Геометрия системы уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

о 5, я \

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА II ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. ЛЕНИНА

Специализированный Совет К 053.01.02

На правах рукописи

ГЛИЗБУРГ Вита Пммапупловна

ГЕОМЕТРИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

01.01.(Кг — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1992

Работа выполнена на кафедре геометрии Московского ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени педагогического государственного университета имспн В. И. Ленина.

Научный р у к о в о д и т е л ь:

доктор физико-математических наук, профессор Л. Е. ЕВТУШИК

Официальные оппоненты:

доктор фпзпко-матемаглческих паук, профессор М. А. АКИВИС

кандидат физико-математических наук Е. В. ФЕРАПОНТОВ

Ведущая организация — Университет Дружбы Народов имени П. Лумумбы.

Защита состоится «...?.......»...Ш^.&В...........1992 г. в ..d.^... час.

на заседании специализированного совета К 053.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Московском педагогическом государственном университете им. В. И. Ленина по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ им. В. И. Ленина (адрес университета: Москва, 119435, Малая Пироговская, 1, МГ1ГУ им. В. II. Ленина).

Автореферат разослан « m iÇ^.Q......1992 г

Учепын ccKpeTjtpjj специализированного совета

Г. А. КАРАСЕВ

- Э-,-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИК РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Предметом геометрического исследования диссертации является структура на дифференцируемом многообразии, задаваемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка:

Дифференциальные уравнения уже давно стали объектом геометрического исследования, история которого восходит к мемуарам Э. Картана 4*1,CASI и предшествующим им работам Трессе ЕЧ31 и Коппиша , В статье Cil Картан связывает с обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка нормальную проективную связность; предметом исследования Трессе являлась теория дифференциальных инвариантов данного уравнения относительно группы точечных преобразований переменных • Мемуар''Э,Картана CASI посвящен изучении геометрии обыкновенного дифференциального уравнения третьего.порядка; данная тема также нашла свое освещение в работах Ш.-Ш.Чженя С^.СА-ЛЛ .

Картановсков стремление к развитию инвариантного геометрического языка для описания дифференциальных уравнений получило новый импульс в работах А.М.Васильева С*Л и Г.Ф.Лаптева САО^СЛМ ; основой этому послужил развитый Г.ФЛаптевым инвариантный метод дифференциально-геометрических исследований, базирующийся на понятиях продолжения, охвата, канонизации.

, Непосредственное применение к геометрии дифференциальных уравнений имеют дифференциально-геометрические построения Л.Е.Евтушика CVl-CTi . Так, в предметом исследования является система обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка и присоединенная к ней редуктианая связность Картана, что представляет особый интерес для нашего исследования.

Геометрия системы дифференциальных уравнений четвертого порядка рассматривается в . В работах CG'-l.CVl специальный класс систем обыкновенных дифференциальных уоапненкй третьего и четвертого порядков редуцируется к структуре

нелинейной связности соответствующего порядка.

Большое количество работ, имеющихся в настоящее время по данной теме собрано в следующих обзорах: З.Бомпиани , В.Й.Близникас и З.Ю.Лупейкис СО .Л.В.Овсянников САМ , Н.Х.Ибрагимов С 8 3 , К.В.Степанов , А.М.Вино-

градов IЫ ,

В математическом мире, в особенности в теоретической физике, укореняется инвариантный /геометрический/ подход к исследованию дифференциальных уравнений, имеющих теоретико-механический смысл. Особенно повышенный интерес проявляется к нелинейным уравнениям, к уравнениям высших порядков. Это привело к тому, что одной из самых актуальных проблем в геометрии стала проблема инвариантного описания структур математического анализа - дифференциальных уравнении и их систем.

В данной диссертации такой структурой является обыкновенная дифференциальная система произвольного порядка р>2

слУ* ( ^ • к......(таг *1 1 , »

определенная на дифференцируемом многообразии V* как сечение

V. ОМ V 1М

расслоения касательных р-элементов над пространством

(р-1) - элементов касания пространства Чу». .а полученные в работе результаты составляют основу геометрической теория рассматриваемой дифференциальной системы и на основании всего вышеизложенного подтверждают актуальность проведенного исследования.

Цель диссертационной работы заключается: I/ в присоединении к системе обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка рассматриваемого типа' инвариантно определяемой структуры главного расслоения со связностью, полностью определяющего геометрию исходной системы; ■ . 2/ в исследовании структурной группы присоединенного расслоения; 3/ в изучении объекта кривизны-кручения ассоциированной связности; -

4/ в построении полной системы дифференциально-геометрических инвариантов исследуемой структуры за счет ее редукции к структуре ассоциированной связности картановского типа и, следователь-

-Ъ -

но, в инвариантном описании заданной дифференциальной системы в терминах связности ;{артана.

Метод исследования. Применяется метод внешних дифференциальных алгебр Картана и инвариантный метод продолжений и охватов Лаптева в современной форме теории расслоенных пространств и связностей в них.

Научная новизна. В такой общности, когда система дифференциальных- уравнений задана на многообразии произвольной размерности и ее порядок сколь угодно высок, перечисленные выше задачи решаются впервые. До' настоящего времени было исследовано в общих чертах лишь обыкновенное уравнение произвольного порядка ка плоскости. В данной диссертации решается задача построения дифференциально-геометрической структуры вксшего порядка и ее полной системы дифференциальных инвариантов, в терминах которой находит полное геометрическое описание система обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка на любом гладком многообразии. Сама система и ее интегральные кривые получили геометрическое истолкование в современных терминах теории расслоенных пространств с картановской связностью. Все полученные в работе результаты, составляют основу геометрической теории рассматриваемых дифференциальных систем и являются существенно новыми.

Практическая и теоретическая ценность работы. Данное исследование имеет теоретическое значение как новый опыт при-.ложения инвариантных геометрических методов и структур к бескоординатному описаний структур математического анализа на многообразиях /систем обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков/. Практическое значение обусловлено возможностью использования результатов работы в дальнейшем развитии геометрической теории систем дифференциальных уравнений высшего порядка, имеющей приложения в различных аспектах математического анализа и теоретической физики. Полученные результаты могут послужить основой для разработки и чтения спецкурсов в вузах, где ведутся исследования по близкой тематике.

Апробация работы. Основные результаты диссертации доклевывались и обсу.гдзлгсь ка Ш Осенней аколе "Применение тоцслогну в алгебре и дифференциальной геометрии" /Тарту 1551/,

на семинзре по классической да44еренциальной геометрии МГУ им. ЛЛ.В Ломоносова /руководитель проф. Л.Е.Евтушик/, на научном семинаре по геометрии при Московском институте стали и сплавов /руководитель проф. М.А.Акивис/, на научно-исследовательском семинаре по геометрии МШУ им. В.К.Ленина /руководитель проф. В.Ф.Кириченко/, на научных конференциях МШУ ш. В.И.Ленина.

Публикации. Основнне результаты диссертации опубликованы в работах - ТЛИ . Работы написаны без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоят из введения и трех глав, включающих 12 параграфов; список цитированной литературы содержит 65 работ отечественных и зарубежных авторов; работа выполнена на 139 страницах машинописного текста, основной текст диссертации изложен на 127 страницах.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении излагается предыстория вопроса, обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи диссертационной работы и приводится ее краткое содержание.

Первая глава "Структурные формы и структурные уравнения расслоенных пространств и их оснащений", как это следует из ее названий, в основном, содержит основополагающие сведения и результата современной дифференциальной геометрии.изложенные в форме, удобной для автономного прочтения диссертации. Содержатся также некоторые оригинальные разработки, необходимые для дальнейших построений.Глава включает первые 5 .параграфов.

Основные результаты работы сконцентрированы в двух последних главах. • '

Во второй главе "Главное расслоение со связностью; ассоциированное с дифференциальной системой" / §§ 6-8 / производится непосредственное построение полной системы дифференциальных исходной структуры £ а) . Рассматриваемая дифференциальная система порядка р фактически означает задание сечения (I) . С целью исследования геометрии этого сечения рассматриваются

расслоения реперов высших порядков, в терминах структурных форм которых изучение системы дифференциальных уравнений (-0 сводится к изучению структурного уравнения сечения

*

и его продолжений.

Применяя к этому уравнению операцию внешнего дифференцирования с учетом структурных уравнений канонических форм расслоений реперов высших порядков и на каждом шаге продолжений производя канонизацию реперов, в результате р-кратного частичного продолжения основных уравнений 13>") сечения и поэтапной редукции расслоения р-реперов, удается установить определенные соотношения, связывающие структурные формы расслоения реперов высшего порядка.

Так, в результате р-кратного частичного продолжения / §? / уравнений (Ъ) , сопровождаемого поэтапной редукцией расслоения р-реперов над базой

показано / Теорема I /, что дифференциальная система М порождает следующие соотношения, связывающие канонические дифференциальные форш

При введении определенного ограничения на' компоненты струм сечения £«») проводится канонизация р-реперов

в результате которой на соответствующей редукции расслоения реперов высших порядков над базой выполняются

следующие соотношения ( Теорема И /:

^ ВО (*>« С5)

Полученные соотношения и представляют собой обобщение соответствующих результатов §6, полностью посвященного рассмотрению некоторых особенностей структуры третьего порядка, и позволяют вывести структурные уравнения системы форм .....:

^-^л'КЛ* ^^Чс^^П (СЛ

где в зависимости от того, какие из соотношений (М или С6) использованы, формы Л*, выражаются

только через формы .. , или только

через базисные формы «а*, и!1, ча*^.

Рассматривая полученные структурные уравнения как уравнения, описывающие соответственно главное расслоение Р (учтены соотношения (5) } главное расслоение (учтена соотношения СЛ } .7 с пространством в*"*

в качестве базы и структурной группой =

_7, строим расширения полученных расслоений ? и . Соответствующие расширения = ^ Ол*1)

- ^чо, ' * /получены- за счет расширения струк-

турных групп и расслоений , и ' до группы

.определяемой уравнениями Маурера - Картана.лри

Доказано / Теорема Ш § 8 /, что система обыкновенных дифференциальннх уравнений (О высшего порядка индуцирует в расслоении С^* редуктивную связность Картана с ограниченными на формами связности ....^и-лч,^,^ причем формы являатся формами линейной связности на , Получены структурные уравнения рассматриваемой связности.

Показано также /Теорема 17 § 8 /, что система ¿л") по-роздает в расслоении Р5* э ^ , ассоциированном с ней, связность Картана, специализированные формы которой ооразуют глобально определенный базис форм подрасслоения ^ так, что обладает структурой вполне параллелизуемого много-

образия. Получены соответствующие структурные уравнения.

Каждая из построенных структур главного расслоения со связностью картановского типа полностью определяет геометрию дифференциальной сксгегш

Рассмотрены геодезические линии в связности, ассоциированной с системой (О , как обобщенные автопараллельныё линии, вдоль которых элемент € З^Н4*^ касания порядка р-1 пере- ' носится параллельно. Доказано /Предложение 1У § 8 /, что интегральные кривые системы СЛ , и только они, являются геодезическими линиями в связности, ассоциированной с системой (■О , что позволяет трактовать построенное в диссертации расслоение со связностью картановского типа, присоединенное к. системе (л") , как некоторого рода обобщение пространства аффинной связности.

Третья глава "фундаментальная группа и объект кривизны-кручения ассоциированное связности" / §§ 9-12 / содержит исследование инвариантов построенной структуры.

Изучена структурная группа С^"1- фундаментальная группа связности картановского типа, ассоциированной с системой ("О": вычислен базис ее инвариантных форм /Теоремы У, 71 §§ 9,10 /; найдено ее представление в / Теорема УП § 10 /:

Получен критерий инвариантности Ли^ереяциальной системы относительно действия группы /Теорема УШ § 10/:

система (.'¡Л инвариантна относятельно действия группы тогда и только тогда, когда она в некоторой локальной системе

'координат приводила к простейшему вму & ^^/сд-х'^ ~ ^ • '

Особо выделен случай полного исчезновения крквкпнк-кру-чения редуктивной связности Картзнз в расслоении ,

• характеризующий простейгай тип дифференциальных систем,приводимых

в некоторых локальных координатах к виду / )** а 4 / Теорема IX § II /. Интегральные кривые таких систем - параболы вида а*-»^ — . играют роль геодезических в присоединенной связности.

В параграфе 12 исследуется объект кривизны-кручения связности Юартана в главном расслоении ка*инвариант. дифференциальной системы Ш . Доказана Теорема X, выделяющая самостоятельные подобъекты данного объекта и среди них - тензоры. • . •

Вдоль всякой кривой определяется поле плоскостей, транс-версальных к элементу касания порядка р-1. Его новариантное постоянство в рассматриваемой связности соответствует исчезновению части объекта кривизны-кручения.

Выделяется класс дифференциальных систем, приводимых в некоторых локальных координатах к виду, где правая часть линейна относительно "И^^ '

»2»- \ /V „Л Ы^ ^ Л* \

Этот случай соответствует обращению в нуль некоторого подобъек-та объекта кривизны-кручения.

Содержащаяся в Теореме X классификация подобъектов кривизны-кручения Позволяет говорить о том, что в диссертации фактически заложены основы возможной классификации дифферент циальных систем Ь терминах объ-екта кривизны-кручения присоединенной связности. В то же время более детальное вычисление инвариантов и получение конкретного вида дифференциальной системы / как это сделано в простейших случаях / требует очень , громоздких координатных вычислений, что выходит за рамки инвариантного метода, которым выполнена работа. Особые трудности при этом предопределяются произвольностью порядка и размерности исходного многообразия.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ -

1. Построение инвариантно связанной с системой обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка редукции расслоения реперов 'высших порядков.

•ч

2. Построение на основе этой редукции структуры главного расслоенного пространства над многообразием касательных элементов со

связностью картановского типа и ее полной системы дк$£еренш-альнь'х инвариантов, в терминах которой находит полное геометрическое описание система обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка на любом гладком многообразии.

3. Исследование фундаментальной группы и объекта кривизны-кручения ассоциированной с системой дифференциальных уравнений связности как инварианта рассматриваемой дифференциальной системы. '

4. Исследование случая плоской связности и соответствующего ей простейшего типа дифференциальных систем.

Автор выражает глубокую признательность v. искреннюю благодарность научному руководителю Леониду Евгеньевичу . Евтушику за ценные советы я постоянное внимание к работе.

Использованная литература

I. Близникас В.Й., Лупейкис З.Ю., Геометрия дифференциальных уравнений. В сб."Алгебра. Топология. Геометрия. Т II /Итоги науки и техники. ВИШШ АН СССР/". М., 1974,' 20Г-259. '2. Васильев A.M., Общие инвариантные методы в дифференциальной 'геометрии. Докл. АН СССР, М., 1951, 5-8.

3. Виноградов A.M., Геометрия нелинейных дифференциальных • уравнений. В сб. "Проблемы геометрии. Т II /Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР/". М., 1980. 89-134.

4.' Евтушик Л.Е., Третьяков В.Б., 0 структурах, определяемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений высшего порядка. В сб."Тр. геом. сем. Т 6 /Итоги науки и техники. ' ВИНИТИ АН СССР/". М., 1976, 243-255.

5. Евтушик Л.Б., Геометрия системы 5*' SHO

Ш Всесоюзн. школа "Понтрягинские чтения. Оптимальное управление. Геометрия и анализ". Тез:-докл. Кемеровск. гос. ун-т., Кемерово, 1990, С.24. . '

6. Евтушик Л.Е., Третьяков В. Б., Инвариантное описание обыкно-- .венных систем в терминах нелинейных связностей. Известия

. вузов.'Математика. Казань, 1986, № I, 21-32. 7; Евтушик-Л.Е., Стабильные нелинейные связности высших порядков и 'редукция к ним обыкновенных дифференциальных систем соответствующего порядка. "Теория функций и ее. приложения", Кемерово, 1985 , 48-5'6. ' .

8. Ибрагимов Н.Х., Группы преобразований в математической физике. М., Наука 1963.

9. Картан Э., Пространства проективной связности. В сб. "Пространства аффинной, проективной и конформной связностей". Казань, 2962, 119-152.

10.Лаптев Г.Ф., Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометри- ■ ческих исследований. Тр. моек. мат. о-ва Т 2 М., 1952, 275-382. -

П.Лаптев Г.Ф., Геометрия дифференциальных уравнений. 1-я Всес.

геом. конф. Киев, 1962, 6-7. 12.Овсянников Л.В., Груляовой анализ дифференциальных уравнений. М., Наука, 1978. .

13.Степанов Н.В., Геометрия дифференциальных уравнений. В сб. "Проблемы геометрии Т 12 /Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР/". М., 1981 127-165.

14. Ьстрч'лги (к^АпаЧ-ие е^ха.гс»ги е <14 ^.ллсаги (¿¿{(штСаЛ <?иЬ'псЛ.се.. йвто^НЧ! .

Ъимл »гЛм. - .¿¿'¿р-&лпея.I.

Сил-У!. <#иигЦ^ ратА^а^ ¿¡^ии^Лса* фк&оъ

^«Я-тЛ

СЫил ^ Ь. ^.„«¿и'а. ¿'оке

А-, ТплхлСйл&'^ПДллг«. ^аийЯк^гЛк».

Л* Тищ А, 'Ш^Л ^ш^ЛА е^и-^к

ПУБЛИКАЦИИ АНГОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ - ;

20. Глизбург ВЛ'., Геометрия системы обыкновенных дифференциальных уравнений высшем порядка. Тез. докл. ХШ1 научн. конф. фак-та физ.гмат. и ест. наук Ун-та Дружбы Народов им.

^ П.Лумумбк, М., 1991. С.144. '

21. Глизбург В.И., Редукция расслоения р-реперов, инвариантно определяемая обыкновенной дифференциальной системой порядка р>2. 1991, :.!оск. пед. гос. ун-т., Деп в ВШ.ТИ АЯ СССР 14.II.91, :« 42Э1-БЭ1, 16 е., бвЗлисгр. 8 назв.

22. Глизбург В.И., Фундаментальная группа и объект кривизнк-кручения связности Картана, инвариантно определяемой обыкновенной дифференциальной системой порядка р 2. М., 1991, Моек; пед. гос. ун~т.,Деп. в ВИНИТИ АН СССР 14.11.91. » 4290-В91, 32 е., библиогр. 7 назв.