Задачи интегральной геометрии и сингулярные интегральные уравнения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ПО ДЕЛАМ НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФВДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЫШЙ УНИВЕРСИТЕТ им. ЛЕНИНСКОГО КОМСОМОЛА

На правах рукописи УДК 517.946

БЕШАТОВ Акбар Хасанович

ЗАДАЧИ ИНГЕГГАЛЫЮИ ГЕШЕТРГЛ И СИНГУЛЯРНЫ!; ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕН®!

01.01.02 - двйеренциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 1992 .

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете им. Ленинского кшоомола

Научный руководитель: доктор фиьико-штематических наук,

академик М.М.Лаврентьев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.Г.Чередниченко

кандидат физико-математических наук В.И.Прийменко

Ведущая организация: Красноярский государственный

университет

Защита состоится " / " 1992 г. в "

часов на заседании опедиали^ированнбго совета К 063.98.04 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических паук в Новосибирском государственна! университете по адреоу:' 630090, г. Новосибирск - 90, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией, мокво ознакомиться.в библиотеке НГУ.

Автореферат разослан " ^У1, 1992 г.

*. ■ •

Ученый секретарь специализированного совета д.ф.-м.н.

Б.В.Капитонов

РОССИЙСКАЯ | - " . •

эсу.Г'/ •■', ' . - л БК'... . ' '

•I.-ОБЩАЯ ХА.РАКТЕЕИСШКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Задачи интегральной геометрии естественным образом возникают при исследовании многих математических моделей в таких тлеющих обгшрное применение областях, как сейсморазведка, интерпретация данных геофизических и аэрокосмических наблюдений, процессы, описываемые кинетически.«! уравнениями и т.д. Разработанный здесь аппарат является математической базой вычислительной томографии - перспективного л интенсивно развивающегося направления современной науки.

Широкую известность получили задачи определения функции, если известны ее интегралы по всевозможным гиперплоскостям, а такие по ее сферическим средним. Эти и подобные им задачи являются задачами интегральной геометрии, йце большее-внимание задачи интегральной геометрии привлекли благодаря обнаруженной в работе М.М.Лаврентьева и В.Г.Романова связи между ними и многомерными обратными задачами для дифференциальных уравнений. Как вытекает из результатов М.М.Лаврентьева, В.Г.Романова и других авторов, широкие классы обратных задач для дифференциальных уравнений с частными производными различных типов сводятся к решению задач интегральной геометрии. При этом многообразия, по которым ведется интегрирование, связаны со структурой исходного уравнения и могут представлять собой довольно сложные геометрические объекты. Таким образом, задачи интегральной геометрии являются одной из актуальных проблем теории дифференциальных уравнений и математической физики.

Некоторые важные классы задач интегральной геометрии сво-^ дчтся к решению особых многомерных сингулярных интегральных уравнений о возмущением. Решение вопроса о возмущениях таких уравнений, не нарушающих единственности, представляет также самостоятельный интерес.

Первые достаточно общг.е результаты по единственности и устойчивости-задач интегральной, геометрии в случае, когда многообразия, по которым ведется интегрирование, имеют вид

параболоидов и инвариантны относительно группы всех движений, параллельных ( л-1 )-мерной гиперплоскости, получены В.I'.Романовым. В дальнейшем теория задач интегральной геометрии получала существенное развитие в работах Ю.Е.Ашшшова, Л.Л. Бухгёйма, М.М.Лаврентьева, Р.Г.Мухшетова, . В.Г.Романова и других авторов. Среди работ по сингулярным интегральным уравнениям следует отметить известные статьи и монографии З.П.Ве-куа, Ф.Д.Гахова, С.Г.Михлина, Н.И.Мусхелишвили, а среди тех, где эти уравнения рассматривались с точки зрения теории некорректных задач - работы М.М.Лаврентьева и В.Г.Чередниченко.

Цель работы. Исследование некоторых классов полисингулярных интегральных уравнений с возмущением в трехмерном пространстве, а также задач интегральной геометрик .на плоскости ж в пространстве.

Методика исследования. В работе применяются метода теории интегральных уравнений (в том числе сингулярных), многомерные аналоги теорем Винера-Поли, а также методы преобразования Фурье.

Научная новизна, теоретическая ценность. В диссертации доказаны теоремы единственности.решения рассмотренных классов полисингулярных возмущенных уравнений в пространстве. В слабо некорректном случае получены такие теоремы существования решения уравнений,.к-которым приходят исходные после применения к ним преобразования Фурье. Получен канонический вид задачи интегральной геометрии в трёхмерном пространстве. Доказаны теоремы-единственности решения для новых, классов задач интегральной геометрии на плоскости-и в пространстве. Работа носит теоретический характер. Все полученные в диссертации результаты являются новыми. Они могут быть использованы при дальнейшем исследовании полисингулярных интегральных уравнений и задач интегральной геометрии. ' ....

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на советско-итальянском симпозиуме по неклассическим и некорректно поставленным задачам математической физики и анализа (г. Самарканд, октябрь 1990 г.), на Международной конференции "Некорректно поставленные задачи в естественных науках" (г. Москва, август 1391 г.), Всесоюзной конференции "Ус-

'ловно-корректнне задачи математической физики и анализа" (г. Новосибирск, ишь ISS2 г.), УШ конференции СНГ "Качественная теория дифференциальных уравнений" (г. Самарканд, сентябрь 1992 г.), на семгнаре кафедры теории функций Новосибирского госуниверситега под руководством академика М.М. Лаврентьева.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [I - 61] .

Структура и объем диссертации. Работа состоит зз введения и двух глаз, каждая из которых разбита на четыре параграфа." Нумерация формул, теорем и т.д. состоит из двух цифр, разделенных точкой (номера главы и номера формулы, теоремы и т.д. з этой главе). Объем диссертации 59 машинописных страниц, библиография включает в себя 34 наименования.

П. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит краткий обзор литераууры и основных результатов диссертации.

В первой главе рассматриваются полисингулярнне возмущенные интегральные уравнения в трехмерном пространстве. Получены условия, налагаемые на ядра возмущений, при которых единственность решения не нарушается. В случае, когда задача слабо некорректна/ доказаны теоремы существования'решения уравнений, полученных после применения к исходит!-преобразования Фурье.

В § 1,1 приводится постанойка задачи, а также некоторые вспомогательные сведения.

В § 1.2 рассматривается трисингулярные возмущенные операторные уравнения относительно функции

+ т \ \(1)

_>с ^ , Ас , ,

+

12)

Если ядра возмущений ^ (.Г, ¿Г) (/»»/,2) тождественно равны

, то решение таких уравнений в.классе непрерывных финитных функций, удовлетворяющих условию Гельдера, единственно. Справедливо также следующее утверждение:

Т е о р е м а 1.2. Пусть - ограниченные,

равномерно непрерывные по всем переменным, финитные по пер-еым трем и интегрируемые с квадратом по последним трем пе-» ременным функции.

Тогда решение уравнений (I) и (2) в классе непрерывных • финитных функций, удовлетворяющих условию Гельдера, единственно.

. После применения преобразования Фурье уравнения (I) и (2) примут вид . . ...

(%)]?[%) + Ц (%) - Ф1 (X) О)

и

и

+ Фгш = Ф2ш, (4)

где ГШ, , Ф-{%)-соответственно преобразования

Фурье функции и(£) , последних слагаемых в левых частях и правых частей уравнений (I) и (2), а

= - (¿даX,-ьдп%+ьдп^-ьдпЛ^бдп\ •

Теорема 1.3. Цусть функции ^(.Ю принадлегат [Е ) ; функции (Я,*) удовлетворяют всем отмеченным в теореме 1.2 условиям и, кроме того, неравенству

к3 я3.

Тогда решение уравнений (3) и {4) существуем в классе функций из Х/гШ3).

В § 1.3 рассматривается полное уравнение, вида

±г т„*г,23У ±е ,

^

1с

\\ . (5) Я3

Теорема 1.4. Пусть ядро - ограничен-

ная, равномерно непрерывная по всем переменным, финитная по первым трем и интегрируемая с квадратом по последним трем переменным функция.

Тогда решение уравнения (5) в классе непрерывных финитннх функций, удовлетворяющих условию Гёдьдера, единственно.

Отметим, что, в отличие от предыдущего параграфа, задача решения уравнения (5) является сильно некорректной, что влечет за собой заметные различия в доказательстве теорем 1.2 и . 1.4. По той же причине аналог теоремы 1.3 здесь получить не удается.

В. § 1..4 рассматриваются уравнения вица (I) и (2), в которых один из одномерных (двумерных) сингулярных интегралов заменен членом вида К-ЩХ) , где постоянная К принимает значения: ¿7, ±/, ±2.

I Доказана теорема единственности решения этих уравнений и при К = ±/ , когда задача слабо некорректна, теорема существования решения уравнений, полученных после применения преобразования 3>урье. ....

Во второй главе рассматриваются новые классы задач интегральной геометрии на плоскости и в трехмерном пространстве. Осуществлено приведение задачи интегральной геометрии в пространстве к каноническому виду. Шйт;ены классы задач интегрально!*. геометрии на плоскости, которые могут быть сведены к задаче Радона о возмущением. Доказана единственность решения подобных операторных уравнений. В качестве следствия от-

сюда вытекает единственность решения исходной задачи интегральной геометрии. Получена такве теорема единственности решения аналогичной задачи интегральной геометрии в пространстве.

В § 2.1 приводится постановка задачи и предварительные сведения.

В § 2.2 исследуется задача интегральной'геометрии в трехмерном пространстве

£{Х„Х2) (6)

X=(Xf , Л3 ) .

Здесь JO(XvXz) - проекция на плоскость ОХ,Х2 поверхности

SIX) , определяемой уравнением tfj = ср(х, , ) , с верлиной з точке X .

Теорема 2.1. Пусть функция тлеет все

непрерывные производные до 2к-го порядка включительно, а функция р(') - до к-го порядка включительно, и пусть эти функции удовлетворяют также следующим условиям:

1)

2) $ + Г^,

« Çi^г st + 4<0.

Тогда исходная задача интегральной геометрии (5) сводится к задаче решенья следующего уравнения:

$ Ч^сЦАг + 5 ^ - Щх,),

кг о .

К

где &(£,= (Яу~?3) (г0 (£3) , функция ^(-) непрерывна.

В § 2.3 рассматривается задача интегральной геометрии на плоскости. Пусть Х = {Х1,Яг)л II (х)- функция двух переменных в полуплоокости Х^О . функция и(') предполагается гладкой и финитной.

Рассмотрим операторное уравнение относительно функцииг^

• $ Р^и^лсх,= (7) .

Уравнение = ф {х, ) определяет кривую семейства ¿Г(Х) с вершиной в точке X . Пусть сс0 - угол, который касательная к кривой в некоторой ее точке Х° образует с осью 0Х1; . Обозначим через ^"образ точки х° при повороте системы коорцинат ОХ, Хг на угол - ос, ; А - угол, который образует касательная к кривой в точке у" в новой сиотеме координат.

Теорема 2.2. Пусть функции и (//(.*) -гладкие и удовлетворяют условиям:

1)

2) ф{хл1)<хгч

3) Ф(х,х,) = х2-,

щ о.

■1С

Тогда задача интегральной геометрии (7) сводится к задаче решения уравнения

(8)

* 5 у) пуЩ^у* - &у*>/»>

я'

где &(.*)- гладкая и финитная функция, функция (?(.*") непрерывна.

Не теряя общности, можно считать, что О •

Введем функцию

Ж

ж,(Г,у),

. 7 7 I (Ж/5 \-Sinfi ^

и применим к ней дифференциальный оператор

д д

£ =

¥ дУ1 '

Обозначим

Теорема 2.3. Пусть существуют такие числа

что

. А

Тогда решение уравнения (8) в классе гладких финитных функций единственно. '

Из теорем 2.2 и 2.3 при сделанных выше предположениях следует единственность решения исходной задачи интегральной, геометрии (7) в классе гладких финитных функций.

В § 2.4 исследуется аналогичная задача интегральной' геометрии в пространстве. Доказана теорема единственности ее решения.

Автор виранает глубокую признательность своему научному руководителю академику М.М.Лаврентьеву за постановку задач и постоянное внимание к работе.