Статический изгиб и установившиеся колебания прямоугольных пластинок и пологих оболочек при локальных воздействиях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Сафонов Роман Анатольевич

Статический изгиб и установившиеся колебания прямоугольных пластинок и пологих оболочек при локальных воздействиях

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

3 УАЙ 2012

Саратов - 2012 005016156

005016156

Работа выполнена на кафедре математической теории упругости и биомеханики ФГБОУ ВПО "Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского".

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор,

Недорезов Пётр Феодосьевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Шашкин Александр Иванович (Воронеж, ВГУ)

доктор физико-математических наук, профессор Шляхов Станислав Михайлович (Саратов, СГТУ)

Ведущая организация: Институт проблем точной механики и управления РАН (Саратов)

Защита состоится "17' мая 2012 г. в 15:30 на заседании диссертационного совета Д 212.243.10 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского, по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, СГУ, 9 корп., 18 ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан » ¿ЛьЬ 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

к.ф.-м.н., доцент

/ Ю.В. Шевцова

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена решению задач статического и вибрационного изгиба идеально упругих и вязкоупругих тонких пластинок и оболочек при локальных нагрузках. Под локальными нагрузками понимаются нагрузки, которые распределены в узкой зоне в окрестности точки или некоторой произвольной кривой на одной из лицевых поверхностей. Для описания таких усилий предлагаются функции специального вида. Рассмотрение всех задач ведется в предположениях малости деформаций и справедливости гипотез Кирхгофа для пластин и гипотез Кирхгофа-Лява для оболочек.

Актуальность работы. Теория тонких пластин Кирхгофа сформировалась в XIX веке в работах Софи Жермен, Лагранжа, Коши, Пуассона, Кирхгофа и других авторов. В дальнейшем на основе аналогичных гипотез была построена теория тонких оболочек Кирхгофа-Лява. Развитие этих теорий тесно связано с трудами таких ученых, как С.А. Амбарцумян, В.З. Власов, Б.Г. Галеркин, А.Л. Гольденвейзер, С.Г. Лехницкий, А.И. Лурье, Р. Миндлин, Х.М. Муштари, В.В. Новожилов, Э. Рейсснер, С.П. Тимошенко, К.Ф. Черных и др.

Построенные теории впоследствии были обобщены на случаи пластинок и оболочек из материалов, обладающих анизотропными, вязкоупругими, пьезоэлектрическими и другими свойствами. Исследованию напряженно-деформированного состояния(НДС) таких элементов посвящены работы коллектива ученых Института механики HAH Украины: Я.М. Григоренко, М.Н. Бе-ренова, H.H. Крюкова и др. Ими также был предложен численный метод сплайн-коллокации, который применяется для решения широкого круга задач теории пластин и оболочек. Дальнейшее развитие метод получил в трудах ученых Саратовского государственного университета среди которых следует отметить П.Ф. Недорезова, Н.М. Сироткину и A.A. Барышева.

Во многих приложениях практически важное значение имеет расчет тонкостенных элементов конструкций под действием усилий, распределенных в узкой зоне вблизи точки либо некоторой кривой. Как правило, такие усилия рассматриваются как сосредоточенная сила либо усилия, распределенные вдоль кривой. Однако, поскольку сосредоточенная сила является математической абстракцией, полученные при таком подходе результаты могут иметь значительные отличия от экспериментальных данных. В работе для задания нагрузок, приложенных в узкой зоне вблизи точки или кривой предлагается использовать непрерывные функции специального вида. Возможно варьирование ширины зоны ненулевых нагрузок.

Рассмотренные в диссертационной работе задачи представляют интерес как с точки зрения фундаментальной науки, так и приложений. Теоретический интерес обусловлен тем, что предлагаемый в работе подход позволяет существенно расширить область применения метода сплайн-коллокации. Кроме этого, такой метод аппроксимации сосредоточенных усилий свободен от ряда недостатков, присущих традиционным методам.

С точки зрения приложений этот подход интересен тем, что он позволяет эффективно решать задачи статического и вибрационного изгиба пластин и оболочек при локальных усилиях, приложенных в окрестности точки или кривой произвольного вида.

Цели диссертационной работы.

• распространение метода сплайн-коллокации и его модификации на случаи статического и вибрационного изгиба идеально упругих и вязкоупру-гих пластинок и оболочек при локальных воздействиях для сложных способов закрепления контура;

• решение модельных задач для апробации используемой методики, сравнение результатов с известными теоретическими решениями и решением по методу конечных элементов;

• адаптация применяемой вычислительной методики для использования на вычислительном кластере для сокращения времени вычислений;

• проверка справедливости принципа Сен-Венана при замене сосредоточенной силы либо усилий, распределенных вдоль линии, на соответствующие локальные нагрузки при исследовании НДС тонких пластинок;

• оценки влияния стрелы подъема и отношения сторон на результаты решения задач статического изгиба и установившихся колебаний тонких открытых круговых цилиндрических оболочек, перекрывающих прямоугольный план;

• проведение сравнительного анализа влияния на значения резонансных частот гипотез пологости и сил инерции в тангенциальных направлениях при вибрационном изгибе оболочек.

Научная новизна. Все задачи, за исключением модельных, решены впервые. В результате вычислительных экспериментов обнаружен и исследован ряд механических эффектов и закономерностей. Проведен сравнительный анализ эффективности использования метода сплайн-коллокации и конечно-элементных пакетов.

Практическая значимость. Изложенная методика и полученные результаты представляют теоретический и практический интерес для механики, и могут использоваться при моделировании тонкостенных элементов и вибрационном анализе конструкций.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью использованных математических методов и хорошим совпадением результатов для модельных задач.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на

• конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (Саратов, 2006, 2007, 2008, 2009 гг),

• 2 Международном форуме (7 международной конференции) молодых ученых "Актуальные проблемы современной науки"(Самара, 2006 г.),

• Ежегодной Всероссийской научной школе-семинаре "Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине - 2008" (Саратов, 2008, 2009 гг.),

• Пятых Поляховских чтениях (Санкт-Петергург, 2009 г.),

• Седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2010 г.),

• Международной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики" (Воронеж, 2010 г.),

• X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011 г.),

• научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского под руководством д.ф.-м.н., проф. Коссовича Л.Ю.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

• методика численного исследования НДС тонких упругих и вязкоупругих пластинок и оболочек под действием локальных нагрузок с помощью метода сплайн-коллокации (классический и модифицированный варианты);

• результаты и выводы, сделанные по итогам вычислительных экспериментов по определению НДС и резонансных частот пластинок и оболочек;

• оценки влияния стрелы подъема оболочки на область применимости теории пологих оболочек и значимость учета сил инерции в тангенциальных направлениях.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных работах, из них 4 статьи в рецензируемых журналах [1, 7-9], 3 статьи в сборниках трудов конференций [2, 5, 6] и 2 статьи в сборниках научных трудов [3, 4].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитированной литературы. Материал работы изложен на 148 страницах, содержит 45 рисунков, 28 таблицы, список цитированной литературы содержит 132 наименований.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность выбора темы диссертации, сформулированы цели и задачи, дан краткий обзор публикаций по теории пластин и оболочек, теории вязкоупругости и численным методам, которые применяются для решения задач статики и установившихся колебаний тонких пластин и оболочек.

В первой главе рассмотрена постановка задачи статического изгиба и установившихся колебаний тонких пластинок из идеально упругого ортотроп-ного материала при действии локальных усилий в условиях справедливости гипотез Кирхгофа (рис. 1).

Разрешающее уравнение для случая установившихся колебаний пластинки из идеально упругого материала имеет вид

где £>1, £>2 и Бз - изгибные жестко-

сти пластинки, из - амплитуда прогиба пластинки, и> - частота внешней нагрузки, д(х, у) - амплитуда приложенных на лицевой поверхно-

х

Н

а

Рис. 1.

сти пластинки поперечных усилий

д (х, у, £) = q (ж, у) е^'1. Граничные условия определяются условиями заделки краев пластинки.

Если рассматривается статический изгиб пластинки, в уравнении (1) гц -прогиб точек срединной плоскости пластинки, а частота внешней нагрузки о/ полагается равной нулю, т.е. д(х, у, £) = ц{х, у).

Под локальными нагрузками понимаются усилия, приложенные в узкой зоне в окрестности точки либо кривой приложения нагрузки. Локальные нагрузки, приложенные в окрестности кривой /(х,у) = 0, предлагается задавать функцией

q (х, у) — С cosk

7Г f(x,y)

fmax ~ ШаХ |/ (ж, t/)| , (2)

(х,у)

_ 2 fmax

где к - достаточно большое число, определяющее скорость роста функции в зоне приложения нагрузки, С - нормирующий коэффициент, который определяется из условия

| q(x,y)dxdy - Q, (3)

(*■»)

где Q - равнодействующая внешней нагрузки. Интеграл берется по всей области пластинки.

Чтобы получить представление о характере изменения функций вида (2) в зоне ее ненулевых значений был рассмотрен частный случай

q (:г, у) = cos* (х - 0.5) . (4)

Графики этой функции при различных значениях показателя степени к представлены на рис. 2. При к = 100 и к = 500 зона ненулевых значений рассматриваемой функции имеет значительный размер, при больших значениях к (к = 5000, к — 10000) зона ненулевых значений сильно сужается.

0.8

0.6

0.4

0.2

О

О

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Рис. 2.

В работе приводится конкретный вид функции (2) для локальной нагрузки, приложенной в окрестности координатных линий, диагоналей пластинки, окружности и точки.

Уравнение (1) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода сплайн-коллокации в классическом либо модифицированном варианте. Соответствующая краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка решается численно методом дискретной ортогонализации С.К. Годунова.

При исследовании НДС тонких оболочек локальные нагрузки задавались аналогичным образом.

Во второй главе проводится численное исследование НДС идеально упругих пластинок, у которых две противоположные стороны заделаны. В этом случае численное решение задач статики и установившихся колебаний пластинки проводится классическим методом сплайн-коллокации.

Изложенный в первой главе подход использовался для численного исследования НДС пластинки с жестко заделанным и шарнирно опертым конту-

ром при локальных усилиях.

Результаты численного решения задачи статического изгиба тонкой стальной пластинки, загруженной локальной нагрузкой в окрестности ее центра при шарнирно опирании контура сравнивались с известным точным аналитическим решением (решением Навье для сосредоточенной силы). Поскольку эти задачи эквивалентны с точностью до принципа Сен-Венана при достаточно большом к, результаты их решения должны быть близки. В табл. 1 приводятся значения максимального прогиба пластинки при различных значениях отношения сторон пластинки с = а/Ь, - максимальный прогиб пластинки, полученный согласно решению Навье, гитах - максимальный прогиб пластинки, вычисленный методом сплайн-коллокации. Здесь и далее результаты численных расчетов приводятся для Д = 0.01 м, а — 1 м, <3 = 1 Н. В решении Навье при численных расчетах суммирование проводилось до 50-го члена ряда по каждой из переменных.

Таблица 1.

с к 0.2 0.5 1.0 2.0 5.0

т 111 10- -7 М - 9.239 9.018 6.333 2.255 0.370

Штах) 10" -7 М 1000 8.784 8.872 6.259 2.218 0.351

Штах! 10" -7 М 10000 9.040 8.854 6.220 2.213 0.361

При к = 1000 расхождение между решением Навье и методом сплайн-коллокации не превосходит 6%, а при к = 10000 - 3%.

Была также решена задача статического изгиба квадратной пластинки при нагружении ее локальными усилиями в окрестности окружности с центром в геометрическом центре пластинки. Рассмотрены случаи, когда контур пластинки жестко закреплен либо шарнирно оперт. Результаты решения этой задачи сравнивались с результатами, полученными с помощью конечно-эле-

ментного пакета Сотво1 для пластинки, загруженной усилиями, равномерно распределенными вдоль окружности. Как и в случае нагружения в окрестности центра пластинки, эти задачи эквивалентны с точностью до принципа Сен-Венана. При к = 500 расхождения между полученными результатами достигают 33%, при к = 1000 они снижаются до 20%, а при к = 5000 - до 8%.

Результаты, полученные в этой главе, опубликованы в работах [2, 3, 7, 8]

В третьей главе исследуется НДС пластинок, граничные условия которых не позволяют использовать классический метод сплайн-коллокации.

В случае пластинки, у которой края х = 0 и у = 0 свободны, а на двух других имеются условия жесткой заделки или шарнирного опирания, согласно модифицированному методу сплайн-коллокации прогиб ищется в виде

N

у) = <Р1 (У) щ (*). (5)

где <Р](у) - линейные комбинации В-сплайнов, тождественно удовлетворяющие граничным условим на крае у — Ь, ш^-(аг) - подлежащие определению функции. Представление (5) функции прогиба подставляется в основное уравнение (1) и записывается в точках коллокации у = у?, г = 0, N. В результате получается система обыкновенных дифференциальных уравнений, к которой

следует добавить уравнения

2 2

щ = с?Ц (*) + £ с^Ц (х), 1= -2, -1, (6)

¿=о ¿=-2

полученные подстановкой представления (5) в граничные условия на крае у = 0, и - известные коэффициенты. Уравнения (6) позволяют замкнуть основную систему уравнений и исключить из нее старшие производные функций го_2, ги~ 1- Итоговая система из 4N + 8 уравнений записывается

в векторном виде

У = А У + В,

(7)

где У - вектор-столбец неизвестных, компонентами которого являются функции ъи^х), (г = О, ./V) и их производные до третьего порядка включительно, а так же функций го_2, IV-I и их первые производные, А и В - матрица коэффициентов системы и вектор-столбец свободных членов, соответственно. Уравнение (7) вместе с граничными условиями на краях х = 0 и х — а составляет краевую задачу для определения функций ии^х), которая решается численно методом дискретной ортогонализации С.К. Годунова.

Были решены задачи статического изгиба пластинки при жесткой заделке и шарнирном подкреплении краев х = а и у = Ь под действием нагрузки, приложенной в окрестности геометрического центра пластинки, общей точки свободных краев, диагонали пластинки и окружности с центром в геометрическом центре пластинки. Схемы загружения пластинки представлены на рис. 3. В качестве материала пластинки рассматривались сталь и ортотроп-ные материалы (АГ-4 С и дельта-древесина). Отдельно исследовались случаи, когда точка х = а, у = Ъ свободна или подкреплена шарниром.

У

О

О Рис. 3.

Задача изгиба пластинки под действием приложенной в окрестности общей точки свободных краев локальной нагрузки эквивалентна с точностью до принципа Сен-Венана задаче с приложенной в этой же точке сосредоточенной силе. Расхождение между результатами решения этих задач как при жесткой заделке краев х = а и у = Ь, так и при их шарнирном опирании не превосходит 5%, если к = 1000.

Для указанных способов закрепления пластинки исследованы также установившиеся колебания. В табл. 2 приведены значения первых трех резонансных частот пластинки при жестком закреплении заделанных краев под действием локальной нагрузки, приложенной в окрестности общей точки свободных краев. Вид резонансных форм колебаний для этих частот при с = 1 представлен для изотропной пластинки на рис. 4 и для пластинки из материала АГ-4 С на рис. 5.

Таблица 2.

с АГ-4 С дельта-древесина сталь

<*>1 о;3 Ш2 и>3 ш3

0.2 4.7 14.9 27.4 4.0 23.1 36.4 55.3 67.3 90.4

0.5 12.0 44.8 101.8 10.2 37.7 85.3 65.6 139.3 281.1

1.0 24.6 125.2 165.5 20.8 104.9 216.8 106.0 407.4 730.1

2.0 49.0 209.4 431.0 41.8 242.3 358.6 262.3 557.3 1124.7

5.0 119.9 396.2 775.8 101.3 375.8 846.1 1382.0 1683.7 2261.0

Рис. 4.

х ^^ х

Рис. 5.

При первой резонансной частоте анизотропия оказывает слабое влияние на форму колебаний пластинки, а для второй и особенно третьей резонансной частоты формы колебаний анизотропной пластинки качественно отличаются от таковых в случае изотропной пластинки.

В работе приведены численные результаты и графики для случая шар-нирно подкрепленных краев х = а и у = Ь.

В случае консольной пластинки решение задач статического и вибрационного изгиба выполняется аналогично. Функция прогиба ищется в виде

ЛГ+2

\У(х,у) = (8)

3=-2

В уравнениях (6) г = —2, —+ а итоговая система в нормальной форме Коши состоит из 4./У +12 уравнений и в векторной форме может быть записана в виде (8). В этом случае компонентами вектора У кроме перечисленных выше являются также функции и>м+1, «?лг+2 и их первые производные.

Численное решение задач статического изгиба консольной пластинки из тех же материалов проводилось при нагружении вдоль свободного края, вблизи точки пересечения двух свободных краев и вдоль диагонали пластинки (рис. 6). Результаты, полученные для случаев изотропных и анизотропных пластинок при нагружении в окрестности свободного края и общей точки свободных краев, сравнивались с результатами решения соответствующих задач, эквивалентных исходным с точностью до принципа Сен-Венана. Вычислительные эксперименты показали, что при к = 1000 различие этих результатов составляет менее 2%. Соответствующие результаты приведены в тексте диссертации.

Основные результаты, полученные в этой главе, опубликованы в работах [3, 5-7].

В четвертой главе рассмотрены задачи установившихся колебаний под действием локальной нагрузки тонких прямоугольных пластинок из вязко-

упругого материала, для которого уравнения состояния имеют вид

*

О-х (£) = 2 | +

-00

t

'W= J Kit-^ExydT,

/£"(s) - ядро интегрального оператора, i/ = const.

Для всех характеристик НДС принимается гармонический закон изменения по времени:

2

Z (х, y,t)=J2 Z{k) {х, у) cos {к - 1) - ut) , (10)

к=1

где ш - частота внешней нагрузки.

Задача определения амплитуды прогиба w = \J(ut^)2 + (w<2))2 при установившихся колебаниях вязкоупругой пластинки сводится к решению краевой задачи для системы уравнений

+2с2^++ (-d v Е (г) = (11)

= (-1)*~Ч«(*,у), к = 1,2,

при граничных условиях, определяемых условиями заделки краев пластинки. В уравнениях (11) 6к = ph2dk, dk = 12 (l — i/2) £ = Ei + iE2 = 00 12 f К (s) elusds - комплексный модуль материала, = —E\, и - коэффициент о

Пуассона, р - плотность материала пластинки.

Были решены задачи установившихся колебаний для пластинки с двумя смежными свободными сторонами и консольной пластинки из материала ЭД-б МА. Понижение размерности поставленной задачи проводится с помощью модифицированного метода сплайн-коллокации аналогично случаю идеально упругого материала.

В табл. 3 приводятся значения критических частот вязкоупругой пластинки, два смежных края которой свободны, а два других жестко заделаны. Вибрационная локальная нагрузка приложена в окрестности общей точки

свободных краев (к = 1000).

Таблица 3.

N. ° 0.2 0.5 1.0 2.0 5.0

из1 16.5 19.5 31.0 77.5 106.0

Ш2 36.0 40.5 106.0 161.5 157.0

Ш3 66.0 82.0 214.0 328.5 414.5

Графики форм колебаний квадратной пластинки при первых трех критических частотах п на рис. 7 и 8 для к/1' и ги(2\ соответственно.

Рис. 8.

Отметим, что амплитуды прогиба и всех характеристик НДС вязкоупру-гой пластинки при критических частотах остаются конечными, тогда как для

пластинок из идеально упругого материала при резонансных частотах значения всех характеристик НДС становятся бесконечно большими.

В диссертационной работе приведены соответствующие результаты для консольной пластинки.

Результаты опубликованы в работах [1, 4, 7].

Пятая глава посвящена задачам статического изгиба и установившихся колебаний идеально упругих тонких круговых цилиндрических оболочек, перекрывающих прямоугольный план, с жесткой заделкой всего контура (рис. 9).

Система разрешающих уравнений для тонкой оболочки при условиях справедливости гипотез Кирхгофа-Лява для случая установившихся колебаний имеет вид

Ьпи + Ьпь + ¿13«; = -Х0,

ЬцП + + Ьг з«> = -У0, (12)

Ьг\и + + ¿ззго - —2Ь, где и, V и и> - амплитуды перемещений точки срединной поверхности оболочки, Хо, Го, г0 - компоненты амплитуды внешней нагрузки. Выражения коэффициентов Ьц, которые определяются геометрией, физическими свойствами материала оболочки и частотой внешней нагрузки, с учетом и без учета тангенциальных сил инерции, а так же для случая пологих оболочек, приведены в работе.

При статическом изгибе в уравнениях (12) и, V и го - компоненты вектора перемещений точки на срединной поверхности оболочки Хо, Уо, 2о -внешняя нагрузка. Частота внешней нагрузки и, входящая в выражения для коэффициентов полагается равной нулю.

Решение краевой задачи для системы (12) с граничными условиями жест-

кой заделки на контуре оболочки проводилось с помощью классического варианта метода сплайн-коллокации. Для аппроксимации прогиба оболочки использовались В-сплайны пятого порядка а тангенциальные перемещения представлялись как линейная комбинация В-сплайнов третьего порядка

N N N

= Е ъ ^ (°о.«= Е ^ о®) ^ (")•«=Е ^ 08) ^ и • (13)

1=0 ;=о

Полученная в результате подстановки (13) в (12) система, приведенная

к нормальной форме Коши, состоит из 8N + 8 уравнений первого порядка. Соответствующая краевая задача для этой системы также решалась численно методом дискретной ортогонализации С.К. Годунова. Следует отметить, что система уравнений, полученная методом сплайн-коллокации для оболочек является более жесткой, чем соответствующая система для пластинок. В связи с этим при использовании метода С.К. Годунова приходится повышать число точек ортогонализации, что ведет к увеличению времени вычислений.

В качестве конкретных примеров в работе рассмотрен статический изгиб оболочки под действием локальных усилий, приложенных в окрестности ее геометрического центра, а также а- и /?-линий.

Была также решена задача установившихся колебаний под действием нагрузки, приложенной в окрестности геометрического центра плана оболочки. Для этой задачи были найдены первые три резонансные частоты. Определение частот было выполнено для четырех вариантов теории оболочек: классическая теория с учетом сил инерции в тангенциальных направлениях, классическая теория без учета сил инерции в тангенциальных направлениях и теория пологих оболочек с учетом и без учета тангенциальных сил инерции. Исследовано влияние на характеристики НДС и резонансные частоты величины стрелы подъема 6. Было установлено, что резонансные формы колебаний и форма изогнутой срединной поверхности оболочки имеют качественные от-

линия от резонансных форм колебаний и срединной плоскости пластинки при тех же граничных условиях и том же способе нагружения даже при небольших значениях стрелы подъема. Подробные результаты расчетов приведены в диссертационной работе.

Результаты опубликованы в работах [7, 9]

Основные результаты и выводы

1. Предложен вариант описания приложенных в окрестности точки или кривой локальных усилий, свободный от ряда недостатков, присущих ранее применявшимся способам. Заданные таким образом усилия описывают реально действующие на конструкции нагрузки более физично, чем при использовании концепции сосредоточенных сил или усилий, распределенных вдоль линии. В пределе, при к —»■ оо, такие усилия переходят в нагрузку, которая обычно трактуется как сосредоточенная в точке сила или усилия, распределенные вдоль некоторой кривой.

2. Поставлены и решены задачи статического и вибрационного изгиба при локальных воздействиях идеально упругих и вязкоупругих прямоугольных пластинок и круговых цилиндрических оболочек открытого профиля, перекрывающих прямоугольный план. В задачах статического и вибрационного изгиба идеально упругих пластинок исследовано влияние анизотропии на НДС, значения резонансных частот и резонансные формы колебаний. Показано, что в рассмотренных случаях влияние анизотропии на первую резонансную форму колебаний невелико, однако оно сильно проявляется при более высоких частотах.

3. Выполнена оценка справедливости принципа Сен-Венана при замене сосредоточенных усилий и усилий, распределенных вдоль линии, на локальные нагрузки. Показано, что с помощью выбора параметра к расхожде-

ния между результатами решения этих задач можно снизить до достаточно небольших значений (2-5%).

4. В случаях статического и вибрационного изгиба проведена оценка наибольшего относительного значения стрелы подъема открытой цилиндрической оболочки, перекрывающей прямоугольный план, ири котором можно пользоваться гипотезами пологости. Результаты, полученные при использовании гипотез пологости для рассматриваемой оболочки при жесткой заделке контура не имеют существенных отличий от классической теории при относительных значениях стрелы подъема не превышающих 5/Я < 0.3.

5. Показано, что силы инерции в тангенциальных направлениях при исследовании установившихся колебаний оболочек не оказывают существенного влияния на значения резонансных частот при 6/11 < 0.3.

6. Установлено, что форма изогнутой срединной поверхности и резонансные формы колебаний оболочки при очень малых значениях стрелы подъема (6/Я < 0.1) качественно подобны форме изогнутой срединной плоскости и резонансным формам колебаний пластинки. При более высоких значениях стрелы подъема между формами изогнутой срединной поверхности и резонансными формами колебаний пластинок и оболочек наблюдаются существенные качественные и количественные отличия.

7. Проведена адаптация методики численного вычисления резонансных частот пластинок и оболочек на основе метода сплайн-коллокации для применения на вычислительном кластере.

Публикации

[1] Недорезов, П. Ф. Модифицированный метод сплайн-коллокации в задачах о колебаниях тонкой прямоугольной вязкоупругой пластинки / П. Ф. Недо-

резов, О. М. Ромакина, Р. А. Сафонов // Изв. Саратовского гос. ун-та. Серия Математика. Механика. Информатика. — 2010.— Т. 10, № 3. -С. 59-64.

[2] Сафонов, Р. А. Численное решение некоторых задач статического изгиба прямоугольных пластин под действием локальной нагрузки / Р. А. Сафонов // Математика. Механика: Сб. науч. тр. — Изд-во Сарат. ун-та.,

2009.- И.-С. 133-136.

[3] Сафонов, Р. А. Статический изгиб ортотропной прямоугольной пластинки при локальных воздействиях. / Р. А. Сафонов // Механика деформируемых сред: межвуз. науч. сб. Вып. 16. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та.,

2010.- С. 93-96.

[4] Сафонов, Р. А. Установившиеся колебания вязкоупругой пластинки при локальных воздействиях / Р. А. Сафонов // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: сб. науч. тр. — СГТУ, 2010. - С. 109-113.

[5] Сафонов, Р. А. Численное исследовалие статического изгиба прямоугольной пластинки под действием локальной нагрузки / Р. А. Сафонов // Математическое моделирование и краевые задачи:Труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 1: Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций. - Самара: СамГТУ, 2010. - С. 318-321.

[6] Сафонов, Р. А. Численное исследование установившихся колебаний прямоугольной ортотропной пластинки при локальных воздействиях / Р. А. Сафонов // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: Сб. трудов Междун. конф. — Воронеж: Издательско-полигра-фический центр ВГУ, 2010. - С. 325-328.

22

[7] Сафонов, Р. А. Статический изгиб и установившиеся колебания тонких прямоугольных пластинок и цилиндрических оболочек при локальных нагрузках / Р. А. Сафонов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. — 2011. — № 4, Ч. 4.- С. 1753-1755.

[8] Сафонов, Р. А. Численное исследование статического изгиба пластинок при локальных воздействиях вдоль кривых сложного вида / Р. А. Сафонов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. пауки. — 2011. —Т. 4(25).-С. 183-187.

[9| Сафонов, Р. А. Численное решение задач статического изгиба и установившихся колебаний тонких цилиндрических оболочек при локальных воздействиях / Р. А. Сафонов // Изо. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2011. — Т. И, № 1. — С. 95-99.

2 7>.

Выражаю глубокую благодарность научному руководителю Недорезову Петру Феодосьевичу, а также Кирилловой Ирине Васильевне и Барышеву Андрею Алексеевичу.

САФОНОВ Роман Анатольевич

СТАТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ И УСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ЛОКАЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 13.04.12. Формат 60x84 1/16. Печать RISO. Объем 1 п. л. Тираж 100 экз. Гарнитура Times. Отпечатано на ризографе Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83.

ФГБОУ ВПО "Саратовский государственный университет имени

Н. Г. Чернышевского"

61 12-1/974

На правах рукописи

Сафонов Роман Анатольевич

Статический изгиб и установившиеся колебания прямоугольных пластинок и пологих оболочек при локальных воздействиях

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор

Недорезов Пётр Феодосьевич

Саратов - 2012

Содержание

Введение ................................... 5

Глава 1. Постановка задачи статического изгиба и установившихся колебаний прямоугольных идеально упругих пластинок при локальных нагрузках....................18

1.1. Постановка задачи..........................18

1.2. Аппроксимация сосредоточенных нагрузок............21

Глава 2. Численное исследование НДС упругих пластинок с двумя закрепленными противоположными сторонами .... 26

2.1. Метод сплайн-коллокации в задачах статического и вибрационного изгиба пластинок при закреплении двух противоположных сторон..............................26

2.2. Результаты численного решения задачи статического изгиба пластинки с шарнирно опертым контуром при локальном воздействии в окрестности точки...................30

2.3. Статический изгиб изотропной пластинки при нагружении вдоль окружности..........................33

Глава 3. Применение модифицированного метода сплайн-коллокации в задачах статики и колебаний упругих пластинок

при сложных закреплениях контура................36

3.1. Пластинка с двумя смежными свободными краями.......36

3.1.1. Численное решение задачи.................37

3.1.2. Численное определение резонансных частот пластинки

при установившихся колебаниях .............40

3.1.3. Результаты численного решения задач статического изгиба пластинки.......................42

3.1.4. Результаты численного решения задач статического изгиба пластинки. Нагружение вдоль диагоналей......48

3.1.5. Численное решение задачи установившихся колебаний . 54

3.2. Консольная пластинка .......................60

3.2.1. Алгоритм численного решения ..............60

3.2.2. Численное решение задачи статического изгиба изотропной пластинки.....................68

3.2.3. Численное решение задачи установившихся колебаний пластинки..........................73

3.3. Применение конечноэлементного пакета Апвуз для численного решения задачи статического изгиба изотропной пластинки . . 80

Глава 4. Вынужденные колебания вязкоупругих пластинок при локальных воздействиях [78, 94] ...............84

4.1. Постановка задачи установившихся колебаний вязкоупругих пластинок. Основные уравнения..................84

4.2. Пластинка с двумя смежными свободными сторонами.....86

4.2.1. Численное решение задачи.................86

4.2.2. Результаты численного решения задачи.........89

4.3. Консольная пластинка.......................93

4.3.1. Численное решение задачи.................93

4.3.2. Результаты численного решения задачи.........97

Глава 5. Статический изгиб и вынужденные колебания круговых цилиндрических оболочек открытого профиля [97, 99] . 102 5.1. Постановка задачи..........................102

5.2. Численное решение задачи статического изгиба открытой цилиндрической оболочки.......................107

5.3. Результаты численного решения задачи статического изгиба открытой цилиндрической оболочки................111

5.4. Результаты численного решения задачи установившихся колебаний оболочки ...........................121

Основные результаты и выводы........ ............130

Литература..................................132

Введение

Актуальность работы.

Теория тонких пластинок и оболочек имеет важное практическое значение и применяется при расчетах различных элементов конструкций и деталей механизмов и машин. Элементы этой теории находят применение в строительстве, машиностроении и многих других отраслях человеческой деятельности.

Теория тонких пластин сформировалась в XIX веке и получила развитие в работах Софи Жермен, Лагранжа, Коши, Пуассона, Кирхгофа и др. Существовали два основных подхода к выводу уравнений теории пластин - метод Коши-Пуассона и метод Кирхгофа. В работах Коши [112] и Пуассона [119] использовалось разложение составляющих НДС пластинки в ряд по толщинной координате с удержанием первых слагаемых. Утверждалось, что удержание большего количества слагаемых приведет к построению более точной теории, и, таким образом, этот метод является универсальным для создания теории пластин любой степени точности. Однако в ряде трудов высказывались сомнения в сходимости построенных таким методом рядов [113]. Кроме того, возникали споры относительно количества необходимых граничных условий.

Метод Кирхгофа [115, 116] построения теории пластин основывается на введении ряда предположений относительно распределения внутренних усилий по толщине пластинки, аналогичных предположениям существующей теории балок. Исходя из гипотез недеформированных нормалей к срединной плоскости и малости нормальных напряжений на площадках, параллельных срединной плоскости, удалось построить наглядную и достаточно эффективную теорию, изложение которой приводится в работах Амбарцумяна С.А. [2], Галеркина Б.Г. [26], Лехницкого С.Г. [62], Тимошенко С.П. [102] и других авторов.

В конце XIX века на основе гипотез, аналогичных гипотезам Кирхгофа

для пластин, была построена теория тонких оболочек. Предположения, принятые в этой теории, получили название гипотез Кирхгофа-Лява [110, 118]. Дальнейшее развитие теории оболочек тесно связано с трудами Амбарцумя-на С.А. [1], Власова В.З. [22-24], Вольмира A.C. [25], Галеркина Б.Г. [26], Гольденвейзера A.JI. [32], Кильчевского H.A. [58, 59], Лурье А.И. [63, 64], Лява А. [66], Миндлина Р.Д.[69], Муштари Х.М.[70, 71], Новожилова В.В.[80, 81], Рейсснера Э.[120-124], Тимошенко С.П.[102, 103], Черных К.Ф.[80] и других авторов. Был разработан ряд частных теорий оболочек, описывающих различные эффекты и отличающихся друг от друга учетом или игнорированием малых слагаемых, имеющих различный физический смысл. Кроме этого, были построены различные варианты уточненных теорий оболочек, применяемые для расчета толстых оболочек и оболочек при конечных перемещениях.

Построенные теории для описания тонкостенных элементов позволяют исследовать пластинки и оболочки, материал которых обладает анизотропными, вязкоупругими, пьезоэлектрическими, термоупругими и другими свойствами. В последнее время вышло много работ, посвященных исследованию НДС вязкоупругих пластин и оболочек [39, 50, 51, 55, 56, 60, 61, 65, 84, 109]

Теория вязкоупругости сформировалась в середине XX века, хотя некоторые закономерности поведения вязкоупругих материалов были известны еще в середине XIX века. Эффект ползучести деформаций был впервые обнаружен Вика [130], Вебером [132] и Кольраушем [117]. Больцман впервые сформулировал предположение о зависимости деформации в данный момент времени от всего процесса нагружения [111]. Им же были записаны уравнения трехмерной теории вязкоупругости, которые впоследствии были обобщены на случай анизотропного тела В. Вольтерра [131].

Методам решения задач теории вязкоупругости посвящены труды Мал-мейстера А.К. [67], Работнова Ю.Н. [83, 84], Ржаницына А.Н. [86], Савина Г.Н. [90, 91], Дж. Ферри [104] и др. Поскольку характерной особенностью

вязкоупругих тел является способность к рассеянию энергии, появилась необходимость создания теории, учитывающей саморазогрев конструкции при длительных или периодических нагрузках. Одними из первых работ в этой области являются статьи Галина J1.A. [27], Ратнера С.Б. и Коробова В.И. [85], а так же Шепери P.A. [107, 108]. Последовательное изложение теории термо-вязкоупругости приведено в монографии Ильюшина A.A. и Победри Б.Е. [46].

Большое значение для развития теории вязкоупругости и термовязко-упругости имели работы коллектива ученых Института механики Академии Наук Украины. Ими был опубликован ряд работ по исследованию колебаний вязкоупругих балок и стержней [28, 29, 125-129], тонкостенных элементов конструкций [82], а также по исследованию электротермовязкоупруго-сти [49, 50, 53]. Основные результаты исследований обобщены в фундаментальных монографиях [47, 48, 51, 52, 54].

Поскольку краевые задачи теории пластин и оболочек имеют довольно сложный вид, построить их точное аналитическое решение обычно не представляется возможным. Чаще всего решение таких задач проводится приближенно в аналитическом либо численном виде. С развитием вычислительной техники применение численных методов для этих целей приобрело особую актуальность.

Для численного решения задач теории пластин и оболочек чаще всего используются следующие методы:

• метод сеток [18]

Данный метод широко применялся в тот период, когда численные расчеты проводились вручную, либо вычислительных мощностей существующих ЭВМ было недостаточно для применения других вычислительных методов. Часто задача решалась на вычислительной сетке, имеющей менее десяти узлов по каждому направлению. В качестве примера

применения метода сеток можно привести работы [15, 16], в которых рассматриваются задачи изгиба параллелограммных пластинок. При использовании сеток с большим числом узлов размерность разрешающей системы уравнений сильно возрастает, причем разрешающая система уравнений в таких задачах зачастую обладает плохой сходимостью. Поэтому при решении задач на сетках большой размерности предпочтительнее пользоваться другими численными методами.

• метод конечных элементов (МКЭ) [68, 87, 100]

Пожалуй, наиболее распространенным численным методом, применяемым для решения задач механики, является метод конечных элементов. Этот метод способен работать с телами произвольной формы и различными видами граничных условий на поверхности тела. К сожалению, этот метод также не лишен недостатков. Среди таковых можно отметить сложность реализации метода, большое число факторов, влияющих на точность вычислений, необходимость использования мощной вычислительной техники и большие объемы вычислений.

Одной из основных проблем, возникающих при реализации МКЭ, особенно при сложной геометрии исследуемого тела, является построение качественной триангуляции, т.е. разбиения тела на достаточно маленькие объемы, внутри которых вид искомых функций считается известным. Поскольку качественное построение триангуляции имеет решающее значение для точности вычислений, этот вопрос требует особого внимания. Алгоритмы, необходимые для построения качественной триангуляции, весьма сложны в реализации.

Существует ряд реализаций метода конечных элементов в виде коммерческих и свободно распространяемых программных продуктов и библиотек. Среди свободных реализаций МКЭ можно отметить программные

пакеты FreeFem, Calculix, Code Aster, Elmer, Impact и др. К сожалению, возможности свободно распространяемых реализаций МКЭ как правило не сопоставимы с их коммерческими аналогами, такими как Ansys, Comsol Multiphysics, Abaqus, Adina и т.п.

В качестве примера применения МКЭ для решения задач изгиба тонкостенных конструкций можно привести работы [20, 21] (задачи теории пологих оболочек), и [57] (нелинейные задач теории пластин).

Несмотря на большое количество существующих программных пакетов, реализующих метод конечных элементов, зачастую его применение связано с рядом проблем. Для пользователя типичный конечноэлементный пакет представляется "черным ящиком" с рядом доступных для изменения параметров, причем в документации редко бывают указаны все существующие параметры и их возможные значения. Постановка задачи в конечноэлементном пакете включает в себя не только математическую формулировку задачи механики, но также задание набора настроек, определяющих ход численного решения задачи. Наиболее распространенными из таких параметров являются характеристики размера элементов триангуляции, алгоритм численного решения полученной в результате применения метода конечных элементов разрешающей системы уравнений (solver, preconditioner), вид функции элементов и т.д. Кроме этого, ряд решателей (solver) требует задать дополнительные параметры. Выбор всех этих настроек оказывает большое влияние на точность полученного решения. К сожалению, имеется лишь ряд соображений общего плана относительно выбора этих параметров, и не существует универсального алгоритма для их определения. Таким образом, применение метода конечных элементов в каждой конкретной задаче осложняется выбором ряда параметров, обеспечивающих приемлемую

точность решения за разумное время.

• метод граничных элементов [5, 17]

Согласно методу граничных элементов, решение исходной задачи аппроксимируется линейной комбинацией фундаментальной системы решений, построенной для уравнений задачи. Коэффициенты линейной комбинации определяются из граничных условий. Таким образом, после построения фундаментальной системы решений для системы разрешающих уравнений решение задачи фактически сводится к решению другой задачи на границе рассматриваемой области. Поскольку размерность полученной таким образом задачи на единицу меньше, чем у исходной и система фундаментальных решений зачастую имеет физический смысл, применять метод граничных элементов в ряде случаев предпочтительнее, чем МКЭ. Для некоторых задач механики твердого тела, в частности, для задач теории упругости и теории тонких пластин, фундаментальные решения имеют достаточно простой вид, а для других задач, например, теории пологих оболочек, построение фундаментальной системы решений весьма затруднительно.

В качестве примеров применения метода граничных элементов можно привести работу [19], где рассматриваются изотропные пластинки на упругом основании специального вида, а в [114] этим методом решаются задачи для пластинок из вязкоупругого материала.

• метод сплайн-коллокации

Метод сплайн-коллокации применяется для решения широкого круга задач теории пластин и оболочек. Среди преимуществ этого метода следует отметить высокую точность, простоту реализации, небольшое количество параметров и достаточно высокую вычислительную эффек-

тивность. Его недостатками являются сложность применения при исследовании тела произвольной формы и ряд ограничений на граничные условия.

Метод сплайн-коллокации был, по-видимому, впервые использован для решения задач теории пластин в работе [34]. В [35] этим методом решались задачи теории пологих оболочек. В работах [37, 105] проводится решение задач теории оболочек с учетом температуры. Пример расчета оболочки в уточенной постановке приведен в [38]. В работе [36] содержится весьма подробный обзор применения метода сплайн-коллокации к решению различных задач теории пластин и оболочек.

Дальнейшее развитие метод получил в трудах ученых Саратовского государственного университета среди которых следует отметить П.Ф. Недорезова, Н.М. Сироткину и A.A. Барышева. В работе [79] предлагается модификация метода сплайн-коллокации, значительно расширяющая диапазон возможных граничных условий. Этот вариант метода был использован для решения ряда задач по исследованию орто-тропных пластинок [88, 89, 106], толстой пластинки из упруго-наследственного материала [73-75], толстой анизотропной пластинки [76]. В работе [77] с помощью метода сплайн-коллокации был проведен расчет толстой изотропной пластинки как трехмерного упругого тела и выявлен ряд нелинейных эффектов, не учитывающихся теорией Кирхгофа для тонких пластин. Использование метода сплайн-коллокации для решения задач поперечных колебаний вязкоупругой пластинки и пластинки-полосы можно найти в серии работ [7-14].

Особый интерес всегда вызывали задачи изгиба пластинок и оболочек под действием сосредоточенных в точке или вдоль линии усилиях. Ряд численных методов, например метод конечных элементов, способен учитывать

нагрузки такого вида. Для применения других методов требуется сначала провести замену этих усилий на распределенные нагрузки, эквивалентные исходным с точностью до принципа Сен-Венана, воспользоваться разложением сосредоточенных нагрузок в ряд либо использовать какой-то другой математический прием.

В теории пластин и оболочек много работ посвящено расчету элементов конструкций при локальных воздействиях. Обычно в таких случаях для описания локальной нагрузки применяется ступенчатая кусочно-постоянная функция. В случае линейной задачи, для ее решения можно использовать разложение этой функции в ряд Фурье

Исходная задача решается для нагрузки, соответствующей каждому из членов ряда. Решение получается как суперпозиция полученных результатов. При таком подходе необходимо также доказать сходимость построенного ряда. В том случае, если для решения задачи применяются численные методы, необходимо решить исходную задачу для нескольких вариантов нагрузки, соответствующих первым членам ряда.

В качестве примеров решения задач статического и вибрацонного изгиба пластинок и оболочек при локальных нагрузках с использованием дельта-функций можно взять работы [3, 4, б, 30]. В работах [40, 42-44] рассмотрены примеры решения задач для оболочек при локальных воздей�