Жесткие изотопии вещественных проективных конфигураций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ЛШШГРАДСКИ'Л ОРДЕНА ЛЕНИ [А И ОРмН1Л ТРУДОВОГО КРАСШШ ЗНАММЛ ГОСУМгеТБШШЯ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукопиаи

МАЗУНЖЗШй Зяздшир Феликсович

ЖЕСТКИЕ ИЗОТОПИИ РЩВСШВШХ ¡¡ГОЕКТКВШ Ш! ЪИ171 'АЦИЙ

01.01,04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

уде 511.141.12

}

Ленинград 1990

Работа выполнена на кафоцре высшей, геометрии Ленинградского университета и в лаборатории геометрии и топологии Ленинградского отделения Математического иноштута им.В.А.Стеклова All СССР.

НАУЧНЫЙ РУКОВДДМТЕЯЪ - доктор физико-математичеокюс наук,

- профессор О.Я.ВИРО

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНИГШ - доктор физико-матоматичооких наук,

профессор А.М.ВЕРШС

кандидат ^изтю-матоматических наук, доцокт С.М.ЙШАШИН

ВДЩЛЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Математический институт ил.В.А.Стекло во Ali СССР

Зашита состоится " пз " X9S0 г. в ча-

сов на заседании Специализированного совета К 0G3.57.45 но приобщению ученой степени кандидате фиэико-мягемпткческих наук в Ланкнграцоком государственном униворситото (адрес совета : 198904, Яешшграц, Старый Пе?нрго$, Библиотечная ил.,д.2, матемашко-механичаский факультет ЛГУ). Заседание будет происходить по адресу: 191011, Ленинград, наб. реки Фонтанки,д.27, 3-й этаж, зал 311 (помещение) ЛСШ Ш СССР).

С диссортацией можно ознакомиться в библиотеке имени A.M. Горького Ленинградского университета. Университетская наб., 7/Э.

Авторефорат разослан "

1990 г.

Ученый секретарь Специализиро^акхюго совета, кандидат физико-математических наук, доцент

Р.А.Йлддт

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

. АКТУАЛЬНОСТЬ Т&Ш К ЦВЛЬ РЛШП!. Конфигуращш подпространств проектишого пространства - классические объекты геометрии, научаете средством;! комбинаторной геоиетрни, алгобранчес-кой геометрии и топологии. В последив» время появился целый ряд работ, поспящонных исследованию комбинаторных и' топологических свойств конфигураций (см. 12] , 1.3] , [0] , [1и] , [II] , [12] , [16] , [17] ). Лрклшклша современных средств топологии и алгебраической геомогрш оказалось полезным не только для развития самой теории проективных конфигураций. Обнаружилось обратное влияние, когда конфигурации использовались ггрп реьто-нии задач собственно алгебраической геометрии (см- [8] , [13],

Понятие жесткой нзоголии естественно возникает в вещественной алгебраической геометрии (см. [7] ). Ваеденноа первоначально для неособых алгебраических многообразий, оно очевидным образом переносится па случай особых, и, в частности, ка случай проективных конфигураций. Использование изотопических свойств конфигураций при изучении жестких изотошй нэоообых проективных вещественных алгебраических поверхностей степени 4 (см, [15] ) огчаогл послужило мотивировкой работы О.Я.Виро [3] . В [3] была получена изотопическая классификация неупоря-цочошшх неособых конфигураций < 5 пряг.ых трехмерного вещественного проективного пространства и било доказано, что с точностью до жестких изотошй текло конфнгуращпг определяются коэффициентами зацепления. Там же бил анонсирован пршер двух аеособых конфигураций 10 прямых, которио но различается коэ'1>-]зициенташ зациплония и не являются жестко изотогашии. Оставал-зя открытым вопрос о достаточности коа^фидаепгоа зацепления тля неособих конфигураций т прямых, где {> < иг 4 3.

В топологии многомерных многообразий ость конструкции, зкла дива одна отдельные фра гм он та и -мерно:! топологии в яврную тополотаю. В хирургии - это'умножение на комплексную

проективную плоскость (см. [18] ), в теории узлов - двукратная надстройка Бродона (см, Ю] ), в теории особенностей - до-, баяление к функции су:лш квадратов двух новых переменных (см. [I] ).'В В] О.Я.Виро определил для конфигураций подпространств вещественного проективного пространства конструкцию надстройки, которая увеличивает размерность объемлюцего пространства на 4, а размерности подпространств - на 2, и высказал предположение, что ота конструкция до некоторой степени осуществляет вложение теории конфигураций к-мершх подпространств (2к»0 -мерного пгюстранства в теорию конфигураций (.к»2.)-мерных подпространств (г.к»5) -мерного пространства.

Цель настоящей работы - изучение многообразий неупорядоченных неособых конфигураций ^ 6 подпространств размерности 2н-1 пространства ЕР1"*'1 и исследование стабилизационных свойств оператора надстройки.

НАУЧНАЯ 1ЮВЯЗНЛ. I. Изучено многообразие неупорядоченных ншеобых конфигураций б прямых пространства ИФ1 : получена изотопическая классификация таких ионфшурацпД и докапано, что с точностью до жесткой изотопности они не определяются коэффициентами зацепления (в отличие от неупорядоченных неосо-бих конфигураций < 5 прямых), но определяется полиномом Кауф-фмана.

II. Исследованы стабилизационные свойства оператора надстройки.

Ш. Изучены многообразия неупорядоченных неособнх конфигураций т. подпространств размерности пространства КР4*"1 при «.>1 и ; получена изотопическая классификация таких конфигураций и доказано, что с точностью до жестких изотопий они опроделяотся коэффициентами зацепления,

МКГОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. В работе применяются методы алгебраической и дифференциальной топологии, топологии алгебраических: многообразий.

ТШРЕЖчЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты, полученные в работе, могут быть использованы в теории проекткв;кх конфигураций и других областях математики, требующих рассмот-■ рения конфигураций.

ЛПГОЕАЩ! PAlDTiJ. Результаты работы докладывались на топо-логичнекш семинаре Матсматичвского института tatЛКА.Отеклова All СССР (1990 г.) и ira топологическом ссмннари Лешшграцского отдалошм Математического института ш.В.А.Ствгслоиа All СССР (198?, 1290 г.г.). О разультотах диссертации сообщаюсь текло а докладах О.Я.Виро на коллоквиумах в Ьило({юльдв (^ГГ, 22 ноября I9G9 г.) м Беркли ((Ш, марта 1900 г.).

ПУШКАШ. OoitoinWQ результата диссорташш оиубл^к.^вмш в работах [19] - [:;i] , гтрочислшших в конца авгоре^ирата.

ОБЫ'М И CTl'yJCfjTA дасиКГТАЦШ. Диссертации оодоряпт П7 страниц машинописного токота к состоит из васцинмя, трех глав, приложения, указателя обозначений и списка дигорптури из 05 наименований.

кратко« ссдагашк раштп

§ I. Предварительные овоцчэтя

1.1. Основное объект». Неупорядоченной (л;1<) -коифигура-цлей порадка т. навивается неупорядоченный набор из м. линейных к -морних подпространств пространстве ^Р* ., Говорят, ЧТО две Конфигурации жестко ИЗОТОПИИ, ОСЛН ,1Х ПОЛНО СООД'ЛГДГЬ такой изотопией, состадлошюй из конфигураций, в процесс« которой размерность ::эросвчения и проективной оболочки любого набора элементов конфигуршда сохраняется, Очи алчно, что неот-ная изотопкость конфигураций является сгношь-ниом виливялвнт-ности. Класс эквивалентности конфигурации по а точу отиошотго называется жестко изотопическим типом конфигурации.

Пространство ^РС,^ неупорядоченных (п"Л) -конфигураций порядка ил естеотяшшо отождествляется о т. -й симметрической степенью грпсоманова многообразия . Множество неоообих конфигураций (конфигурация называется няоообой,

если ее подпространства находятся в общем положении) является открыим подмножеством в топологии Зарисского многообразия

SPC Rly . Пнокество всох наособых конфигураций одного жестко изотолйческого типа образует компоненту связности этого яодмно-яеогва (в сильной топологии). Такие компоненты называются камерами многообразия SPC л ^ ,

При изучении пространств конфигураций в диссертации центральное место занимают следующие три проблема: классификация конфигураций относительно жестки изотопий; отыскание инвариантов, определяющих конфигурации с точностью до жесткой изо-Фопиосги; определение взаимного расположения камер в пространство конфигураций. Эти проблемы репйются для случая неособых {. W-i-, г.л-1 ) -конфигураций порядка 6 б. ' Коэффициент» аацодленкя подпространств. Два непересе-

кающихся ориентировании лхквйшгх подпространства и размерностей <t?-i и Z^-i ориентированного пространства 1RP "-'^V1'1 обладают коэффициентом зацепления ^C^t равным -il или -I (здеоь, как и а [3} , рассматривается удво-ошшй коэффициент зацепления циклов и "Rj в многообразии

IRp UpnW Ecjdî Т, ITj.TlTJ - неупорядочен-

ная нпособая конфигурация трех (?и--i) -мерных подпространств ориентированного пространства KPWl и Tt*(T*tT* - те же подпространотва, онабжкпше никоторимл опиоитацишк, то произ-ведолие McCC.Tj) , обозначаемое

через Л* ДО» называется коэффициентом зацепления тройки

-мершх подпространств Tt, 7\ t Т5. Коэффициент зацепления но завиоит от ориентации подпространств Tj, , i « t, i, 3 , сохраняется при изотопиях и изменяется при обращении ориентации пространства RP*44"1 . Неупорядочон-

ше неособно конфигурации Т. [Т, .....Т^} и T'. |,

Tt,..., Tmi ии-О-мернах подпространств пространства RP4"1'1 назовем гомологически эквивалентными, если существует биекция \jf : Т —• Т , такая, что при Фиксированной ориентации пространства «kCTi ,Tj .Th ) - tktvtTi), YCTj). YtTfc)) для любах I, j * t ,2.,..., m , , Wl< , .

- ? -

1.3. Полиномиальный инвариант неупорядоченных ¡шоообих ( г, 1) -кон^жгураций. Ю.В.Дроботушга в [5] определила аналог многочлена Джонса для зацеплений в Р-Р1 . Этот многочлен бил определен посредством модели состоянии, аналогичной модели Кауф1шна [14] да многочлена Дконеа зацеплений в . Попутно возникает и аналог скобочного многочлет Кауфмана .для диаграмм зацеплений б . Последний многочлен не является изотопическим инвариантом зацоилеш!Й в [КРЬ , ноокольку он не сохраняется при одном из двшкеттД Райдоиайсгера диаграммы зацепления. Однако он доставляет жестко изотопический инвариант неособых лонфлгурахцгй прооктиышх пряши, так как в процессе жесткой изототм керсобой (ЗД) -конфигурации это движение Рай-демайстера не появляется. Отот многочлен я. буду называть многочленом Кауфмана неособой конфигурации прямых пространства

• 1.4. Конструкции джойнового суммирования и надстройки. Пусть ^ * [^ч >..., - ноупор.'цочшпал ко1фтгураиш1 к -

мерных подпространств пространства , Ь» ^£>1,- не-

упорядоченная конфигурация £ -мернах подпространств пространства ®Р4 . Нложш пространства и 1ЙР4 в пространство

а качестве непоресенавдихся лииойшх подпространств. В случае, когда н. и 5 нечетны, дополнительно предположим, что пространства КР ,&Р и ориентированы и коэф-

фициент зацепления образов пространств КРП и при вло-

жении в пространство ранен -#-1. Пусть { '• 11-,...»^ —1►

~"11.....- некоторая бит«спя, и пусть подпространство С',

пространства ИМ3**4*1 является проективной оболочкой подпространств А- И , 1-1,...,«. . Лоно, что С--1С1....,СЫ] есть (и.*4и Ы»-0 - коН'&1гуршшя порядка т . Следуя О.Л, Виро [4] , назовем конфигурацию С дмоИновой, а конструкции, описанную вшле, - джсПновнм суммированием.

Иеутюрядоченнуо но ос обую конфигурацию прямых ори ентиро ванного пространства КР* , состоянии из п^ттолннеШшх о^рнзуших некоторой квздшка и обладающую положнтельннин коифдоцтнточи зацепления троек прямых, назовем х он;: о некой ксн^игург^ший. Лобне дна прямые хопловскоИ конфигурации явоткой яв-шизмопнеР

этой neocodoS конфигурации можно пог.шнять мостами, оставляя остальные пряша конфигурации неподвижными. Значит, джойно- • вая сумма неупорядоченной конйггуращш k-морних подпространств пространства !№ и хопфовской конфигурации о точностью до жестких изототгй на загасит от сооцтшния подпространств конфигураций.. Такая джойновая -сумма называется надстройкой неупорядоченной" к)-конфигурации (см. [4] ). Надстройка неупорядоченной (л'Л) -KOHiîmypaijjni С обозначается символом С.

Обозначим символом 5рснД множество жэотко изотошчес-юа типов конфитюраций пространства ^ . рассмотри.! ото-

бражение w- spc —т sPC^sv«!, солоотавлящее жестко изотопическому типу неупорядоченной («.; к)-конфигурации порядка т. жестко и зо г о i пл ч с ск1й тип ее надстройки. Естественно возникают вопроси: при каких условиях отоОраксчше ьи сюрьехткшо, инъек-тивно, биективно. Эти вопросы изучаются в дассертацт для случая неоообих и I-особых C*k«i;k) -конфигураций ( Iм-; к) -конфигурация порядка т. называется I-особой, о ели коразмерность юкмссогва всех жестко изотопных ей конфигураций в многообразии SPC^ ^ равна I).

§ 2. Основное результаты работи

2,1.. Неупорядоченные подсобно конфигурации 6 прям« пространства . Пусть f и I - две ориентированные непересекающиеся прямые ориентированного пространства , коэффициент зацепления которых нолсаштеден. Пусть к ; _ различные .точки прямой t , jH,t , и i ,,...»v t такие, что возрастание индекса t согласовано с ориентацией прямой . Рассмотрим некоторую подстановку t степени м. к соедини прямыми точки и A tu) • Получится нвособая джойновая конфигурация w. прямых пространства RP1 , которую я обозначаю символом j«(T). Как уже упоминалось изотопическая классификация неособых {ъл)--конфигурадай порядка 5 была получена в 1985 -году О.Я.Вкро (см. 133 ).

ТЕОРЕМА (О.Я.Впро). Из гомологической эквивалентности не-особпх конфигураций 4 5 прят.шх пространства КР5 следует юс жесткая изстопность. Всякая неособая -конфигурации порядка 4 Г> жоотло изотопна одной из следующих попарно иеизотогашх даоЯновкх конфигураций: М*) , ¿«-(м) , , , Мм.ц,!), ^".л.гд) , »л,«.,«) , К'^Л.^.г) ,

П отличие от неособых (V, I) -конфигуращй порядка £ 5 ие-оаобкэ конфигурации 6 прямых пространства № с точностью до жесткой изотогаюсти уже но определяются кооффпционташ зацепления.

ТНОГША А. I) Неособая -конфигурация И , аф;шшшт

часть которой изображена на рис.1, и о в зоркальшй образ гомологически эквивалентен, но не является жестко изотопными;

2) Ноособая (з;1) -конфигурация и , вффнннал часть которой изображена на ряс.2, и неособая джойновая (V. 1) -конфигурация

ь.ц) гомологически эквивалентш, но но являются жестко изотошшми.

Ответа на постааленныо в пЛ.Г вопросы для неособнх (5; 1) -конфигураций порядка 6 дают теоремы Б, С и Р.

Пусть и и М зоркалыша образы неособих (у-0 -конфигураций I и Н ,•

ТЮРЬМА В. Всякая ноособая I) -конфигурация порядка 6 жестко изотопна одной из сльчунщих 19 попарно ноизотошшх кон-фиураплй: , Кмл'-Л*}, 5,6,1.) , Мм.М.М),

]с(|,г,5,4ЛЛ), ль(м,5,г>11.'>, МиЛЛ*.*),

Ммлд.г.О, И«,шла,О, Зьц,^,»,»,!), Н^л.'ьМ), М^ЧЧМ),

ТЕОРЕМА С. Неособые конфигурации 6 прямых пространства КР* жестко изотопны тогда и только тогда, когда их многочлены Кяуфрланя равна.

Лзяишое расположите камер в многообразии конфигурации можно описать о пшощыо графа, вершшш которого поставлена в соответствие с камерами, а ребра - с перегородками (перегородка - это множество всех 1-особнх конфигураций одного жестко изотопического-чипа): какдое робро соединяет те першит,

Рис. 4.

которые cooiBBTCi'iyar камерам, граничащим по первгорсцке, соответствующей этому ребру. Этот граф навивается графем нримы-кашй камер в пространств конфигурации (ом. 18] ).

Пусть С - неупорядоченная M -конфигурация. Квстко изотоакмоский тип конфигурации С я буку обозначать символом 1С] .

ТВОРИЛА. Î). Граф примыканий камер пространства ЬРС i t есть граф, изображешшй на рис. 3.

¿Làнадстройки. Обозначил чзроз G'bPC Гд мнсйшство камер, через СГ'ЗРС^ц, множество перегородок пространства SPCK,k .

ТЕОРША Е. Отображения it.»^'^«usA.i и

su-, OiSPCtt<l>j.—»■ Q'SPC^j^ соръекпшш npn w.i.5 , воли k « 0 , и при «г g k♦ 5 ., Bwm^t > 0.

TUOrim^F. Отображения su: (Îb^c'^a'&K'j и

ьц : G' SPC M —- Ç1 нешгьективнн.

^.3. Ноупорядочанше нсособыв -, -конфигурации

порядка i G. Ответы на поставленные в n.I.I вопросы пдя ноосо-бых (.Wi;îw-i) -конфигураций порядка £ 5 дают теоремы Cj и Н, дая неособнх -конфигураций порядка G - те-

орему В, С, D, I и J ,

ТЕОРШЛ G . Из гомологической эквивалентности ноособих (Цл,- i ; 4h-i) -конфигураций порядка ¡4 5 следует их жооткая изотелноогь. Любая нвособая конфигурация ¿5 подпространств размарносга пространства RP1**'1 жестко изотопна од-

ной из'следуцдюс попарно неизотошшх (.п.-1)-кратких надстроек над неособши О-, 1)-конфигуращэтш: , ^"'Hi'UD),

&u"*4K».t.D), б^'ЧК'ДЛМ) , Su^Hjtli.t.i.i,;»)), ^Ч^и.ь.Чб.г)), V4h<.45,21s))i

'ГШР1Ш II, Графами пршнканцй камор пространств

ЬРС при 4 V4 4 5 являются графи, изображен-

ии о на рис. !3.

о

а) и',)]

б)

[^ЧМ^Л.М))]

[Ьич-Ч'4^«лл>м)] и.Л'СМил.«)] в)

г)

Ряс. 5. а) - граф примыканий камер пространства

б) - граф пришканий камор пространства

в) - граф пришканий камор пространства ЬРС.»,,.!

г) - граф приминаний камер пространства З^Д».!,*«*.

ТЮРЬМА I. При к>1 из гомологической эквивалентности не-особнх (^л-1.-, г.л.ч) -конфигураций. порядка 6 следует их жесткая изотопность. Любая неособая (^«.ч-,*«--!) -конфигурация порядка 6 при п. > I жестко изотопна одной из следуицих 16 попарно неизстопннх конфигураций: (.М^Л^Л^Я)) ,

^""'ифД.^Л.ч)), Эи^ОфМ,!,«), ^(Х^Л,1.3,5)),

^"'(WA^AU)) , Su^CKk.t,S.SXO), Suvl(lt(51(,,V4,'i.O), , bu'-'Cjr-lM.l.S,!,!)) ( Sw"-' (M).

ТйОРША J . Граф примыканий камер пространства SPcLi ПРИ есть гРаФ> изображенный на рис. 4.

2.4. Неупорядоченные иеособиа____(U-t; 1пл) -конфигурации

порядка ¿ 6. Внешняя двойственность проективных конфигураций (см. [81 , U?] ) устанавливает взаимно однозначное соответствие 'мелку грубыми проективными типами неособых (Чл-i il»v-i) и -конфигураций порядка 6 (проективные конфигу-

рации принадлежат одному грубому проективному типу, если они принадлежат одному аестко изотоиичоокоцг тину или зеркальным жестко изотопическим типам). В совокупности с теоремами В и I это позволяет получить слепуодую информацию о пространствах неособых ({и-i ; ¿w.-i) -кон.6игурвцп2; порядка < 6.

ТЕОРЕМА К. а) Существует ровно один жестко изотопический тип neooodux (in-i; 2*. -i) -конфигураций порядка i 4; d) Существует ровно два жестко изотопических типа, неоообих

■. -конфигураций порядка 5;

в) Сущоствуыт ровно жестко изотопических типов неособых (in-!; £n-i) -конфигураций порядка 6, где <v» 22. при к«1 и при л>1 .

Литература

1. -Арнольд В.И., Варченко A.Í1., Гусейн-Зэде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. T.I. М., 1982,

2. Нарчьнко А.П., Голь<1аад И.М. О (функциях Хависайда конфигурации гипврпюскоотей // бункцяон. анатаэ и его нрил. 198?, Т.'Л. 4. С.1-18.

3. Ьиро О.Я. Топологические задачи о прямых и точках трехмер-иогс пространства //Ml ССОР. 1905. Т. 284. .'5 С. 0.10491 аь2.

4. Шро O.K., Дроботухина Р.В. Конфигурации скреиситвдихся прдг— ммх // AJtrorfpa и.анализ. rw. Т. Г. Вып.1. С.222-246.

5. Дроботухшга Ю.В. -Аналог многочлена Д-коунса для эацеяшгай в 1ЙР* и обобщение теоремы Кяу^Тмана-Мураоуги// Алгебра И анализ, 1990. Т.2. Вып.З. С.17Г-1Э1.

6. Мнэа H.I3, О многообразиях комбшаторных типов проективных конфигураций и выпуклых многогранников //ДАН СССР. 1985. Т.283. Л 6. C.I3I2-I3I4.

. 7. Рохлин В.А. Комплексныв топологические характеристики ве-ществошшх алгебраических кривых //У?»И. 1978. Т.33. № 5. С. 77-89.

8. Финашин С.М. Проективные конфигурации и вещественные алгебраические кривые. Дно. ••• канд. $из.-мат. наук.

Д., 1985.

9. Bredon G.E. Regular Ola.) -manifolds, suspension of knots and knot periodicity // Bull.Amer.Math.Soc. 1973. Vol.79. H 1. P.87-91.

10. Finashin S.H. Configurations of seven points in RP // Lect.Notes in Hath. 1988. Vol.1346. P,501-526.

11. Gonzales-Sprinberg G., Laffaille G. Sur les arrangements siroples de huit droites dans RP1 // С.R.Acad.Sc.Par is. 1989. Vol.309. Ser.1. N 6. P.341-344.

12. Goresky M., McFherson R. Stratified Morse theory // Ergeb. Math.Grenzgeb. (31. Vol.14. Berlin, 1986.

13. Hirzebruch F. Arrangements of linos and albraic surfaces // Arith. and Geom.Pap.Dedic. I.R.Shafarevich Occas. 60-th Birthday. 1983. Vol.2. Boston, P.113-140.

14. Kauffman L. State models and the Jones polinomial. Preprint, 1986 .

15. Kharlamov v.M. Non-amphtcheiral surfaces of degree 4 in RP1 // beet.Notes in Math. 1988. Vol.1346. P.349-356.

16. Ilandell R. Lattice-isotopic arrangements are topologioally isomorphic ¡/ Proc.Amer.Math.Soc. 1989. Vol.107. N 2.

P.555-559.

17. Vershik A.M. Topology of the convex polytopes manifolds, the manifold of the projective configurations of a given combinatorial type and representations of lattices.// Loot. Notes in Math. 1988. Vol. 1346. P.557-581.

18. Wall C.l'.C. Surgery ori compact manifolds. .London an^ Now Vork, H 70.

PABu'Rl ABTOPA 110 WE JIJICCEPTAiGIK

19. Maayj;aBCKii3 Q.i. ICoK^irypariHii uiecra CKpeumBaonttxcH upmaix // 3aii.nayw.ceMmi.JiaW. 1'j№. T.IG7. C.I2I-I34.

20. MaaynoBCKitll B.:>. Miioro<u0iiu ¡iayi{<{i,iaHO auocoiax Kowjarypa-Ojia npoeK'fiiiiiUiX npnvux. // ML 1989. T.44. !i 5. C.173-174.

21. MasypOBOBiii B,<5, Heooo(5no KoiifiirypamiH k -t.iepnux nottfipoor-paHcifi UV ♦ i) -MopHoro BQiuecraeiuioro uposKTiiBiioro npocr-pniiOTBa// Bbotichk .'SIT. Cop.I. 1990. 15a«.3 (¡5 15).0.21-26.

Kecnr.aiiio