Решение двумерных задач статики ортотропных открытых конических оболочек переменной жесткости на основе сплайн-аппроксимации тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

П В

—\) - i

КИЕВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. ТАРАСА ШЕВЧЕНКО

V

На правах рухопиг.и

•Г

МУТОВСКИИ Олег Михайлович

П'ЛКШП1: ДПУМЕРНЫХ ЗАДАЧ СТАТИКИ

ортотроших открытых конических

О ВОЛОЧЕК 1КРШЕМЮЙ ЕЕСТКОСТИ НА ОСНОВЕ СШ!А1!Н-АЛ1П-ОКС!!?,1АЦШ!

0[.ГС!.01 - механика ^сформируемого твердого тола

АВТОР Е Ф Е PAT

диссертация на соискание ученой степени кандидата фиэико-матоматических наук

Киев 199Я

Работа выполнена в Киевском инженерно-строительном института

Научные руководители - член-корреспондент All Украины,

доктор технических наук, профессор ГРИГОРЕНКО Я.М.

- доктор технических наук КРЮКОВ Н.Н.

Официальные оппненты - доктор физико-математических

наук, профессор КАРНАУХОВ В.Г.

- доктор физико-математических наук МОЛЬЧЕЖО Л.В.

Ведущая организация - Львовский университет.

Защита состоится UiO/'/Jt 1992 г. в / 3

часов, на заседании специализированного совета К 068.18.09 • Киевского университета им. Тараса Шевченко (252127, г. Киев, проспект Глушкова, 6, КГУ, механико-математический факультет).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Киевского университета им. Тараса Шевченко.

Отзывы на автореферат в 2-х экземплярах, заверенные печатью, просим направлять в адрес университета: 252017, Киев-17, ул. Владимирская, 64, КГУ, мех.-мат. факультет, ученому секретарю Жарию О.Ю.

Автореферат разослан "X _1992 г.

Учений секретарь специализированного совета,у / (

доктор физ.-мат. наук мЛуыфлу^ 0.ю. £арий

-!ла|| ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

.зртаций^ Актуальность работы. Многие элементы конструкций современной техники представляют собой тонкие оболочки и пластины различной формы. В частности, все большео распространение получают открытые непологие конические оболочки переменной жесткости, находящиеся под действием неравномерно распределении»: поверхностных и контурных силовых нагрузок и температурного поля. Усложнение условий работы и возрастание в связи с этим требований, предъявляемых к ним, вызывает необходимость повышения точности определения факторов их напряженно-деформированного, состояния. Расчет напряженно-деформированного состояния непологих тонких конических оболочек с переменными параметрами приводит к решении двумерных краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. Сложность решения этих задач обусловлена не только высоким порядкам системы уравнений, переменностью её коэффициентов, но и требованием точно удовлетворить заданным граничным условиям на всех контурах конического оболочечного элемента.

Значительный вклад в разработку теории и методов расчета пластин и оболочек внесли С.А. Ачбарцумян, И.Г. Бубнов, В.З. Власов, И.И. Ворович, А.А, Гольденвейзер, Э.И. Григолюк, H.A. Кильчевский, А.И. Лурье, Х.М. Муштари, В.В. Новожилов, П.Ф. Папкович, С.П. Тимошенко, В.И. Феодосьев и другие ученые.

Хотя уравнения и соотношения теории тонких оболочек известны давно, точные аналитические решения найдены лишь для отдельных классов оболочек.

Различные вариационные и проекционные методы позволяют получить решение этого класса задач в основном для оболочек и пластин постоянной толтцинн при простых граничных условиях.

В последнее время в практике расчетов тонкостенных элементов конструкций используются сплайн-функция. Это объясняется преимуществами аппарата сплайн-приближений по сравнению с другими. К числу основных преимуществ можто отн-зсти сугэдущшэ:

- устойчивость сплайнов относительно локальных возмущений, т.е. поведение сплайна в окрестности точки не сиазнваотся на поведении сплайна в целом, как, например, это ипрзт место при полиномиальной интерполяции;

- хорошая сходимость сплайн-интерполяции в отличие от МЙОГОЧЛвЕНОЙ;

- простота и удобства в реализации алгоритмов построения на ЭВМ.

Опыт праиенения сплайн-функций как аппарата приближения функций в численном анализе показывает, что во всех известных случаях удавалось добиться ощутимых результатов по сравнению с классический аппаратом многочленов.

Имеется незначительное число работ отечественных и зарубежных авторов, посвященных решению краевых задач теории пластин и оболочек с применением сплайн-функций, В большинстве этих работ сплайны приценяются для решения одномерных краевых задач.

В настоящее время разработанные подходы к построению решения двумерных краевых задач теории оболочек и пластин еще не достаточно удовлетворяют требованиям практики. Поэтому рассматриваемые в диссертационной работе вопросы, связанные с разработкой подхода к решению двумерных краевых задач теории тонких нвпологих ортотропных конических оболочек с неременными геометрическими параметрами при сложных граничных условиях на основе сплайа-аппроксшацни являются актуальным.

Рель шботн формулируется следующим образом:

- разработка подхода к численному решению двумерных краевых задач статики открытых конических оболочек вращения переменной в двух координатных направлениях жесткости, находящихся под действиам не ос о симао тричннх силовых в температурных нагрузок, на основе сплайн-аплроксишции;

- численная реализация предложенного подхода и создание

па его основе комплекса программ, позволяющего проводить исследование напрявенно-деформлровашого состояния конических оболочек указанного класса;

- проведение на основе предлагаемого подхода исследования шщрякенно-деформированного состояния конических оболочек вращения в широком диапазоне измешния геометрических, механических параметров, видов нагружония и способов закрепления контуров.

Научная новизна работы заключается в следующих основных положениях, выносимых на защиту:

- разработка методики решения двумерных краевых задач тэс pirn тонких слоистых ортотропных открытых конических оболочек вращения с переменными в двух координатных направлениях параметрами на основе метода сплаЯн-коллокации;

- построение и реализация на ЭВМ алгоритма и программы численного решения задач указанного класса;

- исследование л анализ напрлженно-дефор^шрованного состояния открытых конических оболочек при слокных граничных условиях.

Методика решения двумерных краевых задач основана на аппроксимации решения вдоль образующей с помощью В-сплайнов, кс-пользованли метода коллокацшт и численном интегрировании одно-глерных краевых задач в окружном направлении методом дискретной ортогонализации-

Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается корректностью постановки задачи, строгостью математических выкладок, использовании обоснованных методов регепия, сравнением с результатами других авторов, проведении расчетов с достаточной степенью точности, которая контролируется с помощью различных индуктивных приемов.

Практическая ценность работы заключается в разработке подхода к ресениз двумерных задач рассматриваемого класса и реализации его алгоритма з виде программы для ЭШ па языка Фортран, что позволяет проводить исследование напрялгэнно-де-форжрсзаяного состояния конических оболочек в кирокотл диапазоне изменения геометрических и механических параметров. Результаты расчетов могут бкть использованы па предприятиях я в научно-исследовательских организациях при оценке прочпосги элементоз конструкций.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы доложены и обсувдены на:

1. ХП Всесоюзной конференции по численным ыетодгт решения задач теории упругости и пластичности (Тверь, 1991 г );

2. Всесоюзной научно-технической конференции лпгозщи-ошше материалы в конструкциях глубоководных технических средств" (Николаев, 1991 г.);

3. 51-53-й научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов Киевского инж.-строит. ин-та (Киев, 1990-1992 гг.);

4. Семинаре отдала вычислительных методов Института механики АН Украины (Киев, 1992 г.);

5. Научной семинаре кафедры механики сплошных сред Киевского университета иы. Т.Г. Шевченко (Киев, 1992 г.);

6. Заседании Проблемного совета по специальности 01.02.04-механика деформируемого твердого тела при механико-математическом факультете Киевского государственного университета

им. Т. Г. Шевченко <Киев, 1992).

Цубликадид. По результатам исследований, выпфшенных в дассертацйи, опубликовано пять работ.

Структур я оф>ем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка и ирилоаения. Общий объем диссертации составляет 167 страниц, в том числе: 89 страниц машинописного текста, 23 страницы рисунков, 18 страниц таблиц, II страниц списка использованной литературы и 26 страниц придажбн±я.

Автор глубоко благодарен научным руководителям чл.-корр. АН Украины, профессору Я.М, Григоренко и д-ру техн. наук Н.Н. Кракову за постоянное внимание и помощь в работе.

СОДЕРНАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность рассматриваемых в работе вопросов, приводится краткий обзор работ по исследованию напряженно-деформированного состояния открытых непологих тонких конических оболочек вращения и по применении сплайн-функций к решению задач теории пластин и ободочек, сформулирована цель исследования, указана научная новизна и практическая значимость работы. Кратко излагается содержание диссертации по главам.

В первой удаве приводятся основные соотношения линейной теории тонких непологах слоистых ортотропных конических оболочек вращения. Рассматриваются тонкие открытые конические оболочки из произвольного числа изотропных и ортотропных слоев, толщины которых являются переменными в двух координатных направ-

лениях. Предлагается, что все слои оболочки при деформации остаются упругими, т.е. материал слоев подчиняется обобщенному закону 1ука с учетом гипотезы Дюамеля-Неймана, и работают совместно без скольжения и отрыва по поверхностям контактов. В качестве исходных выбираются основные соотношения теории тонких оболочек, базирующиеся на гипотезе Кирхгофа-Лява дал всего-пакета слоев в целом.

Уравнения равновесия

дЫ

в

+ мз?6 + зиир (га- о,

дв 95 ' Т Г ' 0 Э5 ' '

(I)

Связь между деформациями и перемещениями с _ ди - / Ш , СОДУ,. .

с / ди , ди- # „__

а2

а IV

)

де =_ ± ¿«г _ ££££ дог ? Гг двг г 95 '

х _ ^У_ X д2«/- .

¿¿Г г 2 30 г 95 ЭЭ

(3)

Соотношения упругости $ = ССС£5© >

Пра этом срединная поверхность конической оболочки отнесена к криволинейной ортогональной система координат 5,0, где 3 - длина дуги образующей, 6 - центральный угол в пара-лельном круге.

Жасткостные характеристики определяются по

формулам

н Гг п £ ,£,

с »115 я В ГУГ,

г г гс

а\

где функции о выражаются через механические характеристики £ -го слоя.

Система исходны соотношений (I) - (3), описыващая поведение открытой непологой конической оболочки переменкой жесткости, находящейся под действием неравномерно распределенных поверхностных и контурных силовых нагрузок и температурного поля, преобразуется к системе трех дифференциальных уравнений в частных производных в перемещениях следующего вида:

€а-р(нИа д*и эУ „ эго- п \ Эв1"'^1 • ^'м5' 96 'Ш ' V,

=р

/

Эа

я2 <7 а

дгт-

Э

Зеа ЫI 35дэ

Э у- д 1Л>- _

' 35 ' Э5а ' 90 ' двдв ' Ъвгдв '

Ь го-

дв

з '

V.

Л, ди

дв4

дгУ дв

Э и> 35

ай

ш-а '

Э

30*

(4)

Э5о> Э3

иг

_ / 3 ЬУ

Э гУ

35 35 дв дв" Эз'дв*

где Ри , Ру., - линейные операторы своих аргументов.

Для определения прокзволов, содеркащлхся в сбщем решении системы дифференциальных уравнений (4), присоединим к ней по четыре граничных условия на халдом из контуров открытой конической оболочки и сформулируем соответствующую краевую задачу. Граничные условия на контурах оболочки Г запишем

а-ф), (5)

где - известные алгебраические и дифференциальные оператору.

Приводятся возможные варианты граничных условий на контурах оболочки.

Вторая глава посвящена разработке методики решения двумерных краевых задач статики тонких непологих открытых орто-трошшх конических оболочек переменной в двух координатных направлениях жесткости. Методика основана на сведении двумерной краевой задачи к одномерной с помощью метода спяайн-коллокации и численном решении полученной одномерной краевой задачи высокого порядка устойчивым численным методом дискретной ортого-нализацли. В начале приводятся некоторые сведения из теории сплайн-функций, которые используются в работе. Даются формулы для вучнсления В-сплайнов третьей и пятой степени, построенные на равномерной сетке.

Решение исходной краевой задачи (4), (5) представляем в

виде

ы

- и -

N

1>-(3,0) = ^Е1'О'.(6)<р (Б)

« (6) иг(з.е)= У^.и&.тФ

«.«•о

где и.(6\ V. (в) , иг.1в)~ функции, подлежащие определению, <р /5) и .(й)- линейные комбинации В-сплайнов третьей, а

пятой степеней на равномерной сетке а ( зо < < .. . < £м \ которые удовлетворяют граничным условиям на криволинейных контурах открытой конической оболочки.

Для сведения двумерной краевой задачи к одномерной используем метод коллокации. Выбрав на отрезке интегрирования С£а

N + У точку коллокации § . и, потребовав после подстановки решения (6) в систему уравнений (4) равенства нулю невязки на линиях 3= §. (¿ = 1,2, ..., Ы+ 4 ), получаем после преобразований одномерную систему 8(А/ + I) обыкновенных дифференциальных уравнений вида:

31-АЙ+/' С)

где й-К.«,,.».^,

V., ^.., <, иу-;,.. • •

а штрих обозначает дифференцирование по В -

Граничные условия (5) с учетом представления решения в форме (6) на прямолинейных контурах в-61 и в = 6г в точках коллокации 3епреобразуются к следующему виду:

В1 Есе, )•=£,, « 1г, (8)

где В1, - прямоугольные матрицы 4(а/ + 1)х 8( N + I), » ~ заданные 4(Я/4 I)-мерные векторы.

Добавляя к системе <7) граничные условия (8) на контурах 0=0, и в точках коллокации , £ , +

формулируем одномерную краевую задачу (7), (8).

Для получения устойчивого счета при решении одномерных краевых задач в диссертационной работе используется численный метод дискретной оргогонализации Годунова, хорошо зарекомендовавши

себя в практике решения задач теории пластин и оболочек. Имеющийся опыт применения этого метода подтверждает его эффективность, высокую точность, простоту и удобство при численном решении задач на ЭВМ.

Определив компоненты вектора £ по форадглам (6), вычисляем значения перемещений Ч(з,вУ , , иг(3,6) > а по ник остальные факторы напряженно-деформированного состояния открытых непологих конических оболочек.

Одним из важных этапов предлагаемого подхода является . построение функций , ^¿£5) , </>¿(5) . В работе построены

выражения , через В-спяайиы третьей и пя-

той степени для жестко закрепленного контура, шарнирно закрепленного контура и свободно опертого контура,

В третьей главе дано описание алгоритма и созданной на его основ« программы расчета непологих тонких ортотропных открытых конических ободочек вращения, находящихся под действием неравномерно распределенных поверхностных и контурных силовых нагрузок и температурного поля.

Разработанный алгоритм позволяет получать решение указанного класса задач в широком диапазоне изменения геометрических Параметров, механических и теплофизических характеристик материала слоев, силовых и температурных нагрузок, видов закрепления контуров, определять величины, характеризующие её напряженное состояние. При реализации алгоритма предусматривалось, чтобы он обладал наибольшей общностью в смысле формулировки и решения рассматриваемого класса задач, дШ эффективен в отношении точности и устойчивости решения, экономичен по времени и использованию памяти ЭВМ. На конкретном примере приводится характеристика исходной информации и результатов выполнения программы. Разработанный алгоритм реализован в виде пакета программ на языке Фортран для ЕС ЭЕМ. Программа состоит из отдельных модулей реализующих определенные части вычислительного процесса. Модули по своему назначению делятся на модули общего и специального назначения.

Четвертая глава посвящена оценке достоверности полученных результатов, анализу напряженно-деформированного состояния изотропных и ортотрошшх непологах открытых конических оболочек при различных видах нагрузениЗ и способах закрепления контуров. ■

В первом параграфе этой главы проведен анализ достоверности полученных результатов с использованием различных индуктивных приемов. Проведено сравнение результатов с точным решением задачи о деформации изотропной конической оболочки, у которой криволинейные контуры жестко закреплены, а прямолинейные - свободно оперты, под действием нормального неравномерного давления.

С целью оценки скорости сходимости предлагаемой методики по количеству разбиений отрезка аппроксимации задача была решена при разбиениях М = 7 и М = 9, что соответствует решению систем 64 и 80-го порядка обыкновенных дифференциальных уравнений. Также было проведено сравнение результатов при различном числе шагов интегрирования, ортогонализации и выдачи результатов при различном расположении точек коллокации. Для оценки злиянля расположения точек коллокации на решение задач были проведены вычислительные эксперименты, позволявшие при расчетах использовать рациональную схему выбора точек коллокации.

Для тонкой ортотропной конической оболочки переменной в двух координатных направлениях толщины, находящейся под действием постоянной погерхностноЁ нагрузки, при жестко закрепленных контурах, проведено сравнение результатов решения задачи при различном выборе направления аппроксимации решения.

Проведенные численные эксперименты показывают, что использование предложенной методики позволяет получать решение указанного класса задач с достаточной точностью для сложных граничных условий при неболкзш числе разбиения отрезка аппроксимации. На основе разработанного алгоритма реализованного в прог рашагаи комплексе, проведен численный анализ напряясонно-дофор-мированяого состояния открытых конических оболочек в зависимости от механических, геометрических параметров, видов нагру-жения и закрепления контуров.

Проведено исследование, влияния угла конусности на напряженно-деформированное состояние тонкой изотропной открытой конической оболочки, находящейся под воздействием нормального неравномерного давления, когда контуры жестко закреплены. Показано, что с увеличением утла конусности жесткость оболочки уменьшается, меридиональные и окружные направления возрастают.

Исследовано влияние ортотропии на напряженно-дефорлиро-

ванное? состояние тонкой непологой конической открытой оболочки переменной в окружном направлении толщины при яеетко закрепленных контурах и воздействии равномерного давления. Показано, что с уменьшением модуля упругости в окружном направлении при фиксированном меридиональном максимальные значения прогиба увеличиваются.

Решена задача о термонапряженном состоянии ортотропной конической оболочки переменной толщины в двух координатных направлениях при кестко закрепленных контурах. Получены закономерности в распределении полей напряжений и перемещений при различных законах распределения температурного поля.

Исследовано влияние переменности толщины на нацряаенно-деформированное состояние тонкой ортотропной конической оболочки.

Показано, что за счет перераспределения массы материала с помощью изменения толщины молио существенно понизить напряженность .конической оболочки.

Исследовано также влияние степени изменения нагрузки на напряженно-деформированное состояние конической оболочка постоянной толщины, находящейся под воздействием неравномерной нормальной поверхностной нагрузки.

Показано влияние рассмотренных факторов на распределение напряжений и перемещений в конической оболочке.

Результаты решения всех задач широко представлены графически и таблично.

В приложении приведен текст програг&21 расчета папрязенно-деформировашюго состояния ортотропной тонкой непологой конической оболочки переменной в двух направлениях толцтш.

В заюгочетт сформулированы основные результаты, полученные в работе и состоящие в следующем:

Разработан подход к решению задач статика открытых непологих ортотропных конических оболочек вращения с переменными в диух координатных направле1гиях параметрами прн сложных граничных условиях на основе сплайн-аппроксимации. С помощью разработанного подхода, реализованного в виде программы, проведены исследования напряженно-деформированного состояния открытых ортотропных непологих конических оболочек в зависимости от их геометрических и механических параметров, видов нагруженпя и

способов закрепления контуров.

При этом получены следующие конкретные результаты:

1. Дан вывод разрешающей системы дифференциальных уравнений в частных производных с переменными параметрами в перемещениях, описывающей напряженно-деформированное состояние непологих ортотропных конических оболочек вращения с переменными параметрами, подверженных действию неравномерно распределенных силовых нагрузок и температурного поля.

2. Разработана методика численного решения двумерных краевых задач о напряженно-деформированном состоянии непологих конических оболочек переменной жесткости при сложных граничных условиях, основанная на совместном использовании методов сплайы-коллокации и дискретной ортогонализации.

3. Построен алгоритм численного решения задач о деформации открытых непологих конических оболочек вращения переменной в двух координатных направлениях жесткости, который реализован в виде программы для ЕС ЭВМ.

4. Строгость математических выкладок, применение обоснованных методов решения, сравнение с результатами других авторов, использование различных индуктивных приемов обеспечивает достоверность полученных результатов.

5. На основе разработанного подхода проведено исследование напряженно-деформированного состояния конических оболочек в зависимости от их геометрических и механических параметров, видов нагружения и граничных условий. В частности, проведено исследование влияния угла конусности на.напряженно-деформированное состояние изотропной конической оболочки постоянной толщины, находящейся под действием неравномерного нормального давления; влияние ортотропии материала на деформацию ко!шческой оболочки переменной толщины в окружном направлении под действием равномерного давления, когда все контуры жестко закреплены. Исследовано влияние неравномерного температурного поля на деформацию ортотропной конической оболочки переменной в двух координатных направлениях толщины при жестком закреплении контуров. Проведено исследование влияния переменности толщины и степени изменяемости нагрузки на деформацию конических оболочек.

Таким образом, полученные в работе результаты свидетельствуют о возможности использования разработанного подхода для

исследования напряженно-деформированного состояния слоистых ортотропных открытых конических оболочек вращения с переменными геометрическими и механическими параметрами, находящихся под воздействием неравномерно распределенных силовых и температурных нагрузок, при различных условиях закрепления контуров.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Григоренко Я.М., Крюков H.H., Шутовский О.М. Решение двумерных задач о деформации непологих конических панелей на основе сплайн-аппроксимации //Докл. АН УССР. Сер. А. - 1990. -№ 10. - С. 37-41.'

2. Григоренко Я.М., Крюков H.H., Щутовский О.М. Определение напряженного.состояния ортотропных открытых конических оболочек переменной жесткости со сложными условиями на контурах //Докл. АН УССР. Сер: А. - 1991,- » 8. - С. 41-44.

3. Крюков H.H., Шутовский О.М. Расчет конических панелей из композиционных материалов //Композиционные материалы в конструкциях глубоководных технических средств: Тез. докл. Всесо-юз. науч.-техн. конф. - Николаев: НКИ, 1991. - С. 239.

. 4. Шутовский О.М. Напряженно-деформированное состояние ортотропных открытых конических оболочек переменной толщины. -Киев, 1991. - 9 с. - Деп. в УкрНИИШИ 27.03.91, № 381-УК91.

5. Шутовский О.М. Численное решение задач статики открытых конических оболочек переменной яесткости //52-я научн.-практ. конф. профессорско-преподавательского состава Киев, инж,-строит. ин-та: Тез. докл. - Киев, 1991. - С. 176.