Теория и расчет конических оболочек сложной геометрической структуры тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Козлов Владимир Анатольевич

ТЕОРИЯ И РАСЧЁТ КОНИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ

01.02.04 - механика деформируемого твёрдого тела

Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Казань- 2004

Работа выполнена в Воронежском государственном архитектурно-строительном университете

Научный консультант: доктор технических наук, профессор

Булатов Сергей Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор,

Гурьянов Николай Георгиевич

доктор физико-математических наук, профессор, Каюмов Рашит Абдулхакович

доктор технических наук, профессор, академик РААСН, заслуженный деятель науки и техники РФ Петров Владилен Васильевич

Ведущая организация: Саратовский государственный университет

им. Н.Г. Чернышевского

Защита состоится «29» апреля 2004 года в 1430 на заседании диссертационного совета Д212.081.11 в Казанском государственном университете им. В.И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, ул. Кремлёвская, 18.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного университета.

Автореферат разослан «27» марта 2004 года.

Учёный секретарь диссертационного совета

Саченков А.А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Современные оболочечные конструкции в зависимости от их функционального назначения и условий эксплуатации имеют, как правило, геометрически сложное очертание поверхности, подкрепляющий силовой набор, отверстия, многосвязный контур сечения, коничность, скошенность, переменную жёсткость и другие особенности. Примерами таких конструкций являются, например, атомные реакторы, корпуса надводных и подводных кораблей, летательные и космические аппараты, объекты строительного и химического производства и другие инженерные сооружения. Недостаточность теоретических исследований в области расчёта их прочности, устойчивости и колебаний сейчас компенсируется в НИИ, проектных и конструкторских организациях в основном экспериментальными данными, полученными на физических моделях и дорогостоящими натурными испытаниями. Объясняется это прежде всего значительной трудностью реализации математической модели, удовлетворительно описывающей работу современной оболочечной конструкции. А её численная реализация на ЭВМ часто связана с необходимостью решения сложной системы дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, при которой наблюдается явление неустойчивости счёта, потеря порядка и другие, чисто технические трудности. Известные аналитические решения некоторых краевых задач, опирающиеся, как правило, на упрощённую схематизацию геометрически сложных оболочек, в ряде случаев не в полной мере отражают характер их работы. В частности, в некоторых публикациях интерпретация крыла как анизотропной пластины или консольно защемлённой балки представляется весьма условной в силу различного характера их работы под нагрузкой.

Поэтому построение математических моделей, удовлетворительно описывающих работу сложных оболочечных конструкций как, например, стреловидного крыла летательного аппарата, имеющего, в частности, переменную толщину несущей обшивки и площадь поперечного сечения силового набора, и разработка на их основе простых и достаточно надёжных прикладных методов расчёта при различных схемах нагружения и условиях эксплуатации, представляет собой одну из наиболее актуальных проблем математической теории оболочек. Её решение позволило бы в значительной степени снизить массу изделий за счёт более рационального распределения в них материала, а, следовательно, сэкономить дорогостоящие конструкционные материалы, повысить эксплуатационную надёжность, экологическую безопасность и снизить себестоимость инженерных сооружений.

Решению поставленной проблемы в рамках принятой математической модели и посвящена реферируемая работа.

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

«

Цель диссертационной работы Разработка теории и прикладных методов расчёта некоторых типов современных оболочечных конструкций, имеющих скошенность, некруговое очертание, многозамкнутый контур, переменную толщину обшивки и площадь поперечного сечения подкрепляющего набора.

Построение математической модели, удовлетворительно описывающей конструктивно-силовую схему и характер работы таких конструкций, их переменную жёсткость и влияние её на напряжённо-деформированное состояние, форму и частоту колебаний.

Решение прикладных краевых задач, доведённых до практического применения в различных отраслях промышленности, в том числе в авиационной и ракетно-космической технике, где требования к снижению массы конструкции с обеспечением аэродинамических качеств и эксплуатационной надёжности являются основными.

Научная новизна основных результатов выполненных исследований

1. В тензорной, векторной и скалярной формах получен вариант теории тонких упругих оболочек в пространственной криволинейной системе координат. Причём, в отличие от известных вариантов, опирающихся на те или иные допущения и традиционного сведения трёхмерной задачи к двумерной, в работе статические и геометрические соотношения получены с позиции взаимодействия погонных сил и моментов в пространственно-искривленном двумерном континууме. Наряду с компактным видом и достаточной общностью основных соотношений, предложенный вариант позволяет выполнить постановку граничных условий по любым направлениям к линиям главных кривизн оболочки. В предельном переходе полученные результаты совпадают с известными из фундаментальных литературных источников.

2. Доказана, и видимо, впервые, полная статико-геометрическая аналогия в теории тонких оболочек. В частности, в отличие от известных подходов, в векторах погонных моментов учтены составляющие, направленные по нормали к срединной поверхности, а в векторах изгибной деформации — соответствующие им компоненты кручения, что и позволило получить соответствие каждой статической величине геометрической и каждому однородному уравнению равновесия - уравнение совместности деформаций. В известных теориях оболочек компонентам поперечной сдвиговой деформации не ставятся в соответствие какие-либо компоненты статических величин, а поперечным сдвиговым силам соответствуют некоторые формально вводимые величины. В предложенном варианте эти величины также присутствуют, но имеют конкретный физический смысл, а именно - это нормальные к срединной поверхности компоненты вектора изгибной деформации. Физические соотношения, наряду с традиционной скалярной формой, представлены и векторными равенствами.

3. На основе анализа известной монографии доказана идентичность схем дискретизации векторных дифференциальных соотношений методом криволинейных сеток и скалярных уравнений теории оболочек по методу конечных разностей. Дано обобщение метода криволинейных сеток (метод векторных разностей).

4. Предложен уточнённый подход к расчёту оболочек сложной геометрии, свободный от необходимости выбора депланационных координатных функций в известном вариационном методе и опирающийся на интегрирование дифференциального уравнения в частных производных, описывающего депланационные смещения. Достоинством предлагаемого подхода является:

1) независимость депланационных смещений контура от налагаемых связей, обусловленных выбором координатных функций;

2) исключается необходимость подбора собственно депланационных координатных функций, что делает применённый в работе метод точным в рамках экспериментально апробированных гипотез.

5. Разработана математическая модель конструктивно ортотропной конической оболочки сложной геометрической структуры, на основе которой с применением аппарата специальных функций получены аналитические решения краевых задач по определению напряжённо -деформированного состояния (НДС) оболочек с переменными жесткостными параметрами, а также численные решения динамических задач, связанных с определением собственных частот и форм колебаний рассматриваемых оболочек.

Практическая ценность диссертационной работы состоит в аналитических и численных решениях широкого круга статических и динамических задач, доведённых до практического применения в проектных и конструкторских организациях; в разработке программного комплекса для ЭВМ по определения НДС, форм и частот колебаний в конструкциях типа прямого и стреловидного крыла. Результаты выполненных исследований дают одно из возможных направлений к снижению металлоёмкости, повышению эксплуатационной надёжности и долговечности современных тонкостенных конструкций, применяемых в основном в авиационной и ракетной технике, то есть там, где минимум массы изделия является определяющим.

Основные научные положения На защиту выносятся:

обобщённый вариант теории тонких упругих гладких оболочек на случай пространственной криволинейной неортогональной системы координат; получение на основе предложенного варианта теории полной статико-геометрической аналогии с конкретным физическим истолкованием некоторых формально введённых в классической теории вел ичин;

доказательство идентичности методов криволинейных сеток и конечных разностей;

обобщение метода криволинейных сеток (метод векторных разностей); уточненный подход к решению краевых задач статики и динамики оболочек типа крыла, свободный от необходимости выбора депланационных координатных функций в известном вариационном методе;

аналитические решения краевых задач с применением аппарата специальных функций задач по определению НДС прямых и скошенных, одно- и многосвязных, цилиндрических и конических оболочек с переменными параметрами жёсткости при воздействии сосредоточенных и распределённых силовых факторов;

разработка и реализация на ЭВМ универсального алгоритма расчёта НДС, свободных и вынужденных колебаний оболочек сложной структуры; качественный и количественный анализ работы оболочек переменной и постоянной толщины, численная оценка приближённых аналитических решений;

рекомендации по использовании результатов исследований в проектных организациях и конструкторских бюро.

Достоверность научныхположений в теоретической части обеспечивается математически корректным получением основных статических, геометрических и физических соотношений в рамках общепринятой теории тонких упругих оболочек. При некоторых упрощениях все соотношения совпадают с известными из фундаментальных источников.

Достоверность и надёжность аналитических и численных решений краевых задач подтверждается их сравнительным анализом, предельным переходом к результатам для оболочек постоянной толщины, а также сравнением с экспериментальными исследованиями других авторов.

Апробацияработы Материалы диссертационной работы докладывались:

- на ежегодных научных конференциях Воронежского государственного архитектурно-строительного университета 1987-2003 годов;

- на XIV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Тбилиси,

1987);

- на школе-семинаре «Современные проблемы механики и математической физики» (Воронеж, 1994);

- на XVI международной конференции по теории оболочек и пластин (Нижний Новгород, 1994);

- на XVIII международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов, 1997);

- на международной конференции «Актуальные проблемы механики оболочек» (Казань, 1998);

- на международных научно-практических конференциях «Высокие технологии в экологии» (Воронеж, 1998,1999,2000,2001,2002 и 2003);

- на международной конференции «Актуальные проблемы механики оболочек» (Казань, 2000);

- на всероссийской XXXI научно-технической конференции «Актуальные проблемы современного строительства» (Пенза, 2001);

- на второй всероссийской научно-технической конференции «Прикладные задачи механики и тепломассообмена в авиастроении» (Воронеж, 2001);

- на школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2002);

- на XX международной конференции по теории оболочек и пластин (Нижний Новгород, 2002);

- на заседании кафедры теоретической механики Воронежского государственного архитектурно-строительного университета (Воронеж, 2002);

- на расширенном заседании кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета (Саратов,2002);

- на городском семинаре по механике деформируемого твёрдого тела при кафедре механики Казанского государственного университета (Казань, 2003).

Публикации.

Основное содержание диссертации представлено в 42 опубликованных статьях. Список опубликованных работ приводится в конце данного реферата.

Структура и объём диссертации.

Диссертационная работа состоит из оглавления, введения, семи глав основного текста, заключения и списка использованной литературы; изложена на 245 страницах машинописного текста, содержит 19 таблиц, 57 рисунков и библиографический список из 197 наименований.

Содержание работы Во введении показана актуальность темы, дан краткий библиографический обзор публикаций, относящихся к общетеоретическим вопросам, а также к проблеме расчёта оболочек сложной геометрической структуры. Приводится общая структура работы с кратким содержанием её отдельных глав, формулируются основные положения, выносимые на защиту, перечисляются конференции и семинары, на которых докладывались результаты исследований по теме диссертации. Работа состоит из двух частей.

В части первой выполнено обобщение известной теории тонких оболочек на случай неортогональной криволинейной системы координат, позволяющее решать краевые задачи при любой ориентации граничных условий относительно линий главных кривизн. Дан анализ выбора метода исследования рассматриваемых оболочек. Доказана идентичность метода криволинейных сеток и метода конечных разностей, выполнено обобщение метода криволинейных сеток. Предложен уточнённый подход, свободный от

необходимости выбора депланационных координатных функций и опирающийся на интегрирование дифференциального уравнения в частных производных, описывающего депланационные смещения. В развитие известного вариационного подхода в общем виде построена математическая модель подкреплённой конической оболочки сложной геометрической структуры.

Часть вторая работы посвящена решениям статических и динамических краевых задач для призматических, цилиндрических, конических оболочек с произвольным контуром поперечного сечения, переменной жёсткости, защемлённых как по линиям главных кривизн, так и по скошенному краю.

В главе первой в отличие от традиционного подхода сведения трёхмерной задачи к двумерной, статические и геометрические зависимости теории тонких гладких оболочек получены с позиции взаимодействия погонных сил и моментов в пространственно-искривленном двумерном континууме, что является определённым обобщением известной теории Э.Рейсснера на случай неортогональной криволинейной системы координат. Покажем это.

Выделим бесконечно малый элемент срединной поверхности оболочки,

отнесённой к косоуголвной гауссовой системе координат а1,а2, нагруженнвш распределённой нагрузкой и моментом , приходящимися на единицу недеформированной площади. Пуств к четвфём сторонам этого элемента приложенв1 векторв1 сил Й1 и моментов М' , представленнвю в виде (у—1,2)

£ = +<7„й; т-т'пУ.г^тпЪ. (1)

& = А^ + (Уп; М' = Мчп + Р'п. (2)

В отличие от известнвгх теорий здесв для векторов моментов вводятся нормальные к поверхности моментные составляющие Р . Из условий равенства нулю главного вектора и главного момента приложенных к выделенному элементу силовых факторов получим два векторных уравнения равновесия сил и моментов

{/аМ')+ УаЙ')+ 4ат = О,

каждое из которых эквивалентно трём скалярным уравнениям. Разворачивая с помощвю формул Гаусса-Вейнгартена уравнение (3) и последователвно умножая на координатнвю векторв1 вспомогателвного базиса г1,г2,Я (/;•?■' символ Кроннекера, г, -п = 0), получим известные уравнения

равновесия в скалярной форме

где

Векторные уравнения равновесия моментов (4) с учетом соотношения для символов Кристоффеля

можно преобразовать к виду

+г,хЯ' +т = 0, (6)

где

да

Разворачивая (6) с помощью (1), (2) и последовательно скалярно умножая» на (ихг1), (пхг2) и й, получим три уравнения равновесия моментов в скалярной форме

У,Л/'* -Ь,/]Р' +тк =0, к = 1,2; V,/>' +сй(у* +$Мв)+т„ =0, (7)

Известные из литературы уравнения вытекают из (7) как частный случай, если здесь положить Р'= 0 и тп= 0. С учётом этих величин третье моментное уравнение не является алгебраическим и тождественно не удовлетворяется. Из него же следует, что для моментных составляющих определяющей является компонента тп поверхностного момента.

К уравнениям равновесия (3), (4), которые выполняются во внутренней области оболочки, необходимо присоединить статические граничные условия, представленные в виде

Ы = А1Ы1 М = А,М' соБ^.а'), (8)

где - заданные краевые силы и моменты;

V - тангенциальная нормаль к граничной линии поверхности. При получении геометрических соотношений определим- возможные смещения и возможные деформации как систему бесконечно малых кинематически возможных перемещений и деформаций, которые позволяют выразить возможную работу в такой форме, что уравнения (3), (4), (8) будут эквивалентны следующему:

= |[(<7<5и+с1аг + + М5<р)сЬ, (9)

5й,8<р — векторы возможных поступательных и вращательных смещений; 8ё,,5к, - векторы возможных деформаций и поворотов (изгиб и кручение) соответственно.

В классической теории оболочек необходимым и достаточным условием выполнения (9) являются уравнения (3), (4), (8). Используем уравнение (9) в обратной форме: будем считать, что (3), (4), (8) заданы, и с их помощью при произвольных из (9) исключим величины При этом с

учётом формулы интегрирования по частям.и свойств смешанного произведения векторов уравнение (9) приводится к виду

+М'Ж,}/ас1а,<1а1 = = Д{й'[д(<5и)/да' +г, хЗф]+М'8(Зф)/8а'\/^с1а,с1а2. (10)

В силу произвольности векторов

деформациям и перемещениям, из (10) следуют соотношения

е, =ди/8а'+г,хф; к,=дф1да'. (И)

Векторы деформаций и поворотов, поступательных и вращательных смещений представим в виде

£, = £¡1?* + у,п\ к, = к1}п хг'+л,п\ (12)

(13)

Здесь в отличие от классической теории оболочек в векторах к( учитываются

направленные по нормали к поверхности составляющие отвечающие в

разложениях (2). Развернув. векторные уравнения (11) с помощью формул

Гаусса-Вейнгартена, получим соотношения, между деформациями и перемещениями в скалярной форме

е9 =ди]!да< -Т*ик -Ь^-с^со, у, =д\*>/да' +Ь)ик +<р,; (14)

к,]=д<р11да'-Гуфь-с^Ь* а, Л,=да1да' +с'кЬл(р). (15)

Сравнивая выражения для А, с формулами для введённых при' получении

геометрических соотношений в монографии1* или в монографии2*,

приходим к выводу, что эти величины полностью идентичны между собой. Для указанных величин не оговаривается их конкретный геометрический смысл, хотя в книге3* сделано предположение,.что «они представляют собой некоторые параметры деформации». Предлагаемый вариант теории оболочек позволяет дать вспомогательным геометрическим величинам ¿¡} или конкретное

физическое истолкование, отвечающее в разложениях (12). Итак, эти компоненты представляют собой нормальные к срединной- поверхности

'* Гольденвейзер АЛ. Теория упругих тонких оболочек. — М.: Наука, 1976. - 512 с.

2) Черных К.Ф. Линейная теория оболочек: В 2-х ч. - 4.2,1964. - 395 с.

3).Филин А.П. Элементы теории оболочек. - Л.: Стройиздат, 1987. - 384 с.

оболочки составляющие векторов к, изгибной деформации (деформация кручения в срединной поверхности).

Выражения (11) позволяют получить из очевидных соотношений

д2ф/да,да2 =дгф/да2да1 и д2и/да]да2 ~дгй/да28а1 два векторных уравнения совместности деформаций

дк2/да1-дк{/да2 = 0; де2 /да1-де1 /да2+г1хк2-г2хкх = 0. (16)

Легко заметить, что соотношения (16) и однородные уравнения, отвечающие уравнениям равновесия (3), (4), переходят друг в друга при следующей замене:

£, СрМ1, К, СуИ*.

То есть однородные уравнения равновесия и (16) выражают собой векторную форму статико-геометрической аналогии теории тонких оболочек.

Впервые на статико-геометрическую аналогию в теории оболочек обратили внимание А.И. Лурье и А.Л. Гольденвейзер. В дальнейших исследованиях пути ее" приложения оказались весьма разнообразными, но по замечанию А.Л. Гольденвейзера1* полной в общем случае статико-геометрическую аналогию назвать нельзя, так как имеются «лишние» равенства и величины. В этом смысле предложенный автором вариант теории оболочек даёт полное соответствие между статическими и геометрическими соотношениями и величинами.

Разворачивая уравнения (16), получим

Без учёта компонент у, поперечной деформации уравнения (17) совпадают как частный случай с известными в указанных выше монографиях.

Однородные уравнения равновесия, отвечающие (5), (7) и уравнения совместности (17) тождественны друг другу по структуре, что позволяет установить соответствие между скалярными статическими и геометрическими величинами:

лт'* <*сисиК;„ е'о-с'^; Р'<г*-с"уу (18)

В известных теориях оболочек компонентам поперечной сдвиговой деформации у, не ставятся в соответствие компоненты статических величин

( Р'), а поперечным сдвиговым силам @ соответствуют формально вводимые

величины или без истолкования их конкретного физического смысла.

Для того чтобы предложенный вариант теории оболочек имел замкнутую структуру, добавим к статическим и геометрическим уравнениям соотношения

упругости. Последние с учётом поперечного сдвига в скалярной форме имеют

Л"* & =к1К(\-у)у', М* = йЕ'^к^ (19)

где Е'1'' = а'ка]' + Ус'кср\ V - коэффициент Пуассона;

Eh3

жёсткость элемента оболочки единичной

1-Й ' 12(1-к2)

ширины, работающего на растяжение, и цилиндрическая жёсткость соответственно.

Получить этим же путём недостающее соотношение между Р' и Я' не представляется возможным. Но, опираясь на статико-геометрическую аналогию

(18) и выражение (19) для @, это соотношение можно представить в виде

Р'=к'ОЯ!, (20)

где к - коэффициент, определяемый опытным путём (аналог к2 в формуле

(19) для <2'). В векторной форме соотношения (19), (20) имеют вид

N' М>

= 4*4

'=£>{а'

+ усл{ёкхп)+1к\\-у)Г1-а*ук

кк + мс" {кк хй)+[Л Л,- а'Ч

4

(21)

Зависимости (19), а, следовательно, и (21), получены с применением гипотез Киргофа-Лява. Кроме того, при их выводе пренебрегают величинами zblk по сравнению с единицей (z направлено по нормали к срединной поверхности). Как следствие этого

Поэтому зависимости (19), (20) или (21) можно назвать лишь формулами первого приближения. Учёт в них второстепенных членов Р' и Я' делает симметричными общие соотношения теории оболочек, которые более удобны при теоретических исследованиях.

Во второй главе при построении геометрической модели вектор упругого

перемещения 0, как и в работе4), являющейся развитием подхода В.З. Власова, представлен в виде суммы двух вектор-функций

U(Z,S) = U°(Z,S)+U\Z,S), (22)

зависящих от криволинейных координат оболочки: - продольная

координата, представляющая собой расстояние от плоскости направляющей и отсчитываемая по образующей в долях её полной длины /; S — параметр, отсчитываемый по контуру оболочки.

В разложении (22) первая функция U0 соответствует произвольному

пространственному смещению контура как твёрдого тела и отвечает

4) Образцов И.Ф., Онанов Г.Г. Строительная механика скошенных тонкостенных систем. — М.: Машиностроение, 1973. - 658 с. 12

грубому, но физически, наглядному представлению о характере работы конструкции. Вторая • вектор-функция U' является поправкой к 0° и определяет депланацию контчдэа. Выбрав полюс (например, точку пересечения плоскости контура Z = const с осью Oz или вершину конической поверхности), перемещение U0 можно представить в виде конечной суммы.

C7°(z,S)=;£>,(Z)6(S), (23)

1*1

где искомые функции Vt{Z) представляю скалярныефункции

представляют _собой компоненты векторов поступательного смещения и вращения контура Z = const, а вектор-функции <p,(S) известны и определяются выбором базиса и точки полюса.

По аналогии с (23) вектор-функция U также может быть представлена в виде конечного разложения

¿/•(Z,S) = Yyt{Z)p,{S), (24)

где п - число степеней свободы контура Z = const в отношении депланации U'(Z,S)\ <p,(S)— задаваемая система координатных вектор-функций; V,(Z) - неизвестные скалярные функции, определяющие депланацию контура.

Функции V, (Z) являются основными скалярными неизвестными, которые, следуя В.З. Власову, называют обобщёнными перемещениями, а соответствующие им вектор-функции <p,(S) - обобщёнными координатами или координатными функциями. Точность решения задач с применением депланационных координатных функций зависит от удачного их выбора. В диссертационной работе изложен другой подход, свободный от этого

недостатка, то есть для второго слагаемого равенства (22) предлагается не применять разложение (24), так как здесь вектор-функции <pt (S) (/=7,...,6+л) поперечной координаты выбором базиса не определяются, а являются произвольными. При этом качество решения всецело зависит от того, насколько удачно выбраны аппроксимирующие функции. Итак, вектор упругого перемещения точек оболочки представим в виде

U{Z,S) = Jy,{ZmS) + U\Z,S). (25)

На основе вариационного принципа Лагранжа задача сводится к интегрированию системы шести обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, соответствующих скалярным составляющим вектора , и

уравнения в частных производных для депланационного смещения Последнее для конической оболочки с произвольным контуром поперечного сечения имеет достаточно сложный вид, но в частных случаях, рассматриваемых ниже, оно значительно упрощается.

Наряду с аналитическими решениями краевых задач, получены и численные решения с применением метода конечных разностей повышенной точности. В работе5) отмечается эффективность применения методов конечных элементов (МКЭ) и конечных разностей (МКР) при расчёте оболочек сложной формы. Как показано в работе, одной из причин слабой сходимости решений при применении МКР является существенное влияние жёстких смещений элементов- оболочки на погрешность конечно-разностной аппроксимации ковариантных производных от компонент разрешающих вектор-функций. Вектор перемещения и можно представить в виде суммы двух слагаемых, одно из которых соответствует упругому смещению точек оболочки, а второе

отвечает смещению как твёрдого тела: й = 0 + й,. Значение ковариантной производной

У(М, =|Ц-Ци, (/ = 1,2; у,/ = 1,2,3) да

(26)

от компонент второго слагаемого равно нулю. Выражение производной (26) можно заменить в точке к конечно-разностным аналогом, выбрав шаг Да' численного интегрирования

цл*+о "л*-1) г/

* III

2Аа

>тит-

(27)

При такой дискретизации в случае малых деформаций оболочки в окрестности точки к и относительно больших смещениях её как твёрдого тела, компоненты, отвечающие смещениям оболочки как жёсткого целого, могут дать погрешность, соизмеримую со значением самой вычисляемой производной Во многих задачах численного исследования оболочек именно это

обстоятельство и вызывает неудовлетворительную сходимость решений.

В отмеченной выше работе5* при конечно-разностной аппроксимации векторное выражение ковариантной производной

V,«, = (/ = 1,2; у = 1,2,3; г, = п)

да

в точке к заменяется разностным аналогом в виде

'<*> 2Аа'

То есть частная производная в направлении координаты перемещения и заменяется конечным выражением

(28)

(29)

от вектора

иа'Л*,

_ Ц(<Ы) Ц(*-1)

2Д а'

(30)

При этом утверждается, что значение конечно-разностной производной (30) от вектор-функции, отвечающей жёстким смещениям элементов оболочки равно

5) Гуляев В.Н., Баженов В.А., Гопуляк Е.А., Гайдайчук В.В. Расчёт оболочек сложной формы. - Киев: Будивэльник, 1990. - 190 с. 14

нулю. Это позволяет говорить о «новой» схеме дискретизации (метод криволинейных сеток - МКС), обобщающей и улучшающей МКР в задачах теории оболочек.

Но конечно-разностная аппроксимация (29) полностью идентична (27). Докажем это. Векторы пере в точках Л+1 и А-1 с н о

представить в виде

где

Подставляя (31),(32) в (29), получим

(У.«л» =

"/(<+!) Ц/(*-1) -I -

2А а'

ЪУ'т +

иЦк+\) + И/(*-1)

Да

.1 'Л*)'

Здесь г{к) -гл1) - символ Кроннекера,

ищ±п+ ц/(*-о

= и,

Из дифференциальной геометрии известно, что

дг'

Нт

А?'

&а'-*о д а' да1

- -Г.'_

(31)

(32)

(33)

Следовательно, в окрестности точки к имеют место соотношения:

— ~-Г' 7т и Да' ~ 1""<*>'<1> И

Дг'

Да

I 'т

= -Г.

/ -м - _ п/ ря> _ п/

(34)

(35)

С учётом (34) равенство (33) принимает вид

Ч™ 2Да'

что полностью совпадает с (27).

Аналогично при аппроксимации методом криволинейных сеток векторных уравнений равновесия (3), (4), полученные конечно-разностные уравнения в точке с номером <к> по виду полностью совпадают со скалярным видом известных уравнений равновесия теории оболочек в тензорном виде, где ковариантная производная заменена конечно-разностными соотношениями обычного метода конечных разностей. Отличие МКС от МКР состоит лишь в применении первого к векторным дифференциальным соотношениям, а второго - к скалярным. В ряде случаев это позволяет в промежуточных выкладках работать с векторными уравнениями, и лишь окончательные выражения записать в скалярном виде. В теории оболочек, например, можно работать с двумя векторными уравнениями равновесия сил и моментов вместо аналогичных шести скалярных.

В развитие и обобщение МКС докажем существование для любого линейного дифференциального оператора приближённого конечного выражения произвольного порядка точности (МКС повышенной точности).

Пусть вектор-функция и зависит от криволинейной координаты и = и($), и относительно неё задан однородный линейный дифференциальный оператор с непрерывными функциями ап($)

г_1 А /ч3"5

»=0

(36)

Определение. Конечным выражением г-го приближения в точке 5, для дифференциального оператора 0[и] называется линейная комбинация

4"]= !>*"(*,+АЛ), (37)

где Ък — константы, 1,т — целые числа, если разложение Ь в ряд Тейлора в точке содержит производные (э"й/с соответствующими множителями ап) при n<N и не содержит производных при N + \ <п< N + г.

Если при этом вектор-функция й(я) имеет (Л^ + г +1) непрерывных производных, то для неё имеет место разложение

Здесь с - константа, |0|<1, |з<А'+г+|)м/Э5<ЛГ+'+1>| — абсолютное значение

максимальной производной в интервале, содержащем все точки 5/+1Л.

Теорема. Для любого заданного линейного дифференциального оператора (36) при любом неотрицательном целом числе в каждой точке существует конечное выражение г -го порядка точности.

Доказательство. Разложим выражение (37) в ряд Тейлора

(38)

Здесь остаточный член Я можно представить в виде

/г"*"1

К=—--9

(ЛГ + г + 1)!

т

Х-

При согласовании разложений (36) и (38) получим систему N + г + 1 уравнений

Определитель полученной системы (39) есть определитель Вандермонда и как произведение разностей различных чисел всегда отличен от нуля. Следовательно, при достаточном количестве неизвестных, то есть при / + + система (39) всегда разрешима. Если количество (1 + т + \) неизвестных Ьк больше, чем число уравнений N + г + [), то ^ + m — Nг)

неизвестных можно положить равными нулю, а остальные вычислить из системы (39). Теорема доказана.

Разностный аналог (29) является конечным выражением 1-го приближения для ковариантной производной В общем случае для нечётного г = 2s +1

^ = 0,1,...) дифференциальное выражение в точке s, заменяется разностным аналогом г-го приближения, в котором используются точки, симметрично расположенные относительно s, от до (р - порядок

дифференциального оператора). В результате для каждой из (и + 1) точек можно записать разностное уравнение, соответствующее дифференциальному. Получим (я + 1) уравнений для п + 2р + 2в + I неизвестных и, от и до . Краевые условия дают ещё 2р

уравнений. Недостающие уравнений можно добавить, записав разностные выражения 1, 3,... , (2 б -1) -го приближения для каждой из граничных точек 50 И 5„. Если в краевых условиях не встречаются (2р -1) производные, то разностные аналоги г -го приближения для граничных точек можно опустить, тогда будут иметь место только значения от

Следует отметить, что так как метод криволинейных сеток является обобщением метода конечных разностей, то, на наш взгляд, более предпочтительным для него является название «метод векторных разностей».

В третьей главе рассматривается геометрия срединной поверхности конической оболочки, имеющей такие особенности, как подкрепляющий поперечный и продольный силовой набор с переменной площадью сечения стрингеров и лонжеронов по размаху, переменную толщину собственно оболочки, скошенность, многосвязность и некруговой контур поперечного сечения. Построена геометрическая модель с учётом гипотез о недеформируемости поперечного сечения оболочки в своей плоскости и направлении депланации контура этого сечения вдоль образующих. Геометрические и физические соотношения представлены в развёрнутом виде с учётом разложений (22)-(24) или (25) для вектора упругого

перемещения в осях основного подвижного триэдра

направленного по линиям главных кривизн рассматриваемой конической оболочки.

Разрешающая система обыкновенных дифференциальных уравнений, полученная на основе вариационного принципа Лагранжа с учётом разложений (22)-(24) имеет вид

= -R,!G i = 1,2,...,6 + n, (40) где G - El2(1 + v) — модуль сдвига; Z = 1 - Z;

* '1+

+ {<P? ~ctgX<Pa\(v)-ctgX<Ptí^~hdS-,

<Рл <Pj»

Rn

<Р)' <Рл <РрЛ I Rn

, , . -T- /sin xhdS-, sin^ I -----

R, = zj[Pl (Z, (5) + p\Z, S)<p? (S) + p„ (Z, S)<pm (5)] -/sin XdS-

X — угол между координатными линиями Z = const и %S = const; Rq — главный- радиус кривизны направляющей срединной поверхности;

м - 2 — — 2 * ^ii =(Pi '{\> =(P,'t j <Pm=(Pi'n ~ проекции координатных функций на

оси основного подвижного триэдра;

р{(Z,S), p2(Z,S), pn(Z,S) — проекции вектора поверхностной нагрузки на оси

Общие решения разрешающих дифференциальных уравнений (40) содержат произвольные постоянные, которые следует определять, удовлетворяя естественным граничным условиям, вытекающим, как и сами уравнения, из вариационного принципа Лагранжа:

где Pt' — заданные внешние обобщённые силы.

При 6+п степенях свободы контура Z = const естественные граничные условия сводятся к 6+п уравнениям на каждом из торцов оболочки. Если в одном из торцевых сечений заданы смещения, то

т г*

обобщённые перемещения V, В этом сечении являются известными. Так, например, если в сечении Z = 0 оболочка жёстко заделана, то обобщённые 18

перемещения

^1г=0 =0> « = 1Д...,б+и, (42)

при этом в этом сечении все вариации выполнено.

Пусть в одном из торцевых сечений заданы усилия. Тогда вариации обобщённых перемещений* 5КД» = 1,2,...,6 + и) - произвольны и независимы. В этом случае естественные граничные условия (41) будут удовлетворены, если при соответствующем значении координатьь Z положить

Следовательно, статические граничные условия вариационной задачи формулируются в виде равенств неизвестных обобщённых сил заданным. В развёрнутом виде равенство (43) запишется так:

= р'(гх), /=1,2,...,б+л

(44)

г=г,

Применяя.уточнённый подход, то есть разложение вектора упругого смещения в виде (25), разрешающая система приводится к шести обыкновенным дифференциальным уравнениям

(45)

и уравнению в частных производных, описывающего депланационные смещения контура поперечного сечения оболочки:

Последнее уравнение получено для скошенной конической оболочки постоянной толщины h=const с произвольным контуром поперечного сечения. В частных случаях, рассматриваемых ниже, его вид значительно упрощается.

Дифференциальные уравнения колебаний скошенной конической оболочки произвольного вида, когда искомые обобщённые перемещения V, кроме

координаты Ъ, зависят ещё и от времени /, в случае разложений (22)-(24) принимают вид

■оператор неконсервативных сил: я;" = )-ф,1&\л х^З-

Общая система разрешающих дифференциальных уравнений (47) описывает неустановившееся движение конической оболочки произволь-иого очертания при воздействии аэродинамических сил и заданной внешней нагрузки Система уравнений (47) и граничные условия (42),

(43) позволяют решать задачи собственных и вынужденных колебаний оболочек, а также задачи аэроупругости такие как: флаттер, дивергенция крыла и т.д. В отличие от известного решения, для рассматриваемых ниже оболочек переменной жесткости система уравнений (47) содержит переменные коэффициенты и при не сводится к уравнениям типа

Эйлера.

В четвёртой- главе решены краевые задачи по расчёту прямых цилиндрических оболочек некругового очертания, переменной жёсткости, защемлённых по одному торцевому сечению при свободном другом. Рассмотрено стеснённое кручение и изгиб оболочек с симметричным контуром.

Рис.1

В задаче по определению НДС консольно защемлённой при г=0 призматической оболочки с прямоугольным контуром поперечного сечения постоянной толщины (Й1=Й2=Л), загруженной поперечной изгибающей силой Qy, изгибающим Мх и крутящим Мг моментами (рис.1) уточнённым подходом, свободным от выбора депланационных координатных функций, получено точное в рамках принимаемых гипотез решение. При этом обобщённые перемещения, отвечающие смещениям контура 1=сот1 как твёрдого тела, запишутся в виде

Депланационное уравнение (46) в рассматриваемом случае значительно упрощается и принимает вид

2 д2и'_+д2и' _ 2у <2У

1-у дг2 дБ2 +

Решение уравнения (49) ищется в виде

(49)

Зная выражения для обобщённых перемещений (48), (50), можно определить деформации и напряжения в произвольной точке оболочки.

Исследованы свободные колебания прямых оболочек с симметричным контуром поперечного сечения; результаты расчётов представлены в таблицах собственных частот колебаний при различных геометрических параметрах конструкции, получены соответствующие им собственные формы.

хЮ4

Табл.1

хЮ

Табл.2

А2 = 5-10"4 М Л2 = 10"3 м й2 = 2-Ю"3 м й2 = 5-10"4м А2 = 10"3 м А2 = 2-10"3м

0.07499 0.06725 0.05898 0.15606 0.13211 0.10821

0.18726 0.18223 0.17874 0.59299 0.55891 0.52340

0.30893 0.30535 0.30302 1.26161 1.23314 1.20764

0.43736 0.43454 0.43271 2.03062 2.00510 1.98386

0.57100 0.56866 0.56712 2.88081 2.85755 2.83907

В табл.1 приведены первые пять собственных значений крутильных, а в табл.2 - изгибных колебаний для различных к2 при следующих геометри-

ческих и физических характеристиках оболочки: й\ = 9.8-10"' м, с1г = 0.37 м, Л, = 2-Ю"3 м, V = 0.34, в = 2.45-1010 Н/м2, р = 2.75-103 кг/м3, / = 1.5 м; толщина

задавалась постоянной с к2 = 2-10'3 м на свободном конце и изменяющейся по линейному закону вдоль образующей при к2 = 10"3 и 5-10"4 м.

Получены таблицы собственных частот в зависимости от длины оболочки, построены соответствующие обобщённым перемещениям формы собственных колебаний при различных геометрических параметрах.

Пятая глава содержит решения краевых задач для скошенных цилиндрических оболочек с произвольным контуром сечения (рис.2). Особенностью расчета рассматриваемых оболочек скошенного типа является то обстоятельство, что их изгиб всегда сопровождается кручением. В этом случае система разрешающих уравнений оказывается связанной и не распадается на две подсистемы, из которых одна описывала бы изгиб, вторая — кручение, как это имеет место в прямых оболочках. Решение задачи в этом смысле осложняется также и необходимостью постановки граничных условий по линиям, не совпадающим с линиями главных кривизн оболочки. Исследование НДС данных оболочек выполнено с применением аппарата специальных функций, используемых при решении неоднородных дифференциальных уравнений Бесселя, описывающих депланационные перемещения.

Л, Ш Й2

/ / /

\ \ Л А /?Л г ¡Г лУ 11 у г П 1. J Г т 1. J Г т 1. -1 •8

X > К? \хо \ и

' 1 < 1-х ¿1

/

Рис.2

Получены собственные частоты и формы свободных колебаний призматических оболочек скошенного типа. При этом численные решения задач выполнены методом конечных разностей повышенной точности и методом двойной QR-итерации над матрицей Хессенберга, приведённой к верхней почти треугольной форме методом Хаусхолдера. Результаты расчётов представлены в таблицах и графиках. На рис.3 (а - д) приведены первые три формы продольных колебаний, соответствующих обобщенным перемещениям для оболочки линейно-переменной толщины

при V = 0.34, р = 2.75-Ю3 кг/м3, в = 2.45-Ю10 Н/м2, /= 1.5 м, = 9.8-10'2 м, </2 = 0.37 м, = 2-Ю"3 м, Л2 = 5-Ю"4 м, Хо = 2л/9. Колебания, соответствующие

перемещениям оболочки как твердого тела с ростом порядковых

номеров собственных чисел, как и следовало ожидать, носят затухающий

характер. Максимальные значения амплитуд форм колебаний смещены к свободному концу оболочки (рис.3, а - в).

Рис.3

Качественно другой характер носят депланационные формы колебаний, соответствующие У7 и К, (рис.3 г,д). Здесь наблюдаются ярко выраженные всплески амплитуд вблизи жесткой заделки. Колебания, соответствующие У7,

затухают к свободному концу, а с ростом порядкового номера соответствующего собственного числа, увеличивают амплитуду в непосредственной близости от сечения 1=1- Характер продольных колебаний, соответствующих Уя, показан на рис.3, д. Отметим также, что депланационные формы колебаний с ростом порядковых номеров соответствующих собственных значений затухают не столь быстро, как формы, соответствующие перемещениям оболочки как твердого тела.

В шестой главе рассматриваются краевые задачи по определению НДС прямых и скошенных многозамкнутых оболочек переменной жёсткости с произвольным контуром поперечного сечения (рис.4).

Рис.4

Разрешающая система дифференциальных уравнений для прямой многосвязной оболочки распадается на две, описывающие изгиб и кручение соответственно. Решения в случае степенного закона изменения толщины

= Ь = /Ч^-'л/^У' (51)

для депланационных перемещений получены в специальных функциях. Так в случае стеснённого изгиба распределённой по длине многозамкнутой оболочки нагрузкой и сосредоточенной в концевом сечении поперечной изгибающей силой выражение для депланационных перемещений от изгиба имеет вид

УЛ4) = ¿ф21„ + С,К, + Дг(р+0.5)л[л 2Р'Х Ара-^р)п +

-К, -К, (52)

где А1гА2,Л},АА,а и С2,С3 - некоторые константы, отвечающие геометрии оболочки и постоянные интегрирования;

Г{р + 0.5), 1„ К„=К„(лД?1 Лв = - гамма-функция,

модифицированные функции Бесселя первого., второго рода и функция Струве мнимого аргумента, р = (1 — к)/2, ¿¡ = г — г, г=Ь//3.

Приведены графические зависимости распределения нормальных напряжений в поперечных сечениях тонкостенных конструкций при стеснённом кручении распределённым и сосредоточенным на свободном торце моментами, а также при изгибе распределённой нагрузкой и сосредоточенной силой. Исследовано влияние на НДС оболочки различных законов изменения её толщины вдоль образующей. На рис.5 и 6 представлены расчётные напряжения по продольному ребру с координатами верхней

панели четырехсвязной призматической оболочки. В расчетах приняты следующие геометрические параметры оболочки: /=2м, 4/|=8-10"2 м, с1х=\.6-\0Л м, А1=10*3 м; закон изменения толщины по размаху - кубический (в (51) кгв). На рис.5 показана зависимость сг, =с,/£ в зависимости от 1 = гИ при изгибе сосредоточенной силой ()у— 1.96 кН. Сплошные кривые 1-2 соответствуют линейному закону изменения толщины обшивки и лонжеронов (в (51) к=\), пунктирные — кубическому. Причем графики 1-Г построены при

Л=й,/й1=2, 2 — 2' — при А = 5. При тех же параметрах на рис.6 представлена зависимость при кручении рассматриваемой оболочки

сосредоточенным моментом Мг = 1.568 кН-м. Как и в предыдущем примере, графики построены при

Рис.5 Рис.6

Указанным подходом решены также задачи о НДС цилиндрической оболочки линейно-переменной толщины, жёстко защемлённой по скошенному краю, с прямоугольным контуром поперечного сечения и в виде усеченного эллипса. На рис.7 приведены графические зависимости ст, = /(г) для четырёхсвязной оболочки, нагруженной силой ()у = 3.43 кН в

концевом сечении. В расчётах принято: %0 =60°, </|=8-10"2 М, с1г=\.6-Ю"1 м,

!=1.6 м. Кривые 1 - Г построены при й=5,2-2'—при />=2,3-3'—при Л = 1.

16

14

12 8 4

0 0.25 0.5 0.75 г "

Рис.7 Рис.8

На рис.8 показано влияние угла Хч на = /СЮ в скошенной цилиндрической оболочке, нагруженной распределённым моментом т1=1.96 кН-м. Сплошные кривые построены по короткому, пунктирные - по длинному рёбрам верхней панели. Здесь принято: £/1=е/2= 1.6-10"' м, /=1.6 м, к =5. Графики I — 1', 2—2', 3 — 3'даны для углов =90°,60°,45° соответственно.

Седьмая глава содержит решения краевых задач по определению НДС скошенных и прямых конических оболочек переменной жёсткости произвольного очертания (рис.9). Приближённое аналитическое решение для оболочки с симметричным контуром выражается через гипергеометрические функции, численное решение в уточнённой постановке получено методом ортогональной прогонки краевой задачи для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Приводится сравнение результатов, полученных по приближённому аналитическому решению и численно. На рис.10 и 11 представлено распределение нормальных напряжений С,, посчитанных с учетом (сплошные

V» 3 •

\ ~~ N г >

^ 0,25, ___0.75 У

¿ЧЛ 1/Ц ¿Г

кривые) и без учета (пунктирные кривые) депланации от изгиба. При получении.кривых на рис. 10 оболочка загружалась в концевом сечении моментом Мг = 392 Н-м, на рис.11 — сосредоточенной силой Qy = 588 Н.

Рис.9

Геометрические параметры,, принятые в расчётах (рис.9; б): /,=0.9 М,

/0 = 2 м, 8-Ю"2 м, ¿2=0.3 м, Хч -я'/З, А, =2-10"

толщины оболочки - линейный при

м, закон изменения

Из графиков хорошо видно, что неучет депланации от изгиба дает завышенные порядка на 17% значения о", по длинному ребру как в заделке, так и на свободном конце.

Рис. 11

Рассмотрены свободные колебания некруговой конической оболочки переменной толщины, заделанной по скошенному краю, определены собственные частоты и получены формы собственных колебаний.

Решены также задачи вынужденных колебаний рассматриваемых тонкостенных конструкций. На рис. 12 показан характер распределения динамических нормальных напряжений о", = /(г) при крутильных

колебаниях оболочки приложенным в плоскости концевого сечения моментом Мг=392-со%(р1) с различной частотой р. Геометрические размеры оболочки прежние, за исключениех1! Хо =я74 . При частоте возмущенияр=0

нормальные напряжения соответствуют случаю статического нагружения оболочки. Из приведенных на рис.12 графиков видно, что при кручении скошенной слабоконической оболочки имеет место ярко выраженный двусторонний краевой эффект: у заделки и в концевом сечении. В первом' случае это обусловлено наличием стеснения депланации сечения вследствие жесткой заделки, во втором — наличием внутреннего стеснения из-за коничности оболочки. Указанный эффект был отмечен в работе4* для оболочек постоянной толщины. Однако при наличии переменной толщины этот эффект усиливается, особенно в концевом сечении. И это явление должно

учитываться при проектировании реальных конструкций. С увеличением частоты р вынужденных колебаний от момента Мг напряжения о\ сначала снижаются по размаху (при р2 ~ 5-103), а затем переходят в отрицательную область, изменяясь качественно. Характер распределения о\ по короткому и длинному рёбрам, как видно из графиков, также различен.

Рис. 12

В заключении дается анализ теоретических исследований и рекомендации по их использовании в НИИ, конструкторских бюро и проектных организациях.

Заключение

1. Получен вариант теории тонких упругих оболочек, представляющий собой обобщение теории Э. Рейсснера на случай косоугольной пространственной криволинейной системы координат. Необходимость разработки математической модели, учитывающей возможность закрепления оболочки по скошенному краю, диктуется запросами инженерной практики, например, расчётом прочности и колебаний стреловидных и дельтовидных крыльев, косозащемлённых у бортовой нервюры.

2. Доказано существование в теории оболочек полной статико-геометрической аналогии, основанной на учёте в векторах погонных моментов составляющих, направленных по нормали к срединной поверхности, а в векторах изгибной деформации - соответствующих им компонентов кручения.

3. Предложен уточнённый вариационный подход к решению краевых задач. В этом случае первые шесть дифференциальных уравнений в обыкновенных производных описывают смещения контура поперечного сечения оболочки как твёрдого тела, седьмое уравнение в частных производных учитывает депланацию этого контура. Данный подход исключает необходимость подбора координатных функций и является точным в рамках общепринятых гипотез теории оболочек.

4. Доказана идентичность метода криволинейных сеток (МКС) и метода конечных разностей (МКР), то есть МКС представляет собой тот же МКР применительно к векторной форме уравнений теории оболочек. Выполнено обобщение метода криволинейных сеток на случай приближения ковариантной производной в векторной форме конечно-разностным выражением г-го порядка точности (метод векторных разностей).

5. Построена математическая модель конструктивно ортотропной конической оболочки, имеющей переменную толщину и площадь поперечного сечения продольного силового набора, а также скошенность, многосвязность и некруговой контур поперечного сечения. Примерами таких конструкций является фюзеляж, оперение или стреловидное крыло летательного аппарата. Система разрешающих дифференциальных уравнений имеет переменные коэффициенты и проинтегрирована в решениях краевых задач с применением аппарата специальных функций. В уточнённой постановке интегрируется система семи дифференциальных уравнений, одно из которых — в частных производных.

Часть вторая работы посвящена решениям краевых задач статики и динамики

конструктивно ортотропных оболочек сложной геометрии.

6. Исследовано НДС прямых консольно защемлённых призматических и цилиндрических оболочек с некруговым контуром поперечного сечения, переменной толщины по линиям главных кривизн, загруженной сосредоточенными и распределёнными нагрузками. Получено аналитическое решение для оболочки постоянной толщины с помощью уточнённого вариационного подхода, свободного от необходимости выбора депланационных координатных функций. При решении задачи по определению собственных частот и форм свободных колебаний некруговой цилиндрической оболочки с переменной толщиной вдоль образующей найдены собственные частоты при различных геометрических параметрах конструкции, а также соответствующие им формы колебаний. Результаты расчётов табулированы и представлены графически.

7. Решены краевые задачи для скошенных цилиндрических оболочек с симметричным контуром поперечного сечения. В отличие от прямых оболочек, где система разрешающих уравнений распадается на две подсистемы, описывающих изгиб и кручение соответственно, в скошенных оболочках система является связанной, так как физически в них изгиб всегда сопровождается кручением. Поэтому аналитическое решение

получено в случае, когда учитывалась лишь депланация контура от кручения, как преобладающая над депланацией от изгиба. В задачах динамики получены собственные частоты и формы свободных колебаний призматических оболочек скошенного типа.

8. Исследовано НДС прямых и скошенных многозамкнутых цилиндрических оболочек некругового очертания переменной жёсткости. Решены задачи стеснённого кручения распределённым по длине оболочки и сосредоточенным в концевом сечении моментами, а также задача стеснённого изгиба распределённой нагрузкой и сосредоточенной в концевом сечении силой. Характер распределения напряжений при различных случаях нагружения представлен графически. Исследовано влияние на НДС прямой многосвязной оболочки изменение её толщины вдоль образующей по линейному и кубическому законам.

9. Решены краевые задачи по определению НДС скошенных конических оболочек переменной жёсткости произвольного очертания. Приводится сравнение результатов для оболочки с симметричным контуром поперечного сечения, полученных по приближённому аналитическому решению с учётом лишь депланации кручения этого контура и численно в уточнённой постановке с учётом и депланации от изгиба. Отмечено, что в скошенных конических оболочках переменной толщины краевой эффект имеет место по обоим концевым сечениям, обусловленный стеснением депланации в заделке и стеснением депланации вследствие коничности и переменной толщины на свободном конце. Рассмотрены свободные колебания некруговой конической оболочки переменной толщины, заделанной по скошенному краю; собственные частоты табулированы, собственные формы колебаний представлены графически. Исследовано также влияние на НДС рассматриваемых оболочек вынужденных колебаний при различных значениях частоты гармонической возмущающей силы и сосредоточенного крутящего момента. Установлено, что НДС оболочек всех рассмотренных типов переменной и

постоянной толщины существенно различно и при проектировании реальных конструкций их расчёт на статическую и динамическую прочность необходимо выполнять с учётом их фактического напряжённо-деформированного состояния.

Аналитические и численные решения краевых задач получены для практически важного случая граничных условий - жёсткого защемления одного из торцевых сечений замкнутых оболочек. Однако разработанные методы могут быть развиты и на другие типы оболочек и с иными граничными условиями в рамках принятой расчётной модели.

Результаты исследований могут быть рекомендованы научным работникам, занимающимся теоретическими исследованиями, в научно-исследовательских институтах и конструкторских бюро - при разработке современных тонкостенных конструкций строительной индустрии, общего и специального машиностроения, авиационной и ракетно-космической техники.

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1. Козлов В.А. К расчёту кессона многолонжеронного крыла с переменной толщиной обшивки / Козлов В.А., Курочка П.Н.; Воронеж, инж.-строит. ин-т. - Воронеж, 1986. - 14 с: ил. - Библиогр.: 5 назв. - Деп. в ВИНИТИ 16.12.86; №8656 -В86.

2. Козлов В.А Напряжённое состояние геометрически сложных оболочек с жёстко заделанным краем // Актуальные проблемы строительства: Тез. докл. научно-техн. конф. молодых учёных и специалистов Минстрой-материалов СССР и Минвуза РСФСР. 4.2. - Воронеж, 1987. - С. 18.

3. Козлов В.А К расчёту многозамкнутых конструкций переменной жёсткости / Булатов С.Н., Козлов ВА // АН СССР. Машиноведение. - 1987. - №2. -С.68-73. - Библиогр.: с.73 (4 назв.). - ISSN 0025-4576.

4. Козлов В.А. Исследование методом фотоупругости консольных конических стержней сложного очертания / Булатов С.Н., Козлов В.А. // Экспериментальные исследования и испытания строительных металлоконструкций: Тез. докл. всесоюз. научно-техн. совещания. — Львов, 1987.-С.133.

5. Козлов В.А. К расчёту оболочек сложной геометрии / Булатов С.Н., Зайцев А.Ф., Козлов В.А. // Тр. XIV всесоюз. конф. по теории пластин и оболочек. Т.1.-Тбилиси, 1987.-С.237-242.

6. Козлов В.А. Изгиб многосвязной оболочки с жёстко заделанным краем / Козлов В.А., Курочка П.Н.; Воронеж, инж.-строит. ин-т. - Воронеж, 1988. -18 с: ил. - Библиогр.: 5 назв. - Деп. в ВИНИТИ 27.04.88; №3280 - В88.

7. Козлов В.А. К расчёту кессона многолонжеронного крыла с учётом переменной жёсткости силовых элементов / Булатов С.Н., Козлов В.А. // Изв. вузов. Авиационная техника. - 1988. - №3. - С.75-77. - Библиогр.: с.77 (3 назв.).-^Ш579-2975.

8. Козлов В.А. Свободные колебания скошенных некруговых конических оболочек переменной жёсткости / Булатов С.Н., Козлов В.А.; Воронеж, инж.-строит. ин-т. - Воронеж, 1988. - 40 с: ил. — Библиогр.: 5 назв. - Деп. в ВИНИТИ 30.06.88; №5281 - В88.

9. Козлов В.А. Колебания оболочки типа стреловидного крыла / Булатов С.Н., Козлов В.А.; Воронеж, инж.-строит. ин-т. - Воронеж, 1990. - 18 с: ил. -Библиогр.: 8 назв. - Деп. в ВИНИТИ 26.03.90; №1612 - В90.

Ю.Козлов В.А. Стеснённое кручение призматической оболочки переменной толщины / Булатов С.Н., Козлов В.А. // Статика тонкостенных элементов конструкций летательных аппаратов: Сб. статей. - Казань: изд-во КАИ, 1990.-С.67-75.

И.Козлов В.А. К проблеме расчёта конических оболочек скошенного типа / Булатов С.Н., Козлов В.А // Материалы научно-техн. конф., посвященной 60-летию ВИСИ: Тез. докл. - Воронеж: изд-во ВИСИ, 1991. - С.130.

12. Козлов В.А. Вынужденные колебания скошенных конических оболочек некругового очертания // Материалы научно-техн. конф., посвященной 60-летию ВИСИ: Тез. докл. - Воронеж: изд-во ВИСИ, 1991. - С.135.

13. Козлов В .А. Численный анализ НДС оболочки типа кессона стреловидного крыла / Булатов С.Н., Козлов В.А.; Воронеж. инж.-строит. ин-т. - Воронеж, 1992.- 16 с: ил.- Библиогр.: 3 назв.-Деп. в ВИНИТИ 17.03.92; №901-В92.

14. Козлов В.А. Обобщение теории Рейсснера на оболочки неканонических форм / Булатов С.Н., Козлов В.А.; Воронеж, инж.-строит. ин-т. - Воронеж, 1992. - 9 с: ил.- Библиогр.: 7 назв.- Деп. в ВИНИТИ 17.03.92; №902 - В92.

15. Козлов В.А. Устойчивость цилиндрической оболочки переменной жесткости; Воронеж, инж.-строит. ин-т. - Воронеж, 1992. - 17 с: ил. — Библиогр.: 3 назв. -Деп. в ВИНИТИ 17.03.92; №903 - В92.

16. Козлов В.А. Колебания и НДС оболочки типа стреловидного крыла / Булатов С.Н., Козлов В.А. // Тр. XVI междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Т.З. - Н. Новгород: изд-во ННГУ, 1994. - С.38-43.

П.Козлов В.А. Полная статико-геометрическая аналогия линейной теории оболочек // Тр. XVI междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Т.2. -Н. Новгород: изд-во ННГУ, 1994. - СИ 1-116.

18. Козлов В.А. Замкнутый вариант линейной теории оболочек // Современные проблемы механики и математической физики: Тез. докл. - Воронеж: изд-во ВГУ, 1994.-С.53.

19. Козлов В.А. Математическая модель конической оболочки ненулевой гауссовой кривизны / Булатов С.Н., Козлов В.А. // Тр. XVШ междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Т.З. - Саратов: изд-во СГТУ, 1997. -С.19-24.

20. Козлов В.А. Собственные колебания цилиндрической оболочки сложной геометрической структуры / Булатов С.Н., Козлов В.А. // Тр. междунар. научно-техн. конф. «Высокие технологии в экологии». 4.2. - Воронеж: изд-во ВГАУ, 1998.-С.122-126.

21. Козлов В.А. К проблеме расчёта подкреплённых конических оболочек сложной геометрии / Булатов С.Н., Козлов В.А. // Актуальные проблемы механики оболочек.: Тр. междунар. конф. - Казань: изд-во КРУ, 1998. -С.19-23.

22. Козлов В.А. К теории расчёта скошенных оболочек / Булатов С.Н., Козлов

B.А. // Прикладные задачи механики сплошных сред: Сб. статей. -Воронеж: изд-во ВГУ, 1999. -С.53-61.

23. Козлов В.А. К проблеме расчёта подкреплённых конических оболочек / Булатов С.Н., Козлов В.А. // Тр. 2-ой междунар. научно-техн. конф. «Высокие технологии в экологии». - Воронеж: изд-во ВГАУ, 1999. -

C.175-180.

24. Козлов В.А.К проблеме расчёта оболочечных конструкций неканонических форм / Булатов С.Н., Козлов В.А. // Дорожная экология XXI века: Тр. междунар. научно-практ. симпозиума. - Воронеж, 2000. - С.134-140.

25. Козлов В.А. Кручение цилиндрической оболочки произвольного профиля с учётом стеснения депланации // Тр. 3-ей междунар. научно-техн. конф. «Высокие технологии в экологии». - Воронеж: изд-во ВГАУ, 2000. - С. 141-

09 ЮО »ст

26. Козлов В.А. Свободные колебания некруговой цилиндрической оболочки, защемленной по скошенному краю / Булатов С.Н., Козлов В.А. // Тр. 3-ей междунар. научно-техн. конф. «Высокие технологии в экологии». -Воронеж: изд-во ВГАУ, 2000. - С.53-57.

27. Козлов В.А. О краевом эффекте в оболочках типа крыла / Булатов С.Н., Козлов В.А. // Актуальные проблемы механики оболочек: Тр. междунар. конф. - Казань: Новое Знание, 2000. - С. 110-115.

28. Козлов В.А. Метод криволинейных сеток повышенной точности // Актуальные проблемы механики оболочек: Тр. междунар. конф. - Казань: Новое Знание, 2000. - С.261-265.

29. Козлов В.А. МКР повышенной точности в задачах колебаний оболочек сложной геометрии // Актуальные проблемы механики оболочек: Тр. междунар. конф. - Казань: Новое Знание, 2000. - С.266-271.

30. Козлов В.А. Решение некоторых прикладных задач теории конических оболочек сложной геометрии / Булатов С.Н., Козлов В.А. // РАН. Проблемы машиностроения и надёжности машин. - 2000. - №5. - С.102-108. -Библиогр.: с. 108 (4 назв.). - ISNN 0235-7119.

31. Козлов В.А. Кручение призматической оболочки сложной структуры / Булатов С.Н., Козлов В.А. // Актуальные проблемы современного строительства: Материалы всероссийской научно-техн. конф. 4.2. - Пенза: изд-во ПГАСА, 2001. - С.28.

32. Козлов В.А. Изгиб прямой многосвязной оболочки переменной жёсткости / Булатов С.Н., Козлов В.А. // Тр. 4-ой междунар. научно-практич. конф. «Высокие технологии в экологии». - Воронеж: изд-во ВГАУ, 2001. — С. 110113.

33. Козлов В.А. Аналитическое решение краевой задачи для оболочек неклассических форм / Булатов С.Н., Козлов В.А. // Прикладные задачи механики и тепломассообмена в авиастроении: Сб. трудов второй всероссийской научно-техн. конф. 4.1. - Воронеж: изд-во ВГТУ, 2001. -С.63-66.

34. Козлов В.А. Метод криволинейных сеток и метод конечных разностей повышенной точности в задаче свободных колебаний стреловидного кессона // Прикладные задачи механики и тепломассообмена в авиастроении: Сб. трудов второй всероссийской научно-техн. конф. 4.1. -Воронеж: изд-во ВГТУ, 2001. - С.72-77.

35. Козлов В.А. Определение собственных частот и форм колебаний прямой консольно защемлённой призматической оболочки переменной толщины // Тр. 5-ой междунар. научно-практич. конф. «Высокие технологии в экологии». - Воронеж: изд-во ВГАУ, 2002. - С.222-229.

36. Козлов В.А. Расчёт НДС четырёхсвязной оболочки типа кессона прямого крыла по уточнённой модели / Булатов С.Н., Козлов В.А. // Тр. 5-ой междунар. научно-практич. конф. «Высокие технологии в экологии». -Воронеж: изд-во ВГАУ, 2002. - С.229-236.

37. Козлов В.А Уточнённый вариационный подход к расчёту оболочек сложной геометрии // Механика оболочек и пластин: Сб. докл. XX междунар. конф. по теории оболочек и пластин. - Н.Новгород: изд-во ННГУ,2002.-С.178-183.

38. Козлов В.А. К вопросу о рациональном распределении материала в оболочках сложной геометрии / Булатов С.Н., Козлов В.А. // Тр. 6-ой междунар. научно-практич. конф. «Высокие технологии в экологии». — Воронеж: изд-во ВГАУ, 2003. - С.80-86.

39.Козлов В.А. Вынужденные- колебания конструктивно ортотропной конической оболочки с переменными жесткостными параметрами / Булатов С.Н., Козлов В.А. // Тр. 6-ой междунар. научно-практич. конф. «Высокие технологии в экологию). - Воронеж: изд-во ВГАУ, 2003. - С. 108112.

40. Козлов В.А. Вариационный метод решения краевых задач по определению НДС оболочек, свободный от выбора депланационных координатных функций // Тр. 6-ой междунар. научно-практич. конф. «Высокие технологии в экологии». - Воронеж: изд-во ВГАУ, 2003. - С.262-266.

41. Козлов В.А. Решения некоторых краевых задач для оболочек типа крыла / Булатов С.Н., Козлов В.А. // Вестник ННГУ. Серия Механика. Вып. 1(5). -Н. Новгород: изд-во ННГУ, 2003. - С.151-158. - ISBN 5-85746-583-4.

42. Козлов В.А. Динамические напряжения при вынужденных колебаниях оболочки типа стреловидного крыла / Булатов С.Н., Козлов В.А. // Техника машиностроения. - 2003. -№4(44). - С.41-44. - Библиогр.: с.44 (2 назв.).

Подписано к печати 22.03.04. Формат 60x84/16. Уч.-изд. л. 2. Тираж 100. Заказ 10742. Полиграфическое предприятие ООО «Новый взгляд». 394016, г. Воронеж, пер. Славы, 1а

Введение.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

ТЕОРИЯ. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ. ОБЩИЙ ВИД РАЗРЕШАЮЩЕЙ СИСТЕМЫ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Глава 1. Теория тонких гладких оболочек как пространственного двумерного континуума в косоугольной системе координат.

1.1. Вводные замечания.

1.2. Три квадратичные формы поверхности. Деривационные формулы.

1.3. Уравнения равновесия. Граничные условия.

1.4. Геометрические соотношения.

1.5. Уравнения совместности деформаций.

Полная статико-геометрическая аналогия.

1.6. Физические соотношения.

Глава 2. Методы решения.

2.1. Вариационный метод приведения двумерных задач к одномерным.

2.2. Вариационный подход к решению краевых задач по определению НДС оболочек, свободный от выбора депланационных координатных функций.

2.3. Метод конечных разностей повышенной точности.

2.4. Доказательство идентичности методов криволинейных сеток и конечных разностей.

2.5. Метод векторных разностей как обобщение метода криволинейных сеток.

Глава 3. Математическая модель подкреплённой конической оболочки сложной геометрии.

3.1. Геометрия срединной поверхности оболочки.

3.2. Геометрическая модель и гипотезы.

3.3. Соотношения деформаций и упругости.

3.4. Разрешающая система обыкновенных дифференциальных уравнений.

3.5. Кинематические и статические граничные условия.

3.6. О выборе координатных функций.

3.7. Смешанная система разрешающих дифференциальных уравнений в обыкновенных и частных производных.

3.8. Дифференциальные уравнения колебаний.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СТАТИКИ И ДИНАМИКИ КОНСТРУКТИВНО ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Глава 4. Прямые цилиндрические оболочки произвольного очертания

4.1. Основные соотношения теории прямых оболочек.

4.2. НДС цилиндрической оболочки, загруженной сосредоточенными и распределёнными нагрузками.

4.3. Кручение жёстко защемлённой оболочки с симметричным контуром.

4.4. Стеснённый изгиб оболочки.

4.5. Свободные колебания прямых цилиндрических оболочек.

4.6. Точное решение краевой задачи подходом, свободным от выбора депланационных координатных функций.

Глава 5. Скошенные цилиндрические оболочки с произвольным контуром сечения.

5.1. Разрешающая система обыкновенных дифференциальных уравнений.

5.2. НДС призматической оболочки, нагруженной сосредоточенными силовыми факторами.

5.3. Свободные колебания скошенных цилиндрических оболочек.

5.4. Решение краевой задачи с помощью уточнённого вариационного подхода.

Глава 6. Прямые и скошенные многозамкнутые цилиндрические оболочки некругового очертания переменной жёсткости.

6.1. Разрешающие уравнения и граничные условия для прямой оболочки.

6.2. Стеснённое кручение многосвязной цилиндрической оболочки некругового очертания.

6.3. Стеснённый изгиб многозамкнутой оболочки переменной толщины.

6.4. Призматическая оболочка с толщиной, меняющейся по степенному закону вдоль образующей.

6.5. Оболочка, заделанная по скошенному краю.

Глава 7. Скошенные слабоконические оболочки произвольного очертания.

7.1. Разрешающая система дифференциальных уравнений.

7.2. Приближённое аналитическое решение для оболочки с симметричным контуром сечения.

7.3. Численное решение краевой задачи в уточнённой постановке.

7.4. Прямая слабоконическая оболочка.

7.5. Свободные колебания слабоконических скошенных оболочек.

7.6. Вынужденные колебания скошенных конических оболочек.

Оболочки, обладая высокой несущей способностью, минимальной материалоёмкостью, экономичностью, возможностью перекрытия больших пролетов и архитектурной выразительностью, нашли широкое применение в общем и химическом машиностроении, авиационной и ракетно-космической технике, промышленном и гражданском строительстве.

Современные тонкостенные конструкции, как правило, очерчены сложными, в общем случае кусочно-гладкими поверхностями. Поэтому построение их расчётных моделей тесно связано с исследованием оболочек сложной геометрии. Степень их разработки в отличие от достаточно исследованных оболочек простейших канонических форм значительно отстаёт от запросов инженерной практики. Этим, видимо, объясняется тот факт, что при создании новых типов геометрически сложных пространственных конструкций значительное место ещё занимают экспериментальные исследования и дорогостоящие натурные испытания. Ясно, что создание прикладных методов расчёта таких оболочек является одной из наиболее актуальных проблем, с решением которой связаны экономия материалов в промышленном производстве, повышение эксплуатационной надёжности и снижение себестоимости инженерных сооружений. Решению этой проблемы в рамках принятого объекта исследования и посвящена данная работа.

К настоящему времени общая теория оболочек разработана достаточно полно и представлена в известных монографиях [6, 60, 62, 63, 64, 69, 114, 122, 124, 130, 158, 162, 173] и др. Кроме того, в современной научной литературе имеются многочисленные статьи, материалы съездов, конференций, симпозиумов, посвящённые их теоретическим и экспериментальным исследованиям; обширная библиография по вопросам прочности, устойчивости и колебаний содержится в опубликованных обзорах [71, 117, 118]. Из методов математической физики, эффективно используемых в решениях задач, следует отметить вариационные, асимптотические, комплексного преобразования, конформного отображения и др., из численных и экспериментальных — МКЭ, МКР, тензометрические, фотоупругости и топографической интерферометрии. Но в достаточно полной степени разработана проблема расчёта оболочек лишь простейших канонических форм: цилиндрических, конических, тороидальных и сферических. Однако современные оболочечные конструкции часто представляют собой комбинацию простых форм или очерчены сложными, в общем случае кусочно-гладкими поверхностями. Кроме того, наряду со сложным очертанием срединной поверхности, такие оболочки могут иметь переменную жёсткость, скошенность, подкрепления и другие особенности.

Применение геометрически сложных оболочек диктуется функциональным назначением изделия, конструктивными и аэродинамическими требованиями, необходимостью размещения оболочки в регламентированном объёме, приданием сооружению архитектурной выразительности, снижением металлоёмкости и т.д. Корпуса космических, надводных и подводных кораблей, фюзеляжи и крылья самолётов, покрытия спортивных и зрелищных сооружений представляют собой оболочки сложных форм самой различной геометрии. Исследование этих объектов связано со значительными математическими и техническими трудностями, обусловленными высоким порядком дифференциальных уравнений в двумерной области. Причём коэффициенты этих уравнений являются функциями координат сложного вида. Отмеченные трудности ограничивают возможности аналитического исследования некоторых типов оболочек и требуют привлечения численных методов, ориентированных на применение ЭВМ.

Остановимся на публикациях, имеющих непосредственное отношение к разрабатываемой теме. Начнём с работ, касающихся методов исследования. Наряду с известными [60, 69, 114, 124] работами, в которых рассматриваются методы асимптотического интегрирования уравнений в частных производных, отметим [183], в которой содержится обзор работ, связанных с применением этих методов к решению алгебраических уравнений и задач теории пластин и оболочек. Здесь же предложен подход к решению обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Обсуждается решение одномерных сингулярных проблем применительно к задачам устойчивости и колебаниям тонких оболочек. Анализируется применение асимптотических методов к уравнениям в частных производных. Рассматриваются вопросы нелинейного деформирования тонких оболочек.

В монографии [129] рассмотрены асимптотические методы регулярных и сингулярных возмущений, осреднения, ВБК, возмущения формы границы и размера области. Обсуждаются методы возмущения вида граничных условий, составных уравнений, аппроксимаций Паде и синтеза напряжённого состояния. Рассматриваются вопросы, связанные с применением асимптотических методов к расчёту конструкций типа пластин и оболочек.

Наряду с асимптотическими методами широкое применение получил метод комплексного преобразования уравнений [124, 125], позволивший решить многие трудные задачи для классических оболочек, в том числе и конических оболочек переменной толщины [81].

Решения задач с помощью одинарных и двойных тригонометрических рядов представлены в [188, 194, 195], а в [10, 12, 187] - методом малого параметра и асимптотического интегрирования. В упрощённой постановке, когда подкреплённая оболочка интерпретируется как балка, тонкостенный стержень или анизотропная пластина, получены решения в [12, 13, 56, 57]. Причём в [12] безмоментная коническая оболочка предполагается скошенной типа кессона стреловидного крыла.

Многие статические и динамические задачи теории оболочек решены хорошо известным методом Канторовича-Власова [62], позволяющего привести систему дифференциальных уравнений в частных производных к системе уравнений в обыкновенных производных. Дальнейшее своё развитие этот метод получил в работах [127, 130] применительно к расчёту подкреплённых оболочек скошенного типа. В постановке [130] крыло, фюзеляж и оперение летательного аппарата трактуется как подкреплённая коническая оболочка произвольного очертания. Рассмотрены также подкреплённые конические оболочки кругового очертания.

Из экспериментальных методов отметим методы фотоупругости [4, 76, 116] и голографической интерферометрии [98, 193]. Причём последний, как наиболее точный, позволяет решать задачи для оболочек сложных форм и проверить корректность тех или иных применяемых гипотез, в том числе и общепринятых гипотез Кирхгофа-Лява.

Обратимся к работам, касающимся расчёта оболочек. В монографии [147] выполнен расчёт геликоидальных, торсовых и псевдосферических оболочек, а также оболочек в форме поверхностей Монжа, циклических поверхностей и оболочек в форме отсеков циклид Дюпена. В зависимости от типа оболочки основные соотношения построены как в линиях главных кривизн, так и в криволинейных косоугольных координатах. Монография [73] посвящена решению задач устойчивости составных оболочек вращения, НДС и колебаниям трубчатых оболочек, обсуждаются также оболочки минимальных поверхностей. Основные соотношения теории тонких оболочек представлены в тензорной форме.

В работах [67, 68] для расчёта оболочек применён метод конечных элементов, а в статьях [102 — 106] развит сплайновый вариант МКЭ. В [163] при помощи функций комплексного переменного решена задача о кручении полого стержня с поперечным сечением типа профиля Чаплыгина-Жуковского, а в [176] построено приближённое решение для цилиндрической оболочки, защемлённой по косому срезу. При расчёте краевого эффекта использованы известные [62] уравнения В.З. Власова. К [176] примыкает и статья [83], где решается задача о стеснённом кручении тонкостенного стержня с однозамкнутым профилем произвольного очертания. Причём стержень трактуется как цилиндрическая оболочка, жёстко заделанная в концевых сечениях.

Из динамических задач отметим работы по собственным колебаниям оболочек классических форм [9, 14, 16, 20, 55, 70, 120, 157, 166, 190, 192, 196, 197], где решения строятся на основе рассмотренных выше методов: МКЭ [165], асимптотического интегрирования [55, 120] и т.д. Голографические методы исследования приведены в [98, 174] и других работах этих же авторов.

В предлагаемой работе объектом исследования является коническая оболочка с прямолинейной образующей, то есть нулевой гауссовой кривизны. Имея скошенность, одно- или многосвязный опорный контур произвольного очертания, переменную толщину и площадь поперечного сечения продольного подкрепляющего набора, то есть, сложную геометрическую структуру, такая оболочка представляет собой универсальную расчётную модель различных типов тонкостенных конструкций, например, стреловидного крыла летательного аппарата.

В силу наличия переменной толщины собственно оболочки система разрешающих дифференциальных уравнений содержит переменные коэффициенты. Однако для прямых оболочек эту систему удалось проинтегрировать точно в рамках принятых гипотез, для скошенных — приближённо с применением аппарата специальных функций.

Из различных типов граничных условий в решениях задач отдано предпочтение жёсткому защемлению оболочки по косому срезу, не совпадающему с линиями главных кривизн, при свободном другом. Силовые воздействия предполагаются произвольными, в том числе и сосредоточенные в свободном концевом сечении.

Численные расчёты, выполненные на ЭВМ, представлены графически. Достоверность результатов исследования обеспечивается корректной в рамках принятых гипотез математической постановкой задач, сравнительным анализом аналитических и численных решений, предельным переходом к численным результатам для оболочек постоянной толщины, известным из литературы, а также сравнением с экспериментальными исследованиями других авторов [7].

Предлагаемая работа состоит из двух частей.

В первой части выполнено обобщение известной теории [146] тонких оболочек на случай неортогональной криволинейной системы координат, позволяющее учесть постановку граничных условий по линиям, не совпадающим с главными кривизнами оболочки. Дан анализ выбора метода исследования рассматриваемых оболочек. Доказана идентичность метода криволинейных сеток [73] и метода конечных разностей, дано обобщение метода криволинейных сеток. В развитие работы [130] в общем виде построена математическая модель подкреплённой конической оболочки сложной геометрической структуры.

Вторая часть работы посвящена решениям статических и динамических краевых задач на основе [130]. Предложен новый подход, свободный от произвола выбора депланационных координатных функций и опирающийся на интегрирование депланационного дифференциального уравнения в частных производных. Рассмотрены призматические, цилиндрические, конические оболочки с произвольным контуром поперечного сечения, переменной жёсткости, защемлённые по линиям главных кривизн и скошенному краю. Предложенная математическая модель является достаточно универсальной и может быть использована в расчётах прямых и стреловидных крыльев летательных аппаратов при рассмотренных граничных условиях, а также и иных объектов сложной геометрии при постановке других граничных условий. Достоверность полученных решений проверена предельным переходом к решениям для оболочек постоянной толщины [130] и численным решением двухточечных краевых задач.

Обратимся к содержанию отдельных глав диссертации.

В первой главе в отличие от традиционного подхода сведения трёхмерной задачи к двумерной, статические и геометрические зависимости теории тонких гладких оболочек получены с позиции взаимодействия погонных сил и моментов в пространственно-искривленном двумерном континууме, что является определённым обобщением известной теории Э.Рейсснера [146] на случай неортогональной криволинейной системы координат. При этом учёт нормальных к срединной поверхности моментных составляющих позволяет получить полную статико-геометрическую аналогию в смысле соответствия между собой статических и геометрических величин и уравнений с конкретным физическим истолкованием некоторых формально введённых в классической теории величин.

Во второй главе предложено уточнение известного вариационного подхода [130], позволяющего получить разрешающую систему в виде шести обыкновенных дифференциальных уравнений, отвечающих смещениям контура поперечного сечения оболочки как твёрдого тела, и одного дифференциального уравнения в частных производных, отвечающего за депланационные смещения того же контура. Доказана идентичность методов криволинейных сеток и конечных разностей, а также дано обобщение метода криволинейных сеток (метод векторных разностей).

В третьей главе на основе [130] построена математическая модель подкреплённой конической оболочки произвольного очертания. На основе вариационного принципа Лагранжа получены естественные граничные условия и разрешающая система обыкновенных уравнений, а в уточнённой постановке смешанная система в обыкновенных и частных производных. Приведена общая система разрешающих дифференциальных уравнений, описывающих неустановившееся движение конической оболочки произвольного очертания при воздействии аэродинамических сил и заданной внешней нагрузки.

Четвёртая глава, относящаяся ко второй части работы, посвящена расчёту прямых цилиндрических оболочек некругового очертания, переменной жёсткости как в продольном, так и в поперечном направлениях, жёстко защемлённых по одному торцевому сечению при свободном другом. Рассмотрены стеснённое кручение и изгиб оболочек с симметричным контуром, а также их свободные колебания. Получены таблицы собственных частот колебаний прямых оболочек при различных геометрических параметрах конструкции.

Пятая глава содержит решения краевых задач для скошенных цилиндрических оболочек с произвольным контуром сечения. Особенностью их расчёта является то обстоятельство, что разрешающая система уравнений не распадается отдельно на две подсистемы, одна из которых описывала бы изгиб, вторая - кручение. Получены собственные частоты и формы свободных колебаний призматических оболочек скошенного типа. При этом численные решения задач выполнены методом конечных разностей повышенной точности и методом двойной QR-итерации над матрицей Хессенберга, приведённой к верхней почти треугольной форме методом Хаусхолдера.

В шестой главе рассматриваются краевые задачи по определению НДС прямых и скошенных многозамкнутых оболочек переменной жёсткости с произвольным контуром поперечного сечения. Решения получены в специальных функциях. Приведены графические зависимости распределения напряжений в тонкостенных конструкциях при стеснённом кручении распределённым и сосредоточенным на свободном торце моментами, а также при изгибе распределённой нагрузкой и сосредоточенной силой. Исследовано влияние на НДС оболочки различных законов изменения её толщины вдоль образующей.

Седьмая глава содержит решения краевых задач по определению НДС скошенных и прямых конических оболочек переменной жёсткости произвольного очертания. Приближённое аналитическое решение для оболочки с симметричным контуром выражается через гипергеометрические функции, численное решение в уточнённой постановке получено методом ортогональной прогонки краевой задачи для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Приводится сравнение результатов, полученных по приближённому аналитическому решению и численно. Показано, что в скошенных конических оболочках как постоянной, так и переменной толщины, краевой эффект имеет место по обоим концам; в плоскости заделки — вследствие стеснения депланации и в концевом сечении — вследствие коничности. Причём величина нормальных напряжений в поперечных сечениях оболочки в значительной мере зависит от её безразмерной толщины. Рассмотрены свободные колебания некруговой конической оболочки переменной толщины, заделанной по скошенному краю, определены собственные частоты и получены формы собственных колебаний. Решены задачи вынужденных колебаний рассматриваемых тонкостенных конструкций. Результаты численных расчётов, выполненных по универсальной единой программе, табулированы и представлены графически.

В заключении даётся анализ теоретических исследований и рекомендации по их использовании в НИИ, конструкторских бюро и проектных организациях.

На защиту выносятся следующие положения: ■S обобщённый вариант теории тонких упругих гладких оболочек [146] на случай пространственной неортогональной криволинейной системы координат;

S получение на основе предложенного варианта теории полной статико-геометрической аналогии в смысле соответствия между собой статических и геометрических величин и уравнений с конкретным физическим истолкованием некоторых формально введённых в классической теории величин;

S доказательство идентичности методов криволинейных сеток и конечных разностей;

S обобщение метода криволинейных сеток (метод векторных разностей);

•S новый подход к решению краевых задач статики и динамики геометрически сложных оболочек, свободный от произвола выбора депланационных координатных функций вариационного метода [130]; S аналитические решения с применением аппарата специальных функций задач по определению НДС прямых и скошенных, одно- и многосвязных, цилиндрических и конических оболочек переменной жёсткости при воздействии на них сосредоточенных и распределённых силовых факторов; S разработка и реализация на ЭВМ универсального алгоритма расчёта НДС, свободных и вынужденных колебаний оболочек сложной геометрии; •S качественный и количественный анализ работы оболочек переменной и постоянной толщины, численная оценка приближённых аналитических решений;

S рекомендации по использовании результатов исследований в проектных организациях и конструкторских бюро. Апробация работы. Основное содержание работы доложено на XIV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Тбилиси, 1987), международных конференциях по теории оболочек и пластин: XVI (Нижний Новгород, 1994), XVIII (Саратов, 1997), XX (Нижний Новгород, 2002); международных конференциях «Актуальные проблемы механики оболочек» (Казань, 1998 и 2000); международных научно-практических конференциях «Высокие технологии в экологии» (Воронеж, 1998, 1999, 2000, 2001, 2002 и 2003); всероссийской XXXI научно-технической конференции «Актуальные проблемы современного строительства» (Пенза, 2001); второй всероссийской научно-технической конференции «Прикладные задачи механики и тепломассообмена в авиастроении» (Воронеж, 2001); школах-семинарах «Современные проблемы механики и математической физики» (Воронеж, 1994) и «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2002).

Работа доложена на кафедре теоретической механики Воронежского государственного архитектурно-строительного университета (Воронеж, 2002), на расширенном заседании кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета (Саратов, 2002), на городском семинаре по механике деформируемого твёрдого тела при кафедре механики Казанского государственного университета (Казань, 2003).

Публикации. Основное содержание диссертации представлено в 40 научных статьях [23 - 48, 84 - 97]. В совместно опубликованных статьях лично автору принадлежит выбор методов исследования, получение аналитических и численных решений, создание алгоритма и анализ полученных результатов.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ТЕОРИЯ. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ. ОБЩИЙ ВИД РАЗРЕШАЮЩЕЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В части первой работы предложен вариант теории тонких гладких оболочек, в котором статические и геометрические зависимости получены с позиции взаимодействия погонных сил и моментов в пространственно-искривленном двумерном континууме. Построение выполнено для общего случая в пространственной косоугольной системе координат, что повлекло за собой применение аппарата тензорного исчисления. При этом основные соотношения теории оболочек обладают значительной общностью и имеют компактный вид. С помощью некоторых преобразований и упрощений эти соотношения сводятся к уравнениям классической теории тонких упругих оболочек. Удерживая, в отличие от классических теорий, в векторах погонных моментов составляющие, направленные по нормали к срединной поверхности, а в векторах изгибной деформации соответствующие им компоненты кручения, получена полная статико-геометрическая аналогия теории тонких оболочек. То есть каждой статической величине соответствует геометрическая и каждому однородному уравнению равновесия - уравнение совместности деформаций. В известных теориях оболочек компонентам поперечной сдвиговой деформации по нормали к срединной поверхности не ставятся в соответствие какие-либо компоненты статических величин, а поперечным сдвиговым силам соответствуют некоторые формально вводимые величины. В предлагаемом варианте эти величины также присутствуют, но имея конкретный физический смысл, - это нормальные к срединной поверхности компоненты вектора изгибной деформации. Соотношения упругости помимо традиционной скалярной формы представлены также и векторными равенствами.

Предложено уточнение известного [130] вариационного подхода, позволяющего получить разрешающую систему шести уравнений, отвечающих смещениям контура поперечного сечения оболочки как твёрдого тела, в обыкновенных производных и одного дифференциального уравнения, отвечающего за депланационные смещения того же контура, в частных производных. И хотя подход [130] позволяет получать систему лишь обыкновенных дифференциальных уравнений, но здесь точность решения задач всецело зависит от удачного выбора координатных вектор-функций, определяющих депланационные смещения контура поперечного сечения оболочки. Уточнённый вариационный подход, в котором депланационные смещения не представляются в виде разложений по координатным функциям, свободен от этого недостатка. Кроме того, в последнем случае система обыкновенных дифференциальных уравнений, отвечающих смещениям контура как твёрдого тела, интегрируется независимо от депланационного уравнения в частных производных. При применении подхода [130] в общем случае получаем связанную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, причём перемещения, отвечающие смещениям контура поперечного сечения оболочки как твёрдого тела, выражаются через депланационные смещения этого контура.

Доказано, что схемы дискретизации векторных дифференциальных соотношений по методу криволинейных сеток (МКС) [73] и скалярных уравнений теории оболочек методом конечных разностей (МКР) идентичны между собой, то есть МКС представляет собой тот же МКР применительно к векторной форме уравнений теории оболочек. Дано обобщение метода криволинейных сеток на случай приближения ковариантной производной в векторной форме конечно-разностным выражением r-го порядка точности (метод векторных разностей).

Построена математическая модель конструктивно ортотропной конической оболочки, имеющей такие особенности, как подкрепляющий поперечный и продольный силовой набор с переменной площадью сечения стрингеров и лонжеронов по размаху, переменную толщину собственно оболочки, скошенность, многосвязность и некруговой контур поперечного сечения. Рассматриваемые оболочечные конструкции достаточно широко применяются в промышленности и особенно в авиационной и ракетно-космической технике. Известным подходом получена разрешающая система обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющая в отличие от [130] переменные коэффициенты в силу изменения толщины по размаху. В уточнённой постановке получена смешанная разрешающая система шести обыкновенных дифференциальных уравнений и одного уравнения в частных производных.

Результаты исследований части первой могут быть использованы научными работниками, занимающимися как чисто теоретическими исследованиями, так и проблемой непосредственного расчёта прочности, устойчивости и колебаний геометрически сложных тонкостенных конструкций.

2. Часть вторая работы посвящена решениям краевых задач статики и динамики конструктивно ортотропных оболочек сложной геометрии.

Исследовано НДС консольно защемлённых цилиндрических и призматических оболочек с некруговым контуром поперечного сечения, переменной толщины как в продольном, так и в поперечном направлениях, загруженных сосредоточенными и распределёнными нагрузками. Рассмотрены случаи стеснённого кручения и изгиба прямых оболочек, нагруженных сосредоточенными в концевом сечении соответствующими силовыми факторами. Результаты расчётов представлены графически. При решении задачи по определению собственных частот и форм свободных колебаний некруговой цилиндрической оболочки с переменной толщиной вдоль образующей получены таблицы собственных частот при различных геометрических параметрах конструкции. В предельном переходе к оболочкам постоянной толщины значения циклических частот совпадают при соответствующих геометрических и физических характеристиках с аналогичными величинами из [127], что свидетельствует о достоверности полученных результатов.

Решены краевые задачи для скошенных цилиндрических оболочек с произвольным контуром поперечного сечения. В отличие от прямых оболочек, где система разрешающих уравнений распадается на две подсистемы, описывающих изгиб и кручение соответственно, в скошенных оболочках система является связанной, так как физически в них изгиб всегда сопровождается кручением. Поэтому аналитическое решение удалось получить лишь в случае, когда учитывалась только депланация контура поперечного сечения от кручения, как преобладающая над депланацией от изгиба. В задачах динамики получены собственные частоты и формы свободных колебаний призматических оболочек скошенного типа.

Исследовано НДС прямых и скошенных многозамкнутых цилиндрических оболочек некругового очертания переменной жёсткости. Решены задача стеснённого кручения распределённым по длине оболочки и сосредоточенным в концевом сечении моментами, а также задача стеснённого изгиба распределённой нагрузкой и сосредоточенной силой. Распределение напряжений при различных случаях нагружения представлено графически. Исследовано влияние на НДС прямой многосвязной оболочки изменение её толщины вдоль образующей по линейному и кубическому законам. При этом закон изменения толщины сказывается существенно на распределение нормальных напряжений лишь при сравнительно большом перепаде толщины у заделки и на свободном конце оболочки.

Решены краевые задачи по определению НДС скошенных конических оболочек переменной жёсткости произвольного очертания. Приводится сравнение результатов для оболочки с симметричным контуром поперечного сечения, полученных по приближённому аналитическому решению с учётом лишь депланации кручения этого контура и численно в уточнённой постановке с учётом ещё и депланации от изгиба. Отмечено, что в скошенных конических оболочках переменной толщины краевой эффект имеет место по обоим концевым сечениям, обусловленный жёстким защемлением на одном конце, стеснением депланации вследствие коничности и переменной толщины - на другом. Рассмотрены свободные колебания некруговой конической оболочки переменной толщины, заделанной по скошенному краю, собственные частоты табулированы, собственные формы колебаний представлены графически. Исследовано также влияние на НДС рассматриваемых оболочек вынужденных колебаний при различных значениях частоты возмущающего фактора гармонической возмущающей силой, а также гармоническим возмущающим моментом.

Аналитические решения краевых задач выражаются через специальные функции: для прямых и скошенных цилиндрических оболочек переменной толщины через модифицированные функции Бесселя и Струве, для скошенных конических - через гипергеометрические функции. Эти решения принципиально отличны от решений для оболочек постоянной толщины, где уравнения интегрируются в элементарных функциях. Необходимость в аналитическом решении данных краевых задач продиктована тем обстоятельством, что имеющиеся алгоритмы, реализующие комплексы программ на ЭВМ по расчёту НДС конструкций типа крыла не в полной мере отражают их истинное напряжённо-деформированное состояние и, как правило, дают заниженные значения напряжений в жёсткой заделке. Этого недостатка лишён применённый в работе аналитический подход, позволивший исследовать как быстро изменяющиеся поля напряжений в области заделки, так и в оболочке в целом. Кроме того, в практике линейный закон изменения толщины в ряде случаев не является оптимальным. В целях экономии металла, снижения массы изделия и повышения его эксплуатационных качеств, целесообразно назначать иной, например, степенной закон изменения толщины.

В задачах по определению собственных частот и форм свободных колебаний прямых и скошенных оболочек переменной толщины решений в замкнутой аналитической форме для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами получить не удалось. Поэтому при их интегрировании был применён метод конечных разностей. Причём с целью получения более точных значений вместо перехода к мелкому шагу использовался МКР повышенной точности, при котором в конечных выражениях отбрасываются члены порядка шага разбиения в четвёртой степени. В результате задача по определению собственных частот и форм колебаний сводится к отысканию собственных значений и векторов блочнодиагональной матрицы. При решении этой задачи на ЭВМ применён метод двойной QR-итерации над матрицей, приведённой к верхней почти треугольной форме (матрица Хессенберга) методом Хаусхолдера [167].

Численные решения статических задач выполнены методом ортогональной прогонки двухточечной краевой задачи.

Установлено, что НДС оболочек всех рассмотренных типов переменной и постоянной толщины различно и с увеличением коэффициента перепада толщины в заделке и на свободном конце это различие возрастает. Поэтому в расчётах реальных конструкций, например, линейчатого крыла, у которого толщина обшивки может одновременно меняться как по размаху, так и по хорде, фактическое напряжённое состояние должно определяться по предлагаемой в работе методике.

Достоверность результатов исследования обеспечивается корректной в рамках принятых гипотез математической постановкой задач, сравнительным анализом аналитических и численных решений, предельным переходом к численным результатам для оболочек постоянной толщины, известным из литературы, а также сравнением с экспериментальными исследованиями других авторов.

Результаты исследований могут быть использованы научными работниками НИИ и КБ при разработке новых тонкостенных конструкций строительной индустрии, общего и специального машиностроения, авиационной и ракетно-космической техники. В последнем случае предлагаемые расчётные модели крыла, корпуса или оперения, соответствующие их конструктивно-силовым схемам, могут обеспечить оптимальные лётные, весовые и аэродинамические качества летательного аппарата. В промышленности это связано со снижением расхода энергоресурсов, в частности, топлива, конструкционных металлов и повышением эксплуатационной надёжности изделия.

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. — М.: Наука, 1978. — 288 с.

2. Агеносов А.Г., Саченков А.В. Свободные колебания и устойчивость конических оболочек произвольного поперечного сечения / Исследования по теории пластин и оболочек. — Казань, 1966. — Вып.6. — С.342 — 355.

3. Аксентян К.Б. Энергетический метод расчета оболочек усложненной формы. — Ростов: Рост. гос. ун-т, 1976. —319 с.

4. Александров А .Я., Ахметзянов М.Х. Поляризационно-оптические методы механики деформируемого твёрдого тела. М.: Наука, 1973. — 576 с.

5. Альберг Дж., Нильсон Э., Уолли Дж. Теория сплайнов и её приложения. -М.: Мир, 1972. 316 с.

6. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек . — М.: Наука, 1974.-446 с.

7. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. — М.: Стройиздат, 1968. — 240 с.

8. Асланян А.Г., Кузина З.Н., Лидский В.Б., Туловский В.Н. Распределение собственных частот тонкой упругой оболочки произвольного очертания // Прикл. матем. и мех. — 1973, т.37. С.604 — 617.

9. Асланян А.Г., Лидский В.Б. Распределение собственных частот тонких упругих оболочек. -М.: Наука, 1974. 156 с.

10. Ахунд-Заде М.Ю. Приближенные методы решения краевых задач теории произвольных цилиндрических оболочек / Тр. 6-ой Всес. конф. по теории оболочек и пластинок. Баку, 1966. - С.97 - 102.

11. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1969. — 368 с.

12. Балабух JI.H. Изгиб и кручение конической оболочки // Тр. ЦАГИ. — 1946, №577.-С. 1-54.

13. Балабух JI.H., Колесников К.С. и др. Основы строительной механики ракет. М.: Высшая школа, 1969. - 496 с.

14. Бейг М.Г., Кретов А.С., Шатаев В.Г. К расчёту свободных колебаний тонкостенных конструкций / Вопросы прочности, устойчивости и колебаний конструкций летательных аппаратов. Казань, 1985. - С. 108-113.

15. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. М.: Наука, 1965. - 294 с.

16. Бергман P.M. Интегрирование уравнений колебаний некруговой цилиндрической оболочки / Теория оболочек и пластин. М.: Наука, 1973. - С.386 - 389.

17. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений: В 2-х т. М.: Физматгиз, 1959 - I960. -Т.1.-464 с. Т.2. - 639 с.

18. Бляшке В. Введение в дифференциальную геометрию. М.: Гостех-издат, 1957. - 223 с.

19. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.-Л.: Гостехиздат, 1956. 600 с.

20. Болотин В.В. Распределение собственных частот колебаний тонких упругих оболочек / Тр. симпозиума по мех. Сплошных сред и родственные проблемы анализа. Тбилиси, 1973. - Т.1.-С.12 -27.

21. Бреббия К., Уокер С. Применение граничных элементов в технике. — М.: Мир, 1982.-248 с.

22. Булатов С.Н., Галимов К.З., Курочка П.Н. К теории расчёта оболочек некругового очертания / Исследования по теории пластин и оболочек. -Казань, 1981, №16. С.62- 75.

23. Булатов С.Н., Зайцев А.Ф., Козлов В.А. К расчёту оболочек сложной геометрии / Тр. XIV всесоюз. конф. по теории пластин и оболочек. Т.1 -Тбилиси, 1987. С.237 - 242.

24. Булатов С.Н., Козлов В.А. К расчёту многозамкнутых конструкций переменной жёсткости // Машиноведение, 1987, №2. С.68 -73.

25. Булатов С.Н., Козлов В.А. К расчёту кессона многолонжеронного крыла с учётом переменной жёсткости силовых элементов // Изв. вузов. Авиационная техника, 1988, №3. С.75 -77.

26. Булатов С.Н., Козлов В.А. Свободные колебания скошенных некруговых конических оболочек переменной жёсткости. Воронеж, 1988. - 40 с. -Деп. в ВИНИТИ 30.06.88, №5281 - В88.

27. Булатов С.Н., Козлов В.А. Колебания оболочки типа стреловидного крыла. -Воронеж, 1990.- 18 с.-Деп. в ВИНИТИ 26.03.90, №1612-В90.

28. Булатов С.Н., Козлов В.А. Стеснённое кручение призматической оболочки переменной толщины / Межвуз. сб. научных тр. «Статика тонкостенных элементов конструкций летательных аппаратов». Казань, 1990. - С.67-75.

29. Булатов С.Н., Козлов В.А. К проблеме расчёта конических оболочек скошенного типа / Материалы научно-техн. конф., посвящённой 60-летию ВИСИ (тез. докл.). Воронеж, 1991. - С. 130.

30. Булатов С.Н., Козлов В.А. Численный анализ НДС оболочки типа кессона стреловидного крыла. Воронеж, 1992. - 16 с. - Деп. в ВИНИТИ 17.03.92, №901 -В92.

31. Булатов С.Н., Козлов В.А. Обобщение теории Рейсснера на оболочки неканонических форм. Воронеж, 1992. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ 17.03.92, №902 -В92.

32. Булатов С.Н., Козлов В.А. Колебания и НДС оболочки типа стреловидного крыла / Тр. XVI междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Т.З. -Нижний Новгород, 1994.- С.38-43.

33. Булатов С.Н., Козлов В.А. Математическая модель конической оболочки ненулевой гауссовой кривизны / Тр. XVIII междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Т.З. Саратов, 1997. - С. 19 -24.

34. Булатов С.Н., Козлов В.А. Собственные колебания цилиндрической оболочки сложной геометрической структуры / Тр. междунар. научно-техн. конф. «Высокие технологии в экологии». 4.2. Воронеж, 1998. — С.122 -126.

35. Булатов С.Н., Козлов В.А. К проблеме расчёта подкреплённых конических оболочек сложной геометрии / Тр. междунар. конф. «Актуальные проблемы механики оболочек». Казань, 1998. - С. 19 -23.

36. Булатов С.Н., Козлов В.А. К теории расчёта скошенных оболочек / Прикладные задачи механики сплошных сред: Сб. статей. Воронеж,1999.- С.53 -61.

37. Булатов С.Н., Козлов В.А. К проблеме расчёта подкреплённых конических оболочек / Тр. 2-ой междунар. научно-техн. конф. «Высокие технологии в экологии». -Воронеж, 1999.- С.175-180.

38. Булатов С.Н., Козлов В.А. К проблеме расчёта оболочечных конструкций неканонических форм / Дорожная экология XXI века: Тр. междунар. научно-практ. симпозиума. Воронеж, 2000. - С. 134 -140.

39. Булатов С.Н., Козлов В.А. Свободные колебания некруговой цилиндрической оболочки, защемлённой по скошенному краю / Тр. 3-ей междунар. научно-техн. конф. «Высокие технологии в экологии». -Воронеж, 2000. С.53 -57.

40. Булатов С.Н., Козлов В.А. О краевом эффекте в оболочках типа крыла / Тр. междунар. конф. «Актуальные проблемы механики оболочек». Казань,2000.- С.110-115.

41. Булатов С.Н., Козлов В.А. Решение некоторых прикладных задач теории конических оболочек сложной геометрии // Проблемы машиностроения и надёжности машин, №5, 2000. С.102 -108.

42. Булатов С.Н., Козлов В.А. Кручение призматической оболочки сложной структуры / Материалы всероссийской научно-техн. конф. «Актуальные проблемы современного строительства». Пенза, 2001. — С.28.

43. Булатов С.Н., Козлов В.А. Изгиб прямой многосвязной оболочки переменной жёсткости / Тр. 4-ой междунар. научно-практич. конф. «Высокие технологии в экологии». Воронеж, 2001. - С.110-113.

44. Булатов С.Н. Козлов В.А. Аналитическое решение краевой задачи для оболочек неклассических форм / Сб. тр. второй всероссийской научно-техн. конф. «Прикладные задачи механики и тепломассообмена в авиастроении». 4.1. Воронеж, 2001. - С.63 -66.

45. Булатов С.Н., Козлов В.А. Расчёт НДС четырёхсвязной оболочки типа кессона прямого крыла по уточнённой модели / Тр. 5-ой междунар. научно-практич. конф. «Высокие технологии в экологии». Воронеж, 2002. - С.229 -236.

46. Булатов С.Н., Козлов В.А. К вопросу о рациональном распределении материала в оболочках сложной геометрии / Тр. 6-ой междунар. научно-практич. конф. «Высокие технологии в экологии». Воронеж, 2003. - С.80 -86.

47. Булатов С.Н., Козлов В.А. Вынужденные колебания конструктивно ортотропной конической оболочки с переменными жесткостными параметрами / Тр. 6-ой междунар. научно-практич. конф. «Высокие технологии в экологии». Воронеж, 2003. - С. 108 - 112.

48. Булатов С.Н., Курочка П.Н. ВБК метод в задачах прочности скошенных конических оболочек переменной толщины произвольного очертания / Нелинейная теория оболочек и пластин: Тез. докл. - Казань, 1980. - С.6 - 7.

49. Булатов С.Н., Курочка П.Н. Кручение призматической оболочки прямоугольного сечения / Исследование, расчёт и испытания металлических конструкций: Межвуз. сб. Казанский инженерно-строительный институт, 1980.- С.26-29.

50. Булатов С.Н., Курочка П.Н. Напряжённо-деформированное состояние цилиндрической, оболочки эллиптического сечения с переменной толщиной стенки в двух направлениях // Машиноведение, 1980, №4. -С.74-78.

51. Булатов С.Н., Курочка П.Н. К расчёту оболочек типа прямого крыла // Изв. вузов. Авиационная техника. 1981, №4. - С.80 -83.

52. Булатов С.Н., Курочка П.Н. К расчёту цилиндрической оболочки переменной толщины эллиптического очертания // Строительная механика и расчёт сооружений, 1983, №2. С.58 -62.

53. Бурмистров Е.Ф. Симметричная деформация оболочек вращения переменной толщины / Теория пластин и оболочек. Киев, 1962. - С.435 — 438.

54. Бурмистров Е.Ф., Коссович Л.Ю., Маслов Н.М. Исследование переходных волновых процессов в цилиндрической оболочке переменной толщины методом асимптотического интегрирования / Механика деформируемых сред. Саратов, 1982. - Вып. 7. - С.41 - 50.

55. Вахитов М.Б., Конюхова Л.М. Расчёт крыльев большой конусности / Вопросы прочности элементов авиационных конструкций. Куйбышев, 1975. - Вып.2. - С.З - 12.

56. Вахитов М.Б., Ларионов Н.Г. Теория расчёта крыла малого удлинения по дискретно-континуальной расчётной схеме (численное интегрирование разрешающих уравнений) // Изв. вузов. Авиационная техника. 1976, №2. -С.15-20.

57. Вахитов М.Б., Сафонов А.С. Расчёт тонкостенных конструкций с большими вырезами / Тр. Казанского авиационного института. Казань, 1972. -Вып.145. - С.14 - 21.

58. Вахитов М.Б., Сафонов А.С. К расчёту тонкостенного крыла малого удлинения за пределами пропорциональности // Изв. вузов. Авиационная техника. 1972, №2. - С.27 - 32.

59. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982. - 288 с.

60. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. М.: Наука, 1978.-296 с.

61. Власов В.З. Общая теория оболочек и её приложения в технике. М.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

62. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.-432 с.

63. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань, 1975. -326 с.

64. Галимов К.З., Паймушин В.Н. Теория оболочек сложной геометрии. — Казань, 1985.-164 с.

65. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук. 1961, Т.16. - Вып.3(99). - С. 171 - 174.

66. Голованов А.И. Исследование свободных колебаний оболочек методом конечных элементов / Исслед. по теории пластин и оболочек. Вып.23. — Казань: изд-во Казан, ун-та, 1991.-С.81 85.

67. Голованов А.И., Корнишин М.С. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек / КФТИ КФ АН СССР. Казань: Б.и., 1990.-269 с.

68. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. -512 с.

69. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.Б. Некоторые общие свойства свободных колебаний тонкой упругой оболочки // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1974, №2. - С. 120 - 124.

70. Григолюк Э.И., Селезнёв И.Г. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек / Механика твёрдых деформируемых тел. -М., 1973.-Т.5.-272 с.

71. Григоренко Я.М., Беспалова Е.И. Свободные колебания элементов оболочечных конструкций. — Киев: Наукова думка, 1976. 171 с.

72. Гуляев В.Н., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А., Гайдайчук В.В. Расчёт оболочек сложной формы. Киев: Будивэльник, 1990. — 190 с.

73. Гурьянов Н.Г., Артюхин Ю.П. Коническая оболочка линейно-переменной толщины под действием нормальной сосредоточенной силы / Исслед. по теории пластин и оболочек. Вып.8. Казань: изд-во Казан, ун-та, 1972.-С.278-286.

74. Давыдов Ю.В., Злыгарев В.А. Геометрия крыла. М.: Машиностроение, 1987.-131 с.

75. Дюрелли А., Райли У. Введение в фотомеханику (поляризационно-оптический метод). М.: Мир, 1970. - 484 с.

76. Иванов Ю.И. К расчету скошенных тонкостенных конструкций методом конечного элемента // Ученые записки ЦАГИ. 1976, Т.7, №4. - С.95 - 100.

77. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Наука, 1965.-703 с.

78. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: Наука, 1966. - 260 с.

79. Кантор Б.Я., Меллерович Г.М., Науменко В.В. Исследование напряжённого состояния оболочки типа эллиптического конуса / Динамика и прочность машин. 1982, №36. - С. 19 - 24.

80. Коваленко А.Д., Григоренко Я.М., Ильин А.А. Теория тонких конических оболочек и её приложения в машиностроении. Киев, 1963. -287 с.

81. Коваленко А.Д., Григоренко Я.М., Лобкова Н.А. Расчёт конических оболочек линейно-переменной толщины. Киев, 1961.

82. Кожевникова М.К., Новожилов В.В. Приближенная теория стеснённого кручения тонкостенных стержней замкнутого профиля,учитывающая искривления поперечных сечений // Изв. АН СССР, отд. техн. наук. 1956, №9. - С.72 - 83.

83. Козлов В.А. Вынужденные колебания скошенных конических оболочек некругового очертания / Материалы научно-техн. конф., посвящённой 60-летию ВИСИ (тез. докл.). Воронеж, 1991. - С.135.

84. Козлов В.А. Устойчивость цилиндрической оболочки переменной жёсткости. Воронеж, 1992. - 17 с. - Деп. в ВИНИТИ 17.03.92, №903 -В92.

85. Козлов В.А. Полная статико-геометрическая аналогия линейной теории оболочек / Тр. XVI междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Т.2. -Нижний Новгород, 1994. С.111 - 116.

86. Козлов В.А. Замкнутый вариант линейной теории оболочек / Современные проблемы механики и математической физики (тез. докл.). — Воронеж, 1994.-С.53.

87. Козлов В.А. Кручение цилиндрической оболочки произвольного профиля с учётом стеснения депланации / Тр. 3-ей междунар. научно-техн. конф. «Высокие технологии в экологии». Воронеж, 2000. - С.141 - 144.

88. Козлов В.А. Метод криволинейных сеток повышенной точности / Тр. междунар. конф. «Актуальные проблемы механики оболочек». Казань, 2000.-С.261-265.

89. Козлов В.А. МКР повышенной точности в задачах колебаний оболочек сложной геометрии/ Тр. междунар. конф. «Актуальные проблемы механики оболочек». Казань, 2000. - С.266 - 271.

90. Козлов В.А. Определение собственных частот и форм колебаний прямой консольно защемлённой призматической оболочки переменной толщины / Тр. 5-ой междунар. научно-практич. конф. «Высокие технологии в экологии». — Воронеж, 2002. С.222 - 229.

91. Козлов В.А. Уточнённый вариационный подход к расчёту оболочек сложной геометрии / Сб. докл. XX междунар. конф. по теории оболочек и пластин «Механика оболочек и пластин». Н.Новгород: изд-во ННГУ,2002.- С.178 -183.

92. Козлов В.А. Вариационный метод решения краевых задач по определению НДС оболочек, свободный от выбора депланационных координатных функций / Тр. 6-ой междунар. научно-практич. конф. «Высокие технологии в экологии». Воронеж, 2003. - С.262 - 266.

93. Козлов В.А., Курочка П.Н. К расчёту кессона многолонжеронного крыла с переменной толщиной обшивки. Воронеж, 1986. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 16.12.86, №8656-В86.

94. Козлов В.А., Курочка П.Н. Изгиб многосвязной оболочки с жёстко заделанным краем. Воронеж, 1988. - 18 с. - Деп. в ВИНИТИ 27.04.88, №3280-В88.

95. Колебания и устойчивость многосвязных тонкостенных систем. — М.: Мир, 1984.-312 с.

96. Коллатц JI. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968. - 504 с.

97. Коноплёв Ю.Г., Шалабанов А.К. Голографическая интерферометрия и фототехника. Казань: изд-во Казан, ун-та, 1990. - 98 с.

98. Корнишин М.С.,. Паймушин В.Н., Снигирёв В.Ф. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек. М.: Наука, 1989. - 208 с.

99. Корнишин М.С., Якупов Н.М. Сплайновый вариант МКЭ для расчёта оболочек сложной геометрии // Прикладная механика. 1987, Т.23, вып.З. -С.38-44.

100. Корнишин М.С., Якупов Н.М. Параметризация и расчёт оболочек сложной геометрии / Математические модели, методы решения и оптимальное проектирование гибких пластин и оболочек. Саратов, 1988. -С.33-35.

101. Корнишин М.С., Якупов Н.М. Сплайновый вариант МКЭ в сферических координатах / Прикладные проблемы прочности и пластичности. Алгоритмизация и автоматизация научных исследований: Всесоюз. межвуз. сб. Горький, 1988. - С.74 - 80.

102. Корнишин М.С., Якупов Н.М. К расчёту оболочек сложной геометрии в цилиндрических координатах на основе сплайнового варианта // Прикладная механика. 1989, Т.25, вып.8. - С.53 - 60.

103. Корнишин М.С., Якупов Н.М. Параметризация и расчёт оболочек типа резных / Тр. XV Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Казань, 1990.-С.533-538.

104. Коссович Л.Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек. -Саратов, 1986.- 176 с.

105. Кузнецов Ю.М. Исследование свободных колебаний цилиндрических оболочек эллиптического сечения методом конечных элементов / Тр. семинара по теории оболочек. Казань: КФТИ КФ АН СССР, 1984. -Вып. 17. - С.89 - 98.

106. Кузнецов Ю.М., Голованов А.И. Применение МКЭ к задаче свободных колебаний тонких цилиндрических оболочек / Тр. семинара по теории оболочек. Казань: КФТИ КФ АН СССР, 1984. - Вып. 17. - С.79 - 88.

107. Ш.Ларднер Т.Н., Стил Р.С. Симметричная деформация упругих круговых цилиндрических оболочек переменной толщины / Прикладная механика. Тр. американского общ-ва инж. мех. - 1968, Т.35, №1. - С.98 - 100.

108. Лашманова Н.А., Новожилов В.В. Стеснённое кручение труб // Учёные записки Ленинградского гос. ун-та. Серия математ. наук. 1957, вып.31, №217. -С.254-271.

109. Лужин О.В. Теория тонкостенных стержней замкнутого профиля и её применение в моторостроении. М.: Военная инж. академия, 1959. - 245с.

110. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.: Гостехиздат, 1947.-252 с.

111. Маслов Н.М. Метод расчленения в задачах термоупругости тонких оболочек // Прикл. механика. 1981. - Т. 17, вып.11. - С 68 - 74.

112. Метод фотоупругости: В 3-х т. М.: Стройиздат, 1975. - Т.1. - 460 е., Т.2. -367 е., Т.3.-312 с.

113. Механика твёрдых деформируемых тел. Итоги науки и техники. М., 1976.- 155 с.

114. Механика твёрдого деформируемого тела. Итоги науки и техники. М., 1990, Т.21.-155 с.

115. Мишин В.П., Осин М.Н. Введение в машинное проектирование летательных аппаратов. — М.: Машиностроение, 1978. 342 с.

116. Молчанов А.И. Свободные колебания некруговых оболочек, близких к оболочкам нулевой гауссовой кривизны // Вестник Ленинградского гос. ун-та. 1986, №4. - С.43 - 45.

117. Мочалин А.А. Об определении частот собственных колебаний цилиндрической конструктивно-ортотропной оболочки переменной толщины / Механика деформируемых сред. Вып.8. Саратов, 1983. -С.106-113.

118. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. -Казань: Таткнигоиздат, 1957. -431 с.

119. Недорезов П.Ф. Вибрационное осесимметричное нагружение полимерной оболочки вращения / Механика деформируемых сред. Статика и динамика пластин и оболочек. Межвуз. науч. сб. Вып.9. Саратов: изд-во Сарат. унта, 1985.-С.100-113.

120. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. JL: Гос. союзное изд-во судостроительной промышленности, 1962. - 431 с.

121. Новожилов В.В. Развитие метода комплексного преобразования в линейной теории оболочек за 50 лет / Теория оболочек и пластин. — 1964.-С.107- 115.

122. Норден А.П. Краткий курс дифференциальной геометрии. М.: Физматгиз, 1958. - 244 с.

123. Образцов И.Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиационных конструкций. — М.: Машиностроение, 1966. — 391 с.

124. Образцов И.Ф. Развитие теории пластин и оболочек при создании конструкций современных летательных аппаратов. — М.: Наука, 1976. 348 с.

125. Образцов И.Ф., Нерубайло Б.В., Андрианов Н.В. Асимптотические методы в строительной механике тонкостенных конструкций. — М.: Машиностроение, 1991. -416 с.

126. Образцов И.Ф., Онанов Г.Г. Строительная механика скошенных тонкостенных систем. М.: Машиностроение, 1973. — 658 с.

127. Огибалов П.Н., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М., 1969. -695 с.

128. Одиноков Ю.Г. Расчёт самолёта на прочность. — М.: Машиностроение, 1973.-392 с.

129. Паймушин В.Н. К проблеме расчёта пластин и оболочек со сложным контуром // Прикладная механика. 1978, Т. 14, №7. - С.75 - 84.

130. Паймушин В.Н. Нелинейная теория тонких оболочек сложной формы, пологих относительно поверхности отсчёта / Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев, 1978. - Вып.ЗЗ. - С.63 - 68.

131. Паймушин В.Н. К расчёту цилиндрической панели с косым срезом / 14-ое научное совещание по тепловым напряжениям в элементах конструкций: Тез. докл. Киев: Наукова думка, 1977. - С.93.

132. Паймушин В.Н., Фирсов В.А. Основные соотношения линейной теории тонких оболочек сложной формы в гауссовых координатах поверхности отсчёта / Тр. семинара по теории оболочек. Казань, 1975. - Вып.6. - С.21 -33.

133. Паймушин В.Н. К проблеме расчёта пластин и оболочек со сложным контуром // Прикладная механика. 1980, Т. 16, №4. - С.63 - 70.

134. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. Саратов, 1975. - 119 с.

135. Петров В.В., Овчинников И.Г. Расчёт пластинок и оболочек из нелинейно-упругого материала. Саратов, 1976. - 136 с.

136. Петров В.В., Овчинников И.Г., Иноземцев В.К. Деформирование элементов конструкций из нелинейного разномодульного неоднородного материала. Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 1989. - 157 с.

137. Проблемы снижения материалоёмкости силовых конструкций: Тез. докл. Всесоюзной конф. Горький, 1984. - 126 с.

138. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник в 3-х т. М.: Машиностроение, 1968. - Т. 1. - 839 е., Т.2. - 463 е., Т.З. - 567 с.

139. Работнов Ю.Н. Некоторые решения безмоментной теории оболочек // Прикл. математ. и механика. 1946, Т. 10, вып.5-6. - С.639 - 646.

140. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М.: Гостехиздат, 1956.-420'с.

141. Рейсснер Э.Э. Некоторые проблемы теории оболочек / Упругие оболочки. -М., 1962.-С.7-65.

142. Рейсснер Э.Э. Линейная и нелинейная теории оболочек / Тонкостенные оболочечные конструкции. М.: Машиностроение, 1980. -С.55 - 69.

143. Рекач В.Г., Кривошапко С.Н. Расчет оболочек сложной геометрии. -М.: Изд-во ун-та дружбы народов, 1988. 177 с.

144. Рихтмайер Р.Д. Разностные методы решения краевых задач. М.: Изд-во иностр. лит-ры, I960. — 262 с.

145. Саченков А.В. Теоретико-экспериментальный метод исследования пластин и оболочек. Казань, 1970. - Вып.6-7. - С.391 - 433.

146. Саченков А.В., Коноплёв Ю.Г. Конструирование формул для оценки устойчивости и прочности оболочек при решении задач теоретико-экспериментальным методом / Исслед. по теории пластин и оболочек. Вып. 14. Казань, 1979. - С.100 - 123.

147. Седов Л.И. Механика сплошной среды: Т.1. — М.: Наука, 1970. — 492с.

148. Сельский Ю.С. Асимптотические представления решения для конической оболочки / Прочность и надёжность элементов конструкций. Киев, 1982. - С. 131 - 140.

149. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. М.: Наука, 1964. - 206 с.

150. Снигирёв В.Ф. Вычислительная геометрия в численных методах анализа оболочек / Актуальные проблемы механики оболочек: Тез. докл. 2-го Всесоюз. совещания-семинара молодых учёных. — Казань, 1985.-С.198- 199.

151. Справочник по специальным функциям. — М.: Наука, 1979. 830 с.

152. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. - 325 с.

153. Сьюэпп Ж., Тьюси К. Исследование колебаний эллиптических цилиндрических оболочек, защемленных на одном конце и свободных на другом // Ракетная техника и космонавтика. 1971, Т.9, №6. — С. 15 - 24.

154. Теория оболочек с учётом поперечного сдвига / Под ред. К.З. Галимова. — Казань: изд во КГУ, 1977. - 211 с.

155. Теребин Б.Н. Динамический расчёт тонкостенных оболочек-балок замкнутого многоконтурного сечения / Исслед. по теории сооружений. Вып. 13. — М.: Стройиздат, 1964. — С.21 37.

156. Терегулов И.Г. Изгиб и устойчивость тонких пластин и оболочек при ползучести. М.: Наука, 1969. - 206 с.

157. Терегулов И.Г., Каюмов Р.А. Определяющие соотношения для нелинейно-упругих и неупругих композитов / Моделирование в механике. Новосибирск. СО АН СССР, 1988, Т.2, №6. - С. 134 - 139.

158. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. - 984 с.

159. Тирский Г.А. Кручение полого стержня, ограниченного крыловыми профилями Жуковского-Чаплыгина // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. Механика и машиностроение. М., 1959. - С. 114 - 121.

160. Тихомиров В.В. К расчёту коробчатой оболочки прямоугольного профиля // Прикл. механика. 1981, №8. - С.48 -55.

161. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1974. 224 с.

162. Тютюнников В.В. Определение частот и форм собственных колебаний тонкостенной слабоконической конструкции / Прочность, устойчивость и колебания элементов конструкций летательных аппаратов. — М., 1986. — С.42 — 46.

163. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970.-564 с.

164. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1985. - 383 с.

165. Филин А.П. Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат, 1987. — 384 с.

166. Фиников С.П. Теория поверхностей. М.-Л.: ОНТИ, 1934. - 200 с.

167. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия: применение в проектировании и на производстве. М.: Мир, 1982. - 304 с.

168. Черников С.К. Вариант аналитического описания метрики оболочек неканонических очертаний / Вопросы прочности тонкостенных авиационных конструкций. — Казань, 1987. С. 115 — 118.

169. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек: В 2-х ч. — Л., 4.1, 1962. — 274 с. 4.2, 1964.-395 с.

170. Шалабанов А.К. Определение перемещений в оболочках разнообразной геометрии методом голографии / Исследования по теории пластин и оболочек. — Казань, 1985. —4.1. — С. 130 — 151.

171. Экспериментальные методы исследования деформаций и напряжений. Справочное пособие. Киев: Наукова думка, 1981. - 583 с.

172. Эстрин М.И. Расчёт цилиндрической оболочки, закреплённой по косому контуру // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. Механика и машиностроение. -М., 1959.-С.151-155.

173. Якупов Н.М. Об одном методе расчета оболочек сложной геометрии / Исследования по теории оболочек: Тр. семинара. Казань, 1984. -Вып. 17. - 4.2. - С.4 — 17.

174. Якупов Н.М., Шаймарданов И.Г. Статика элементов конструкций сложной геометрии / Тр. XVI междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Н.Новгород, 1993. - Т.2. - С.225 - 229.

175. Якупов Н.М., Серазутдинов М.Н. Расчёт упругих тонкостенных конструкций сложной геометрии / РАН, Казан, науч. центр. Ин-т механики и машиностроения. Казань: Б.и., 1993. — 206 с.

176. Almroth В.О., Stern P., Brogan A.F. Automatic Choice of Global Shape Functions in Structural Analysis // AIAA J. — 1978, Vol. 16, No 5. — P.525 — 528.

177. Armit A.P.Interactive 3D Shape Design-Multipatch ard Multiobject // Aircraft Engineering. 1973, No 2. - P. 191 - 195.

178. Aylward R.W., Galletly G.D. Elastic Buckling of, and First Yielding in, Thin Torispherical Sholls Subjected to Internal Pressure // Appl. Mech. Div. Liverpool, 1978.-No 4.-P.321 -336.

179. Baner S.M., Filippov G.D., Smirnov A.L., Tovstik P.E. Asymptotic methods in mechanics with applications thin shells and plates // Asimptot. Meth. Mech. Providence (R.I.), 1993. - P.3 - 140.

180. Bantlin A. Formanderung und Beauspruchung Ausgleichsrohren // Z. Ver. Dent. Ing. 1910. -No 54. - S.43 - 49.

181. Brown K.W., Kraus H. Stability of Internally-Pressurized Vessels with Ellisoidal Heads // Trans. ASME. 1976. - Vol.98. - P.157 - 161.

182. Coons S.A., Nerzog B. Surfaces for Computer-Aided Aircraft Design // Journal of Aircraft. 1968. - Vol.5, No 4. - P.402 - 406.

183. Flanerty J.E., Vafakos W.P. Asymptotik solution for pressurized noncircular cylinders with nonuniform rings // AJAA Journ. 1971. — No 9. - P.1725 - 1732.

184. Gruning J.E., Werner D. Praktische Berechnung von Zylindeshalen mit beiliedig stetig veranderlicher Krummung der Guerschnittakurve // Bauplan-Bautechn. 1962. - Vol.16. - No 7. - S.340 - 345.

185. Harris D. Applying Computer-Aided Design (CAD) to the 767 // Astronautics and Aeronautics. 1980. - Vol.18. - No 9. - P.44 - 49.

186. Irie Т., Yamada G., Kobayshi Y. Free vibration of an oblique rectangular prusmatic shells // J. Sound ard Vibr. 1985. - Vol.102. - No 4. - P.501 -513.

187. Romano F., Kempner J. Stresses in short noncircular cylinder chells under lateral pressure // Trans. ASME. E. 1962. - Vol.29. - No 4. - P.669 - 674.

188. Ross C.T. Free vibrations thin shells // J. Sound and Vibr. 1975. - Vol.39. -No 3. - P.337 - 344.

189. Sciammarella C.A., Ghang T.Y. Holographic Intereferometry Applied to the Solution of a shell Problem. I. // Exp. Mech. 1974. - Vol.31. - No 1.

190. Stephenson J., Immandrudin K. Analysis of noncircular cylindrical shells // J. Strict. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 1973. - Vol.99. - No 1. - P.33 -51.

191. Vafakos W., Romano F., Kempner J. Stresses in short aval cylindrical shells under hydropressure // J. of a Aerospace Science. 1962. - Vol.29. - No 11. -P.1347 - 1357.

192. Weingarten V.I., Gelman A.P. Free vibrations of contilevord conual shells // J. Engrg. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civil Engrg. 1967. - Vol.93. - No 6. -P.127 - 138.

193. Yarnada G., Irie T. Natural frequencies of elliptical cylindrical shells // J. Sound ard Vibr. 1985. - Vol.101. -No 1. - P.133 - 139.