Метод граничных элементов в задачах статики изотропных оболочек сложной геометрии тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОСТРОЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТАТИКИ ИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

§1.1. Обзор литературы.

§ 1.2. Основные положения и соотношения при построении граничных интегральных уравнений различных вариантов теории оболочек сложной геометрии.

§ 1.3. Построение граничных интегральных уравнений для изотропной оболочки сложной геометрии в рамках подхода И. Н. Векуа.

ГЛАВА 2. МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ НДС В ЗАДАЧАХ СТАТИКИ ОБОЛОЧЕК СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИИ.

§2.1. Прямой метод граничных элементов для определения параметров НДС изотропной оболочки сложной геометрии

§ 2.2. Матричная форма ГИУ.

§ 2.3. Методы интегрирования.

ГЛАВА 3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТЕСТОВЫХ ЗАДАЧ СТАТИКИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК МГЭ.

§3.1. Примеры решения тестовых задач определения пара -метров напряженно - деформированного состояния пластин и оболочек сложной геометрии МГЭ.

В настоящее время при решении задач статики пластин и оболочек сложной геометрии методом граничных элементов (МГЭ) имеются следующие трудности: невозможность построения фундаментального решения явного компактного аналитического вида для оболочек со сложной геометрией срединной поверхности; существенная сложность использования фундаментального решения оболочек частного вида (пологая оболочка положительной двоякой кривизны, цилиндрическая круговая оболочка) при численной реализации МГЭ из - за представления этого решения в виде рядов и специальных функций; высокий порядок сингулярности ядер интегральных уравнений, затрудняющий численное интегрирование граничных интегральных уравнений (ГИУ) на контуре и в угловых точках оболочки (метод компенсирующих нагрузок (МКН) для кирхгофовских пластин).

В настоящее время наиболее разработан МГЭ для определения параметров напряженно - деформированного состояния (НДС) кирхгофовских пластин со сложным очертанием контура срединной поверхности (МКН). Это, очевидно, объясняется наличием явного компактного аналитического вида фундаментальных решений разрешающих уравнений изгиба и обобщенного плоского напряженного состояния пластины.

Для пологих оболочек нулевой, положительной гауссовой кривизны применение МГЭ в задачах статики имеет следующие особенности:

МГЭ, в основном, используется при определении параметров НДС пологих цилиндрических и сферических оболочек со сложной геометрией контура; при вычислении МГЭ параметров НДС пологих оболочек положительной и отрицательной кривизны применяется итерационный метод, в основу которого кладется процедура выделения из разрешающих уравнений пологих оболочек оператора с известным фундаментальным решением (оператор бесконечной пластины, цилиндрической оболочки, сферической оболочки).

Принимая во внимание выше изложенное, можно заключить, что в настоящее время в области применения МГЭ для решения задач статики оболочек сложной геометрии остаются актуальными: проблема разработки единого метода построения интегрального представления решения разрешающих уравнений различных теорий оболочек сложной геометрии, который не имеет ограничений на пологость, знак кривизны оболочки, а также использует функцию влияния, имеющую конечное аналитическое представление; построение на основе этих интегральных представлений ГИУ, позволяющих с помощью МГЭ решать задачи статики оболочек со сложной геометрией контура и срединной поверхности;

Цель настоящей работы состоит в том, чтобы:

- на основе метода построения интегрального представления решения разрешающих уравнений теорий изотропных оболочек типа Тимошенко со сложной геометрией контура и срединной поверхности в рамках подхода И.Н. Векуа построить ГИУ для определения параметров НДС оболочек; на основе ГИУ построить разрешающие уравнения МГЭ расчета этих параметров; создать эффективный алгоритм расчета параметров НДС пластин и оболочек данного класса.

Научная новизна исследования и полученных результатов данной работы заключается в следующем: предложен новый метод получения ГИУ теорий оболочек типа

Тимошенко в рамках подхода И.Н. Векуа с использованием фундаментального решения трехмерной теории упругости - вектора Кельвина. Метод основан на разложении по полиномам Лежандра от нормальной координаты оболочки интегрального представления для искомого вектора перемещений как внутри объема оболочки, так и на ее боковой поверхности. Предлагаемый метод получения ГИУ теорий оболочек типа Тимошенко в рамках подхода И.Н. Векуа не требует построения фундаментального решения и обеспечивает построение интегральных уравнений 2-го рода; проведен анализ предельных свойств интегралов, применяемых при получении ГИУ, как в угловых, так и регулярных точках поверхности оболочки; на основе полученных ГИУ построена система разрешающих уравнений МГЭ тонкой или пологой оболочки для определения параметров НДС на контуре и срединной поверхности оболочки сложной геометрии; предложена процедура интегрирования по поверхности граничного элемента подынтегральных функций, содержащих в себе особенность; проведено комплексное исследование сходимости и достоверности разработанных алгоритмов решения задач статики и реализующих их пакетов программ для персональных компьютеров; на основе полученных новых ГИУ задач статики изотропных оболочек сложной геометрии МГЭ решен ряд новых задач по определению параметров НДС оболочек, проведено сравнение с аналитическими решениями и решениями полученными другими методами.

Достоверность научных результатов, представленных в работе, обеспечивается строгостью постановок задач и применяемых математических методов, анализом достоверности результатов численных экспериментов, полученных с помощью предложенного метода, контролем сходимости численных решений к аналитическим, сравнением с результатами расчетов задач, полученными другими методами.

Практическая ценность исследований обусловлена тем, что полученные в настоящей работе ГИУ и на их основе разрешающие уравнения МГЭ для решения задач статики оболочек сложной геометрии, разработанные и реализованные на ПЭВМ, могут быть использованы в качестве альтернативных МКЭ, разностному методу и др. Наличие альтернативных методов в практике численного решения прикладных задач механики деформируемого твердого тела позволит проводить сравнительный анализ результатов, полученных различными методами.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

1. Для решения задач статики изотропных оболочек сложной геометрии предложен метод получения новых форм ГИУ рассматриваемой в работе теории типа Тимошенко, основанный на разложении интегрального представления искомых векторов перемещений по полиномам Лежандра от нормальной координаты оболочки. Предлагаемый метод получения ГИУ для решения задач статики теории оболочек типа Тимошенко сложной геометрии в рамках подхода И.Н. Векуа обладает достаточной универсальностью, не требует построения фундаментального решения уравнений равновесия этой теории, а также обеспечивает построение интегральных уравнений 2-го рода для определения параметров НДС на контуре и срединной поверхности оболочки. В качестве сингулярных ядер в этих уравнениях выступают векторы перемещений и напряжений Кельвина и их моменты разложения по полиномам Лежандра. Перечисленные векторы имеют явный компактный аналитический вид.

2. В работе проведен анализ эквивалентности дифференциальной и интегральной постановок задачи определения параметров НДС тонких или пологих изотропных оболочек сложной геометрии. Показано, что в рамках предположений о геометрии оболочки множества векторов перемещений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям равновесия оболочки и их интегральным представлениям, эквивалентны для подхода И. Н. Векуа.

3. Проведено исследование предельных соотношений для сингулярных интегралов на боковой поверхности оболочки.

4. На основе полученных ГИУ построены разрешающие уравнения МГЭ для определения параметров НДС оболочек сложной геометрии.

5. Предложены схемы интегрирования функций влияния, входящих в поверхностные и контурные интегралы ГИУ.

-1576. Предложен специальный способ разбиения сингулярых интегралов на интегралы, имеющие слабую особенность, и интегралы, существующие в смысле главного значения по Коши, как в угловых так и регулярных точках поверхности оболочки.

7. Разработан эффективный алгоритм и создан пакет прикладных программ на ПЭВМ для численной реализации задач статики изотропных оболочек сложной геометрии.

8. С целью подтверждения возможности применения полученных новых форм ГИУ для решения задач статики изотропных оболочек сложной геометрии в работе МГЭ решены задачи по определению параметров НДС этих объектов, имеющие аналитическое решение или решенные другими методами. Из результатов следует, что полученные новые формы ГИУ и построенные на их основе разрешающие уравнения МГЭ позволяют решать задачи статики изотропных облочек сложной геометрии с удовлетворительной точностью.

1. Сидоров И. Н, Савинов В. И., Муштари А. И. Решение пространственных задач термоупругости и теплопроводности методом граничных элементов.// Тез. докл. на конф. КГТУ, посвящ, 50 летию НИЧ, Казань, 1994.

2. Сидоров И. Н., Сулейманов И. М. Решение задач статического деформирования изотропных оболочек сложной геометрии методом граничных элементов.// Тез. докл. на конф. КГТУ, посвящ, 50 летию НИЧ, Казань, 1994.