Три-ткани, определяемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений

Дуюнова, Анна Андреевна

Три-ткани, определяемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Дуюнова, Анна Андреевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Три-ткани, определяемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений»

Автореферат диссертации на тему "Три-ткани, определяемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений"

На правах рукописи

ДУЮНОВА Анна Андреевна

ТРИ-ТКАНИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ СИСТЕМАМИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 9 мдр 2012

Казань - 2012

005020483

Работа выполнена на кафедре геометрии ФГБОУ ВПО «Московский педагогический государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор,

Шелехов Александр Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Кушнер Алексей Гурьевич

кандидат физико-математических наук, доцент,

Уткин Алексей Алексеевич

Ведущая организация: Московский государственный универ-

ситет им. М. В. Ломоносова

Защита состоится 19 апреля 2012 года в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. проф. Нужина, д. 1/37, ауд. 337 НИИММ им. Н. Г. Чеботарева.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Казанского (Приволжского) федерального университета (г. Казань, ул. Кремлевская, 18).

Автореферат разослан «» марта 2012 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.081.10,

канд. физ.-мат. наук, доцент — Е. К. Липачёв

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования, /с-тканью в геометрии называют совокупность к гладких слоений. Два-ткани или сети кривых интенсивно изучаются примерно с середины XIX века, хорошо изучены их метрические, аффинные и проективные свойства. Позже стали рассматривать ткани, составленные из большего числа слоений, и более сложные объекты — ткани, образованные на гладких многообразиях слоениями различной размерности.

Три-ткани с точностью до локальных диффеоморфизмов начали изучать в двадцатых годах прошлого века на гамбургском геометрическом семинаре Вильгельм Бляшке и его коллеги и ученики: К. Рейдемейстер, Г. Томсен, Г. Бол и др. Они показали, что условие замыкания на криволинейной три-ткани IV конфигураций определенного вида, образованных линиями этой ткани, отвечает некоторым' тождествам, выполняемым в ее координатной квазигруппе и координатных лупах. Основные результаты этих исследований были опубликованы в [11] и [12]. В середине тридцатых годов появилась работа [23] С. Черна, в которой он методом внешних форм Э. Картана изучает многомерные три-ткани IV{г,г,г), образованные тремя семействами г-мерных поверхностей в 2г-мерном пространстве (далее классическая теория тканей). Современный вид классическая теория тканей приобрела в работах М. А. Акивиса, его коллег и учеников [4].

Ткани IV(р, 5, г), образованные слоениями разных размерностей, начали рассматривать В. Бляшке [9], [10] и Г. Бол [12]. Общая теория тканей, образованных слоениями разных размерностей, построена М. А. Акивисом и В. В. Гольдбергом в работе [3]. Они нашли структурные уравнения ткани \¥(р, д, г), определили ее первый и второй структурные тензоры, выяснили геометрический смысл обращения нуль первого структурного тензора и его некоторых подтензоров. В работе [14] В. В. Гольдберг определил некоторые специальные классы три-тканей IV(р, д, г), названные им трансверсально-геодезическими, шестиугольными и групповыми, и нашел соответствующие тензорные характеристики. Изучение три-тканей, образованных слоениями разных размерностей, продолжилось в работах других авторов, см. например [8], [13]. Однако, вследствие разной размерности слоев, образующих ткань, долгое время не удавалось получить обобщения основных алгебраических и геометрических понятий классической теории тканей для тканей

И^р.д.г). Это было сделано сравнительно недавно Г. А. Толстихиной, результаты которой можно найти в [4].

Ткани Ил(р, д, г) при различных значениях р, ц и г более детально изучали Ю. А. Апресян [5] - [7], Нгуен Зоан Туан [17], [18].

Три-ткани, образованные двумя семействами кривых и одним семейством поверхностей, изучала Н.Х. Азизова [1], [2]. Она рассматривает три-ткань как эквивалент другого геометрического объекта — однопараметрического семейства локальных диффеоморфизмов одной поверхности на другую.

Теория многомерных три-тканей имеет многочисленные приложения в разных разделах математики и физики, см. об этом в [11], [4]. Это важное обстоятельство объясняется тем фактом, что ткань вполне определяется своим уравнением г = Цх,у), связывающим параметры слоев ткани, проходящих через одну точку. Другими словами, три-ткань есть геометрическая модель функции двух переменных, и поэтому теория тканей приложима там, где исследуются функции двух переменных. Например, Е. В. Ферапонтов применяет три-ткани для исследования дифференциальных уравнений гидродинамического типа (см. приложение 2 монографии [4]); X. О. Кильп — для исследования некоторых квазилинейных систем, в частности, из механики, а также при изучении преобразований Бэклунда [15], [16].

В работах [21], [22] показано, как применять аппарат теории тканей для исследования и классификации обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В частности, с помощью дифференциальных инвариантов ткани охарактеризованы линейные уравнения и уравнения Риккати.

В перечисленных выше приложениях авторы рассматривали классическую ткань, образованную слоениями одинаковой размерности. Однако, с более сложными объектами, такими как системы обыкновенных дифференциальных уравнений, связаны ткани, образованные слоениями разных размерностей. Наш подход основывается на том, что система ОДУ имеет геометрически эквивалентный объект — три-ткань \¥(1,п,1), образованную двумя семействами кривых и одним семейством гиперповерхностей. Это обстоятельство дает возможность применить теорию тканей и соответствующие дифференциально-геометрические методы для изучения свойств систем ОДУ.

Заметим, что геометрия дифференциальных уравнений исследовалась широко и разными методами, см., например, обзоры [19], [20]. Но систематиче-

ского исследования систем ОДУ с помощью теории тканей не проводилось.

Цель и задачи диссертационного исследования. В настоящей работе с системой обыкновенных дифференциальных уравнений связывается адекватный геометрический объект — три-ткань W(l.n, 1), образованная двумя семействами кривых и одним семейством гиперповерхностей. Цель работы состоит в исследовании свойств систем дифференциальных уравнений с помощью методов теории тканей.

Перечислим основные задачи исследования:

— найти структурные уравнения три-ткани W(l,n,l), их дифференциальные продолжения;

— с помощью структурных уравнений описать некоторые классы три-тканей

— уточнить и дополнить некоторые результаты, сформулированные в работах [3], [14];

— исследовать три-ткани W(l,n, 1), определяемые системами ОДУ, выразить инварианты этой ткани через функции, определяющие систему ОДУ;

— охарактеризовать некоторые специальные системы ОДУ в терминах соответствующей три-ткани.

Методы исследования. В теории тканей применяются методы современной математики: тензорный анализ, внешнее дифференциальное исчисление, теория связностей, теория групп Ли, теория расслоенных пространств, методы проективной и аффинной геометрии и т.д. В работе широко используется метод внешних форм и подвижного репера Э. Картана, развитый в работах российских математиков С.П. Финикова, Г.Ф. Лаптева, A.M. Васильева и с успехом примененный М. А. Акивисом и его учениками в теории многомерных три-тканей. Все рассмотрения имеют локальный характер.

Научная новизна. Основные результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми. На защиту выносятся следующие результаты.

1. Найдены и исследованы структурные уравнения три-ткани W(l,n, 1) и их дифференциальные продолжения.

2. Для основных специальных классов три-тканей W(l,n,l) (параллели-зуемых, групповых, трансверсально-геодезических, допускающих аффинную связность) доказана достаточность соответствующих тензорных условий.

3, Для системы ОДУ определена три-ткань W(l, п, 1), и инварианты этой ткани выражены через функции, определяющие систему ОДУ.

4. Найдены характеристики в терминах соответствующей ткани для некоторых систем ОДУ специального вида: автономных, почти автономных, с нулевым тензором кривизны и т. д.

Теоретическое и прикладное значение. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Они могут быть использованы при чтении спецкурсов в рамках специализации по геометрии тканей и дифференциальным уравнениям.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на следующих семинарах и конференциях (в хронологическом порядке):

— международная конференция «Геометрия в Кисловодске — 2010» (Кисловодск, сентябрь 2010 г.);

— вторая Российская школа-конференция с международным участием для молодых ученых «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (Тверь, декабрь 2010 г.);

— геометрический семинар кафедры геометрии Московского педагогического государственного университета, рук. В.Ф. Кириченко (апрель 2011 г.);

— международная конференция «Геометрия в Одессе — 2011» (Украина, Одесса, май 2011 г.);

— геометрический семинар кафедры функционального анализа и геометрии Тверского государственного университета, рук. А. М. Шелехов (апрель, октябрь 2011 г.);

— The Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equation (Москва, август 2011 г.);

— международная школа-конференция для молодежи «Геометрия. Управление. Экономика» (Астрахань, август 2011 г.);

— международный геометрический семинар имени Г. Ф. Лаптева «Лаптев-ские чтения — 2011» (Пенза, сентябрь 2011 г.);

— геометрический семинар им. Г. Ф. Лаптева кафедры математическою анализа МГУ им. М. В. Ломоносова, рук. Л. Е. Евтушик (сентябрь, декабрь 2011).

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 9 печатных работ, из них 5 статей в рецензируемых журналах, 4 тезиса докладов.

Личный вклад автора. Диссертационная работа является самостоятельным исследованием автора. В работе, выполненной в соавторстве, вклад автора составляет приблизительно 70%.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 95 страницах печатного текста, состоит из введения, двух глав, включающих 13 параграфов, и списка цитируемой литературы. Список литературы содержит 44 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.

Краткое содержание диссертации

Во введении дается общая характеристика работы, формулируются цели и задачи диссертационного исследования, приводятся основные результаты.

В первой главе «Три-ткани \У(1,п, 1)» излагаются основные сведения из теории тканей \¥( 1, п, 1), образованных двумя семействами кривых и одним семейством гиперповерхностей.

В § 1.1 приводится определение три-ткани \¥{\,п, 1), образованной двумя семействами кривых и одним семейством гиперповерхностей на гладком многообразии размерности п + 1. Две ткани считаются эквивалентными, если существует локальный диффеоморфизм, переводящий слоения одной ткани в слоения другой. К три-ткани W{\,n,\) присоединяется семейство адаптированных реперов в которых слоения этой ткани имеют вид

Ах : ш" = 0, ш" = 0; А2 : =0; А3 : сУ = 0, шп + шп+1 = 0,

где и, V,... = 1,2,..., п — 1. Группа преобразований, сохраняющих вид этих уравнений, определяет (^-структуру на многообразии ткани ]У(1,п, 1). Найдены структурные уравнения ткани Щ1,п,1) (теоремы 1.1 и 1.2):

йши = и? Л ш" + ¡1ишп Л и/г+1,

= ии ЛшС + ш" (1)

<кип+1 = ип+1 Л

= + л + к>п л - А <„,

= и>$ Л < + < Л и)1 + 1ии>п А ип+1 - ш" Л <„ (2)

= циип+1 Л < + Л шп+1 + ¿„от" Л шп+г

= -мЧи + 2мХ + + + К+1"п+1 ■ (3)

где формы и симметричны по нижним индексам.

Показано, что семейство адаптированных реперов 1Z(W) порождает G-структуру, на которой величины ßu образуют тензор (предложение 1.1). Он называется первым, структурным тензором три-ткани W(l,n, 1).

В § 1.2 найдено дифференциальное продолжение структурных уравнений ткани W(l,n, 1) (теорема 1.3):

+ "S Л U4, - и- Л - Л < - Л =

= Л cjn+1 - klul Л üjn+l - А Un+1 + uC, Л ws,

dwnuv - CJ«V - Л u£ + Л < =

= Л wn+1 - Л wn+1 - mKVun Л + Л

- tv^l - tu^n - + k^l1 = muvd° + munLon +

dtn - 2tnu>" + = munoju + mnnun + mnn+1wn+1,

dkl + ~ ~ - = + Kvn +

^ + - = + + /«n+iW^1,

+ fcn+іЧ" - = 3/xV< +

+ (Аїп+і - VM W + №n+1 - 2^tn) + /Cin+1wn+1-

При этом величины muv, и cv"vw симметричны по нижним индексам.

Показано, что совокупность величин {tu,tn, k^k^K+i) образует тензор на некоторой G-структуре (предложение 1.2). Он называется вторым структурным тензором три-ткани W(l,n, 1).

В § 1.3 три-ткань W{l,n,l) задается уравнением z' = F'(t,xj), —

1,2,...,п, связывающим параметры слоев ткани, проходящих через одну точку. Компоненты первого структурного тензора ци и формы wj выражены через частные производные от функций F\ например:

/ рп ри ри рп \

В § 1.4 рассматриваются аффинные связности без кручения, присоединенные к три-ткани W(i,n, і), доказана

Теорема 1.4. Уравнения (1) и (2) определяют на многообразии М аффинную связность без кручения тогда и только тогда, когда формы си", cu™v и являются главными, то есть выражаются через базисные формы ы", w™ и CJn+1.

Такие связности называются совместимыми. Доказана

Теорема 1.5. Во всех совместимых с три-тканью 1^(1, п,1) аффинных связностях Г и только таких связностях слои ткани будут вполне геодезическими.

В теоремах 1.4 - 1.8 мы уточняем и приводим доказательства некоторых результатов, сформулированных в работах [3], [14].

В § 1.5 рассмотрены параллелизуемые ткани №(1,гс, 1) (т.е. ткани, эквивалентные три-ткани \Уо(1,п, 1), образованной в аффинном пространстве Ап+1 двумя семействами параллельных прямых и одним семейством параллельных п-мерных плоскостей). Доказана

Теорема 1.6. Три-ткань Цг(1 ,пД) является параллелизуемой тогда и только тогда, когда ее первый и второй структурные тензоры равны нулю.

В § 1.6 рассматривается групповая ткань, обобщающая понятие групповой три-ткани из классической теории тканей. Структуру этой ткани описывает следующая

Теорема 1.7. Пусть С+1 — группа Ли с фиксированными одномерными подгруппами Сх и С?2, для которой выполняются следующие условия.

1. В С,1+х имеется абелева подгруппа С"'1 размерности п — 1 транс-версальная йг и С^-

2. В С*+1 имеются две абелевы подгруппы б" и С" размерности п, пересекающиеся по подгруппе С"*1, причем содержит Съ С\ содержит

3. С™ и £?2 являются нормальными подгруппами в С1"1"1. Тогда структурные уравнения группы С144 имеют вид:

йши = -«£„+!(«;" А о/1+\ <1ип = 0, (Ьп+1 = 0.

В группе (7"+1 имеется семейство га-мерных абелевых подгрупп, пересекающихся по подгруппе С"-1, а групповая ткань образована на группе С1"*4 смежными классами по подгруппам С?1 и Сг и по одной из абелевых п-мерных подгрупп этого семейства.

Доказана

Теорема 1.8. Для того, чтобы три-ткань IV(1, п, 1) была групповой, необходимо и достаточно, чтобы ее второй структурный тензор был равен нулю.

В § 1.7 рассмотрены некоторые специальные классы тканей Показано, что первый структурный тензор ткани \¥(1,п,1) является тензором неголономности неголономной криволинейной три-ткани определяемой распределением = 0, а три-ткань ЫШ является голономной тогда и только тогда, когда ци = 0. В этом случае многообразие М расслаивается на ооп_1 двумерных многообразий V, на каждом из которых возникает криволинейная три-ткань IV, два слоения которой состоят из линий первого и третьего слоений ткани №'(1, п, 1). Для этой ткани относительный инвариант входящий в структурные уравнения (2), является кривизной, а величины тпп и тпп+\ — ковариантными производными кривизны (теорема 1.10).

Ткани последнего типа названы трансверсально-геодезическими, так как двумерные поверхности V, определяемые уравнениями ыи = 0, являются вполне геодезическими поверхностями во всех совместимых с три-тканью 1^(1,0,1) аффинных связностях. Двумерная три-ткань И7, определенная на V, состоит из геодезических линий многообразия Мп+1 (теорема 1.11).

Здесь доказаны также следующие утверждения.

Теорема 1.12. Для того, чтобы двумерная три-ткань \У на каждой трансверсально-геодезической поверхности V трансверсально-геодези-ческой ткани У/{1,п,1) была шестиугольной, необходимо и достаточно, чтобы относительный инвариант равнялся нулю:

*п = 0.

Такие ткани 1У(1 ,п, 1) называются шестиугольными [14].

Теорема 1.13. Для того, чтобы ткань И'(1 ,п, 1) была шестиугольной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

Vй = 0, = 0.

Теорема 1.14. Шестиугольная ткань 1) является параллелизу-

емой тогда и только тогда, когда выполняется условие

= 0.

Во второй главе «Системы ОДУ и определяемые ими три-ткани И^(1,п, 1)» определена ткань, соответствующая заданной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, и в терминах этой ткани охарактеризованы некоторые специальные системы ОДУ.

В § 2.1 с системой дифференциальных уравнений

^ = f{t,x\...,x") (4)

связана три-ткань Т-У(1, п, 1), заданная на многообразии переменных x',t, и состоящая из семейств где

Ai : х1 = const, Л2 : t = const, Лц : Fl(t,xJ) — с' = const,

причем последнее семейство состоит из интегральных кривых системы (4). Компоненты первого структурного тензора этой три-ткани выражены через функции /\ определяющие систему ОДУ:

А 1 dt } at-

Найдены также выражения для форм ш™, w™, lu"v, входящих в структурные уравнения (1), (2). Доказана

Теорема 2.1. Система обыкновенных дифференциальных уравнений автономна в том и только том случае, если /¿" и wJJ равны нулю.

В § 2.2 компоненты второго структурного тензора ткани W(l,n, 1) вычислены через функции, определяющие соответствующую систему ОДУ:

1 dfndfn 1 d2fn

(/«)35жи dt (fnfdxudt'

п fn\dxn dt дх" dt 1 dxudt) dxndt' 1 [dfudfn d2fn dfndfu

/" dt dxvdt дх" дг

1 дx*дt р т дх» " 5« "

я2 хп о2 я2 хп я2 х и

Ь.и _ т £У _ IV т -1 . £И т ' _ ( /п\2 " ^ .

" ~ У 1 дх"дЬ ' } дх»д1 ■' dxnдt и ' дхпдЬ

^ Эж" 94 ; 7 д£ Эх" 1 дЬ дх"'

,« _ гп^2/" /9/Л2 _ 5Г 9Г

- / т2 I + ^ т ) * т т ■

В § 2.3 рассмотрены некоторые специальные системы ОДУ: почти автономные системы, определяемые условием ци = 0, в частности, системы,

соответствующие шестиугольным три-тканям. Доказаны

Теорема 2.2. Почти автономная система ОДУ, соответствующая трансверсалъно-геодезической три-ткани W(l,n, 1), локально эквивалентна системе вида

dxu = О, г]тП

~=:f'l(t,XU:Xn),

в которой только одно уравнение содержит переменную t. При этом многообразие М соответствующей три-ткани W(l,n, 1) (или расширенное фазовое пространство системы ОДУ) локально эквивалентно прямому произведению Kn_1 х R2, двумерные слои которого несут криволинейные три-ткани с" є Ж11"1, образованные координатными линиями t = const, хп = const и интегральными кривыми рассматриваемой почти автономной системы ОДУ.

Теорема 2.3. Почти автономная система ОДУ, соответствующая шестиугольной три-ткани W(l, n, 1), имеет общие интегралы вида

хи{х1) = с", А(2и(х{), хп) + В(хи(хt) = сп.

Теорема 2.4. Почти автономная система ОДУ, соответствующая параллелизуемой три-ткани W(l,n,l), имеет общие интегралы вида

хи{х{) = си, А(хи{х<), хп) + B{t{t)) = сп.

В § 2.4 к системе дифференциальных уравнений (4) присоединяется совместимая аффинная связность, названная канонической связностью этой системы. Тензор кривизны этой связности назван тензором кривизны системы ОДУ. Компоненты тензора кривизны вычислены через функции, определяющие систему дифференциальных уравнений, и доказана

Теорема 2.5. Система ОДУ (4) с нулевым тензором кривизны имеет вид:

dru

= сl{xn)q(xn)g{t)xv + bu(xn,t), причем функции Ьи(хп, t) удовлетворяют уравнению

8hu!rn t\

где ru(xn) — некоторая произвольная гладкая функция.

В § 2.5 рассмотрены обыкновенное дифференциальное уравнение п-то порядка

у(п) = №,у,у',...,у1п-%

разрешенное относительно старшей производной, л эквивалентная ему система ОДУ

¿х1 ,

¿г"-1 _ „ (5)

Л '

. 12 ті \

^ = Де, ж , а; ,... ,х

Показано (предложение 2.1), что система ОДУ может быть приведена к виду (5) допустимой заменой переменных (ж = х(х), і = і(ї)) в том и только в том случае, если какая-либо из функций /! не зависит от переменной і. Для таких систем найдены компоненты основных тензоров соответствующей три-ткани \У(1,п,1).

В § 2.6 рассматривается вопрос о приведении системы ОДУ к некоторому (каноническому) виду в случае, если функции /\ вообще говоря, зависят от Ь, но компоненты первого основного вектора ¡Iй от переменной £ не зависят. В этом случае (лемма 2.2) существуют локальные координаты Xі и і, в которых первый структурный вектор имеет следующие компоненты:

¿х1 = 1, мй = 0 й = 2,3,... ,п — 1.

Такие системы ОДУ названы предавтономными, а переменные х' и і, в которых первый структурный вектор системы имеет указанный вид, названы каноническими. Доказано

Предложение 2.2. Система ОДУ (4) является предавтономной в том и только том случае, если все функции /' являются решениями дифференциального уравнения вида

/н =рОМ)/>

где р(х,і) — произвольная гладкая функция. В этом и только в этом случае каждая из переменных хг системы (4) удовлетворяет дифференциальному уравнению третьего порядка

<1гх1 . , 6.x1

із

Далее записан вид предавтономной системы ОДУ в канонических переменных (предложение 2.3):

dxl

COSIр

dt y/¡pt'

dxn у v ' dxn sin <р

dt if¡.pt'

Показано (лемма 2.3) что, если пространство переменных i' и t является евклидовым с некоторым фиксированным ортонормированным базисом £i,En+i,i,j = 1,2,...п, то векторы фиксированного и подвижного репера

связаны соотношениями

- 1 _ И

еи — J?n fu» еп — } Eii en+1 — —£n+l-

В этом случае выяснен геометрический смысл величины входящей в уравнения (6) (предложение 2.4).

Список литературы

1. Азизова (Селиванова), Н.Х.: О тканях из кривых и поверхностей [Текст] / Н.Х. Азизова (Селиванова) // Ученые зап. МГПИ. Вопросы дифференциальной геометрии. - 1970. - Т. 374. - № 1. - С. 7-17.

2. Азизова (Селиванова), Н.Х.: Интранзитивные семейства преобразований [Текст] / Н. X. Азизова (Селиванова) // Изв. ВУЗов. Матем. -1984. - № 12. - С. 69-71.

3. Акивис, М. А.: О многомерных три-тканях, образованных поверхностями разных размерностей [Текст] / М.А. Акивис, В. В. Гольдберг // Тр. геометр, сем. ВИНИТИ АН СССР. - 1973. - 4. - С. 179-204.

4. Акивис, М. А.: Многомерные три-ткани и их приложения: Монография [Текст] / М.А. Акивис, A.M. Шелехов // Тверь: ТвГУ, 2010. -308 с.

5. Апресян, Ю. А.: Три-ткани из кривых и гиперповерхностей и семейства диффеоморфизмов одномерных многообразий [Текст] / Ю. А.

Апресян // Дифференциальная геометрия. Калинин. Калининский гос. ун-т. - 1977. - С. 10-12.

6. Апресян, Ю. А.: О многомерных три-тканях, образованных двумя семействами гиперповерхностей и одним семейством кривых [Текст] / Ю. А. Апресян // Изв. ВУЗов. Матем. - 1977. - № 4. - С. 132-135.

7. Апресян, Ю. А.: Об одном классе три-тканей на четырехмерном многообразии и соответствующем дифференциальном уравнении третьего порядка [Текст] / Ю. А. Апресян // Изв. ВУЗов. Матем. - 1985. - № 1. - С. 3-8.

8. Белоусов, В. Д.: Геометрия тканей [Текст] / В. Д. Белоусов, В. В. Рыжков // Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. Алгебра. Геометрия. Топология. - 1972. - 10. - С. 159-188.

9. Blaschke, W.: Zwei Kurvenscharen und eine Flächenschar [Текст] / W. Blaschke // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. - 1931. - № 9. - p. 48-63.

10. Blaschke, W.: Abzählungen für Kurvengewebe und Flächengewebe [Текст] / W. Blaschke // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. - 1933. - № 9. -p. 239-312.

11. Бляшке, В.: Введение в геометрию тканей [Текст] / В. Бляшке // М.: Физматгиз, 1959. - 144 с.

12. Blaschke, W.: Geometrie der Gewebe [Текст] / W. Blaschke, G. Bol // Springer-Verlag. Berlin, 1938. - viii+339 pp.

13. Васильев, A.M.: Теория дифференциально геометрических структур [Текст] / A.M. Васильев // М.: Изд-во МГУ, 1987. - 190 с.

14. Гольдберг, В. В.: Трансверсально-геодезические, шестиугольные, групповые три-ткани, образованные поверхностями разных размерностей [Текст] / В. В. Гольдберг // Сборник статей по дифференциальной геометрии. Калинин. Калининский гос. ун-т. - 1974. - С. 52-69.

15. Кильп, X. О.: Две квазилинейные системы S¿2 из механики с шестиугольной три-тканью характеристик (геометрическая теория) [Текст] / X. О. Кильп // Уч. зап. Тартусского гос. ун-та. - 1975. -Т. 374. - С. 63-78.

16. Кильп, X. О.: Геометрия квазилинейных систем дифференциальных уравнений и т-ткани [Текст] / X. О. Кильп // Уч. зап. Тартусского гос. ун-та. - 1984. - Т. 665. - С. 14-22.

17. Нгуен Зоан Туан: О многомерных три-тканях типа W(P, Р, Q) [Текст] / Нгуен Зоан Туан // Геометрия погруженных многообразий. М. Моск. гос. пед. ин-т. - 1986. - С. 101-112.

18. Нгуен Зоан Туан: Некоторые подклассы три-тканей W(P,P,Q) с постоянными компонентами основного тензора [Текст] / Нгуен Зоан Туан // Ткани и квазигруппы. Калинин. Калининский гос. ун-т. - 1987.

- С. 82-87.

19. Степанов, Н.В.: Дифференциально-геометрическая теория уравнения уЫ _ f(x,y,y',...,i/n~^) [Текст] / Н.В. Степанов // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Проблемы геометрии. - 1977. - 8. - С. 47-67.

20. Степанов, Н.В.: Геометрия дифференциальных уравнений [Текст] / Н. В. Степанов // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Проблемы геометрии. - 1981. - 12. - С, 127-165.

21. Уткин, A.A.: О три-тканях, определяемых линейным дифференциальным уравнением первого порядка [Текст] / А. А. Уткин, А. М. Шелехов // Изв. ВУЗов. Матем. - 2001. - № 11. - С. 54-57.

22. Уткин, A.A.: Три-ткани, определяемые уравнением Риккати [Текст] / A.A. Уткин, A.M. Шелехов // Изв. ВУЗов. Матем. - 2004. - № 11.

- С. 87-90.

23. Chern, S. S.: Eine Invariantentheorie der Dreigewebe aus r-dimensionalen Mannigfaltigkeiten in R2r [Текст] / S. S. Chern // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. - 1936. - V. 11. - № 1-2. - p. 333-358.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, включенных в список ВАК

1. Дуюнова, А. А.: О три-тканях W(l,n,l) с нулевым, первым структурным. тензором [Текст] / А. А. Дуюнова, А. М. Шелехов // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. - 2011. - № 26. - С. 82-88.

2. Дуюнова, А. А.: О приведении системы ОДУ к каноническому виду [Текст] / А. А. Дуюнова // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. - 2011. - № 26. - С. 7681.

3. Дуюнова, А. А.: Три-ткани W(l,n, 1) и ассоциированные системы ОДУ [Текст] / А. А. Дуюнова // Изв. ВУЗов. Математика. - 2012. - № 2. -С. 43-56.

Публикации в других изданиях

4. Дуюнова, А. А.: О три-тканях W(l, n, 1) [Текст] / А. А. Дуюнова // Тезисы докладов международной конференции «Геометрия в Кисловодске - 2010». Кисловодск, 2010. - С. 25.

5. Дуюнова, А. А.: Вычисление инвариантов ткани 1) [Текст] / А. А. Дуюнова // Математика, информатика, их приложения и роль в образовании: Материалы второй Российской школы-конференции с международным участием для молодых ученых: статьи, обзоры, тезисы докладов. Тверь: ТвГУ, 2010. - С. 91-95.

6. Дуюнова, А. А.: Три-ткани, определяемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений [Текст] / А. А. Дуюнова // Фундаментальная и прикладная математика. - 2010. - Т. 16. - В. 2. - С. 13-31.

7. Дуюнова, А. А.: Три-ткани W(l,n} 1) и системы ОДУ [Текст] / А. А. Дуюнова // Тезисы докладов международной конференции «Геометрия в Одессе - 2011». Одесса, 2011. - С. 39.

8. Дуюнова, А. А.: Три-ткани, определяемые системами ОДУ [Текст] / А. А. Дуюнова // Abstracts The Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equation. Москва, 2011. - С. 92-93.

9. Дуюнова, A.A.: Три-ткани 1) и динамические системы [Текст]

/ А. А. Дуюнова // Тезисы международной научной конференции «Образование, наука и экономика в вузах. Интеграция в международное образовательное пространство». Ереван, 2011. - С. 56-58.

Подписано в печать:

02.03.2012

Заказ № 6775 Тираж - 100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Дуюнова, Анна Андреевна, Москва

ФГБОУ ВПО

«Московский педагогический государственный университет»

61 12-1/768 На правах рукописи

ДУЮНОВА Анна Андреевна

ТРИ-ТКАНИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ СИСТЕМАМИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.04 — геометрия и топология

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор A.M. Шелехов Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Г. А. Толстихина

Москва - 2012

Оглавление

Введение 3

0.1 Общая характеристика работы..................................3

0.2 Краткое содержание диссертации ...................9

1 Три-ткани 1^(1, п, 1) 19

1.1 Структурные уравнения ткани 1)......................19

1.2 Продолжение структурных уравнений три-ткани 1) . 31

1.3 Вычисление первого структурного тензора ткани та, 1) 38

1.4 Аффинная связность, присоединенная к ткани 1^(1,71,1) . . 42

1.5 Параллелизуемые три-ткани та, 1) ........................48

1.6 Групповые три-ткани \¥(1,п,1)..................................52

1.7 Некоторые специальные классы три-тканей \¥(1, та, 1) .... 60

2 Системы ОДУ и определяемые ими три-ткани \¥(1,п, 1) 66

2.1 Три-ткань, определяемая системой ОДУ ......................66

2.2 Вычисление второго структурного тензора системы ОДУ . . 68

2.3 Системы ОДУ, определяемые некоторыми специальными классами три-тканей п, 1)..................................72

2.4 Системы ОДУ с нулевым тензором кривизны..................77

2.5 Три-ткани, определяемые дифференциальным уравнением порядка п ........................................................81

2.6 О приведении системы ОДУ к каноническому виду..........85

Литература 90

Введение

0.1 Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования, ^-тканью в геометрии называют совокупность к гладких слоений. Два-ткани или сети кривых интенсивно изучаются примерно с середины XIX века, хорошо изучены их метрические, аффинные и проективные свойства. Позже стали рассматривать ткани, составленные из большего числа слоений, и более сложные объекты — ткани, образованные на гладких многообразиях слоениями различной размерности.

Три-ткани с точностью до локальных диффеоморфизмов начали изучать в двадцатых годах прошлого века на гамбургском геометрическом семинаре Вильгельм Бляшке и его коллеги и ученики: К. Рейдемейстер, Г. Томсен, Г. Бол и др. Они показали, что условие замыкания на криволинейной три-ткани Ш конфигураций определенного вида, образованных линиями этой ткани, отвечает некоторым тождествам, выполняемым в ее координатной квазигруппе и координатных лупах. Основные результаты этих исследований были опубликованы в [17] и [18]. В середине тридцатых годов появилась работа [43] С. Черна, в которой он методом внешних форм Э. Картана изучает многомерные три-ткани \¥(г,г:г), образованные тремя семействами г-мерных поверхностей в 2г-мерном пространстве (далее классическая теория тканей). Современный вид классическая теория тканей приобрела в работах М. А. Акивиса, его коллег и учеников [8].

Ткани образованные слоениями разных размерностей, на-

чал и рассматривать В. Бляшке [15], [16] и Г. Бол [18]. Общая теория тканей, образованных слоениями разных размерностей, построена М. А. Акивисом и В. В. Гольдбергом в работах [5], [6]. Они нашли структурные уравнения три-ткани д,г), определили ее первый и второй структурные тензоры, выяснили геометрический смысл обращения нуль первого структурного тензора и его некоторых подтензоров. В работе [22] В. В. Гольдберг определил некоторые специальные классы три-тканей Ш(р, г), названные им трансверсально-геодезическими, шестиугольными и групповыми, и нашел соответствующие тензорные характеристики. Изучение три-тканей, образованных слоениями разных размерностей, продолжилось в работах других авторов, см. например [14], [19] и [35]. Однако, вследствие разной размерности слоев, образующих ткань, долгое время не удавалось получить обобщения основных алгебраических и геометрических понятий классической теории тканей для тканей Ш(р, д, г). Это было сделано сравнительно недавно Г. А. Толстихиной, результаты которой можно найти в [8].

Ткани \¥(р,д,г) при различных значениях р, д и г более детально изучали Ю. А. Апресян [9] - [12], Нгуен Зоан Туан [29] - [30].

Три-ткани, образованные двумя семействами кривых и одним семейством поверхностей, изучала Н.Х. Азизова [1] - [3]. Она рассматривает три-ткань как эквивалент другого геометрического объекта — однопара-метрического семейства локальных диффеоморфизмов одной поверхности на другую.

Теория многомерных три-тканей имеет многочисленные приложения в разных разделах математики и физики, см. об этом в [17], [7], [35]. Это важное обстоятельство объясняется тем фактом, что ткань вполне определяется своим уравнением 2 = /(х,у), связывающим параметры слоев ткани, проходящих через одну точку. Другими словами, три-ткань есть

геометрическая модель функции двух переменных, и поэтому теория тканей приложима там, где исследуются функции двух переменных. Например, Е. В. Ферапонтов применяет три-ткани для исследования дифференциальных уравнений гидродинамического типа [38] - [42]; X. О. Кильп

— для исследования некоторых квазилинейных систем, в частности, из механики, а также при изучении преобразований Бэклунда [24] - [26].

В работах [36], [37] показано, как применять аппарат теории тканей для исследования и классификации обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В частности, с помощью дифференциальных инвариантов ткани охарактеризованы линейные уравнения и уравнения Риккати.

В перечисленных выше приложениях авторы рассматривали классическую ткань, образованную слоениями одинаковой размерности. Однако, с более сложными объектами, такими как системы обыкновенных дифференциальных уравнений, связаны ткани, образованные слоениями разных размерностей. Наш подход основывается на том, что система ОДУ имеет геометрически эквивалентный объект — три-ткань \¥(1,п, 1), образованную двумя семействами кривых и одним семейством гиперповерхностей. Это обстоятельство дает возможность применить теорию тканей и соответствующие дифференциально-геометрические методы для изучения свойств систем ОДУ.

Заметим, что геометрия дифференциальных уравнений исследовалась очень широко и разными методами, см., например, обзоры [31], [32]. Но систематического исследования систем ОДУ с помощью теории тканей не проводилось.

Цель работы. В настоящей работе с системой обыкновенных дифференциальных уравнений связывается адекватный геометрический объект

— три-ткань \¥(1:п,1), образованная двумя семействами кривых и од-

ним семейством гиперповерхностей. Цель работы состоит в исследовании свойств систем дифференциальных уравнений с помощью методов теории тканей.

Основные задачи исследования:

— найти структурные уравнения три-ткани \У(1,п,1), их дифференциальные продолжения;

— с помощью структурных уравнений описать некоторые классы три-тканей Ц[{\ , п, 1);

— уточнить и дополнить некоторые результаты, сформулированные в работах [6], [22];

— исследовать три-ткани 1), определяемые системами ОДУ, выразить инварианты этой ткани через функции, определяющие систему ОДУ;

— охарактеризовать некоторые специальные системы ОДУ в терминах соответствующей три-ткани.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в процессе диссертационного исследования, являются новыми. На защиту выносятся следующие результаты.

1. Найдены и исследованы структурные уравнения три-ткани ]№{1,п,1) и их дифференциальные продолжения.

2. Для основных специальных классов три-тканей И^(1,п, 1) (параллели-зуемых, групповых, трансверсально-геодезических, допускающих аффинную связность) доказана достаточность соответствующих тензорных условий.

3. Для системы ОДУ определена три-ткань п, 1), и инварианты этой ткани выражены через функции, определяющие систему ОДУ.

4. Найдены характеристики в терминах соответствующей ткани для неко-

торых систем ОДУ специального вида: автономных, почти автономных, с нулевым тензором кривизны и т. д.

Методы исследования. В теории тканей применяются методы современной математики: тензорный анализ, внешнее дифференциальное исчисление, теория связностей, теория групп Ли, теория расслоенных пространств, методы проективной и аффинной геометрии и т.д. В работе широко используется метод внешних форм и подвижного репера Э. Картана, развитый в работах российских математиков С. П. Финикова, Г. Ф. Лаптева, А. М. Васильева и с успехом примененный М. А. Акивисом и его учениками в теории многомерных три-тканей. Все рассмотрения имеют локальный характер.

— международная конференция «Геометрия в Кисловодске — 2010» (Кисловодск, сентябрь 2010 г.);

— международная конференция «Геометрия в Одессе — 2011» (Украина, Одесса, май 2011 г.);

— The Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equation (Москва, август 2011 г.);

— международная школа-конференция для молодежи «Геометрия. Управление. Экономика» (Астрахань, август 2011 г.);

— международный геометрический семинар имени Г. Ф. Лаптева «Лап-тевские чтения — 2011» (Пенза, сентябрь 2011 г.);

— геометрический семинар им. Г. Ф. Лаптева кафедры математического анализа МГУ им. М. В. Ломоносова, рук. Л. Е. Евтушик (сентябрь, декабрь 2011).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных работах, из них 5 статей в рецензируемых журналах, 4 тезиса докладов:

1. Дуюнова А. А. О три-тканях W(l,n,l) // Тезисы докладов международной конференции «Геометрия в Кисловодске — 2010». Кисловодск, 2010. С. 25.

2. Дуюнова А. А. Вычисление инвариантов ткани W(l,n, 1) // Математика, информатика, их приложения и роль в образовании: Материалы второй Российской школы-конференции с международным участием для молодых ученых: статьи, обзоры, тезисы докладов. Тверь: ТвГУ. 2010. С. 91-95.

3. Дуюнова А. А. Три-ткани, определяемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений // Фундаментальная и прикладная математика. 2010. Т. 16. В. 2. С. 13-31.

4. Дуюнова А. А. Три-ткани W(l,n, 1) и системы ОДУ // Тезисы докладов международной конференции «Геометрия в Одессе — 2011».

Одесса, 2011. С. 39.

5. Дуюнова А. А. Три-ткани, определяемые системами ОДУ // Abstracts The Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equation. Москва, 2011. С. 92-93.

6. Дуюнова А. А., Шелехов A. M. О три-тканях W( 1, n, 1) с нулевым первым структурным тензором // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. 2011. № 26. С. 82-88. (журнал из списка ВАК)

7. Дуюнова А. А. О приведении системы ОДУ к каноническому виду // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. 2011. № 26. С. 76-81. (журнал из списка ВАК)

8. Дуюнова А. А. Три-ткани W(l,n, 1) и ассоциированные системы ОДУ // Изв. ВУЗов. Математика. 2012. № 2. С. 43-56. (журнал из списка ВАК)

9. Дуюнова А. А. Три-ткани W(l,n, 1) и динамические системы // Тезисы международной научной конференции «Образование, наука и экономика в вузах. Интеграция в международное образовательное пространство». Ереван, 2011. С. 56-58.

0.2 Краткое содержание диссертации

Во введении дается общая характеристика работы, формулируются цели и задачи диссертационного исследования, приводятся основные ре-

зультаты.

В первой главе «Три-ткани W(l,n, 1)» излагаются основные сведения из теории тканей W(l, гг, 1), образованных двумя семействами кривых и одним семейством гиперповерхностей.

В § 1.1 приводится определение три-ткани W(l,n, 1), образованной двумя семействами кривых и одним семейством гиперповерхностей на гладком многообразии размерности п + 1. Две ткани считаются эквивалентными, если существует локальный диффеоморфизм, переводящий слоения одной ткани в слоения другой. К три-ткани W(l,n, 1) присоединяется семейство адаптированных реперов TZ(W), в которых слоения этой ткани имеют вид

Ai : ши = 0, шп = 0; Л2 : соп+1 = 0; Л3 : üju = 0, шп + шп+1 = 0,

где u,v,... = 1,2,... ,п — 1. Группа допустимых преобразований, сохраняющих вид этих уравнений, определяет G-структуру на многообразии три-ткани W(l,n, 1).

Найдены структурные уравнения ткани W(l,n, 1) (теоремы 1.1 и 1.2):

duu = ш" А ш" + ¡Iйшп А сип+\

du11 = сии А < + шп А (1)

dtün+1 = cun+1 А

duj% = ш™ А < + А cün+1 + fc>n Л шп+1 - cow А

= wJA<+wunAwS + Л wn+1 - uv А ипию (2)

dul = ришп+1 А си% + tuuu А шп+1 + tncün А шп+1

dpu = -¿¿X + 2/iX + + + (3)

где формы u™v и симметричны по нижним индексам.

Показано, что семейство адаптированных реперов 1Z(W) порождает G-структуру, на которой величины ри образуют тензор (предложение 1.1). Он называется первым структурным тензором три-ткани W(l,n, 1).

В § 1.2 найдено дифференциальное продолжение структурных уравнений ткани \¥(1,п, 1) (теорема 1.3):

+ ши3 Л 04, — о;® Л - < Л - /¿X™ Л шп+1 =

-АМ А - Л и/1"*"1 - Л бс;п+1 + Л о;5

- иС Л < - < Л - Л ^ + Л <

= Л шп+г - Л - тиьшп Л о;п+1 + Л о;"7,

(Ии - - гиш1 - + = + +

<йп - 2гпси™ + = тмпа;и + т^о;" + гапп+1а;п+1, + - - А« - 2*;>» = + Кпшп +

^ + А;Х - ЗВД = /С"" + Кпшп + Кп+1ип+\

+ - = зм>Хп +

+ {Кп+1 - 2+ - 2/х«*п) а/* +

п+1

а;

,п+1

При этом величины /г^,, га^, и симметричны по нижним индексам.

Показано, что совокупность величин £п, А^+1} образует тен-

зор на некоторой С-структуре (предложение 1.2). Он называется вторым структурным тензором три-ткани \¥(1 , п, 1).

В § 1.3 три-ткань ]¥(1 ,гг, 1) задается уравнением гг = .Рг(£, х-?), г^,... = 1,2,... ,п, связывающим параметры слоев ткани, проходящих через одну точку. Компоненты первого структурного тензора ри и формы Ц выражены через частные производные от функций .Р, например:

/ трп ри три рп \

,.и _ [ три _ г ри _ Ь трп , I г трп 1 туг ~ \ рпГи рпГй ' у

В § 1.4 рассматриваются аффинные связности без кручения, присоединенные к три-ткани 1). Доказана

Теорема 1.4. Уравнения (1) и (2) определяют на многообразии М аффинную связность без кручения тогда и только тогда, когда фор-

мы ш™, шпа,и и являются главными, то есть выражаются через базисные формы ши, ип и шп+1.

Такие связности называются совместимыми. Доказана Теорема 1.5. Во всех совместимых с три-тканью Ж(1,п, 1) аффинных связностях Г и только таких связностях слои ткани будут вполне геодезическими.

В теоремах 1.4 - 1.8 мы уточняем и приводим доказательства некоторых результатов, сформулированных в работах [6], [22].

В § 1.5 рассмотрены параллелизуемые ткани Ж(1,п, 1) (т.е. ткани, эквивалентные три-ткани ^(1,71,1), образованной в аффинном пространстве Ап+1 двумя семействами параллельных прямых и одним семейством параллельных п-мерных плоскостей). Доказана

Теорема 1.6. Три-ткань И^(1,п, 1) является параллелизуемой тогда и только тогда, когда ее первый и второй структурные тензоры равны нулю.

В § 1.6 рассматривается групповая ткань, обобщающая понятие групповой ткани из классической теории тканей. Структуру этой ткани описывает следующая

Теорема 1.7. Пусть — группа Ли с фиксированными одномерными подгруппами и для которой выполняются следующие условия.

1. В <2П+1 имеется абелева подгруппа С"-1 размерности п—1 транс-версальная и (?2-

2. В Сп+1 имеются две абелевы подгруппы С" и С^ размерности п, пересекающиеся по подгруппе причем С^ содержит содержит Сг-

3. С™ и С*2 являются нормальными подгруппами в Сп+1.

Тогда структурные уравнения группы (?п+1 имеют вид:

(1ыи = -Сипп+1шп Л (Ьп = 0, (коп+1 - 0.

В группе Сп+г имеется семейство п-мерных абелевых подгрупп, пересекающихся по подгруппе С1-1, а групповая ткань образована на группе дп+г смежньши классами по подгруппам ба и и по одной из абелевых п-мерных подгрупп этого семейства.

Доказана

Теорема 1.8. Для того, чтобы три-ткань 1/7(1, п, 1) была групповой, необходимо и достаточно, чтобы ее второй структурный тензор был равен нулю.

В § 1.7 рассмотрены некоторые специальные классы тканей \¥(1,п,1). Показано, что первый структурный тензор три-ткани 1) является

тензором неголономности неголономной криволинейной три-ткани ИУ/, определямой распределением = 0, а три-ткань является голо-

номной тогда и только тогда, когда ¡Iй = 0. В этом случае многообразие М расслаивается на оо™""1 двумерных многообразий V, на каждом из которых возникает криволинейная три-ткань два слоения которой состоят из линий первого и третьего слоений ткани 1). Для этой ткани относительный инвариант входящий в структурные уравнения (2), является кривизной, а величины тпп и тпп+х — ковариа�