Алгебра и геометрия три-тканей, образованных слоениями разных размерностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 514.7+512.5

ТОЛСТИХИНА Галина Аркадьевна

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ ТРИ-ТКАНЕЙ, ОБРАЗОВАННЫХ СЛОЕНИЯМИ РАЗНЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ

Специальность: 01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск — 2005

Работа выполнена на кафедре функционального анализа и геометрии математического факультета Тверского государственного университета.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ОНИЩИК Аркадий Львович

доктор физико-математических наук, профессор КИРИЧЕНКО Вадим Федорович

доктор физико-математических наук, профессор ИОНИН Владимир Кузьмич

Ведущая организация —

Казанский государственный университет

Защита состоится 13 октября 2005 г. в 15 час. на заседании диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан 5 сентября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 003.015.03,

доктор физико-математических наук

А. Е. Гутман

12.642

А4693</3

1 Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Классическая теория многомерных три-тканей W(r, г, г), образованных на 2г-мерном дифференцируемом многообразии тремя слоениями размерности г, имеет многочисленные приложения в разных разделах математики и в физике, во-первых, потому, что объектом ее изучения является гладкая функция двух переменных г = /(х,у), х,у,г е I/ с Ег, весьма общего вида. Во-вторых, теория тканей использует все современные дифференциально-геометрические методы исследования, что позволяет получать глубокие результаты как в самой теории тканей, так и в ее приложениях, см. [1], [3], [5]. Наиболее важное приложение связано с тем обстоятельством, что три-ткань представляет собой геометрический аналог локальной гладкой квазигруппы или лупы, вообще говоря, неассоциативной. Это дает возможность применять результаты, полученные в теории тканей, в неассоциативной алгебре и в тех разделах физики, где активно используются различные обобщения групп [10|, [12], [13], [15],

В то же время, приложения классической теории тканей ограничены тем, что в уравнении ткани г = }{х,у) переменные имеют одну и ту же размерность. Очевидно, что построение аналогичной теории для гладких функций с разной размерностью переменных значительно расширит область приложения результатов. Дифференциально-геометрическую теорию тканей \¥(р, д, г), образованных слоениями разной размерности, начали развивать М.А. Акивис и В.В. Гольдберг, см. [2], [8]. Однако, вследствие разной размерности слоев, им не удалось обобщить для (р,9,г)-тканей такие важные понятия как координатная квазигруппа, координатная лупа, конфигурация, сердцевина, ассоциативность, альтернативность и т.д. Поэтому проблема исследования алгебраических и геометрических свойств тканей IV(р, <?, г) долго оставалась нерешенной. На необходимость ее решения указывал еще В.В. Рыжков в первой части обзора [5].

Цель работы состоит в исследовании алгебраических и геометрических свойств три-тканей образованных на дифференцируемом многообразии размерности р+д тремя слоениями размерностей р, диг.

[16], [17], [20].

Основные задачи исследования.

1. Обобщить для три-тканей W(j>,q,r), образованных слоениями разных размерностей, основные понятия классической теории три-тканей, образованных слоениями одинаковой размерности (координатная лупа, изотопия, конфигурации Рейдемейстера и Бола, сердцевипа и т.д.).

2. Найти алгебраические условия (тождества), эквивалентные замыканию на три-тканях W(p, q, г) обобщенных конфигураций Рейдемейстера и Бола.

3. Исследовать свойства обобщенных три-тканей Рейдемейстера и Бола.

4. Исследовать геометрические и алгебраические объекты, порождаемые три-тканью W(p, q, г) и отсутствующие в классической теории.

5. Исследовать свойства три-тканей, порождаемых локальными гладкими группами Ли преобразований и гладкими квазигруппами Бола преобразований.

6. Указать возможные физические приложения полученных результатов.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.

1. Для тканей W(p,q,r), р < q < г, определены понятия координатного группоида, координатного моноида и его единичного элемента, сердцевины и обобщенной конфигурации Рейдемейстера. Найдено тождество обобщенной ассоциативности, соответствующее замыканию обобщенных конфигураций Рейдемейстера. Доказано, что существование сердцевины характеризует класс обобщенных три-тканей Рейдемейстера, причем сердцевина вполне определяет координатный группоид ткани.

2. Показано, что три-ткань W(p,q,p + q - 1) индуцирует на своих вертикальных и горизонтальных слоях соответственно (р + 1)-ткани и (q + 1)-ткани, образованные слоениями одинаковых размерностей. Для этих тканей построены некоторые отображения, которые образуют группу автоморфизмов в том и только том случае, если на ткани W{p, q,p+q— 1) замыкаются обобщенные конфигурации Рейдемейстера.

3. Найдены конечные уравнения всех три-тканей Рейдемейстера типа q) и некоторых классов тканей типа WR(p,p) и WR(p,p+1). Найдены сердцевины этих тканей.

4. Доказано, что ткань GW(p, q, q), порождаемая действием локальной гладкой д-параметрической группы Ли G на гладком р-мерном

многообразии, характеризуется замыканием обобщенных конфигураций Рейдемейстера. Доказано, что сердцевина ткани GW(p,q,q) может быть записана в виде равенства инвариантов группы преобразований. Найдены многоточечные инварианты аффинпой и проективной групп на плоскости и в пространстве. Описаны три-ткани, порождаемые действием этих групп. Найдены структурные уравнения произвольной три-ткапи GW(jp, q, q) с помощью уравнений Маурера-Картана группы G.

5. Для ткани W(p, q, q) определено понятие обобщенной левой конфигурации Бола. Доказано, что на три-ткани, порождаемой локальной гладкой квазигруппой Бола преобразований (и только на такой ткани), замыкаются обобщенные левые конфигурации Бола. В координатных моноидах три-ткани Бола Bi(p,mp,mp) (для других размерностей моноид не существует) найдено тождество обобщенной альтернативности, соответствующее замыканию па этой ткани обобщенных конфигураций Бола. Найдены структурные уравнения три-ткани Бола Bi{p,q,q) общего вида. Найдены конечные уравнения ткани Bj(2,3,3), тензор кривизны которой имеет единственную ненулевую компоненту.

Кроме того, дана интерпретация полученных результатов в терминах теории физических структур Ю.И. Кулакова [11]. Доказано, что ткань WR(p, q) (и только такая ткань) определяет бинарную физическую структуру ранга (р +1, q + 1), а сердцевина ткани WR(p, q) представляет собой феноменологически инвариантную форму некоторого физического закона.

Методы исследования. Теория тканей тесно связана со многими областями современной математики (теория функций, внешнее дифференциальное исчисление, дифференциальные уравнения, теория связ-ностей, теория расслоенных пространств, классическая и проективная геометрия, алгебраическая теория групп, группы Ли и т.д.), а потому богата сильными и разнообразными методами. Наиболее эффективно используется метод внешних форм и подвижного репера Картана, развитый в работах российских математиков С.П. Финикова, Г.Ф. Лаптева, A.M. Васильева и с успехом примененный М.А. Акивисом в теории многомерных три-тканей, образованных поверхностями одинаковой размерности. Этот метод используется и в настоящей работе. Все рассмотрения, в основном, локальные.

Теоретическое и прикладное значение. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Они могут быть использованы специалистами-математиками и физиками в дальнейших исследованиях гладких группоидов общего вида z — /(х, у) и определяемых ими алгебраических, геометрических и физических структур, а также неассоциативных алгебр и их физических приложений. Эти результаты позволяют по-новому оценить многие факты из классической теории тканей. Они применяются при чтении спецкурсов в Тверском госуниверситете, Московском государственном педагогическом университете, Орском педагогическом институте и других.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на следующих семинарах и конференциях (в хронологическом порядке):

— на международной сессии геометрического семинара МГУ и РАН им. Г.Ф. Лаптева (Лаптевские чтения —2001, Москва, июнь 2001 г.),

— на 8-й международной конференции по дифференциальной геометрии и ее приложениям в математическом институте Силезского университета (Опава, Чехия, август 2001 г.),

— на семинаре по геометрии и анализу в Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН (Новосибирск, декабрь 2001 г.),

— на международном семинаре по геометрии и анализу памяти

Н. Ф. Ефимова в Ростовском госуниверситете (Ростов-на-Дону, сентябрь 2002 г.),

— на международном семинаре им. Н.И. Лобачевского в Казанском госуниверситете (ноябрь 2002 г.),

— на международной конференции по геометрии "Ьоорз-2003" (Прага, Чехия, август 2003 г.),

— на семинаре по геометрии в Московском городском педагогическом университете (сентябрь 2004 г.),

— на семинаре "Дифференциальная геометрия и приложения "в МГУ им. М.В. Ломоносова, рук. А.Т. Фоменко (апрель 2005 г.),

— на семинаре "Группы Ли и теория инвариантов"в МГУ им. М.В. Ломоносова, рук. Э-Б. Винберг и А.Л. Онтцик (апрель 2005 г.),

— на геометрическом семинаре в Московском педагогическом государственном университете, рук. В.Ф. Кириченко (апрель 2005 г.).

По результатам выполненных исследований имеется 14 публикаций.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 255 страницах, состоит из Введения, шести глав и списка литературы, содержащего 148 наименований. Нумерация параграфов производится двумя символами, а нумерация пунктов — тремя. Например, помером 3.2 обозначен второй параграф третьей главы, а номером 5.2.1 — первый пункт второго параграфа пятой главы. Нумерация рисунков и теорем в тексте диссертации сквозная, а нумерация формул в каждой главе своя. Например, ссылка (2.6) указывает на формулу с этим номером во второй главе.

2 Обзор содержания диссертации

Во введении дается общая характеристика работы, формулируются полученные в ней основные результаты, приводится краткий исторический обзор результатов классической теории три-тканей, образованных слоениями одинаковой размерности, которые могут быть обобщены для три-тканей, образованных слоениями разной размерности, и анализируются различные физические приложения многомерных три-тканей.

В первой главе вводятся основные понятия для ткани W(p, q,p + 9 — 1), слои третьего слоения которой являются гиперподмногообразиями многообразия, несущего эту ткань. Вначале (п. 1.1) приводится определение три-ткани W(p, q, г) общего вида и ее координатного группоида.

Пусть z = f(x, у) — гладкая функция вида

f : X х Y Z,

где

Xcif, YcRp, ZCRP+4~T, p,q,r€N, r<p + q, p<q<r,

и в каждой точке области определения ранги матриц Якоби максимальны. Такие функции будем называть гладкими группоидами и записывать также в виде

z — x-y.

Последнее уравнение определяет на многообразии М = X х У размерности p+q три-ткань W(p, q, г), образованную тремя слоениями Xw, w — 1,2,3, общего положения [2]. Здесь Ai — ^-параметрическое слоение р-мерных подмногообразий х = const, Аг — р-параметрическое слоение

<7-мерных подмногообразий у = const, А3 — (р + q - г)-параметрическое слоение r-мерных подмногообразий z = const. При этом через каждую точку А из М проходит один и только один слой каждого слоения; любые два слоя Т\ С Ai и Т2 С Аг имеют не более одной общей точки; слои С A3 и Т\ С Аь имеющие общую точку, пересекаются по подмногообразию размерности г — q, а слои С A3 и ^ С Аг, имеющие общую точку, пересекаются по подмногообразию размерности г — р.

Как и в классической теории, группоид z — х у называется координатным группоидом три-ткани W(p, q,r), а три-ткань W(p, q, г) рассматривается с точностью до локальных диффеомофизмов

х а(а;), у -> /3(2/), г 7(г),

которые, с другой стороны, определяют изотопическое преобразование координатного группоида ткани.

Далее, по аналогии с классической теорией вводится понятие координатного моноида, который представляет собой главный изотоп координатного группоида, обладающий аналогом единицы. Сначала определяется понятие координатной решетки, которая образована в некоторой области Л/" многообразия М, несущего ткань W(p, q,p+q — 1), фиксированным набором а = (ai,ар) из р достаточно близких слоев первого слоения и фиксированным набором Ь = (bi,..., bq) из q достаточно близких слоев второго слоения, см. рис. 1. (На рис. 1 и всех последующих три слоения, образующие три-ткань, изображаются соответственно вертикальными, горизонтальными и наклонными линиями).

Операция (о) в координатном моноиде Ц(а,ь)(°) определяется следующим образом. Пусть М — произвольная точка области Л/", а х, у и z соответственно вертикальный, горизонтальный и наклонный слои, проходящие через эту точку, так что z = х • у. Обозначим через В{ точку пересечения слоя х с горизонтальным слоем 6, , i — l,q, а через Аа — точку пересечения слоя у с вертикальным слоем аа, а = 1, р. Наклонный слой, проходящий через точку Bf, обозначим щ; аналогично, наклонный слой, проходящий через точку Аа, обозначим va (рис. 1). Таким образом, в области N возникают два отображения, первое из которых с помощью заданного набора b = (Ьь&2;.... bq) горизонтальных слоев сопоставляет произвольному вертикальному слою х набор и = (ui,u2,..., uq) из q наклонных слоев. Второе — произвольному горизонтальному слою у сопоставляет набор р наклонных слоев v = (vi,v2,--,vp) с помощью заданного набора а = (ai,a2,...,ap) вертикальных слоев. По аналогии с классической теорией обозначим эти

отображения соответственно Ль и Ьа :

Яь : Х\ А3 х ••• х Л3, Ль(х) = и, и = (щ,и2, ...,ид); 9

Ьа : Л2 -> Л3 х - х Лз, Ьа{у)=у, V - ...,ьр).

Р

Операция (о) в координатном моноиде определяется равенством мои = х-у = г,

(о) : (А3 х • • ■ х А3) х (Л3 х • • • х А3) А3.

>-„-- ч-у-,

Ч Р

в| а, х

Рис. 1

Заметим, что понятие "координатная решеткапобобщает простейший геометрический объект классической теории тканей, состоящий из одного вертикального и одного горизонтального слоя и задающий так называемую координатную лупу ткани [1].

Аналитические условия существования координатного моноида М(в,ь)(°) ткани W{p,q,p+q — 1), найденные в п. 1.2.4, оказались эквиваленты условиям инвариантности размерности слоев этой ткани относительно изотопии (Теорема 1). (В классической теории тканей вопрос

существования координатной лупы три-ткани вообще не обсуждается, поскольку ее наличие гарантируется локальной однозначной разрешимостью уравнений координатной квазигруппы г = х ■ у относительно каждого из своих аргументов). В п. 1.2.4 показано также, что координатный моноид три-ткаии Ш(р,<?,р + <7 — 1) главноизотопен ее координатному группоиду г — х • у, причем изотопия имеет вид (Я^1, г<2).

В п. 1.2.5 введено понятие единичного элемента е координатного моноида /1(а,ь)(°) ткани Иг{р,ц,р + д — 1). Это матрица, составленная из параметров паклонных слоев, проходящих через точки пересечения образующих координатную решетку р вертикальных и д горизонтальных слоев ткани Иг(р, р + — 1). Показано, что набор столбцов матрицы е можно считать аналогом левой единицы, а набор ее строк — аналогом правой единицы (в классической теории, как известно, правая и левая единицы лупы совпадают).

В п. 1.3.1 вводится одно из основных геометрических понятий рассматриваемой теории, а именно, понятие обобщенной конфигурации Рейдемейстера Я(р,д), см. рис. 2.

С замыканием таких конфигураций связываются в дальнейшем различные свойства тканей W(p,q,p + q — 1). Прир = <7=1 конфигурация R{p, q) совпадает с конфигурацией Рейдемейстера R для криволинейной три-ткани W(l,l, 1) на плоскости (рис. 3), то есть R(l, 1) = R. Ткань W(p, q,p + q — 1), на которой замыкаются все достаточно малые конфигурации R(p, q), названа обобщенной тканью Рейдемейстера и обозначена WR(p, q).

В п. 1.3.2 определено понятие сердцевины произвольной три-ткани Рейдемейстера R и ткани WR(j>,q), обобщающее аналогичное понятие в классической теории тканей Бола Вт [4]. Сердцевина классической ткани R определяется как тернарная операция Z22 = z2\ ° {zu/zii), где 2ц, 2i2,г21) z22 — параметры наклонных слоев, входящих в произвольную конфигурацию R (рис. 3). Сердцевина ткани WR(p, q) представляет собой (pq +р + д)-арную операцию на третьем слоении этой ткани и связывает параметры наклонных слоев, входящих в произвольную конфигурацию R(p,q), изображенную на рис. 2:

Zp+lq+l = С(гц, 212, —, Zlg+i;...; Zpi, ZP2, ..., Zpq+1; Zp+n, Zp+12,..., Zp+ Iq),

где z&i — f(x&,yi), й = 1,р+1, i = í,q +1. Доказано, что сердцевина многомерной три-ткани WR(p, q) вполне определяет координатный группоид этой ткани, а существование сердцевины является характеристическим свойством три-тканей WR(p,q) (Теоремы 2 и 3).

В п. 1.3.3 выясняется геометрический и алгебраический смысл некоторых понятий теории физических структур [И]. Доказано, что координатный группоид z — х ■ у ткани WR(p, q) (и только такой ткани) определяет бинарную физическую структуру ранга (р + 1, g + 1), а понятие сердцевины ткани WR(p, q) аналогично понятию феноменологически инвариантной формы физического закона (Теорема 4). Таким образом, бинарная физическая структура представляет собой изотопический образ координатного моноида ткани WR(p, q), то есть некоторого аналога группы Ли.

Рис. 3

Во второй главе изучаются свойства некоторых новых тканей, индуцируемых тканью IV(р, q,p+q—l), но образованных уже слоениями одинаковой размерности. Показано, что с помощью фиксированного набора р + 1 вертикальных слоев а!,...,ар+1 ткани У/{р^,р + д — 1) можно определить на ее произвольном вертикальном р-мерном слое Т^ так называемую (р+1)-ткань, образованную р+1 слоениями одинаковой размерности р— 1 [9]. Эти ткани нами обозначены И^(аа). Аналогично, па произвольном горизонтальном д-мерпом слое Т^ ткани д, p+q— 1) фиксацией набора q+1 горизонтальных слоев &!,..., 6?+1 порождается (д 4- 1)-ткань, образованная q + l слоениями размерности д — 1 (рис. 4).

Рис. 4

Такие ткани обозначены Ь;). (Заметим, что в классической теории ткани И\{ай) и И^С^) не возникают.)

В п. 2.1.2 найдены уравнения тканей Й^(ай) и И^(^) и далее иссле-

дованы их свойства, связанные с замыканием на ткани IV{р, д, р-+-д — 1) конфигураций Л(р,д). Для этого на слоях и несущих соответственно ткани Иг1(аа) и Игз{Ь{), определены некоторые отображения ф\ и 02, порождаемые тканью д,р+д—1). (Отображение 02 - —► показано на рис. 5. Здесь А = 0г(А), А е Т^)-

Доказано, что отображения фх и 02 являются автоморфизмами соответственно тканей \¥х(аа) и И^СО в том и только том случае, если ткань Иг{р,д,р + д - 1) является тканью \¥В.(р, д) (Теорема 5).

С помощью автоморфизмов фг и 02 построен автоморфизм (01,02, фз) уже для всей ткани IVд). Он порождается фиксированными р + 1 вертикальными слоями ах,..., ар+1 и д + 1 горизонтальными слоями ¿>1, ...,Ьд+1 так, как описано в п. 2.2.2.

Рис. 5

В п. 2.2.3 доказано, что автоморфизмы 02 ткани М^Ф«)» индуцируемой тканью ШЯ(р, д) на ее произвольном д-мерном горизонтальном слое образуют рд-параметрическую группу (она обозначена С2), транзитивно действующую на этом слое (Теорема 6). Аналогичное утверждение верно и для ткани И^(аа), автоморфизмы ф\ которой образуют группу С?1.

При р = 1, то есть на три-ткани ткани Н^аа) не су-

ществуют, поскольку вертикальные слои одномерные. Поэтому случай р — 1 рассмотрен отдельно в п. 2.3. Доказано, что отображения ф\ образуют группу в том и только том случае, если ткань д, 7) является тканью IV 11(1, д) (Теорема 7). Этот факт позволяет найти все ткани 1^/2(1, д), порождаемые действием группы Ли на одномерном слое. Поскольку (см., например, [7]), существуют всего три одномерные группы Ли преобразований: однопараметрическая (параллельных переносов), двухпараметрическая (аффиппая) и трехпараметрическая (проективная), то, соответственно, и тканей типа IVй(1, д) имеется только три:

11 2

0(1,1)^ = 1+1,; WR(l,2)■.z = x1y1+x2; Ш?(1,3) : г = * У + * .

у1 + х6

Их сердцевины определяются соответствепно уравнениями

0 1 1 1 211 221

1 211 221 = 0, 1 212 222

1 212 222 1 213 223

1 211 221 2Ц221

1 212 222 212222

1 213 223 213223

1 214 224 214224

Как оказалось, в последнем случае соответствующая ткань Й^ является одной из наиболее интересных тканей, рассмотренных В. Бляшке еще в |6]:

/11(2122 + 2324) + /»2(^123 + г4г2) + /»3(2124 -I- 2223) = О,

(здесь 21, гг, 23,24 — параметры слоев, а /ц, /12, /13 — постоянные величины, связанные соотношением /11+/12+Л3 — 0). В п. 2.4 доказано, что эта не октаэдрическая 4-ткань является, однако, шестиугольной и порождается в трехмерном проективном пространстве Р3 четырьмя пучками плоскостей, оси которых попарно скрещиваются и принадлежат одной квадрике (Теоремы 9 и 10).

В третьей главе найдены структурные уравнения три-ткани Иг(р, р+д—1) общего вида и их дифференциальные продолжения. Известно [1], что формы кривизны классической три-ткани Рейдемейстера

R, образованной слоениями одинаковой размерности г, могут быть одновременно приведены к нулю на всем многообразии М и обратно: если формы кривизны некоторой три-ткани W(r, г, г) приводятся к нулю, то такая ткань является тканью Рейдемейстера. Следуя классической теории, мы рассматриваем три-ткани W{p, q,p + q — 1), формы кривизны которых равны нулю:

а,Ь,... = l,p— 1, u,v,... = p+í,p + q—l. Эти ткани (они обозначены W°(p, q,p + q — 1)) классифицированы в зависимости от строения их тензора кручения {\ua,fia, ц,и] и его подгензоров. В п. 3.2.2 рассматриваются три-ткани W°(p,q,p + q — 1), для которых величины ца и ци являются постоянными. При этом величины \иа могут быть как постоянными, так и переменными. Такие ткани обозначены W°(p, q,p+q — 1) (А = (Auo)). Показано, что на слоях первого и второго слоений ткани W® (p,Q,p+q — 1) индуцируется групповая структура, а на слоях третьего слоения ее, вообще говоря, нет. В п. 3.2.3 путем интегрирования структурных уравнений найдено конечное уравнение некоторой ткани W®(jt, q,p + q - 1) при А ф const:

z = + уР_ С1р+1хг+У -¿2Сашхиуа),

а,и

где Cip+i и Саи ~ постоянные. Найденная ткань не является, вообще говоря, тканью WR(j>, q), но будет таковой при

Cip+1 = Cai = Clo = о, а- 2,р — 1, й = p + 2,p + q- 1.

В этом случае уравнение ткани некоторым изотопическим преобразованием приводится к виду

Z=sV-t-.-.+xV,

а соответствующая сердцевина определяется уравнением

¿11 212 zlp+l

221 ¿22 z2p+l

Vt-ll Zp+12 ■ ■ ■ Zp+ip+i

Далее, в п. 3.2.4 рассматривается три-ткань И^(р, q,p+q—1), для которой величины Аца являются постоянными (она обозначена

W^{p,q,p + q — 1)). Показано, что структурные уравнения такой ткани имеют вид уравнений Маурера-Картана некоторой группы Ли G, которая, в свою очередь, индуцирует на слоях ткани подгруппы, обозначенные соответственно G\, G2 и О3. Ткань образована смежными классами по этим подгруппам, описано строение группы G.

На ткани q,p + q — 1), как показано в п. 3.2.4, выполняются

соотношения = 0. В каждом из трех возможных случаев

1) Ma = Ми = 0; 2) ца = 0, ци ф 0; 3) ца фО, (¿и = 0;

путем интегрирования структурных уравнений найдено конечное уравнение ткани:

1) г = ®У + ... + a;""V"1 + + Ур.

2 )z = х1уг + ... + хрур + ЗР+1,

3) г = е~^ь{х1у1 + ... + х^у?'1 + хр + ур).

Показано, что ткани, определяемые первым и вторым уравнениями, являются обобщенными три-тканями Рейдемейстера соответственно WR(p,p) и WR(j),p+1), а на третьей ткани конфигурации R(p, q) не замыкаются (Теорема 11). Для первой и второй тканей найдена соответствующая сердцевина и дана их интерпретация в терминах работы [11].

Известно [1], что координатные лупы классической три-ткани Рейдемейстера R являются группами, то есть в них выполняется тождество ассоциативности («о»)ом = ио(гюш).Вп. 4.1.1 найдено тождество в координатных моноидах три-ткани WR(p, q), соответствующее замыканию на этой ткани обобщенных конфигураций Рейдемейстера R(p,q). Доказана

Теорема 12 Пусть и = (ui,v,2,—,ug) и w = (wi,w2,—,wp) - два произвольных набора наклонных слоев три-ткани W(p,q,p + q — 1) и vai — еще один набор pq наклонных слоев, а = 1,р, i = l,g. Обозначим столбцы и строки матрицы (vai) следующим образом: v^ = (и!i,...,Vjn), vi9) = (vai,...,vag). Три-ткань W(jp,q,p + q- 1) будет тканью WR(p, q) тогда и только тогда, когда в каждом ее координатном моноиде fi(a,b)(°) выполняется следующее тождество

и о (v^ о w,..., V^ o!c) = (uo ..., и о v^) о w.

При р = q = 1 это тождество обращается в обычное тождество ассоциативности, поэтому оно названо тождеством обобщенной ассоциативности. Координатный моноид Ц(а,ь)(°) три-ткани W{p,q,p + q — 1), в

котором выполняется тождество обобщенной ассоциативности, также назван ассоциативным.

Из Теоремы 12, в частности, вытекает, что гладкая вещественная функция двух вещественных аргументов г — /(х, у) будет традиционной формой записи некоторого физического закона (в терминах теории физических структур) тогда и только тогда, когда квазигруппа / изотопна абелевой группе г = х + у.

В п. 4.2 рассматривается произвольная три-ткань IV(р. д, г) при р < (I < г. На ее третьем слоении (по аналогии с определением координатного моноида три-ткани + 1)) введена алгебраическая операция (о), названная также координатным моноидом. Оказалось, что координатный моноид существует только для три-тканей вида Ш(XI, Хтп, X(1 + тп — 1)), где А, I, тп — натуральные числа, при этом координатная решетка ткани образована I вертикальными слоями и тп горизонтальными слоями (Теорема 13).

Для ткани Ш(Х1, Хтп, А(I + тп — 1)) обобщаются понятия конфигурации Рейдемейстера и ткани Рейдемейстера (они обозначены соответственно 11(Х1,\тп,Х(1 + тп — 1)) и \¥Я(Х1,Хтп,Х(1 + т — 1))), см. п. 4.2.3. Замыкание конфигураций Д(АI, Ат, Х(1 + тп — 1)) на ткани \¥11(Х1, Ат, Х(1+т — 1)) означает, что наклонные слои, образующие эту конфигурацию (их (I + 1)(т+1)), связаны некоторой функциональной зависимостью:

2\+\т+\ = 2/+Х4),

£ = 1,2,...,р+д-г, я = 1,2, ■•*,?, 4 = 1,2,"* , т. Функция С = (С5) является обобщением понятия сердцевины три-ткани ШЯ(тр, д) и названа также сердцевиной три-ткани \¥Е.(Х1, А тп, Х(1+т-1)) (п.4.2.4). Как и в случае ткани ШЯ(р, д), существование сердцевины ткани №(Х1, А тп, А(/+ тп— 1)), во-первых, характеризует ткань ИЛЙ(А/,Хтп, Х(1 + тп — 1)), а, во-вторых, вполне определяет координатный группоид этой ткани (Теоремы 14 и 15).

В п. 4.2.5 доказано, что замыкание конфигураций Я(ХI, Хтп, А(I + тп - 1)) на ткани }УЕ.(Х1, Хтп, А (1 + тп — 1)) эквивалентно выполнению в каждом координатном моноиде этой ткани некоторого тождества, обобщающего тождество ассоциативности для координатного моноида три-ткани ]¥П(р, д) и также названного тождеством обобщенной ассоциативности ткани \¥11(Х1, Хтп, А (1 + тп — 1)) (Теорема 16).

В пятой главе изучаются три-ткани, порождаемые действием локальной гладкой д-параметрической группы Ли С на гладком р-мерном

многообразии У, то есть ткани, определяемые гладкими функциями вида

/ : G х У У, z = /(о, у) = а-у, удовлетворяющими условиям:

/(е, у) = у, /(в, /(Ь, у)) = /(¿(а, Ь), у),

где е — единица группы G, а ф(а,Ь) — операция в параметрической группе G. Такая ткань образована тремя слоениями

Ai : а = const, А2 '-У — const, A3 : z = /(а,у) = const

размерпостей соответственно р, q и q на прямом произведении .М = С? х У и обозначена GW(p,g,g), см. п. 5.2.1.

Доказано, что ткани GW(p,q,q) характеризуются тем, что на них замыкаются обобщенпые конфигурации Рейдемейстера Rxa (1, то) (Теорема 20). Для ткани GW(p, q, q) обобщается понятие сердцевины, неявно задаваемой уравнением

$P(zil,Zi2,...,Zim+i;Z2l,Z22,...,Z2m+i) = О,

где Zn,zi2, —,zim+i;z2i,z22, ...,Z2m+i — параметры наклонных слоев, входящих в конфигурацию Rx0( 1, m), р = 1, (m + 1 )р -q, тп — [q/p]. То обстоятельство, что ткань GW(p, q, q) порождается группой Ли преобразований, проявляется в особом строении ее сердцевины, которая, как доказано в Теореме 21, может быть записана в виде равенства инвариантов группы преобразований. Этот факт проиллюстрирован в п.п. 5.2.5 и 5.2.6 на примерах три-тканей, порождаемых группами преобразований на прямой и группой движений на плоскости. Так, сердцевина три-ткани WJR(1,3), порождаемой действием проективной группы на прямой, приводится к виду

(¿11 - Z12)(zi3 - ZU) _ (¿21 - *22)(г23 - Z2i) (Zu - Z13)(Zi2 ~ 214) (z2l - Z2Z){Z22 ~ ¿u) '

(Здесь инвариантом является, как известно, сложное отношение четырех точек).

Три-ткань W(j), q, q), для которой число q кратно р, то есть q = тр. рассматривается в п. 5.2.4. Показано, что для такой (и только такой) ткани существует координатный моноид /¿(а,ь)(°)>z — («1, «2, —, «m)ov-

Координатная решетка ткани }У{р,тр,тпр) образована одним вертикальным слоем о и т горизонтальными слоями Ьг, &2,..., Ьт. В п. 5.2.5 показано, что сердцевина ткани СУ/(р, тр, тр) может быть записана в виде р уравнений

(2ц,212,—,21т)/21т+1 = (221,222,—,22т)/г2т+1,

где "/" — правая обратная операция для (о). В частности, при т = 1 получается классическая групповая три-ткапь \У(р,р,р), порождаемая р-мерной группой (7 [1]. Сердцевина такой ткани определяется также р уравнениями вида 211/212 = 221/222-

В п. 5.3 описаны три-ткани, порождаемые аффинной и проективной группами на плоскости и в пространстве. Для каждой из этих групп пайдены многоточечные инварианты, а сердцевина соответствующей ткани записана в виде равенства инвариантов. Доказана

Теорема 23 р(р+1)-параметрическая аффинная группа на р-мерной плоскости имеет р независимых (р + 2)-точечных инвариантов

У(У1,У2,-,Ур+1) У(у2,Уг,-,Ур+ЪУр+2)'

У(У2,УЗ,-,Ур+1,Ур+2)

У(у1,у3,-,Ур+ъУр+2У

У{у\,У2,-, Ур-2, Ур, Ур+1,Ур+2) У(у1,У2,...,Ур-1,Ур+1,Ур+2)

где У(у1,у2,:.,ур+1) — объем полиэдра с вершинами УиУ2,—,Ур+1 и так далее.

Термином "объем"назван определитель, составленный из координат указанных точек.

Сердцевина три-ткани, определяемой этой группой, задается уравнениями

У(21,22,...,2р-ц) _ У{г1,22,-,2р+1)

У {г2, 23,..., 2р+1, гр+2) У{*2, ¿3, 2р+1, 2р+2) ' У {г2, 2з,..., 2р+1, 2р+2) _ У (г2, 2з,..., 2р_ц, 2р+г)

^(21, 23,..., 2р+1, 2р+2) У(г 1,2з,..., 2р+1, 2р+2) '

У (г 1, 22,..., 2р_2, 2р, 2р+ь 2р+2) У(2г, 2г,..., 2р_2, 2р, Щ>+\, ¿р+г) У(21,22,...,2р_1,2р+1,2р+2) У(2Ь 22,..., 2р_г, 2р+1, 2р+2) '

где ц — образы точек yi, t = 1,р + 2, при аффинном преобразовании с некоторым набором параметров, а % — образы тех же точек yi при другом наборе параметров.

Аналогичный вид имеет сердцевина три-ткани, порождаемой действием р-мерной проективной группы. В ее уравнения входят сложные отношения объемов соответствующих полиэдров.

В п. 5.4 описано вложение ткани GW{p,q,q) в три-ткань W(q,q,q), порождаемую параметрической группой G. Показано, как находить структурные уравнения ткани GW(p, q, q) с помощью уравнений Мауре-ра-Картана группы G. Этим методом найдены три-ткани, определяемые аффинной и проективной группами на прямой, а также группой движений и унимодулярной группой на плоскости.

В шестой главе вводится понятие локальной гладкой левой квазигруппы Бола преобразований и изучается многомерная три-ткань, порожденная действием этой квазигруппы. Квазигруппа преобразований определяется как действие локальной гладкой g-мерпой квазигруппы Q(*) на гладком р-мерпом многообразии У (р < q) и записывается в виде

/ : Q х У —► У, z = f(a,y).

Функция f рассматривается с точностью до изотопических преобразований, причем в некоторых локальных координатах ранги матриц

(-г-) и (—) предполагаются максимальными в каждой точке области оа оу

определения. Такой подход позволяет связать с квазигруппой преобразований геометрический объект — некоторую три-ткань, образованную на прямом произведении М = Q х У тремя слоениями

Ai : а = const, А2 - У = const, A3 : z = /(а, у) — const

размерностей соответственно р, q и q. Эта ткань обозначена QW(p, q, q). Функция / названа координатным группоидом три-ткани QW(p, q, q).

В п. 6.1.2 рассматривается квазигруппа преобразований, удовлетворяющая тождеству

/(а,Г1(Ь,/(а,у))) = /(а*Ь,у), a,beQ, у € У

Показано, что этому тождеству на ткани QW(p, q, q) соответствует конфигурация, аналогичная известной левой конфигурации Бола Bi на три-ткани, образованной слоениями одинаковой размерности, см. рис.

6. Поэтому группоид /, удовлетворяющий данному условию, называется квазигруппой Бола преобразований. Квазигруппа £}(*) названа (по аналогии с теорией групп Ли преобразований) параметрической квазигруппой квазигруппы Бола преобразований. Показано, что квазигруппа <Э(+) изотопна левой лупе Бола.

в с

А D

в С

А D

ь о с

Рис. 6

Три-ткань QW(p, q, q), порожденная квазигруппой Бола преобразований, названа левой тканью Бола и обозначена Bi(p,q,q). Показано, что операция (*) индуцирует на многообразии ткани Bi(p,q,q) некоторый автоморфизм этой ткани, при котором вертикальные слои ткани переходят в вертикальные, а горизонтальные и наклонные слои ткани меняются местами. С помощью этого автоморфизма найдены структурные уравнения и тензорные условия, характеризующие ткани В/(р, q, q). Предложенный метод оказался значительно проще, нежели тот, который применен для получения аналогичных условий в классической теории три-тканей Бола, образованных слоениями одинаковой размерности [19].

В п. 6.1.4. вводится понятие обобщенной конфигурации Бола Д(1, т) на три-ткани W(p, q, q). Доказано, что замыкание конфигураций В[(1,т) характеризует три-ткань Bi(j>, q,q) (Теорема 27). В координатном моноиде ткани Bi(p,mp,mp) 'при других размерностях моноид не существует, см. Теорему 13) найдено тождество, соответствующее замыканию на этой ткани обобщенных конфигураций Бола Bi(l,m).

Теорема 28 Пусть и 1,1x2, ...,ига и v — произвольные наклонные слои три-ткани W(p, тр. тр). Ткань W(p,mp,mp) будет тканью Bi (р, тр, тр) тогда и только тогда, когда в каждом ее координатном

моноиде Ц(а,ь)(°) выполняется тождество

((«ь..., ит) о щ,..., («1,..., ит) о ит) о V = (иьUm) о ((«!,.., Um) о г/).

Последнее названо тождеством обобщенной альтернативности (при тп = 1 оно обращается в обычное тождество левой альтернативности {и о и) о v — и о (и о г;), которое, как известно, выполняется в координатных лупах классической три-ткани Бола Bi, образованной слоениями одинаковой размерности).

Для тканей W(p, q, q) общего вида решена проблема эквивалентности (п. 6.2.2) и найдены необходимые и достаточные тензорные условия, характеризующие ткань Bi(p,q,q) (Теорема 31). Структурные уравнения ткани Bi(p, <7>l) приведены к виду

duja = ш? Л w? + е°,

3 3 3

йши = uv Л + (щР-щР) AuS,

1 1 " V3 2 ' Р

du>a = Л и>% + ва,

2 2 Р 2

и найдены их дифферепциальные продолжения

= г,^ b^Jf - f) л dw" - < Л < = ЛиЧ - f) Л ы»,

- Л ш" - ш} л = AW5 + ^„(^ - иЛ) Л ««,

{duil - ш} Л Л d3 + dea + в0 Л = О, (dug ~ ш} Аи?) Лш^ + deQ + Awg = О,

где

Ь<0Ы) = °> = ЬаШ =

В п. 6.2.4 путем интегрирования структурных уравнений найдены конечные уравнения ткани В; (2,3,3) с единственной отличной от нуля компонентой тензора кривизны Ь^гз-

z1 = х1 + у1 - х3у2(х2 + у2), z2=x2 + у2.

С другой стороны, последние уравнения определяют трехпараметриче-скую квазигруппу Бола преобразований па двумерном многообразии с

параметрической квазигруппой

с1 - 2а1 - Ь1 - (а2 - 62)(а2(а3 - &3) + а3(а2 - Ь2)), с2 = 2а2 - Ь2, с3 = 2а3 - б3,

причем левая обратная квазигруппа последней изотопна средней лупе Бола Вт, уравнения которой найдены из других соображений в работе [18].

Список литературы

[1] Акивис М. А. Дифференциальная геометрия тканей// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Пробл. геом- 1983 - Т. 15.— С. 187-213.

[2] Акивис М. А., Гольдберг В. В. О многомерных три-тканях, образованных поверхностями разных размерностей// Докл. АН СССР.— 1972.— Т. 203 — К» 2 — С. 263-266.

[3] Akivis М. A., Shelekhov А. М. Algebra and Geometry of Multidimensional Three-Webs// Kluwer Academic Publishers.— Dordrecht/ Boston/ London — 1992 — xvii+358 pp.

[4] Белоусов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп.— М.: Наука.— 1967,— 223 с.

[5] Белоусов В. Д., Рыжков В. В. Геометрия тканей// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия.— 1972 — Т. 10.— С. 159-188.

[6] Бляшке В. Введение в геометрию тканей,— М.: ГИФМЛ.— 1959.— 144 с.

[7] Васильева М. В. Группы Ли преобразований — Москва.— Моск. гос. пед. ин-т.— 1969.— 175 с.

[8] Гольдберг В. В. Трансверсально-геодезические, шестиугольные и групповые три-ткани, образованные поверхностями разных размерностей// Сб. статей по дифферен. геом.— Калинин,— 1974.— С. 52-64.

[9] Гольдберг В. В. О приводимых, групповых и (2п + 2)-эдричных (п + 1)-тканях многомерных поверхностей// Сиб. мат. ж.— 1976.— № 1.— С. 4457.

[10] Кузьмин Е. Н. О связи между алгебрами Мальцева и аналитическими лупами Муфанг// Алгебра и логика.— 1971.— Т. 10.— К» 1,— С. 3-22.

[11] Кулаков Ю. И., Владимиров Ю. С., Карнаухов А. В. Введение в теорию физических структур и бинарную геометрофизику.— М.: Архимед — 1992.- 183 с.

|12] Лыхмус Я., Паал Э., Соргсепп JI. Неассоциативность в математике и физике// В сб. Квазигруппы и неассоциативные алгебры в физике. Труды института физики — Тарту — 1990 — Т. 66.— С. 8-22.

[13] Мальцев А. И. Аналитические лупы// Мат. сб.— 1955,— Т. 36.— № 3.— С. 569-575.

[14] Михайличенко Г. Г. О групповой и феноменологической симметриях в геометриях// Докл. АН СССР— 1983 — Т. 269 - № 2.— С. 284-288.

[15] Нестеров А. И. Квазигрупповые идеи в физике// В сб. Квазигруппы и неассоциативные алгебры в физике. Труды института физики.— Тарту,- 1990.- Т. 66.- С. 107-120.

[16] Сабинин Л. В. Методы неассоциативной алгебры в дифференциальной геометрии// Добавление к книге Ш.Кобаяси и К.Номидзу "Основы дифференциальной геометрии".— М.: Наука.— 1981.— С. 293-339.

[17] Santilli R. М. Status of the mathematical and physical studies on the Lie-admi&sible formulations on July with particular reference to the strong interactions// Hadronic J. (USA).- 1979.- V. 2.- № 6.- p. 1460-2018.

[18] Федорова В. И. Шестимерные три-ткани Боля с симметричным тензором Оу// Ткани и квазигруппы.— Калинин.— 1981.— С. 110-123.

[19] Федорова В. И. Об условии, определяющем многомерные три-ткани Боля// Сиб. мат. ж,- 1987.- Т. 19.- № 4.- С. 922-926.

[20] Шестаков И. П. Линейные представления алгебр Акивиса// Докл. РАН,- 1999 - Т. 368,- X» 1- С. 21-23.

Публикации автора по теме диссертации

1. Толстихина Г. А. О сердцевине координатной квазигруппы некоторой шестимерной три-ткани Боля// Ткани и квазигруппы.— Калинин.— 1990.- С. 18-22 (0,4 п.л.).

2. Tolstikhina G. A. The locally symmetric s-structure determined by a Bol web// Webs and Quasigroups.— Tver.— 1991.— p. 147-155 (0,6 п.л.).

3. Толстихина Г. А. О локально плоской структуре, связанной с тканью Боля// Алгебраические методы в геометрии.— Москва. РУДН.— 1992,- С. 56-61 (0,4 п.л.).

4. Толстихина Г. А. О сердцевине координатной квазигруппы три-ткани Боля// Фундам. пробл. мат. и мех.: Мат.— Ч. 1.— МГУ.— Москва.— 1994 - С. 63-64 (0,1 п.л.).

5. Tolstikhina G. A. On associative smooth monoids// Webs and Quasigroups.-Tver.- 2002,- p. 53-59 (0,44 п.л.).

6. Толстихина Г. А. Алгебра и геометрия три-тканей, образованных слоениями разных размерностей// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Пробл. геом.— (в печати) (10,8 п.л.).

7. Толстихина Г. А., Шелехов А. М. О три-тканях W(p, g,p+q— 1), на которых замыкаются обобщенные конфигурации Рейдемейстера// Деп. в ВИНИТИ 13.08.2001. Ш869-В2001 (2,9 п.л., вклад автора составляет 75% работы).

8. Толстихина Г. А., Шелехов А. М. Обобщенная ассоциативность в гладких группоидах// Докл. РАН - 2002 - Т. 383. - № 1.— С. 32-33 (ОД п.л., вклад автора составляет 90% работы).

9. Толстихина Г. А., Шелехов А. М. Три-ткани, определяемые группами преобразований// Докл. РАН - 2002 — Т. 385. - № 4. - С. 1-3 (0,2 п.л., вклад автора составляет 90% работы).

10. Tolstikhina G. A., Shelekhov А. М. The three-web determined by affine transformation group// Webs and Quasigroups. - Tver.— 2002,— p. 46-49 (0,25 п.л., вклад автор«, составляет 75% работы).

11. Толстихина Г. А., Шелехов А. М. Вложение три-ткани, определяемой группой преобразований, в групповую три-ткань// Деп. в ВИНИТИ 2003. № 880 - В2003 (1,1 п.л., вклад автора составляет 75% работы).

12. Толстихина Г. А., Шелехов А. М. Многоточечные инварианты групп преобразований и определяемые ими три-ткани// Изв. Вузов. Мат.— 2003.- № 11(498).— С. 82-87 (0,4 п.л., вклад автора составляет 90% работы).

13. Толстихина Г. А., Шелехов А. М. О квазигрупп«« Бола преобразований// Докл. РАН. - 2005.- Т. 401.- Ш 2 - С. 166-168 (0,2 п.л., вклад автора составляет 90% работы).

14. Толстихина Г. А., Шелехов А. М. О три-ткани Бола, образованной слоениями разных размерностей// Изв. Вузов. Мат.— 2005.— № 5.— С. 56-62 (0,5 пл., вклад автора составляет 75% работы).

Р15 6 5 Y

РНБ Русский фонд

2006-4 12348