Неособые поверхности степени 4 трехмерного вещественного проективного пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

§ I. Предварительные сведения о вещественных алгебраических поверхностях

§ 2. История вопроса.

§ 3. Главные результаты работы

§ 4. План дальнейшего.

Глава I. Антиголоморфные инволюции КЗ-поверхностей, деформации КЗ-поверхностей и экви-вариантные вложения КЗ-поверхностей в проективное пространство

1.1. КЗ-поверхности.

1.2. Построение антиголоморфных отображений

1.3. Периоды КЗ-поверхностей.

1.4. Гомологический тип антиголоморфной инволюции

1.5. Периоды вещественных КЗ-поверхностей

1.6. Эквивариантные деформации

1.7. Классификация вещественных КЗ-поверхностей относительно эквивариантных деформаций

1.8. Вложение КЗ-поверхности в проективное пространство

1.9. Построение эквивариантных отображений в проективное пространство

1.10. Пространство И/1(*с).

1.11. Модули оснащенных вещественных поверхностей степени 4, имеющих заданный гомологический тип.

1.12. Пространство неособых поверхностей степени 4 в КР3.

Глава 2. Топологическая и вещественная изотопическая классификация неособых поверхностей степени 4 в КР3.

2.1. Основные объекты

2.2. Необходимые сведения из теории Смита

2.3. Проектирование поверхности из двойной точки.

2.4. Число компонент ненулевого рода

2.5. Детерминант формы В-.

2.6. Лемма.

2.7. Определение топологического типа вещественной части поверхности по гомологическому типу поверхности

2.8. Лемма.

2.9. Критерий стягиваемости.

2.10. Лемма.

2.11. Определение вещественного изотопического типа поверхности по ее гомологическому типу.

2.12. Необходимые сведения об арифметических характеристиках гомологических типов

2.13. Топологическая классификация неособых поверхностей степени 4 в КР3.

2.14. Вещественная изотопическая классификация неособых поверхностей степени 4 в КР

Глава 3. Вспомогательный арифметический материал

3.1. Обозначения.

3.2. Гомологический тип вещественных КЗ-поверхностей, не имеющих вещественных точек.

3.3. Список гомологических типов поверхностей степени 4.

3.4. Фундаментальные области, связанные с гомологическими типами М - поверхностей

3.5. Фундаментальные области, связанные с гомологическими типами (М - 1)- поверхностей .юо

3.6. Фундаментальные области, связанные с гомологическими типами нестягивающихся в точку в ЕР3 поверхностей, имеющих *9 компонент.^

3.7. Теорема.

3.8. Фундаментальные области, которые связаны с гомологическими типами поверхностей стягивающихся в КР3 в точку и имеющих не менее трех сферических компонент и не менее трех ручек.НО

3.9. Теорема.

3.10. Фундаментальные области, которые связаны с гомологическими типами поверхностей, нестягивающихся в К Р 3 в точку и имеющих не менее пяти ручек и (ровно) три сферические компоненты

3.II. Теорема.

Глава 4. Жесткие изотопии.

4.1. Гомологический тип зеркальных кривых, лежащих на квадрике.

4.2. О гомологическом типе двулистного накрывающего квадрики.

4.3. Леша.

4.4. Построение зеркальносимметрических поверхностей, стягивающихся в (R Р 3 в точку и имеющих заданный гомологический

4.5. Теорема А

4.6. Построение зеркальносимметрических поверхностей, не стягивающихся в [RP в точку и имеющих заданный гомологический тип.

4.7. Вспомогательные конфигурации линий в

4.8. Конфигурации, связанные с поверхностями степени 4.

4.9. Лемма. ^

4.10. Теорема В

Таблица I.*

Таблица 2.

Таблица 3.

Таблица 4.

Таблица 5.

В настоящем Введении даны основные определения, изложена кратко история вопроса и сформулированы основные результаты работы. Определения, данные во Введении, повторяться дальше не будут. Формулировки же результатов, данные во Введении, повторяются там, где они доказываются.

§ I. Предварительные сведения о вещественных алгебраических поверхностях

I. Пове|)шостью^ мы будем называть однородный комплексный многочлен степени от четырех переменных, рассматриваемый с точностью до постоянного множителя. Однородные комплексные многочлены степени ПЬ от четырех переменных в очевидном смысле составляют комплексное векторное пространство СЬ ^ ; его размерность равна числу одночленов вида X™1 Х™г Х3 3 с Нг0 + ¡П< + г* 3 - М>, то есть равна • Точки пространства

СР3 , в которых многочлен обращается в 0 , мы будем называть комплек^^ Множество всех комплексных точек поверхности является аналитическим подмножеством пространства СР (возможно, имеющим особенности) и имеет размерность 2 всегда, кроме случая, когда многочлен -нулевой. Этот случай мы исключаем из дальнейшего рассмотрения и, таким образом, у нас поверхности степени т образуют комплексное проективное пространство ССщ , являющеа еся проективизациеи пространства ъи м и имеющее размерность Cm+3-i.

Согласно теореме Чжоу (см. [41]), всякое аналитическое подмножество пространства СР , имеющее размерность 2, является множеством комплексных точек какой-нибудь алгебраической поверхности. С другой стороны, никакая поверхность не может быть восстановлена по множеству своих точек. Эта неопределенность исчезает, если для каждой неприводимой компоненты множества точек поверхности мы будем указывать кратность, с которой многочлен обращается в 0 на этой компоненте. У нас, как правило, все кратности будут равны I, и потому мы будем отождествлять поверхность и ее множество точек. В частности, как правило, поверхность и ее множество комплексных точек мы будем обозначать одним и тем же символом; в исключительных случаях, когда их нужно будет обозначать разными символами, множество комплексных точек будет обозначаться через сх , где X - символ, обозначающий поверхность.

Пове]Щюстш или, иногда, просто ш называть однородный вещественный многочлен степени ffl от четырех переменных, рассматриваемый с точностью до постоянного множителя. Однородные вещественные многочлены степени ATZ от четырех переменных составляют вещественную часть IRL ^ пространства СЬт , являющуюся вещественным векторным пространством размерности Ст+3 . Точки пространства КР3, в которых многочлен обращается в 0 , мы будем называть вещественными точками поверхности, а множество всех вещественных точек поверхности - ее вещестаенш Вещест- ■ венную часть поверхности X мы будем обозначать через КХ . Как и в комплексном случае, мы исключаем нулевые многочлены и, тем самым, у нас поверхности степени /ТО в КР образуют вещественное проективное пространство КС ^ , являющееся проективизацией пространства и имеющее размерность Ст+з - 1 .

Множество комплексных точек вещественной поверхности всегда инвариантно относительно комплексного сопряжения СОГу :

СР^СР. определяемого формулой

Сужение инволюции СОГу на это множество мы будем обозначать тоже символом СОГу и будем называть инволюцией комплексного сопряжения. Множество неподвижных точек такого сужения совпадает с вещественной частью поверхности; такое сужение всегда является антиголоморфным отображением.

Если однородный комплексный многочлен от четырех переменных не имеет критических точек в С ^ ^ {0} , то поверхность в СР , отвечающая этому многочлену, называется неособой; если же, кроме того, многочлен - вещественный, то и отвечающую ему поверхность в ЯР , называют неособой. Множество комплексных точек неособой поверхности является комплексно аналитическим подмногообразием пространства СР3 . Всякая неособая поверхность в СР однозначно восстанавливается по множеству своих точек.

Множество вещественных точек неособой поверхности в RP является вещественно аналитическим подмногообразием пространства RP и состоит из конечного числа компонент. Если множество вещественных точек неособой поверхности в непусто, то оно имеет размерность 2 и поверхность однозначно восстанавливается по нему.

Особые поверхности степени ftl в €Р заполняют в сс т гиперповерхность Сл степени 4 (т-1У , а особые поверхности степени A7Z в RP заполняют в IRCm. вещественную часть R& этой гиперповерхности. Неособые поверхности заполняют в открытое множество ССП1\ д , которое связно, и в RC т, открытое множество IRCт ^ » которое имеет конечное число компонент.

Множество RCm \ J?A неособых поверхностей степени ftl в ¿^Р отличается при ¡71 ^ 3 от множества поверхностей степени tn в не имеющих особых точек в Однако во многих вопросах, в том числе в тех, которые разбираются в настоящей работе, это отличие оказывается .несущественным, в силу того, что разность этих множеств имеет в МСщ коразмерность 2 и потому две неособые поверхности, принадлежащие одной компоненте множества поверхностей без вещественных особых точек, принадлежат и одной компоненте множества RCm \ Rü .

Следуя В.А.Рохлину [63] , мы будем называть неособые вещественные поверхности одной степени вещественно изотопными, если их множества вещественных точек изотопны в IRP3 , и жестко^юотопныш, если существует вещественная изотопия, соединяющая эти поверхности и составленная из неособых поверхностей той же степени. Определение жесткой изотопности можно переформулировать на языке компонент множества \

К А : поверхности степени /71 принадлежат одной компоненте множества \ Щ& тогда и только тогда, когда они жестко изотопны.

2. Если вещественная поверхность X неособа и тлеет четную степень, то все компоненты ее множества вещественных точек и ориентируемы (поскольку КР3 - ориентируемое многообразие и компоненты поверхности четной степени лежат в КР3 двусторонне). Если ее степень к тому же равна 4, то, как давно известно (см. [44] ), она вещественно изотопна объединению эллипсоидов и гиперболоидов, некоторые из которых снабжены незадепленными друг с другом и незаузленны-ми ручками, причем стягиваемые в КР в точку компоненты расположены вне друг друга всегда, кроме случая, когда поверхность состоит из двух сфер, вложенных одна в другую. Кроме того (см.[44]), в случае поверхностей степени 4 всегда отсутствуют компоненты, которые бы отделяли одни компоненты от других (иными словами, любые две компоненты поверхности могут быть соединены в $Р3 путем, не пересекающим других компонент). В дальнейшем расположение ориентируемой поверхности в КР называется простым, если оно обладает всеми перечисленными свойствами расположения поверхностей степени 4.

Таким образом, любая неособая поверхность XX степени 4 в КР имеет простое расположение в 1л Р . Если поверхность КХ не гомеоморфна несвязной сумме двух сфер, то в силу общих теорем трехмерной топологии ее расположение в 8?Р3 определяется с точностью до вещественной изотопии, образами гомоморфизмов включения : б Я^ / ^ где Е, ({к) -компоненты поверхности. Если поверхность КХ гомеоморфна несвязной сумме двух сфер, то в силу тех же общих теорем ее расположение в К Р определяется тем, лежат эти сферы вне друг друга или нет.

Для описания топологического и вещественного изотопического типа поверхности мы будем применять следующую систему обозначений. Топологический тип связных поверхностей рода р будет обозначаться через Ъ р , топологический тип несвязной суммы поверхностей, имеющих топологические типы Л и я - через Символ О^Ж будет обозначать сумму л. , где 1#г повторяется С^ раз.

Изотопический тип поверхности в КР топологического типа имеющей простое расположение, будет обозначаться через р , если гомоморфизм - ненулевой, о р в противном случае. Изотопический тип поверхности в топологического типа 5р Л Си 5С ( р^ 1) а ^ 1) , имеющей простое расположение, будет обозначаться через 21 р М. О-И , если гомоморфизм , отвечающий компоненте топологического типа 5р, - ненулевой, и через 21 р <Х 21 в противном случае. Изотопический тип поверхности в

КР3 топологического типа а 50 (<Х Ф £) , имеющей простое расположение, будет обозначаться через Л 21 . Изотопический тип поверхности в КР3 , состоящей из двух сфер, будет обозначаться через , если одна сфера вложена в другую, и через , если сферы лежат вне друг друга. Наконец, через Л. (оС = 0,1; ¡ь = 0,1) будет обозначаться изотопический тип поверхности, имеющей простое расположение и состоящей из двзгх компонент, которые

У* У Р принадлежат изотопическим типам и 1

3. С неособой поверхностью X произвольной степени в ЕР3 связана четверка Т^ (Н*(СХ; I), , СОЩ *, ), где М *(СХ',2) * Нг(СХ;1) 2 -билинейная форма поверхности, СОу* : Н (£Х;2) Н инволюция, индуцированная комплексным сопряжением СОПу • СХ~* сх, и кж е НЧСХ-Л) - класс, дуальный по Пуанкаре классу гомологий, реализуемому в Н % (СХ) , гиперплоскими сечениями поверхности. Эту четверку, рассматриваемую с точностью до изоморфизма ,мы будем называть гомологическш типом^повериюста X • Гомологический тип поверхности, очевидно, сохраняется при жестких изотопиях.

§ 2. История вопроса

Вещественные алгебраические многообразия изучались с разных сторон на протяжении многих столетий. Собственно топологическое исследование вещественных алгебраических многообразий началось в последней четверти XII столетия одновременно с выделением топологии в самостоятельную структуру.

Первыми были подвергнуты топологическому исследованию плоские кривые и поверхности трехмерного пространства. Почти сразу были получены более или менее полные сведения о плоских кривых степени 4 и о поверхностях трехмерного пространства степени 3 (кривые и поверхности меньших степеней были изучены ранее). Были выделены три уровня исследования плоских кривых и поверхностей трехмерного пространства и, в соответствие с этим, три вида классификаций: тополошческая класси^икшщ (две кривые или, соответственно, две поверхности считаются эквивалентными, если их множества вещественных точек гомеоморфны), вещественная изотопическая классификация (две кривые или, соответственно, две поверхности считаются эквивалентными, если они вещественно изотопны) и жесткая^изотошчес^ (две кривые или, соответственно, две поверхности, считаются эквивалентными, если они жестко изотопны). Оказалось, что для неособых поверхностей степени 3 в КР все три классификации совпадают (см.Л. Шлэфли [25] , И.Г.Цейтен [29] и Ф.Клейн [10] ) и что для неособых кривых степени 4 последние две (изотопические) классификации совпадают, отличаясь от топологической классификации лишь тем, что двухкомпонентные кривые образуют два изотопических класса: I) компоненты лежат вне друг друга и

2) одна компонента лежит внутри другой (см. И.Г.Цейтен [28] и Ф.Клейн [II] ).

Первый общий классификационный результат был получен А.Харнаком [7] в 1876 г. Он выяснил, каким может быть число компонент кривой заданной степени в , и (поскольку каждая компонента вещественной неособой проективной кривой гомеоморфна окружности) фактически получил топологическую классификацию неособых кривых заданной степени в К Р 2 .

Вопрос, каким может быть вещественный изотопический тип неособой кривой заданной степени в КР^ , а также вопрос, какими могут быть топологический и вещественный изотопический тип неособой поверхности заданной степени в К Р , интересовали Д.Гильберта (см. [8] , [9]). В 1900 он включил эти вопросы в шестнадцатую проблему своего знаменитого списка проблем, выделив особо кривые с максимальным числом компонент ( М^^крщзш) и указав первые нетривиальные случаи: кривые степени 6 и поверхности степени 4. Гильберт высказал гипотезу, которую нам удобно для дальнейшего разложить на три гипотезы: компоненты М - кривой степени 6 не могут располагаться все вне друг друга; ни одна компонента М - кривой степени 6 не может охватывать все остальные компоненты; среди компонент М - кривой степени 6 должна существовать компонента, внутри которой расположена одна компонента и вне девять или наоборот внутри девять и вне одна.

Шестнадцатая проблема Гильберта послужила отправным пунктом появившихся в 1906-1913 гг. работ В.Рэгсдейл, самого Гильберта и его учеников, К.Роона и др. Рэгсдейл [18] распространила первые две гипотезы Гильберта с кривых степени 6 на кривые произвольной четной степени. Дальше всех в доказательстве этих двух гипотез Гильберта продвинулся Роон [21] , [23] (пробелы в его доказательстве были восполнены в 60-е годы Д.А.Гудковым [44] ; Гудков [44] установил, что третья гипотеза неверна). Гильберт [9] построил поверхность степени 4 в КР3 с суммой чисел Бетти, равной 24, и указал (без доказательства), что из опубликованных еще в 1886 г. исследований Роона [19] вытекает, что сумма чисел Бетти поверхности степени 4 в КР3 не может быть больше 24. Роон [22]^ [23] доказал, что для поверхностей степени 4 максимальное число компонент, гомеоморфных сфере, равно 10 (пробелы в его аргументации, как показал в 60-е годы Г.А.Уткин [44] , можно благодаря результатам Гудкова [44] считать заполненными).

В 1933 - 1938 гг. И.Г.Петровский [161 , [17] получил первые глубокие общие ограничения на вещественный изотопический тип плоских кривых заданной степени. Из этих ограничений следует справедливость первой гипотезы Гильберта; по-видимому, это и было ее первое полное доказательство. Метод Петровского в корне отличен от методов всех перечисленных выше авторов. Фундаментальное отличие состояло в том, что Петровский вышел в комплексную область, применив известную формулу Эйлера-Якоби.

Впервые выход в комплексную область при изучении вещественных алгебраических кривых был, по-видимому, осуществлен Клейном [12] ; это было сделано еще в 1876 г. На этом пути Клейн сделал ряд важных наблюдений. Добиться большего было трудно в виду отсутствия адекватных топологических средств. Значительного успеха достиг на этом пути А.Комессатти в 1911-1932 гг. Он рассматривал весьма общие ситуации и, насколько мне известно, не применил свои результаты к плоским кривым и поверхностям трехмерного пространства. Один из основных его результатов является фактически оценкой эйлеровой характеристики множества вещественных точек поверхности через числа Ходжа множества ее комплексных точек. Как выяснилось в последние годы, этот результат пересекается с результатами работ И.Г.Петровского, цитированных выше (и с результатами более поздних работ И.Г.Петровского и О.А.Олейник, цитированных ниже).

В 1949 - 1951 гг. метод Петровского был развит И.Г.Петровским и О.А.Олейник. Сначала они [55] применили его к поверхностям трехмерного пространства и гиперповерхностям пространств произвольной размерности. Затем, Олейник [54] применила его к кривым на произвольных поверхностях. Их результаты носят характер оценок эйлеровой характеристики вещественного алгебраического (или полуалгебраического) многообразия через степени уравнений (или неравенств), определяющих многообразие.

В 1939 - 1965 гг. Л.Бибербах [I] , Олейник [53] , Дк.Мил-нор [15 3 и Р.Том [26] получили оценки суммы чисел Бетти вещественного алгебраического многообразия (Олейник и Милнор рассмотрели также полуалгебраические многообразия), полиномиально зависящие от степеней уравнений, определяющих многообразие. Эти оценки различаются по своей общности: оценки Олейник относятся к гиперповерхностям, оценки Тома - к регулярным полным пересечениям, оценки Бибербаха и Милнора - к произвольным алгебраическим многообразиям. В тех случаях, когда какие-то из этих оценок действуют одновременно, они имеют одинаковый порядок. Для гиперповерхностей наименьший старший член имеет оценка, полученная Олейник; для полных пересечений наименьшую сумму старших членов имеет оценка, полученная Томом (в случае гиперповерхностей старшие члены оценок Олейник и Тома совпадают). Как видно из [261 , Том не предполагал, что его оценка точна. Ее точность была доказана О.Я.Виро [35] в 1979 г. (для поверхностей степени 4 в К.Р3 оценка Тома совпадает с оценкой Гильберта, так что ее точность в этом случае была доказана еще Гильбертом(см.выше)). Именно эта оценка теперь считается правильным обобщением данной Харнаком оценки числа компонент вещественной алгебраической кривой.

В 1954 - 1969 гг. ряд значительных результатов получили Гудков и Уткин, Гудков [44] завершил вещественную изотопическую классификацию неособых кривых степени 6 в К Рг , а Уткин [44] , [65] , основываясь на этой классификации, существенно продвинул топологическую и вещественную изотопическую классификацию неособых поверхностей степени 4 в КР1 . Гудков установил, в частности, что третья гипотеза Гильберта неверна, исправил ее формулировку и указал в качестве гипотезы, как в исправленной формулировке гипотеза Гильберта обобщается с М--кривых степени 6 на М - кривые произвольной четной степени. Эта гипотеза Гудкова, а также высказанные им родственные гипотезы для поверхностей степени 4 в КР , стимулировали дальнейшее развитие топологии вещественных алгебраических многообразий. Именно доказательству этих гипотез были посвящены первые работы нового периода, начавшегося с исследований В.И.Арнольда и В.А.Рохлина.

В 1971 - 72 гг. Арнольд [31] и Рохлин [59] ,ГбО] установили ряд глубоких общих топологических свойств вещественных алгебраических многообразий. Идеи и методы этих работ и их дальнейшее развитие указали пути привлечения средств современной алгебраической и дифференциальной топологии к топологш вещественных алгебраических многообразий и сделали последнюю бурно развивающейся областью. При изложении результатов, достигнутых с тех пор в этой области, удобно подразделить материал на две части: построения (точнее, теоремы существования) и запреты (теоремы несуществования).

В первой половине 70-х годов (т.е. в начале рассматриваемого периода) происходило накопление запретов. В результате было выяснено, каковы правильные обобщения неравенства Харнака, были найдены многочисленные экстремальные свойства обобщенных неравенств Комессатти-Петровского-Олейник и указаны другие неравенства, усиливающие и дополняющие неравенства Комессатти-Петровского-Олейник (см.Арнольд [31], Рохлин [60],[61],[62], 1Удков и Д.А.Крахнов[43], Харламов [68], [69],[70],С71],С72]).

Перечисленные запреты относятся к произвольным вещественным алгебраическим многообразиям. Еще несколько родственных столь же общих запретов в конце 70-х и начале 80-х годов указал В.В.Никулин [51] ,[52] . Другие многочисленные запреты, найденные во второй половине 70-х и начале 80-х годов, касаются главным образом вещественных алгебраических кривых и, как впрочем и некоторые из предыдущих запретов, относятся как к вещественному изотопическому, так и к жесткому изотопическому типу кривой (см.Рохлин [63] ,[64] , Виро [37] , [38] , Т.Фид-лер [66] , [67] , В.И.Звоншюв [46] , [47] , А.Л.Чепонкуе [79] , 1Удков [42] , Ю.С.Численко [81] , А.Марен [14] ).

В первой половине семидесятых годов баланс между запретами и построениями был нарушен; его восстановил Виро [35] , [36] , [37] , [39] , указавший новые методы построения вещественных алгебраических многообразий с предписанными топологическими свойствами. Он доказал, в частности, точность обобщенных неравенств Харнака для регулярных полных пересечений и точность усиленных неравенств Комессатти-Петровского-Олейник, опроверг одну из гипотез Рэгсдейл и завершил вещественную изотопическую классификацию неособых кривых степени 7 в К Р *

Другой подход к доказательству теорем существования, основанный на применении теорем комплексной алгебраической геометрии типа теорем Торелли, был развит автором настоящей работы (см. [73] , Г74 3 , [75] , [76] , [77] , [78] ) и В.В.Никулиным (см. [51] , [52] ). Дня классических объектов - плоских кривых и поверхностей трехмерного пространства - на этом пути удалось получить жесткую изотопическую классификацию неособых кривых степени 5 и степени 6 в IRP , топологическую, вещественную изотопическую и жесткую изотопическую классификацию неособых поверхностей степени 4 в IR Р и некоторое продвижение в топологической классификации неособых поверхностей степени 5

В IRP3 .

Не были забыты в последние годы и классические методы. В соединении с современными методами они позволили получить вещественную изотопическую классификацию для: неособых кривых би-степени (4.4) на квадрике в IRP (1Удков и Е.И.Шустин [45] ; для кривых бистепеней (р, р ) с р < 4 ответ элементарен и давно известен); распадающихся кривых степени 6 в IRPZ некоторых специальных видов (Г.М.Полотовский [56] ) и кривых степени 8 в IRP с особыми точками некоторого специального вида (Щустин [83] ).

На этом мы заканчиваем краткий общий обзор и переходим к более детальному изложению истории исследования неособых поверхностей степени 4 в IRP3 , поскольку именно они являются предметом настоящей работы.

Первые нетривиальные сведения о топологии неособых поверхностей степени 4 в (RP были получены в 1906 - 1913 Гильбертом и Рооном (формулировки приведены в начале настоящего параграфа), причем оба автора основывались на предшествовавших исследованиях Роона [19] , [20] поверхностей степени 4 с двойными точками. Первое полное доказательство полученной Рооном оценки числа сферических компонент появилось, видимо, лишь в 1949 в работе Петровского и Олейник [55] (метод Петровского и Олейник в корне отличен от метода Роона, см.выше), а первое доказательство указанной Гильбертом оценки суммы чисел Бетти - в 1965 г. в работе Тома Г26] .

В 1969 Уткин существенно продвинул топологическую и вещественную изотопическую классификацию неособых поверхностей степени 4. Он установил, что поверхности степени 4 имеют простое (в смысле определения пункта 1.2 настоящего Введения) расположение в R Р3 , развил методы примененные ранее Гильбертом и Рооном, и привлек результаты Петровского-Олейник и 1Удкова. Основные результаты, полученные Уткиным, можно сформулировать следующим образом: все топологические типы неособых поверхностей степени 4 в RP содержатся в таблице I, а все вещественные изотопические типы - в таблицах 2 и 3; все топологические и вещественные изотопические типы, расположенные в таблицах I, 2 и 3 ниже пунктирных линий, реализуются неособыми поверхностями степени 4 в RP3 (сюда присоединены результаты, полученные Уткиным в [65] в 1974; как видно из [65] , Уткин не знал работы Тома [26] и не исключил из своих таблиц поверхности с суммой чисел Бетти большей 24 (первая строка таблиц)).

Гильберт, Роон и Уткин рассматривали неособые поверхности степени 4 в К. Р Ъ как результат возмущения поверхностей с простой двойной точкой. Проектирование поверхности степени 4, имеющей простую двойную точку, из двойной точки на плоскость дает в качестве кривой ветвления (видимого контура) плоскую кривую степени 6. Обращение этого перехода от поверхности к кривой сводит исследование топологических свойств поверхности к исследованию топологических свойств вещественной плоской кривой степени 6, определяемой уравнением вида а* - - 0 , где , С13 и а* вещественные однородные многочлены степени 2, 3 и 4 от трех переменных, и исследованию взаимного расположения этой кривой и коники, определяемой уравнением = 0 . Для проведения этим методом топологической и вещественной изотопической классификации неособых поверхностей степени 4 в КР3 недостаточно вещественной изотопической классификации плоских кривых степени 6; необходимо либо детально изучить кривые степени 6 указанного специального вида, либо привлечь другую технику.

Первые дальнейшие продвижения были связаны с применением техники современной алгебраической и дифференциальной топологии (теория Смита, теорема Атьи-Зингера и пр.). В 197275 гг. Рохлин [бО] и автор [68] , [69] ,170] доказали некоторые общие теоремы о вещественных алгебраических многообразиях (эти общие теоремы были подготовлены исследованиями Гудкова и Арнольда), из которых следует, в частности, что ни один топологический и ни один вещественный изотопический тип, расположенный в таблицах I и 3 выше сплошной линии, не реализуется неособой поверхностью степени 4 в КР3 (часть этого следствия, относящаяся к таблице I, была высказана ранее в качестве гипотезы 1Удковым). После этих результатов для завершения топологической классификации осталось выяснить, реализуются ли топологические типы

850, 5гЛ.750, 531650) 5г1650, Ш гБ, 1 50 (2) а для завершения вещественной изотопической классификации -реализуются ли вещественные изотопические типы

91, JL8I.Z1.IL 71,61, (3)

1°рЦТ(р>Л,р^9,рЗ), £21, (4) гци., (5)

6)

Б 1976 автор [73] , завершил топологическую классификацию неособых поверхностей степени 4 в К Р3 , доказав, что тип (2) не реализуется, а все типы (I) реализуются. Для доказательства теорем реализации были привлечены средства, применявшиеся ранее в исследованиях комплексных КЗ-поверхностей, при этом решающую роль сыграла так называемая локальная теорема Торелли (см. [ 30 ] ).

В [73] , кроме того, было доказано существование неособых поверхностей степени 4 в КР3 вещественных изотопических типов (3). Вещественная изотопическая классификация неособых поверхностей степени 4 в К Р была завершена автором [74] в 1978 (анализ типа (6) был проведен автором совместно с Никулиным (см. [51] ,[74]), затем автор обнаружил, что анализ этого случая может быть проведен прямым применением приема Гильберта-Роона (ср.[75] и пункт 2.10 настоящей работы)).

Оказалось, что все типы (4) реализуются, а тип (6) не реализуется (нереализуемость типов (5) следует из топологической классификации). В [74] решающим явилось привлечение так называемой глобальной теоремы Торелли (см. [58] ) и теоремы об эпиморфности отображения периодов (см. [49] ).

В 1979 Никулин [51] привлек дополнительные арифметические и геометрические средства и получил эффективную классификацию неособых поверхностей степени 4, в которой две поверхности считаются эквивалентными, если одна из них жестко изотопна проективному образу другой. (Никулин назвал ее грубой проективн^^ приведенная им классификация является частью полученного им описания компонент пространства модулей вещественных алгебраических поляризованных поверхностей типа КЗ). Решающую роль сыграла найденная Никулиным [51] классификация гомологических типов неособых поверхностей степени 4 в [RP .

Группа проективных преобразований пространства R Р 3 имеет две компоненты: одна компонента состоит из преобразований, сохраняющих ориентацию пространства, другая - из преобразований, обращающих ориентацию. В связи с этим жесткая изотопическая классификация отличается от грубой проективной классификации в точности тем, что поверхность может быть, а может и не быть, жестко изотопной своему зеркальному образу (для степеней 6 из грубой проективной эквивалентности поверхностей не следует даже их вещественная изотопность, поскольку для таких степеней нетрудно построить поверхности, заузли-вающиеся незеркальным узлом; у поверхностей степени 4 (и поверхностей меньших степеней) заузлений и зацеплений нет (см. пункт 1.2 настоящего Введения) и из их грубой проективной эквивалентности следует их вещественная изотопность). Таким образом, после того, как была получена грубая проективная классификация, для завершения жесткой изотопической классификации осталось выяснить, каким грубым проективным классам отвечает один жесткий изотопический класс, а каким отвечают два жестких изотопических класса. Этот вопрос был решен автором [?8] в 1983 с помощью дальнейшего развития метода работ автора [73] ,[74] и Никулина [51] , привлечения результатов Э.Б.Винберга [34] о группах, порожденных отражениями, и одного наблюдения Виро [40] о жестких изотопических типах конечных конфигураций точек пространства КР3 .

1. Bieberbach L. Über die reelen Zuge der algebraischen Gebilde. - Deutsche Math., 1939, v.4, p.348*360.

2. Burns D., Rapoport M. On the Torelli problem for Kahlerian КЗ Surfaces. Ann.Scient.Ecole Horm.Super, ser.4» 1975» v.8, H 2, p.235-274.

3. Comessatti A. Sulla connessione e sui numeri base delle superficie algebriche reali. Rend.del Seminario mat.dell'Universita di Padova, 1932, v.3, p.141-162.

4. Comessatti A. Sülle varieta abeliane reali. Ann.di mat.(4), 1924- 25, v.2, p.67-106.

5. Comessatti A. Sülle varieta abeliane reali. Ann.di mat.(4),1925-26, v.3, p.27-71•

6. Douady A. Le problème des modules pour les variétés analytiques complexes. Seminaire Bourbaki, 17e annee (1964/65), fasc 1.

7. Harnack A. Über die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven. Math.Ann., 1876, v.10, p.189-198.

8. Hilbert D. Ueber die reellen Züge algebraischer Curven. -Math.Ann., 1891, v.38, p.115-138.

9. Hilbert D. Über die Gestalt einer Plächen vierter Ordnung. -Gott.Nachrichten, 1909, p.308-313.

10. KÎein P. Ueber Plächen dritter Ordnung. Math.Ann., 1873, v.6, p.551-581.

11. Klein P. Ueber den Verlauf der Abel'sehen Integrale bei den Curven vierten Grades. Math.Ann., 1876, v.10, p.364-397.

12. Klein P. Ueber eine neue Art von ßiemann'schen Piachen. -Math.Ann., 1876, v.10, p.398-416.

13. Looj'enga E. A Torelli theorem for Kahler-Einstein КЗ-surfaces.- lecture Hôtes in Math., 1980, v.892, p.107-112.

14. Marin A. Quelques remarques sur les courbes algébriques planes reeles. Preprint, Orsay, 1979, N 2205

15. Milnor J. On the Betti numbers of real varieties. Proc. Amer.Math.Soc., 1964, v.15, p.275-280.

16. Petrovsky I. Sur la topologie des courbes planes reeles et algebriques. Compt.Rend., 1933, v.197, p.1270-1272.

17. Petrovsky I. On the topology of real plane algebraic curves. Ann.Math., 1938, v.39, p.189-209.

18. Ragsdale V. On the arrangement of the real branches of plane algebraic curves. Amer.J.Math., 1906, v.28, p.377-404.

19. Röhn K. Die Flächen 4» Ordnung hinsichtlich ihrer Knotenpunkte und ihrer Gestaltung. Preisschrift der Purst1. ¿Eablonowskischen Geselschaft, Leipzig, 1886.

20. Röhn K. Die Flächen vierter Ordnung hinsichtlich ihrer Knotenpunkte und ihrer Gestaltung. Math.Ann., 1887, v.29, p.81-96.

21. Röhn K. Die ebene Kurve 6. Ordnung mit elf Ovalen. Berichte über die Verhandl., 1911, v.63, p.540-555.

22. Röhn K. Die Maximalzahl von Ovalen bei einer Flache 4. Ordnung.- Leipziger Berichte, 1911, v.63, p.423-440.

23. Röhn K. Die Maximalzahl und Anordnung der Ovale bei der ebenen Kurve 6. Ordnung und bei der Fläche 4. Ordnung. -Math.Ann., 1913, v.17, p.117-229.

24. Saint-Donat B. Projective models of K-3 surfaces. Amer. J.Math., 1974, v.96, H 4, p.602-639.

25. Todorov A.N. Applications of the Kahler-Einstein-Calabi-Yau metric to moduli of КЗ surfaces. Invent.Math., 1976, v.36, p.225-255.

26. Zeuthen H.G. Sur les différentes formes des courbes du quatrième ordre. Math.Ann., 1874, v.7, p.410-432.29« Zeuthen H.G. Etudes des propriétés de situation des surfaces.cubiques. Math.Ann., 1875i v.8, p.1-30.

27. Алгебраические поверхности (под ред.И.Р.Шаферевича). Тр. Мат.ин-та.АН СССР, 1965, т.75, 215 с.

28. Арнольд В.И. 0 расположении овалов вещественных плоских алгебраических кривых, инволюциях четырехмерных гладких.многообразий и арифметике целочисленных квадратичных форм.Функц.анализ и его прил., 1971; т.5, № 3, c.I-9.

29. Атья М.Ф., Зйнгер И.М. Индекс эллиптических операторов, Ш,Успехи матем.наук, 1969, т.26, Л I, с.127-182;

30. Бредон Г. Введение в теорию компактных групп преобразований.М.: Наука, 1980 , 440 с.

31. Винберг Э.Б. 0 группах единиц. некоторых квадратичных форм.-Матем.сб., 1972, т.87, В I, с.18-36.

32. Виро О.Я. Построение М-поверхностей. функц.анализ и его прил., 1979, т.13, № 3, с.71-72.

33. Виро О.Я. Построение многокомпонентных вещественных алгебраических, поверхностей. Докл.АН СССР, 1979, т.248, $ 2, с.279-282.

34. Виро О.Я. Кривые степени 7, кривые степени 8 и гипотезаРэгсдейл. Докл.АН СССР, 1980, т.254, $ 6, с.1303-1310.

35. Виро О.Я. Плоские вещественные кривые степеней 7 и 8: новые запреты. Изв. АН СССР, сер.матем., 1983, т.47, $ 5, с.1135-1150.

36. Виро О.Я. Склеивание алгебраических гиперповерхностей, устранения особенностей и построения кривых. Труда Лен. международ.топол.конф., Ленинград, 1983, с¿149-197.

37. Виро О.Я. Топологические задачи о прямых и точках трехмерного пространства. Докл.АН СССР, т.278, № 2, с.269-272.

38. Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии.т.Г. М.: Мир, 1982, 496 с.42. 1Удков Д.А. Топология вещественных проективных. алгебраических многообразий. Успехи матем.наук, 1974, т.29, # 4,с.3-79.

39. Звонилов В.И'. Комплексные ориентации вещественных алгебраических кривых с особенностями. Докл. АН СССР, 1983, т.268, Л I, с.22-26.

40. Звонилов В.И., Комплексные топологические характеристики вещественных алгебраических кривых на поверхности ,-функц.анализи его прил., 1982, т.16, № 3, с.56-57.

41. Касеелс Дж. Рациональные квадратичные формы. М.: Мир, 1982, 440 с.

42. Куликов B.C. Эшшорфность отображения периодов для поверхностей типа КЗ. Успехи матем.наук, 1977, т.32, № 4, с. 257-258.

43. Милнор Дж., .Сташеф Дж. Характеристические классы. М.: Мир, 1979 , 375 с.

44. Никулин В.В. Целочисленные симметрические билинейные формы и некоторые их геометрические приложения. Изв.АН СССР, сер.матем.,.1979, т.43, № I, 0.111-177.

45. Никулин В.В'. Инволюции целочисленных квадратичных форм и их приложения к вещественной алгебраической, геометрии.Изв.АН СССР, сер.матем., 1983, т.47, Ш I, с.109к88.

46. Олейник O.A. Оценки чисел Бетти действительных алгебраических гиперповерхностей. Матем.сб., 1951, т.28(70), с.635-640. . .

47. Олейник O.A. О топологии действительных алгебраических кривых на алгебраической поверхности. Матем.сб., 1951, т.29 •(71), с.133-156.

48. Пятецкий-Шапиро И.И., Шафаревич И.Р. Теорема Торелли душ алгебраических поверхностей типа КЗ. Изв.АН СССР, сер.мат.,1971, т.35, № 3, с.530-572.

49. Рохлин В.А. Доказательство гипотезы 1удкова. -Функц.анализ и его прил., 1972, т.6, № 2, с.62-64.

50. Рохлин В.А. Сравнения по модулю 16 в шестнадцатой проблеме Гильберта. Функц.анализ и его прил., 1972, т.6, 4, с:.58.64.

51. Рохлин В.А. Сравнения.по модулю 16 в шестнадцатой проблеме Гильберта, П. Функц.анализ и его прил., 1973, т.7, № 2, с.91-92.

52. Рохлин В.А". Комплексные ориентации, вещественных алгебраических кривых. Функц.анализ и его прил., 1974, т.8, № 4, с.71-75.

53. Рохлин В.А. Комплексные топологические характеристики вещественных алгебраических кривых. Успехи матем.наук, 1978,т.33, № 5, с.77-89.

54. Рохлин В'*А:. Новые неравенства в топологии вещественных плоских алгебраических.кривых. Функц.анализ и его прил., 1980,т.14, I I, с.37-43.

55. Уткин Г.А. Построеше одной ^поверхности 4-го порядка в КР3 Функц.анализ и его прил., 1974, т.8, Л 2, с.91-92.

56. Фидлер Т. Пучки прямых и топология, вещественных алгебраических кривых. Изв. АН СССР, сер.матем., 1982, т.46, $ 4,с.853-863.

57. Фиддер Г. Новые сравнения в топологии вещественных плоских алгебраических кривых. Докл.АН СССР, 1983, т.270, № I,с.56-58. .

58. Харламов В.М. Максимальное число компонент поверхности 4-й степени в КР3 . Функц.анализ и его прил., 1972, т.6,й 4, с.101;

59. Харламов В.М. Новые сравнения для эйлеровой характеристики вещественных алгебраических многообразий. Функц.анализ и. его прил., .1973, т.7, № 2, с.74-78:.

60. Харламов В.М. Дополнительные сравнения для эйлеровой характеристики четномерных вещественных алгебраических многообразий. Функц'.анализ и его прил., 1975, т.9, № 2, с.51-60.,

61. Харламов В.М. Обобщенное неравенство Петровского. Функц. . анализ и его,прил., 1974, т.8, № 2, с.50-56.

62. Харламов В.М. Обобщенное неравенство Петровского, П. -. Функц.анализ и его прил., 1975, т.9, I 3, с.93-94.

63. Харламов В.М. Топологические типы неособых поверхностей степени. 4 в КР3. Функц.анализ и его прил., 1976, т.10, № 4, с.55-68.

64. Харламов В.М. Изотопические типы неособых поверхностей степени 4 в 1ЯР3 . функц.анализ и его прил., 1978, т.12, № I, с.86-87,

65. Харламов В.М. Вещественные алгебраические поверхности. Труды Меаднарод.конгресса математиков, Хельсинки, 1978, с.421428.

66. Харламов В.М. Жесткая изотопическая классификация вещественных плоских кривых.степени, 5;. Функц.анализ ж его прил.,1981, т.15, $ I, с,88-89.

67. Харламов В.М. 0 числе компонент М-поверхности степени5 в -тезисы ХУ1 Всесоюз.алгебр.конф., Ленинград, 1981,с.191-192.

68. Харламов В.М. К классификации, неособых поверхностей степени 4 в КР5 относительно жестких изотопий. Функц.анализ и его прил., 1984, т.18, № I, с".49-56.

69. Чепонвус А.Л. О гнездах вещественных плоских алгебраических кривых. Литовский матем.сб., 1976, т.16, № 4, с. 239-243.

70. Чжэнъ Шэн-шэнь. Комплексные многообразия. М.: ИЛ, 1961, 240 с.

71. Численко Ю.С. Пучки вещественных алгебраических кривых. Тезисы Ленинградской международной топологической конференции, Ленинград, 1982, с.28.

72. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. М.: Наука, 1972, 568 с.

73. Шуетин Е.И. Метод Гильберта-Роона и устранения особых точек вещественных алгебраических кривых. Докл.АН СССР, 1984, т.278, № 6, с.1298-1301.