема 2.3. Квазисасакиева структура, индуцированная на вполне омбилической гиперповерхности локально конформно келерова многообразия, либо гомотетична сасаниевой, либо косимплекти -ческая. Ори этом она косимплектическая тогда и только тогда, когда гиперповерхность вполне геодезическая.

В параграфе 2 получены условия, при которых на ориентируемой гиперповерхности квазикелерова многообразия индуцируется слабо косимплектическая структура.

В параграфе 3 получены необходише и достаточные условия для того, чтобы на ориентируемой гиперповерхности квазикелерова

многообразия индуцировалась квазисасакиева структура. Доказаны:

Теорема 2.6. Пусть М - квазикелерово многообразие, через каждую точку которого проходит гиперповерхность, на которой индуцируется квазисасакиева структура. Тогда /И -почти келеро-во многообразие.

Теорема 2.7. Пусть /Л - квазикелерово многообразие, через каждую точку которого проходит ^ -квазиомбилическая гиперповерхность // , на которой индуцируется квазисасакиева структура. Тогда А1 - келерово многообразие, а структура, индуцированная на , либо гомотетична сасакиевой, либо косимплекти-ческая. При этом структура, индуцированная на , косимплек-тическая тогда и только тогда, когда , &

Эта теорема обобщает известный результат Сасаки [3], утвервдающий, что на вполне омбилической гиперповерхности комплексного евклидова пространства индуцируется сасакиева структура.

3 параграфе 4 получены условия, при которых на ориентируемой гиперповерхности приближенно келерова многообразия индуцируется слабо косимплектическая структура.

В параграфе 5 получены необходимые и достаточные условия для того, чтобы на ориентируемой гиперповерхности приближенно келерова многообразия индуцировалась квазисасакиева структура. Доказаны:

Следствие 1. На гиперповерхности л/ приближенно келерова многообразия /А ивдуцируется либо Н -сасакиева структура, либо косимплектическая структура тогда и только тогда, когда

1. М - келерово многообразие,

2. // - -квазиомбилическая гиперповерхность.

Следствие 2. На гиперповерхности // приближенно келерова многообразия М индуцируется косимплектическая структура тогда и только тогда, когда

1. М - келерово многообразие, 2. б'^бу®'^ , где .

Эти следствия показывают, что необходимые и достаточные условия, при которых на гиперповерхности приближенно келерова многообразия индуцируется квазисасакиева структура, обобщают известный результат Блэра [/11], утвервдающий, что вполне омбилическая гиперповерхность ненулевой кривизны келерова многообразия, с точностью до гомотетии, является многообразием Сасаки, а также не менее известный результат Голдберга [А], утверждающий, что гиперповерхность келерова многообразия является косиш-

лектической тогда и только тогда, когда , ¡¿Y^fj,

Глава 3. Свойства кривизны квазисасакиевых гиперповерхностей приближенно келеровых многообразий.

В параграфе 1 получена второя группа структурных уравнений квазисасакиевой структуры, индуцированной на гиперповерхности приближенно келерова многообразия:

Здесь же записаны условия, вытекающие из второй группы структурных уравнений, при выполнении которых на гиперповерхности приближенно келерова многообразия индуцируется квазиса-сакиева структура.

В параграфе 2 рассмотрены квазисасакиевы гиперповерхности класса 1{ . Доказана

Теорема 3.2. Квазисасакиева гиперповерхность л/ приближенно келерова многообразия М принадлежит классу тогда и только тогда, когда /4-(ФУ, ФУ, £)=£>.где е* А - тензор H.S -кривизны многообразия ¡Л .

В. параграфе 3 рассмотрены квазисасакиевы гиперповерхности комплексных пространственных форм, доказаны:

Теорема 3.3. Квазисасакиева гиперповерхность комплексной пространственной формы принадлежит классу Iii. .и, значит, либо является кос-ишлектическим многообразием, либо, с точностью до <й -преобразования метрики, локально голоморфно изометричяа произведению келерова многообразия и многообразия Сасаки.

Теорема 3.4. -квазиомбилическая гиперповерхность комплексной пространственной формы М (&) либо гомотетична сасакие-вой пространственной форме, либо локально эквивалентна произведению комплексной пространственной формы, вложенной в /И (с) в качестве вполне геодезического подмногообразия, на вещественную прямую.

Теорема 3.5. Пусть на гиперповерхности л/ комплексной пространственной формы М (с.) индуцируется квазисасакиева структура точечно постоянной ф -голоморфной секционной кривизны ¿Г. Тогда а/ - ^ -квазиомбилическая гиперповерхность, либо гомотетичная сасакиевой пространственной форме, либо эквивалентная произведению комплексной пространственной формы M^'^fe) . Rio-

женной в в качестве вполне геодезического подмногооб-

разия. на вещественную прямую. Всякая такая гиперповерхность локально голоморфно изометрична одному из шести типов многообразий;

1. Нечетномерной сфере, снабженной канонической сасакиевой структурой либо структурой, полученной из канонической преобразованием 2) -гомотетии;

2. Нечетномерному аффинному пространству, снабженное канонической сасакиевой структурой постоянной ф -голоморфной секционной кривизны (-3);

3. Нечетномерной сфере, снабженной сасакиевой структурой, полученной из канонической преобразованием Л) -инверсии;

4. * К ; 5. х К ; 6. <тпЛ(£ Теорема 3.6. Пусть // - квазисасакиева гиперповерхность

комплексной пространственной формы Тогда либо $ не-

вырожденный оператор, либо С -О и, значит, С) локаль-

но голоморфно изометрично Теорема 3.7. Если

-квазисасакиева гиперповерхность комплексной пространственной формы, то либо У - <$ -са-сакиево многообразие, оператор которого имеет не более четырех ненулевых понарно комплексно сопряженных различных собственных значений, либо // - косимплектическое многообразие, локально голоморфно изометричное и погруженное в в качестве вполне геодезического подмногообразия, либо Л/ локально голоморфно произведению Н -сасакиева многообразия, локально голоморфно изометричного сфере , снабженной канонической сасакиевой структурой и вложенной в (Е." в качестве вполне омбилического подмногообразия, на комплексное евклидово пространство соответствующей размерности, вложенное в С^ в качестве вполне геодезического подмногообразия. Здесь же получен ряд следствий.

В параграфе 4 рассмотрены квазисасакиевы -эйнштейновы гиперповерхности многообразия Келера- Эйнштейна, доказана

Теорема 3.8. Пусть д/с - квазисасакиева ^ -эйн-

штейнова гиперповерхность многообразия Келера- Эйнштейна. Тогда ее оператор имеет не более четырех попарно сопряженных различных собственных значений, а & ~ не более трех собственных значений.

В частности, если У - многообразие класса , отличное

от ■А -сасаккева, то // -либо косимплектическое многообразие, локально эквивалентное произведению многообразия Келера- Эйнштейна на вещественную прямую, и погруженное в ъ качестве вполне геодезического подмногообразия, либо локально эквивалентно произведению Н -сасакиева £ -эйнштейнова многообразия, погруженного в ЛГ^в качестве -квазиомбнлического подмногообразия, на многообразие Келера- Эйнштейна, погруженное в качестве вполне геодезического подмногообразия.

В параграфе 5 рассмотрены £ -эйнштейновы квазисасакиевы гиперповерхности комплексной пространственной формы и доказаны

Теорема 3.9. Квазисасакиева гиперповерхность неплоской комплексной пространственной формы М^С?) является ^ -эйнштейновым многообразием тогда и только тогда, когда

1. Либо Ы^Ь^О , и тогда О о , т.е. /И локально голоморфно изометрично (££Р ;

2. Либо Л - скалярный оператор, т.е. <3 «Л, и тогда А/ - сасакиева пространственная форма, погруженная в е) в

качестве -квазиомбилической гиперповерхности. Всякая такая гиперповерхность локально голоморфно: язокетрична одному из следующих типов многообразий:

- нечетномерной сфере, снабженной канонической сасакиевой структурой либо структурой, полученной из канонической преобразованием Ъ -гомотетии;

-нечетномерному аффинному пространству, снабженному канонической сасакиевой структурой постоянной ф -голоморфной секционной кривизны (-3);

- нечеткомерной сфере, снабженной структурой, полученной из канонической преобразованием Х> -инверсии.

Теорема 3.10. Квазисасакиева гиперповерхность плоской комплексной пространственной форш является £ -эйнштейновым многообразием тогда и только тогда, когда она локально голоморфно изометрична либо многообразию С.х & , наделенному стандартной косимплектической структурой и погруженному в С** в качестве £ -квазиомбилического подмногообразия, причем (С погруженно в (£и' в качестве вполне геодезического подмногообразия, либо нечетномерной сфере Згл'1 . наделенной стандартной И -сасакиевой структурой и погруженной в (С в качестве вполне омбилического подмногообразия.

- 12 -ЛИТЕРАТУРА

¿/гп Л/лМу е^ а/с^р.

А/3; />

¿¿сяС ¿г'/егатг» ¿<#¿г

/^¿2 аях/у^е/)^ /^¿г ^/гз,

7. * Я)^

и-

К ^ Г? Г,

9. Кириченко В.Ф. Дифференциальная геометрия К-пространств // Итоги Науки и техники. Проблема геометрии, 1977, т.8, с. 139-161.

10. Кириченко В.Ф. Методы обобщенной почти эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий // Итоги Науки и техники. Проблемы геометрии, 1986, т.18, с. 25-7,1Г.

Публикации автора по теме диссертации:

1. Степанова Д.В. О контактной геометрии на гиперповерхностях почти эрмитовых многообразий //Цеп. ВИНИТИ, ,№1038-В9 4, -23с.

2. Степанова Л.В» Слабо косимплектические структуры, штудированные на гиперповерхностях О К-многообразия и л/% -

- 13 -

многообразия // Деп. ВИНИТИ, И 18-В95, -14с.

3. Степанова Л.В. Квазисасакиева структура на гиперповерхностях эрмитовых многообразий // Научные труды МИГУ им. В.И.Денина, 1995, с.187-191.

4. Кириченко В.Ф., Степанова Л.В. О геометрии гиперповерхностей квазикелеровых многообразий // Успехи мат. наук, 1995, т,с.2<Ъ-5Щ.