Нелинейные колебания защемленных ортотропных оболочек с различными опорными контурами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.03 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

1. КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР.

1.1. Основные монографии и обзоры по общим проблемам расчета гибких оболочек и пластинок при конечных перемещениях

1.2. Напряженно-деформированное состояние трапециевидных в плане оболочек и пластин

1.3. Колебания трапециевидных в плане оболочек и пластинок.

2. ОСНОВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИНОК

2.1. Гипотезы и допущения, положенные в основу расчета

2.2. Основные дифференциальные зависимости геометрически нелинейной ортотропной оболочки

2.3. Основные дифференциальные уравнения движения. Постановка граничных условий

2.4. Применение метода Бубнова-Галеркина для интегрирования основных дифференциальных уравнений движения.

2.5. Решение уравнения движения ортотропной оболочки

2.6. Определение динамических напряжений.

3. НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИНОК НА ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПЛАНЕ

3.1. Защемленная изотропная пластинка с несмещающимися кромками.

3.2. Собственные колебания изотропных оболочек

3.3. Влияние параметров ортотропии материала на собственные колебания оболочек и пластинок

3.4. Вынужденные колебания прямоугольных защемленных оболочек и пластинок под действием гармонической нагрузки.

В ы в о д ы

4. НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИНОК НА

ТРАПЕЦИЕВИДНОМ ПЛАНЕ.

4.1. Выбор аппроксимирующих функций для трапециевидных в плане оболочек (пластинок)

4.2. Решение уравнения движения ортотропных оболочек и пластинок на трапециевидном плане

4.3. Анализ результатов расчета изотропных оболочек и пластинок

4.4. Влияние параметров ортотропии материала на собственные колебания трапециевидных в плане оболочек и пластинок

4.5. Вынужденные колебания трапециевидных в плане оболочек и пластинок под действием гармонической нагрузки.

В ы в о д ы.

Повышенная жесткость, совмещение несущих и ограждающих свойств, высокая экономичность, оригинальность архитектурных форм - все это позволяет оценить тонкостенные пространственные покрытия и перекрытия типа оболочек как прогрессивные конструкции. Разработка, проектирование и внедрение тонкостенных конструкций в практику строительства полностью отвечает основной народнохозяйственной задаче, поставленной перед строителями ХХУ1 съездом КПСС. Их применение дает экономию материалов, труда, повышает эффективность капитальных вложений на основе использования достижений научно-технического прогресса и передового опыта.

Тонкостенные оболочки и пластинки нашли применение в строительстве при покрытии большепролетных торговых, зрелищных и спортивных сооружений. Причем в качестве покрытий или их элементов используются тонкостенные конструкции как на прямоугольном, так и на непрямоугольном планах. Сложные конструкции современных самолетов, кораблей, цельнометаллических вагонов также представляют собой тонкостенные пространственные системы, составленные из оболочек и пластин. Совершенствование методики их расчета может дать существенную экономию материалов в масштабах страны.

В последнее время значительно возрос интерес ученых-механиков к расчету оболочек и пластин из композиционных материалов. Использование новых типов связующих, высокопрочных волокон представляет им возможность успешно конкурировать с такими традиционными материалами, как металл, бетон и др.

В настоящее время в строительстве, авиастроении, судостроении, приборостроении, транспорте и т.д. широко применяются композиционные материалы.

Расчету оболочек и пластинок из анизотропных материалов, а к ним относятся и композитные материалы, посвящены работы советских ученых С.А.Амбарцумяна, В.В.Болотина, Э.И.Григолгока, А.Н. Гольденвейзера, В.З.Власова, Н.А.Кильчевского, В.И.Королева, С.Г. Лехницкого, Х.М.Муштари, В.В.Новожилова, Н.Ф.Образцова, П.М.Оги-балова и др.

Существенно важным для тонкостенных конструкций является их расчет по деформированной схеме, приводящий к теории расчета пластин и оболочек с учетом геометрической нелинейности. Решения нелинейных задач этой теории характерны не только изменением количественных значений усилий и перемещений, но и появлением качественно новых результатов.

Необходимость строительства в сейсмических районах, динамические воздействия на элементы кораблей, самолетов и ракет заставляют обратить серьезное внимание на вопросы, связанные с динамическими расчетами. При этом надо отметить, что есть класс задач, рассмотрение которых возможно только на основе теории нелинейных колебаний. Их линеаризация обычно проводится для того, чтобы избежать математических трудностей и воспользоваться хорошо развитыми методами классической теории колебаний. Однако некоторые задачи вообще не допускают идеализаций, т.к. нелинейные колебания сопровождаются существенно новыми явлениями, принципиально невозможными в линейной постановке, например, многозначность амплитуд вынужденных колебаний, явление скачков и срывов колебаний, субгармонические резонансы и т.д.

Решение нелинейных динамических задач оболочек и пластинок значительно сложнее по сравнению с линейными задачами. Решить их в замкнутом виде в большинстве случаев не удается. В основном их решают численными методами. Однако, численные методы приводят к решению на ЭВМ систем нелинейных алгебраических уравнений высокого порядка и к очень сложным трансцеццантным уравнениям, что неизбежно сказывается на затратах машинного времени, а главное -точности вычислений,а также вызывает не всегда преодолимые трудности, связанные с ограниченной памятью машины. Кроме того, решения, полученные численными методами, не дают аналитических зависимостей между силовыми и деформационными параметрами, что весьма важно при вариантном проектировании.

Поэтому актуальным является получение аналитических решений задач нелинейных колебаний ортотропных оболочек и пластин.

Среди большого числа работ по нелинейным колебаниям существует пробел, относящийся к задаче о колебании пластин с несмеща-ющимися защемленными кромками. Совсем нет публикаций, посвященных колебаниям пологих оболочек при тех же граничных условиях. Не исследовались влияния изменения коэффициента Пуассона и параметров ортотропии на динамические характеристики ортотропных пластинок и оболочек.

Дифференциальные уравнения движения пластин и оболочек в нелинейной постановке, полученные и используемые рядом авторов, имеют некоторые упрощения. В настоящей работе исследовалась их законность применительно изучаемой задаче.

Несмотря на многочисленность работ, посвященных исследованию прочности и колебания оболочек и пластинок, в основном они ограничиваются оболочками и пластинками на прямоугольном плане. Оболочкам и пластинкам, непрямоугольным в плане, посвящено сравнительно мало работ.

Задача о нелинейных колебаниях пластинок и оболочек на непрямоугольном плане связана с большими техническими трудностями вычислительного характера. Именно поэтому ей посвящено мало публикаций. Вместе с тем эти конструкции встречаются на практике достаточно часто, и как самостоятельные несущие покрытия и перекрытиями в качестве элементов гидротехнических сооружений, специальных конструкций, а также в обшивках кораблей, самолетов и в других отраслях народного хозяйства. При этом они имеют достаточную общность, т.к. в качестве частных случаев трапециевидных оболочек можно получить - прямоугольную и треугольную.

Среди задач о нелинейных колебаниях оболочек мало работ, учитывающих постоянную составляющую гармонической нагрузки, хотя на практике эта составляющая бывает значительной, особенно для строительных конструкций и ею вряд ли следует пренебречь.

Целью работы является:

1. Качественный и количественный анализ влияния различных нелинейных факторов на амплитудно-частотные зависимости оболочек и пластинок.

2. Исследование нелинейных колебаний трапециевидных в плане оболочек и пластинок в зависимости от геометрических и физических параметров.

3. Получение и решение уравнения движения в перемещениях при действии гармонической нагрузки с постоянной составляющей, и исследование влияния постоянной составляющей на амплитудно-частотные зависимости оболочек и пластин.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- исходя из принципа Гамильтона-Остроградского получены нелинейные дифференциальные уравнения движения ортотропных оболочек в перемещениях;

- проведен качественный анализ влияния различных нелинейных факторов на амплитудно-частотные зависимости защемленных оболочек и пластин с несмещающимися кромками;

- получены приближенные аналитические решения задач нелинейных колебаний трапециевидных в плане оболочек и пластинок;

- исследованы нелинейные колебания трапециевидных в плане оболочек и пластин в зависимости от геометрических и физических параметров;

- подробно проанализированы влияние постоянной составляющей нагрузки на амплитудно-частотные зависимости оболочек и пластин.

На защиту выносятся:

1. Методика расчета защемленных трапециеввдных в плане оболочек с несмещающимися кромками при конечных прогибах.

2. Результаты теоретических исследований влияния различных нелинейных факторов, геометрических параметров, коэффициента Пуассона и параметров ортотропии на колебания прямоугольных в плане оболочек и пластинок.

3. Результаты теоретических исследований влияния различных нелинейных факторов, геометрических параметров, коэффициента Пуассона, и параметров ортотропии на колебания трапециевидных в плане оболочек и пластинок.

Работа выполнена на кафедре строительной механики МИСИ им. В.В.Куйбышева в 1980-1983 гг. под руководством кандидата технических наук, доцента Г.А.Соколовой.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, общих выводов, списка литературы, приложений и содержит страниц машинописного текста,4рисунков, 13 таблиц.

ощие вывода

1. Пренебрежение некоторыми нелинейными членами одного порядка по сравнению с другими при расчете оболочек и пластинок с несмещающимися кромками может привести к неправильным результатам.

2. Изменение коэффициента Пуассона мало влияет на нелинейные колебания пластинки и существенно изменяет амплитудно-частотные зависимости оболочки. При увеличении коэффициента Пуассона увеличивается величина "оболочечного" члена ^ и уменьшается коэффициент % - свойственный пластинам.

3. Решения задачи колебания пластинок с несмещающимися и смещающимися кромками в линейной постановке практически совпадают, а в нелинейной постановке резко отличаются. Величина коэффициента х - характеризующего нелинейность, на 33 % больше для несмещающихся кромок по сравнению со смещающимися.

4. Изменение отношения модулей упругости^ значительно меняет величину основной частоты малых колебаний и не влияет на нелинейные колебания. Параметр сдвиговой жесткости £ мало влияет на линейные и на нелинейные колебания пластинок и оболочек.

5. С увеличением силы тяжести возрастает собственная частота малых колебаний пластинки и уменьшается частота малых колебаний оболочки. При относительно больших амплитудах сила тяжести практически не влияет на нелинейные колебания пластинок и оболочек.

6. Трапециевидные в плане оболочки с увеличением параметра угла бокового скоса имеют более "жесткую" скелетную линию.

7. Влияния коэффициента Пуассона, коэффициента демпфирования, силы тяжести, параметров : ортотропии, внешней нагрузки, кривизн на нелинейные колебания трапециевидных в плане оболочек и пластинок в качественном отношении такое же, как и для прямоугольных в плане, но количественно меньше.

1. Абель В.В. Изгиб пластинки, имеющей в плане форму произвольной трапеции.- Инженерный журнал, 1965, т.5, с.883-894.

2. Алджанов A.A. Вынужденные колебания трапециевидных пластинок от действия случайных нагрузок.- Сопротивление материалов и теория сооружений, 1972, вып. 16, с.198-201.

3. Алумяэ H.A. 0 представлении основных соотнешений нелинейной теории оболочек.- Прикл. матем. и мех., 20, W- I, 1956, с.136-139.

4. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек.-М., 1974, 446 с.

5. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин.- М., 1967.

6. Алексеева Н.К. Вынужденные и параметрические колебания пластин конечного прогиба с учётом тангенциальных сил инерции. В сб. "Расчет пространственный конструкций", 12, М., 1969,с.177-185.

7. Асадов Ф. Об одном алгоритме численного решения граничной задачи об изгибе пластин с угловыми точками. "Изв. АН Тадж. ССР. Отд. физ.-матем., хим. и геол. наук", 1981, № 2,с.77-80.

8. Бондарь Н.Г., Тищенко A.B. Нелинейные стационарные колебания анизотропных пластин и оболочек при бигармоническом возбуждении.- Тр. ДЙИТа, вып. 178/20, 1976, с.21-26.

9. Бубнов И.Г. Напряжения в обшивке судов от давления воды.» М., 1902.

10. Бубнов И.Г. Труды по теории пластин.- М., 1953.

11. Ванюшенков М.Г. Расчет трапециевидной пластинки методом электроаналогии.- В сб.: Материалы 1У Всесоюзной конференции по применению математических машин в строительной механике.1. Киев, 1967, с.94-102.

12. Венцель З.С., Вербицкий И.Л. Поперечный изгиб тонких упругих плит сложного очертания.- Сопротивление материалов и теория сооружений, 1974, вып. 22, с.89-96.

13. Венцель Э.С., Токаренко В.М., Сметанкин В.А. Расчет на изгиб трапециевидных в плане тонких плит,- Труды Московского института инженеров сельскохозяйственного производства, 1973, т.10, вып. 6, часть 2, c.III-114.

14. Венцель Э.С., Токаренко В.М. К расчету тонких трапециевидные плит с неоднородными граничными условиями.- "Строительная механика и расчет сооружений", 1974, W 5, с.9-11.

15. Вестяк A.B. Напряженно-деформированное состояние трёхслойных трапециевидных пластин с комбинированными граничными условиями.- Изв. АН СССР. МТТ, 1981, № 2, с.104-110.

16. Вестяк A.B. Поперечный изгиб трехслойных трапециевидных пластин с произвольными граничныыми условиями.- Московс. авиац. ин-т. М., 1981, 41 е./ Рукопись депон. в ВИНИТИ 5 марта 1981, № I015-81. Деп. /.

17. Вестяк A.B. Свободные колебания трёхслойной свободно опертых трапециевидных пластин.- Проблемы прочности, 1980,1. Р II, с.117-124.

18. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы. М., 1958, 502 с.

19. Власов В.З. Общая теория оболочек и её приложения в технике. ГИТТЛ, 1949.

20. Власов В.З. Строительная механика оболочек. М.-Л., ОНТИ, 1936.

21. Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки. ГЙТТЛ, 1956.

22. Вольиир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М., 1972, 432 с.

23. Вольмир A.C., Пономарёв А.Т. Нелинейные параметрические колебания цилиндрических оболочек из композиционных материалов. "Механика полимеров", 1973, 3, с.531-539.

24. Галёркин Б.Г. Собрание сочинений. I, 1952, 2, 1953. йзд-во АН СССР, М.

25. Галёркин Б.Г. Упругие тонкие плиты. JI., 1933.

26. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань, Изд-во Казанского унив-та, 1975, вып.II.

27. Галимов К.З., Суркин Р.Г. 0 работах казанских учёных по теории пластин и оболочек.- Сборник 5. Казань, 1967, с.3-55.

28. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.,1969.

29. Гольденвейзер А.П. Теория тонких упругих оболочек. М., 1976.

30. Гонткевич B.C. Собственные колебания пластин и оболочек.- Киев: Наукова Думка, 1964, 228 с.

31. Григолюк Э.И. Нелинейные колебания и устойчиврсть пологих стержней и оболочек. Изв. АН СССР, Отдел, техн. наук,3, 1955.

32. Динамический расчет сооружений на специальные воздействия. Под ред.Б.Г.Коренева, И.М.Рабиновича. М., 1981, 215 с.

33. Дьяченко-Дзин Н.К. Поперечный изгиб трапециевидной пластинки с двумя жестко закреплёнными косыми краями.- Тр. Университета Дружбы народов им.П.Лумумбы, 1967, № 28, с.80-96.

34. Дьяченко-Дзин Н.К. Поперечный изгиб трапециевидной пластинки, у которой две стороны жестко закреплены.- Тр. Уни-вериивш&а Дружбы народов им.П.Лумумбы, 1955, № 9, с.12-31.

35. Дьяченко-Дзин H.K. Расчет трапециевидных пластинок с двумя жестко закреплёнными продольными краями.- Изв. ВУЗов. Стр-во и арх-ра, 1967, № 5, с.25-31.

36. Жигалко Ю.П. Келебания тонкой упругой оболочки произвольной формы, подкреплённой вязкоупругими ребрами жесткости.-"Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных и монолитных авиационных конструкций". Казань, 1980, с.41-47.

37. Журавлёв A.A., Кабаков С.Ю. Конечно-элементная модель для расчета ортотропных косоугольных плит.- "Облегчённые конструкций покрытии зданий". Ростов-н/Д., 1980, с.68-80.

38. Земскова В.Н. Нелинейные колебания пластинки с динамическими гасителями колебаний. Кандидатская диссертация, М., 1982.

39. Ивович В.А. Динамический расчет висячих конструкций.-М., 1975, 191 с.

40. Кадария К.й. Расчет трапециевидной тонкой плиты.- Тр. Груз. Политехн. Ин-та, 1954, № 33, с.75-78.

41. Каудерер Г. Нелинейная механика. М., 1961.

42. Кильчевски^ H.A. Основы аналитической механики оболочек, I, Изд-во АН УССР, Киев, 1963.

43. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. М.,1972.

44. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М., 1964.

45. Корнишин М.С,, Исамбаева Ф.С. Гибкие пластины и панели. М., 1964.

46. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Файзуллина М.А. Расчет гибких треугольных и четырехугольных пластин. "Тр. семинара по теории оболочек. Казан, физ.-техн. ин-т. АН СССР", 1980,13, с.21-28.

47. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Якупов Н.М. К расчету гибких двухсвязных пластин со сложным очертанием контура. "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы 6-ой Всес. конф. 4.2", Новосибирск, 1980,с.54-60.

48. Корнишин М.С., Файзуллина М.А. Большие прогибы треугольных и четырехугольных пластин. "Теория и методы расчета пластин и оболочек". Саратов, 1981, с.28-30.

49. Крысько В.А., Павлов С.П. Колебания пластинок и сферических оболочек произвольного плана. "Изв. ВУЗов. Стр-во и арх-ра", 1982, № 4, с.49-52.

50. Куршин Л.М., Матвеев К.А., Подружин Е.Г. К расчету на изгиб стреловидных консольных пластин. "Прикладные проблемы прочности и пластичности. Статика и динамика деформируемых систем", Горький, 1980, с.122-126.

51. Кухто В.А. Исследование колебаний консольно закреплённой трапециевидной пластины сложного строения. "Колебания упругих конструкций с жидкостью. Сб. науч. докл. 4-го Симпоз., Новосибирск, 1979". М.ф 1980, с.163-167.

52. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М., 1957.

53. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М., 1977.

54. Лукаш П.А. Большие прогибы пологих оболочек при различных граничных условиях.- сб. Расчет пластин и оболочек. М., вып. 34, 1963, с.58-94.

55. Лукаш П.А. Расчет пологих оболочек и плит с учетом физической и геометрической нелинейности.- Тр. ЦНИИСКа, вып.7, 1961.

56. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.,1947.

57. Лурье А.И., Чекмарев А.И. Вынужденные колебания в нелинейной системе с характеристикой, составленной из двух прямолинейных отрезков.- Прикладная математика и механика, Новая серия, т.1, № 3, 1938.

58. Малахова H.A. Об изгибе пластинки, имеющей в плане форму трапеции произвольного вида с защемлениями по всему контуру.- Тр. Челябинского политехи, ин-та, 1968, вып.45, с.2183 225.

59. Марьин В.А., Попович В.Е., Утегенов А.У. К расчету трапециевидных пластин со сложными граничными условиями. " "Прочность авиационных конструкций". М., 1981, с.47-52.

60. Матевосян P.P. К расчету трапециевидных тонких плит.-сб. Исследования по теории сооружений, вып.7, с.323-336,1957.

61. Михайлов М.Н. Поперечный изгиб трехслойной свободно опертой трапециевидной пластины. "Прочность авиационных конструкций". М., 1981, с.24-28.

62. Недумов Н.В. Большие прогибы трапециевидных пластинок с заделанными краями,- сб. Прочность и устойчивость элементов тонкостенных конструкций, № 2, М., 1967, с.330-356.

63. Недумов Н.В, Расчет пластинок в форме трапеции при заделке по всему контуру.- сб. Расчеты на прочность, Ш 5,1960.

64. Недумов Н.В. Расчет пластинок в форме равнобедренной трапеции.- Изв. ВУЗов. Машиностроение, 1958, № 6, с.54-61.

65. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. Л., 1948.

66. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л., 1951.

67. Обычев Н.М., Вышамирский A.B. Экспериментальное определение собственных частот и форм колебаний пластинок произвольного плана.- "Вопросы оптимального проектирования пластинок и оболочек". Саратов, 1981, с.76-78.

68. Ониалшили О.Д. Некоторые динамические задачи теории оболочек. Издание АН СССР, 1957.

69. Оселедько А.И. Изгиб трапециевидных ортотропных пластинок, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой.- Тр. Воронежского инж.-строит, ин-та, 1971, т.17, № 4, с.21-29.

70. Оселедько А.И. К вопросу определения напряжений в трапециевидных пластинках.- Тр. Воронежского инж.-строит, инта, 1968, т.7, Р 8, с.59-64.

71. Оселедько А.И. Об изгибе трапециевидных пластинок.-Инженерный сборник, т.21. М., АН СССР, 1955.

72. Павленко В.И., Гавриленко В.В., Петров Ю.П. К расче-«ту на изгиб нагретых трапециевидных гибких пластин переменной толщины способом дискретных последовательных приближений.-"Экон. и техн. §ксплуат. флота". Рига, 1982, с.147-156.

73. Пастушихин В.Н. Динамическая устойчивость трапециевидных и треугольных упругих тонких пластинок.- Известия ВУЗов. Строит, и арх-ра, 1961, № 3.

74. Пастушихин В.Н. Колебания пологих оболочек из нелинейно-упругих материалов при конечных прогибах и внутренном неупругом сопротивлениит- В кн.: Новые методы расчета строительных конструкций. ЦНИИСК, М.,1968.

75. Пастушихин В.Н. Установившиеся колебания пластинок и пологих оболочек из сжимаемых нелинейно упругих материалов.-Тр. Моск. инж.-строит, ин-та им.В.В.Куйбышева, 53, 1968,с.185-201.

76. Палкович П.Ф. Труды по строительной механике корабля. 3, 1962, 4, 1963, Л.

77. Петров Ю.П. Расчет на изгиб упругих трапециадальных пластин дискретным методом.- В кн.: Тр. конф. по теории пластин и оболочек. 1960. Казань, 1961, с.278-284.

78. Прегер Л.М. К вопросу изгиба трапециевидных и треугольных пластин при действии поперечной нагрузки и сил в срединной поверхности.- Тр. Томсеого инж.-строит, ин-та, 1951, № 10,с. 107-117.

79. Прегер Л.М. О выборе аппроксимирующих функций для расчета трапециевидных пластин.- Тр. Томского инж.-строит, инта, 1962, Р 19, с.124-128.

80. Прегер Л.М., Дворкина С.В. Продольно-поперечный изгиб гибких трапециевидных пластинок.- В сб. Исследования по строит, конструкциям и строит, мех-ке, Томск, 1977, с.159-163.

81. Прегер Л.М., Дворкина С.В. Расчет трапециевидных пластинок, испытывающих тепловое воздействие. "Исслед. по расчету сооружений". Томск, 1978, с.116-119.

82. Прегер Л.М., Дворкина С.В. Свободный колебания защемлённой по контуру трапециевидной плиты, несущей равномерно распределенной массу.- Тр. Томского инж.-строит, ин-та, 1966, № 12, с.135-137.

83. Пшеничнов Г.И. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и плашииннк. М., 1982, 352 с.

84. Рабинович Р.И. О свободных колебаниях гибких пологихоболочек,- "Строит, мех-ка и расчет coop- ий", 1968, № 4.

85. Рабинович Р.И. Свободные колебания гибких пологих оболочек.- "Строит, мех-ка и расчет сооруж.", 19$$, № 2,с.38-41.

86. Райзер В.Д. К расчету на устойчивость тонкостенных стержней-оболочек при конечных деформациях.- В сбш: Проблемы устойчивости в строительной механике. М., 19$5.

87. Рейф З.Ф. Влияние статического отклонения на гармонический резонанс в системе с нелинейной жесткой пружиной.- Механика: Пер. с англ. М., 1971, № I, с.25-29.

88. Резников Р.А. Примннение вариационного метода В.З.Власова к расчету тонкостенных систем /кессонов/ из трапециевидных пластинок.- Инженерный сборник, 1961, № 31, с.108-118.

89. Салуквадзе Б.А. Расчет шарнирно опёртой по контуру трапециевидной тонкой плиты на упругом основании.- Сообщения АН Груз.ССР, 1961, т.27, № 3, с.307-312.

90. Соболев Д.Н. К расчету непрямоугольных пластинок вариационными методами,- сб. Научные доклады высшей школы/раздел Строительство/. М., 1958, № 2.

91. Соболев Д.Н. Поперечный изгиб трапециевидных, треугольных и косых пластинок.- Известия ВУЗов. Строит, и арх-ра. М., 1958, Р 6.

92. Соболев Д.Н* Применение вариационного метода Власова к расчету тонких трапециевидных плит.- Научные доклады высшей школы /раздел Строительство/. М., 1959, Р I.

93. Соколова Г.А. Колебания гибких трапециевидных пластинок.- Тр. Моск. инж.-строит, ин-та, № 53, 1968.

94. Соколова Г.А. Расчет пластинок и оболочек с трапециевидным или треугольным контуром при конечных прогибах.- Известия ВУЗов. Строит, и арх-ра. Новосибирск, 1962, № 4.

95. Соколова Г.А., Иванов С.П. Расчет геометрически нелинейных призматических оболочек.- сб. Тр. Моск. инж.-строит, инта им.В.В.Куйбышева, М., 1978, вып.157.

96. Соколова Г.А., Тусупов М.С. Некоторые задачи нелинейных колебаний гибких защемлённых пластинок. МИСИ им.В.В.Куйбышева. М., 1983, II с. /Рукопись депонирована во ВНИИИС 8 февраля 1983 г., № 3975.ДЕЛ./.

97. Снитко Н.К. Вертикальные колебания упругой трапециевидной пластинки.- "Строит, мех-ка и расчет сооруж.", 1982,4, с.41-43.

98. Строительная механика в СССР-1917-1967, под редакцией И.М.Рабиновича. М., 1969.

99. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М., 1963.

100. Тищенко A.B. Некоторые задачи нелинейных колебаний анизотропных пластин и оболочек.- Тр. ДИИТа, вып. 189/6, 1977, с.58-60.

101. Толкодубова A.A. К расчету тонких трапециевидных упругих плит на действие гидростатической нагрузки,- Тр. Ташкентского ин-та инженеров ирригац. и механ. с.х., 1970, Р 33,с.237-248.

102. Тусупов М.С. Некоторые задачи свободных колебаний гибких оболочек на трапециевидном плане. МИСИ им.В.В.Куйбышева. М., 1983. /Рукопись депонирована во ВНИИИС 8 февраля 1983г. Р 3974. Деп./.

103. Тусупов М.С. Нелинейные свободные колебания ортотроп-ных пластинок при конечных прогибах.- Экспресс-информация. "Инженерно-теоретические основы строительства", ВНИИИС, 1983,вып. 4.

104. Феодосьев В.И. Геометрически нелинейные задачи теории пластин и оболочек.- Тр. У1 Всес. конф. по теории оболочек и пластинок, Баку, 1966. М.,1966.

105. Бурков И.О. К вопросу об упругопластическом изгибе металлических панелей пологих оболочек при конечных прогибах.-Инженерный журнал, 1961, т.1, вып.1.

106. Бурков И.О. К вопросу об интегрировании основной системы уравнений нелинейной теории пологих оболочек. В кн.: Некоторые задачи сопротивления материалов. Сборник трудов МИСИ им.В.В.Куйбышева, 1969, № 63.

107. Хаяси Т. Вынужденные колебания в нелинейных системах. М., 1957, 204 с.

108. Шишкин А.Г. Свободные колебания косоугольных пластин.-В кн.: Сборник аспирантских работ. Казанский университет. Точные науки. Математика. Механика. Казань, 1976, с.140-147.

109. Шалашилин В.И., Колесников И.Ю., Ложкин О.Б., Нагаев В.А. Собственные колебания трапециевидных в плане плоскихи сферических трёхслойных панелей.- "Мех-ка композита, материалов", 1981, № 2, с.238-243.

110. HI. hpplLcatLon о/ the CrzeenJs function, method to thtsx elastic poéygonctd platee. Jzschíá //., ¿tegáz F, „ Acta, /vecfí " /93/,39, л/3-4, /S5-/69.

111. У/2. A study of nondirteaz if¿6za.t¿o/i. séen. p&ctes WCt&L a,tcerLÚ¿on- to sAeaz ал-ci zotcttozy ¿siezte. Sat/i£/cu7Lt?e>z¿/Ly, м. „ FíSze Sei and. Techjvod/' /98/, /5, //4, 27/ 282.

112. ИЗ. ОАорга. У., ЪииГази^си S. í/¿Szat¿on- <?£ simp¿y-- suppoz ted ¿zop€2<?¿dcr£ pfafes I. Su/7i/netz.¿c ázapezoeds. — J. о/ Só/2/z¿¿ and VcSzatCa/L, /£7/,1. У./9, л//4, p. 379-392.

113. Щ. ChopicL J.j Duzirosuâa S. /¿6za,t¿o/v of S¿/iCLp £j/s ¿¿ppozte d ízapezo¿da¿ p¿a¿es. J. Unsy/n/net- z¿c ¿zapezocds. — J. Sonnd and tr¿Szct£¿0n~ j /972f V.20, a/2 , p. ¿2.5-/34.

114. Щ. Pnue¿¿ S. ¿oivoz Sounds to the gzai7estand aââ AcgÁez tzeyxencces о/azéetzay

115. Scjdo/lcl J7. P., PvzibbStfSeL. S. ^¿¿¿a¿¿ú/i. <?/ ¿tef?ez.ocdcc£ casifctclibz p&c/es zcr¿áa />az¿¿oá Z¿?ú¿ J/íaZ¿ S¿í/?/?Ozt. ~ i/ IfU¿¿¿?SL //¿st. Sc¿., /972, У. S4, л//, p, 43-S4.