Модифицированный метод сплайн-коллокации в задачах статики и динамики тонких пластин при произвольных граничных условиях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Ромакина Оксана Михайловна

Модифицированный метод сплайн-коллокации в задачах статики и динамики тонких пластин при произвольных граничных условиях

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

-В НОЙ 2012

005054590

_

Саратов 2012

005054590

Работа выполнена на кафедре математической теории упругости и биомеханик ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского».

Научный руководитель:

доктор технических наук профессор Недорезов Петр Феодосьевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор Козлов Владимир Анатольевич (Воронеж, ВТ АСУ)

доктор физико-математических наук профессор Шляхов Станислав Михайлович

Ведущая организация:

Институт проблем точной механики и управления РАН (Саратов)

Защита состоится 115» ноября 2012 г. в 15ой на заседании диссертационно! совета Д 212.243.10 при Саратовском государственном университете им. Н.. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 88, СГУ, корп., 18 ауд

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке Сар товского государственного университета.

(Саратов, СГТУ)

Автореферат разослан «.

2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета к. ф.-м. п., доцент

Шевцова Ю.1

/

ущая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена разработке модифицированного метода глайн-коллокации для решения задач статического изгиба и установившихся ко-;бапий токих идеально упругих и вязкоупругих пластин при различных условиях скрепления или нагружения контура пластины. В рамках предлагаемой модифи-щии на граничные условия накладывается единственное ограничение - их вид пределах каждой из сторон контура остается неизменным.

Актуальность работы.

Начало теории пластин и стержней положили работы великих математиков, зученисм деформации стержней занимались Я. Бернулли, Л. Эйлер, Д. Бернул-I. Уравнение изгиба пластины было получено С. Жермен, а Г. Кирхгоф и А. зн-Венан окончательно сформулировали идею понижения размерности. Изучено уравнений теории анизотропных пластинок посвящены работы С.Г. Лехпиц->го. Случай изотропных пластинок рассматривается в работах Б.Г. Галеркина С.П. Тимошенко. В статьях М.М. Фридмана были получены решения задач об ¡гибе различных изотропных пластинок. Теории пластин и оболочек посвящены ,кже монографии С.А.Амбарцумяна, А.Л. Гольденвейзера. В работах Тимошен-I и Войновского-Кригера основное внимание уделяется решению конкретных за-14 об упругих деформациях пластинок и оболочек. Здесь проводится различие жду тонкими пластинками, подвергающимся малым, в сравнении с толщиной [астинки, прогибам, и тонкими пластинками, подвергающимся большим проги-м. Чтобы вычислить напряжение для любой точки пластинки первого типа обходимо решить дифференциальное уравнение в частных производных, кото->е вместе с граничными условиями определяет прогиб пластинки, являющийся дикцией двух координат в се плоскости. Для таких пластинок разных геометри-ских форм рассмотрены изгибы по цилиндрической поверхности, чистый изгиб, мметричный изгиб, поперечные нагрузки, различные условия опирания по кра-ц также описывается изгиб анизотропной пластинки.

В настоящее время усилиями многих поколений ученых построены различные ории, описывающие напряженно-деформированное состояние тонкостенных кон-оукций, и разработаны эффективные методы их расчета. Несмотря на то, что

достигнуты значительные успехи в развитии теории и разработке приближены методов решения различных прикладных задач, круг проблем, требующих свое разрешения, по-прежнему обширен.

Одной из актуальных является проблема, связанная с разработкой таких щ ближенных методов решения краевых задач теории пластин, которые были ( универсальны, эффективны и не слишком требовательны к машинным ресурс; при реализации.

Цели диссертационной работы.

• Разработка модифицированного метода сплайн-коллокации для решения : дач статического изгиба и установившихся колебаний идеально упругих вязкоупругих прямоугольных пластинок при сложных способах закреп, пня контура.

• Решение модельных задач для апробации разработанной методики, срав! ние результатов с известными аналитическими решениями.

• Решение различных задач при нестандартных условиях закрепления (п. стинка с двумя смежными закрепленными сторонами, консольная пласт! ка, пластинка, подкрепленная в угловых точках и пр.).

Научная новизна. В работе впервые построена модификация метода сила коллокации для решения задач статического изгиба и установившихся колебан идеально упругих и вязкоупругих прямоугольных пластинок для сложных с: собов закрепления контура. Все задачи, решенные в рамках апробации пред. женного метода, решены впервые (за исключением модельных). В ходе выч лительных экспериментов выявлен и исследован ряд механических эффектов закономерностей.

Достоверность. Достоверность полученных результатов обеспечивается с гостью математической постановки задачи и обоснованным применением соотв ствующего математического аппарата при построении метода и хорошим совпа нием результатов для модельных задач при численном решении.

Практическая значимость. Работа имеет как теоретический, так и щ кладной характер. Предложенный в работе метод может найти применение п

.ении широкого спектра задач статического изгиба и установившихся колеба-[й тонких пластин с разнообразными условиями закрепления или нагружения |нтура. Результаты, полученные в ходе численного решения задач, могут исполь-ваться при моделировании поведения различных тонких пластин в разпообраз-.ix прикладных областях.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докла-лвались на:

• Второй Всероссийской научной конференции (Самара, СамГТУ, 2005г);

• V Российской конференции с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Саратов, СГУ, 2005г);

• XXI Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов, СГТУ, 2005);

• научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского под руководством д.ф.-m.il, профессора Коссовича Л.Ю.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положе-1я:

• Модификация метода сплайи-коллокации для решения задач статического изгиба и установившихся колебаний идеально упругих и вязкоупругих пластинок для сложных способов закрепления контура.

• Результаты и выводы, сделанные по итогам вычислительных экспериментов по определению напряженно-деформированного состояния и резонансных частот прямоугольных пластинок со сложными условиями закрепления контура.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных работах, ; них 5 статей в журналах из списка, рекомендованного ВАК, 4 публикации в >удах конференций и сборниках научных трудов.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит введения, пяти глав, заключения и списка цитированной литературы. Матери работы изложен на 124 страницах, содержит 41 рисунок и 17 таблиц, список 1 тированной литературы содержит 93 наименования.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность выбора темы диссертационной pal ты, сформулированы цели и задачи, дан краткий обзор публикаций по теории ti ких пластин, и аргументирована научная новизна исследований, показана прак' ческая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защи положения.

В первой главе работы рассмотрена постановка задачи статического изги тонких пластинок из изотропного идеально упругого материала. Предполагав ся, что пластинка испытывает малые деформации, подчиняющиеся закону Tyi Предполагаются справедливыми гипотезы Кирхгофа (рис.1).

Рассматривается прямоугольная пластинка малой толщины h с размера:, плана а х Ь. Стороны х = 0 и х = а деформированы или загружены заданнь образом, вид условий на этих сторонах не меняется. Условия при у = 0 и у Ь могут быть произвольными, в том числе не исключается случай разрывш граничных условий.

В безразмерных координатах £ = х/а, r¡ = y/b уравнение для определения безразмерного прогиба имеет вид

эр + сада w ~ D. ' w РисЛ_

Eh4

где обозначено W(£,r]) = w(x,y)/h, Dt = 0 — приведенная цилиндра

12(1 — i/¿)

екая жесткость пластинки на изгиб, /г0 = h/a — безразмерная толщина, с = а/ Е и и - модуль Юнга, и коэффициент Пуассона материала.

Внутренние моменты и перерезывающие силы связаны с функцией проги

В

<• у у -х- ,

тношениями

Мх=(Ip:+, нху=-(1 - ^с^, (2) „ /any ^ил „ a (d2w , 2а2ил

ля численного решения задач об изгибе пластинки с двумя произвольно закреп-лшыми противоположными сторонами Я.М.Григоренко и Н.Н.Крюковым был эедложен ставший классическим метод сплайн - коллокации.

Согласно этому методу, решение краевой задачи для уравнения (1) ищется в

1ДС

N

= (3)

j=°

i,e — линейные комбинации В-сплайнов пятой степени, определенные на

ютеме узлов = ihx(i = -5; TV+ 5), hx - l/N, при £ < и £ > s,i( 0 = 0

Функции Wj{rj) определяются как решение краевой задачи для системы обык-женных дифференциальных уравнений, которые получаются в результате под-'ановки (3) в уравнение (1) из требования, чтобы последнее удовлетворялось точках коллокации. Граничные условия (ГУ) для W.j[rj) следуют из условий укрепления или нагружения при т] = 0 и rj = 1. Полученная краевая задача ниается численно, например, методом дискретной ортогонализации С.К. Году-)ва. Однако данный метод неприменим, когда стороны £о и деформированы данным образом или загружены усилиями и моментами известной интснсивно-41. В этих случаях в (3) не удается подобрать функции <Pj(£) так, чтобы ГУ [.овлетворялись в точках коллокации.

В диссертационной работе предложена модификация метода сплайн-коллока-ш, позволяющая рассмотреть различные варианты ГУ. Решение уравнения (1) цется в виде

N+2

¿=-2 7

В работе рассматриваются различные варианты ГУ на сторонах £0 и В случае, если на стороне £о заданы прогиб и угол поворота

ИЧМ = ЦМ, е(Ы = = од. (5.

или условия смешанного типа

или

дНУ^г,) 2 рМ ,

- Оо(ч), + ^ (2 " d^drj2 ~ (5-2..

тогда

2

Ф_*(„) = + 4°)('?)> (fc = 1,2) (:

j=o

Выражения для и то[0^ для каждого варианта ГУ приводятся в работе. В случае, когда на стороне £о заданы условия

de + dif D*a2 '

д? +C{2~dtdr? = - DJ- (5"

имеем

- E «{«ад+E +№=u) с

' J=-2 j=0 '

Выражения для а^ и m^ для данного варианта ГУ также приводятся в работ Аналогичные результаты получаются на стороне

В зависимости от сочетания вариантов ГУ на сторонах £о и £лг методш дальнейшего решения будет отличаться деталями. В случаях условий (5.1) и (5. на сторонах £о и функции W представляются в виде

N

фажение для известно и приводится в работе. Далее выражение (6)

эдставляется в (1) и требуется, чтобы результат подстановки выполнялся в точ-IX коллокации. В результате получается система обыкновенных дифференциаль-

ых уравнений, которое представляется в виде

ф (р ф

1С

Ф {Т]) = {фм},и = ю?) Г*)

коэффициенты Ао, Лг, А\ и компоненты <3*(т]) - известны. Данная система ОДУ гандартным методом приводится к системе ОДУ 1 порядка, записанной в иор-альной форме Коши. ГУ для вектора. Ф(г]) можно представить в виде

Я1Ф(0)=ёь Я2Ф(1)=ё2. (8)

олученная краевая задача (7),(8) решается численно методом дискретной орто-)нализации Годунова.

Если сторона £о закреплена заданным образом, а при задана внешняя ггрузка, то имеет вид

N+2

V) = £ Ч>А№М + 77), (9)

.7=0

эгда после подстановки (9) в (1) и требования, чтобы результат подстановки вы-элнялся в точках коллокации, получается система N дифференциальных урав-зний 4 порядка, к которой следует добавить дифференциальные соотношения тя Фдг+1 и Ф^+2, определяемых соотношением (**). Полученная в этом случае [стема уравнений после преобразований принимает вид

,/!ф ,рф _ - — _

+ + В*Ф {Г]) + + ^''Ф"+2 = ' (Ш)

сводится к системе уравнений 1го порядка, записанной в нормальной форме оши.

В случае, если на стороне £о задана внешняя нагрузка, а сторона закреп-;на заданным образом, то IV имеет вид

N

И-иЧ)=Е + Мзй, г]). (11)

Ход рассуждений в этом случае повторяет предыдущий.

Последнее возможное сочетание граничных условий получается, когда стор ны £о и загружены усилиями заданной интенсивности. В этом случае систел N+1 уравнений получается в результате подстановки

N+2

г,) = Y, + М4& V), (Г.

]=-2

в (1), к которой добавляются уравнения (**) и им подобные для Фдч-ъ Флг+ Тогда

с/1 Ф £Ф - — — — _

Boj^ + В2— + В4 Ф (п) + Д|Флг+1 + ЩФм+2 + ^Ф-i + ЩФ-2 = Q* (ч) ■

ГУ в данном случае должны выполняться как в точках коллокации, так и в кс цевых точках сторон пластинки.

Полученные краевые задачи во всех перечисленных случаях решаются чг ленно устойчивым методом дискретной ортогонализации Годунова.

Для оценки эффективности предлагаемой модификации были решены т{ модельные задачи, которые допускают применение метода сплайн - коллокации классической форме. Рассматривались стальные квадратные пластинки, изгиС емые равномерно распределенной по поверхности пластинки нагрузкой т]) const, стороны £ = 0, г] — 0, 1] = 1 которых жестко закреплены. При £ = 1 пр нимались три варианта граничных условий: 1) жесткая заделка; 2) шарнир» опирание и 3)свободная от закрепления незагруженная сторона. В этом случ прогиб ищется в виде

N+2

j=о

Сравнение результатов, полученных как классическим, так и модифицированнь методом, показывает их совпадение с точностью до трех значащих цифр.

Для иллюстрации возможностей предлагаемой модификации были решен несколько задач. Рассматривались задачи определения НДС квадратных изотрс ных пластинок с двумя свободными смежными сторонами, изгибаемых равноме но распределенной по поверхности пластинки нагрузкой q(rj) = const, сторон £ = 1, i] = 1 свободны. В задаче 1 стороны £ = 0, г/ = 0 свободно оперты,

;адаче 2 стороны £ = 0, г] = 0 жестко защемлены, в задаче 3 сторона £ = 0 защемлена, а сторона т] = 0 свободно оперта. Точка £ = 77 — 1 в перечисленных случаях считается свободной. По результатам вычислений построены графики изменения безразмерного прогиба в точках диагонали £ = г] и вдоль стороны 7 = 1 (рис.2). Номера, кривых соответствуют номеру задачи, кривая 4 изображает поведение функции И7(1,г]).

Рис. 2.

Рассматривались аналогичные задачи, когда точка £ = г] = 1 подкреплена. шарниром. На рис. 3 и 4 приведены графики изменения функции и>«(£, Г]) =

Рис. 3. Рис. 4.

max |И/(£,г?)| соответственно для задач 2 и 3.

Также рассмотривалась задача определения НДС изотропной пластинки, четыре угловые точки которой подкреплены шарнирами. На пластинку действует распределенная нагрузка интенсивности <?(£, 77) = const. При £ = 0, £ = 1 Мх = Qx = 0, при г] = 0, it = 1 Му = Qy = 0, в угловых точках О, А, В и С W = Му = 0. Вычисления были выполнены для стальной и алюминиевой пласти-:ок. Рис.5 - поверхность функции W*(£, 77) = W(£,77)/max ??)| для стальной пластинки.

Для стальной пластинки max W = 1,393-10~4, для пластинки, изготовленной из алюминия maxW — 3,893 • Ю-4 .

и'«.'»

Рис. 5.

Рис. 6.

Для пластинки, у которой точки О, А, В подкреплены шарнирами, а точке С свободна, график изогнутой срединной поверхности приведен на рис.6.

В работе также исследовались задачи изгиба консольной изотропной пластин ки, где край £ = 0 жестко закреплен,а остальной контур свободен. Угловые точк: В и С либо подкреплены шарнирами (Му = 0, ги — 0) (задача а), либо свободна (Му = 0, Нху = 0) (задача Ь). Изгиб пластинки осуществляется либо распределен ными вдоль £ = 1 изгибающими моментами (задача 2), либо распределенным: вдоль £ = 1 перерезывающими силами (задача 1), либо равномерно распределен ной по всей поверхности пластинки нагрузкой (задача 3). Проведено подробно: исследование влияния отношения сторон с на характеристики НДС.

■ож

'°'1Э 0.1 02 0.!) 0.-1 03 0.£ 47 0.8 09 1

Рис. 7. — задача 2.а

г"1—

Л

/ / \ 1 \ г

/ / ■ / / \ . \ • \

/ -- 3 V.

Л 0.1 02 0.3 ол 05 0.В О.Г 0.0 09 1

Рис. 8. — задача 2.Ь

Построены графики функции -ш(£,0.5) = Ж(£,0.5)/ тахИ^, 0.5). Кривая 1(сплошная линия) построена для значения с = 0.03, кривая 2 (пунктирная линия) - для с = 1. На рис.7 кривая 3 (штрих-пунктирная линия) соответствует значениям 0.1 ■ и>(£. 0.5) при с = 20, на рис. 8-12 эта кривая изображает

Рис. 9. — задача 1.а

[1 01 0.2 0.3 0.« 0.6 06 0.7 оа 0.9 I

Рис.11. — задача 3.а

Рис. 10. — задача 1.Ь

0 0 1 0.2 03 0.« 05 Ой 0.7 ОН 0.0 !

Рис. 12. — задача З.Ь

функцию ги(£, 0.5) при с = 33 .

Также в первой главе работы рассмотрена задача изгиба пластинки, составленной из двух различных изотропных материалов (рис.13).

В этом случае для прогибов каждой из частей пластинки имеют место уравнения

д£(к)4 +'Скд£(к)2дг12~ п(к) .

(14)

Решение этих уравнений должно быть подчинено уело- Рис. 13.

виям закрепления краев и условиям на линии контакта.

Методика решения этих уравнений подробно изложена в работе.

Во второй главе работы рассматривается методика исследования НДС прямоугольных пластинок из ортотропного материала. Предполагается, что главные направления анизотропии параллельны краям пластинки. Тогда в соответствии с гипотезами Кирхгофа дифференциальное уравнение для безразмерного прогиба имеет вид

В этом случае численное решение также можно получить модифицированным методом сплайн - коллокации, изложение которого применительно к орторопным пластинкам приведено в работе. Данная методика была применена при решении задач, в которых стороны £ = 0 и г} = 0 жестко закреплены, остальная часть контура свободна. Угловая точка С либо свободна от закрепления - задача 1, либо подкреплена шарниром - задача 2. Пластинка деформируется равномерно распределенной нагрузкой = 1. На рис. 14 (задача 1) и рис.15 (за-

тл.т

я'(¿.п)

Рис. 14.

Рис. 15.

дача 2) приводится изогнутая срединная поверхность пластинки из СВАМ 5:1. Также исследовались задачи изгиба распределенной по поверхности нагрузкой q(£, rj) = const ортотропной пластинки при шарнирном закреплении четырех или трех угловых точек.

Графики изменения прогиба (для задачи 1) для различных материалов вдоль одной из диагоналей пластинки приведены на рис. 16. Здесь кривая, изображенная штриховой линией, соответствует материалу АГ-4с {Е1 = 2.1 • Ю10, Е2 = 1.6 • Ю10, щ = 0.09188, v2 =

/

/ >■*'

Рис. 16.

0.07), кривая, изображенная пунктирной линией — дельта - древесине (Е\ = 3.05 ■ Ю10, Е2 = 0.457 • Ю10 и1 = 0.1328, г/2 = 0.02), сплошная линия показывает изменение прогиба вдоль диагонали для стальной пластинки. В силу симметрии графики построены для значений £ < 0.5.

В третьей главе работы рассматриваются установившиеся колебания пластинок из изотропного материала. По-прежнему деформации предполагаются малыми. Решение проводится в рамках справедливости гипотез Кирхгофа. Уравнение для амплитудного значения прогиба при динамическом изгибе изотропной пластинки имеет вид

/<94W „ 2 д'1 IV dd4W\ , , ч

D {-ЩГ + 2с ôëW + " phoUj W{^ = (17)

В данном случае численное решение также можно получить модифицированным методом сплайн - коллокации, изложение которого для случая установившихся колебаний изотропных пластинок приводится в работе.

Данный подход использовался для исследования колебаний изотропных квадратных пластинок с двумя свободными смежными сторонами под действием распределённой нагрузки д(£,т?,£) = ро sin(wt), р0 = const. Здесь и = 0,3, стороны £ = 1, г] = 1 свободны. Стороны £ = 0, г/ = 0 либо свободно оперты (задача 1), либо жестко защемлены (задача 2), либо сторона £ = 0 защемлена, а сторона г] = 0 свободно оперта (задача 3).

Рис. 17.

На рис. 17а 18а. (задача 1) и рис 176 - 186 (задача. 3) изображены формы изогнутой поверхности при со = шк - е, (к = 2,3), е — мало. График изогнутой поверхности пластинки для частоты, близкой к первой критической частоте, качественно подобен графику, приведенному для статического случая.

0,5

W 0.5<

0,01

1.0. 0,0

1,0

0,5

1,0 0,0

0,5

1,0

0.5

1,0*0,0

Рис. 18.

Исследовались задачи колебаний изотропных квадратных пластинок с шарнирным опиранием 4 угловых точек под действием распределенной нагрузкид(£, г], i) = Ро sin(wi), ро = const.

Wfi.n) .........,......; J. #(_>.,,)

На рис. 19, 20 - формы изогнутой поверхности стальной пластинки с шарнирным опиранием в 4 угловых точках для частот и>к — е, (к = 2,3)).

В четвертой главе работы рассматриваются установившиеся колебания пластинок из ортотропного материала.

Уравнение для амплитудного значения прогиба при динамическом изгибе ор-тотропной пластинки имеет вид

d4W

+

d4W

лд4

+ - \4W = доЫ/Du

(18)

д С4 1 ^ дС2дг,2 1 ^ а г,4

где Л4 = рЬ1а2ш2/Д. — безразмерный частотный параметрах = Лг/^ь № = 2£>ь/£>1, = (£>з + 2Д0АС)ь М4 = 2Г)3/^1. Выражения для амплитудных значений внутренних моментов и обобщенных поперечных усилий приводятся в работе. Граничные условия для функции определяются способом закрепления и

нагружения контура пластинки. Для численного решения соответствующей краевой задачи применяется модифицированный метод сплайн - коллокации. Для ортотропной пластинки также решались задачи определения амплитудных характеристик НДС пластинок, изгибаемых равномерно распределенной нагрузкой <?(f>?7>£) = posin(wi), р0 = const, у которых смежные стороны £ = 0, ц = 0 жестко защемлены, стороны £ = 1, rj = 1 свободны, точка пересечения свободных сторон либо свободна (задача 1), либо подкреплена шарниром (задача 2). Материал АГ-4с, р = 1900кг/м2.

Рис. 21.

Рис. 22.

На рис. 21, 22 изображены формы изогнутой поверхности для частот Шк ~ е, (к — 2,3)) для задачи 1, а на рис. 23, 24 - для задачи 2.

Рис. 23. Рис. 24.

Аналогичные исследования были проведены для такой же пластинки, у которой все угловые точки подкреплены шарнирами. Соответствующие графики приводятся на рис. 25,26.

Для всех перечисленных случаев значения первых трех резонансных частот приведены в работе.

Рис. 25. Рис. 26.

В пятой главе работы модифицированный метод сплайн-коллокации применяется для исследования установившихся колебаний вязкоупругой пластинки при произвольных граничных условиях на боковой поверхности.

Для такой пластинки прогиб W(£,r],t) представляется в виде W(£,rj,t) = Wi(£,r?)cosu;i + W2((;,ri) sinwi. Тогда для безразмерных составляющих прогиба Wk = h^w^ система уравнений в безразмерных переменных может быть записана в виде

^ + + ^ + (-DV t - И)»«,,), (Ю)

где

dk = 12(1 - t/2)/^4 5к = ph2dk, (к = 1,2), d3 = -du 53 = -¿1,

оо

Е\ + — J K{s)eiwsds — комплексный модуль материала., £3 = -Е\, ho = h/а о

-- безразмерная толщина пластинки, р — плотность материала.

Соответствующие формулы для составляющих внутренних моментов и усилий в пластинке приведены в работе.

Были исследованы колебания вязкоупругой квадратной пластинки, стороны £ = 1, г] = 1 которой свободны, стороны £ = 0, г] = 0 жестко закреплены, под действием распределенной нагрузки q(^,rj,t) = p0sin(u;i), р0 = const. Материал ЭД-6 МА (р = 1250кг/м3, Е\ = 2.7 ■ 109Н/м2, Е2/Ех = 0.015, v = 0.4).

На рис. 27, 28 изображены графики поверхностей первой и второй составляющей прогиба для первой критической частоты. шь на рис. 29, 30 — для второй

Рис. 29.

Рис. 30.

Рис. 31. Рис. 32.

критической частоты ш2, на рис. 31, 32 - для третьей критической частоты Ш3. Подробные выкладки и результаты расчетов приведены в диссертационной работе.

Основные результаты и выводы

о Основной результат диссертационной работы состоит в построении модифицированного метода сплайн-коллокации. Предложенная модификация существенно расширяет класс численно разрешимых задач статического изгиба и установившихся колебаний при сложных условиях закрепления контура.

• Для малых значений отношения сторон (с < 0.2) НДС консольной пластинки близко к НДС соответствующим образом изгибаемого стержня прямоугольного сечения, а при больших значениях отношения сторон (с ^ 10) прогибы пластинки конечных размеров стремятся к прогибам бесконечно длинной в направлении £ полосы.

• Анизотропия материала оказывает существенное влияние на размеры и формы "горбов" и "впадин" на изогнутой срединной поверхности пластинки, а в случае установившихся колебаний, помимо этого, существенно влияет на значения резонансных частот.

• В случае вязкоупругой пластинки при любых значениях частоты амплитуда прогиба остается ограниченной. Для значений частот, отличных от критических, значение первой составляющей прогиба \\\ значительно превышает по величине значение второй составляющей При подходе к критической частоте обе составляющие возрастают, причем И'г растет быстрее Когда частота внешнего возбуждения равна критической, И^ значительно превосходит

Публикации

1. Ромакина, О.М. Метод сплайн-коллокации и его модификация в задачах статического изгиба тонкой ортотропной прямоугольной пластинки / О.М. Ромакина, Ю.В. Шевцова // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2010. Т. 10 вып. 1 С. 78 - 82

2. Ромакина, О.М. Модифицированный метод сплайн-коллокации в задачах

изгиба прямоугольных пластинок / П.Ф.Недорезов, Ю.В.Шевцова, О.М.Ромакина // Математическое моделирование и краевые задачи. Тр. Второй Всерос. научи. конф. Самара: СамГТУ, 2005. 4.1. С. 203-209.

3. Ромакииа, О.М. Модифицированный метод сплайн - коллокации в задачах о колебаниях тонкой прямоугольной вязкоупругой пластинки // П.Ф.Недорезо: О.М. Ромакииа, Р.А.Сафонов // Изв. Сарат. ун-та. Нов. Сер.. 2010. т. 10. Сер. Математика. Механика. Информатика, выпуск 3. С.59-04..

4. Ромакииа, О.М. О модификации метода сплайн-коллокации в задаче статического изгиба прямоугольных пластинок / П.Ф.Недорезов, О.М. Ромакииа /'/ Смешанные задачи механики деформируемого тела. Материалы. V Росс, конф. с междунар. участием. Саратов: СГУ, 2005. С.237-242.

5. Ромакииа, О.М. Об установившихся поперечных колебаниях прямоугольной пластинки из ортотроппого материала / О.М. Ромакииа // Изв. Сарат. унта. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2010. Т. 10 выи. 1 С. 71 - 77

0. Ромакииа, О.М. Статическая и динамическая задача изгиба пластинки / А.В. Аристамбекова, О.М. Ромакииа// Сб. науч. тр. Механика. Математика, Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 12 вып., 2010. С. 132 — 135.

7. Ромакииа, О.М. Установившиеся изгибные колебания прямоугольной изотропной пластинки с частично закрепленным контуром / П.Ф. Недорезов, О.М. Ромакииа // Труды XXI Международной конф. по теории оболочек и пластин. (Саратов, 14 - 10 ноября 2005 г.). - Саратов: СГТУ, 20.

8. Ромакииа, О.М. Численное исследование изгиба кусочно - однородной прямоугольной пластинки из изотропного материала / П.Ф.Недорезов, О.М. Ромакииа // Изв. Сарат.ун-та. Нов. Сер.. 2008. т.8. Сер. Математика. Механика. Информатика. Выпуск 1. С.43-50.

9. Ромакииа, О.М.. Численное исследование НДС при изгибе прямоугольных пластинок с двумя свободными смежными краями / П.Ф. Недорезов, О.М.

Ромакина // Смешанные задачи механики деформируемого тела. Тез. докл. V Росс. конф. с междунар. участием. Саратов: СГУ, 2005. С.112.

Ромакина Оксана Михайловна

Модифицированный метод сплайн-коллокации в задачах статики и динамики тонких пластин при произвольных граничных условиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Подписано в печать 1.10.2012. Формат 60x84 V]6. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,27. Уч.-изд. л. 0,67. Тираж 100 экз. Заказ № 984.

Отпечатано в ООО Издательство «КУБиК» 410056 г. Саратов, ул. Чернышевского, 94а тел.: (845 2) 60 33 20

Содержание.

Введение.

Часть 1. Статический изгиб прямоугольных пластинок при сложных условиях закрепления контура.

Глава 1. Модифицированный метод сплайн-коллокации в задачах статического изгиба изотропных прямоугольных пластинок.

1. 1 Постановка задачи и основные уравнения статического изгиба изотропной пластинки.

1.2. Модифицированный метод сплайн-коллокации.

1.3. Напряженно-деформированное состояние квадратных изотропных пластинок с двумя свободными смежными сторонами.

1.4. Исследование НДС пластинок с шарнирным опиранием в угловых точках.

1.5. Численное исследование некоторых задач изгиба консольной изотропной пластинки.

1.6. Численное исследование изгиба кусочно - однородной прямоугольной пластинки из изотропного материала.

Глава 2. Численное исследование статического изгиба прямоугольной ортотропной пластинки.

1.7. Постановка задачи и основные уравнения статического изгиба ортотропной пластинки.

1.8. Модифицированный метод сплайн-коллокации в случае пластинки из ортотропного материала.

1.9. НДС ортотропной пластинки с двумя закрепленными смежными сторонами и свободной остальной частью контура.

1.10. Ортотропные пластинки с подкрепленными угловыми точками. 65 Часть 2. Установившиеся колебания прямоугольных пластинок при сложных условиях закрепления контура.

Глава 3. Численное исследование колебаний изотропных пластинок.

2.1 Основные уравнения и соотношения теории вынужденных колебаний изотропной пластинки.

2.2. Установившиеся изгибные колебания прямоугольной изотропной пластинки с частично закрепленным контуром.

Глава 4. Колебания прямоугольной пластинки из ортотропного материала

2.3. Исследование колебаний прямоугольной пластинки из ортотропного материала.

Глава 5. Колебания вязкоупругой пластинки.

2.4. Постановка задачи и основные уравнения и соотношения вибрационного изгиба вязкоупругой пластинки.

2.5. Пример числовых расчетов.

В различных отраслях современной техники пластины и оболочки разнообразных форм являются наиболее распространенными элементами тонкостенных конструкций. Они широко применяются в строительном деле, машиностроении, гидротехнике, судо- и авиастроении, дорожном деле и в других областях техники. В гражданском и промышленном строительстве это покрытия, перекрытия, рабочие площадки, некоторые виды фундаментов; в машиностроении - элементы технологического оборудования; в электронике - печатные платы из фольгированного стеклопластика и т.п.

Широкий спектр применения пластин и оболочек объясняется как большими функциональными возможностями тонкостенных конструкций, так и исключительно удачным сочетанием в них малого веса и прочности.

Вышеуказанные конструкции подвергаются различного рода статическим и динамическим воздействиям, при этом к их прочности и надежности предъявляются постоянно возрастающие требования. В XVIII веке предпринятые Л.Эйлером и вслед за ним Я.Бернулли (младшим) попытки построить математическую модель задачи о колебаниях пластинки не увенчались успехом, и только Софи Жермен вместе с Лагранжем в 1812 г. получили правильное уравнение для определения прогибов колеблющейся тонкой изотропной пластинки.

Первая более - менее удовлетворительная попытка построить теорию изгиба пластин удалась Навье (1823г.), который исправил ошибку, допущенную Пуассоном, и получил строгое аналитическое решение задачи об изгибе прямоугольной пластинки со свободно опертым контуром. Однако, по мнению С.П.Тимошенко [66], наиболее успешными в этом направлении следует считать исследования Г.Кирхгофа, который в работе, опубликованной в 1850г., сформулировал гипотезы ставшей впоследствии классической теории изгиба тонких изотропных пластинок. Завершение построения этой теории было выполнено У.Томпсоном (лордом Кельвином), который в 1870г. дал окончательное решение вопроса о количестве граничных условий, необходимых для корректной математической формулировки краевой задачи определения прогибов тонкой пластинки.

Практически одновременно Ф.Герингом (1860г.) и М. Буссинеском (1879г.) делаются попытки построения уравнений изгиба анизотропных пластинок, но ряд фундаментальных результатов в этом направлении был получен только в работах М.Губера [73]-[75], опубликованных в 1921 -1929г.г. Последующие исследования С.Г.Лехницкого, выполненные в 30-е годы прошлого столетия, были обобщены в его монографии «Анизотропные пластинки» [41], [42]. В этой монографии последовательно и строго изложены основы теории изгиба анизотропных пластинок в рамках гипотез Кирхгофа и получены аналитические решения многочисленных конкретных задач (обобщение решений Навье и М.Леви на случай анизотропного материала, решение задачи о концентрации напряжений в бесконечной пластинке, ослабленной эллиптическим отверстием, и многих других).

Теории анизотропных пластин и оболочек посвящены также монографии С.А.Амбарцумяна [7, 8], в которых наряду с классической рассматриваются так называемые «уточненные» теории, базирующиеся на несколько иных исходных гипотезах.

В первой половине прошлого столетия вопросы изучения статического и динамического изгиба тонких пластинок являлись предметом исследования многих ученых. В частности, большое внимание было уделено разработке приближенных методов решения соответствующих краевых задач. Среди таких методов следует отметить вариационные методы, сводящие решение краевой задачи для дифференциального уравнения к отысканию минимума некоторого функционала. Наибольшее распространение получили метод Треффтца, метод Ритца (1908г.), метод Бубнова - Галеркина (1915г.) и др. Детальный обзор этих методов и примеры их применения можно найти, например, в работах [1], [39], [61].

Эти методы остаются актуальными и продолжают развиваться и модернизируются и в настоящее время, о чем свидетельствуют, например, докторские диссертации [18], [21], [40].

Наибольшей универсальностью обладает один из вариантов метода Рэлея-Ритца - метод конечных элементов (МКЭ) [15], [16], [56]. В последнее время он получил наибольшее распространение на практике. Сейчас применяется большое количество разнообразных конечных элементов, способных описать практически любую задачу. Однако данный подход не лишен недостатков: трудно оценить погрешность метода, возможна неустойчивость счета вблизи точек смены граничных условий и т.п. К тому же МКЭ требует существенных затрат машинного времени и большого объема оперативной памяти ПЭВМ.

Вариационные методы в известной степени удовлетворяют запросам практики, их применение позволило решить большое количество задач. К сожалению, эффективность вариационных методов существенно снижается в задачах, имеющих смешанные граничные условия, из-за трудностей в построении координатных функций, которые должны удовлетворять различным граничным условиям на различных участках границы.

А.Л. Гольденвейзером в работе [24] для расчета пластин со сложными (в том числе и смешанными) граничными условиями был предложен асимптотический метод. Дальнейшему развитию и применению этого метода посвящены работы обширного круга ученых, например [11-13], [37], [76] и др. Основная идея данного метода заключается в том, что искомое решение представляется в виде суммы двух составляющих: основного во внутренней области, занимаемой пластиной, и корректирующего состояния типа динамического краевого эффекта, локализованного в малой окрестности контура и быстро затухающего при удалении во внутреннюю область. К сожалению, область применения метода ограничена динамическими задачами.

Новый этап в развитии исследований по теории изгиба пластинок и оболочек начался со второй половины пятидесятых годов прошлого столетия, когда стали широко распространяться электронно-вычислительные машины. Это привело к появлению новых численных методов решения сложных краевых задач для дифференциальных уравнений, реализация которых с помощью логарифмической линейки и механического арифмометра «Феликс» ранее была невозможна. К числу таких методов относится метод конечных разностей (МКР) который позволил решить некоторые задачи статики и динамики пластин со смешанными граничными условиями различных типов. Однако и в этом случае оценка точности полученных результатов представляет самостоятельную задачу, требующую дополнительного исследования. Примеры применения МКР имеются в работах [14], [20], [59], [60], [68] и др.

Близким по духу МКР является метод коллокаций. Суть его состоит в том, что исходное дифференциальное уравнение равновесия или движения пластины удовлетворяется в отдельных точках внутри области, занимаемой пластиной (точках коллокаций).

Впервые идея применения коллокационных методов для решения краевых задач математической физики изложена акад. Л.В. Канторовичем в 1934 году. В работе [34] предлагаются два варианта коллокационных методов - метод внутренней коллокации и метод коллокации по линиям, приводится пример решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения.

Бгагег И.А. с соавторами в 1937 году в работе [72] предложили различные варианты аппроксимации искомых функций и сделали первую попытку обоснования метода внутренней коллокации.

Метод граничной коллокации впервые был применен для приближенного решения линейной краевой задачи об изгибе пластины I. ВаЛа в 1937 г в работе [71].

Дальнейшему развитию метода внутренней коллокации посвящены работы [10], [38], практическое применение метода граничной коллокации рассматривается в работах [22], [30], [36], [43], [45], [57], [63], [77] и пр. Математическому обоснованию коллокационных методов посвящены работы [19], [35], [70]. Наиболее полный обзор коллокационных методов и полученных результатов исследований в этой области приведен в работе [62].

В настоящее время усилиями многих поколений ученых построены различные теории, описывающие напряженно-деформированное состояние тонкостенных конструкций, и разработаны эффективные методы их расчета

Несмотря на то, что достигнуты значительные успехи в развитии теории и разработке приближенных методов решения различных прикладных задач, круг проблем, требующих своего разрешения, по-прежнему обширен.

Одной из актуальных является проблема, связанная с разработкой таких приближенных методов решения краевых задач теории пластин и оболочек, которые были бы универсальны, эффективны и не слишком требовательны к машинным ресурсам при реализации.

Ряд результатов в решении смешанных задач теории пластин получен методом кратных рядов, основная идея которого заключается в следующем: находится общее решение дифференциального уравнения, содержащее набор произвольных постоянных, затем на каждом участке смешанных граничных условий постоянные выбираются так, чтобы условия удовлетворялись. Если решение представлено рядом Фурье, то получается столько различных рядов сколько имеется участков смены граничных условий. В случае, когда решение представлено интегралом Фурье, получается набор кратных интегральных уравнений. Далее к полученной системе рядов (уравнений) применяется конечное интегральное преобразование, которое приводит кратные ряды (уравнения) к бесконечной системе линейных алгебраических (интегральных) уравнений, решаемых известными методами. Данный подход применялся В.М. Александровым и его учениками [2-6], [33] в задачах о расчете НДС и колебаний пластин со смешанными граничными условиями.

Вышеописанными методами удобно пользоваться в случае, когда размеры участков границы с различными условиями закрепления соизмеримы с линейными размерами пластины. В том случае, когда эти участки малы, можно перейти к некоторым осредненным граничным условиям. Методика их построения изложена в работе [44].

Для решения двумерных задач теории пластин и оболочек в последние два десятилетия широко применяется метод сплайн-коллокации. Этот метод, предложенный в 1987г. Я.М. Григоренко и М.Н. Береновым [28], и получивший дальнейшее развитие в [25-27], быстро получил признание научного сообщества [29]. Для исследования колебаний вязкоупругих пластинок при сложном закреплении краев он применялся, в частности, П.Ф.Недорезовым в работах [46], [50]. Проверка метода сплайн-коллокации на большом количестве тестовых задач показала его высокую точность. Однако этот метод в классическом его виде применим только, когда две противоположные стороны пластинки закреплены. Если у пластинки закреплена одна сторона (консоль) или две смежных стороны при заданной нагрузке на остальной части границы, метод сплайн-коллокации в его классическом виде не применим.

В диссертационной работе рассматривается модификация метода сплайн-коллокации для решения задач статики и динамики тонких прямоугольных пластин при произвольных граничных условиях на контуре пластины. На граничные условия накладывается единственное ограничение -их вид в пределах каждой из сторон контура остается неизменным.

В данной работе применение предлагаемого метода иллюстрируется результатами вычислений, которые выполнялись для квадратных пластинок с размером стороны а = 1.0 м, к = 0.01м, за исключением п. 1.5, в котором рассматривается прямоугольная консольная пластинка и исследуется влияние отношение размеров сторон пластинки на ее напряженно-деформированное состояние.

Апробация данного подхода была проведена на ряде модельных задач, для которых известны аналитические или численные решения. Цели диссертационной работы.

• Разработка модифицированного метода сплайн-коллокации для решения задач статического изгиба и установившихся колебаний идеально упругих и вязкоупругих пластинок при сложных способах закрепления контура.

• Решение модельных задач для апробации разработанной методики, сравнение результатов с известными аналитическими решениями.

• Решение различных задач при нестандартных условиях закрепления (пластинка с двумя смежными закрепленными сторонами, консольная пластинка, пластинка, подкрепленная в угловых точках). Научная новизна.

В работе впервые построена модификация метода сплайн-коллокации для решения задач статического изгиба и установившихся колебаний идеально упругих и вязкоупругих прямоугольных пластинок для сложныу способов закрепления контура. Все задачи, решенные в рамках апробации предложенного метода, решены впервые (за исключением модельных). В ходе вычислительных экспериментов выявлен и исследован ряд механических эффектов и закономерностей.

Достоверность полученных результатов обеспечивается

• При построении метода - строгостью математической постановки задачи и обоснованным применением соответствующего математического аппарата.

• При численном решении - хорошим совпадением результатов для модельных задач.

Практическая значимость.

Работа имеет как теоретический, так и прикладной характер. Предложенный в работе метод может найти применение при решении широкого спектра задач статического изгиба и установившихся колебаний тонких пластин с разнообразными условиями закрепления контура. Результаты, полученные в ходе численного решения задач, могут использоваться при моделировании поведения различных тонких пластин в разнообразных прикладных областях. Апробация работы. Основные результаты докладывались на:

• Второй Всероссийской научной конференции (Самара, СамГТУ, 2005г);

• V Российской конференции с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Саратов, СГУ, 2005г);

• XXI Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов,СГТУ, 2005);

• научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского под руководством д.ф.-м.н., профессора Коссовича Л.Ю.

На защиту выносятся:

• Модификация метода сплайн-коллокации для решения задач статического изгиба и установившихся колебаний идеально упругих и вязкоупругих пластинок для сложных способов закрепления контура.

• Результаты и выводы, сделанные по итогам вычислительных экспериментов по определению напряженно-деформированного состояния и резонансных частот пластинок со сложными условиями закрепления контура.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных работах, из них 5 статей в журналах из списка, рекомендованного ВАК, 4 публикации в трудах конференций и сборниках научных трудов.

Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитированной литературы. Материал работы изложен на 126 страницах, содержит 41 рисунок и 20 таблиц, список цитированной литературы содержит 77 наименований.

Основные результаты и выводы

• Основной результат диссертационной работы состоит в построении модифицированного метода сплайн-коллокации. Предложенная модификация существенно расширяет класс задач статического изгиба и установившихся колебаний при сложных способах закрепления контура разрешимых численно с помощью метода сплайн-коллокации.

• Для малых значений отношения сторон (с <0.2) НДС консольной пластинки близко к НДС соответствующим образом изгибаемого стержня прямоугольного сечения, а при больших значениях отношения сторон (с >10) прогибы пластинки конечных размеров стремятся к прогибам бесконечно длинной в направлении £ полосы.

• Для материалов со слабой анизотропией (типа АГ-4с, СВАМ 5:1) графики изогнутой срединной поверхности пластины мало отличаются от соответствующих графиков для изотропного материала. Для материалов с сильной анизотропией (типа СВАМ 15:1, дельта-древесины) различия в расположении "горбов" и "впадин" по отношению к соответствующим графикам для изотропного материала будут существенны. В случае установившихся колебаний, анизотропия материала также существенно влияет на значения резонансных частот.

• Анизотропия материала оказывает существенное влияние на размеры и формы на изогнутой срединной поверхности пластинки, а

• В случае вязкоупругой пластинки при любых значениях частоты амплитуда прогиба остается ограниченной. Для значений частот, отличных от критических, значение первой составляющей прогиба W^ значительно превышает по величине значение второй составляющей . При подходе к критической частоте обе составляющие возрастают, причем ]У2 растет быстрее . Когда частота внешнего возбуждения равна критической, значительно превосходит .

1. Абовский Н.П. О вариационных уравнениях для гибких рбристых и других конструктивно- анизотропных пологих оболочек. / Теория пластин и оболочек. М. «Наука», 1971. С.4-7.

2. Александров В.М. О решении одного класса парных уравнений // Докл. АН СССР. 1973. - Т. 210, №1. - С.55 -58.

3. Александров В.М., Зеленцов В.Б. Асимптотические методы в задачах об изгибе пластин со смешанными условиями закрепления // Теория пластин и оболочек. М.: Наука, 1973.-С.20-23.

4. Александров В.М., Зеленцов В.Б. Динамические задачи об изгибе прямоугольной пластины со смешанными граничными условиями закрепления по контуру // Прикл. матем. мех. 1979. - Т.43, вып.1. - С.55 - 58.

5. Александров В.М., Чебаков М.Л. Метод парных рядов по функциям Бесселя в смешанных задачах теории упругости для круглой пластины // Прикл. мат. мех. 1977. - Т.41, вып. 3. - С.486 -493.

6. Александров В.М., Чебаков М.Л. Об одном методе решения парных интегральных уравнений // Прикл. матем. мех. -1973. Т.37, вып. 6. - С.1087 - 1097.

7. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек, Физматгиз, 1961.

8. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин: прочность, устойчивость и колебания. М.: Наука, 1987. -360 с.

9. Аристамбекова A.B., Ромакина О.М. Статическая и динамическая задача изгиба пластинки // Сб. науч. тр. Механика. Математика, Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 12 вып., 2010. С. 132-135.

10. Барг А. Я., Левин Г. Е., Лившиц А. Л. К расчету пластин переменной толщины // Строительная механика и расчет сооружений. 1966. №5. С. 14-16.

11. Болотин В.В. Асимптотический метод исследования задач о собственных значениях для прямоугольных областей // Проблемы механики сплошной среды. М.: Изд. АН СССР, 1961. - С.60-72

12. Болотин В.В. Динамический краевой эффект при упругих колебаниях пластинок // Инженерный сборник. 1961. -Т.31. - С.З - 14.

13. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука, 1979. - 336с.

14. Боровский П.В. Применение метода сеток к расчету параллелограммных пластинок // Труды конференции по теории пластин и оболочек. Казань.Наука-1961.

15. Бреббия К., Телес Ж., Броубел Л. Методы граничных элементов. -М.: Мир, 1987. 525 с.

16. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982. - 248 с.

17. Букша В. В., Рогалевич В. В. Расчет прямоугольных и полигональных пластин методами граничной и переопределенной граничной коллокации // Строительная механика пластин и оболочек: Сб. статей. Екатеринбург: УГТУ, 2000. С. 36-45.

18. Вайникко Г. М. О сходимости и устойчивости метода коллокации // Дифференциальные уравнения. Минск: Наука и техника, 1965. T.I, №2.1. С. 244- 254.

19. Варвак П.М., Губерман И.О. Изгиб квадратной пластинки с различными условиями на краях // Информационные материалы.-Изд-во АН У ССР.-Институт строительной механики,-1957-№ 10.

20. Вековищева И. А. Связанные статические и динамические задачи теории электроупругости для тонких пьезокристаллических пластинок. Диссертация на соискание степени доктора физ.-мат. наук по спец. 01.02.04 -мех.деф.твёрд.тела. 1999. С.-Петерб. техн.ун-т

21. Вестяк А. В., Хвилон Е. А. Расчет напряженно-деформированного состояния трапециевидных пластин методом граничной коллокации // Изв. АН СССР. МТТ> 1976. №4. С. 138-142.

22. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. //Успехи математических наук, 1961. Т.16. Вып. 3/99. С.171-174.

23. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек, М.: Наука, 1976.

24. Грнгоренко Я. М., Беренов М. Н. О решении задачи статики пологих оболочек и пластин с шарнирно опертыми и жестко закрепленными противоположными краями. // Прикл. механика. 1990. - 26, № 1. С. 30-38.

25. Григоренко Я. М., Беренов М. Н. О численном решении задач статики пологих оболочек на основе метода сплайн-коллокации. // Прикл. механика. 1988. - 24, № 5. С. 32-36.

26. Григоренко Я. М., Беренов М. Н. Решение двумерных задач об изгибе прямоугольных пластин на основе сплайн-аппроксимации. // Докл. АН УССР. Сер. А. 1987. - № 8. -С. 22-25.

27. Григоренко Я. М., Крюков Н. Н. Решение задач теории пластин и оболочек с применением сплайн-функций (Обзор) // Прикл. механика. 1995. - 31, № 6. - С. 3-27.

28. Гусева Е. Б., Белкин Н. И. Напряженно-деформированное состояние изгибаемых прямоугольных пластинок с круговым вырезом // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1973. №4. С. 44-47.

29. Джунисбеков Т.М. Влияние упругих свойств материала трубы на напряженно-деформированное состояние подземного трубопровода / Т.М. Джунисбеков, О.В. Андрющенко, М.Т. Кейкиманова // Методы контроля и диагностика в машиностроении 2008. - , №1. - С.155-159

30. Завьялов Ю. С., Квасов Ю. И., Мирошниченко В. М. Методы сплайн-функций. М. Наука, 1980. 352 с.

31. Зеленцов В.Б. Метод однородных решений в задачах об изгибе пластин со смешанными условиями закрепления поконтуру // Изв. АН СССР механика твердого тела. 1980. -№5. - С. 124 - 132.

32. Канторович Л. В. Об одном методе приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных // ДАН СССР. 1934. Т.2, №9. С. 532-534.

33. Карпиловская Э. Б. О сходимости метода коллокации // ДАН СССР. 1963. Т.151, №4. С. 766-769.

34. Корнишин М. С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964. 192 с.

35. Коссович Л.Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек. Изд-во СГУ. Саратов, 1986. С.176.

36. Кулаков В. М., Успенский А. А. Изгиб косоугольных пластин переменной толщины И Строительная механика и расчет сооружений. 1977. №5. С. 71-73.

37. Лейбензон Л.С. Вариационные методы в теории упругости.- ОГИЗ, 1943г. -288с.

38. Леоненко Д.В. Собственные и вынужденные колебания трехслойных элементов конструкций, связанных с упругой средой. Диссертация на соискание степени доктора физ.-мат. наук по спец. 01.02.04- мех.деф.твёрд.тела Минск.2011. Белорусск. Национ. Техн. ун-т.

39. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.: ГИТТЛ, 1947. 355 с.

40. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. 2-е изд. М.: Гостехиздат, 1957. 463 с.

41. Логвинская А. А. К расчету прямоугольных пластинок переменной толщины // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1970. №1. С. 63-68.

42. Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев: Наук, думка, 1974. -277с.

43. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. 416 с.

44. Недорезов П. Ф. Применение В-сплайнов в задаче определения НДС при установившихся колебанияхпрямоугольной пластинки из вязкоупругого материала // Сарат. гос. ун-т. Деп. в ВИНИТИ 04.04.1997, № 1093-В97. -12с.

45. Недорезов П.Ф. Установившиеся поперечные колебания вязкоупругой пластинки с двумя шарнирно опертыми сторонами / П.Ф.Недорезов // Механика деформируемых сред: межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1983. -Вып.8. -С.114 -125.

46. Недорезов П.Ф. Установившиеся поперечные колебания пластинки из вязко-упругого материала / П.Ф.Недорезов // Механика деформируемых сред: межвуз. науч. сб. -Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1979. Вып.6. - С.27 - 34.

47. Недорезов П.Ф. Численное исследование изгиба кусочно -однородной прямоугольной пластинки из изотропного материала / П.Ф.Недорезов, О.М. Ромакина // Изв. Сарат.ун-та. Нов. Сер. 2008. т.8. Сер. Математика. Механика. Информатика. Выпуск 1. С.43-50.

48. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высшая школа, 1985. - 392 с.

49. Пирогов И. М., Белкин Н. И. Распределение усилий в изгибаемой треугольной пластине с круговым вырезом // Сб. тр. Всесоюз. заоч. политехи, ин-та. М.: ВЗПИ, 1970. Вып. 59. С. 70-76.

50. Писаренко Г.С. Сопротивление материалов Киев, Вища школа, 1979. -696 с.

51. Шскунов В.Г. До визначення частот власних колевань прямокутних пластинок при м1шаних граничних умовах // Прикладная механика.-Т. 10-вып.1-1966.

52. ГПскунов В.Г. Точшсть розвязання задач про колливання пластинок методом скшченних р1зниць //Сб. «Ошр матер1ал1в I теорш споруд»,- вип.4-К.- 1966.

53. Пратусевич Я.А. Вариационные методы в строительной механике./ ОГИЗ, Москва ,1948,400с.

54. Рогалевич В. В. Коллокационные методы. Сущность. Примеры. Екатеринбург: Изд. АМБ, 2001. 298 с.

55. Рогалевич В. В. Об одном эффективном проекционном методе решения нелинейных краевых теории пластин и оболочек // Теория пластин и оболочек: XIII Всесоюз. конф. Таллин: ТПИ, 1983. Ч. IV. С. 126-131.

56. Ромакина О.М. Об установившихся поперечных колебаниях прямоугольной пластинки из ортотропного материала // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2010. Т. 10 вып. 1 С. 71 — 77

57. Ромакина О.М. Шевцова Ю.В. Метод сплайн-коллокации и его модификация в задачах статического изгиба тонкой ортотропной прямоугольной пластинки // Изв. Сарат. ун-та.

58. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2010. Т. 10 вып. 1С. 78 — 82

59. Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов./ ГИТТЛ.-М.- 1957.-c.536.

60. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. - 635 с.

61. Филиппов А.П. Численные методы в прикладной теории упругости // Филиппов А.П., Булгаков В.П., Воробьев Ю.С., Кантор Б.Я.,Марченко Г.А-К.-Наукова Думка- 1968.

62. Ярцев Ю. П. О сходимости метода коллокации по линиям // Дифференциальные уравнения. Минск: Наука и техника, 1967. Т. III, №91. С. 1606-1613.

63. Barta J. Uber die naherungsweise Losung einiger zweidimensionaler Elastizitataufgaben // ZAMM. 1937. Bd. 17. S. 184-185.

64. Frazer R.A., Jones W.P., Skan S.W. Approximations to Functions and the Solutions of Differential Equations // Reports and Memoranda №1799. Aeronautical Research Committee, 1937. P. 517-549.

65. Huber M.N. Teoría plyt prostokatnie prostokatnie roznokierunkowych. / / Archiwum Tow. Naukowego. Lwow. -1921.

66. Huber M.N Einige Anwendungen der Biengunstheorie ortothro Platten / /Zeitschr. F. angew. Math. U. Mech.-1926. 6,-nr.3.

67. Huber M.N Probleme der Statik technisch wichtiger orthotroper Platten // Akad. N. Tesch. Warszawa.-1929.

68. Kaplunov J.D., Kossovich L.Yu., and Nolde E.V. Dynamics of Thin Walled Elastic Bodies. Academic Press. San-Diego, 1998. PP.226.

69. Kuntze G. Anwendung der Kollokationsmethode zur Losung von Aufga-ben der Plattenbeulung // Wiss. Z. Techn. Hochsch. Magdeburg. 1976. Bd. 20, №1. S. 57.60.