Гомологические трубки вокруг поверхностей в комплексном многообразии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

р г Б ОД

На правах рукописи

БУРУЧЕНКО НАТАЛЬЯ АЛЕКСЛНДРОВНЛ

ГОМОЛОГИЧЕСКИЕ ТРУБКИ ВОКРУГ ПОВЕРХНОСТЕЙ В КОМПЛЕКСНОМ МНОГООБРАЗИИ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск-1996

Работа выполнена в Красноярском государственном университете

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор ЦИХ А.К.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор КЫТМАНОВ A.M. доктор физико-математических наук, профессор ЮЖАКОВ А.П.

Ведущая организация Институт математики с ВЦ УНЦ РАН,

г. Уфа

Защита состоится " " ^C^CiZ^h^- 1996 г. в ^^ часов на заседании диссертационного совета Д.064.61.02 в Красноярском государственном университете по адресу 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан " 1996 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физ.-мат. наук

Бабенышев С.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Проблема, рассматриваемая в диссертаций, происходит из теории

много мерных вычетов и тесно связана с ней. Основной задачей теории вычетов является изучение интегралов вида

от замкнутой дифференциальной форм ы и? на комплексном аналитическом многообразии 1Г, имеющей особенности на некотором аналитическом множестве (поверхности) V. Интегрирование ведется по циклу Г, лежащему в дополнении (Г \ V к поверхности Г.

В одномерном случае вычисление интегралов такого типа сводится к нахождению вычетов в особых точках подынтегральной функции, лежащих внутри контура интегрирования.

В случае нескольких переменных для понижения порядка интегрирования используется представление цикла в виде трубки вокруг поверхности над циклом меньшей размерности. В 1887 г. А. Пуанкаре доказал существование такого представления для любого цикла в дополнении к алгебраической кривой в С2 ([13]). А именно:

Есл и \ — {(5(2], 22) = 0} - алгебраическая кривая в дву.иерном ко.м-плексном пространстве С2, то всякий двумерный цикл Г в дополнении С2 \ V гомологичен трубке т(~,) над одномерным циклом лежащим на множестве регу.гярных точек кривой V.

(1)

Г

Отсюда он вывел, что всякий интеграл

/ -\ 1 Л 2

Г

(Р, <5 - полиномы двух переменных) сводится к периодам абелевых интегралов на римановой поверхности, определяемой знаменателем т.е. на кривой V.

Развивая идеи Пуанкаре, Лере построил теорию многомерных вычетов для гладких гиперповерхностей в С" ([3]). Он определил граничный гомоморфизм, ставящий в соответствие каждому циклу на гиперповерхности V трубку г(',) (цикл размерности на единицу больше) в дополнении к Г. В частности, из теории Лере следует, что теорема Пуанкаре верна для гиперповерхностей в С", не имеющих особенности. Позднее теорема Пуанкаре была доказана Гриффитсом ([10]) для гладких гиперповерхностей в Р".

Представление цикла в виде трубки позволяет понизить кратность интегрирования замкнутой дифференциальной формы л степени р+ 1 с особенностями на Г при помощи формулы, также принадлежащей Лере:

У и; = 2я-«У ЯИ.

г(у) т

где /?(и>) - класс-вычет формы и\

Теория Лере позволила строить трубки только над регулярной частью гиперповерхности, но не над сингулярной, однако оставалась надежда распространить теорему Пуанкаре на произвольные гиперповерхности в неизменном виде. Невозможность такого распространения

была доказана недавно А.К. Цихом ([16]).

Следует отметить отдельные попытки описания группы гомологий дополнения И' \ V в общем случае. Так в работе Гордона [9] строится обобщенная трубчатая окрестность поверхности V", однако предложенная конструкция не позволяет выяснить явную структуру циклов в дополнении к V.

В целом проблема описания группы гомологий дополнения к произвольной поверхности в комплексном многообразии очень сложна и далека от общего решения. С учетом сказанного актуальной является задача о возможности распространения теории Лере в неизменном виде на максимально широкий класс поверхностей, чему и посвящена настоящая диссертация.

Одним из ключевых аспектов теории многомерных вычетов для гладких гиперповерхностей явилось решение проблемы деформации заданного цикла в дополнении к алгебраической гиперповерхности в трубку над циклом, лежащим на этой поверхности.

В связи с этим для аналитических подмножеств (поверхностей) V* С С", имеющих сингулярности, требует решения аналогичная проблема возможности деформации заданного цикла в дополнении к V в трубку над циклом, лежащим на множестве регулярных точек поверхности Г.

Условия представления цикла в виде кограницы Лере рассматривались также в работах Л.П. Южакова [5], А.К. Циха [4].

В некоторых случаях конструктивное описание группы гомологий

дополнения к объединению семейства гиперповерхностей дает теорема Фруассара [8] при дополнительных предположениях на взаимное расположение элементов семейства в проективном пространстве. В условиях теоремы любой цикл в дополнении к семейству гиперноверностей в комплексном многообразии представляется в виде суммы цикла на самом многообразии и кограниц Лере (простых и кратных) над циклами, лежащими на поверхностях семейства и всевозможных пересечениях поверхностей.

Для изучения циклов в дополнении к исследуемому семейству представляет интерес распространение теоремы Фруассара на более широкий класс многообразий, в частности, на торические многообразия, которые интенсивно изучаются в настоящее время.

Отметим, что проблемы, рассматриваемые в диссертации, тесно связаны с исследованием фундаментального периода в теории суперструн [7. 11].

Цель диссертации

Целью настоящей диссертации является изучение структуры циклов в дополнении к поверхностям с особенностями в комплексном многообразии, а именно:

- исследование условий распространения теоремы Пуанкаре на сингулярные алгебраические поверхности в С": описание поверхностей, в дополнении к которым каждый цикл гомологичен трубке над циклом в регулярной части поверхности;

- установление связи между распространением теоремы Пуанкаре

на гиперповерхности проективного пространства и соответствующие им однородные гиперповерхности в комплексном евклидовом пространстве;

- обобщение теоремы Фруассара о разложении гомологий дополнения к семейству гиперповерхностей с проективного пространства на торические многообразия.

Методика исследования

При исследовании гомологических трубок используются точная последовательность Л ере в гомологиях и когомологиях ([3]), двойственность Александера-Понтрягина ([1]) и точная последовательность Майера-Вьеториса о гомологиях объединения ([2]).

При распространении теоремы Фруассара используется конструкция торического многообразия, описанная В. Батыревым и Д. Коксом ([б]), а также теорема Тома ([12]) о представлении проекции аналитического множества в виде локально тривиального расслоения.

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми и снабжены полными доказательствами.

Практическая и теоретическая ценность

Представляет интерес применение полученных результатов в теории вычетов ,'Icpe для полярных множеств с особенностями. С помощью гомологического приведения циклов к трубкам представляется возможным понизить кратность интегрирования при вычислении интегралов мероморфны.х дифференциальных форм с полярными мно-

жествами, имеющими сингулярность.

Обобщение теоремы Фруассара на торические многообразия позволяет выяснить структуру циклов дополнения к семейству гиперповерхностей в общем положении.

Результаты могут быть использованы в квантовой теории поля: при исследовании фейнмановских интегралов и фундаментального периода в теории суперструн.

Апробащия работы

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

— XXXI Международная научная студенческая конференция (Новосибирск, Новосибирский государственный университет, 1993 г.);

— Международная конференция по "Геометрии многомерного комплексного анализа"(С.-Петербург, Международный институт им. Эйлера, 1994 г.);

— Между народная конференция "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Уфа, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, 1996 г.).

Также полученные результаты неоднократно докладывались на городском семинаре по многомерному комплексному анализу Красноярского государственного университета (1993 - 1996 гг.).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах [14]-[18].

В

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста и приложения. Список литературы содержит 40 наименований. Работа изложена на 77 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность проблемы, исследуемой в диссертации.

Глава 1 диссертации посвящена распространению теоремы Пуанкаре на поверхности в аффинном пространстве С".

В параграфе 1 обсуждается утверждение теоремы Пуанкаре и известные обобщения этой теоремы на гладкие гиперповерхности комплексного многообразия.

Также определяется понятие трубки над циклом.

Определение 1.2. Пусть цикл - € ZP-2k+г (reg V), где Г - аналитическая поверхность коразмерности к в комплексном многообразии И". Рассмотрим нормальное расслоение над reg Г со слоем гомеоморф-ным ¿--мерной плоскости и в каждом слое над точками а 5 элемент трубки 1'а выберем гомеоморфным сфере размерности 2А- — I с центром в а достаточно малого радиуса р(а), где р(а) - гладкая функция. Трубкой т(~,) назовем объединение Va по а £ . Таким образом, трубка над -, есть цикл г(-,) 6 Zp(Cn \ V).

Будем говорить, что теорема Пуанкаре верна для пары (1Г, Г) в размерности р, где Г - аналитическая поверхность коразмерности к в n-мерном комплексном многообразии И", если всякий р-мерный цикл

Г в дополнении 1Г \ Г (Г Е Zp(\Y \ V')) гомологичен трубке т(-,) над (/;—2£+1)-мерным циклом лежащим на множестве регулярных точек поверхности V (-, Е t + i(reg l'))-

Следует отметить, что для произвольных поверхностей теорема Пуанкаре не верна, о чем свидетельствует следующий пример Циха [16]: если Г - алгебраическая поверхность в С3, являющаяся объединением двух квадрик:

V = {z € С3 : (х,2 + г22 + г32 - l)^2 + r22 + (z3 - 2)2 - 1) = 0}.

то в С3 \ I* существует 3-мерный цикл Г, который не может быть гомологичным когранице 2-мерного цикла из reg Г - регулярной части V.

Во втором параграфе описывается класс гиперповерхностей в комплексном пространстве, на которые распространяется теорема Пуанкаре. В связи с этим дается следующее

Определение 1.3. Аналитическое множество Л коразмерности р называется полным пересечением на приводимой гиперповерхности

V = {zECn :Qx{z)-...-Qm{z) = 0}:

если каждая неприводимая компонента Aj множества Л задается нулями р голоморфных функций, из которых одна определяет компоненту поверхности V:

Aj = {z Е С" : Q{[z) = /1(2) = ... = /„_,(*) = 0}.

Основным результатом первой главы является следующее распространение теоремы А. Пуанкаре на сингулярные гиперповерхности.

Теорема 1.3. Пусть I' = (г £ С" : <5(г) = 0} — алгебраическая гиперповерхность в С" . Если сНт^в^ V < либо сПтгяг^ V =

^у^ (разумеется, в этом случае п нечетно) и япдУ является полным пересечением на V, то теорема Пуанкаре верна для пары (Сп,1") в размерности п.

Третий параграф обобщает результаты второго на поверхности в С" коразмерности к > 1, исходя из следующего определения.

Определение 1.4. Пусть Г = {г € С" : С}\(г) - ... = С}к{2) = 0}

- неприводимое аналитическое множество коразмерности к. Аналитическое множество .4 коразмерности в ^ к называется полным пересечением на V", если каждую неприводимую компоненту А можно задать я фЗ'нкциями, к штук из которых есть С?!.....<3*.

Справедлива

Теорема 1.4. Пусть Г = {г € Сп : (^ф) = ... = (Эк{г) = 0}

— неприводимая алгебраическая поверхность коразмерности к. Если сИтсв!^ I' < 2"~р~' либо dimcsng Г = 2п~Р~1 и ЗПду яв.гяется полным пересечением на V. то теорема Пуанкаре верна для пары (СЛ ) в размерности р.

Следующий параграф посвящен исследованию условий распространения теоремы Пуанкаре на поверхности с плоскими особенностями. Найдены достаточные условия тривиальности группы гомологий дополнения к семейству плоскостей в комплексном пространстве.

Будем считать, что рассматриваемое семейство плоскостей {Я,-}'=1 не имеет вложений, т. е. ни одна из плоскостей не содержится в какой-

либо другой плоскости семейства.

'Георема 1.5. Пусть dime П1 ф при |/| < 2п - р и Я/ = 0

при |7| = 2« - р. тогда Нр(Сп \ (Пг U ... U Я;)) = 0.

(Если число плоскостей I < 2п — р, то требование пустоты пересечения естественным образом отпадает.)

Здесь Я/ = Д-, П ... П Я,то, |/| = т.

'Георема 1.5. позволяет описать достаточное условие распространения теоремы Пуанкаре на поверхности с плоскими особенностями.

Теорема 1.6. Пусть Г - алгебраическая поверхность в С" такая, что множество её сингулярностей sng V = П\ U...U Я; представляет собой семейство плоскостей, не имеющее вложении. Если dim;;/7/ ф .>п-р-|/| j^j ^ 2п—р и Я/ = 0 при |/| = 2п—р. то теорема Пуанкаре верна для пары (С", V) в размерности р.

В Главе "2 исследуется теорема Пуанкаре в проективном пространстве F".

В классической ситуации (случай гладкой гиперповерхности в Рп, либо любой кривой в ¡Р2) известны следующие результаты. Теорема Гриффнтса [10] утверждает, что если Г - алгебраическое подмногообразие в комплексном проективном пространстве Рп, то гомоморфизм

5. :Я„_1(Г) —> Hn(Vn\V)

сюръективен для любого п и инъективен для п четного.

Таким образом, для гладких гиперповерхностей в Р" теорема Пуанкаре выполняется.

Аналогичное положение вещей в двумерном случае для произвольной кривой. Так, согласно результату Циха [4], для любой алгебраической кривой [V] = {[г] 6 Р2 : Q(z) = 0} в двумерном проективном пространстве

Р2

гомоморфизм

5.: HU reg [I']) Я2(Р2 \ [V])

является эпиморфизмом.

Основным результатом главы 2 является установление связи теоремы Пуанкаре для однородных гиперповерхностей в С1"1"1 и для их канонических проекций на Р". Каноническая проекция комплексного пространства Сп+1 на проективное пространство Р" осуществляет взаимно-однозначное соответствие между однородными гиперповерхностями V в Cn+1 и алгебраическими гиперповерхностями [V] (их проекциями) в Р™.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 2.3. Если теорема Пуанкаре верна для пары (Pn, [V]) в размерности п, то она верна и для пары (Cn+I, I') в размерности n-fl.

Следствием теоремы 2.3 является истинность теоремы Пуанкаре для однородных гиперповерхностей в С3.

Следствие 2.1. Пусть I' - однородная гиперповерхность в С3. тогда для пары (С3, теорема Пуанкаре верна в размерности 3.

Третья глава посвящена распространению теоремы Фруассара на торические многообразия. Эта теорема была известна в проективном пространстве и ее формулировка следующая.

Теорема 3.1. (Фруассар) Пусть {, ¿'о. .4,} конечное семейство компактных комплексных аналитических многообразий, находящихся в общем положении и обладающих коразмерностями единицы в комплексном п-мерном проективном пространстве Р", где 5о = Р" \ С" = Р^-1 - бесконечно удаленная гиперплоскость, и где (.;', г) 6 5 х I. Пусть У = С" П &, = У П 5,- для всех г <Е /.

Тогда имеет место разложение

ЯР(У \ и Е,-) = ЯР(У) * ( е П Е,))

¿£/ ЛС/ |'€Л

Здесь <5'л' -- оператор кратной кограницы, причем |Л| - длина муль-тииндекса И.

Основной результат третьей главы гласит о том, что указанная теорема распространяется в этой же формулировке на семейство гиперповерхностей в произвольном торическом многообразии.

Теорема 3.3. Пусть {¿7};-6./, {5;},6/ - два конечных семейства гладких гиперповерхностей в торическом многообразии А*, находящихся с бесконечно удаленными гиперповерхностями в общем положении.

Тогда для алгебраического многообразия У = С" П ( Б3) и семейства = У П5,-. г £ I. гиперповерхностей в нем имеет место гомологическое разложение

НР(У \ и 2,-) = Нр(У) ф ( © №нр-,н( П Е,-)) =

¿е/ лс' I ел

= ВД')* [©гяР_1(Е1-)1 ь [е ь-нР..2{Е,пЕ;)1 е....

J

В 'Заключении выделены основные результаты диссертации.

В Приложении приведены основные понятия и классические факты. используемые в диссертации, а именно, элементы теории гомоло-гий, дифференциальных форм, основные понятия теории аналитических множеств, теорема Тома об изотопии.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

— Выделен класс гиперповерхностей в Сп, на которые распространяется теорема Пуанкаре о трубках. Этот класс составляют алгебраические поверхности, множество сингулярностей которых обладает достаточно малой размерностью и является полным пересечением на самой поверхности. Описаны условия распространения теоремы Пуанкаре на поверхности в С" с плоскими особенностями.

— Доказано, что из выполнения теоремы Пуанкаре для гиперповерхности в проективном пространстве Рп следует справедливость этой теоремы и для соответствующей однородной гиперповерхности в Сп+1. Как следствие полученного результата, установлена справедливость теоремы Пуанкаре для однородных гиперповерхностей в С3.

— Обобщена теорема Фруассара о разложении гомоло^ий на произвольные компактные торические многообразия.

Литература

[1] Айзенберг Л .А., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1979.

[2] Ботт Р., Ту Л.В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. М.: Наука, 1989. // Матем. сб. 1995. № 10. С. 31-40.

[3] Лере Ж. Дифференциальное и интегральное исчисление на комплексном аналитическом многообразии. М.: Иностр. лит., 1961.

[4] Цих А.К. Двумерные гомологии дополнения алгебраической кривой е CP2 // Изв. вузов. Математика. 1977. № 5. С. 122 - 124.

[5] Южаков А.II. Одно условие кограницы Лере и его применение к логарифмическому вычету. // Сиб. мат. журн. 1970. Т. 11. №3. С. 708-711.

[6] Batyrev V.Y., Сох D.A. On the Hodge structure of projective hypersurfaces in toric varieties. // Duke Math. Jorn. 74 (1994) C. 293

[7] Berglund P., Candelas P., de la Ossa X., Font A., Hiibsch Т., Jancic D., Quevedo F. Periods for Calabi-Yau and Landay-Ginzburg vacua // Nucl.Phys. V. B419. 1994. P. 3-52.

[8] Fotiadi D., Froissart M., Lascoux J., Pham F. Applications of an isotopy theorem // Topology. 196-5. 4. № 2. P. 159-191 (Пер. на рус. яз. в кн.: Хуа Р., Теплиц В. Гомология и фейнмановские интегралы. М.: Мир. 1969. С. 142-182).

1G

[9] Gordon G. The residues calculus in several complex variables // Trans. AMS. 1975. V. 213. P. 127-176.

[10] Griffiths P.A. On the periods of certain rational integrals // Ann. Math. 1969. V. 90. № 3. P. 460-514.

[11] Hubsch T. Calabi-Yau manifolds - a bestiary for physicists. Singapore: World Scientific. 1992.

[12] Mather J.N. Stratifications and mappings // Dinamical sistems. Academic Press. New York and London. 1973. P. 195-232.

[13] Poincare H. Sur les residus des integrales doubles // Acta Math. 1887. V. 90. JY' 3. P. 460-541.

Работы автора по теме диссертации

[14] Бурученко Н.А. О распространении теоремы Пуанкаре о вычетах на многомерный случай // Сб. "Материалы XXXI Международной научной студенческой конференции: Математика'-. Новосибирск. 1994.С. 24-30.

[15] Бурученко Н.А. Когомологическое приведение полумероморфных форм в дополнении к полюсам // Сб. "Многомерный комплексный анализ". Красноярск: КрасГУ. 1994. С. 14-18.

[16] Бурученко Н.А., Цих А.К. О гомологическом приведении циклов в дополнении к алгебраической гиперповерхности // Матем. сб. 1995. № 10. С. 31-40.

[17] Бурученко H.A. Некоторые варианты теоремы .4. Пуанкаре о трубках в дополнении к поверхностям в комплексных евклидовых и проективных пространствах // Сб. "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения". Красноярск: К рас ГУ. 1996. С.28-37.

[18] Бурученко H.A. К теореме Пуанкаре о трубках д.гя алгебраических гиперповерхностей с плоскими особенностями // Сб. "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. II. Комплексный анализ". Уфа: ИМ с ВЦ РАН. 1996.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 93-01-00258).

Тираж 110

Заказ 1002

Редакционно-нздательский центр Красноярского государственного университета 660041, г. Красноярск, ир. Свободный, 79.