Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений с помощью вычетов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

4 ОКИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

ШЕШКО МИХАИЛ АНТОНОВИЧ

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ

01.01.07 — вычислительная математика 01.01.03 — математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА 1992

Работа выполнена в Белорусском государственном университете.

Официальные доктор физико-математических наук, профессор

оппоненты: ' АЛЕКСАНДРОВ В. М.,

доктор физико-математических наук, профессор ЛИФАНОВ И. К.,

доктор физико-математических наук, профессор СОЛДАТОВ А. П.

Ведущая организация: Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова.

Защита диссертации состоится ' -М^^Уча. 199 о года

в 1 часов на заседании специализированного совета Д 002.32.01

при Вычислительном центре РАН по адресу: 117967, г. Москва, ул. Вавилова, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного центра.

Автореферат разослан Ф'сЛсЬоДЗ, 199^ года.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ.-мат. наук

Е. Д. ТЕРЕНТЬЕВ

_ Т -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. В диссертационной работа, в основной, рассматриваются сингулярные интегральные уравнения вида

аф^ * ~ S, ^^^ ^^ = ■£Cfc^> tt Ц • С I

u

^S^^CS") - — \ ^(S^) ^(Р4) te - О^ Sfe ^ ч 2 )

о

интегралы поннматтся з смысле глазного значения по Копя. Такие уравнения появилась вслед за интегральными ураэненяяма Зредгсль-ма в трудах А.Пуанкаре и Д.Гильберта в начала нагего столетия. Общие свойства этих уравнения, известные теперь saz теоремы Не-тера, были установлены Ф.Нэтерон а 1521 году. После того жал в тридцатых годах были найдены тесные'сзязя рассматриваемых уравнения с различными задачами математической фяззгш, a tízss установлена их связь с гранлчнымя задачамя теория фустцаЯ ккляек-сного переменного, началось интенсивное развитие теории тахзх уравнения. Весомый вклад в становление этой теория внесла T.Ksp-леман, И.Племель, Ф.Д.Гахов, С.Г.Ыиглин, И.Н.Венуа, В.Д.Яупрад-зе, Н.И.Мусхедетзялк, Б.В.Хведелвдза.

Начиная с тридцатых годов, гогда-епэ не было полной лености в теории сингулярных уравнений, стали разрабатываться приближенные методы их селения (_ Н.А.Лаврентьев, И.В.Келды, Г.Уулът-хопп } . К кастоязеиу эременн число вкзедяях в свет яублягагзЯ, посвященных ресениэ наззаяноЯ проблемы, огромно. 3 больганстзг этих публинадий на сингулярные урагнения переносятся kstozs ре-

- с -

згекхя уравнений Фредгольма метод механических квадратур, метод кслгокацки, метод Галерккка. н др. ) . Приближенное репение, к« правило, находится из системы линейных алгебраических уравнений, к которой сводится сингулярное уравнение. Естественное требование, предъявляемое к системе, - система должна наследовать свойства сингулярного уравнения. К сожалению, на наш взгляд, системы, построенные применявшимися ранее методами наследовали не все свойства уравнения. Более того, на коэффициенты уравнения,а таххе на линию интегрирования, налагается жесткие условия, продиктованные спецификой метода, а не свойствами самого уравнения.

Приведем один из последних результатов, полученный методом механических квадратур. Полагая в уравнении (, I ^ -и записывая это уравнение в форме

■с

(^предполагается, что уравнение (Д) веиественно-значно) , а затек переходя к новой неизвестной функции по правилу

приОлкжанное решение задачи

\ * • о-СУ^ ^С^ -у ^ ^^ ^

в предположении, что - многочлен, будеи искать в виде

V* ^ - II >

где

о, , С^- --;-г~ >

- ортогональный многочлен по весу на \.-1, ,

1 п.^ - его нули. Неизвестны» чхспа. и.

наЯдец из системы

\ - \

Здесь- 'Х^ " нута ютогочдеил

ортогонального по весу на [ -I, I] .

Ясно, что задача построения систем ортогональных многочленов по весовым фушпяям и » а затеи нахождения нулей этих систем есть задача весьма трудная. Автору неаэ&естко ни одного содержательно^ пртазра, реализованного на ярахтзге по

- Л -

гхекб -.с}. Кроме «ого, очевидно, что эта схема непригодна для уравнений, у которых «Ц*} к - комплексно-значные функ-

Схема СЗ) эффективна липъ для уравнений, у которых а. и ъ - вещественные константы. В этой частном случав весовые ?ункши и вырождаются в веса Якоб к. Имеется дос-

таточно большое число статей, в которых исследуется такой случай.

Т&ким образом, разработка аффективных методов приближенного решения сингулярных уравнений с переменными коэффициентами, и особенно с комплексно-значными коэффициентами, является весьма актуальной задачей.

Как уже указывалось выше, имеется тесная связь иевду уравнениями и граничными задачами теории аналитических функций : уравнения С I - с задачей линейного сопряжения, уравнения ( 2 ^ - с задачей Ричана-Гильберта. На базе теории этих задач найдена в явной форме решения характеристических уравнений. Кроме того, эти задачи имеют и самостоятельный интерес. Так, на основе задач* линейного сопряжения Н. И. Ыусхелипгвили и его последователями били решены многие важные задачи плоской теории упругости. Задача Ркмана-Гильберта, являвшаяся обобщением известной задачи Дирихле, также имеет прикладное значение.

Построение приближенных ревений названных основных граничных задач теории аналитических функций также представляет определенный интерес.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Научная новизна результатов работы состоит в ток, что предлагаемые алгоритмы решения сингулярных интегральных уравнений одинаково применимы как к уравнениям"с вещественными коэффициентами, так м к уравнениям с комплексными коэффициентами. Существовав»« до исследований диссертанта алгоритмы были ориентированы на случай вещественных уравнений. Вторым досто-

инством алгоритмов работы является их достаточно хорогая реализуемость на практике. Конкретизируем полученные результаты :

- дг» характеристических сингулярных интегральных операторов с ядрами Коши и Гильберта с переменными коэффициентами в наеденной симметричной по отношению х операции обращения форме этих операторов с поиоцьс вычетов получены общие, так назызаеикз "спектральные соотношения", а именно формулы, по которым многочлены или рациональные функции преобразуйте* оператором в многочлены или рациональные функции; найденные соотнесения является весьма пироким обобщением давно известных "спектральных соотноаенкй" для названных операторов с постоянными коэффициентами;

- на основе полученных "спектральных соотношений" построен ряд новых вычислительных схем для интегральных уравнений с ядром Коои с произвольным индексом в случае окружности и с ядром Гильберта в периодическом случае; дано обоснование схем;

- на базе тех не "спектральных соотноаенкй" построены аналогичные вычислительные схемы для интегральных уравнений с ядром Коши с переменными коэффициентами и произвольным индексом в случае разомкнутого контура; дано обоснование схем;

- разработана новая вычислительная схема для интегро-дяффа-ренциального уравнения Прандтля;

- на базе теории сплайнов построены равномерно сходяяиеся квадратурные формулы для сингулярного интеграла с ядроа Копи я интеграла типа Копи по гладкой разомкнутой дуга я найдены неулуч-иаенке порядковые оценки погрешностей этих формул;

- на базе теории ортогональных многочленов построены равномерно сходящиеся и сходящиеся поточечно квадратурные и кубатур-ные формулы для сингулярных гптегрглоз с яярага Коза с зееово2 функцией чебыиевского типа;

- б -

- с использованием полученных квадратурных формул для интегралов типа Кови построены приближенные методы решения двух основных скалярных граничных задач теории аналитических функций: задачи линейного сопряжения и задачи Римана-Гильберта;

- найдено общее решение двумерного интегрального уравнения первого рода с мультипликативный ядром Кош, указаны условия единственности решения и построены приближенные методы решения таких уравнения с обоснованием сходимости;

- выполнен ряд численных экспериментов на ЭВМ по решению сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши и Гильберта с переменными коэффициентами и произвольным индексом и уравнения Прандтля.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. В диссертационной работе разработан новый метод приближенного решения сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши и Гильберта, основанный на полученных автором общих "спектральных соотношениях"; метод позволяет строить эффективные вычислительные схемы для уравнений с переменными комплексно-значными коэффициентами и произвольным индексом, причем линией интегрирования в некоторых случаях может быть совокупность непересекающихся гладких разомкнутых дуг. Некоторые из предложенных автором и его учениками алгоритмов доведены до пакета прикладных программ и изданы в виде сборника "Математическое обеспечение ЭВМ. - Минск: Из-во АН БССР. - 1939. Вып.4.". Эти программы используются в ряде организаций.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. При получении и обосновании результатов диссертации автор иироко использует методы комплексного анализа, особенно теории вычетов, методы теории аппроксимации (как полиномиальной, так и рациональной), методы вычислительной математики, включая теорию разностных схем и теорга нехор-

рентных задач.

АПРОБАЦИЯ РАБОЙ. Основные результаты работы докладывались : на семинарах Удтематического института им. СтеклоЕа РАН -отдела теории функций комплексного переменного- руководитель академик A.A.Гончар , отдела теории функций-руководители : академик С.М.Никольский, член-корреспондент Л.Д.Кудрявцев , отдела уравнений с частными производными— руководитель член-корреспондент А.В.Бицадзе ; семинаре Отдела вычислительной математики РАН-руководитель академик Г.И.Уарчук ; семинарах Московского государственного университета км. Ломоносова - кафедры вычислительной математики- руководитель академик Н.С.Бахвалов , хафед-ры теории функций и функционального анализа-руководитель член-корреспондент П.Л.Ульянов ; семинаре Вычислительного центра РАН-руководители : д.ф.м.н А.А.Абрамов, д.ф.м.н. Б.В.Пальцев ; со-минаре ВВИА им. Жуковского- руководитель д.ф.м.н. И.Я.Лифанов ; семинарах Математического института ям. Размадзе АН Грузии - отдела теории функций- руководитель академик Б.В.Хведелидзе , отдела математической физики- руководитель член-корреспондент Т.Г.Гегелия ; семинаре Института кибернетики АН Украины-руководитель д.ф.м.н. В.В.Иванов ; семинарах Института математики АН Беларуси; семинарах Белорусского государственного университета.

По результатам диссертации автор выступал с докладами:на международной конференции по численным методам (г. Со|ия, 1968г.-}, международном симпозиуме по механике сплоеной среды и родственным вопросам анализа (.г. Тбилиси, 1991г.), всесоюзных конференциях "Новые подходы к ресению дифференциальных уравнений" (.г.Дро-гобыч, IS87, 1991г."), всесоюзном симпозиуме "Метод дискретных особенностей в задачах; математической физики" г. Харьков, 1985г., г. Одесса, 1991г.), заседаниях Саратовской и Воронежской

зимних пкол по теории функций и приближений (1938г., 1989г.), республиканских конференциях Украины и Беларуси.

ПУБЛИКАЦИИ. Основное содержание' диссертации опубликовано в работах^! - 44]. Часть результатов 2.3, 4.3 диссертации получена в совместных работах {.13, 40] и в равной мере принадлежит автору диссертации и соавторам.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация объемом 313 стр. машинописного текста состоит нз введения, четырех глав и приложения. Библиография содержит 155 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность проблемы построения и математического обоснования эффективных методов решения граничных задач теории аналитических функций и связанных с ними сингулярных интегральных уравнений, кратко излагаются основные результат диссертации и обсуждается их место среди существующих результатов других авторов.

Первая глава носит подготовительный характер; в ней приводятся основные положения теории задачи линейного сопряжения и задача Римана-Гильберта и связанных с ними сингулярных интегральных уравнений, при этом особое внимание уделяется постановкам задач единственности, когда граничная задача или сингулярное уравнение имеют несколько решений. В этой же главе приводятся общие "спектральные соотношения" для сингулярных интегралов с ядрами Кои в Гильберта ж их аналоги для регулярных интегралов. Кроме того, большое внимание в первой главе уделяется построению обще-

го решения двумерного сингулярного интегрального уравнения с мультипликативный ядром Кош первого рода и нахождению условий единственности, когда в общее решение входя? произвольные функции.

Задача линейного сопряжения (часто называемая задачей Ряма-на) состоит в нахождении аналитической функции ^Ч"^ во всей плоскости комплексного переменного « с разрезом по контуру состоящему из нескольких гладких непересекаюцихся дуг, непрерывно продолжилоЯ иа все внутренние точки и , по граничному условие

где о и ^-С.-^ - заданные на , непрерывные по Гелъ-

деру^ функции.

Теория зтой задачи изложена в известных монографиях Ф.Д.Га-хова и Н.И.Мусхелиивили.

Пусть ХСг4) - каноническая функция однородной задача

индекс которой равен X . Тогда при >»0,о ревенив задача С 4 ^ дается формулой

\ Г ** * ? -

произвольные комплексные числа. Если , то ^Еение

, определяемое формулой (« 5 ). существует тогда и только тогда, когда выполнены условия

Представляет интерес построить приближенное решение задачи V. <0, исходя из формулы С5\ Чтобы это сделать, предварительно нужно найти условия единственности при . В §1.1 найдены такие условия. Оки имеет вид

где Ач^ - заданные числа.

Условие

пригодны и в случае замкнутого контура Ь ^формулировка задачи линейного сопряжения при замкнутом контуре несколько иная, хотя граничное условие и предыдущие формулы со-храняптся4). Ранее в случае замкнутого контура были указаны отличные от С 7*} условия единственности.

В ЯЛ найдены также условия единственности задачи Римана-Гильберта при положительном индексе.

Как уже указывалось выше, при нахождении условий единственности, & также при построении приближенных решений уравнений (д\ (,2 ^ предлагаемым в работе методом ключевую роль играет так называемые "спектральные соотношения" для сингулярных интегралов, полученные в §51.2, 1.3. Частный случай таких соотношений известен давно. Это равенства

1. О - ^^ ^ - 11 Т 0>> - Со^оЧССЛ^Х

о

ч

Приведем некоторые из полученных формул. Теорема 1.2.1. Пусть - гладкий замкнутый контур, делящий плоскость комплексного перэменного **. на внутреннюю область и внешгю £Г ; на Ь заданы две функции <4.-^ и ^ непрерывные по Гельдеру, причем оиЧУ)-^5"^ фо., ^^ ^ ,, .

Пусть, далее,

З^4) - каноническая функция задачи линейного сопряжения имеющей индекс л ^ ^^

А«^ - ьЧ^ ^ ^(Дх ■ Тогда справедливы фор-

мулы

4>*хо"> ^ >

где f (.X-^O-^V =>

4 -» "'-Хч

^{^VC^C®-""^* чС5-'^ главные части разложений в ряд Лорана соответственно функций

Cil * в окрестностях точек <=■=> и -

Формулы (.8"), (9"} верны и в случае, когда V* состоит из нескольких непересекающихся гладких разомкнутых дуг, а точка tcfc.

Если L - t-I, i"} , то первая часть формулы ранее была получена австралийскими математиками âicvj tn.U. и

■ Кроме формул для сингулярных интегралов, получены формулы

u

Эти I другие аналогичные формулы составляют содержание теоремы 1.2.3.

В §1.3 получены аналоги формул (9для интегралов с ядром Гильберта.

В §1.4 приведены условия единственности простейших Q названных автором характеристическими^ уравнений с положительным жвдексом :

Дч^^и^л- — <\ W^^crt ix ^ ^ -ttU r ц\

Заметим, что уравнения (1Г),(Д2*)несколько отличаются от принятых в литературе по сингулярным уравнениям характеристических уравнений, имеющих вид

s* sr —

здесь и.(£у , - искомые функции. Для уравнениями") такими

условиями является соотнесения

а для уравнения (. 12^ - соотношения

\ ^ I \ ЭД

Условия С13"), (14^ являатся одновременно и условиями единственности полных уравнений записанных в форма

¿-Л V , т=ч

для удобстза формулировок з обоих уравнениях перед регулярны»; йенами вводится параметр X .

Теорема 1.5.1. Пусть решение уравнения (, I) разыскивается в классе функций, допускающих в концевых точках контура ^ , состо~его из нескольких гладких непересекающихся разомкнутых дуг, интегрируемые особенности, индекс V характеристического оператора или, что то яе самое, индекс соответствующей задачи линейного сопряжения

Л-

больше нуля, параметр ^ не является собственным значением ядра

Тогда задача

ЪЛ х^г - ^

■к* ^ <Ле>- СЧ^

£

имеет единственное решение.

В последнем, тестом, параграфе первой главы дается постановка задачи единственности уравнения с мультипликативным ядром Кови вида

А- СС - ^^ Ь V ■

где каждый из контуров , Ч состоит из нескольких непересекающихся гладких разомкнутых дуг, расположенных соответственно в плоскостях , ; двойной сингулярный интеграл понимается в смысле главного значения.

Приведем постановку задачи единственности для простайзего случая, когда ^ГЧ^ЬЧ*] ^

а именно уравнения

Пусть решение этого уравнения ищется в классе функций, непрерывных по Гельдеру внутри квадрата к допускающих интегрируемую особенность в окрестности любой граничной точки этого квадрата. Тогда общее решение представимо формулой

где

, ^ОД - произвольные функции класса И* по Кус-хелипвили}.

Присоединим к (.17') условия

-v

где , - заданные функции класса Н* , удовлет-

воряющие соотновекию

V S - а .

"Тогда задача (Л"Л» CIS4) имеет единственное решение, представи-мое в вкде

Другие условия единственности для уравнения (л?4) ранее были указаны И.К.Лифановым.

Чтобы строить приближенные решения граничных задач, исходя из формул, дащих их точные решения, необходимо иметь приближенные формулы для интегралов, входящих в эти формулы. Это же относится и к сингулярным уравнениям. Во второй главе построен ряд квадратурных и яубатурных форцул для интегралов с ядрами Коши, Шварца, Гильберта.

В §2.1 приведены приближенные формулы для интегралов с ядром Коши по окружности, с ядром Шварца и с ядром Гильберта как в случае непрерывных по Гельдеру плотностей, так и в случае плотностей, имеющих разрывы первого рода. Ранее одна из таких формул для интеграла с ядром Коки была построена В.В.Ивановым. При нахождении приближенных формул для интегралов с разрывной плотностью приходится пользоваться аппроксимирующим эту плотность агрегатом, выражающимся через многочлены Бернудли. Идея построения таких агрегатов восходит к работам А.Н.Крылова, относящимся к улучиенл) сходимости тригонометрических рядов. Кроме многочленов Бернулли, коэффициенты квадратурных формул содержат еще другие специальные функции, названные автором в совместной с Г.Н.Пыхте-евым статье ^ полилогарифмами.

3 §2.2 построены две квадратурные формулы для интеграла

и*

где и-о.? - гладкая разомкнутая дуга. Первая из них строится путем аппрокспации плотности интерполяционным сплайном первого порядка (ломаной), вторая - локальным кубическим эрмитовым сплайном."Для обеих формул найдены порядковые разномерные оценки. Приведем одну из теорем, относящуюся к этим оценкам.

Теорема 2.2.1. Если \ ( условие Гель-

дера с показателем ^^ , I- ^ - гладкая разомкну-

тая дуга, то последовательность 8 ^^ Ц^) , где

-звенная ломаная с равномерным распределением точек излома, равномерно сходится к $ (^'•Л') и справедлива оценка

где С- - константа, не зависящая от и .

Приведенная теорема имеет место и в случае гладкого замкнутого контура. Отметим, что аналогичная задача оценки погрешности аппроксимирующей функции в случае замкнутого контура возникает при приближенном решении задач математической физики методом граничных элементов.

В §2.3, кроме исследования квадратурной форнулы для интеграла (19) при \-i-\-I, I*] на базе кубического сплайна дефекта I, не являющегося локальным, доказывается теорема о неулучпа-емости оценки (.20) по порядку.

Теорема 2.2.6. Пусть функция' ^ являющаяся

плотностью интеграла принадлежат классу

пусть, далее, для этого интеграла построена квадратурная формула вида

Тогда, каковы бы ни били коэффициенты и узлы

. найдется функция «зс^Ц и

точка \_-vl • что справедливо неравенство

' \ ^ ^Г ^ - ^ •

п.

где - константа, не зависящая от .

В этом яе, третьем параграфе, построена интерполяционная квадратурная формула для интеграла

имеющая вид

Теорема 2.3.2. Пусть Н*\

имеет производные до порядка "Т. и

^ " нули многочлена Якоби Р^^Ч^, взятые в качестве узлов квадратурной форцулы (21). Тогда квадратурный процесс сходится в каждой точке. (,-Ц^ , т.е.

и при ч-^оа справедлива оценка

Г О^-^рД

1 ^не^^ь-Ч

Имеет место аналог этой теоремы и для двойного интеграла

Третья глава посвящена приближенному решении задачи линейного сопряжения и задачи Римана-ГильОерта; постановка и точное решение первой из. них приведены выше.

В §3.1 дано приближенное решение задачи линейного сопряжения в случае, когда в качестве контура 1-» берется единичная окружность. Приведем его.

Пусть Тогда искомое решение имеет вид

и Vе®

^ * т I ^ Р

где

Со-

коэффициенты ^ многочлена С*4} наха-

лу

дятся по рекуррентным формулам из условий

Если , то

* к Ь* С 23^

^ I

числа Я _ . ^ - . находятся из условий разрешимости

Сб).

Теорема 3.1.1. Пусть функции принадлежат классу УРЦ-^ "г^о ^ ос>4 I , пусть, далее ^ Ф^^означагт соответственно точное и приближенное рэпения, построенные по формулам С 5\ (22\ (23*). Тогда

где константа С. не зависит от ^ и .

Аналогичным способом построено приближенное решение рассматриваемой задачи и в случае, когда функция О-с^ в конечном числе точек имеет разрывы первого рода, при этом существенно использована квадратурные формулы §2.1.

Отметим, что вопрос построения приблихенного решения задачи линейного сопряжения при нулевом индексе ранее рассматривался А.В.Батыревым, Н.Я.Тихонэнко, П.К.Суетиным, ^ . Т. 1*1

Р. ^Ъв-кв'гт..

В §3.2 на основе приближенного решения задачи линейного сопряжения для системы отрезков дано приближенное репение одной задачи механики сплошной среды, точное решение которой указано М.В.Келдышем и Л.И.Седовым.

Подобно тому как в §3.1 построено приближенное решение задачи линейного сопряжения, в §3.3 построено приближенное решение задачи Римана-Гильберта.

Четвертая глава является основной в диссертации. В ней на основе формул, полученных в §§1.2, 1.3, построен ряд вычислительных схем для уравнений с ядрами Коши и Гильберта. Кроме того, в этой главе приведена одна вычислительная схема для ннтегро-дкф-ференциального уразнения Прандтля.

В §4.1 рассмотрен случай уравнения с ядром Копт, когда линией интегрирования является единичная окружность. Ранее для такого случая были построены вычислительные схемы И.Д.Софроновым, В.В.Ивановым, Б.Г.Габдулхаевым, И.К.Лифановзм, Б.И.Мусаевки. При обосновании вычислительных схем этими авторами использовалась общая схема приближенных методов Л.В.Канторовича, иногда несколько модифицированная. Автор диссертации при обосновании своих вычислительных схем применяет доказанную им теорему в идейном плане близкую к одной теореме, установленной И.П.Мысовских при обосновании метода механических квадратур для интегральных уравнений Фредгольма, при этом полученные автором на основе этой теоремы оценки погрешностей приближенных репений несколько лучпэ, нежели оценки погрешностей, установленные названными выше авторами.

Проиллюстрируем сказанное на примере характеристического уравнения вида

- единичная окружность.

Пусть ~ ^^ >,0 . Записав уравнение в фор-

еЦ^л- ^

ме

и присоединив к нему условия

1а

приближенное решение задачи (.25^,(26^ найдем как решение задачи

1-4

где

и-с-^ т: ^ ^,

С- •-•^к+ъ«. - числа, подлежащие нахождению.

Вычисляя интеграл, входящий в уравнение (27\ с помощью формул теоремы 1.2.1 и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ^ , ~ для нахождения С ,, й»^ получим систему

« * •

числа Ь° Vе ... находятся из разложения в ряд Тей-

* о % П^

лора в окрестности точки ■"= — О*.

>о V К **

а числа ^^ — - из разложения ХГ^ в ряд Лорана в окрестности точки ■=*=<=>

X. -

Недостающие коэффициенты определим из

равенств С с помощью формул (.Ю4):

Теорема 4.1.5. Пусть функция ^СД , входящая в уравнение принадлежит классу ес^ь^ пусть, далее,

^(Л") и ч^с.^ означают соответственно точное и приближенное решения задач (25>'),(2б\(<;7\(28^, тогда

где ^ - константа, не зависящая от И. .

В случае полного уравнения вместо системы (. 29") будем иметь систему вица

Ъ? с. ^ С-ь""?.

Г\ -п Г* -ПН *

С * К й + *** + V С. К. е.-

-К

х к, с. -к*-*.

гн^.

Оценка, аналогичная оценке С30\ имеет место и в этом случае.

Подобно тому как в §4.1 построено приближенное решение уравнения с ядром Коши по окружности, в §4.2 построено приближенное решение уравнения с ядром Гильберта.

§4.3 посвящен приближенному репению характеристических одномерного и двумерного уравнений с ядрами Коши, когда линией интегрирования являются: отрезок, одна или несколько разомкнутых дут или произведение нескольких дуг в двумерном случае . Приведем один из результатов этого параграфа.

Приближенное решение задачи

.си

найдем как решение задачи

а ОД -V ^ Ъод' СС п^Х

ilv. j 's.

где и ^v^J^ - рациональные функции.

Считая функции аналитической на , в качес-

тве возьмем оператор типа Чебкшева-Паде, построенный

A.A.Гончаром. Такой оператор обладает свойством

Л-1"*- - фиксированное натуральное число. С учетом оценки (31) доказана

Теорема 4.3.13. Пусть решение характеристического

уравнения разыскивается в классе функций, допускающих в конце-, вых точках (-1, I") интегрируемые особенности классе

Чел

по

Мусхелишвили), индекс о f правая часть -^Сх^ является аналитической функцией на^-1, 1*3, тогда

где константа на зависит от ^ .

Если «чх^о.^ , где о. и ? - вещественные

числа, то вопрос построения приближенного решения на основе ра-

ь.

циональной аппроксимации ранее рассматривался американскими математиками H.A. SyiistotC. и Р. Si-V^os"^»-.

В §4.4 построен ряд вычислительных схем для полных уравнений в случае разомкнутых контуров, при этом существенно использованы вычислительные схемы §4.3.

§4.5, являющийся последним в диссертации, посвящен приближенному репгенкю иктегро-дифференциального уравнения Прандтля, имеющего вид

^Схч

- ¿-Л (Ж)

Здесь ^СЧ) и -^оС) -.известные функции, - искомая фун-

кция.

Уравнение Прандтля играет важную роль в теории крыла конечного размаха, контактных задачах теории упругости и других задачах механики сплошной среды.

Число публикаций, посвященных этому уравнению, огромно. Значительная часть публикаций, начинал с самых первых, относится к вопросу разработки и обоснования приближенных методов решения уравнения С 32}. Среди приближенных методов наиболее распространенным является метод %льтхоппа.

Автором диссертации предлагается и обосновывается одна вычислительная схема для уравнения (.32^), близкая по структуре к схеме Мультхоппа и в то же время имеющая определенные преимущества перед последней. Схема строится следующим образом.

Будем искать решение уравнениаЛ 32в классе : ГЧх^^ф. Обозначая

Г1 ^.¿^ц^ и ^

и применяя формулу обращения сингулярного интеграла, а также учитывая граничные условия

ГСг^*-» Сзз4)

уравнение С324) сведем к уравнению

где

В основз решения уравнения уравнения (.34^ лежит квадратурная формула

обладающая замечательным свойством : все её коэффициенты К— • • неотрицательны при V Х^СтЧ^ и удовлетворяют соотношению

^ а. ^ -

Приближенные значения и-*-, ----> ^ функции и.о.') в

узловых точках Х-- ¿^-тс найдем из системы

о Эл

14 (.35^

а приближенное решение исходно Я задачи (.32\^33^ oпpeдeлшi по формуле

Относительно такой схемы справедлива

Теорема 4.5.3. Пусть функции и . входящие з

(.32), принадлежат классу НС-^)^ ,>>✓ ^/¿ъ и выполнено условие

* г-- с ^

Тогда система С 35") при любом натуральном разрешима и вер-

на оценка

Г «1 \\ ^ к —■ ^

С. \{7Г

Отметим, что обоснование схемы 1{ультхоппа проведено А.И.Ка-ландкя в предположении, что функция Уо-) , входящая в представление

обладает свойствои: '(А^ ^ НС-'^ » при этом на показатель налагается ограничение.

В приложении к диссертации приведены результаты численного эксперимента для уравнений с ядрами Коши и Гильберта при неотрицательных и отрицательных значениях индекса.

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Шеико М.А. К приближенному решению краевой задачи Римана // Докл. АН БСиР. - 1971. - Т.15. - Р9. - С.773-776.

2. Веско М.А. Представление интегралов типа Коши по разомкнутому контуру через полилогарифмы // 3. вычисл. матем. и матем. физ. - 1973. - Т.13. - И. - С. 187-191.'

3. Пыхтеев Г.Н., Шеико М.А. Приближенное вычисление интеграла Шварца и интеграла Гильберта при помощи полилогари^мов // ВесцГ АН БССР. Сер. ф1з.-мат. навук. - 1973. -К2. - С.11-22.

4. Шеико М.А. Применение полиномов Якоби при приближенном ре-кении краевой задачи Римана // Весц1 АН БССР. Сер. $>1з.-ыат. навук. - 1974. - РЗ. - С.21-27.

5. Шешко М.А. Приближенное решение краевой задачи Римана в случае разомкнутого контура Н Весц1 АН БССР. Сер. ф1з.-мат. назук. - 1974. - Р5. - С.18-24.

6. Шеико М.А. Представление интегралов типа Коши со степенной особенностью через специальные функции // I. вычисл. матем. и матем. физ. - 1975. - Т.15. - Р1. - С.231-234.

7. Шеико М.А. К численному решению сингулярных интегральных уравнений в случае разомкнутого контура // Весц1 АН БССР. Сер. ф!з.-мат. навук. - 1975. - П. - С.29-36.

8. Шешко H.A. О порядке приближения сингулярных интегралов со степенно-логарифмической особенностью // Докл. АН БСС? . -

1976. - Т.20. - Р II. - С.975-977.

9. Шешко М.А. О сходимости квадратурных процессов для сингуляр-

ного интеграла // Изв. вузов. Катематика. - 1976. - Р 12. -C.I08-II6.

10. Шешко М.А. К численному решению сингулярных интегральных уравнений первого рода // Дифф. ур.-ния. - 1977. - Т.13. -Т- 8. - С. 1493-1502.

11. Шешко H.A. О методах приближенного решения сингулярных интегральных уравнений // Докл. АН БССР. - 1977. - T.2I. -

Р 12. - C.I067-I069.

12. Русак В.Н., Шешко ¡i.A. Сходимость приближенного решения краевой задачи Римана // Весц1 АН ЬССР. Сер. ф1з.-мат. навук. -

1977. -PI.- С.25-33.

13. Маховоз D.H., Шешко М.А. Об оценке погрешности квадратурной формулы для сингулярного интеграла // Весц1 АН БССР. Сер. ф1з.-мат навук. - 1977. - Р б. - С.36-41.

14. Шешко H.A. Приближенное решение краевой задачи Римана с разрывными коэффициентами // Изв. вузов. Математика. - 1978. -Р 4. • С.91-103.

15. Шеико М.А. Об одной кубатурной формуле для двумерного интеграла с здрами Коши // Весц1 АН БССР. Сер <р1з.-иат. навук. -1578. - » 5. - С.39-46.

16. Русак В.Н., Шешко ¡I.A. О приближении сингулярных интегралов сингулярными интегралами с полиномиальной плотностью // Весц1 АН БСиР. Сер. ф1з.-кат. навук. - 1979. - PI. - С.42-50.

17. Шешко М.А. О сходимости кубатурных процессов для двумерного сингулярного интеграла // Докл. АН БССР. - 1979. - Т.23. -

Р 4. - С.293-296.

18..Маковоз D.H., Шешко М.А. О приближенном решении сингулярного характеристического интегрального уравнения // Изв. вузов. Математика. - 1979. - Р 5. - С.69-72.

19. Шешко М.А., Якименко Т.С. О сходимости квадратурного процесса для.сингулярного интеграла со степенно-логарифмической особенностью // Изв. вузов. Математика. - 1979. - Р 6. -С.82-84.

20. Шешко М.А., Мастяница В.И. О решении одного двумерного сингулярного интегрального уравнения первого рода // Докл. АН БССР. - 1980. - Т.24. - Р 9. - С.773-776.

21. Шешко М.А. Обращение многомерного интеграла типа Коши // Докл. АН БССР. - i960. -Т.24. - Р 10. - С.888-891.

22. Шешко М.А., Мастяница B.C. О приближенном решении сингулярных интегральных уравнений методом вырожденного ядра // Дифф. ур.-ния. - ISÖ0. - Т.16. - Р 12. - С.2255-2267.

23. Еэико М.А. Двумерные сингулярные интегральные уравнения первого рода с ядрами Коши // Дифф. ур.-ния. - 1981. - Т.17. -Р 8. - C.I5I8-I52I.

24. Шешко М.А. Об оптимальном решении краевой задачи Римана // Весц1 АН БССР. Сер. ф1з.-мат. навук. - 1982. - Р 4. -С.25-33.

25. Шешко И.А., Денисенко Н.В. О решении одного класса двумерных сингулярных интегральных уравнений первого рода // Дифф. ур.-ния. - 1983. - Т.19. - Р II. - C.I977-I984.

26. Шешко М.А., Расолько Г.А. Об одном алгоритме приближенного решения сингулярных интегральных уравнений // Дифф. ур.-нзя. 1934. - Т.20. - Р 8. - С.1462-1465.

27. Шешко М.А. Устойчивые алгоритмы приближенного решения краевой задачи Римана для аналитических функций П Докл. АН БССР.

1985. - Т.29. - Р 3. - С.209-212.

28. Шешко М.А. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений с произвольным индексом // Весц1 АН БССР. Сер. ф1э.-мат. навук. - 1936. - JS 5. - С.20-24.

29. Мастяница B.C., Расолько Г.А., Шешко М.А. К приближенному решении сингулярных интегральных уравнений с постоянными коэффициентами методом механических квадратур // Докл. АН БССР. - I9Ü6. - Т.30. - Р 9. - С.787-790.

30. Шешко М.А. Интегральные уравнения, содержащие кратные интегралы с ядрами Коши // Дифф. ур.-ния. - 1986. - Т.22. - Р 3. -С.523-538.

31. Шешко М.А. Прямой метод решения сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта // Докл. АН БССР. - 1987. -Т.31. - Г 12. - С.1077-1080.

32. Шзшко М.А. Прямой метод решения сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта // Тез. докл. всесоюзной кон-фар. "Новые подходы к решению дифф. уравнений." - Москва. -1987. - С.121.

33. Шешко М.А., Расолько Г.А. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений с комплексными коэффициентами // Becul АН БССР. Сер. ф1з.-мат. навук. - .1988. - Р 4. - С.33-37.

34. Шешко М.А. Приближенное решение задачи линейного сопряжения теории аналитических функций // Весц1 АН БССР. Сер. ф1з.-мат. навук. - 1989. - Р 3. - C.I05-I08. •

35. Веско М.А. Прямой метод решения сингулярных интегральных уравнений с произвольным индексом // Труды Иежд. конф. от числ. методам. - София : 1989. - С.443-448.

36. Шешко H.A., Расолько Г.А. О точных и^приближенных формулах обращения кратного интеграла с здрами Коши П Дифф. ур.-ния.

1989. - Т.25. - Р 5. - C.9II-9I5.

37.. Шешко Ы.А. К приближенному решению интегро-дифференциадьного уравнения Прандтля // Докл. АН БССР. - 1990. - Т.34. - Р I. -С.9-12.

38. Шенгелия Э.Ш., Шешко М.А. О решении одного класса интегральных уравнений с мультипликативным ядром Копи // Сооба. АН Груз'ССР. - 1990. - Т. 140. -PI.- C.2I-24.

39. Шешко Ы.А. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений с помощью вычетов // Докл. АН БССР. - Т.34. -Р7. - С. 596-500.

40. русак В.Н., Шешко М.А. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений на основе рациональной аппроксимации // Докл. АН БССР. - 1991. - Т.35. - С.197-201.

41. Расолько Г.А., Шешко М.А. О решении одного уравнения, содержащего кратные интегралы с ядрами Коши // Дифф. ур.-ния. -

1991. - Т.27. - 15 6. - C.I092-I096.

42. Шешко Ы.А. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений на основе рациональной аппроксимации // Тез. докл. Мехд. сими, по механ. сплошной среды и родств. вопросам анализа. - Тбилиси. - 1991. - СЛ13.

43. Шенгелия Э.Ш., Шешко М.А. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений, правая часть которых имеет логарифмическую особенность // Сообщ. АН Грузии. - 1992. - Т.142. -Р 2.-С.42-45.

44. Шешко Ы.А. Квадратурные формулы для сингулярного интеграла по разомкнутой кривой // Весц1 АН РБ.Сер. ф1з.-мат. навук. -

1992. -PI.- С. 105-108.