Прямой метод решения системы сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. СИММЕТРИЧНАЯ КАНОНИЧЕСКАЯ МАТРИЦА

ВЕКТОРНОЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ

§ 1Л. Решение векторной задачи линейного сопряжения в классе симметричных вектор-функций

§ 1.2. Связь между двумя симметричными каноническими матрицами векторной задачи линейного сопряжения

ГЛАВА 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ СИСТЕМ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЯДРОМ ГИЛЬБЕРТА

§ 2.1. Векторные "спектральные соотношения" для сингулярных интегралов с ядром Гильберта

§ 2.2. Постановка задачи единственности для характеристического векторного уравнения с ядром Гильберта

§ 2.3. Постановка задачи единственности для полного векторного уравнения с ядром Гильберта

ГЛАВА 3. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЯДРОМ ГИЛЬБЕРТА.

§ 3.1. Приближенное решение характеристической системы сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта

§ 3.2. Приближенное решение полной системы сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта

§ 3.3. Оценка погрешности приближенного решения системы сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта

В работе рассматривается система сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта (векторное уравнение) вида м{8,а)<р{ст)^^с1ст = /(*), (0.1)

5)= , М(5,сг)= (ягД^сг))^ - заданные вегцественнозначные матрицы, элементы которых 2л;-периодичны и непрерывны по Гельдеру (последняя по обеим переменным), /(.?) = (у),.,заданный, <р($) = ~ искомый векторы из того же класса, я е [0,2л-]. Интеграл понимается в смысле главного значения по Коши.

Скалярные уравнения вида (0.1) появились вслед за интегральными уравнениями Фредгольма в трудах А. Пуанкаре, Д. Гильберта в начале нашего столетия. Общие свойства этих уравнений были установлены Ф. Нетером в 1921 году и известны теперь как теоремы Не-тера. Тесные связи этого уравнения с различными задачами математической физики и задачей линейного сопряжения теории функций комплексного переменного инициировали интенсивное развитие теории таких уравнений. Весомый вклад в становление этой теории внесли Т. Карлеман, И. Племель, Ф.Д. Гахов, С.Г. Михлин, И.Н. Векуа, Н.И. Мусхелишвили. К настоящему времени теория скалярного уравнения (0.1) приняла законченный вид и изложена в [18,38,58,79].

Параллельно развивается теория систем сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши, которая достаточно полно изложена в монографиях [10,38,45,79]. О свойства векторного уравнения (0.1) в этих работах говорится лишь в описательном плане. Каких-либо конкретных исследований, относящихся к уравнению (0.1) не проведено, однако это не умоляет его прикладного значения [6,7,83,84].

Интенсивное развитие теории сингулярных интегральных уравнений в равной мере способствовало развитию методов их приближенного решения. К настоящему времени число вышедших в свет публикаций, посвященных решению названной проблемы, огромно. В большинстве этих публикаций на сингулярные уравнения переносятся методы решения уравнений Фредгольма (метод механических квадратур, метод коллокации, метод Галеркина и др.). Большинство таких результатов изложено в обзорных статьях [72,78], а также в монографиях [5,16,25,26,32,44].

Вопрос построения приближенного решения векторного уравнения с ядром Коши рассматривается в [25,46,48,74], однако там исследован лишь случаи, когда все частные индексы канонической матрицы равны нулю. В работах [62-68] предложен новый прямой метод приближенного решения сингулярного уравнения. Матрица системы линейных алгебраических уравнений, из которой находится приближенное решение сингулярного уравнения, имеет треугольную форму, что позволяет находить решение системы через правую часть по рекуррентным формулам. В настоящей работе этот метод распространяется на уравнения вида (0.1).

После выполнения преобразования над ядром сингулярного интеграла и введения обозначения def , . 2 с1е/

М{8,3\ В{8)=%(8)/к]х уравнение (0.1) запишем в форме

А(*}р(*)~ ]к(5,а)ср{а)аст = /(*). (0.2) е [0,2лг].

В диссертационной работе предлагается метод приближенного решения системы сингулярных интегральных уравнений вида (0.2) основанный на аналитическом продолжении и теории вычетов. Такой метод позволяет строить эффективные вычислительные схемы для систем сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта при произвольных частных индексах.

Перейдем к более подробному изложению содержания работы. Как уже указывалось выше, имеется тесная связь между системой (0.2) и задачей линейного сопряжения, решения которой ищутся в классе симметричных вектор-функций.

1. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями прослойками. - М.: Наука, 1983. - 474с.

2. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965.- 290с.

3. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.-744с.

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы-М.: Наука, 1987.-598с.

5. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука, 1985 - 254с.

6. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К., Солдатов М.М. К численному решению задач теории упругости // ДАН СССР- 1984 Т.211-№2 - С.323-327.

7. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К., Солдатов М.М. Метод дискретных особенностей в плоских задачах теории упругости // ПММ,- 1983.- Т.47 Вып. 5,-С.781-789.

8. Боярский Б.В. Анализ разрешимости граничных задач теории функций // Сб. Исследования по современным проблемам теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1961. -С.57-79.

9. Боярский Б.В. Об устойчивости задачи Гильберта для голоморфного вектора // Сообщ. АН Груз. ССР.- 1958.- Т.21- №4.- С.391-398.Ю.Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений.-М.: Наука, 1970.-380с.

10. Векуа Н.П. Краевая задача Гильберта с рациональными коэффициентами для нескольких неизвестных функций // Сообщ. АН Груз. ССР.- 1946.- Т. VII.- №9.- С.595-600.

11. Векуа Н.П. Граничная задача Гильберта для нескольких неизвестных функций в случае несвязных областей // Сообщ. АН Груз. ССР.- 1950.- T.XL- №9.- С.533-538.

12. Векуа Н.П. Граничная задача Гильберта и системы сингулярных интегральных уравнений в случае кусочно-гладких контуров // Тр. Тбилисск. Матем. ин-та 1949.-Т.XVII.- С.29-40.

13. Векуа Н.П. Обобщенная краевая задача Гильберта для нескольких неизвестных функций // Тр. Тбилисск. Матем. ин-та- 1948-T.XVI.- С.81-103.

14. Габдулхаев Б.Г. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений методом механических квадратур // ДАН СССР— 1968 Т.179.-№2- С.260-263.

15. Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений Казань: Из-во Казанск. ун-та - 1994 - 154с.

16. Гахов Ф.Д. Краевые задачи-М.: Наука, 1977.-638с.

17. Гахов Ф.Д. Краевая задача Римана для систем п пар функций // УМН.- 1952.-Т.7- Вып. 4.-С.З-54.

18. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Об устойчивости частных индексов задачи Гильберта для нескольких неизвестных функций // ДАН СССР.- 1958.- Т.119.- №5.- С.854-857.

19. Джишкариани A.B. К решению сингулярных интегральных уравнений приближенными проекционными методами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.- 1979.-Т.19-№5.-С.1149-162.

20. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение численному решению сингулярных интегральных уравнений-Киев: Наукова думка, 1968- 288с.

21. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости-М.: Наука, 1973.-304с.

22. Канторович JI.B., Акимов Г.П. Функциональный анализ М.: Наука, 1977.- 742с.

23. КанторовичЛ.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа-М.: Физматгиз, 1962-562с.

24. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов М.: Наука, 1967.- 500с.

25. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения.-М.-JI.: ГИТТЛ, 1950.-280.

26. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент М.: ТОО "Янус", 1995 - 520с.

27. Лифанов И.К. О численном решении сингулярных интегральных уравнений // Дифференц. уравнения- 1981.- T.XVII- №12-С.1134-1141.

28. Маковоз Ю.И., Шешко М.А. Об оценке погрешности квадратурной формулы для сингулярного интеграла // Весщ АН БССР Сер. ф1з.-мат. навук- 1977. -№6- С.36-41.

29. Маковоз Ю.И., Шешко М.А. О приближенном решении сингулярного характеристического интегрального уравнения // Изв. вузов. Математика.- 1979.- №5,- С.69-72.

30. Мастяница B.C., Расолько Г.А., Шешко М.А. К приближенному решению сингулярных интегральных уравнений с постоянными коэффициентами методом механических квадратур // Докл. АН БССР.- 1986.- Т.30.-№9 С.787-790.

31. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости-М.: Наука, 1966-706с.

32. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения М.: Наука, 1968.-512с.

33. Мусхелишвили Н.И., Векуа Н.П. Краевая задача Римана для нескольких неизвестных функций и ее приложение к системам сингулярных интегральных уравнений // Тр. Тбилисск. Матем. ин-та-1943.- T.XIL- С. 1-46.

34. Мысовских И.П. Оценка ошибки численного решения линейного интегрального уравнения // ДАН СССР.- 1961.- Т. 140.- №4,- С.66-72.

35. Натансон И.П. Конструктивная теория функций М.-Л.: Гостехиз-дат, 1949.-688с.42.0негов Л.А. О квадратурных и кубатурных формулах для сингулярных интегралов: Дисс. . канд. физ.-мат. наук.-Казань, 1979-149с.

36. Пальцев Б.В. Уравнения свертки на конечном интервале: Дисс. . докт. физ.-мат. наук-Москва, 1982-270с.

37. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости- М.: Наука, 1977.- 312с.

38. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений — М.: Мир, 1979.- 495с.

39. Пресдорф 3. К теории систем сингулярных интегральных уравнений с вырождающейся символической матрицей // Вестн. ЛГУ — 1965.- Т.19- С.58-73.

40. Пресдорф 3. О системах сингулярных интегральных уравнений с обращающимся в нуль символом // Матем. исслед— Кишинев, 1972.-Т.7.-№2.-С.129-142.

41. Пресдорф 3. О сходимости методов редукции и коллокации для систем сингулярных интегральных уравнений // ДАН СССР-1976.- Т.226.-№3- С.516-519.

42. Пыхтеев Г.И., Шешко М.А. О приближении сингулярных интегралов сингулярными интегралами с полиномиальной плотностью // Весщ АН БССР.- Сер. ф1з.-мат. навук.- 1979. -№1 С.42-50.

43. Русак В.Н., Шешко М.А. Приближенное вычисление интеграла Шварца и интеграла Гильберта при помощи полилогарифмов // Весщ АН БССР.- Сер. ф1з.-мат. навук.- 1973. -№2.- С. 11-22.

44. Русак В.Н., Шешко М.А. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений на основе рациональной аппроксимации // Докл. АН БССР,- 1991.- Т.З 5 .-№3.- С. 197-201.

45. Саникидзе Д.Г. Вычислительные процессы для сингулярных интегралов с ядром Коши и их некоторые приложения: Дисс. . докт. физ.-мат. наук-Москва, 1985-258с.

46. Софронов И.Д. К приближенному решению сингулярных интегральных уравнений // ДАН СССР,- 1956.- T.III.- №1.- С.37-39.

47. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений М.: Мир, 1980 - 280с.

48. Чеботарев Г.Н. К решению в замкнутой форме краевой задачи Ри-мана для систем п пар функций // Уч. зап. Казанск. ун-та 1956-Т.116.- Кн. 4 - С.31-58.

49. Чеботарев Г.Н. Частные индексы краевой задачи Римана с треугольной матрицей второго порядка // УМН- 1956 Т.П.- Вып. 3.-С. 199-202.

50. Чеботарев Г.Н., Гахов Ф.Д. О краевой задаче Римана для систем п пар функций // Уч. зап. Казанск. ун-та- 1950 Т. 110 - Кн. 7-С.45-50.

51. Чибрикова Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций Казань: Из-во Казан, ун-та - 1977 - 302с.

52. Шешко M.А. О сходимости квадратурных процессов для сингулярного интеграла // Изв. вузов. Математика 1976 - №12 - С. 108118.

53. Шешко М.А. К численному решению сингулярных интегральных уравнений первого рода // Дифф. ур-ния- 1977- Т.13- №8-С.1493-1502.

54. Шешко М.А. О методах приближенного решения сингулярных интегральных уравнений // Докл. АН БССР.- 1977.- Т.21.-№12-С.1067-1069.

55. Шешко М.А., Расолько Г.А. Об одном алгоритме приближенного решения сингулярных интегральных уравнений // Дифф. ур-ния-1984.- Т.20.-№8.-С.1462-1465.

56. Шешко М.А. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений с произвольным индексом // Весщ. АН БССР- Сер. ф!з.-мат. навук,- 1986.-№5.-С.20-24.

57. Шешко М.А. Прямой метод решения сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта // Докл. АН БССР- 1987 Т.31-№12 - С.1077-1080.

58. Шешко М.А., Расолько Г.А. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений с комплексными коэффициентами // Весщ. АН БССР.-Сер. ф1з.-мат. навук.- 1988.-№4.-С.33-37.

59. Шешко М.А. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений с помощью вычетов // Докл. АН БССР 1990 - Т.34-№7.- С.596-600.

60. Шешко М.А. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений с помощью вычетов: Дисс. . докт. физ.-мат. наук-Москва, 1992,-315с.

61. Шешко М.А. Прямой метод решения системы сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши // Дифф. ур-ния 1997 - Т.ЗЗ-№9.-С. 1278-1287.

62. Шмульян Ю.Д. Задача Римана с положительно определенной матрицей // УМН.- 1953.- Т.8.- Вып. 2.- С.143-145.

63. Шмульян Ю.Д. Задача Римана с эрмитовой матрицей // УМН-1954,- Т.9.- Вып. 4.- С.243-248.

64. Anfmogenov A.Yu., Lifanov I.I. On numerical solution of integral équations of planar and spatial diffraction // Russian J. Numer. Anal. Math. Modeling- 1992.-№7.-P.387-404.

65. Elliot D. The approximate solution of Singular integral équations // Solution methods of integral équations. Theory and Appl.-London; New York, 1979.-Vol.18.-P.83-107.

66. Elliot D. A convergence theorem for singular integral equations // J. Aust. Math. Soc.- 1981.-Vol.22.-P.539-552.

67. Erdogan F. Approximate solutions of system of singular integral equations // SIAM J. Appl. Math.- 1969.- Vol.17.- P. 1041-1059.

68. Erdogan F., Gupta G.D. On the numerical solution of singular integral equations // Quart. Appl. Math.- 1972.- Vol.30.- P.525-534.

69. Erdogan F., Gupta G.D., Cook T.S. Numerical solution of singular integral equations // Mechanics of Fracture 1973 - Vol.L- P.3 68-425.

70. Galybin A.N. Stress intensity factors for 2 periodical rows of collinear cracks // Engineering Fracture Mechanics 1998 - Vol.59.- P.281-288.

71. Goldberg M.A. A survey of numerical methods for integral equations // Solution methods of integral equations. Theory and Appl.-London; New York, 1979.- Vol. 18.- P. 136-159.

72. Mikhlin S.G., Prössdorf S. Singular integral operators- Berlin: Akademie-Verlag, 1986.- 576p. Nöda N.A., Matsuo T. Singular integral equation method for interaction between elliptic inclusion // J. Appl. Mechanics.- 1998.- Vol.65.- P.310-319.

73. Prössdorf S., Silbermann В. Projektionsverfahren zur Lösung von Systemen singulärer Gleichungen vom nicht normalen Typ // Revue Roum. Math. Pures Appl.- 1977.- Vol.22.- №7.- P.965-991.

74. Prössdorf S., Silbermann B. Zur Kollokations- und Reduktionsmethode für Systeme singulärer Integralgleichungen // VII Int. Kongreß über Anwend. Math.- Weimar, 1976.- S.289-293.

75. Theocaris P.S., Ioakimidis N.I. Numerical integration methods for the solution of singular integral equations // Quart. Appl. Math 1977-Vol.35.-P.173-183.

76. Zhao M.N., Shen Y.P., Liu Y.J., Liu G.N. The method of analysis of cracks in 3-dimensional transversely isotropic media // Engineering analysis with boundary elements 1998 - Vol.21.-P. 169-178.

77. Шешко М.А., Расолько Г.А., Шуляев Д.С. О точном и приближенном решениях сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши по вещественной полуоси // Докл. АНБ 1997 - Т.41- №6 - С. 43-48.110

78. Мастяница B.C., Шуляев Д.С. Приближенное решение обобщенного интегро-дифференциального уравнения Прандтля // Вестн. БГУ 1998.-№ 2.- С. 70-73.

79. Шешко М.А., Расолько Г.А., Шуляев Д.С. О точном и приближенном решениях сингулярного интегрального уравнения с ядром Ко-ши на вещественной полуоси // Весщ HAH Беларусь- Сер. ф1з.-мат. навук.- 1998.-№ 1.-С.41-45.

80. Шешко М.А., Шуляев Д.С. О точном и приближенном решениях системы сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта //Дифф. ур-ния.- 1998.- Т.34.-№9.-С. 1231-1240.

81. Шуляев Д.С. Прямой метод решения системы сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта / Бел. гос. университет-Минск, 1998.- 35с.-Деп. в Дифф. ур-ниях 18.05.99

82. Шуляев Д.С. Прямой метод решения системы сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта // Тез. докл. VIII между нар. симп. "Мет. дискрет, особен, задач мат. физ". Феодосия, 1-5 июня 1999.

83. Шуляев Д.С. Метод приближенного решения системы сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта // Тез. докл. Меж-дунар. конф. "Анал. мет. анал. и дифф. ур-ний". Минск, 14-18 сент., 1999. В печати.